Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp
TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY
Mr Long
Mobi: 0986883886 - 0905710588
Email: long.npb@ttlcorp.vn
Website: ttlcorp.vn
Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp
TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY
Mr Long
Mobi: 0986883886 - 0905710588
Email: long.npb@ttlcorp.vn
Website: ttlcorp.vn
Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp
TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY
Mr Long
Mobi: 0986883886 - 0905710588
Email: long.npb@ttlcorp.vn
Website: ttlcorp.vn
Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp
TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY
Mr Long
Mobi: 0986883886 - 0905710588
Email: long.npb@ttlcorp.vn
Website: ttlcorp.vn
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay
1. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho
(m 1)x m
(Cm) : y
x m
− +
=
−
. Ñònh m ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm treân (Cm) coù hoaønh ñoä x0 = 4 thì
song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù 2 cuûa goùc heä truïc.
y|
= =|
mf (x)
2
2
m
(x m)
−
−
Ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm vôùi ñöôøng phaân giaùc 2( ) : y xΔ = − , ta phaûi coù:
2
| 2
m 2
m
f 1 1 m (4 m) m
(4 m)
−
= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =
−
2
2
Cho
2
(3m 1)x m m
(C) : y ,m 0.
x m
+ − +
=
+
≠ Tìm m ñeå tieáp tuyeán vôùi (C) taïi giao ñieåm vôùi truïc hoaønh
song song y = x. Vieát phöông trình tieáp tuyeán.
Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh
2
0
m m 1
x , m 0,
3m 1 3
− ⎧ ⎫
= ∉⎨ ⎬
+ ⎩ ⎭
,1−
2
|
2
4m
y
(x m)
=
+
Tieáp tuyeán taïi ñieåm (C) coù hoaønh ñoä // y = x
2
2 2
0 0 02
0
4m
1 4m (x m) x m x 3m
(x m)
= ⇔ = + ⇔ = ∨ = −
+
2
2
m m
m 1m
3m 1
1
mm m
3m 5
3m 1
⎡ −
= −= ⎡⎢
+ ⎢⎢⇔ ⇔
⎢ = −−⎢
− = ⎣⎢⎣ +
• tieáp tuyeán taïi (-1,0) coù pt : y = x + 1m = −1
•
1
m
5
= − tieáp tuyeán taïi
3
,0
5
⎛
⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ coù pt :
3
y x
5
= −
Cho
m
(C) : y x 1
x 1
= − +
+
.Tìm m ñeå coù ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vuoâng goùc nhau
Goïi laø ñieåm caàn tìm laø ñöôøng thaúng (d) qua M0 0 0M (x ,y ) 0y k(x x ) y⇒ = − + 0 0
(d) laø t2
0 0 0
2
0
m
x 1 k(x x ) y kx k k kx y
x 1
1
1 k
(x 1)
⎧
− + = − + = + − − +⎪ +⎪
⇔ ⎨
⎪ − =
+⎪⎩
0
0 0
m
x 1 k(x 1) (1 x )k y
x 1
1
x 1 k(x 1)
x 1
⎧
− + = + − + +⎪⎪ +⇔ ⎨
⎪ + − = +
⎪⎩ +
2. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
0 0
2
m 1
x 1 x 1 (1 x )k y
x 1 x 1
1
1 k
(x 1)
⎧
− + = + − − − +⎪ + +⎪
⇔ ⎨
⎪ = −
⎪ +⎩
[ ]
00 0
02
22 2
0 0
m 1 y 2y 2 (x 1)k kx 1 x 1
m 1
(1 k)(m 1) y 2 (x 1)k (1 k)(m 1)
x 1
+⎧ +⎧= + − +⎪ ≠+ ⎪⎪ +⇔ ⇔⎨ ⎨
+⎛ ⎞⎪ ⎪= − + + − + = − +⎜ ⎟ ⎩⎪ +⎝ ⎠⎩
0
0
2 2 2
0 0 0 0 0 0
y 2
k
x 1
(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)
+⎧
≠⎪
+⇔ ⎨
⎪ + + − − − − + + − =⎩
Töø M0 keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau pt (*)⇔ coù 2 nghieäm thoûa k1k2 = -1 vaø khaùc 0
0
y 2
x 1
+
+
0
0
2 2
0 0
y 2
k
x 1 m 0
(x 1) (y 2) 4m
+⎧
≠⎪
+⇔ ⇒⎨
⎪ + + + =⎩
>
Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò
x 1
y
x 3
+
=
−
vôùi truïc hoaønh , bieát raèng tieáp tuyeán ñoù
vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006
|
2
4
y ,
(x 3)
= − ∀ ≠
−
x 3
Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006 , khi ñoù (T) coù heä soá goùc laø KT = -1
. Goïi (x0,y0) laø tieáp ñieåm cuûa (d) vaø (C) , ta coù 0|
2
00
T
x 54
K y 1
x 1(x 3)
=⎡
= ⇔ − = − ⇒ ⎢ =− ⎣
• 0 0 1x 1 y 1 (T ): y x= ⇒ = − ⇒ = −
• 0 0 2x 5 y 3 (T ) : y x= ⇒ = ⇒ = − + 8
{ } { }1 2(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩ = ∩ =
Cho haøm soá
x 2
y f(x)
x 1
+
= =
−
; goïi ñoà thò haøm soá laø (C) , vaø A(0,a).Xaùc ñònh a ñeå töø A keû ñöôïc 2 tieáp
tuyeán ñeán (C) sao cho 2 tieáp tuyeán töông öùng naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc Ox
Phöông trình tieáp tuyeán (T) vôùi (C) taïi 00 0 0 0 0
|
(x )M (x ,y ) : y y f (x x )− = −
0 0
0 02 2
0 0 0 0
x 2 x 23 3
y (x x ) ; A(0,a) (T): a
x 1 (x 1) x 1 (x 1)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +
⇔ − = − − ∈ − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( x )
00
22
0 00 0 0(x )
x 1x 1 0
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0(a 1)x 2(a 2)x a 2 0
≠⎧− ≠⎧ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨ = − − + + + =− − + + + =⎩ ⎪⎩
3. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Qua A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán khi
0(x )g 0= coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 1
vaø | 2
2
g
a 1 0
(a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1
g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0
⎧ − ≠
⎪
Δ = + − + − > ⇔ − < ≠⎨
⎪
= − − + + + ≠⎩
Khi ñoù goïi laø 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía Ox1 1 1 2 2 2M (x ,y ),M (x ,y )
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
x 2 x 2 x x 2(x x ) 4
y y 0 0 0 (1)
x 1 x 1 x x (x x ) 1
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + +
⇔ < ⇔ < ⇔ <⎜ ⎟⎜ ⎟
− − − + +⎝ ⎠⎝ ⎠
Trong ñoù x1,x2 laø nghieäm cuûa coù0g(x ) 0=
1 2
1 2
2(a 2)
x x
a 1
a 2
x x
a 1
+⎧
+ =⎪⎪ −
⎨
+⎪ =
⎪⎩ −
(1)
a 2 4(a 2) 4(a 1) 9a 6
0 0
a 2 2(a 2) a 1 3
+ + + + − +
⇔ < ⇔
+ − + + − −
<
2
0 a 2
a 13
3
Ñk 2 a 1
⎫
⇔ ⇔ > − ⎪
⇒ − < ≠⎬
⎪− < ≠ ⎭
Cho haøm soá coù ñoà thò (C) . Tìm ñieåm M thuoäc ñoà thò (C) sao cho tieáp tuyeán cuûa
(C) taïi M ñi qua goác toaï ñoä
3 2
y 2x 3x 12x 1= + − −
Ta coù | 2
0 0y 6x 6x 12 , M(x ,y )= + − ⇒ tieáp tuyeán taïi M (C)∈
| 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 00(x )y y (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)= − + = + − − + + − −
(T) qua goác toaï ñoä O(0,0) 3 2 2
0 0 0 0 0: 4x 3x 1 0 (x 1)(4x x 1) 0+ + = ⇔ + − + =
0 0x 1 y 12 M( 1,1⇔ = − ⇒ = ⇒ − 2)
Cho haøm soá 31
y x x
3 3
= − +
2
coù ñoà thò (C) . Tìm treân ñoà thò (C) ñieåm maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)
vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng
1 2
y x
3 3
= − +
Goïi 3
0 0 0
1
A x , x x
3 3
⎛
− +⎜
⎝ ⎠
2 ⎞
⎟ laø ñieåm baát kyø thoäc (C) .
