Chde cuctri-tieptuyen

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
Cho
(m 1)x m
(Cm) : y
x m
− +
=
−
. Ñònh m ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm treân (Cm) coù hoaønh ñoä x0 = 4 thì
song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù 2 cuûa goùc heä truïc.
y|
= =|
mf (x)
2
2
m
(x m)
−
−
Ñeå tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi ñieåm vôùi ñöôøng phaân giaùc 2( ) : y xΔ = − , ta phaûi coù:
2
| 2
m 2
m
f 1 1 m (4 m) m
(4 m)
−
= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =
−
2
2
Cho
2
(3m 1)x m m
(C) : y ,m 0.
x m
+ − +
=
+
≠ Tìm m ñeå tieáp tuyeán vôùi (C) taïi giao ñieåm vôùi truïc hoaønh
song song y = x. Vieát phöông trình tieáp tuyeán.
Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh
2
0
m m 1
x , m 0,
3m 1 3
− ⎧ ⎫
= ∉⎨ ⎬
+ ⎩ ⎭
,1−
2
|
2
4m
y
(x m)
=
+
Tieáp tuyeán taïi ñieåm (C) coù hoaønh ñoä // y = x
2
2 2
0 0 02
0
4m
1 4m (x m) x m x 3m
(x m)
= ⇔ = + ⇔ = ∨ = −
+
2
2
m m
m 1m
3m 1
1
mm m
3m 5
3m 1
⎡ −
= −= ⎡⎢
+ ⎢⎢⇔ ⇔
⎢ = −−⎢
− = ⎣⎢⎣ +
• tieáp tuyeán taïi (-1,0) coù pt : y = x + 1m = −1
•
1
m
5
= − tieáp tuyeán taïi
3
,0
5
⎛
⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ coù pt :
3
y x
5
= −
Cho
m
(C) : y x 1
x 1
= − +
+
.Tìm m ñeå coù ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vuoâng goùc nhau
Goïi laø ñieåm caàn tìm laø ñöôøng thaúng (d) qua M0 0 0M (x ,y ) 0y k(x x ) y⇒ = − + 0 0
(d) laø t2
0 0 0
2
0
m
x 1 k(x x ) y kx k k kx y
x 1
1
1 k
(x 1)
⎧
− + = − + = + − − +⎪ +⎪
⇔ ⎨
⎪ − =
+⎪⎩
0
0 0
m
x 1 k(x 1) (1 x )k y
x 1
1
x 1 k(x 1)
x 1
⎧
− + = + − + +⎪⎪ +⇔ ⎨
⎪ + − = +
⎪⎩ +

0 0
2
m 1
x 1 x 1 (1 x )k y
x 1 x 1
1
1 k
(x 1)
⎧
− + = + − − − +⎪ + +⎪
⇔ ⎨
⎪ = −
⎪ +⎩
[ ]
00 0
02
22 2
0 0
m 1 y 2y 2 (x 1)k kx 1 x 1
m 1
(1 k)(m 1) y 2 (x 1)k (1 k)(m 1)
x 1
+⎧ +⎧= + − +⎪ ≠+ ⎪⎪ +⇔ ⇔⎨ ⎨
+⎛ ⎞⎪ ⎪= − + + − + = − +⎜ ⎟ ⎩⎪ +⎝ ⎠⎩
0
0
2 2 2
0 0 0 0 0 0
y 2
k
x 1
(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)
+⎧
≠⎪
+⇔ ⎨
⎪ + + − − − − + + − =⎩
Töø M0 keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc nhau pt (*)⇔ coù 2 nghieäm thoûa k1k2 = -1 vaø khaùc 0
0
y 2
x 1
+
+
0
0
2 2
0 0
y 2
k
x 1 m 0
(x 1) (y 2) 4m
+⎧
≠⎪
+⇔ ⇒⎨
⎪ + + + =⎩
>
Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò
x 1
y
x 3
+
=
−
vôùi truïc hoaønh , bieát raèng tieáp tuyeán ñoù
vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006
|
2
4
y ,
(x 3)
= − ∀ ≠
−
x 3
Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 2006 , khi ñoù (T) coù heä soá goùc laø KT = -1
. Goïi (x0,y0) laø tieáp ñieåm cuûa (d) vaø (C) , ta coù 0|
2
00
T
x 54
K y 1
x 1(x 3)
=⎡
= ⇔ − = − ⇒ ⎢ =− ⎣
• 0 0 1x 1 y 1 (T ): y x= ⇒ = − ⇒ = −
• 0 0 2x 5 y 3 (T ) : y x= ⇒ = ⇒ = − + 8
{ } { }1 2(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩ = ∩ =
Cho haøm soá
x 2
y f(x)
x 1
+
= =
−
; goïi ñoà thò haøm soá laø (C) , vaø A(0,a).Xaùc ñònh a ñeå töø A keû ñöôïc 2 tieáp
tuyeán ñeán (C) sao cho 2 tieáp tuyeán töông öùng naèm veà 2 phía ñoái vôùi truïc Ox
Phöông trình tieáp tuyeán (T) vôùi (C) taïi 00 0 0 0 0
|
(x )M (x ,y ) : y y f (x x )− = −
0 0
0 02 2
0 0 0 0
x 2 x 23 3
y (x x ) ; A(0,a) (T): a
x 1 (x 1) x 1 (x 1)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +
⇔ − = − − ∈ − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( x )
00
22
0 00 0 0(x )
x 1x 1 0
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0(a 1)x 2(a 2)x a 2 0
≠⎧− ≠⎧ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨ = − − + + + =− − + + + =⎩ ⎪⎩

Qua A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán khi
0(x )g 0= coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 1
vaø | 2
2
g
a 1 0
(a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1
g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0
⎧ − ≠
⎪
Δ = + − + − > ⇔ − < ≠⎨
⎪
= − − + + + ≠⎩
Khi ñoù goïi laø 2 tieáp ñieåm naèm veà 2 phía Ox1 1 1 2 2 2M (x ,y ),M (x ,y )
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
x 2 x 2 x x 2(x x ) 4
y y 0 0 0 (1)
x 1 x 1 x x (x x ) 1
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + +
⇔ < ⇔ < ⇔ <⎜ ⎟⎜ ⎟
− − − + +⎝ ⎠⎝ ⎠
Trong ñoù x1,x2 laø nghieäm cuûa coù0g(x ) 0=
1 2
1 2
2(a 2)
x x
a 1
a 2
x x
a 1
+⎧
+ =⎪⎪ −
⎨
+⎪ =
⎪⎩ −
(1)
a 2 4(a 2) 4(a 1) 9a 6
0 0
a 2 2(a 2) a 1 3
+ + + + − +
⇔ < ⇔
+ − + + − −
<
2
0 a 2
a 13
3
Ñk 2 a 1
⎫
⇔ ⇔ > − ⎪
⇒ − < ≠⎬
⎪− < ≠ ⎭
Cho haøm soá coù ñoà thò (C) . Tìm ñieåm M thuoäc ñoà thò (C) sao cho tieáp tuyeán cuûa
(C) taïi M ñi qua goác toaï ñoä
3 2
y 2x 3x 12x 1= + − −
Ta coù | 2
0 0y 6x 6x 12 , M(x ,y )= + − ⇒ tieáp tuyeán taïi M (C)∈
| 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 00(x )y y (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)= − + = + − − + + − −
(T) qua goác toaï ñoä O(0,0) 3 2 2
0 0 0 0 0: 4x 3x 1 0 (x 1)(4x x 1) 0+ + = ⇔ + − + =
0 0x 1 y 12 M( 1,1⇔ = − ⇒ = ⇒ − 2)
Cho haøm soá 31
y x x
3 3
= − +
2
coù ñoà thò (C) . Tìm treân ñoà thò (C) ñieåm maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)
vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng
1 2
y x
3 3
= − +
Goïi 3
0 0 0
1
A x , x x
3 3
⎛
− +⎜
⎝ ⎠
2 ⎞
⎟ laø ñieåm baát kyø thoäc (C) .
Tieáp tuyeán (T) vôùi (C) coù heä soá goùc 2
00
|
(x )k y (x 1) (1)= = −
Do (T) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng
1 2
y x
3 3
= − + k 3⇒ =
Khi ñoù 2
0 0x 1 3 x 2− = ⇔ = ±
Vaäy 1 2
4
A 2, ,A ( 2,0)
3
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠

