Khoảng cách trong hàm số - phần 2

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
III. TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TỌA ĐỘ
Giả sử có đồ thị hàm số y = f(x) trong đó f(x) hàm phân thức bậc nhất.
Bài toán đặt ra là tìm điểm M thuộc đồ thị có tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ Ox, Oy nhỏ nhất.
Giả sử ( ); ( ) ,M a f a tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là ( )d a f a= +
Gọi
( )
( )
0 0
0 0
0;
;0
M y
M x



là giao điểm của đồ thị và trục Ox hoặc Oy (thông thường ta lấy giao với trục Ox).
Khi đó 0 0d y k= = >
Để tìm các điểm M khác M0 thuộc đồ thị mà có d < k ta chỉ cần tìm các điểm mà có ( )1
( )
a k
f a k
 <

<
Giải (1) ta được m < a < n, khi đó ta cũng xác định được dấu của biểu thức f(a).
Từ đó ( ) ( )min
β β
( ) α γ 2 β γ 2 β γ α
α α
d a f a a d a a M
a a
   
= + = + + + ≥ + ⇒ = + ⇔ + = ⇒ →   
+ +   
Bình luận: Ngoài cách giải sử dụng bất đẳng thức Cô-si như trên, chúng ta có thể dùng đạo hàm để giải bài toán.
Tuy nhiên, với phương án này, ta phải quan sát đồ thị hàm số khảo sát được để đánh giá về dấu của y.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( )
−
=
+
1
, .
3 1
x
y C
x
Tìm điểm M là thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât.
Hướng dẫn giải:
Gọi ( ) ( )
1 1
; ;
3 1 3 1
o o
o o o o
o o
x x
M x y C y M x
x x
 − −
∈ → = →  
+ + 
Tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ là
1
3 1
o
o o o
o
x
d x y x
x
−
= + = +
+
Xét tại một điểm ( ) ( )1;0 1.A C d∈ → =
Để tìm điểm M cho tổng khoảng cách đến các trục tọa độ nhỏ hơn 1, ta chỉ cần xét hàm d khi |xo| < 1, (vì khi |xo| > 1
thì ta luôn có d > 1).
Khi
( )
2 2
2
1
1 3 1 9 6 3
0 1 0 1
3 1 3 1 3 1
3
o
o o o o
o o
o o oo
x
x x x x
x d x d
x x xx
= −
− + + − ′≤ < → = − = → = = ⇔
+ + =+

Lập bảng biến thiên ta được
1 2
3 3
mind d .
 
= = 
 
Khi
( )
2
2
1 3 2 1 4
1 0 0
3 1 3 1 3 1
o o o
o o
o o o
x x x
x d x d
x x x
− − − + −
′− < < → = − − = → = <
+ + +
Trường hợp này d không đạt giá trị nhỏ nhất.
Kết luận: Điểm M cần tìm
1 1 1 1
3 3 3 3
o ox ,y M ; .
 
= = − → − 
 
−
=
+
2 4
, .
1
x
y C
x
Tìm điểm M là thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhât.
Gọi ( )
2 4
1
a
M a; C
a
− 
∈ → 
+ 
Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ:
2 4
1
−
= +
+
a
d a
a
Ta có: Với a = 2 → d = 2, (1)
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng

Nếu
2 4
2 2 2, 2
1
−
> → = + ≥ > → > ∀ >
+
a
a d a a d a
a
Nếu
2 4 2 4 2 4 2 4
2 2 2, 2
1 1 1 1
− − − −
> → = + ≥ > → > ∀ >
+ + + +
a a a a
d a d
a a a a
Do đó, để tìm GTNN của d, ta chỉ xét :
2
1
22 4
22
1
a
a .a
a
 ≤

