Tinjauan pustaka membahas rancangan acak kelompok lengkap (RAKL) dimana satuan percobaan dikelompokkan dan jumlah perlakuan sama dengan jumlah kelompok. RAKL digunakan untuk mengendalikan variasi antar kelompok sehingga beda antar perlakuan lebih jelas. Analisis ragam digunakan untuk menguraikan variasi total menjadi komponen variasi perlakuan, kelompok, dan galat.
1. 1
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL)
Rancangan ini digunakan bila satuan percobaan
dikelompokkan secara berarti, banyaknya satuan dalam setiap
kelompok sama dengan banyaknya perlakuan. Grup demikian
ini dinamakan kelompok (block) atau ulangan (replication).
Tujuan pengelompokkan ini adalah untuk memperoleh satuan
percobaan yang seseragam mungkin dalam setiap kelompok,
sehingga beda yang teramati sebagian besar disebabkan oleh
perlakuan. Keragaman antar satuan percobaan dalam kelompok
yang berbeda secara rata-rata akan berbeda daripada
keragaman antarsatuan dalam kelompok yang sama bila tidak
diberikan perlakuan. Idealnya, keragaman antarsatuan
percobaan dapat dikendalikan, sehingga keragaman
antarkelompok tidak mempengaruhi beda antarnilai-tengah
perlakuan, karena setiap perlakuan muncul sama seringnya
dalam setiap kelompok (Steel and Torrie,1991).
Dalam percobaan lapang, setiap kelompok biasanya
terdiri atas sekumpulan petak yang berbentuk hampir bujur
sangkar. Begitu pula dalam banyak percobaan peternakan,
ternak-ternak dimasukkan ke dalam grup atau kelompok
berdasarkan ciri-ciri seperti bobot awal, kondisi ternak,
keturunan, jenis kelamin, atau umur, seperti pada tahap laktasi
atau produksi susu pada sapi perah (Steel and Torrie,1991).
Selama berlangsungnya percobaan, semua satuan dalam
kelompok harus diperlakukan seseragam mungkin dalam
segala hal kecuali perlakuan. Perubahan teknik percobaan atau
kondisi lain yang mungkin mempengaruhi hasil harus
dilakukan pada seluruh keompok. Misalnya bila pemanenan
hasil dilakukan pada suatu periode waktu, seua petak dalam
satu blok harus dipanen pada hari yang sama. Bila yang
melakukan pengamatan tidak satu orang dan ada
kecenderungan bahwa pengamatan pada petak yang sama
2. 2
mungkin berbeda dari orang yang satu ke orang yang lain, dan
bila dari setiap satuan percobaan diambil satu pengamatan,
maka satu orang harus mengamati satu kelompok seluruhnya.
Sekali lagi, bila banyaknya pengamatan per satuan percobaan
sama dengan banyaknya orang yang bertugas mengamati, maka
setiap petugas harus melakukan satu pengamatan pada setiap
satuan percobaan. Cara ini membantu mengendalikan
keragaman dalam kelompok, yang berarti pula galat percobaan.
Dan cara ini tidak mempengaruhi beda antarnilai-tengah
perlakuan. Keragaman antarkelompok dapat dipisahkan dari
galat percobaan (Steel and Torrie,1991).
Dalam rancangan acak kelompok lengkap, setiap unit
percobaan diklasifikasikan menurut kelompok yang
mengandung satuan percobaan itu dan perlakuan yang
diberikan, sehingga merupakan klasifikasi dua arah. Setiap
perlakuan muncul sekali dalam setiap kelompok dan setiap
perlakuan mengandung semua perlakuan. Pengelompokkan
tersebut dalam usaha memperkecil galat atau umumnya disebut
pengendalian galat (error control). Kelompok dan perlakuan
ortogonal satu dengan lainnya. Artinya setiap perlakuan
muncul sama seringnya dalam setiap kelompok. Jika kelompok
dan perlakuan tidak saling ortogonal maka keragaman antar
keragaman antarkelompok akan mempengaruhi beda
antarnilai-tengah perlakuan, sehingga keragaman antarsatuan
percobaan di dalam kelompok besar yang mengakibatkan
besarnya galat percobaan (Steel and Torrie,1991).