Cho haøm soá
2
x 3x 6
y
x 1
− +
=
−
, ñoà thò (C) . Töø goác toaï ñoä coù theå keû ñöôïc bao nheâu tieáp tuyeán ñeán haøm soá
(C) , tìm toaï ñoä tieáp ñieåm
Goïi (T) laø tieáp tuyeán cuûa (C)
QuaO
Heä soá goùc k
⎧
⎨
⎩
(T) : y kx⇔ =
2
2
2
x 3x 6
kx
x 1
x 2x 3
k
(x 1)
⎧ − +
=⎪
−⎪
⇔ ⎨
− −⎪ =
⎪ −⎩
coù nghieäm
2 2
(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x
x 1
⎧ − − + = − −
⇔ ⎨
≠⎩
2
x 6x 3 0
x 3 6
x 1
⎧ − + =
⇔ ⇔ =⎨
≠⎩
±
Vaäy töø O keû ñöôïc ñuùng 2 tieáp tuyeán ñeán (C)
1
2
M (3 6,3 6 3)x 3 6 y 3 6 3
M (3 6, 3 6 3x 3 6 y 3 6 3
⎡⎡ ⎡ = + −= + = −
⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢
= − − −= − = − − ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣ )
Cho haøm soá 3 2
y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)= − − − + + −
1.Tìm m ñeå (Cm) ñaït cöïc ñaïi taïi x = -1
2.Khi m = 1 , tìm treân ñöôøng thaúng y = 2 nhöõng ñieåm töø ñoù coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
1.m =1
2. 3
(C): y x 3x ; A(a,2) (d): y 2 (d): y k(x a) 2= − ∈ = ⇒ = − +
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä
3
2
x 3x k(x a) 2
3x 3 k
⎧ − = − +
⎨
− =⎩
2
x 1
f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0
= −⎡
⇔ ⎢ = − + + + =⎣
Qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) coù 2 nghieäm khaùc 1f(x) 0⇔ =
f
( 1)
0
f 0−
Δ >⎧
⇔ ⎨
≠⎩
2
(3a 2) 8(3a 2) 0 a a
3
2 3a 2 3a 2 0
a 1
⎧
+ − + > 2< − ∨ >⎧ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
+ + + + ≠⎩ ⎪ ≠ −⎩
Vaäy ñieåm caàn tìm laø A(a,2) ;
2
a a 2 a
3
< − ∨ > ∧ ≠ −1
1Cho haøm soá , ñoà thò (C). Tìm taát caû caùc ñieåm thuoäc truïc tung sao cho töø ñoù coù theå keû
ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
4 2
y x 2x= − + −
Goïi A(0,a) , (d) laø ñöôøng thaúng qua A daïngOy∈ : y kx a= +
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä :
4 2
4 2
3
x 2x 1 kx a
3x 2x 1 a 0 (1)
4x 4x k
⎧− + − = +
⇔ − − − =⎨
− + =⎩
Töø A coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi (1) phaûi coù 3 nghieäm

1 a 0 a 1⇔ − − = ⇔ = − . Khi ñoù 4 2 2
3x 2x 0 x 0 x
3
− = ⇔ = ∨ = ±
Vaäy toaï ñoä ñieåm caàn tìm laø A(0,-1)
Cho haøm soá ; ñoà thò (C)3 2
y x 3x 2= − +
1.Qua A(1,0) coù theå keû ñöôïc maáy tieáp tuyeán vôùi (C) . Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy
2.CMR khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc cuûa (C) song song vôùi tieáp tuyeán qua A cuûa (C) noùi treân
1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua A(1,0) coù heä soá goùc k daïng y k(x 1)= − laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä
3 2
2
x 3x 2 k(x 1
3x 6x k
⎧ − + = −
⎨
− =⎩
)
3
b
coù nghieäm 3
(x 1) 0 x 1 k 3⇔ − = ⇒ = ⇒ = −
Vaäy coù 1 tieáp tuyeán (d) : keû ñeán (C)y 3x= − +
2.Goïi (T) laø tieáp tuyeán khaùc cuûa (C) song song tieáp tuyeán taïi A daïng y 3x= − +
Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm heä :
3 2
2
x 3x 2 3x b
3x 6 3
⎧ − + = − +
⎨
− = −⎩
3 2
b x 3x 2
b 3 (T): y 3x 3
x 1
⎧ = − +
⇔ ⇒ = ⇒ = −⎨
=⎩
+
(T) (d)≡ vaäy khoâng coù tieáp tuyeán naøo khaùc song song vôùi tieáp tuyeán taïi A
Cho haøm soá
4
2x
y 3x
2 2
= − +
5
a
, coù ñoà thò (C)
1.Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä Mx = .CMR hoaønh ñoä caùc giao ñieåm cuûa
tieáp tuyeán (d) vôùi ñoà thò laø nghieäm cuûa phöông trình 2 2 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0− + + − =
2.Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå tieáp tuyeán (d) caét ñoà thò taïi 2 ñieåm P,Q khaùc nhau vaø khaùc M.Tìm
quõy tích trung ñieåm K cuûa ñoaïn thaúng PQ
1.Goïi
4 4
2 2
(a)
|
(a)
a 5 a 5
M a, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)
2 2 2 2
⎛ ⎞
− + ∈ ⇒ = − + ⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
Tieáp tuyeán taïi M coù phöông trình 2 4 23 5
y 2a(a 3)x a 3a
2 2
= − − + +
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C) laø :
4
2 2 4x 5 3
3x 2a(a 3)x a 3a
2 2 2
− + = − − + +2 5
2
2
2 2 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔ − + + − =
2.Quõy tích trung ñieåm K
Theo treân ñeå (d) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät P vaø Q vaø khaùc M thì phöông trình : = 0 coù
2 nghieäm khaùc a
2
x 2ax 3a 6+ + −
| 2 2
2 2 2
a 3a (3a 6) 0
a 1a 2a 3a 6 0
⎧⎧ <Δ = − − > ⎪
⇔⎨ ⎨
≠+ + − ≠ ⎪⎩ ⎩

Khi ñoù
K
4 2
K K K
x a ; x 3; x
K 7 5
y x 9x
2 2
⎧ = − ≤ ≠
⎪
⎨
= − + +⎪
⎩
1
Vaäy quyõ tích trung ñieåm K laø ñöôøng cong 4 27
y x 9x
2 2
5
= − + + vaø giôùi haïn bôûi 1 x 3≠ ≤
Cho haøm soá coù ñoø thò laø (Cm).Ñònh m ñeå caùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (Cm) taïi A vaø
B ñieåm coá ñònh vuoâng goùc nhau
4 2
y x 2mx 2m= − + − +1
xÑieåm coá ñònh A(-1,0) B(1,0) vaø | 3
y 4x 4m= − +
| |
A By 4 4m ;y 4 4m⇒ = − = − +
Tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc nhau | |
BAy .y 1⇔ = −
3 5
(4 4m)(4m 4) 1 m m
4 4
⇔ − − = − ⇒ = ∨ =
Cho haøm soá
x 1
y
x 1
+
=
−
coù ñoà thò (C) . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc tung maø töø moãi ñieåm aáy chæ coù theå keû
ñöôïc ñuùng 1 tieáp tuyeán ñeán (C)
Goïi A(0,a) qua A coù phöông trìnhOy∈ (d)⇒ y kx a= +
2
2
2
x 1
kx a
x 1 2xx 1
a (a 1)x 2(a 1)x a 1 0 (1
2 x 1 (x 1)
k
(x 1)
+⎧
= +⎪ + −−⎪
⇒ = + ⇔ − − + + + =⎨
− − −⎪ =
⎪ −⎩
)
Töø A coù theå keû ñöôïc 1 tieáp tuyeán ñeán (C) (1)⇔ coù 1 ngheäm
Xeùt (1) 1
a 1 0 a 1 4x 2 0 x A(0,1)
2
− = ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒
a 1 0 a 1
a 1 A(a, 1
' 0 2a 2 0
⎧ − ≠ ≠⎧
⇔ ⇔ = − ⇒⎨ ⎨
Δ = + =⎩⎩
)−
Cho haøm soá
x 1
y
x 1
−
=
+
coù ñoà thò (C)
Tìm treân ñöôøng thaúng y = x nhöõng ñieåm sao cho coù theå keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò vaø goùc giöõa 2
tieáp tuyeán ñoù baèng
4
π
Goïi M(x0,y0) tieáp tuyeán taïi M tieáp xuùc (C) daïng0 0y x M(x ,x )∈ = ⇔ ⇒ 0y k(x x ) x0= − + (d)
Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) 0 0
x 1
kx kx x (1)
x 1
−
− + =
+
Theo ycbt thì (1) coù nghieäm keùp 2
0 0 0 0kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔ + − + − + − + =
coù nghieäm keùp 2 2 2 2
0 0 0
k 0
(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)
≠⎧
⇔ ⎨
Δ = + − + + − =⎩

Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) taïo thaønh goùc
4
π
(2)⇔ coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa
2
1 2 1 2
1 2 1 2
k k k k
tan 1 1
1 k .k 4 1 k .k
⎛ ⎞− −π
= = ⇔ =⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
00
2 22 2
0 0 0
1 2 1 2 0 0
k
x 1x 1 0
8(x 1) 0 2(x 3) x 1
5 1
(k k ) 5k .k 1 0 (1 x ) x 1
≠⎧+ ≠⎧
⎪⎪
⇔ Δ = + > ⇔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎨ + −
0− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ − − = + +⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩
0
02
0
x 1 M( 7, 7)
x 7
x 1 8 M( 7, 7)
⎧≠ − − −⎧ ⎪
⇔ ⇔ = ± ⇒⎨ ⎨
+ =⎩ ⎪⎩
Cho Parabol . Tìm nhöõng ñieåm treân truïc Oy sao cho töø ñoù ta coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp
tuyeán ñeán (P) vaø 2 tieáp tuyeán naøy hôïp vôùi nhau 1 goùc 45
2
(P): y 2x x 3= + −
0
Goïi M(0,m) . Phöông trình qua M coù heä soá goùc k laø y kOy∈ x m (d)= +
Phöông trình hoaøng ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø :
2 2
2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+ − = + ⇔ + − − − =
(d) laø tieáp tuyeán cuûa (P) khi (1) coù nghieäm keùp 0⇔ Δ =
2
k 2k 8m 25 0 (2⇔ − + + = )
5Coù 1 2 1 2k k 2 ; k .k 8m 2+ = = +
Hai tieáp tuyeán hôïp nhau 1 goùc 450
khi 0 2 1
1 2
k k
tan 45 1
1 k .k
−
= =
+
2 2
1 2 1 2 1 2(k k ) 4k k (1 k k )⇔ + − = + (3)
Qua M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán taïo nhau goùc 450
khi (2) coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa (3)
|
22
k
m 31 8m 25 0
16m 112m 193 04 4(8m 25) (8m 26)
< −⎧Δ = − − = ⎧
⇔ ⇔⎨ ⎨
+ + =− + = + ⎩⎩
3 14 3 14
m m
4 4
+ −
⇔ = − ∨ =
Vaäy 1 2
3 14 3 14
M 0, ,M 0,
4 4
⎛ ⎞ ⎛+ −
−⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Cho haøm soá
2
x
y
x 1
=
−
goïi ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng y = 4 taát caû caùc ñieåm maø töø moãi ñieåm ñoù coù theå
keû tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp nhau goùc 450
Goïi A(a,4) laø ñöôøng thaúng tuyø yù treân y = 4
Goïi (T) laø ñöôøng thaúng
QuaA(a,4)
coù daïng: y k(x a) 4
Coù heä soá goùc laø k
⎧
= − +⎨
⎩
Vaø moïi ñöôøng thaúng (T1) vaø (T2) ñi qua A coù heä soá goùc k ñeàu coù daïng :
1 2y k (x a) 4 vaø y k (x a) 4= − + = − +

Do (T1) vaø (T2) taïo nhau 1 goùc 450
khi 0 1 2
1 2
k k
tan 45
1 k .k
−
=
+
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 k k ) (k k ) (1 k k ) (k k ) 4k k 0 (1)⇔ + = − ⇔ + − + + =
Do (T) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)
2
x
k(x a) 4
x 1
⇔ = − +
−
coù nghieäm keùp
2
(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔ − − − − + − = coù nghieäm keùp khaùc
1 22 2
k 11 k 0
k (a 1) 4(a 2) 0 (2)(a 1) k 4(a 2)k 0
⎧ ≠⎧− ≠⎪ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
⎡ ⎤− − − =Δ = − − − = ⎪⎪ ⎣ ⎦⎩⎩
Qua A keû ñöôïc tôùi (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi nhau 1 goù 450
khi phöông trình (2) coù 2 nghieäm k1,k2 (k 1)≠
vaø thoûa maõn heä thöùc (1)
2
k 0
4(a 2)
k
(a 1)
=⎧
⎪
−⎨
=⎪ −⎩
thoûa maõn (1) khi
2
2
22
2
4(a 2)
k 1 a 3
(a 1)
a 1
4(a 2)
a 2a 7 0k 0.(1 0) 0 4.0 0
(a 1)
−⎧
= ≠ ≠⎧⎪ −⎪ ⎪
⇔ ≠⎨ ⎨
−⎡ ⎤⎪ ⎪ + − == + − + + = ⎩⎢ ⎥⎪ −⎣ ⎦⎩
a 1 2
a 1 2
⎡ = − −
⇔ ⎢
= − +⎢⎣
2
2
Vaäy 1 2A ( 1 2 2,4) , A ( 1 2 2,4)− − − +
Cho haøm soá
2
x x 2
y
x 1
+ +
=
−
coù ñoà thò (C) . Tìm treân (C) caùc ñieåm A ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi A vuoâng
goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò
Giaû söû 0 0
0
4
A x ,x 2
x 1
⎛
+ +⎜
−⎝ ⎠
⎞
⎟ laø ñieåm baát kyø treân (C) vaø I(1,3) laø giao ñieåm 2 ñöôøng tieám caän
0 0
0
4
AI 1 x ,1 x
x 1
⎛ ⎞
⇒ = − − −⎜ ⎟
−⎝ ⎠
uur
Nhö vaäy laø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng AIAI
uur
Goïi (d) laø tieáp tuyeán cuûa (C) tieáp xuùc vôùi (C) taïi A , coù heä soá goùc
|
2
0 0
0(x )
4
k y 1 a 1,1
(x 1) (x 1)
⎛ ⎞
= = − ⇒ = −⎜
− −⎝ ⎠
r
2
4
⎟ laø vectô chæ phöông cuûa (d) ; do ñoù (d) (AI) a.AI 0⊥ ⇔ =
r uur
0
4
x 1 8⇒ = ±
Vaäy coù 2 ñieåm
4 4
4 4
1 24 4
4 3 8 8 4 3 8 8
A 1 8, , A 1 8,
8 8
⎛ ⎞ ⎛− + + +
− +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠

Cho haøm soá
2
x 3x 2
y
x
− +
= .Tìm treân ñöôøng thaúng x = 1 nhöõng ñieåm M sao cho töø M keû ñöôïc 2 tieáp
tuyeán ñeán (C) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc nhau
Goïi M(1,m) .Ñöôøng thaúng (T) qua M coù heä soá goùc k daïng :x 1∈ = y k(x 1) m= − +
Töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau tôùi (C) khi heä
2
2
2
x 3x 2
k(x 1) m
x
x 2
k
x
⎧ − +
= − +⎪⎪
⎨
−⎪ =
⎪⎩
( I ) coù 2 nghieäm thoûa maõn1 1
2 2
(x ,k )
(x ,k )
⎧
⎨
⎩
1 2k .k 1= −
Töø ( I ) 2
(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒ + − + = ≠
Theo ycbt
2 2
1 2
2 2
1 2
m 2 0
' 4 2(m 2) 0
(x 2) (x 2)
. 1
x x
⎧
⎪
+ ≠⎪⎪
⇔ Δ = − + >⎨
⎪ − −⎪ = −
⎪⎩
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
m 2
m 0
(x x ) 2 (x x ) 2x x 4 (x x )
⎧ ≠ −
⎪⎪
⇔ <⎨
⎪
⎡ ⎤− + − + = −⎪ ⎣ ⎦⎩
2 2
2 m 0
2 4 4
2 4
m 2 m 2 m 2 m 2
− ≠ <⎧
⎪
⎡ ⎤⇔ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
2
2
+
2
2 m 02 m 0
m 3
m 6m 2 0 m 3 7
− ≠ <⎧− ≠ <⎧ ⎪
⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨
+ + = = − ±⎪⎩ ⎩
7− ±
Vaäy 1 2M (1, 3 7) , M (1, 3 7)− − − +
Cho haøm soá .Tìm taát caû caùc ñieåm treân truïc hoaønh maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng 3 tieáp tuyeán cuûa ñoà
thò (C) , trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau.
3
y x 3x= + 2
Goïi M(m,0) laø ñieåm baát kyø treân truïc hoaønh
Ñöôøng thaúng (d) ñi qua M coù heä soá goùc laø k daïng : y k(x m)= −
(d) laø tieáp tuyeán (C) khi
3 2
2
x 3x k(x m)
(I)
3x 6x k
⎧ + = −
⎨
+ =⎩
Qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) trong ñoù coù 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi nhau khi ( I ) coù 3 giaù trò k
sao cho 2 trong 3 giaù trò ñoù tích baèng -1
Khi ñoù ( I ) 3 2 2 2
x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0⎡ ⎤⇔ + = + − ⇔ + − − =⎣ ⎦
2
x 0
2x 3(1 m)x 6m 0 (*)
=⎡
⇔ ⎢ + − − =⎣
Theo ycbt (*) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0
2 m 3
3m 10m 0
1
m 0m 0
3
< −⎡
⎧Δ = + + > ⎢⇔ ⇔⎨ ⎢− < ≠≠⎩
⎣