Tieáp tuyeán (T) vôùi (C) coù heä soá goùc 2
00
|
(x )k y (x 1) (1)= = −
Do (T) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng
1 2
y x
3 3
= − + k 3⇒ =
Khi ñoù 2
0 0x 1 3 x 2− = ⇔ = ±
Vaäy 1 2
4
A 2, ,A ( 2,0)
3
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
4. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho haøm soá
2
x 3x 6
y
x 1
− +
=
−
, ñoà thò (C) . Töø goác toaï ñoä coù theå keû ñöôïc bao nheâu tieáp tuyeán ñeán haøm soá
(C) , tìm toaï ñoä tieáp ñieåm
Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C)
QuaO
Heä soá goùc k
⎧
⎨
⎩
(T) : y kx⇔ =
2
2
2
x 3x 6
kx
x 1
x 2x 3
k
(x 1)
⎧ − +
=⎪
−⎪
⇔ ⎨
− −⎪ =
⎪ −⎩
coù nghieäm
2 2
(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x
x 1
⎧ − − + = − −
⇔ ⎨
≠⎩
2
x 6x 3 0
x 3 6
x 1
⎧ − + =
⇔ ⇔ =⎨
≠⎩
±
Vaäy töø O keû ñöôïc ñuùng 2 tieáp tuyeán ñeán (C)
1
2
M (3 6,3 6 3)x 3 6 y 3 6 3
M (3 6, 3 6 3x 3 6 y 3 6 3
⎡⎡ ⎡ = + −= + = −
⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢
= − − −= − = − − ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣ )
Cho haøm soá 3 2
y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)= − − − + + −
1.Tìm m ñeå (Cm) ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1
2.Khi m = 1 , tìm treân ñöôøng thaúng y = 2 nhöõng ñieåm töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
1.m =1
2. 3
(C): y x 3x ; A(a,2) (d): y 2 (d): y k(x a) 2= − ∈ = ⇒ = − +
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä
3
2
x 3x k(x a) 2
3x 3 k
⎧ − = − +
⎨
− =⎩
2
x 1
f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0
= −⎡
⇔ ⎢ = − + + + =⎣
Qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) coù 2 nghieäm khaùc 1f(x) 0⇔ =
f
( 1)
0
f 0−
Δ >⎧
⇔ ⎨
≠⎩
2
(3a 2) 8(3a 2) 0 a a
3
2 3a 2 3a 2 0
a 1
⎧
+ − + > 2< − ∨ >⎧ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
+ + + + ≠⎩ ⎪ ≠ −⎩
Vaäy ñieåm caàn tìm laø A(a,2) ;
2
a a 2 a
3
< − ∨ > ∧ ≠ −1
1Cho haøm soá , ñoà thò (C). Tìm taát caû caùc ñieåm thuoäc truïc tung sao cho töø ñoù coù theå keû
ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
4 2
y x 2x= − + −
Goïi A(0,a) , (d) laø ñöôøng thaúng qua A daïngOy∈ : y kx a= +
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä :
4 2
4 2
3
x 2x 1 kx a
3x 2x 1 a 0 (1)
4x 4x k
⎧− + − = +
⇔ − − − =⎨
− + =⎩
Töø A coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi (1) phaûi coù 3 nghieäm
5. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1 a 0 a 1⇔ − − = ⇔ = − . Khi ñoù 4 2 2
3x 2x 0 x 0 x
3
− = ⇔ = ∨ = ±
Vaäy toaï ñoä ñieåm caàn tìm laø A(0,-1)
Cho haøm soá ; ñoà thò (C)3 2
y x 3x 2= − +
1.Qua A(1,0) coù theå keû ñöôïc maáy tieáp tuyeán vôùi (C) . Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy
2.CMR khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc cuûa (C) song song vôùi tieáp tuyeán qua A cuûa (C) noùi treân
1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua A(1,0) coù heä soá goùc k daïng y k(x 1)= − laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä
3 2
2
x 3x 2 k(x 1
3x 6x k
⎧ − + = −
⎨
− =⎩
)
3
b
coù nghieäm 3
(x 1) 0 x 1 k 3⇔ − = ⇒ = ⇒ = −
Vaäy coù 1 tieáp tuyeán (d) : keû ñeán (C)y 3x= − +
2.Goïi (T) laø tieáp tuyeán khaùc cuûa (C) song song tieáp tuyeán taïi A daïng y 3x= − +
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä :
3 2
2
x 3x 2 3x b
3x 6 3
⎧ − + = − +
⎨
− = −⎩
3 2
b x 3x 2
b 3 (T): y 3x 3
x 1
⎧ = − +
⇔ ⇒ = ⇒ = −⎨
=⎩
+
(T) (d)≡ vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc song song vôùi tieáp tuyeán taïi A
Cho haøm soá
4
2x
y 3x
2 2
= − +
5
a
, coù ñoà thò (C)
1.Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä Mx = .CMR hoaønh ñoä caùc giao ñieåm cuûa
tieáp tuyeán (d) vôùi ñoà thò laø nghieäm cuûa phöông trình 2 2 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0− + + − =
2.Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå tieáp tuyeán (d) caét ñoà thò taïi 2 ñieåm P,Q khaùc nhau vaø khaùc M.Tìm
quõy tích trung ñieåm K cuûa ñoaïn thaúng PQ
1.Goïi
4 4
2 2
(a)
|
(a)
a 5 a 5
M a, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)
2 2 2 2
⎛ ⎞
− + ∈ ⇒ = − + ⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
Tieáp tuyeán taïi M coù phöông trình 2 4 23 5
y 2a(a 3)x a 3a
2 2
= − − + +
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C) laø :
4
2 2 4x 5 3
3x 2a(a 3)x a 3a
2 2 2
− + = − − + +2 5
2
2
2 2 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔ − + + − =
2.Quõy tích trung ñieåm K
Theo treân ñeå (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät P vaø Q vaø khaùc M thì phöông trình : = 0 coù
2 nghieäm khaùc a
2
x 2ax 3a 6+ + −
| 2 2
2 2 2
a 3a (3a 6) 0
a 1a 2a 3a 6 0
⎧⎧ <Δ = − − > ⎪
⇔⎨ ⎨
≠+ + − ≠ ⎪⎩ ⎩
6. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Khi ñoù
K
4 2
K K K
x a ; x 3; x
K 7 5
y x 9x
2 2
⎧ = − ≤ ≠
⎪
⎨
= − + +⎪
⎩
1
Vaäy quyõ tích trung ñieåm K laø ñöôøng cong 4 27
y x 9x
2 2
5
= − + + vaø giôùi haïn bôûi 1 x 3≠ ≤
Cho haøm soá coù ñoø thò laø (Cm).Ñònh m ñeå caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (Cm) taïi A vaø
B ñieåm coá ñònh vuoâng goùc nhau
4 2
y x 2mx 2m= − + − +1
xÑieåm coá ñònh A(-1,0) B(1,0) vaø | 3
y 4x 4m= − +
| |
A By 4 4m ;y 4 4m⇒ = − = − +
Tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc nhau | |
BAy .y 1⇔ = −
3 5
(4 4m)(4m 4) 1 m m
4 4
⇔ − − = − ⇒ = ∨ =
Cho haøm soá
x 1
y
x 1
+
=
−
coù ñoà thò (C) . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc tung maø töø moãi ñieåm aáy chæ coù theå keû
ñöôïc ñuùng 1 tieáp tuyeán ñeán (C)
Goïi A(0,a) qua A coù phöông trìnhOy∈ (d)⇒ y kx a= +
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä
2
2
2
x 1
kx a
x 1 2xx 1
a (a 1)x 2(a 1)x a 1 0 (1
2 x 1 (x 1)
k
(x 1)
+⎧
= +⎪ + −−⎪
⇒ = + ⇔ − − + + + =⎨
− − −⎪ =
⎪ −⎩
)
Töø A coù theå keû ñöôïc 1 tieáp tuyeán ñeán (C) (1)⇔ coù 1 ngheäm
Xeùt (1) 1
a 1 0 a 1 4x 2 0 x A(0,1)
2
− = ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒
a 1 0 a 1
a 1 A(a, 1
' 0 2a 2 0
⎧ − ≠ ≠⎧
⇔ ⇔ = − ⇒⎨ ⎨
Δ = + =⎩⎩
)−
Cho haøm soá
x 1
y
x 1
−
=
+
coù ñoà thò (C)