⇔ ≤ ≤ −
≤
+
, (*)
Với
1 4 2 6 6
2 2 1 3 2 6 3
2 1 1 1
−
< < → = + = − + = + + − ≥ −
+ + +
a
a d a a a
a a a
, (2)
Dấu “=” xảy ra khi 6 1a = − (thỏa mãn (*)).
Từ (1), (2) suy ra ( )2 6 3 6 1 6 1 2 6= − ⇔ = − → − −mind a M ;
Vậy điểm M cần tìm là ( )6 1 2 6M ;= − −
IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN HAI NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ
Giả sử có đồ thị hàm số
( )
( )
( )
= = = +
−
g x k
y f x α
h x x a
.
Đồ thị có tiệm cận đứng x = a, khi đó phần đồ thị nằm bên phải x = a được gọi là nhánh trái của đồ thị, phần đồ thị
nằm bên phải đường x = a được gọi là nhánh phải của đồ thị.
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; ; ;M x y N x y tương ứng là các điểm thuộc nhánh trái và nhánh phải của đồ thị.
Khi đó
1
1 2
2
0
0
− >
< < ⇔ 
− >
a x
x a x
x a
Khoảng cách giữa hai điểm MN được cho bởi ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 1
 
= − + − = − + − 
− − 
k k
MN x x y y x x
x a x a
Đặt
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
0
0
= − ⇒ > − = − 
⇔ 
= − ⇒ > − = 
t a x t x a t
t x a t x a t
Thay vào biểu thức tính MN và dùng Cô-si đánh giá ta thu được MNmin.
Ví dụ: [ĐVH]. Cho hàm số ( )
+
=
−
3
, .
3
x
y C
x
Tìm trên (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài AB ngắn nhất .
Ta có
3 6
1
3 3
+
= = +
− −
x
y
x x
Gọi 1 2
1 2
6 6
;1 ; ;1
3 3
   
+ +   
− −   
A x B x
x x
là các điểm thuộc đồ thị hàm số ( )
2
22
2 1
2 1
6 6
3 3
 
⇒ = − + − 
− − 
AB x x
x x
Giả sử A thuộc nhánh trái và B thuộc nhánh phải, khi đó
1
1 2
2
3 0
3
3 0
− >
< < ⇔ 
− >
x
x x
x
Đặt
1 1 1 1 1
2 1 2 1
2 2 2 2 2
3 0 3
3 0 3
= − ⇒ > − = − 
⇔ ⇒ − = + 
= − ⇒ > − = 
t x t x t
x x t t
t x t x t
Ta có ( )
2
22 2 2 2 2
2 1 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2
2 1 1 2 1 21 2 1 2
6 6 36 36 72 36 36 72
2 2
      
= + + + = + + + + + = + + + + +      
      
AB t t t t t t t t t t
t t t t t tt t t t

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có
2 2
1 12 2
1 1
2 2
2 22 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
36 36
2 . 12
36 36
2 . 12
72 72
2 2 2 . 24
+ ≥ =
+ ≥ =
+ ≥ =
t t
t t
t t
t t
t t t t
t t t t
Khi đó 2 2 2
1 2 1 22 2
1 21 2
36 36 72
2 12 12 24 72 6 2
     
= + + + + + ≥ + + = ⇒ ≥     
    
AB t t t t AB
t tt t
( )
( )
2
1 2
1
1
1 12
min 2 22
2 2 2
1 2
1 2
1 2
36
6
3 6;1 66 3 636
6 2 6
6 3 6 3 6;1 66
72
2

=
 =  − −   = = −    
⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ →    
= = + + +    =  
=

