Bài 4 trình bày về cách tìm tiếp tuyến và khoảng cách giữa các điểm trong hàm số. Các ví dụ cụ thể được đưa ra nhằm giải thích cách xác định giá trị tham số m để đạt được những tính chất nhất định của hàm. Các phép toán liên quan đến việc tìm các điểm cực trị cũng như khoảng cách giữa chúng được đề cập kỹ lưỡng.

1. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
BÀI 4. TI M C N VÀ KHO NG CÁCH
Ph n 1: Ti m c n và ñư ng cong.
Bài 1. Cho
2
ax (2 1) 3
( ): ( )
2
a x a
C y f x
x
+ − + +
= =
−
v i 1, 0a a≠ − ≠
CMR ti m c n xiên c a (C) luôn ñi qua 1 ñi m c ñ nh.
L i gi i: Ta có:
2
ax (2 1) 3 9 1
( ) ax 4 1
2 2
a x a a
y f x a
x x
+ − + + +
= = = + − +
− −
( )
9 1
lim ( ) ax 4 1 lim 0
2x x
a
f x a
x→∞ →∞
+
⇒ − + − = =   −
⇒ ti m c n xiên c a (C) là (d): y = ax + 4a – 1 (do 0a ≠ )
G i ( )0 0,M x y là ñi m c ñ nh mà (d) luôn ñi qua, suy ra luôn có:
0 0 0 0a 4 1 ( 4) ( 1) 0y x a a x y= + − ⇔ + − + =
0 0
0 0
4 0 4
1 0 1
x x
y y
+ = = − 
⇔ ⇔ 
+ = = − 
V y (d) luôn ñi qua ñi m c ñ nh ( )1, 4M − −
Bài 2. Tìm các ñư ng ti m c n c a hàm s
a,
2
1 2
x 5 6
( )
2x 1
x
y f x
mx
− +
= =
+ +
b,
2
2 2
x 4
( )
x 1
y f x
mx
−
= =
− +
c, 3 2
2
( )
x 2 3
x
y f x
mx
+
= =
− +
d,
( )
2
4 3
4
( )
x 1
x
y f x
m x m
−
= =
− + +
L i gi i: a,
2 2
1 2
2
5 6
1
x 5 6 1xlim ( ) lim lim
1 22x 1 2
x
x x x
x x
f x
mmx
x
→∞ →∞ →∞
− +
− +
= = = ⇒
+ + + +
1
2
y = là TCN
Xét hàm 2
g(x)=2x 1,(1)mx+ + . Ta có 2
8m∆ = −
• N u 2 2 2 2 0 ( ) 0,m g x x− < < ⇒ ∆ < ⇒ > ∀ ⇒ (C) không có TCð
• N u 2 2m = − thì (1) có 1 nghi m 1
2
2 lim ( )
x
x f x
→
= ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 2x =
www.VNMATH.com

2. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
• N u 2 2m = thì (1) có 1 nghi m 1
2
2 lim ( )
x
x f x
→−
= − ⇒ = ∞ ⇒ TCð:
2x = −
• N u 2 2m > ⇒ (1) có 2 nghi m phân bi t
2
1,2
8
4
m m
x
− ± −
= . Ta có
( )g 2 2m 5 0= + ≠ (do ñk c a m ñang xét)
19
(3) 3 19 0
3
g m m
−
= + = ⇔ =
- N u 1
19 3( 2)( 3) 3( 3)
( )
3 ( 3)(6 1) 6 1
x x x
m f x
x x x
− − − −
= ⇒ = = ⇒
− − −
TCð:
1
6
x =
- N u
1 2
1 1
19
lim ( ) lim ( )
3 x x x x
m f x f x
→ →
−
≠ ⇒ = = ∞ ⇒ (C) có 2 TCð: 1x x= và
2x x=
ð i v i các câu còn l i ta làm hoàn toàn tương t .
Bài 3. Tìm m ñ
2
3
x 2
x
y
mx m
−
=
+ +
ch có ñúng m t ti m c n ñ ng
L i gi i: ð t 2
f(x)=x 2mx m+ + . Ta có: 2
8m m∆ = −
• N u 0 8 0 ( ) 0,m f x x< < ⇒ ∆ < ⇒ > ∀ ⇒ (C) không có TCð
• N u 0m = thì (1) có 1 nghi m
0
0 lim
x
x y
→
= ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 0x =
• N u 8m = thì (1) có 1 nghi m
4
4 lim
x
x y
→−
= − ⇒ = ∞ ⇒ TCð: 4x = −
• N u 0 8m m< ∨ > ⇒ (1) có 2 nghi m phân bi t
2
1,2
8
2
m m m
x
− ± −
=
Hàm s ch có ñúng m t ti m c n ñ ng ⇔
9
(3) 9 5 0
5
f m m
−
= + = ⇔ =
V y các giá tr càn tìm c a m là:
19
;0;8
3
m
− 
=  
 