Tìm treân ñöôøng thaúng y = x nhöõng ñieåm sao cho coù theå keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vaø goùc giöõa 2
tieáp tuyeán ñoù baèng
4
π
Goïi M(x0,y0) tieáp tuyeán taïi M tieáp xuùc (C) daïng0 0y x M(x ,x )∈ = ⇔ ⇒ 0y k(x x ) x0= − + (d)
Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) 0 0
x 1
kx kx x (1)
x 1
−
− + =
+
Theo ycbt thì (1) coù nghieäm keùp 2
0 0 0 0kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔ + − + − + − + =
coù nghieäm keùp 2 2 2 2
0 0 0
k 0
(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)
≠⎧
⇔ ⎨
Δ = + − + + − =⎩
7. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) taïo thaønh goùc
4
π
(2)⇔ coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa
2
1 2 1 2
1 2 1 2
k k k k
tan 1 1
1 k .k 4 1 k .k
⎛ ⎞− −π
= = ⇔ =⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
00
2 22 2
0 0 0
1 2 1 2 0 0
k
x 1x 1 0
8(x 1) 0 2(x 3) x 1
5 1
(k k ) 5k .k 1 0 (1 x ) x 1
≠⎧+ ≠⎧
⎪⎪
⇔ Δ = + > ⇔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎨ + −
0− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ − − = + +⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
0
02
0
x 1 M( 7, 7)
x 7
x 1 8 M( 7, 7)
⎧≠ − − −⎧ ⎪
⇔ ⇔ = ± ⇒⎨ ⎨
+ =⎩ ⎪⎩
Cho Parabol . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc Oy sao cho töø ñoù ta coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp
tuyeán ñeán (P) vaø 2 tieáp tuyeán naøy hôïp vôùi nhau 1 goùc 45
2
(P): y 2x x 3= + −
0
Goïi M(0,m) . Phöông trình qua M coù heä soá goùc k laø y kOy∈ x m (d)= +
Phöông trình hoaøng ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø :
2 2
2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+ − = + ⇔ + − − − =
(d) laø tieáp tuyeán cuûa (P) khi (1) coù nghieäm keùp 0⇔ Δ =
2
k 2k 8m 25 0 (2⇔ − + + = )
5Coù 1 2 1 2k k 2 ; k .k 8m 2+ = = +
Hai tieáp tuyeán hôïp nhau 1 goùc 450
khi 0 2 1
1 2
k k
tan 45 1
1 k .k
−
= =
+
2 2
1 2 1 2 1 2(k k ) 4k k (1 k k )⇔ + − = + (3)
Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán taïo nhau goùc 450
khi (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa (3)
|
22
k
m 31 8m 25 0
16m 112m 193 04 4(8m 25) (8m 26)
< −⎧Δ = − − = ⎧
⇔ ⇔⎨ ⎨
+ + =− + = + ⎩⎩
3 14 3 14
m m
4 4
+ −
⇔ = − ∨ =
Vaäy 1 2
3 14 3 14
M 0, ,M 0,
4 4
⎛ ⎞ ⎛+ −
−⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Cho haøm soá
2
x
y
x 1
=
−
goïi ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå
keû tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp nhau goùc 450
Goïi A(a,4) laø ñöôøng thaúng tuyø yù treân y = 4
Goïi (T) laø ñöôøng thaúng
QuaA(a,4)
coù daïng: y k(x a) 4
Coù heä soá goùc laø k
⎧
= − +⎨
⎩
Vaø moïi ñöôøng thaúng (T1) vaø (T2) ñi qua A coù heä soá goùc k ñeàu coù daïng :
1 2y k (x a) 4 vaø y k (x a) 4= − + = − +
8. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Do (T1) vaø (T2) taïo nhau 1 goùc 450
khi 0 1 2
1 2
k k
tan 45
1 k .k
−
=
+
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 k k ) (k k ) (1 k k ) (k k ) 4k k 0 (1)⇔ + = − ⇔ + − + + =
Do (T) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)
2
x
k(x a) 4
x 1
⇔ = − +
−
coù nghieäm keùp
2
(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔ − − − − + − = coù nghieäm keùp khaùc
1 22 2
k 11 k 0
k (a 1) 4(a 2) 0 (2)(a 1) k 4(a 2)k 0
⎧ ≠⎧− ≠⎪ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
⎡ ⎤− − − =Δ = − − − = ⎪⎪ ⎣ ⎦⎩⎩
Qua A keû ñöôïc tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goù 450
khi phöông trình (2) coù 2 nghieäm k1,k2 (k 1)≠
vaø thoûa maõn heä thöùc (1)
2
k 0
4(a 2)
k
(a 1)
=⎧
⎪
−⎨
=⎪ −⎩
thoûa maõn (1) khi
2
2
22
2
4(a 2)
k 1 a 3
(a 1)
a 1
4(a 2)
a 2a 7 0k 0.(1 0) 0 4.0 0
(a 1)
−⎧
= ≠ ≠⎧⎪ −⎪ ⎪
⇔ ≠⎨ ⎨
−⎡ ⎤⎪ ⎪ + − == + − + + = ⎩⎢ ⎥⎪ −⎣ ⎦⎩
a 1 2
a 1 2
⎡ = − −
⇔ ⎢
= − +⎢⎣
2
2
Vaäy 1 2A ( 1 2 2,4) , A ( 1 2 2,4)− − − +
Cho haøm soá
2
x x 2
y
x 1
+ +
=
−
coù ñoà thò (C) . Tìm treân (C) caùc ñieåm A ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi A vuoâng
goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò
Giaû söû 0 0
0
4
A x ,x 2
x 1
⎛
+ +⎜
−⎝ ⎠
⎞
⎟ laø ñieåm baát kyø treân (C) vaø I(1,3) laø giao ñieåm 2 ñöôøng tieám caän
0 0
0
4
AI 1 x ,1 x
x 1
⎛ ⎞
⇒ = − − −⎜ ⎟
−⎝ ⎠
uur
Nhö vaäy laø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng AIAI
uur
Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa (C) tieáp xuùc vôùi (C) taïi A , coù heä soá goùc
|
2
0 0
0(x )
4
k y 1 a 1,1
(x 1) (x 1)
⎛ ⎞
= = − ⇒ = −⎜
− −⎝ ⎠
r
2
4
⎟ laø vectô chæ phöông cuûa (d) ; do ñoù (d) (AI) a.AI 0⊥ ⇔ =
r uur
0
4
x 1 8⇒ = ±
Vaäy coù 2 ñieåm
4 4
4 4
1 24 4
4 3 8 8 4 3 8 8
A 1 8, , A 1 8,
8 8
⎛ ⎞ ⎛− + + +
− +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
9. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho haøm soá
2
x 3x 2
y
x
− +
= .Tìm treân ñöôøng thaúng x = 1 nhöõng ñieåm M sao cho töø M keû ñöôïc 2 tieáp
tuyeán ñeán (C) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc nhau
Goïi M(1,m) .Ñöôøng thaúng (T) qua M coù heä soá goùc k daïng :x 1∈ = y k(x 1) m= − +
Töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau tôùi (C) khi heä
2
2
2
x 3x 2
k(x 1) m
x
x 2
k
x
⎧ − +
= − +⎪⎪
⎨
−⎪ =
⎪⎩
( I ) coù 2 nghieäm thoûa maõn1 1
2 2
(x ,k )
(x ,k )
⎧
⎨
⎩
1 2k .k 1= −
Töø ( I ) 2
(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒ + − + = ≠
Theo ycbt
2 2
1 2
2 2
1 2
m 2 0
' 4 2(m 2) 0
(x 2) (x 2)
. 1
x x
⎧
⎪
+ ≠⎪⎪
⇔ Δ = − + >⎨
⎪ − −⎪ = −
⎪⎩
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
m 2
m 0
(x x ) 2 (x x ) 2x x 4 (x x )
⎧ ≠ −
⎪⎪
⇔ <⎨
⎪
⎡ ⎤− + − + = −⎪ ⎣ ⎦⎩
2 2
2 m 0
2 4 4
2 4
m 2 m 2 m 2 m 2
− ≠ <⎧
⎪
⎡ ⎤⇔ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
2
2
+
2
2 m 02 m 0
m 3
m 6m 2 0 m 3 7
− ≠ <⎧− ≠ <⎧ ⎪
⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨
+ + = = − ±⎪⎩ ⎩
7− ±
Vaäy 1 2M (1, 3 7) , M (1, 3 7)− − − +
Cho haøm soá .Tìm taát caû caùc ñieåm treân truïc hoaønh maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng 3 tieáp tuyeán cuûa ñoà
thò (C) , trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.