t
t t
At x
AB t t
t t x At t
t t
t t
V. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TƯƠNG GIAO
Cho hàm số ( ):
ax b
C y
cx d
+
=
+
và đường thẳng d : y = mx + n.
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình
ax b
mx n
cx d
+
= +
+
có hai nghiệm phân biệt khác .
d
c
−
Giả sử ( ) ( ); , ;A A B BA x y B x y là các giao điểm, khi đó ( ) ( ); , ;A A B BA x mx n B x mx n+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )22
2 2 2 22
2
1 4
1
A B A B
A B A B A B A B
A B
m x x x x
AB x x y y x x m x x
x x m
 + + −
 → = − + − = − + − =
− +
Sử dụng Vi-ét cho phương trình hoành độ giao điểm ta được kết quả của bài toán.
Ngoài cách biến đổi trên ta có thể thực hiện như sau :
22
2
A
A B
B
b
x
a
x x
a ab
x
a
 − + ∆
= ′∆ ∆
→ − = =
− − ∆ =
Khi đó ( )2 2 22
1 . 1 . 1A BAB x x m m m
a a
′∆ ∆
= − + = + = +
+
=
−
2 4
: .
1
x
C y
x
Gọi d là đường thẳng đi qua M(1; 1) có hệ số góc là k .Tìm k để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho = 3 10.AB
Đường thẳng d qua M(1; 3) và có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( )22 4
1 ( ) 3 2 3 0, 1
1
x
kx k g x kx k x k
x
+
= + − ⇔ = + − + + =
−
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Ta có điều kiện: ( ) ( ) ( )
2
0 0
0
3 2 4 3 0 *9
9 24 0
24(1) 6 0
k k
k
k k k
k k
g
≠ ≠
 ≠ 
∆ = − − + > ⇔ ⇔  
− > < = ≠
Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A, B.
Theo định lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
3 3 3
3
3 3
1
k
x x
k k
k
x x
k k
−
+ = = −

+ = = +


Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 2
1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2; 3 ; ; 3 1 4A x kx k B x kx k AB x x k x x k x x x x + − + − ⇒ = − + − = + + −
 
Theo giả thiết ta có ( )
2
2 2 3 12
3 10 90 1 3 4 90AB AB k
k k
  
= ⇔ = ⇔ + − − − =  
   
( )( ) ( )( )2 2 3 2 2
9 24 1 90 24 81 24 9 0 3 3 8 3 1 0k k k k k k k k k⇔ − + = ⇔ + + + = ⇔ + + − =
( )2
3
3
**3 41
8 3 1 0
16
k
k
k k k
= −
= − → ⇔ − ±+ − = = 
Vậy với k thỏa mãn (**) thì d cắt (C) tại A, B và 3 10.AB =
−
=
−
3 2
: .
1
x
C y
x
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 3) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho = 2 3.AB
Đường thẳng d qua M(1; 3) và có hệ số góc k nên d : y = k(x −1) + 3.
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )23 2
3 ( ) 2 1 0, 1
1
x
kx k g x kx kx k
x
−
= + − ⇔ = − + − =
−
Ta có điều kiện: ( ) ( )2
0
0
' 1 0 0 *
0
(1; ) 1 0
k
k
k k k k
k
g k
≠
≠
∆ = − − > ⇔ ⇔ > 
> = − ≠
Gọi ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1; 3 ; ; 3 1A x kx k B x kx k AB x x k x x x x k+ − + − ⇒ = − + − = − + .
Trong đó x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
Từ đó ta được ( ) ( )2 2 2 2 22 ' 2
. 1 . 1 2 3 1 3 1 3
∆
= + = + = ⇔ + = ⇔ + =
k
AB k k k k k k k k
a k
2 2 3 5
1 3 3 1 0
2
k k k k k
±
⇔ + = ⇔ − + = ⇔ = .
Đối chiếu với (*) ta được
3 5
2
k
±
= là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số ( ) =
−
2
: .
1
x
C y
x
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = mx −−−− m + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm: ( )22
2 ( ) 2 2 0, 1
1
x
mx m g x mx mx m
x
= − + ⇔ = − + − =
−
Ta có điều kiện: ( ) ( )2
0
0
' 2 0 0 *
2 0
(1) 2 0
m
m
m m m m
m
g
≠
≠
∆ = − − > ⇔ → > 
> = − ≠
Giả sử ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1; 2 ; ; 2 1A x mx m B x mx m AB x x m x x x x m− + − + → = − + − = − +
( ) ( )2 2
2 2
2
2 1 2 12 ' 2 2
. 1 . 1 2 2 2 4 4
m m mm
AB m m
a m m m
+ +∆
⇔ = + = + = = ≥ = .
Vậy ABmin = 4 khi m = 1.
+
=
+
2 1
: .
2
x
C y
x
Tìm m để đường thẳng d : y = −−−−x + m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm: : ( )22 1
( ) (4 ) 1 2 0, 1
2
x
x m g x x m x m
x
+
= − + ⇔ = + − + − =
+
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác −2.
Ta có điều kiện:
( ) ( ) ( )
2
2 12 0
4 4 1 2 0 3
*3
2( 2) 2 3 0
2
m
m m
m
mg m
 + >∆ = − − − > 
⇔ → ≠ 
≠− = − ≠  
Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1; ; ; 2A x x m B x x m AB x x x x x x− + − + → = − + − = −
2
2 1 2 2 2. 12 2 12 2 6 0AB x x m m⇔ = − = ∆ = + ≥ = ⇔ = .
Khi m = 0 thì AB nhỏ nhất bằng 2 6.
VI. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH KẾT HỢP VỚI TIẾP TUYẾN
+
= = +
− −
2 1 5
: 2 .
2 2
x
C y
x x
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1). Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó
đến d là ngắn nhất.
Ta có :
( )
2
5 5
(0) .
42
′ ′= − ⇒ = −
−
y y
x
Phương trình tiếp tuyến d tại M : ( )
5 5
0 1 1 5 4 4 0
4 4
= − − + = − + ⇔ + − =y x x x y
Gọi ( ); ( )∈M x y C với x > 1. Khoảng cách từ M đến d là d(M; d) thì
( ; )
5 4 4 1 1 5 1 20
5 4 4 5 4 2 4 5 4
2 225 16 41 41 41
− +  
⇒ = = − + = + + − = + + 
− −+  
M d
x y
d x y x x
x x
( )
( )
2
020 20
( ) 5 4 , 1 ; '( ) 5 0
42 2
=
⇒ = + + > = − = ⇔  =− − 
x
g x x x g x
xx x
Lập bảng biến thiên, ta thấy min g(x) = g(4) = 34
Kết luận : ( ; )
34
min
41
=M dh khi
9 9
4; 4; .
2 2
 