2.1.1.Keuntungan dan kelemahan penggunaan RAK
RAK mempunyai banyak kelebihan dibandingkan
dengan rancangan-rancangan lainnya. Satuan percobaan
dikelompokkan ke dalam kelompok-kelompok, sehingga
diperoleh presisi dan efisiensi yang lebih tinggi dibandingkan
dengan rancangan acak lengkap. Tidak ada batas terhadap
banyaknya perlakuan atau kelompok. Bila perlakuan tertentu
memerlukan ulangan ekstra, itu dapat diberikan pada dua atau
3. 3
lebih satuan percobaan per kelompok dengan pengacakan yang
sesuai. Analisis datanya sederhana. Bila karena sesuatu hal,
data dari satu kelompok atau perlakuan tertentu hilang atau
tidak dapat digunakan, data itu dapat dibuang tanpa
menimbulkan komplikasi dalam analisisnya. Bila data dari
satuan percobaan tertentu hilang, yang hilang itu dapat diduga
dengan mudah tanpa kehilangan kesederhanaan
perhitungannya. Bila galat percobaannya heterogen, komponen
tak bias yang dapat digunakan untuk pembandingan tertentu
dapat diperoleh (Steel and Torrie,1991).
Menurut Steel dan Torrie (1991), kerugian RAK adalah
apabila keragaman antarsatuan percobaan di dalam kelompok
besar maka galat percobaan juga besar. Dan menurut
Yitnosumarto (1993), kerugian RAK adalah apabila andaian
adanya gradien satu arah tidak terpenuhi, presisi dan
efisiensinya justru lebih rendah dibandingkan dengan RAL,
yang disebabkan karena kurangnya derajat bebas untuk galat
percobaan.
2.1.2.Model Linier untuk RAK
Dengan satu pengamatan per petak percobaan maka
model linier untuk RAK adalah (Gasperzs, 1991):
πππ = π + ππ + π½π + πππ (2.1)
i = 1, 2, ..., p
j = 1, 2, ..., r
di mana
πππ = nilai pengamatan pada perlakuan ke-i kelompok ke-j
π = nilai tengah umum
ππ = pengaruh perlakuan ke-i
π½π = pengaruh keompok ke-j
πππ = galat percobaan pada perlakuan ke-i kelompok ke-j
p = banyaknya perlakuan
r = banyaknya kelompok
Penerapan Metode Kuadrat Terkecil (MKT) memberikan
persamaan normal (Yitnosumarto, 1993):
4. 4
(i) πππΜ + π β πΜ π
π
π=1 + πβ π½Μπ
π
π=1 = β β πππ
π
π=1
π
π=1
(ii) ππΜ + ππΜπ + β π½Μπ
π
π=1 = β πππ
π
π=1 (2.2)
(iii) ππΜ + β πΜ π
π
π=1 + ππ½Μπ = β πππ
π
π=1
di mana πΜ, πΜ, dan π½Μ adalah penduga (tak bias) untuk π, π, dan
π½.
Jika model tetap yang digunakan dalam RAK maka perlu
diasumsikan berikut (Gasperzs, 1991):
πΈ( ππ) = ππ
πΈ( ππ
2) = ππ
2
πΈ(π½π) = π½π
πΈ(π½π
2
) = π½π
2
(2.3)
β πΜ π
π
π=1 = β π½Μπ
π
π=1 = 0
πππ~ππΌπ·(0, π2)
diperoleh penduga π, π, dan π½
(i) πΜ = β β πππ
π
π=1
π
π=1 ππβ = πΜ ββ
(ii) πΜ π = β πππ
π
π=1 πβ β πΜ = πΜ πβ β πΜ ββ (2.4)
(iii) π½Μπ = β πππ
π
π=1 πβ β πΜ = πΜ βπ β πΜ ββ
2.1.3.Analisis Ragam untuk RAK
Analisis ragam merupakan suatu analisis yang
menguraikan variansi total ke dalam komponen-komponennya.
Untuk itu dengan mempertimbangkan model (1) dan
mengganti parameter-parameternya dengan penduganya,
sehingga diperoleh (Yitnosumarto, 1993):
πππ = πΜ + πΜ π + π½Μπ + πΜππ
πππ β πΜ = πΜ π + π½Μπ + πΜππ
πππ β πΜ ββ = ( πΜ πβ β πΜ ββ) + (πΜ βπ β πΜ ββ) + (πππ β πΜ πβ β πΜ βπ + πΜ ββ)
dengan mengkuadratkan dan menjumlahkan menurut i dan j,
maka diperoleh:
5. 5
β β (πππ β πΜ ββ)
2π
π=1
π
π=1 = π β ( πΜ πβ β πΜ ββ)2π
π=1 + π β (πΜ βπ βπ
π=1
πΜ ββ)
2
+ β β (πππ β πΜ πβ β πΜ βπ +π
π=1
π
π=1
πΜ ββ)
2
di mana
β β (πππ β πΜ ββ)
2π
π=1
π
π=1 menunjukkan keragaman total
(terkoreksi),
π β ( πΜ πβ β πΜ ββ)2π
π=1 menunjukkan keragaman perlakuan,
π β (πΜ βπ β πΜ ββ)
2π
π=1 menunjukkan keragaman kelompok (blok),
β β (πππ β πΜ πβ β πΜ βπ + πΜ ββ)
2π
π=1
π
π=1 menunjukkan keragaman galat
percobaan.