3
y x 3x= + 2
Goïi M(m,0) laø ñieåm baát kyø treân truïc hoaønh
Ñöôøng thaúng (d) ñi qua M coù heä soá goùc laø k daïng : y k(x m)= −
(d) laø tieáp tuyeán (C) khi
3 2
2
x 3x k(x m)
(I)
3x 6x k
⎧ + = −
⎨
+ =⎩
Qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau khi ( I ) coù 3 giaù trò k
sao cho 2 trong 3 giaù trò ñoù tích baèng -1
Khi ñoù ( I ) 3 2 2 2
x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0⎡ ⎤⇔ + = + − ⇔ + − − =⎣ ⎦
2
x 0
2x 3(1 m)x 6m 0 (*)
=⎡
⇔ ⎢ + − − =⎣
Theo ycbt (*) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0
2 m 3
3m 10m 0
1
m 0m 0
3
< −⎡
⎧Δ = + + > ⎢⇔ ⇔⎨ ⎢− < ≠≠⎩
⎣
10. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Khi ñoù pt (*) coù 2 nghieäm vaø 1 2
1 2
2
x x (m 1
3
x x 3m
⎧
+ = −⎪
⎨
⎪ = −⎩
)
Khi qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) thì 2 2
1 1 1 2 2 2 3k 3x 6x ,k 3x 6x ,k 0= + = + =
Theo baøi toaùn : 2 2
1 2 1 1 2 2k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1= − ⇔ + + = −
1
m
27
⇒ = thoûa hoaëcm < −3
1
m 0
3
− < ≠
Vaäy
1
M ,0
27
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Cho haøm soá
2
2x x 1
y
x 1
− +
=
−
coù ñoà thò (C) . Tìm treân truïc hoaønh 4 ñieåm töø ñoù döïng ñöôïc tieáp tuyeán hôïp
vôùi Ox goùc 450
. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñoù
Tieáp tuyeán hôïp vôùi Ox goùc 450
laø tieáp tuyeán coù heä soá goùc k 1= ±
TH1: |
2
2
k y 1 2 1 x 1 2
(x 1)
= = ⇔ − = ⇒ = ±
−
1
2
(T ) : y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2
(T ): y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2
⎡⎡ ⎡ = + −= − = −
⇒ ⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢
= + += + = + ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣
TH2: |
2
2 2
k y 1 2 1 x 1
(x 1) 3
= = − ⇔ − = − ⇔ = ±
−
3
4
2 2
x 1 y 3 5
(T ): y x 4 2 63 3
(T ) : y x 4 2 62 2
x 1 y 3 5
3 3
⎡ ⎡
= − = −⎢ ⎢ ⎡ = − − −
⎢ ⎢⇒ ⇒ ⇒ ⎢
⎢ ⎢ = − + +⎢⎣= + = +⎢ ⎢
⎣ ⎣
Cho haøm soá coù ñoà thò (C)3 2
y x 3x 2= − +
1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù qua
23
A , 2
9
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
2.Tìm treân ñöôøng thaúng y = -2 caùc ñieåm töø ñoù coù theå keû ñeán ñoà thò (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc
1.Tieáp tuyeán (C) qua A :
23
y k x 2
9
⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ta coù :
3 2
2
23
x 3x 2 k x 2
9
3x 6x k
⎧ ⎛ ⎞
− + = − −⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎨
⎪ − =⎩
2
(x 2)(3x 10x 3) 0⇒ − − + =
x 2,k 0
x 3,k 9
1 5
x ,k
3 3
⎡
⎢ = =
⎢
⇔ = =⎢
⎢
= = −⎢
⎣
tieáp tuyeán⇒
(d) : y 2
(d) : y 9x 25
5 6
(d) : y x
3 2
⎡
⎢ = −
⎢
= −⎢
⎢
= − +⎢
⎣
1
7
11. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2.Goïi A(a,-2) y 2∈ = −
Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc laø k , coù phöông trình y k(x a) 2= − −
Ñieàu kieän (T) vaø (C) tieáp xuùc nhau laø:
3 2
2
2
x 3x 2 k(x a) 2
(x 2) 2x (3a 1)x 2 0
3x 6x k
⎧ − + = − −
⎡ ⎤⇒ − − − + =⎨ ⎣ ⎦− =⎩
2
1 2 1 2
x 2 ; k 0 y 2
3a 1
g(x) 2x (3a 1)x 2 0 coù x x ;x .x 1
2
= = ⇒ = −⎡
⎢⇔ −⎢ = − − + = + = =
⎣
Ñeå töø A döïng 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1
2
2 2
1 2 1 1 2 2
g
(2)
5
a 1 a0 (3a 1) 16 0 3
k .k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1 27a 55
g 0 a 2 a 2
⎧
< − ∨ >Δ > ⎪⎧ ⎧ − − >
⎪⎪ ⎪
⇔ = − ⇔ − − = − ⇔ =⎨ ⎨ ⎨
⎪ ⎪ ⎪≠ ≠ ≠⎩⎩ ⎪
⎩
55 55
a A ,
27 27
⎛ ⎞
⇔ = ⇒ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2Cho haøm soá . Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 töø ñoù döïng ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán
ñoà thò
3 2
y x 3x= − + −
Goïi A(a,2) y 2∈ =
Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc k coù phöông trình : y k(x a) 2= − + laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä :
coù nghieäm
3 2
2
x 3x 2 k(x a) 2
3x 6x k
⎧− + − = − +
⎨
− + =⎩
2
2
(x 2) 2x (3a 1)x 2 0 x 2 0
2x (3a 1)x 2 g(x) 0
⎡ ⎤⇒ − − − + = ⇔ − =⎡⎣ ⎦
⎢ − − + = =⎣
Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2 thoûa :
g
(2)
50 3(a 1)(3a 5) 0 a 1 a
3
g 0 a 2
a 2
⎧Δ >⎧ + − > < − ∨ >⎧⎪ ⎪
⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨
≠ ≠⎩⎪ ⎪⎩ ≠⎩
Vaäy
5
a 1 a a
3
< − ∨ > ∧ ≠ 2
Cho hoï ñöôøng cong
(m 1)x m
(Cm) : y ,m 0
x m
− +
=
−
≠ .Chöùng minh raèng (Cm) tieáp xuùc 1 ñöôøng thaúng coá
ñònh taïi 1 ñieåm coá ñònh khi m: thay ñoåi
Goïi (x0,y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua khi 0
0
0
(m 1)x m
y
x m
− +
=
−
0 0 0 0(x y 1)m x (y 1) 0 :⇔ + − − + = coù nghieäm m 0∀ ≠ ; 0x m≠
12. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
0 0 0 0
0 0 0 0
x y 1 0 x 0 x 2
x (y 1) 0 y 1 y 1
⎧+ − = = =⎧ ⎧⎪
⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨
+ = = = −⎪⎩ ⎩⎩
Ñieàu kieän ; neân A(0,1) thoûa baøi toaùnm 0∀ ≠ 0x m≠
Vaäy A(0,1) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua
Ta laïi coù
2 2
| |
2 2
(0)
m m
y y 1 ;
(x m) (0 m)
=
− −
= ⇒ = − ∀
− −
m 0≠
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi A laø |
A A(0)y y y (x x )− = −
y x 1⇔ = +
Cho haøm soá ,ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng thaúng y = -4 nhöõng ñieåm A maø töø ñoù coù theå
keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
3
y x 12x 12= − +
Goïi A(a,-4) y 4∈ = − (d) : y k(x a) 4⇒ = − −
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä
3
2
x 12x 12 k(x a) 4
3x 12 k
⎧ − + = − −
⎨
− =⎩
2
x 2
g(x) 2x (4 3a)x 8 6a 0
=⎡
⇔ ⎢ = + − + − =⎣
Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán phaân bieät g(x) 0⇔ = coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2
(2)
g
40 a 4 a
3
g 0 a 2
⎧ ⎧Δ > < − ∨ >⎪ ⎪
⇔ ⇒⎨ ⎨
≠⎪ ⎪ ≠⎩⎩
Vaäy nhöõng ñieåm
4
A(a, 4);a 4 a a 2
3
− < − ∨ > ∧ ≠ thoûa baøi toaùn
Cho haøm soá , coù ñoà thò laø (C)4 3
y x 4x 3= − +
1.Chöùng minh raèng toàn taïi moät tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät
2.Vieát phöông trình tieáp tuyeán thöù 2 vôùi ñoà thò song song vôùi tieáp tuyeán vöøa keå . Cho bieát hoaønh
ñoä tieáp ñieåm
3.Döïa vaøo caùc keát quaû treân , tuyø theo tham soá m , suy ra soá nghieäm phöông trình :
4 3
x 4x 8x m 0− + + =
1.Tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm cuûa (C) daïng y ax b= + (d)
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) laø: 4 3
x 4x 3 ax b− + = +
4 3
x 4x ax 3 b 0⇔ − − + − = (1)
Ñeå (d) tieáp xuùc (C) thì phaûi coù ñoàng thôøi 2 nghieäm keùp
4 3 2
x 4x ax 3 b (x ) (x )⇔ − − + − = − α −β 2
4 3 4 3 2 2 2
x 4x ax 3 b x 2( )x ( 4 )x 2 ( )x⇔ − − + − = − α +β + α +β + αβ − αβ α +β
13. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Ñoàng nhaát thöùc 2 veá
2 2
2 2
2 2
4 0
2 ( ) a a 8
3 b b 1
α +β = α +β =⎧ ⎧
⎪ ⎪α +β + αβ = αβ = −⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
αβ α +β = = −⎪ ⎪
⎪ ⎪α β = − = −⎩ ⎩
2
1tieáp tuyeán : y 8x 1 (d )
hoaønh ñoä tieáp ñieåm : 1 3 ; 1 3
= − −⎧⎪
⇒ ⎨
α = − β = +⎪⎩
2.Tieáp tuyeán song song y 8x= − −1
Ta coù | 3 2
y 8 4x 12x 8 x 1 y 0
x 1 3
x 1 3
= − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ =⎡
⎢
= −⎢
⎢ = +⎣
)Vaäy tieáp tuyeán thöù 2 coù phöông trình 2y 8x 8 (d= − +
3. 3 34 4
x 4x 8x m 0 x 4x 3 8x m− + + = ⇔ − + = − + 3
Laø phöong trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa 34
(C): y x 4x 3
(d):8x m 3
⎧ = − +
⎨
− +⎩
{ } { }
{ }
1
2
(d ) Oy 0, 1 , (d) Oy 0,3 m
(d ) Oy 0,8
∩ = − ∩ = −
∩ =
-m + 3 m Nghieäm phöông trình
+∞ m < -5 2 nghieäm
8 m = -5 3 nghieäm (coù 1 nghieäm keùp x = 1)
-5 < m < 4 4 nghieäm phaân bieät
-1 m = 4 2 nghieäm keùp x = 1 3±
−∞ m > 4 Voâ nghieäm
Cho haøm soá
2
(3m 1)x m m
y
x m
+ − +
=
+
, m 0≠ coù ñoà thò laø (Cm)
1.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc hoaønh , tieáp tuyeán seõ song song vôùi
ñöôøng thaúng y = x – 20 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy
2.CMR : (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh
3.Treân ñöôøng thaúng x = 1 , chæ ra taát caû caùc ñieåm maø khoâng coù ñöôøng naøo cuûa (Cm) ñi qua
1.