Khi ñoù pt (*) coù 2 nghieäm vaø 1 2
1 2
2
x x (m 1
3
x x 3m
⎧
+ = −⎪
⎨
⎪ = −⎩
)
Khi qua M keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán cuûa (C) thì 2 2
1 1 1 2 2 2 3k 3x 6x ,k 3x 6x ,k 0= + = + =
Theo baøi toaùn : 2 2
1 2 1 1 2 2k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1= − ⇔ + + = −
1
m
27
⇒ = thoûa hoaëcm < −3
1
m 0
3
− < ≠
Vaäy
1
M ,0
27
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Cho haøm soá
2
2x x 1
y
x 1
− +
=
−
coù ñoà thò (C) . Tìm treân truïc hoaønh 4 ñieåm töø ñoù döïng ñöôïc tieáp tuyeán hôïp
vôùi Ox goùc 450
. Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñoù
Tieáp tuyeán hôïp vôùi Ox goùc 450
laø tieáp tuyeán coù heä soá goùc k 1= ±
TH1: |
2
2
k y 1 2 1 x 1 2
(x 1)
= = ⇔ − = ⇒ = ±
−
1
2
(T ) : y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2
(T ): y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2
⎡⎡ ⎡ = + −= − = −
⇒ ⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢
= + += + = + ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣
TH2: |
2
2 2
k y 1 2 1 x 1
(x 1) 3
= = − ⇔ − = − ⇔ = ±
−
3
4
2 2
x 1 y 3 5
(T ): y x 4 2 63 3
(T ) : y x 4 2 62 2
x 1 y 3 5
3 3
⎡ ⎡
= − = −⎢ ⎢ ⎡ = − − −
⎢ ⎢⇒ ⇒ ⇒ ⎢
⎢ ⎢ = − + +⎢⎣= + = +⎢ ⎢
⎣ ⎣
Cho haøm soá coù ñoà thò (C)3 2
y x 3x 2= − +
1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù qua
23
A , 2
9
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
2.Tìm treân ñöôøng thaúng y = -2 caùc ñieåm töø ñoù coù theå keû ñeán ñoà thò (C) 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc
1.Tieáp tuyeán (C) qua A :
23
y k x 2
9
⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ta coù :
3 2
2
23
x 3x 2 k x 2
9
3x 6x k
⎧ ⎛ ⎞
− + = − −⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎨
⎪ − =⎩
2
(x 2)(3x 10x 3) 0⇒ − − + =
x 2,k 0
x 3,k 9
1 5
x ,k
3 3
⎡
⎢ = =
⎢
⇔ = =⎢
⎢
= = −⎢
⎣
tieáp tuyeán⇒
(d) : y 2
(d) : y 9x 25
5 6
(d) : y x
3 2
⎡
⎢ = −
⎢
= −⎢
⎢
= − +⎢
⎣
1
7

2.Goïi A(a,-2) y 2∈ = −
Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc laø k , coù phöông trình y k(x a) 2= − −
Ñieàu kieän (T) vaø (C) tieáp xuùc nhau laø:
3 2
2
2
x 3x 2 k(x a) 2
(x 2) 2x (3a 1)x 2 0
3x 6x k
⎧ − + = − −
⎡ ⎤⇒ − − − + =⎨ ⎣ ⎦− =⎩
2
1 2 1 2
x 2 ; k 0 y 2
3a 1
g(x) 2x (3a 1)x 2 0 coù x x ;x .x 1
2
= = ⇒ = −⎡
⎢⇔ −⎢ = − − + = + = =
⎣
Ñeå töø A döïng 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1
2
2 2
1 2 1 1 2 2
g
(2)
5
a 1 a0 (3a 1) 16 0 3
k .k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1 27a 55
g 0 a 2 a 2
⎧
< − ∨ >Δ > ⎪⎧ ⎧ − − >
⎪⎪ ⎪
⇔ = − ⇔ − − = − ⇔ =⎨ ⎨ ⎨
⎪ ⎪ ⎪≠ ≠ ≠⎩⎩ ⎪
⎩
55 55
a A ,
27 27
⎛ ⎞
⇔ = ⇒ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2Cho haøm soá . Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 töø ñoù döïng ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán
ñoà thò
3 2
y x 3x= − + −
Goïi A(a,2) y 2∈ =
Ñöôøng thaúng (T) qua A coù heä soá goùc k coù phöông trình : y k(x a) 2= − + laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä :
coù nghieäm
3 2
2
x 3x 2 k(x a) 2
3x 6x k
⎧− + − = − +
⎨
− + =⎩
2
2
(x 2) 2x (3a 1)x 2 0 x 2 0
2x (3a 1)x 2 g(x) 0
⎡ ⎤⇒ − − − + = ⇔ − =⎡⎣ ⎦
⎢ − − + = =⎣
Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C) khi g(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2 thoûa :
g
(2)
50 3(a 1)(3a 5) 0 a 1 a
3
g 0 a 2
a 2
⎧Δ >⎧ + − > < − ∨ >⎧⎪ ⎪
⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨
≠ ≠⎩⎪ ⎪⎩ ≠⎩
Vaäy
5
a 1 a a
3
< − ∨ > ∧ ≠ 2
Cho hoï ñöôøng cong
(m 1)x m
(Cm) : y ,m 0
x m
− +
=
−
≠ .Chöùng minh raèng (Cm) tieáp xuùc 1 ñöôøng thaúng coá
ñònh taïi 1 ñieåm coá ñònh khi m: thay ñoåi
Goïi (x0,y0) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua khi 0
0
0
(m 1)x m
y
x m
− +
=
−
0 0 0 0(x y 1)m x (y 1) 0 :⇔ + − − + = coù nghieäm m 0∀ ≠ ; 0x m≠

0 0 0 0
0 0 0 0
x y 1 0 x 0 x 2
x (y 1) 0 y 1 y 1
⎧+ − = = =⎧ ⎧⎪
⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨
+ = = = −⎪⎩ ⎩⎩
Ñieàu kieän ; neân A(0,1) thoûa baøi toaùnm 0∀ ≠ 0x m≠
Vaäy A(0,1) laø ñieåm coá ñònh maø (Cm) ñi qua
Ta laïi coù
2 2
| |
2 2
(0)
m m
y y 1 ;
(x m) (0 m)
=
− −
= ⇒ = − ∀
− −
m 0≠
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi A laø |
A A(0)y y y (x x )− = −
y x 1⇔ = +
Cho haøm soá ,ñoà thò laø (C) . Tìm treân ñöôøng thaúng y = -4 nhöõng ñieåm A maø töø ñoù coù theå
keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán ñeán (C)
3
y x 12x 12= − +
Goïi A(a,-4) y 4∈ = − (d) : y k(x a) 4⇒ = − −
3
2
x 12x 12 k(x a) 4
3x 12 k
⎧ − + = − −
⎨
− =⎩
2
x 2
g(x) 2x (4 3a)x 8 6a 0
=⎡
⇔ ⎢ = + − + − =⎣
Ñeå qua A keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán phaân bieät g(x) 0⇔ = coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 2
(2)
g
40 a 4 a
3
g 0 a 2
⎧ ⎧Δ > < − ∨ >⎪ ⎪
⇔ ⇒⎨ ⎨
≠⎪ ⎪ ≠⎩⎩
Vaäy nhöõng ñieåm
4
A(a, 4);a 4 a a 2
3
− < − ∨ > ∧ ≠ thoûa baøi toaùn
Cho haøm soá , coù ñoà thò laø (C)4 3
y x 4x 3= − +
1.Chöùng minh raèng toàn taïi moät tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc vôùi ñoà thò (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät
2.Vieát phöông trình tieáp tuyeán thöù 2 vôùi ñoà thò song song vôùi tieáp tuyeán vöøa keå . Cho bieát hoaønh
ñoä tieáp ñieåm
3.Döïa vaøo caùc keát quaû treân , tuyø theo tham soá m , suy ra soá nghieäm phöông trình :
4 3
x 4x 8x m 0− + + =
1.Tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm cuûa (C) daïng y ax b= + (d)
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) laø: 4 3
x 4x 3 ax b− + = +
4 3
x 4x ax 3 b 0⇔ − − + − = (1)
Ñeå (d) tieáp xuùc (C) thì phaûi coù ñoàng thôøi 2 nghieäm keùp
4 3 2
x 4x ax 3 b (x ) (x )⇔ − − + − = − α −β 2
4 3 4 3 2 2 2
x 4x ax 3 b x 2( )x ( 4 )x 2 ( )x⇔ − − + − = − α +β + α +β + αβ − αβ α +β

