1. Bài 5: Ti p tuy n hàm ña th c và phân th c – Khóa ñ m b o th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
BÀI 5. TI P TUY N C A HÀM ðA H C VÀ HÀM PHÂN TH C.
Bài 1. Cho ñ th ( )
2
2 1
:
1
x x
C y
x
− +
=
−
. CMR trên ñư ng th ng ( ): 7y∆ = có 4 ñi m sao
cho t m i ñi m ñó có th k ñ n (C) hai ti p tuy n l p v i nhau góc 45
L i gi i: L y ñi m b t kì ( )( ;7) : 7M m y∈ ∆ = . ðu ng th ng ñi qua ( ;7)M m v i h s
góc k có phuơng trình: ( ) 7y k x m= − + ti p xúc v i ñ th hàm s (C)
⇔ h
( )
2
'
2
2 1
( ) ( ) 7(1)
1
2
( ) 2 (2)
1
x x
f x k x m
x
f x k
x
 − +
= = − +
−

 = − =
 −
có nghi m
2
2 1
( 1) (1 ) 7
1
2 2
2 1 2( 1) (1 ) 7
1 1
1 4 (1 )
(3)
1 4
x x
k x k m
x
x x k m
x x
k m
x
− +
⇒ = − + − +
−
⇒ + + = − − + − +
− −
+ −
⇒ =
−
Thay (3) vào (2) ñư c:
2
4 (1 )
2 2
4
k m
k
+ − 
− =  
2 2
2 2
1
2 2
(1 ) 8 (1 ) 16
2
8
(1 ) 8(2 ) 0
0
8( 2)
( 1)
k m k m
k
m k m k
k
m
k
m
− + − +
⇔ − =
⇔ − + − =
=
 −⇔  =
 −
ðk 2 ti p tuy n t o v i nhau m t góc 45 tương ñương v i:
( ) ( )
( )
2
1 2
2 21 2
( 1) 8 28 2
tan 45
1 ( 1) ( 1) 8 2
m mmk k
k k m m m
 − = −−−
= = ⇔
+ − − = − −
2
2
10 17 0
6 15 0
m m
m m
 − + =
⇔
 + − =
www.VNMATH.com

2. Bài 5: Ti p tuy n hàm ña th c và phân th c – Khóa ñ m b o th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
1
2
3
3
5 2 2
5 2 2
3 2 6
3 2 6
m
m
m
m
 = +

= −
⇔ 
= − +

= − −
V y có 4 ñi m M th o mãn bài toán.
Bài 2. Cho ñ th ( ) 3 2
: 1mC y x mx m= + − − . Vi t phương trình ti p tuy n c a ( )mC t i
các ñi m c ñ nh mà ( )mC ñi qua
L i gi i: G i 0 0( ; )M x y là ñi m c ñ nh mà ( )mC ñi qua
3 2
0 0 0
2 3
0 0 0
2
0 0 0
3 0 00 0
1,
( 1) 1 0,
1 0 1 1
0 21 0
y x mx m m
m x x y m
x x x
y yx y
⇒ = + − − ∀
⇒ − + − − = ∀
 − = = = − 
⇒ ⇒ ∨  
= = − − − =
Do ñó có 2 ñi m c ñ nh mà ( )mC ñi qua là ( )1 1;0M và ( )2 1; 2M − −
Ta có: 2
3 2y x mx′ = +
- Phuơng trình ti p tuy n t i M1 là: ( )(1)( 1) (2 3) 2 3y y x m x m′= − = + − +
- Phuơng trình ti p tuy n t i M2 là: ( )( 1)( 1) 2 ( 2 3) 2 1y y x m x m′= − + − = − + − −
Bài 3. Tìm ñi m ( ) 3 2
: 2 3 12 1M C y x x x∈ = + − − sao cho ti p tuy n c a (C) t i ñi m M
ñi qua g c t a ñ .
L i gi i: G i 0 0( ; )M x y là ñi m c n tìm 3 2
0 0 0 02 3 12 1y x x x⇒ = + − − (1)
PTTT c a (C) t i M là:
( ) ( )2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) : ( )( ) 6 6 12 6 6 12d y y x x x y x x x y x x x′= − + = + − + − + −
Vì (d) ñi qua g c t a ñ nên ( )2
0 0 0 06 6 12y x x x= + − (2)
T (1) và (2) ( )3 2 2
0 0 0 0 0 02 3 12 1 6 6 12x x x x x x⇒ + − − = + −
www.VNMATH.com

3. Bài 5: Ti p tuy n hàm ña th c và phân th c – Khóa ñ m b o th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
3 2
0 0
2
0 0 0
0 0
4 3 1 0
( 1)(4 1) 0
1 12
x x
x x x
x y
⇒ + + =
⇒ + − + =
⇒ = − ⇒ =
V y ( 1;1;2)M −
Bài 4. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th ( ) 3 2
: 3 2C y x x= − + bi t ti p tuy n ñó
vuông góc v i ñư ng th ng: 5 3 4 0y x− + =
L i gi i: Ti p tuy n vuông góc v i ñư ng th ng: 5 3 4 0y x− + = có phương trình d ng:
5
(d):y x a
3
= − +
ði u ki n ñ (d) và (C) ti p xúc nhau là: h
3 2
2
5
3 2 x a
3
5
3 6
3
x x
x x