2
2
0 0
m m 1
(Cm) Ox :(3m 1)x m m 0 x ;m 0;m
3m 1 3
−
∩ + − + = ⇔ = ≠ ≠
+
−
Ta coù :
2 2
| |
02 2
4m (3m 1)
y y
(x m) 4m
+
= ⇒ =
+
Tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y = x – 10
2
|
0 2
(3m 1)
y 1
4m
+
1⇔ = ⇔ =
10 0
20 0
A( 1,0) , (T ) : y x 1m 1 , x 1 , y 0
3 31 3
B ,0 , (T ): y xm , x , y 0
5 55 5
− =⎡= − = − =⎡
⎢⎢⇔ ⇔ ⎛ ⎞⎢⎢
+
= −= − = = ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠⎣
14. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2.Goïi ñöôøng thaúng coá ñònh laø y = ax + b
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm :
2
(3m 1)x m m
ax b
x m
+ − +
= +
+
[ ]2 2
ax (a 3)m b 1 x m (b 1)m 0⇔ + − + − + + − =
ÑKTX :
[ ]2 2
a 0a 0
m
(a 10a 9)m 2 (a 3)(b 1) 2a(b 1) m (b 1) 00
≠⎧≠⎧
∀ ⇔⎨ ⎨
− + + − − − − + − =Δ =⎩ ⎩
2
1
2
a 1
(T ): y x 1
a 9
(T ): y 9x 1
b 1
⎧ =⎡
= +⎧⎪⎢⇔ ⇔=⎨ ⎨⎣
= +⎩⎪ =⎩
3.Goïi A(1,a) x 1∈ =
Ycbt :
2
3m 1 m m
A (Cm)Khi: a
1 m
+ − +
∉ =
+
voâ nghieäm m
2
m (a 4)m a 1⇔ + − + − = 0 voâ nghieäm m khi m 0Δ <
2
a 12a 20 0 2 a 10⇔ − + < ⇔ < <
Nhöõng ñieåm maø (Cm) khoâng qua laø A(1,a) ; 2 a 10< <
Cho ñöôøng cong ; ñoà thò (C)3
y 3x 4x= −
1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(1,3)
2.Tìm treân ñöôøng cong y = -9x + 8 nhöõng ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø chuùng
vuoâng goùc nhau
1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua M(1,3) vaø coù heä soá goùc laø k coù pt : y = k (x – 1) vaø coù x0 laø hoaønh ñoä tieáp
ñieåm , khi ñoù ta coù : 3
0 0 0 0
2
0
0
3x 4x k(x 1) 3 x 0 ; k 3 ; y 3x
3 12x k 3
x ; k 24 ; y 24x 27
2
⎧ − = − + ⇔ = = =⎧
⎪⎨
⎨− =⎩ = = − = − +⎪⎩
2.Goïi . Moïi ñöôøng thaúng qua A coù heä soá goùc laø k ñeàu coù phöông trình :A(a, 9a 8) y 9x 8− + ∈ = − +
y k(x a) 9a 8= − − + vaø x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm khi heä
3
0 0
2
0
3x 4x k(x a) 9a 8
3 12x k
⎧ − = − − +
⎨
− =⎩
coù nghieäm
0
2
0 0 0
0
2
0 0( )x
(x 1) 2x (2 3a)x 2 3a 0
x 1 ; k 9
f 2x (2 3a)x 2 3a
⎡ ⎤⇔ − − − + − =⎣ ⎦
= =⎡
⇔ ⎢ = − − + − =⎣ 0
Theo baøi toaùn ta coù = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät0
( )xf
2 2
(2 3a) 8(2 3a) 0 a a 2 (*)
3
⇔ − − − > ⇔ > ∨ < −
0
( )xf = 0 thoûa k1.k2 = -1
0
2 2
1 2
2 2 2
1 2 1 1 1 2 1 2 (x )
(3 12t )(3 12t ) 1
9 36 (t t ) 2t t 144t t 1 Vôùi t t laø 2 nghieäm cuûa f = 0
⇔ − − = −
⎡ ⎤⇔ − + − + = −⎣ ⎦
15. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Goïi (Cm) laø ñoà thò
2
x (1 2m)x m
y f (x)
x 1
+ − −
= =
−
. Haõy xaùc ñònh giaù trò m ñeå (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm vaø 2
tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi
Giaûi
2
2
x 2x m
y' f '(x)
(x 1)
+ +
= =
+
;
m
y x 2m ;(m 0)
x 1
= − + ≠
+
(Cm) caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ phöông trình : 2
x (1 2m)x m 0+ − − = (1) coù hai nghieäm
phaân bieät khaùc -1 ⇔
2
2
(1 2m) 4( m) 0
( 1) (1 2m)( 1) m 0
⎧Δ = − − − >⎪
⎨
− + − − − ≠⎪⎩
⎧
⎨ ñuùng.⇔
2
4m 1 0
m 0
+ >
≠⎩
≠Vaäy vôùi m thì (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät vôùi0 1 2( ,0), ( ,0)M x N x 1 2,x x laø 2 nghieäm cuûa
phöông trình (1). Khi ñoù ta coù : 1 2x x 2m 1+ = − vaø 1 2x x m= −
Tieáp tuyeán taïi M, N vuoâng goùc nhau ⇔ 1 2'( ) '( ) 1f x f x = −
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
2 22 2
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
2
x 2x m x 2x m
1
x 1 x 1
(x 2x m)(x 2x m) x 1 x 1
(x x ) 2x x (x x ) m(x x ) 2m(x x ) m 4x x (x x x x 1)
4m m(2m 1) 4m m
m(4m m 3) 0
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +
⎜ ⎟⎜ ⎟⇔ = −
⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
⇔ + + + + = − + +
⇔ + + + + + + + + = − + + +
⇔ + − − = −
⇔ + − =
2
m 0⇔ = (loaïi) V m 1 V= −
3
m
4
=
V1m = −
3
4
m =
Vaäy
Nhaän xeùt :
1) Neáu ko ñaët ñieàu kieän ñeå toàn taïi (Cm) laø haøm höõu tæ hoaëc khoâng noùi roõ (Cm) caét Ox coù hai
nghieäm khaùc maãu soá (nghóa laø ) thì aét haún ta nhaän m=0 laøm nghieäm thì keát quaû sai.
0m ≠
0m ≠
2) Thoâng thöôøng caùc em quen duøng Viet cho y' . Nhöng yeâu caàu baøi toaùn khoâng ñeà caäp y' ñeå
trong Viet cuûa phöông trình baäc hai.1 2'( ) '( ) 1f x f x = −
1/ Cho haøm soá coù ñoà thò (C) .Tìm phöông trình tieáp tuyeán tieáp xuùc (C) taïi hai ñieåm
phaân bieät , tính toaï ñoä tieáp ñieåm.