= = ⇒  
 
x y N
+
=
−
2 1
: .
2
x
C y
x
Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp
tuyến là lớn nhất.
Ta có
( )
2
2 1 5 5
2 .
2 2 2
+
′= = + ⇒ = −
− − −
x
y y
x x x
Gọi ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
1
1 1 2 2 1 2
2
2
5
2
; ; ; ,
5
2

= −
−
∈ ≠ ⇒ 
 = −
 −
M
N
k
x
M x y N x y C x x
k
x
Nếu hai tiếp tuyến song song với nhau thì
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 1 2 1 2 12 2
1 2
5 5
2 2 0 4 0
2 2
= ⇔ − = − ⇔ − − − = ⇔ − + − =
− −
M Nk k x x x x x x
x x
1 2 1 24 0 2 2⇔ + − = ⇔ − = −x x x x
Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn nhất khi MN vuông góc với hai tiếp tuyến ( ). 1 *⇔ = −MN Mk k
Trong đó
( )
( )
( )( )( ) ( )( )
2 12 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
51 5 5 5
2 2
2 2 2 2 2 2
  − −   −
= = + − + = = −    
− − − − − − − − −    
MN
x xy y
k
x x x x x x x x x x x x

( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 1 1 11 1
5 5 5 5
. 1 1
2 2 22 2
= = − ⇔ = −
− − − −− −
MN Mk k
x x x xx x
( )
3 4 3 2
1 1 1 1 1 1 1
1
2 25 150 400 200 1 0
25
⇔ − = ⇔ − + − − = ⇒x x x x x x x
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số = − +3
3 2.y x x
Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N sao cho = 2 6.MN
Đạo hàm 2 1
' 3 3 0
1
= −
= − = ⇔  =
x
y x
x
Gọi ( ) ( ) 3
0 0 0 0 0; 3 2∈ ⇒ = − +M x y C y x x
Tiếp tuyến tại M có phương trình
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0: 3 3 3 2 3 1 1 2 = − − + − + = − + − + + − d y x x x x x x x x x x x
Nếu d cắt (C) tại N thì ta có phương trình hoành độ giao điểm: ( )( )3 2 3
0 0 0 03 2 3 3 3 2− + = − − + − +x x x x x x x
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 03 3 3 0 3 3 3 0 ⇔ − − − − − − = ⇔ − + + − − − = x x x x x x x x x x xx x x
0
0 0
02 2
00 0
0
0
4
42 0
=
− = = 
⇔ ⇔ = − ⇔  = −+ − =   =
x x
x x x x
x x
x xx xx x
x x
.
Như vậy, điểm N là điểm có hoành độ là ( ) ( )( )2
0 0 0 04 4 ; 4 1 4 2= − ⇒ − + −Nx x N x x x
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
0 0 0 0 05 4 1 4 2 1 2 = − + + − − − −
 
