07 dang toan phuong

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑ CHƯƠNG 4

TuÊn
∑ §7: Dạng Toàn phương
2 '' 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
( , ) ( , ) 2 "( , ) "( , )
2
xx xy yyd f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy
Adx Bdxdy Cdy
= + +
= + +
 Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ
dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2
của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:
 Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định
dấu của vi phân cấp 2:
2 2 2 2
11 12 13 22 23 332 2 2d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz= + + + + +

TuÊn
 Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm
dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do
vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết
hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2
của hàm nhiều biến.

TuÊn
 Định nghĩa: Cho V là không gian vector n
chiều trên R, hàm
xác định như sau: với mỗi
:V Rω →
1 2( , ,..., )nx x x x V= ∈

TuÊn
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 ... 2
2 ... 2
... 2
....................
n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
ω = + + + +
+ + + +
+ + +
+
được gọi là dạng toàn phương trên V.

TuÊn
 Ví dụ: Cho dạng toàn phương:
3
1 2 3
2
1 1 2 1 3
2
2 2 3
2
3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6
2
8
2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x x x x x x x
ω
ω
→ =
= + −
− +
+
= + − − + +
11a 122a 132a 22a 232a 33a

TuÊn
 Định nghĩa: Cho dạng toàn phương
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 ... 2
2 ... 2
... 2
....................
n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
ω = + + + +
+ + + +
+ + +
+
khi đó, ma trận sau:

TuÊn
 Gọi là ma trận của dạng toàn phương
11 12 1
12 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
ω
 
 
 =
 
 
  

TuÊn
 Ví dụ: Cho dạng toàn phương
3
1 2 3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x x x x x
ω
ω
→ =
= + − − + +
 Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:
2 2 3
2 1 1
3 1 8
Aω
− 
 = − 
 − 

TuÊn
 Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3( , , ) 6 3 4 5x x x x x x x x x xω = − + + −
1 3 0
3 3 2
0 2 5
Aω
− 
 = − 
 − 

TuÊn
 Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 7 3 8 10 8x x x x x x x x x xω = − + + − −
3 4 5
4 7 4
5 4 3
Aω
− 
 = − − 
 − − 

TuÊn
 Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 5 4 6 2x x x x x x x x x xω = + − − + +
1 2 3
2 4 1
3 1 5
Aω
− 
 = − 
 − 
 Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:

TuÊn
Nhận xét:
 Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:
.35)(
.432)(
.523)(
.8262)(
2
3
2
2
2
14
2
3
2
2
2
13
2
3
2
2
2
12
323121
2
3
2
2
2
11
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxxxx
−+=
−−−=
++=
−++−+=
ω
ω
ω
ω

TuÊn
 Dạng chính tắc của dạng toàn phương
 Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận
chéo














nna
a
a
000
............
0...0
0...0
22
11

TuÊn
....)( 22
222
2
111 nnn xaxaxax +++=ω Hay
 Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng
toàn phương.

TuÊn
 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
 Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)
 Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 10 2 4 8x x x x x x x x x xω = + + + − −

TuÊn
∑
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) 2 2
( ) 2 2
a b a ab b a b ab
a b a ab b a b ab
+ = + + = + +
− = − + = + −
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 2 2 2
( ) 2 2 2
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
+ − = + + + − −
− − = + + − − +

TuÊn
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 3
( ) 2 10 2 4 8
( 2 ) 6 4
( 2 ) ( 2 ) 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
ω = + + + − −
= + − + + −
= + − + − +
1 1 2 3
2 2 3
3 3
2
2
y x x x
y x x
y x
= + −
= −
=
2 2 2
1 2 3( ) 2y y y yω⇒ = + +
 Đặt

TuÊn
 Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 6 13 4 6 2x x x x x x x x x xω = + + + − −
2
1( )x= 22x+ 33x− 2
22x+ 2
34x+ 2 310x x+
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3( 2 3 ) 2[ 2 5 ]x x x x x x x= + − + + +
2 2
1 2 3 2( 2 3 ) 2[( ) ]x x x x= + − + 3
5
2
x+ 2
3
17
4
x−
2 2 2
1 2 3 2 3 3
5 17
( 2 3 ) 2( )
2 2
x x x x x x= + − + + −
2 2 2
1 2 3
17
2
2
y y y= + −

TuÊn
 Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 4 2x x x x x x x x x xω = + + + − +
2
1( )x= 22x+ 3x− 2 35x x+
1 1 2 3
2 3 3 2
2 3
2
,
2 2
y x x x
x x x x
y y
= + −
+ −
= =
2 2 2
1 2 3( ) 5 5y y y yω = + −
Đặt

TuÊn
 Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Lagrange:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 10 4 8 2x x x x x x x x x xω = + − − + +
2
1 )(x=

TuÊn
 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
 Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)
 Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 2 4 6x x x x x x x x x xω = + − + − −










−−−
−
−
=
132
331
212
A

TuÊn










−−−
−
−
=
132
331
212
A
,2111 == aD0 1,D = 11 12
2
21 22
2 1
5,
1 3
a a
D
a a
= = =
 Đặt
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
2 1 2
1 3 3 35,
2 3 1
a a a
D a a a
a a a
−
= = − = −
− − −

TuÊn
 Nếu thì dạng toàn phương
có dạng chính tắc là:
2 2 20 1 2
1 2 3
1 2 3
( )
D D D
y y y y
D D D
ω = + +
2 2 2
1 2 3
2 5 35
( )
1 2 5
y y y yω
−
= + +
,...2,1,0 =∀≠ iDi

TuÊn
 Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Jacobi:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4 2 8x x x x x x x x x xω = − + − − + −










−−
−−
−−
=
341
422
121
A

07 dang toan phuong

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 07 dang toan phuong

Similar to 07 dang toan phuong (20)

07 dang toan phuong