4 3 2
2 3y x x x= − − + 5
62/ Chöùng minh raèng coù 1 tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc (C) : 4 3 2
4 2 7y x x x x= + − + + taïi hai ñieåm phaân
bieät . Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm.
3/ Xaùc ñònh a, b ñeå (d) : y= ax+b tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong (C) : 4 3 2
6 26 3y x x x x= − + + + taïi hai ñieåm
phaân bieät. Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm
16. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
1/ Goïi (d) : y = ax + b.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) : 3x ≠ 4 3 2
2 3 5x x x ax b− − + = +
4 3 2
2 3 5x x x ax b⇔ − − + − − = 0
Phöông trình (1) phaûi coù 2 nghieäm keùp 1 2,x x phaân bieät.
(1) vieát laïi 4 3 2 2 2
1 22 3 5 ( ) ( )x x x ax b x x x x⇔ − − + − − = − − = 0
24 3 2 4 3 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 3 5 2( ) ( ) 2 2 ( )x x x ax b x x x x x x x x x x x x x x x x⎡ ⎤⇔ − − + − − = − + + + + − + +⎣ ⎦ = 0
Ñoàng nhaát thöùc hai veá ta ñöôïc:
1 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1 2
2( ) 2
( ) 2
2 ( )
5
x x
x x x x
x x x x a
x x b
+ =⎧
⎪
+ + = −⎪
⎨
+ =⎪
⎪ = −⎩
3
1 2
1 2
1
2
4
1
x x
x x
a
b
+ =⎧
⎪ = −⎪
⇔ ⎨
= −⎪
⎪ =⎩
⇒ tieáp tuyeán cuûa (C) taïi hai ñieåm phaân bieät (d): y= -4x+1. Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm phöông trình
: ⇔ x= -1 V x= 22
2 0x x− − =
Vaäy 2 tieáp ñieåm laø ; A (-1,5) ; B (2,-7)
2/ Töông töï y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18)
3/ Töông töï y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)
Cho (C) :
2
( 1) (5 2) 2 1
3
m x m x m
y
x
− − + + −
=
−
4
vaø (d) : y = 2mx + 2 .
1. Xaùc ñònh m ñeå (C) vaø (d) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B.
2. Goïi M laø giao ñieåm cuûa (d) vaø truïc Oy. Tính theo m toaï ñoä cuûa ñieåm N treân (d) thoaû maõn heä thöùc
NA MA
NB MB
= −
uuur uuur
uuur uuur .
3. Tìm quyõ tích ñieåm N khi m thay ñoåi.
1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d):
2
(m 1)x (5m 2)x 2m 14
x 3
− − + + −
−
=2mx+2; 3x ≠
2
( 1) (4 ) 8 2m x m x m⇔ + + − + − = 0 (1).
(d) caét (C) taïi hai ñieåm A, B phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân bieät
17. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
m 1 0
9m 32m 16 0
+ ≠⎧
⎨
Δ = − − >⎩
4
m V m >
9
m -1
⎧
< −⎪
⇔ ⎨
⎪ ≠⎩
4
2. A N A M
B N B M
x x x xNA MA
x x x xNB MB
⎛ ⎞− −
= − ⇔ = −⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
uuur uuur
uuur uuur
( ) 2A B N A B Nx x x x x x⇔ + = ⇔ = 4
2 2 2 8N Ny mx m= + = − ⇒ N (-4,2-8m).
3. Nx = -4 : x = -4 giôùi haïn bôûi:⇒ ( )N d∈
1
4
9
4
m
m
m
≠ −⎧
⎪
⎪⎡
< −⎨⎢
⎪⎢
⎪ >⎣⎩
2
1
8
2 9
8 4
2
4
8
y
y
y
−⎧
≠ −⎪
⎪
−⎪⎡
⇔ < −⎨⎢
⎪⎢
⎪ −⎢ >⎪⎢⎣⎩
10
30
50
9
y
y
y
≠⎧
⎪
< −⎪⎡⇔ ⎨⎢
⎪⎢ >
⎪⎣⎩
Quyõ tích ñieåm N laø phaàn ñöôøng x = -4 , öùng y< -30 V y >
50
9
vôùi 10y ≠
Cho haøm soá : ; (C) .Tìm caùc ñieåm thuoäc ñoà thò (C) maø qua ñoù keû ñöôïc moät vaø chæ moät
tieáp tuyeán tôùi ñoà thò (C).
3 2
3y x x= − + − 2
Goïi . Phöông trình ñöôøng thaúng (t) qua M coù heä soá goùc laø k coù daïng3 2
0 0 0 0 0 0( , ) ( ) 3 2M x y C y x x∈ → = − + −
0 0( )y k x x y= − +
(t) tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm :
3 2
0
2
3 2 ( )
3 6
0x x k x x
x x k
⎧ y− + − = − +⎪
⎨
− + =⎪⎩
vôùi 3 2
0 0 03 2y x x= − + −
2
0 0 0 0
0
2
0 0 0
0
2
0 0
0
0
0
( ) 2 (3 ) ( 3)
0
2 (3 ) ( 3) 0;(3)
(3) : 9( 1) 0, 1
3
V
2
x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x
x
x x x
⎡ ⎤⇔ − − + + + − =⎣ ⎦
− =⎡
⇔ ⎢
− + + + − =⎣
=⎡
⇔ ⎢
Δ = − > ∀ ≠⎣
=⎡
⎢⇔ −⎢ = =
⎣
0
2
0 00
2
0 0 0
3 6
3 3 3
3 6
2 2 2
k x xx x
x x x
x k
⎡ = − +=⎡
⎢⎢⇔ ⇒− − −⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ = = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
Vaäy qua 0 0 0( , ) ( )M x y C∈ coù 2 tieáp tuyeán vôùi tieáp ñieåm 0
0
3
,
2
x
x x x
−
= = . Muoán coù 1 vaø chæ 1 tieáp tuyeán
vôùi (C) , ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø 2 tieáp ñieåm phaûi truøng nhau 0
0 0
3
1, 0
2
x
x x 0y
−
⇔ = ⇔ = = . Khi ñoù heä soá
goùc cuûa tieáp tuyeán laø k = 3.
18. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
Keát luaän : Vaäy coù tieáp tuyeán duy nhaát cuûa (C) laø : y=3(x -1) vôùi tieáp ñieåm 0 (1,0)M
Cho ñöôøng cong 3
3y x x= − + + tìm caùc ñieåm treân truïc hoaønh sao cho töø ñoù veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi
ñöôøng cong
Goïi 0( ,0)M x ∈Ox : Ñöôøng thaúng qua M coù daïng 0( )y k x x= − ;(t)
(t) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm:
3 2
0 2
0 02
3 2 ( )
( 1) 2 (3 2) 3 2 0;(1
3 6
x x k x x
x x x x x
x x k
⎧− + − = −⎪
⎡ ⎤⇔ + − + + + =⎨ ⎣ ⎦
− + =⎪⎩
)
Qua veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong khi : (1) coù 3 nghieäm phaân bieät0( ,0)M x
2
0 0 2
0 0
( 1) 0
0 0 0
(3 2) 8(3 2) 0
; ( ) 2 (3 2) 3 2
6 6 0
2
1; 1 ; 2
3
x x
f x x x x x
f x
x x x
−
⎧Δ = + − + >⎪
⇔ = −⎨
= + >⎪⎩
⇔ < − < < − >
+ + +
Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa 2
2y x x= − ; 3
2 4y x x= + −
Goïi y= ax+b laø tieáp tuyeán chung vaø giaû söû 1 2,x x laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm. Vôùi 2
2y x= − x
4
vaø
3
2y x x= + − . Khi heä sau coù nghieäm
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 2 2
1 2 13
2 2 2
2
2
3 2 2
2
2 2 2 2
2 ;(1) 2 (2 2)
2 2 ;(2) 3 4
2 3 2
22 4 ;(3)
(3 4)3 2 ;(4) 2 4 (3 2)
4
x x ax b b x x x x x
x a x
x x x
x x ax b
xx a x x x x
⎧
⎧ − = + ⎪ = − − − = −
⎪ ⎪
− = +⎪ ⎪
⇒ − = + ⇒ =⎨ ⎨
+ − = +⎪ ⎪
⎪ ⎪ ++ =⎩ + − = + −⎪
⎩
4 3
2 2 2
2
22
2
2
1
2
1
9 8 24 0
03 2
23 4
42
x x x
xa x
ax
x
b
b x
⎧ − + =
⎪
=⎧= +⎪
⎪ ⎪
⇔ ⇒ = 2 4y x⇒ = −⎨ ⎨+
=⎪ ⎪ = −⎩⎪
⎪ = −⎩
Cho haøm soá
2
2
x
y
x
+
=
−
.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñi qua A (-6,5)
Phöông trình ñöôøng thaúng qua A (-6,5) coù heä soá goùc laø k : ( 6)y k x 5= + + , (d)
(d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)
19. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2 2
4 4
1 ( 6) 5 1 ( 2) 8
2 2
4 4
( 2) ( 2)
k x k x k
x x
k k
x x
⎧ ⎧
+ = + + + = − + +⎪ ⎪− −⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
⎪ ⎪− = − =
− −⎪ ⎪⎩ ⎩
5
2
2
4 4
1 8 5 2
2 12 2
2
4
(2 1)
( 2)
k
kx x
x
k k k
x
⎧
+ = − + + ⎧⎪ = +− −⎪ ⎪
⇔ ⇔ −⎨ ⎨
⎪ ⎪− = − + =⎩−⎪⎩
1
1
4
k
k
= −⎡
⎢⇔
⎢ = −
⎣
vôùi k = -1 :y= -x -1 vôùi
1
4
k = − :
1 7
4 2
y x= − +
Cho haøm soá
2
4 3
4
mx x
y
x m
+ −
=
+
.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0
vuoâng goùc vôùi tieäm caän.