Bài 4. Tìm m ñ
2
1
x 1
x
y
mx
+
=
+ +
có 2 ti m c n 1 2;x x x x= = th a mãn
2 2
1 2
1 1
2 1
7
x x
x x
+ >
www.VNMATH.com

3. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
L i gi i: Hàm s
2
1
x 1
x
y
mx
+
=
+ +
có 2 ti m c n 1 2;x x x x= =
2
f(x)=x 1mx⇔ + + có 2 nghi m phân bi t 1 2;x x khác -1
2
4 0
2
( 1) 2 0
m
m
f m
∆ = − >
⇔ ⇔ >
− = − ≠
V i ñk ñó, g i 1 2;x x là 2 nghi m c a f(x). Theo viet ta có: 1 2x x m+ = − và 1 2. 1x x =
Do ñó
2 2
4 4 2 21 2
1 2 1 21 1
2 1
7 7 .
x x
x x x x
x x
+ > ⇔ + >
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
22
1 2 1 2
2
2 2
2
2 . 7 .
2 . 9
2 9 2 3
5 5
x x x x x x
x x x x
m m
m m
⇔ + − >
 ⇔ + − >
  
⇔ − > ⇔ − >
⇔ > ⇔ >
V y m c n tìm là: 5m >
Ph n 2: Kho ng cách và di n tích.
Bài 1. Cho
2
2 3 2
( ):
1
x x
C y
x
− +
=
−
1, CMR tích các kho ng cách t ( )M C∈ ñ n 2 ti m c n không ñ i
2, Tìm ( )M C∈ ñ t ng kho ng cách t M ñ n 2 ti m c n min
L i gi i: 1, Ta có
2
2 3 2 1
2 1
1 1
x x
y x
x x
− +
= = − + ⇒
− −
TCð: x = 1, TCX: y = 2x – 1
Gi s
1
1,2 1 ( )M m m C
m
 
+ + + ∈ 
 
, kho ng cách t ñi m M ñ n TCð và TCX l n lư t
là: 1d m=
www.VNMATH.com

4. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
2
1
2( 1) 2 1 1
1
5 5
m m
m
d
m
 
+ − + + − 
 
= =
1 2
1
.
5
d d⇒ = . V y tích không cách là h ng s không ñ i
2, T ng kho ng cách t M ñ n 2 ti m c n là:
1 2 4
1 1 2
2 .
5 5 5
d d d m m
m m
= + = + ≥ =
D u ‘=’ x y ra khi
4
1 4 4
4
4
2 4 4
1 1
1 ;2 1 5
5 51
5 1 1
1 ; 2 1 5
5 5
M
m
M
  
+ + +  
 = ± ⇔
  
 − − + − 
  
V y có 2 ñi m M th a mãn bài toán.
Bài 2. Cho
2
2 1
( ):
1
x x
C y
x
+ +
=
+
. CMR tích các kho ng cách t ( )M C∈ ñ n 2 ti m c n
không ñ i
L i gi i: Ta có:
2
2 1 2
2 1
1 1
x x
y x
x x
+ +
= = − + ⇒
+ +
TCð: x = -1, TCX: y = 2x – 1
Gi s
2
1;2 3 ( )M m m C
m
 
− − + ∈ 
 
, kho ng cách t ñi m M ñ n TCð và TCX l n lư t
là: 1d m=
2
2
2( 1) 2 3 1
2
5 5
m m
m
d
m
 
− − − + − 
 
= =
1 2
2
.
5
d d⇒ = . V y tích không cách là h ng s không ñ i
www.VNMATH.com

5. Bài 4: Ti m c n và kho ng cách – Khóa LT ð m b o – Th y Tr n Phương
Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t
Bài 3. Cho
( )2 2 2
1 2
( ) : ( )m
mx m m x m m
C y f x
x m
− + − + − +
= =
−
( 0m ≠ )
CMR kho ng cách t (0;0)O ñ n ti m c n xiên không l n hơn 2
L i gi i: Ta có
( )2 2 2
1 2 2
( ) 1
mx m m x m m
y f x mx m
x m x m
− + − + − +
= = = − + +
− −
Do 0m ≠ nên TCX c a ñ th là 1 1 0y mx m mx y m= − + ⇔ − − + =
Kho ng cách t (0;0)O ñ n TCX là:
2
1
1
m
d
m
−
=
+
Theo BðT bunhiacopxki ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2
2 1 1 1 1 1m m m+ = + + − ≥ −
2
2
2. 1 1
1
2
1
m m
m
m
⇒ + ≥ −
−
⇒ ≤
+
T ñó ta có ñpcm.
……………………H t…………………….
Ngu n: hocmai.vn
www.VNMATH.com