Persamaan tersebut merupakan penguraian dari Jumlah
Kuadrat Total (JKT) menjadi penjumlahan dari Jumlah
Kuadrat Kelompok (JKK), Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP),
dan Jumlah Kuadrat Galat (JKG). Nilai harapan untuk masing-
masing Jumlah Kuadrat (JK) dapat diuraikan sebagai berikut
(Walpole, 1995):
πΈ( π½πΎπΎ) = πΈ (π β (πΜ βπ β πΜ ββ)
2π
π=1 )
= ππΈ(β πΜ βπ
2π
π=1 β ππΜ ββ
2
)
= π (β πΈ(πΜ βπ
2
)π
π=1 β ππΈ( πΜ ββ
2))
= π (β (
π2
π
+ (π + π½π )
2
)π
π=1 β π(
π2
ππ
+ π2
))
= π (
ππ2
π
+ ππ2
+ 2πβ π½π
π
π=1 + β π½π
2π
π =1 β
π2
π
β ππ2
)
= π (
ππ2
π
+ β π½π
2π
π=1 β
π2
π
)
= ( π β 1) π2
+ π β π½π
2π
π=1 (2.5)
Dengan cara yang sama diperoleh nilai harapan untuk JKP dan
JKG sebagai berikut:
πΈ( π½πΎπ) = ( π β 1) π2
+ π β ππ
2π
π=1 (2.6)
πΈ( π½πΎπΊ) = ( π β 1)( π β 1) π2
(2.7)
Kuadrat Tengah (KT) masing-masing komponen merupakan
JK komponen tersebut dibagi dengan derajat bebasnya,
6. 6
sehingga nilai harapan KT masing-masing komponen sebagai
berikut:
πΈ( πΎππΎ) = π2
+
π
( πβ1)
β π½π
2π
π=1
πΈ( πΎππ) = π2
+
π
( πβ1)
β ππ
2π
π=1
πΈ( π½πΎπΊ) = π2
(2.8)
2.1.4.Asumsi-Asumsi yang Mendasari Analisis Ragam
Analisis ragam merupakan suatu teknik statistika. Oleh
karena itu, asumsi-asumsi yang dikehendaki oleh teknik
tersebut harus dipenuhi agar pemakaiannya terhadap suatu
gugus data dapat dianggap sah (Yitnisumarto, 1993):
Asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam analisis
ragam adalah sebagai berikut:
1. Galat-galat percobaan harus menyebar normal.
2. Galat-galat percobaan harus mempunyai ragam umum,
katakanlah π2
3. Pengaruh perlakuan dan lingkungan harus bersifat aditif.
4. Galat percobaan harus bebas sesamanya, artinya bahwa
peluang galat suatu pengamatan harus tidak teantung
pada nilai galat pengamatan yang lain.
Keempat asumsi dapat diringkas menjadi πππ~ππΌ(0, π2),
yang berarti galat percobaan menyebar secara normal dan
bebas satu sama lain dengan nilai tengah nol dan ragam π2
.
Tidak terpenuhinya satu atau beberapa asumsi dapat
mempengaruhi taraf nyata dan kepekaan dari uji F. Tidak
terpenuhinya salah satu asumsi sering diikuti juga oleh tidak
terpenuhinya asumsi yang lain. Oleh karena itu, sebaiknya
dilakukan pengujian terhadap seluruh asumsi, bukan hanya
salah satu asumsi saja (Yitnosumarto, 1993).
2.1.5.Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis pada rancangan acak kelompok
digunakan statistik uji F. Statistik uji untuk menguji π»0 βΆ π1 =
7. 7
π2 = β― = π π = 0 terhadap π»1 βΆ paling tidak ada satu ππ β
0( π = 1,2, β―, π) adalah (Lehman, 1986)
πΉ =
πΎππ
πΎππΊ
(2.11)
Daerah kritis untuk menguji π»0 terhadap π»1 adalah tolak π»0
jika πΉ > πΉπΌ;( πβ1);( πβ1)( πβ1). Statistik uji untuk menguji π»0 βΆ
π½1 = π½2 = β― = π½π = 0 terhadap π»1 βΆ paling tidak ada satu
π½π β 0( π = 1,2, β―, π) adalah
πΉ =
πΎππΎ
πΎππΊ
(2.12)
dengan
πΎππ =
π β ( πΜ πββπΜ ββ)2π
π=1
( πβ1)
, πΎππΎ =
π β ( πΜ βπβπΜ ββ)
2π
π=1
( πβ1)
, dan πΎππΊ =
β β ( πΜ ππ βπΜ π ββπΜ βπ+πΜ ββ)
2π
π=1
π
π=1
( πβ1)( πβ1)
.