• Tieäm caän ñöùng : .4 0x m+ =
• Tieäm caän xieân :
3 7
.
4 16
y x= − + m
• y' =
2 2
12 6 16
(4 )2
x mx m
x m
− + −
+
Heä soá goùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi 0 0x = laø
2
(0) 2
16
'
m
y k
m
−
= =
tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi TCÑ thì k = 0
2
2
16
0 4
m
m
m
−
⇔ = ⇔ = ±
TCX
3
1
4
k⇔ − = − voâ nghieäm.
⇒ tieáp tuyeán taïi x = 0 chæ vuoâng goùc TCÑ khi 4m = ±
Cho haøm soá
3
( ) :
4
mx
Hm y
x m
−
=
+ −
1/ Ñònh m nguyeân ñeå haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh
2/ Vôùi m= 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân (H) maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (H) laäp vôùi Ox 1 goùc döông . Vieát
phöông trình tieáp tuyeán.
0
135
1/
2
2
4
'
( 4
m m
y
x m
− +
=
+ −
3
)
. Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh 2
' 0 4 3 0y m m⇔ < ⇔ − + <
1 3
2
:
m
m
gt m
< < ⎫
⇔ ⇒⎬
∈Ζ⎭
=
2/ m=2 ⇒
2 3
2
x
y
x
−
=
−
.
20. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Goïi 0
0 0 0
0
2 3
( , ) ( )
2
x
M x y H y
x
−
∈ ⇒ =
−
0 2
0 2
00
0
0 0 1
0 0 2
1
' 1
( 2) 1
( 2)
' tan135 1
3; 3 (1,1)
1; 1 (3,3)
y
x
x
k y
x y M
x y M
⎫
= − ⎪− ⇒ =⎬
−⎪= = = − ⎭
= =⎡ ⎡
⇒ →⎢ ⎢= = ⎣⎣
phöông trình tieáp tuyeán taïi 1
2
: 2
: 6
M y x
M y x
= − +
= − +
Cho haøm soá
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
−
1/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 3 ñieåm M keû ñöôïc ñeán (C) chæ 1 tieáp tuyeán // Ox
2/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 4 ñieåm sao töø ñieåm ñoù coù theå keû ñeán (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi
nhau 1 goùc 0
45
ÑS: 1/ 1 2 3(1,7), (2,7), (3,7)M M M
2/ 1 2( 3 2 6); (5 2 2)M M− ± ±
Cho haøm soá
2
2
x mx m
y
x
+ +
=
+
; ñoà thò (Cm) ; m tham soá .Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi hai
ñieåm phaân bieät vaø tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm ñoù vuoâng goùc vôùi nhau.
Ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät khi phöông trình :
2
0
2
x mx m
x
+ +
=
+
coù hai nghieäm phaân
bieät khi 2
x mx m+ + =0 coù 2 nghieäm phaân bieät
2
4 0
2
4 2 0
x m
x
m m
⎧Δ = − >
≠ − ⇔ ⎨
− + ≠⎩
0
4
m
m
<⎡
⇔ ⎢ >⎣
. Vaäy vôùi m< 0 V m > 4 thì ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B coù hoaønh
ñoä ,A Bx x laø nghieäm cuûa phöông trình : 2
x mx m+ + = 0.
Hai tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc vôùi nhau . ( ) ( )' 'A By y 1⇔ = −
[ ]
2 2
2 2
2
4 4
1
( 2) ( 2)
(4 ) 2( ) 4 0,(1)
A A B B
A B
A B A B A B
x x m x x m
x x
m x x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +
⇔ =⎜ ⎟⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
⇔ − + + + + =
−
Vôùi
A B
A B
x x m
x x m
=⎧
⎨
+ = −⎩
thì (1) 2 2
(4 ) (4 ) 0m m m⇔ − + − =
m= 4 (loai) vì m >4
1
m= -1 ( nhân) vì m< 0
m
⎡
⇔ = −⎢
⎣
Cho haøm soá coù ñoà thò laø (Cm). Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) : y= -x+1 caét (Cm) taïi 3 ñieåm
phaân bieät A (0,1) , B,C sao cho caùc tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa (Cm) vuoâng goùc
3 2
1y x mx= + +
21. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
f m⇔ Δ = − >
Ta coù : . Ñeå (d) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät thì f(x) = 0
buoäc coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0
3 2
2
( )
0
1 1
1 0x
x
x mx x
f x mx
=⎡
+ + = − + ⇔ ⎢
= + + =⎢⎣
2
' 4 0 ⇔ m< -2 V m > 2
vaø 1 2,x x laø hoaønh ñoä cuûa B vaø C thoaû :
1 2
1 2
( )
1
x x m
I
x x
+ =⎧
⎨
=⎩
Ta coù heä soá goùc tieáp tuyeán taïi B laø : 1
2
1 ( ) 1 1' (3 2xk y x mx= = + )
)heä soá goùc tieáp tuyeán tai C laø : 2
2
2 ( ) 2 2' (3 2xk y x mx= = +
Ñeå 2 tieáp tuyeán taïi B vaø C vuoâng goùc thì: 1 2 1k k = −
2
1 2 1 2 1 29 6 ( ) 4 1;( )x x x x m x x m II⎡ ⎤⇔ + + + = −⎣ ⎦
Töø (I) vaø (II) 2
5m m⇒ = ⇒ = ± 5 thoaû m< -2 Vm> 2.
Vaäy 5m = ± thoaû baøi toaùn.
Cho ñöôøng cong (Cm) : 3 2
y x mx m= − + − vaø ñöôøng thaúng : y= k(x+1)+1 . Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m
ñeå caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät . Tìm k ñeå caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.
( )kd
( )kd ( )kd
( )kd : y=k(x+ 1)+1 luoân qua A(-1,1) neân ( coù ñieåm chung (Cm) laø A. Phöông trình hoaønh ñoä giao
ñieåm cuûa ( vaø (Cm) :
)kd
)kd 3 2
x mx m− + − = k(x+1)+1
2
2
( 1) (1 ) 1 0
1
( ) (1 ) 1 0
x x m x m k
x
g x x m x m k
⎡ ⎤⇔ + − + + + + =⎣ ⎦
=⎡
⇔ ⎢
= − + + + + =⎣
Ñeå ( caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät khi g(x)= 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc -1)kd
2
( 1)
10 ( 2
4
0
2 3
g k m m
g
k m−
⎧Δ >⎧ < − −⎪ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
≠⎪ ⎪⎩ ≠ − −⎩
3)
Do qua A (-1,1) ∈ (Cm) neân ( caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau thì qua ñieåm uoán
I
( )kd )kd ( )kd
32
,
3 27
m
m m
⎛
− +⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ cuûa (Cm) khi ñoù toaï ñoä I thoaû :( )kd 32
1
27 3
m
m m k
⎛ ⎞
− + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
4 2(
27( 1) 2
m m
k
m m
+
⇒ = −
+ +
1)
Xeùt haøm soá
2
3
1
x x a
y
x
+ +
=
+
, a laø tham soá .
1/ Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò khi : a= 3 ; ( ) ( )HS C= , TCX x=1, x= 5 hoaëc ( ) ( )HS C= , TCX x= -3, x= -2 .