Ñoàng nhaát thöùc 2 veá
2 2
2 2
2 2
4 0
2 ( ) a a 8
3 b b 1
α +β = α +β =⎧ ⎧
⎪ ⎪α +β + αβ = αβ = −⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
αβ α +β = = −⎪ ⎪
⎪ ⎪α β = − = −⎩ ⎩
2
1tieáp tuyeán : y 8x 1 (d )
hoaønh ñoä tieáp ñieåm : 1 3 ; 1 3
= − −⎧⎪
⇒ ⎨
α = − β = +⎪⎩
2.Tieáp tuyeán song song y 8x= − −1
Ta coù | 3 2
y 8 4x 12x 8 x 1 y 0
x 1 3
x 1 3
= − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ =⎡
⎢
= −⎢
⎢ = +⎣
)Vaäy tieáp tuyeán thöù 2 coù phöông trình 2y 8x 8 (d= − +
3. 3 34 4
x 4x 8x m 0 x 4x 3 8x m− + + = ⇔ − + = − + 3
Laø phöong trình hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa 34
(C): y x 4x 3
(d):8x m 3
⎧ = − +
⎨
− +⎩
{ } { }
{ }
1
2
(d ) Oy 0, 1 , (d) Oy 0,3 m
(d ) Oy 0,8
∩ = − ∩ = −
∩ =
-m + 3 m Nghieäm phöông trình
+∞ m < -5 2 nghieäm
8 m = -5 3 nghieäm (coù 1 nghieäm keùp x = 1)
-5 < m < 4 4 nghieäm phaân bieät
-1 m = 4 2 nghieäm keùp x = 1 3±
−∞ m > 4 Voâ nghieäm
Cho haøm soá
2
(3m 1)x m m
y
x m
+ − +
=
+
, m 0≠ coù ñoà thò laø (Cm)
1.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi truïc hoaønh , tieáp tuyeán seõ song song vôùi
ñöôøng thaúng y = x – 20 . Vieát phöông trình tieáp tuyeán aáy
2.CMR : (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh
3.Treân ñöôøng thaúng x = 1 , chæ ra taát caû caùc ñieåm maø khoâng coù ñöôøng naøo cuûa (Cm) ñi qua
1.
2
2
0 0
m m 1
(Cm) Ox :(3m 1)x m m 0 x ;m 0;m
3m 1 3
−
∩ + − + = ⇔ = ≠ ≠
+
−
Ta coù :
2 2
| |
02 2
4m (3m 1)
y y
(x m) 4m
+
= ⇒ =
+
Tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y = x – 10
2
|
0 2
(3m 1)
y 1
4m
+
1⇔ = ⇔ =
10 0
20 0
A( 1,0) , (T ) : y x 1m 1 , x 1 , y 0
3 31 3
B ,0 , (T ): y xm , x , y 0
5 55 5
− =⎡= − = − =⎡
⎢⎢⇔ ⇔ ⎛ ⎞⎢⎢
+
= −= − = = ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠⎣

2.Goïi ñöôøng thaúng coá ñònh laø y = ax + b
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm :
2
(3m 1)x m m
ax b
x m
+ − +
= +
+
[ ]2 2
ax (a 3)m b 1 x m (b 1)m 0⇔ + − + − + + − =
ÑKTX :
[ ]2 2
a 0a 0
m
(a 10a 9)m 2 (a 3)(b 1) 2a(b 1) m (b 1) 00
≠⎧≠⎧
∀ ⇔⎨ ⎨
− + + − − − − + − =Δ =⎩ ⎩
2
1
2
a 1
(T ): y x 1
a 9
(T ): y 9x 1
b 1
⎧ =⎡
= +⎧⎪⎢⇔ ⇔=⎨ ⎨⎣
= +⎩⎪ =⎩
3.Goïi A(1,a) x 1∈ =
Ycbt :
2
3m 1 m m
A (Cm)Khi: a
1 m
+ − +
∉ =
+
voâ nghieäm m
2
m (a 4)m a 1⇔ + − + − = 0 voâ nghieäm m khi m 0Δ <
2
a 12a 20 0 2 a 10⇔ − + < ⇔ < <
Nhöõng ñieåm maø (Cm) khoâng qua laø A(1,a) ; 2 a 10< <
Cho ñöôøng cong ; ñoà thò (C)3
y 3x 4x= −
1.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñeå tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(1,3)
2.Tìm treân ñöôøng cong y = -9x + 8 nhöõng ñieåm maø töø ñoù veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán ñeán (C) vaø chuùng
vuoâng goùc nhau
1.Goïi (d) laø ñöôøng thaúng qua M(1,3) vaø coù heä soá goùc laø k coù pt : y = k (x – 1) vaø coù x0 laø hoaønh ñoä tieáp
ñieåm , khi ñoù ta coù : 3
0 0 0 0
2
0
0
3x 4x k(x 1) 3 x 0 ; k 3 ; y 3x
3 12x k 3
x ; k 24 ; y 24x 27
2
⎧ − = − + ⇔ = = =⎧
⎪⎨
⎨− =⎩ = = − = − +⎪⎩
2.Goïi . Moïi ñöôøng thaúng qua A coù heä soá goùc laø k ñeàu coù phöông trình :A(a, 9a 8) y 9x 8− + ∈ = − +
y k(x a) 9a 8= − − + vaø x0 laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm khi heä
3
0 0
2
0
3x 4x k(x a) 9a 8
3 12x k
⎧ − = − − +
⎨
− =⎩
coù nghieäm
0
2
0 0 0
0
2
0 0( )x
(x 1) 2x (2 3a)x 2 3a 0
x 1 ; k 9
f 2x (2 3a)x 2 3a
⎡ ⎤⇔ − − − + − =⎣ ⎦
= =⎡
⇔ ⎢ = − − + − =⎣ 0
Theo baøi toaùn ta coù = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät0
( )xf
2 2
(2 3a) 8(2 3a) 0 a a 2 (*)
3
⇔ − − − > ⇔ > ∨ < −
0
( )xf = 0 thoûa k1.k2 = -1
0
2 2
1 2
2 2 2
1 2 1 1 1 2 1 2 (x )
(3 12t )(3 12t ) 1
9 36 (t t ) 2t t 144t t 1 Vôùi t t laø 2 nghieäm cuûa f = 0
⇔ − − = −
⎡ ⎤⇔ − + − + = −⎣ ⎦

Goïi (Cm) laø ñoà thò
2
x (1 2m)x m
y f (x)
x 1
+ − −
= =
−
. Haõy xaùc ñònh giaù trò m ñeå (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm vaø 2
tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi
Giaûi
2
2
x 2x m
y' f '(x)
(x 1)
+ +
= =
+
;
m
y x 2m ;(m 0)
x 1
= − + ≠
+
(Cm) caét Ox taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ phöông trình : 2
x (1 2m)x m 0+ − − = (1) coù hai nghieäm
phaân bieät khaùc -1 ⇔
2
2
(1 2m) 4( m) 0
( 1) (1 2m)( 1) m 0
⎧Δ = − − − >⎪
⎨
− + − − − ≠⎪⎩
⎧
⎨ ñuùng.⇔
2
4m 1 0
m 0
+ >
≠⎩
≠Vaäy vôùi m thì (Cm) caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät vôùi0 1 2( ,0), ( ,0)M x N x 1 2,x x laø 2 nghieäm cuûa
phöông trình (1). Khi ñoù ta coù : 1 2x x 2m 1+ = − vaø 1 2x x m= −
Tieáp tuyeán taïi M, N vuoâng goùc nhau ⇔ 1 2'( ) '( ) 1f x f x = −
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
2 22 2
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
2
x 2x m x 2x m
1
x 1 x 1
(x 2x m)(x 2x m) x 1 x 1
(x x ) 2x x (x x ) m(x x ) 2m(x x ) m 4x x (x x x x 1)
4m m(2m 1) 4m m
m(4m m 3) 0
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +
⎜ ⎟⎜ ⎟⇔ = −
⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
⇔ + + + + = − + +
⇔ + + + + + + + + = − + + +
⇔ + − − = −
⇔ + − =
2
m 0⇔ = (loaïi) V m 1 V= −
3
m
4
=
V1m = −
3
4
m =
Vaäy
Nhaän xeùt :
1) Neáu ko ñaët ñieàu kieän ñeå toàn taïi (Cm) laø haøm höõu tæ hoaëc khoâng noùi roõ (Cm) caét Ox coù hai
nghieäm khaùc maãu soá (nghóa laø ) thì aét haún ta nhaän m=0 laøm nghieäm thì keát quaû sai.
0m ≠
0m ≠
2) Thoâng thöôøng caùc em quen duøng Viet cho y' . Nhöng yeâu caàu baøi toaùn khoâng ñeà caäp y' ñeå
trong Viet cuûa phöông trình baäc hai.1 2'( ) '( ) 1f x f x = −
1/ Cho haøm soá coù ñoà thò (C) .Tìm phöông trình tieáp tuyeán tieáp xuùc (C) taïi hai ñieåm
phaân bieät , tính toaï ñoä tieáp ñieåm.
4 3 2
2 3y x x x= − − + 5
62/ Chöùng minh raèng coù 1 tieáp tuyeán duy nhaát tieáp xuùc (C) : 4 3 2
4 2 7y x x x x= + − + + taïi hai ñieåm phaân
bieät . Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm.
3/ Xaùc ñònh a, b ñeå (d) : y= ax+b tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong (C) : 4 3 2
6 26 3y x x x x= − + + + taïi hai ñieåm
phaân bieät. Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm

1/ Goïi (d) : y = ax + b.
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d) : 3x ≠ 4 3 2
2 3 5x x x ax b− − + = +
4 3 2
2 3 5x x x ax b⇔ − − + − − = 0
Phöông trình (1) phaûi coù 2 nghieäm keùp 1 2,x x phaân bieät.
(1) vieát laïi 4 3 2 2 2
1 22 3 5 ( ) ( )x x x ax b x x x x⇔ − − + − − = − − = 0
24 3 2 4 3 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 3 5 2( ) ( ) 2 2 ( )x x x ax b x x x x x x x x x x x x x x x x⎡ ⎤⇔ − − + − − = − + + + + − + +⎣ ⎦ = 0
Ñoàng nhaát thöùc hai veá ta ñöôïc:
1 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1 2
2( ) 2
( ) 2
2 ( )
5
x x
x x x x
x x x x a
x x b
+ =⎧
⎪
+ + = −⎪
⎨
+ =⎪
⎪ = −⎩
3
1 2
1 2
1
2
4
1
x x
x x
a
b
+ =⎧
⎪ = −⎪
⇔ ⎨
= −⎪
⎪ =⎩
⇒ tieáp tuyeán cuûa (C) taïi hai ñieåm phaân bieät (d): y= -4x+1. Hoaønh ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm phöông trình
: ⇔ x= -1 V x= 22
2 0x x− − =
Vaäy 2 tieáp ñieåm laø ; A (-1,5) ; B (2,-7)
2/ Töông töï y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18)
3/ Töông töï y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)
Cho (C) :
2
( 1) (5 2) 2 1
3
m x m x m
y
x
− − + + −
=
−
4
vaø (d) : y = 2mx + 2 .
1. Xaùc ñònh m ñeå (C) vaø (d) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B.
2. Goïi M laø giao ñieåm cuûa (d) vaø truïc Oy. Tính theo m toaï ñoä cuûa ñieåm N treân (d) thoaû maõn heä thöùc
NA MA
NB MB
= −
uuur uuur
uuur uuur .
3. Tìm quyõ tích ñieåm N khi m thay ñoåi.
1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d):
2
(m 1)x (5m 2)x 2m 14
x 3
− − + + −
−
=2mx+2; 3x ≠
2
( 1) (4 ) 8 2m x m x m⇔ + + − + − = 0 (1).
(d) caét (C) taïi hai ñieåm A, B phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân bieät

2
m 1 0
9m 32m 16 0
+ ≠⎧
⎨
Δ = − − >⎩
4
m V m >
9
m -1
⎧
< −⎪
⇔ ⎨
⎪ ≠⎩
4
2. A N A M
B N B M
x x x xNA MA
x x x xNB MB
⎛ ⎞− −
= − ⇔ = −⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
uuur uuur
uuur uuur
( ) 2A B N A B Nx x x x x x⇔ + = ⇔ = 4
2 2 2 8N Ny mx m= + = − ⇒ N (-4,2-8m).
3. Nx = -4 : x = -4 giôùi haïn bôûi:⇒ ( )N d∈
1
4
9
4
m
m
m
≠ −⎧
⎪
⎪⎡
< −⎨⎢
⎪⎢
⎪ >⎣⎩
2
1
8
2 9
8 4
2
4
8
y
y
y
−⎧
≠ −⎪
⎪
−⎪⎡
⇔ < −⎨⎢
⎪⎢
⎪ −⎢ >⎪⎢⎣⎩
10
30
50
9
y
y
y
≠⎧
⎪
< −⎪⎡⇔ ⎨⎢
⎪⎢ >
⎪⎣⎩
Quyõ tích ñieåm N laø phaàn ñöôøng x = -4 , öùng y< -30 V y >
50
9
vôùi 10y ≠
Cho haøm soá : ; (C) .Tìm caùc ñieåm thuoäc ñoà thò (C) maø qua ñoù keû ñöôïc moät vaø chæ moät
tieáp tuyeán tôùi ñoà thò (C).
3 2
3y x x= − + − 2
Goïi . Phöông trình ñöôøng thaúng (t) qua M coù heä soá goùc laø k coù daïng3 2
0 0 0 0 0 0( , ) ( ) 3 2M x y C y x x∈ → = − + −
0 0( )y k x x y= − +
(t) tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm :
3 2
0
2
3 2 ( )
3 6
0x x k x x
x x k
⎧ y− + − = − +⎪
⎨
− + =⎪⎩
vôùi 3 2
0 0 03 2y x x= − + −
2
0 0 0 0
0
2
0 0 0
0
2
0 0
0
0
0
( ) 2 (3 ) ( 3)
0
2 (3 ) ( 3) 0;(3)
(3) : 9( 1) 0, 1
3
V
2
x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x
x
x x x
⎡ ⎤⇔ − − + + + − =⎣ ⎦
− =⎡
⇔ ⎢
− + + + − =⎣
=⎡
⇔ ⎢
Δ = − > ∀ ≠⎣
=⎡
⎢⇔ −⎢ = =
⎣
0
2
0 00
2
0 0 0
3 6
3 3 3
3 6
2 2 2
k x xx x
x x x
x k
⎡ = − +=⎡
⎢⎢⇔ ⇒− − −⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ = = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
Vaäy qua 0 0 0( , ) ( )M x y C∈ coù 2 tieáp tuyeán vôùi tieáp ñieåm 0
0
3
,
2
x
x x x
−
= = . Muoán coù 1 vaø chæ 1 tieáp tuyeán
vôùi (C) , ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø 2 tieáp ñieåm phaûi truøng nhau 0
0 0
3
1, 0
2
x
x x 0y
−
⇔ = ⇔ = = . Khi ñoù heä soá
goùc cuûa tieáp tuyeán laø k = 3.

2
Keát luaän : Vaäy coù tieáp tuyeán duy nhaát cuûa (C) laø : y=3(x -1) vôùi tieáp ñieåm 0 (1,0)M
Cho ñöôøng cong 3
3y x x= − + + tìm caùc ñieåm treân truïc hoaønh sao cho töø ñoù veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi
ñöôøng cong
Goïi 0( ,0)M x ∈Ox : Ñöôøng thaúng qua M coù daïng 0( )y k x x= − ;(t)
(t) laø tieáp tuyeán cuûa (C) khi heä sau coù nghieäm:
3 2
0 2
0 02
3 2 ( )
( 1) 2 (3 2) 3 2 0;(1
3 6
x x k x x
x x x x x
x x k
⎧− + − = −⎪
⎡ ⎤⇔ + − + + + =⎨ ⎣ ⎦
− + =⎪⎩
)
Qua veõ ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong khi : (1) coù 3 nghieäm phaân bieät0( ,0)M x
2
0 0 2
0 0
( 1) 0
0 0 0
(3 2) 8(3 2) 0
; ( ) 2 (3 2) 3 2
6 6 0
2
1; 1 ; 2
3
x x
f x x x x x
f x
x x x
−
⎧Δ = + − + >⎪
⇔ = −⎨
= + >⎪⎩
⇔ < − < < − >
+ + +
Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa 2
2y x x= − ; 3
2 4y x x= + −
Goïi y= ax+b laø tieáp tuyeán chung vaø giaû söû 1 2,x x laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm. Vôùi 2
2y x= − x
4
vaø
3
2y x x= + − . Khi heä sau coù nghieäm
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 2 2
1 2 13
2 2 2
2
2
3 2 2
2
2 2 2 2
2 ;(1) 2 (2 2)
2 2 ;(2) 3 4
2 3 2
22 4 ;(3)
(3 4)3 2 ;(4) 2 4 (3 2)
4
x x ax b b x x x x x
x a x
x x x
x x ax b
xx a x x x x
⎧
⎧ − = + ⎪ = − − − = −
⎪ ⎪
− = +⎪ ⎪
⇒ − = + ⇒ =⎨ ⎨
+ − = +⎪ ⎪
⎪ ⎪ ++ =⎩ + − = + −⎪
⎩
4 3
2 2 2
2
22
2
2
1
2
1
9 8 24 0
03 2
23 4
42
x x x
xa x
ax
x
b
b x
⎧ − + =
⎪
=⎧= +⎪
⎪ ⎪
⇔ ⇒ = 2 4y x⇒ = −⎨ ⎨+
=⎪ ⎪ = −⎩⎪
⎪ = −⎩
Cho haøm soá
2
2
x
y
x
+
=
−
.Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñi qua A (-6,5)
Phöông trình ñöôøng thaúng qua A (-6,5) coù heä soá goùc laø k : ( 6)y k x 5= + + , (d)
(d) laø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C)