− + = − +

 − = −

có nghi m
T 2 2
5 29
5 3 27
3 6 9 18 5 0
1 613
3 27
x a
x x x x
x a

= → =
− = − ⇒ − + = ⇒ 
 = → =

V y có 2 ti p tuy n th a mãn bài toán: 1
5 29
( ): x
3 27
d y = − + và 2
5 61
( ) : x
3 27
d y = − +
Bài 5. Vi t phương trình ti p tuy n ñi qua ( )0; 1A − ñ n 3 2
2 3 1y x x= + −
L i gi i: G i (d) là ti p tuy n ñi qua ( )0; 1A − ñ n 3 2
2 3 1y x x= + − và 0x là hoành ñ
ti p ñi m ( )2 3 2
0 0 0 0 0 0 0( ) : ( )( ) ( ) 6 6 2 3 1d y y x x x y x x x x x x′⇒ = − + = + + + −
Do ( )A d∈ nên: 3 2
0 01 2 3 1x x− = + −
0
3 2
0 0
0
0
2 3 0 3
2
x
x x
x
=
⇒ + = ⇒
 = −

V y có 2 ti p tuy n c n tìm là: y 1= − và
9
y x-1
2
=
www.VNMATH.com

4. Bài 5: Ti p tuy n hàm ña th c và phân th c – Khóa ñ m b o th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
Bài 6. Vi t phương trình ti p tuy n ñi qua ( )1;2A − ñ n 3 2
3 2y x x= − +
L i gi i: G i (d) là ti p tuy n ñi qua ( )1;2A − ñ n 3 2
3 2y x x= − + và 0x là hoành ñ
ti p ñi m ( )2 3 2
0 0 0 0 0 0 0( ) : ( )( ) ( ) 3 6 3 2d y y x x x y x x x x x x′⇒ = − + = − + − +
Do ( )A d∈ nên: ( )3 2 2
0 0 0 02 3 2 3 6x x x x= − + − −
3 2
0 0 0
0
2
0 0 0 0
0
6 6 0
0
( 6 6) 0 3 3
3 3
x x x
x
x x x x
x
⇒ − + =
=

⇒ − + = ⇒ = −

= +
V y có 3 ti p tuy n c n tìm là: y 2= và
Bài 7. Vi t phương trình ti p tuy n ñi qua ( )2;6 3A ñ n 3 2
3 6 8y x x x= − − +
L i gi i: Làm tương t Bài 5 và Bài 6
Bài 8. Cho ( ) 3 2
: 2 3 12 5C y x x x= − − − . Vi t phương trình ti p tuy n bi t
a, Ti p tuy n ñó song song v i ñư ng th ng 6 4y x= −
b, Ti p tuy n ñó vuông góc v i ñư ng th ng
1
2
3
y x= +
c, Ti p tuy n t o v i ñư ng th ng
1
5
2
y x= − + góc 45
L i gi i: a, Ti p tuy n song song v i ñt: 6 4y x= − có d ng ( ): 6d y x b= + v i 4b ≠ −
ðK ñ ( )d và ( )C ti p xúc là h sau có nghi m:
3 2
2
2 3 12 5 6
6 6 12 6
x x x x b
x x
 − − − = +

− − =
T 2 2 1
6 6 12 6 2 3 0
3
x
x x x x
x
= −
− − = ⇔ − − = ⇔  =
- V i 1 8x b= − ⇒ =
- V i 3 32x b= ⇒ = −
V y có 2 ti p tuy n th a mãn bài toán là: ( )1 : 6 8d y x= + và ( )2 : 6 32d y x= −
b, Ti p tuy n vuông góc v i ñư ng th ng
1
2
3
y x= + s có h s góc 3k = − .
www.VNMATH.com

5. Bài 5: Ti p tuy n hàm ña th c và phân th c – Khóa ñ m b o th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
Phương trình hoành ñ ti p ñi m là:
1
2 2
2
1 7
2
6 6 12 3 2 2 3 0
1 7
2
x
y x x x x
x
 +
=
′ = − − = − ⇔ − − = ⇔
 −
=

- PTTT t i 1
1 7
2
x
+
= là: ( )1 13( ) ( ) 3 4 3 7y x x y x x= − − + = − + −
- PTTT t i 2
1 7
2
x
−
= là: ( )2 23( ) ( ) 3 4 3 7y x x y x x= − − + = − − +
c, G i k là h s góc c a ti p tuy n c n tìm. Theo gi thi t ta có:
1
12 12tan 45 2 1 2
1 121
2
k kk
k k
kkk
+ =+
= = ⇔ + = + ⇔  = −+ +
- V i 1k = ta có pt hoành ñ ti p ñi m:
1
2 2
2
3 87
6
6 6 12 1 6 6 13 0
3 87
6
x
y x x x x
x
 +
=
′ = − − = ⇔ − − = ⇔
 −
=