2/ Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa tham soá a thì ñoà thò cuûa haøm soá treân coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng
phaân giaùc thöù nhaát cuûa heä truïc toaï ñoä ? CMR khi ñoù ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu .
22. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
2
2
2 3
'
( 1)
x x a
y
x
+ + −
=
+
; 1x ≠ tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc , goùc phaàn tö thöù nhaát y=x laø ñöôøng
thaúng coù phöông trình : y= -x +m. (t). vôùi (t) laø tieáp tuyeán cuûa(C) khi heä sau coùnghieäm
2
2
2
3
,(1)
1
2 3
1,(2)
( 1)
x x a
x m
x
x x a
x
⎧ + +
= − +⎪ +⎪
⎨
+ + −⎪ = −
⎪ +⎩
(1) coù nghieäm coù nghieäm2
1 3 ( )(x x x a x m x≠ ⇔ + + = − + +1) 1x ≠ −
2
2
( 1)
2
(4 ) 4.2( ) 0
2( 1) (4 )( 1) 0
8 16
2
m x m
g m a
m a
a
−
⎧ − − − ≥⎪
⇔ ⎨
= − + + − + − ≠⎪⎩
⎧ ≥ +
⇔ ⎨
≠⎩
m
2
1)(2) coù nghieäm . Coù nghieäm2
1 2 3 (x x x a x≠ − ⇔ + + − = − + 1x ≠ − .
2
2( 1) 2x a⇔ + = − coù nghieäm 1x ≠ −
2
( 1)
2 0 2
2
2( 1 1) 2 2
a a
a
h a a−
− ≥⎧ ≥⎧⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
= − + ≠ − ≠⎪ ⎩⎩
⇔ >
Ñieàu kieän chung cuûa heä (1),(2) ñeå coù nghieäm 1x ≠ − laø :
2
8 1
2
c a
a
⎧ ≥ −
⎨
>⎩
6
Vôùi a > 2 , y'= 0
2
2
2 3
0
( 1)
x x a
x
+ + −
⇔ =
+
2
2 3 0; '
1
x x a a
x
⎧ + + − = Δ = −
⇔ ⎨
≠ −⎩
2
0
3
y'= 0 coù , do ñoù coù 2 nghieäm phaân bieät , neân ñoåi daáu 2 laàn qua nghieäm . Haøm soá coù cöïc ñaïi ,
cöïc tieåu.
' 2aΔ = − >
Coù theå kieåm nghieäm vôùi choïn2
3 8a C= ⇒ ≥ 2
9C C= ⇒ = ± . Khi ñoù coù 2 tieáp tuyeán :
y = -x – 3 ; y = -x + 3 . Laàn löôït tieáp xuùc vôùi (C) taïi 1 2
5 4 1 10
, ; ,
3 3 3 3
M M
⎛ ⎞ ⎛
− − −⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
Cho haøm soá : y = x + 1+
4
1x −
; coù ñoà thò laø (C)
Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm trong maët phaúng töø ñoù döïng ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) vaø 2 tieáp tuyeán naøy
vuoâng goùc vôùi nhau .
Goïi M(x0 , y0) laø ñieåm baát kì thuoäc maët phaúng ; x0 ≠ 1
Ñöôøng thaúng qua M, coù heä soá goùc la k daïng : y = k( x – x0) + y0 ; (d)
Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) laø:
k(x- x0) + y0 = x + 1 +
4
1x −
<=> (k – 1)x2
– ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – 3 = 0 (*)
23. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Ñeå (d) tieáp xuùc (C) khi (*) coù nghieäm keùp
<=> <=>
1 0
0
k − ≠⎧
⎨
Δ =⎩
2 2 2
0 0 0 0
1
( ) ( 1) ( 2 5) ( 2) 16 0
k
g k x k x y k y
≠⎧
⎨
= − + + + + − − =⎩
Ñeå töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc thì g(k) = 0 phaûi coù 2 nghieäm phaân bieät k1, k2 sao cho k1k2 = -1
vaø k 1≠
<=>
2
0
2
0
2
0
( 2) 16
1
( 1)
(1) 0
( 1) 0
y
x
g
x
⎧ − −
= −⎪
−⎪
⎪
≠⎨
⎪ − ≠⎪
⎪⎩
<=>
2 2
0 0
0 0 0
( 1) ( 2) 16
1 6
x y
x y y
⎧ − + − =⎪
⎨
≠ => ≠ ∨ ≠ −⎪⎩ 2
Vaäy quyõ tích nhöõng ñieåm M töø ñoù keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc ñeán ñoà thò (C) laø ñöôøng troøn taâm I(1,2)
, baùn kính R = 4 coù phöông trình : (x -1)2
+ (y – 2)2
= 16 tröø ñi 2 ñieåm : (1,-2) vaø (1, 6)
Cho haøm soá y = x3
+3x2
+mx +1 ; coù ñoà thò laø (Cm)
1. Chöùng minh raèng vôùi moïi m thì (Cm) luoân caét ñoà thò (C) : y = x3
+ 2x2
+ 7 taïi hai ñieåm phaân bieät
A vaø B . Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa AB
2. Xaùc ñònh m ñeå (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi 3 ñieåm phaân bieät C(0,1); D vaø E . Tìm m ñeå caùc
tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi D vaø E vuoâng goùc vôùi nhau
3. Tìm a ñeå moïi x : f(x) = (x -2)2
+ 2 ≥x a− 3
1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (C) laø :
x3
+ 3x2
+ mx +1 = x3
+ 2x2
+7 <=> f(x) = x2
+mx – 6 = 0
f(x) = 0 luoân coù 2nghieäm phaân bieät (Vì 2
24f mΔ = + >
7 7
0) A,B thoûa
A(x1, ) ; B( x3 2
1 12x x+ + 2 , ) ; vôùi x3 2
2 22x x+ + 1, x2 laø nghieämsoá cuûaf(x) = 0 coù x1 + x2 = -m
Goïi I laø toïa ñoä trung ñieåm cuûa AB thì :
I
1 2
3 3
2 2 21 2 1 2
1 2
2 2
18
( ) 7
2 2 2
I
I
x x m
x
y y x x m m
y x x
+ −⎧
= =⎪⎪
⎨
+ + − −⎪ = = + + + = + +
⎪⎩
19m
<=> 3
2
2
( 2 ) 18( 2 )
( 2 ) 19
2
I
I I
I I
m x
x x
y x
= −⎧
⎪
⎨ =>y− − − −
= + − +⎪
⎩
I = 3 2
4 4 18 19I I Ix x x+ + +
Vaäy quyõ tích trung ñieåm I laø ñöôøng cong : y = 4x3
+ 4x2
+18x +9
2. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø y = 1 laø :
x3
+ 3x2
+mx + 1 = 1 <=> x(x2
+ 3x + m) = 0
<=>
⎡
⎢ 2
0
( ) 3 0(2)
x
g x x x m
=
= + + =⎣
24. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Ñeå (Cm) caét y = 1 taïi 3 ñieåm C(0,1) ; D vaø E khi (2) coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 0 <=>
9 4 0 9
0
0 4
m
m
m
− >⎧
<=> ≠ <⎨
≠⎩
Khi ñoù goïi xD , xE laø hoaønh ñoä cuûa D,E ta coù :
3
.
D E
D E
x x
x x m
+ = −⎧
⎨
=⎩
Tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi D, E vuoâng goùc khi ( ) ( )' . 'D Ex xy y 1= −
2 2
2 2 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1
. [( ) 2 ]
D D E E
D E D E D E
x x m x x m
x x m x x x x m
⇔ + + + + = −
⇔ − + − + = 1−
<=> 4m2
– 9m + 1 = 0 <=>
9 65 9
;0
8 4
m m
±
= ≠ <
Vaäy
9 65
8
m
±
=
3. f(x) = (x – 2)2
+ 2 x a− ≥ 3, ñaët g(x) = (x -2)2
+ 2 3x a− −
ta caàn chöùng minh f(x) ≥ <=> min g(x) ≥ ;3 0 x∀
* Neáu x – a <=> x ≥ ; khiñoù g(x) = (x – 2)0≥ m 2
+2(x – a) – 3 coù:
g’(x) = 2x - 2 ; g’(x) = 0 <=> x = 1
x a 1 +∞
g’(x) - 0 +
g(x
-2a
x a =>a≤ 1 => min g(x) = -2a >0 <=> a≥ ≤ 0
*Neáu x – a ≤ 0; g(x) = (x – 2)2
- 2 ; g’(x) = 2x – 63x a− −
g’(x) =0 <=> x = 3
x −∞ 3 a +∞
g’(x) - 0 +
g(x)
2a – 8
x≤ a => a ≥ 3 =>min g(x) = 2a – 8 0 => a≥ 4≥
Vaäy a a0 4≤ ∨ ≥