1. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
BÀI 4. TI M C N VÀ KHO NG CÁCH
Ph n 1: Ti m c n và ñư ng cong.
Bài 1. Cho
2
ax (2 1) 3
( ): ( )
2
a x a
C y f x
x
+ − + +
= =
−
v i 1, 0a a≠ − ≠
CMR ti m c n xiên c a (C) luôn ñi qua 1 ñi m c ñ nh.
L i gi i: Ta có:
2
ax (2 1) 3 9 1
( ) ax 4 1
2 2
a x a a
y f x a
x x
+ − + + +
= = = + − +
− −
( )
9 1
lim ( ) ax 4 1 lim 0
2x x
a
f x a
x→∞ →∞
+
⇒ − + − = =   −
⇒ ti m c n xiên c a (C) là (d): y = ax + 4a – 1 (do 0a ≠ )
G i ( )0 0,M x y là ñi m c ñ nh mà (d) luôn ñi qua, suy ra luôn có:
0 0 0 0a 4 1 ( 4) ( 1) 0y x a a x y= + − ⇔ + − + =
0 0
0 0
4 0 4
1 0 1
x x
y y
+ = = − 
⇔ ⇔ 
+ = = − 
V y (d) luôn ñi qua ñi m c ñ nh ( )1, 4M − −
Bài 2. Tìm các ñư ng ti m c n c a hàm s
a,
2
1 2
x 5 6
( )
2x 1
x
y f x
mx
− +
= =
+ +
b,
2
2 2
x 4
( )
x 1
y f x
mx
−
= =
− +
c, 3 2
2
( )
x 2 3
x
y f x
mx
+
= =
− +
d,
( )
2
4 3
4
( )
x 1
x
y f x
m x m
−
= =
− + +
L i gi i: a,
2 2
1 2
2
5 6
1
x 5 6 1xlim ( ) lim lim
1 22x 1 2
x
x x x
x x
f x
mmx
x
→∞ →∞ →∞
− +
− +
= = = ⇒
+ + + +
1
2
y = là TCN
Xét hàm 2
g(x)=2x 1,(1)mx+ + . Ta có 2
8m∆ = −
• N u 2 2 2 2 0 ( ) 0,m g x x− < < ⇒ ∆ < ⇒ > ∀ ⇒ (C) không có TCð
• N u 2 2m = − thì (1) có 1 nghi m 1
2
2 lim ( )
x
x f x
→
= ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 2x =
www.VNMATH.com

2. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
• N u 2 2m = thì (1) có 1 nghi m 1
2
2 lim ( )
x
x f x
→−
= − ⇒ = ∞ ⇒ TCð:
2x = −
• N u 2 2m > ⇒ (1) có 2 nghi m phân bi t
2
1,2
8
4
m m
x
− ± −
= . Ta có
( )g 2 2m 5 0= + ≠ (do ñk c a m ñang xét)
19
(3) 3 19 0
3
g m m
−
= + = ⇔ =
- N u 1
19 3( 2)( 3) 3( 3)
( )
3 ( 3)(6 1) 6 1
x x x
m f x
x x x
− − − −
= ⇒ = = ⇒
− − −
TCð:
1
6
x =
- N u
1 2
1 1
19
lim ( ) lim ( )
3 x x x x
m f x f x
→ →
−
≠ ⇒ = = ∞ ⇒ (C) có 2 TCð: 1x x= và
2x x=
ð i v i các câu còn l i ta làm hoàn toàn tương t .
Bài 3. Tìm m ñ
2
3
x 2
x
y
mx m
−
=
+ +
ch có ñúng m t ti m c n ñ ng
L i gi i: ð t 2
f(x)=x 2mx m+ + . Ta có: 2
8m m∆ = −
• N u 0 8 0 ( ) 0,m f x x< < ⇒ ∆ < ⇒ > ∀ ⇒ (C) không có TCð
• N u 0m = thì (1) có 1 nghi m
0
0 lim
x
x y
→
= ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 0x =
• N u 8m = thì (1) có 1 nghi m
4
4 lim
x
x y
→−
= − ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 4x = −
• N u 0 8m m< ∨ > ⇒ (1) có 2 nghi m phân bi t
2
1,2
8
2
m m m
x
− ± −
=
Hàm s ch có ñúng m t ti m c n ñ ng ⇔
9
(3) 9 5 0
5
f m m
−
= + = ⇔ =
V y các giá tr càn tìm c a m là:
19
;0;8
3
m
− 
=  
 