PTTT t i 1
3 87
6
x
+
= là 1 1
5 87
( ) ( ) 12
3
y x x y x x
 
= − + = − +  
 
PTTT t i 2
3 87
6
x
−
= là 2 2
5 87
( ) ( ) 12
3
y x x y x x
 
= − + = − −  
 
- V i k = -1 ta có pt hoành ñ ti p ñi m:
3
2 2
4
3 5 3
6
6 6 12 1 6 6 11 0
3 5 3
6
x
y x x x x
x
 +
=
′ = − − = − ⇔ − − = ⇔
 −
=

PTTT t i 3
3 5 3
6
x
+
= là 3 3
20 3
( ) ( ) 11
3
y x x y x x
 
= − − + = − − +  
 
PTTT t i 2
3 87
6
x
−
= là 4 4
20 3
( ) ( ) 11
3
y x x y x x
 
= − − + = − − −  
 
www.VNMATH.com

6. Bài 5: Ti p tuy n hàm ña th c và phân th c – Khóa ñ m b o th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
V y có 4 ti p tuy n th a mãn bài toán
Bài 9. Tìm các ñi m trên tr c hoành mà t ñó k ñư c 3 ti p tuy n ñ n ñ th hàm s
( ) 3 2
: 3C y x x= + trong ñó có 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau
L i gi i: L y ( ),0M m b t kì thu c tr c hoành Ox. ðư ng th ng ñi qua M v i h s góc
k có phương trình ( )y k x m kx km= − = − ti p xúc v i ( )C ⇔ h
3 2
2
3 (1)
3 6 (2)
x x kx km
x x k
 + = −

+ =
có nghi m.
Th (2) vào (1) ta có: ( )( )3 2 2
3 3 6x x x x x m+ = + −
( )( )
( )
2
2
2 3 3 6 0
0
2 3 3 6 0
x x m x m
x
x m x m
⇔ + − − =
=
⇔ 
+ − − =
ð t M k ñư c 3 ti p tuy n ñ n ( )C trong ñó có 2 ti p tuy n vuông góc thì phương
trình ( )2
( ) 2 3 3 6 0g x x m x m= + − − = ph i có 2 nghi m phân bi t 1 2;x x khác 0 sao cho
1 2 1k k = − (k xác ñ nh theo x trong (2))
( )
( )( ) ( )( )
2 2
2 2 1 2 1 21 1 2 2
3 3 48 0 9 30 9 0
(0) 6 0 0
9 2 1 2 1 13 6 3 6 1
m m m m
g m m
x x x xx x x x
 ∆ = − + > + + > 
⇔ = − ≠ ⇔ ≠ 
  + + = −+ + = − 
( )( )
3 61 3
27
0
3 6
9 3 12 3 3 1 1
27
m m m
m
m m m m
 − − > − ∨ < − = ⇔ ≠ ⇔
 − + − − + − + = − =

V y có 2 ñi m th a mãn là: 1
3 6
;0
27
M
 − −
  
 
và 2
3 6
;0
27
M
 − +
  
 
Bài 10. Cho ñ th ( )
3 1
:
3
x
C y
x
+
=
−
và ñi m M b t kì thu c ( )C . G i I là giao c a 2 ti m
c n. Ti p tuy n t i M c t 2 ti m c n t i A, B. CMR:
www.VNMATH.com

7. Bài 5: Ti p tuy n hàm ña th c và phân th c – Khóa ñ m b o th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
a, M là trung ñi m c a AB
b, Di n tích tam giác IAB không ñ i
L i gi i:
a, ð th ( )C có TCN: ( )1 : y 3d = và TCð: ( )2 : x 3d = ⇒ t a ñ ñi m ( )3;3I
L y ñi m b t kì ( )
10
3 ;3 , 0M m C m
m
 
+ + ∈ ≠ 
 
. Ti p tuyên t i M có d ng:
( ) ( ) ( )( ) 2 2
10 10 20 30
: 3 3 3 3d y y m x m y x
m mm m
 
′= + − + + + ⇔ = − + + + 
 
Phương trình hoành ñ giao ñi m c a ( )C và ( )d là:
2
2 2 2 2 2
10 20 30 3 1 1 1 3 6 9
3 2 1 0
3
x
x x x
m x m mm m m m m
     +
− + + + = ⇔ − + + − + + =     
−     
D th y pt trên có 2 nghi m phân bi t 1 2x x< . G i ( )1 1;A x y và ( )2 2;B x y . Ta có:
2
1 2
2
2 6
2 6 2
1 M
m mx x m x
m
+
+ = = + =
( )1 2 1 22 2
10 20 30 20
2 3 6 2 My y x x y
m mm m
 
+ = − + + + + = + = 
 
V y m là trung ñi m c a AB (ñpcm)
b, Do tam giác IAB vuông t i I, mà có M là trung ñi m c a AB nên ta có:
( )( ) ( )( )1 2
1 10
. 2 ; ; 2 20
2
IABS IA IB d M d M d m
m
∆ = = = =
V y di n tích IAB∆ không ñ i.
…………………..H t……………………
Ngu n: hocmai.vn
www.VNMATH.com