Daerah kritis untuk menguji π»0 terhadap π»1 adalah tolak π»0
jika πΉ > πΉπΌ;( πβ1);( πβ1)( πβ1). Dari uraian di atas dapat diringkas
dalam suatu tabel analisis ragam untuk rancangan acak
kelompok pada tabel 1 (Barner,1994).
Tabel 2.1.Tabel analisis ragam untuk rancangan acak
kelompok
Sumber
Keragaman
db JK KT E(KT) F
Kelompok (r-1) JKK KTK π2 +
π
( π β 1)
β π½π
2
π
π=1
πΎππΎ
πΎππΊ
Perlakuan (p-1) JKP KTP π2 +
π
( π β 1)
β ππ
2
π
π=1
πΎππ
πΎππΊ
Galat (r-1)(p-1) JKG KTG π2
Total (pr-1) JKT
2.2. Kuasa Uji Analisis Ragam
Seperti dikemukakan sebelumnya, dalam analisis ragam, total
keragaman diuraikan menjadi dua bagian penting, yaitu keragaman
antar sampel yang mengukur keragaman yang beraturan dan acak,
dan keragaman dalam sampel yang hanya mengukur keragaman
8. 8
acak. Yang kemudian menjadi masalah adalah jika keragaman dalam
sampel begitu besar, sehingga uji yang dipakai tidak lagi peka
terhadap perbedaan sesungguhnya antara p rataan perlakuan.
Kepekaan uji menggambarkan kemampuan uji menemukan
perbedaan dalam rataan populasi dan diukur oleh kuasa uji tersebut.
Jadi, kuasa uji analisis ragam dapat ditafsirkan sebagai peluang
statistik-F berada di daerah kritis, padahal sesungguhnya hipotesis
nol tersebut salah dan bahwa rataan perlakuan sesungguhnya adalah
berbeda (Walpole dan Myers, 1995).
Dalam analisis ragam, tujuan utamanya ialah menguji hipotesis
keragaman rataan perlakuan.
Nilai harapan kuadrat tengah untuk perlakuan, kelompok, dan
galat percobaan seperti pada persamaan (2.8). Jadi, untuk
penyimpangan tertentu dari hipotesis nol, yang diukur dengan ...,
untuk perlakuan, dan ..., untuk kelompok, nilai ... yang besar
menurunkan peluang memperolah nilai .... yang jatuh pada daerah
kritis tersebut.
Kepekaan uji menggambarkan kemampuan uji menemukan
perbedaan dalam rataan populasi dan diukur oleh kuasa uji tersebut,
yang tidak lain adalah .... Jadi, kuasa uji analisis ragam dapat
didefinisikan sebagai peluang statistik
Dalam analisis ragam, kuasa uji tergantung pada distribusi
nisbah F di bawah hipotesis bahwa rataan perlakuan berbeda. Karena
itu, diperlukan distribusi
2.3. Data Hilang dalam RAKL
Sering kali suatu hasil pengamatan hilang atau sengaja
dihilangkan karena sebab tertentu. Data (pengamatan) yang
hilang dapat terjadi karena kerusakan yang tidak dapat
dihindari pada unit percobaan. Data yang hilang
mengakibatkan timbulnya masalah dalam analisis karena
perlakuan tidak lagi bersifat ortogonal terhadap ulangan,
sehingga tidak semua perlakuan diterapkan pada setiap
ulangan. Ortogonal yang dimaksud di sini adalah sifat
keseimbangan atau sifat simetris pada rancangan percobaan.
Kehilangan sifat seimbang dapat menyebabkan hilangnya sifat
persaingan antara sesama perlakuan dalam tiap ulangan. Oleh
9. 9
karena itu, penting dilakukan pendugaan terhadap data hilang
(Montgomery, 1984).
Yitnosumarto (1993) mengatakan bahwa salah satu
keuntungan penggunaan rancangan acak kelompok adalah jika
ada satu atau lebih amatan yang hilang (atau senganja
dihilangkan dengan alasan yang dapat diterima) analisis ragam
untuk data tersebut masih dapat dilakukan.
Untuk memudahkan pembahasan digunakan notasi-notasi
sebagai berikut.