2 2
4 4
1 ( 6) 5 1 ( 2) 8
2 2
4 4
( 2) ( 2)
k x k x k
x x
k k
x x
⎧ ⎧
+ = + + + = − + +⎪ ⎪− −⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
⎪ ⎪− = − =
− −⎪ ⎪⎩ ⎩
5
2
2
4 4
1 8 5 2
2 12 2
2
4
(2 1)
( 2)
k
kx x
x
k k k
x
⎧
+ = − + + ⎧⎪ = +− −⎪ ⎪
⇔ ⇔ −⎨ ⎨
⎪ ⎪− = − + =⎩−⎪⎩
1
1
4
k
k
= −⎡
⎢⇔
⎢ = −
⎣
vôùi k = -1 :y= -x -1 vôùi
1
4
k = − :
1 7
4 2
y x= − +
Cho haøm soá
2
4 3
4
mx x
y
x m
+ −
=
+
.Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 0
vuoâng goùc vôùi tieäm caän.
• Tieäm caän ñöùng : .4 0x m+ =
• Tieäm caän xieân :
3 7
.
4 16
y x= − + m
• y' =
2 2
12 6 16
(4 )2
x mx m
x m
− + −
+
Heä soá goùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi 0 0x = laø
2
(0) 2
16
'
m
y k
m
−
= =
tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi TCÑ thì k = 0
2
2
16
0 4
m
m
m
−
⇔ = ⇔ = ±
TCX
3
1
4
k⇔ − = − voâ nghieäm.
⇒ tieáp tuyeán taïi x = 0 chæ vuoâng goùc TCÑ khi 4m = ±
Cho haøm soá
3
( ) :
4
mx
Hm y
x m
−
=
+ −
1/ Ñònh m nguyeân ñeå haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh
2/ Vôùi m= 2 . Tìm nhöõng ñieåm treân (H) maø taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (H) laäp vôùi Ox 1 goùc döông . Vieát
phöông trình tieáp tuyeán.
0
135
1/
2
2
4
'
( 4
m m
y
x m
− +
=
+ −
3
)
. Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh 2
' 0 4 3 0y m m⇔ < ⇔ − + <
1 3
2
:
m
m
gt m
< < ⎫
⇔ ⇒⎬
∈Ζ⎭
=
2/ m=2 ⇒
2 3
2
x
y
x
−
=
−
.

Goïi 0
0 0 0
0
2 3
( , ) ( )
2
x
M x y H y
x
−
∈ ⇒ =
−
0 2
0 2
00
0
0 0 1
0 0 2
1
' 1
( 2) 1
( 2)
' tan135 1
3; 3 (1,1)
1; 1 (3,3)
y
x
x
k y
x y M
x y M
⎫
= − ⎪− ⇒ =⎬
−⎪= = = − ⎭
= =⎡ ⎡
⇒ →⎢ ⎢= = ⎣⎣
phöông trình tieáp tuyeán taïi 1
2
: 2
: 6
M y x
M y x
= − +
= − +
Cho haøm soá
2
2 1
1
x x
y
x
− +
=
−
1/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 3 ñieåm M keû ñöôïc ñeán (C) chæ 1 tieáp tuyeán // Ox
2/ Chöùng toû treân ñöôøng thaúng y = 7 coù 4 ñieåm sao töø ñieåm ñoù coù theå keû ñeán (C) 2 tieáp tuyeán laäp vôùi
nhau 1 goùc 0
45
ÑS: 1/ 1 2 3(1,7), (2,7), (3,7)M M M
2/ 1 2( 3 2 6); (5 2 2)M M− ± ±
Cho haøm soá
2
2
x mx m
y
x
+ +
=
+
; ñoà thò (Cm) ; m tham soá .Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi hai
ñieåm phaân bieät vaø tieáp tuyeán taïi 2 ñieåm ñoù vuoâng goùc vôùi nhau.
Ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät khi phöông trình :
2
0
2
x mx m
x
+ +
=
+
coù hai nghieäm phaân
bieät khi 2
x mx m+ + =0 coù 2 nghieäm phaân bieät
2
4 0
2
4 2 0
x m
x
m m
⎧Δ = − >
≠ − ⇔ ⎨
− + ≠⎩
0
4
m
m
<⎡
⇔ ⎢ >⎣
. Vaäy vôùi m< 0 V m > 4 thì ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B coù hoaønh
ñoä ,A Bx x laø nghieäm cuûa phöông trình : 2
x mx m+ + = 0.
Hai tieáp tuyeán taïi A vaø B vuoâng goùc vôùi nhau . ( ) ( )' 'A By y 1⇔ = −
[ ]
2 2
2 2
2
4 4
1
( 2) ( 2)
(4 ) 2( ) 4 0,(1)
A A B B
A B
A B A B A B
x x m x x m
x x
m x x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +
⇔ =⎜ ⎟⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
⇔ − + + + + =
−
Vôùi
A B
A B
x x m
x x m
=⎧
⎨
+ = −⎩
thì (1) 2 2
(4 ) (4 ) 0m m m⇔ − + − =
m= 4 (loai) vì m >4
1
m= -1 ( nhân) vì m< 0
m
⎡
⇔ = −⎢
⎣
Cho haøm soá coù ñoà thò laø (Cm). Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d) : y= -x+1 caét (Cm) taïi 3 ñieåm
phaân bieät A (0,1) , B,C sao cho caùc tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa (Cm) vuoâng goùc
3 2
1y x mx= + +

f m⇔ Δ = − >
Ta coù : . Ñeå (d) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät thì f(x) = 0
buoäc coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc 0
3 2
2
( )
0
1 1
1 0x
x
x mx x
f x mx
=⎡
+ + = − + ⇔ ⎢
= + + =⎢⎣
2
' 4 0 ⇔ m< -2 V m > 2
vaø 1 2,x x laø hoaønh ñoä cuûa B vaø C thoaû :
1 2
1 2
( )
1
x x m
I
x x
+ =⎧
⎨
=⎩
Ta coù heä soá goùc tieáp tuyeán taïi B laø : 1
2
1 ( ) 1 1' (3 2xk y x mx= = + )
)heä soá goùc tieáp tuyeán tai C laø : 2
2
2 ( ) 2 2' (3 2xk y x mx= = +
Ñeå 2 tieáp tuyeán taïi B vaø C vuoâng goùc thì: 1 2 1k k = −
2
1 2 1 2 1 29 6 ( ) 4 1;( )x x x x m x x m II⎡ ⎤⇔ + + + = −⎣ ⎦
Töø (I) vaø (II) 2
5m m⇒ = ⇒ = ± 5 thoaû m< -2 Vm> 2.
Vaäy 5m = ± thoaû baøi toaùn.
Cho ñöôøng cong (Cm) : 3 2
y x mx m= − + − vaø ñöôøng thaúng : y= k(x+1)+1 . Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m
ñeå caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät . Tìm k ñeå caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.
( )kd
( )kd ( )kd
( )kd : y=k(x+ 1)+1 luoân qua A(-1,1) neân ( coù ñieåm chung (Cm) laø A. Phöông trình hoaønh ñoä giao
ñieåm cuûa ( vaø (Cm) :
)kd
)kd 3 2
x mx m− + − = k(x+1)+1
2
2
( 1) (1 ) 1 0
1
( ) (1 ) 1 0
x x m x m k
x
g x x m x m k
⎡ ⎤⇔ + − + + + + =⎣ ⎦
=⎡
⇔ ⎢
= − + + + + =⎣
Ñeå ( caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät khi g(x)= 0 coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc -1)kd
2
( 1)
10 ( 2
4
0
2 3
g k m m
g
k m−
⎧Δ >⎧ < − −⎪ ⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
≠⎪ ⎪⎩ ≠ − −⎩
3)
Do qua A (-1,1) ∈ (Cm) neân ( caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau thì qua ñieåm uoán
I
( )kd )kd ( )kd
32
,
3 27
m
m m
⎛
− +⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ cuûa (Cm) khi ñoù toaï ñoä I thoaû :( )kd 32
1
27 3
m
m m k
⎛ ⎞
− + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
4 2(
27( 1) 2
m m
k
m m
+
⇒ = −
+ +
1)
Xeùt haøm soá
2
3
1
x x a
y
x
+ +
=
+
, a laø tham soá .
1/ Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò khi : a= 3 ; ( ) ( )HS C= , TCX x=1, x= 5 hoaëc ( ) ( )HS C= , TCX x= -3, x= -2 .
2/ Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa tham soá a thì ñoà thò cuûa haøm soá treân coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng
phaân giaùc thöù nhaát cuûa heä truïc toaï ñoä ? CMR khi ñoù ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu .

2
2
2 3
'
( 1)
x x a
y
x
+ + −
=
+
; 1x ≠ tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc , goùc phaàn tö thöù nhaát y=x laø ñöôøng
thaúng coù phöông trình : y= -x +m. (t). vôùi (t) laø tieáp tuyeán cuûa(C) khi heä sau coùnghieäm
2
2
2
3
,(1)
1
2 3
1,(2)
( 1)
x x a
x m
x
x x a
x
⎧ + +
= − +⎪ +⎪
⎨
+ + −⎪ = −
⎪ +⎩
(1) coù nghieäm coù nghieäm2
1 3 ( )(x x x a x m x≠ ⇔ + + = − + +1) 1x ≠ −
2
2
( 1)
2
(4 ) 4.2( ) 0
2( 1) (4 )( 1) 0
8 16
2
m x m
g m a
m a
a
−
⎧ − − − ≥⎪
⇔ ⎨
= − + + − + − ≠⎪⎩
⎧ ≥ +
⇔ ⎨
≠⎩
m
2
1)(2) coù nghieäm . Coù nghieäm2
1 2 3 (x x x a x≠ − ⇔ + + − = − + 1x ≠ − .
2
2( 1) 2x a⇔ + = − coù nghieäm 1x ≠ −
2
( 1)
2 0 2
2
2( 1 1) 2 2
a a
a
h a a−
− ≥⎧ ≥⎧⎪
⇔ ⇔⎨ ⎨
= − + ≠ − ≠⎪ ⎩⎩
⇔ >
Ñieàu kieän chung cuûa heä (1),(2) ñeå coù nghieäm 1x ≠ − laø :
2
8 1
2
c a
a
⎧ ≥ −
⎨
>⎩
6
Vôùi a > 2 , y'= 0
2
2
2 3
0
( 1)
x x a
x
+ + −
⇔ =
+
2
2 3 0; '
1
x x a a
x
⎧ + + − = Δ = −
⇔ ⎨
≠ −⎩
2
0
3
y'= 0 coù , do ñoù coù 2 nghieäm phaân bieät , neân ñoåi daáu 2 laàn qua nghieäm . Haøm soá coù cöïc ñaïi ,
cöïc tieåu.
' 2aΔ = − >
Coù theå kieåm nghieäm vôùi choïn2
3 8a C= ⇒ ≥ 2
9C C= ⇒ = ± . Khi ñoù coù 2 tieáp tuyeán :
y = -x – 3 ; y = -x + 3 . Laàn löôït tieáp xuùc vôùi (C) taïi 1 2
5 4 1 10
, ; ,
3 3 3 3
M M
⎛ ⎞ ⎛
− − −⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
Cho haøm soá : y = x + 1+
4
1x −
; coù ñoà thò laø (C)
Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm trong maët phaúng töø ñoù döïng ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) vaø 2 tieáp tuyeán naøy
vuoâng goùc vôùi nhau .
Goïi M(x0 , y0) laø ñieåm baát kì thuoäc maët phaúng ; x0 ≠ 1
Ñöôøng thaúng qua M, coù heä soá goùc la k daïng : y = k( x – x0) + y0 ; (d)
Phöông trình hoaønh ñoä cuûa (d) vaø (C) laø:
k(x- x0) + y0 = x + 1 +
4
1x −
<=> (k – 1)x2
– ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – 3 = 0 (*)

Ñeå (d) tieáp xuùc (C) khi (*) coù nghieäm keùp
<=> <=>
1 0
0
k − ≠⎧
⎨
Δ =⎩
2 2 2
0 0 0 0
1
( ) ( 1) ( 2 5) ( 2) 16 0
k
g k x k x y k y
≠⎧
⎨
= − + + + + − − =⎩
Ñeå töø M keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc thì g(k) = 0 phaûi coù 2 nghieäm phaân bieät k1, k2 sao cho k1k2 = -1
vaø k 1≠
<=>
2
0
2
0
2
0
( 2) 16
1
( 1)
(1) 0
( 1) 0
y
x
g
x
⎧ − −
= −⎪
−⎪
⎪
≠⎨
⎪ − ≠⎪
⎪⎩
<=>
2 2
0 0
0 0 0
( 1) ( 2) 16
1 6
x y
x y y
⎧ − + − =⎪
⎨
≠ => ≠ ∨ ≠ −⎪⎩ 2
Vaäy quyõ tích nhöõng ñieåm M töø ñoù keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vuoâng goùc ñeán ñoà thò (C) laø ñöôøng troøn taâm I(1,2)
, baùn kính R = 4 coù phöông trình : (x -1)2
+ (y – 2)2
= 16 tröø ñi 2 ñieåm : (1,-2) vaø (1, 6)
Cho haøm soá y = x3
+3x2
+mx +1 ; coù ñoà thò laø (Cm)
1. Chöùng minh raèng vôùi moïi m thì (Cm) luoân caét ñoà thò (C) : y = x3
+ 2x2
+ 7 taïi hai ñieåm phaân bieät
A vaø B . Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa AB
2. Xaùc ñònh m ñeå (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi 3 ñieåm phaân bieät C(0,1); D vaø E . Tìm m ñeå caùc
tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi D vaø E vuoâng goùc vôùi nhau
3. Tìm a ñeå moïi x : f(x) = (x -2)2
+ 2 ≥x a− 3
1. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (C) laø :
x3
+ 3x2
+ mx +1 = x3
+ 2x2
+7 <=> f(x) = x2
+mx – 6 = 0
f(x) = 0 luoân coù 2nghieäm phaân bieät (Vì 2
24f mΔ = + >
7 7
0) A,B thoûa
A(x1, ) ; B( x3 2
1 12x x+ + 2 , ) ; vôùi x3 2
2 22x x+ + 1, x2 laø nghieämsoá cuûaf(x) = 0 coù x1 + x2 = -m
Goïi I laø toïa ñoä trung ñieåm cuûa AB thì :
I
1 2
3 3
2 2 21 2 1 2
1 2
2 2
18
( ) 7
2 2 2
I
I
x x m
x
y y x x m m
y x x
+ −⎧
= =⎪⎪
⎨
+ + − −⎪ = = + + + = + +
⎪⎩
19m
<=> 3
2
2
( 2 ) 18( 2 )
( 2 ) 19
2
I
I I
I I
m x
x x
y x
= −⎧
⎪
⎨ =>y− − − −
= + − +⎪
⎩
I = 3 2
4 4 18 19I I Ix x x+ + +
Vaäy quyõ tích trung ñieåm I laø ñöôøng cong : y = 4x3
+ 4x2
+18x +9
2. Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø y = 1 laø :
x3
+ 3x2
+mx + 1 = 1 <=> x(x2
+ 3x + m) = 0
<=>
⎡
⎢ 2
0
( ) 3 0(2)
x
g x x x m
=
= + + =⎣

Ñeå (Cm) caét y = 1 taïi 3 ñieåm C(0,1) ; D vaø E khi (2) coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 0 <=>
9 4 0 9
0
0 4
m
m
m
− >⎧
<=> ≠ <⎨
≠⎩
Khi ñoù goïi xD , xE laø hoaønh ñoä cuûa D,E ta coù :
3
.
D E
D E
x x
x x m
+ = −⎧
⎨
=⎩
Tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi D, E vuoâng goùc khi ( ) ( )' . 'D Ex xy y 1= −
2 2
2 2 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1
. [( ) 2 ]
D D E E
D E D E D E
x x m x x m
x x m x x x x m
⇔ + + + + = −
⇔ − + − + = 1−
<=> 4m2
– 9m + 1 = 0 <=>
9 65 9
;0
8 4
m m
±
= ≠ <
Vaäy
9 65
8
m
±
=
3. f(x) = (x – 2)2
+ 2 x a− ≥ 3, ñaët g(x) = (x -2)2
+ 2 3x a− −
ta caàn chöùng minh f(x) ≥ <=> min g(x) ≥ ;3 0 x∀
* Neáu x – a <=> x ≥ ; khiñoù g(x) = (x – 2)0≥ m 2
+2(x – a) – 3 coù:
g’(x) = 2x - 2 ; g’(x) = 0 <=> x = 1
x a 1 +∞
g’(x) - 0 +
g(x
-2a
x a =>a≤ 1 => min g(x) = -2a >0 <=> a≥ ≤ 0
*Neáu x – a ≤ 0; g(x) = (x – 2)2
- 2 ; g’(x) = 2x – 63x a− −
g’(x) =0 <=> x = 3
x −∞ 3 a +∞
g’(x) - 0 +
g(x)
2a – 8
x≤ a => a ≥ 3 =>min g(x) = 2a – 8 0 => a≥ 4≥
Vaäy a a0 4≤ ∨ ≥

Chde cuctri-tieptuyen

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

More from vanthuan1982

Chde cuctri-tieptuyen