Bài 4. Tìm m ñ
2
1
x 1
x
y
mx
+
=
+ +
có 2 ti m c n 1 2;x x x x= = th a mãn
2 2
1 2
1 1
2 1
7
x x
x x
+ >
www.VNMATH.com

3. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
L i gi i: Hàm s
2
1
x 1
x
y
mx
+
=
+ +
có 2 ti m c n 1 2;x x x x= =
2
f(x)=x 1mx⇔ + + có 2 nghi m phân bi t 1 2;x x khác -1
2
4 0
2
( 1) 2 0
m
m
f m
∆ = − >
⇔ ⇔ >
− = − ≠
V i ñk ñó, g i 1 2;x x là 2 nghi m c a f(x). Theo viet ta có: 1 2x x m+ = − và 1 2. 1x x =
Do ñó
2 2
4 4 2 21 2
1 2 1 21 1
2 1
7 7 .
x x
x x x x
x x
+ > ⇔ + >
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
22
1 2 1 2
2
2 2
2
2 . 7 .
2 . 9
2 9 2 3
5 5
x x x x x x
x x x x
m m
m m
⇔ + − >
 ⇔ + − >
  
⇔ − > ⇔ − >
⇔ > ⇔ >
V y m c n tìm là: 5m >
Ph n 2: Kho ng cách và di n tích.
Bài 1. Cho
2
2 3 2
( ):
1
x x
C y
x
− +
=
−
1, CMR tích các kho ng cách t ( )M C∈ ñ n 2 ti m c n không ñ i
2, Tìm ( )M C∈ ñ t ng kho ng cách t M ñ n 2 ti m c n min
L i gi i: 1, Ta có
2
2 3 2 1
2 1
1 1
x x
y x
x x
− +
= = − + ⇒
− −
TCð: x = 1, TCX: y = 2x – 1
Gi s
1
1,2 1 ( )M m m C
m
 
+ + + ∈ 
 
, kho ng cách t ñi m M ñ n TCð và TCX l n lư t
là: 1d m=
www.VNMATH.com

4. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
2
1
2( 1) 2 1 1
1
5 5
m m
m
d
m
 
+ − + + − 
 
= =
1 2
1
.
5
d d⇒ = . V y tích không cách là h ng s không ñ i
2, T ng kho ng cách t M ñ n 2 ti m c n là:
1 2 4
1 1 2
2 .
5 5 5
d d d m m
m m
= + = + ≥ =
D u ‘=’ x y ra khi
4
1 4 4
4
4
2 4 4
1 1
1 ;2 1 5
5 51
5 1 1
1 ; 2 1 5
5 5
M
m
M
  
+ + +  
 = ± ⇔
  
 − − + − 
  
V y có 2 ñi m M th a mãn bài toán.
Bài 2. Cho
2
2 1
( ):
1
x x
C y
x
+ +
=
+
. CMR tích các kho ng cách t ( )M C∈ ñ n 2 ti m c n
không ñ i
L i gi i: Ta có:
2
2 1 2
2 1
1 1
x x
y x
x x
+ +
= = − + ⇒
+ +
TCð: x = -1, TCX: y = 2x – 1
Gi s
2
1;2 3 ( )M m m C
m
 
− − + ∈ 
 
, kho ng cách t ñi m M ñ n TCð và TCX l n lư t
là: 1d m=
2
2
2( 1) 2 3 1
2
5 5
m m
m
d
m
 
− − − + − 
 
= =
1 2
2
.
5
d d⇒ = . V y tích không cách là h ng s không ñ i
www.VNMATH.com

5. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
Bài 3. Cho
( )2 2 2
1 2
( ) : ( )m
mx m m x m m
C y f x
x m
− + − + − +
= =
−
( 0m ≠ )
CMR kho ng cách t (0;0)O ñ n ti m c n xiên không l n hơn 2
L i gi i: Ta có
( )2 2 2
1 2 2
( ) 1
mx m m x m m
y f x mx m
x m x m
− + − + − +
= = = − + +
− −
Do 0m ≠ nên TCX c a ñ th là 1 1 0y mx m mx y m= − + ⇔ − − + =
Kho ng cách t (0;0)O ñ n TCX là:
2
1
1
m
d
m
−
=
+
Theo BðT bunhiacopxki ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2
2 1 1 1 1 1m m m+ = + + − ≥ −
2
2
2. 1 1
1
2
1
m m
m
m
⇒ + ≥ −
−
⇒ ≤
+
T ñó ta có ñpcm.
……………………H t…………………….
Ngu n: hocmai.vn
www.VNMATH.com