Xij : menyatakan data pada perlakuan ke-i kelompok ke-j hilang.
di : banyaknya data hilang pada perlakuan ke-i.
cj : banyaknya data hilang pada kelompok ke-j.
Misalkan dalam penelitian ini ada k buah data hilang, maka :
π = β ππ
π
π=1
= β ππ
π
π=1
(2.13)
dengan
Ti : total perlakuan ke i dengan di buah data hilang,
Bj : total kelompok ke j dengan cj buah data hilang,
D : total seluruh pengamatan dengan k buah data hilang.
Data hilang pada kelompok yang sama dinamakan kelompok sekutu,
dan jika data hilang pada perlakuan yang sama dinamakan perlakuan
sekutu, sehingga yang hilang data Xgh, akan mempunyai (ch-1)
kelompok sekutu, (dg-1) perlakuan sekutu dan (k-(ch+dg-1) tanpa
sekutu.
π½πΎπΊ = β β πππ
2π
π=1
π
π=1 β
1
π
β ππβ
2π
π=1 β
1
π
β πβπ
2π
π=1 +
πββ
2
ππ
= β β ππ π
2
πβ πβ²πβ πβ² + β β ππβ² πβ²
2
πβ²πβ² β
1
π
[β (β ππππ )
2
π +
β ( ππ + β π ππβ²πβ² )
2
π ]β
1
π
[β (β ππππ )
2
π + β ( π΅π +π
β ππβ² ππβ² )
2
] +
1
ππ
[ π· + β β ππππβ²πβ² ]
2
= β β ππβ² πβ²
2
πβ²πβ² β
1
π
β ( ππ + β πππβ²πβ² )
2
π β
1
π
β ( π΅π +π
β ππβ² ππβ² )
2
+
1
ππ
( π· + β β π πβ² πβ²πβ²πβ² )
2
+ π (2.14)
dengan R konstanta yang tidak mengandung Xij.
2.4. Metode Biggers
10. 10
Biggers (1959) menyatakan suatu metode yang berdasarkan
pada metode Yates untuk menganalisis data hilang dalam rancangan
percobaan. Pada dasarnya metode Biggers digunakan untuk
mengestimasi untuk πππ, yaitu πΜππ ditentukan sedemikian sehingga
JKG persamaan (2.14) minimum. Hal ini dilakukan dengan
mengambil turunan dari JKG terhadap πππ dan menyamakan dengan
nol. Andaikan data yang hilang tersebut adalah ππβ,
π½πΎπΊ = ππβ
2
β
1
π
( ππ + β π ππβ²πβ² )
2
β
1
π
( π΅β + β ππβ²βπβ² )2 +
1
ππ
( π· + ππβ)
2
+ π
ππ½πΎπΊ
ππΜ πβ
= 0
β πππΜ πβ β π β π ππβ²πβ² β π β ππβ²βπβ² + β β π πβ² πβ²πβ²πβ² = πππ +
ππ΅β β π· (2.15)
Persamaan (2.15) dikelompokkan dalam suku-suku yang
berhubungan dengan kelompok sekutu, perlakuan sekutu dan tanpa
sekutu sebagai berikut.
βΊ πππΜ πβ β π(β πππ + πΜ πβπβ²,πβ β ) β π(β πππ + πΜ πβπβ²,πβ π ) +
(β β ππππβ²,πβ βπβ²,πβ π + β ππβπβ²,πβ π + β ππππβ²,πβ β + πΜ πβ) =
πππ + ππ΅β β π·
β ( π β 1)( π β 1) πΜ πβ + (1 β π) β ππππβ²,πβ β + (1 β
π) β ππβπβ²,πβ π + β β ππππβ²,πβ βπβ²,πβ π = πππ + ππ΅β β π· (2.16)
Analog untuk (k-1) data hilang yang lain. Sehingga diperoleh k buah
persamaan yang analog dengan (2.15) dan (2.16). Bila ditulis dalam
bentuk matriks:
π¨ πΓπ πΏ πΓ1 = πΈ πΓ1 (2.17)
dengan
Ak x k: matriks simetri dengan elemen-elemen (p-1)(r-1) untuk
kelompok dan perlakuan yang bersesuaian, (1-p) untuk
perlakuan yang bersesuaian, (1-r) untuk kelompok yang
bersesuaian dan 1 untuk lainnya. Matriks ini merupakan
matriks nonsingular,
Xk x 1: matriks dari data yang hilang,
Qk x 1: matriks nilai pTg + rBh β D dari persamaan yang bersesuaian.
Dari persamaan (2.17) diperoleh :
πΏΜ πΓ1 = π¨β1 πΈ (2.18)