MN x x x x x
( ) ( )
2 22 2 2
0 0 0 0 0 0 0 025 65 15 5 1 3 13 5 169 78 10⇔ = + − + = + − = − +MN x x x x x x x x
Theo giả thiết ( )( )2 2 2
0 0 0 0 0 05 169 78 10 2 6 25 169 78 10 24− + = ⇔ − + =x x x x x x
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số = − +3 2
3 1.y x x
Tìm hai điểm A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và = 4 2.AB
Ta có
2
1 12
2
2 2
3 6
' 3 6
3 6
 = −
= − ⇒ 
= −
A
B
k x x
y x x
k x x
Nếu hai tiếp tuyến tại A, B song song nhau thì :
( )( )
( )
1 22 2
2 2 1 1 2 1 2 1
1 2
3 6 3 6 ; 3 2 0
2 *
≠
⇔ − = − ⇔ − + − = ⇔ 
+ =
x x
x x x x x x x x
x x
- Do ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2, ( ) 3 1; 3 1 3 ∈ ⇒ = − + = − + ⇔ − = − + + − + A B C y x x y x x y y x x x x x x x x
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 23 4 3.2 2 ** ⇔ − = − + − + − = − − − = − − +
 
y y x x x x x x x x x x x x x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 22 1 2⇒ = − + − = − + − + = − + +AB x x y y x x x x x x x x x x
Theo giả thiết ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 21 2 4 2 1 2 32 4 1 2 32     − + + = ⇒ − + + = ⇔ + − + + =
     
x x x x x x x x x x x x x x
Đặt 1 2=t x x , và thay 1 2 2+ =x x (do *) ta có :
( )( ) ( )( )2 3 2 2
4 4 5 4 32 0; 3 3 0 1 3 0 3− + + − = ⇔ + + + = ⇔ + + = ⇒ = −t t t t t t t t t
Vậy ta có hệ
1
21 2 2
1 2 1
2
1
32 1
2 3 0
3 3 3
1
 = −

=+ = = −  ⇒ − − = ⇒ ⇔  = − = = 
= −
x
xx x X
X X
x x X x
x

Do đó tồn tại hai điểm
( ) ( )
( ) ( )
1; 3 ; 3;1
3;1 ; 1; 3
 − −

− −
A B
A B
thỏa mãn yêu cầu bài toán .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số ( )
2 3
: .
2
+
=
−
x
C y
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên.
b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
d) tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ Ox, Oy nhỏ nhất.
2
: .
2 3
+
=
−
x
C y
x
a) M có tọa độ là số nguyên.
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cận bằng nhau.
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất.
d) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
1
: .
2
+
=
−
x
C y
x
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm nhỏ nhất.
b) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận.
c) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
d) Tìm trên (C) hai điểm MN thuộc hai nhánh khác nhau sao cho MN ngắn nhất.
1
: .
2 2
−
=
+
x
C y
x
Tìm điểm M, N trên (C) và thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài MN nhỏ nhất.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số ( ): .
1
=
+
x
C y
x
Tìm điểm A, B trên (C) và thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

Khoảng cách trong hàm số - phần 2

More Related Content

What's hot

Similar to Khoảng cách trong hàm số - phần 2

More from diemthic3

Recently uploaded

Khoảng cách trong hàm số - phần 2