1. Dokumen menjelaskan konsep integral tak tentu dan antiderivatif serta rumus-rumus dasar integrasi untuk fungsi konstan, fungsi daya, dan fungsi eksponensial. 2. Berbagai contoh diberikan untuk mengilustrasikan hubungan antara antiderivatif, derivatif, dan integral sebagai proses terbalik dari diferensiasi. 3. Latihan soal disertakan untuk mempraktikkan penggunaan rumus-rumus integral dasar.

1. BAB 7
Rumus dan aturan integrasi integral dan dasar yang
tidak biasa
Antiderivatives dan integral tak tentu
Sebuah antiapivatif fungsi f pada interval I adalah fungsi F sedemikian rupa sehingga
f’(x)=
𝑑
𝑑𝑥
[f(x)]=f(x) untuk semua x dalam l.
Dengan demikian, antiderivatif adalah hasil pembalikan proses diferensiasi, sehingga untuk
berbicara. Contoh berikut menggambarkan konsep ini.
➢ 5x3
Adalah antiapivatif dari 15 x2
karena
𝑑
𝑑𝑥
(5x2
)=15x2
➢ 5x3
-20 Adalah antiapivatif dari 15 x2
karena
𝑑
𝑑𝑥
(5x3
-20) = 15 x2
-0 = 15 x2
➢ 5x3
-100 Adalah antiapivatif dari 15 x2
karena
𝑑
𝑑𝑥
(5x3
-100) = 15 x2
-0 = 15 x2
➢ Tan x Adalah antiapivatif dari sec2
x karena
𝑑
𝑑𝑥
(tan x) = sec2
x
➢ Tan x+4 Adalah antiapivatif dari sec2
x karena
𝑑
𝑑𝑥
(tan x + 4) = sec2
x + 0 = sec2
x
➢ Tan x-30 Adalah antiapivatif dari sec2
x karena
𝑑
𝑑𝑥
(tan x - 30) = sec2
x - 0 = sec2
x
Dari contoh-contoh ini, Anda dapat melihat bahwa, walaupun fungsi memiliki paling banyak satu
derivatif, mereka mungkin memiliki banyak (sebenarnya, tak terbatas banyak) antiderivatives.
Jadi, jika F adalah suatu antiapivatif fungsi menjemput sebuah interval I, maka f(x) + C Mewakili
himpunan antiderivatives dari f, di mana C adalah konstanta yang sewenang-wenang.
Bagian integral dari f adalah himpunan semua antimerivatif dari kotoran dilambangkan dengan
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 demikian.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶
Dimana F adalah antiderivatif f selama selang waktu dan merupakan konstanta yang sewenang-
wenang. Proses penentuan integral tak tentu disebut integrasi. Ekspresi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 adalah
dibaca “Integral untuk F dengan mewakili untuk x”; f(x) adalah Disebut integrand, dx
disebut diferensial, dan C disebut konstanta integrasi.

2. Catatan: dx diferensial menunjukkan bahwa integrasi terjadi sehubungan dengan variabel x.
Selanjutnya, akan dipahami bahwa dalam ungkapan ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶, F adalah a
Antiderivatif fover interval.
Anda mungkin menduga bahwa integrasi "membatalkan" proses diferensiasi menjadi nilai
konstan. Dengan cara yang sama, diferensiasi "membatalkan" proses integrasi. Contoh
berikut menggambarkan hubungan terbalik ("undoing") antara integrasi dan diferensiasi.
Masalah verifikasi bahwa ∫ 15𝑥2
𝑑𝑥 = 5𝑥3
+ C dengan membedakan anggota yang
tepat.
Solusi
𝑑
𝑑𝑥
(5x3
+C)= 15x2
+ 0 = 15x2
Masalah verifikasi bahwa ∫ 𝑆𝑒𝑐2
𝑥𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 dengan membedakan anggota yang tepat.
Solusi
𝑑
𝑑𝑥
(tan x +C)= Sec2
x+ 0 = Sec2
x
1. ∫ 100𝑑𝑥 = 100 + C
2. ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 = 3x2
+ C
3. ∫(3𝑥2
+ 4𝑥 − 5)𝑑𝑥= x3
+ 2x2
– 5x + C
4. ∫(𝑥2
+ 1) √ 𝑥 dx =
2
7
𝑥
7
2 +
2
3
𝑥
3
2 + C
5. ∫(𝑥 𝑒
+ 𝑒 𝑥
) dx
𝑥 𝑒+1
𝑒+1
+ 𝑒 𝑥
+ 𝐶
6. ∫(10𝑥 + 30𝑥) 3
10𝑑𝑥 =
(10𝑥+30𝑥)4
4
+ 𝐶
7. ∫(𝑥2
+ 3) 4
2𝑥𝑑𝑥 =
(𝑥2− 3)5
5
+ 𝐶
8. ∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑠𝑖𝑛3 𝑥
3
+ 𝐶
9. ∫ 𝑥2
sin 𝑥 3
𝑑𝑥 =
cos 𝑥3
3
+ 𝐶
10. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶
Integrasi fungsi konstan
Jika k adalah konstan, maka ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶, Dimana C adalah konstanta yang sewenang-wenang.
• ∫ 3 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝐶
• ∫ √7 𝑑𝑥 = √7 𝑥 + 𝐶
• ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑥 = 1𝑥 + 𝐶 = 𝑥 + 𝐶
Catatan: Solusi ini biasanya ditulis ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

3. 1. ∫ 8 𝑑𝑥
2. ∫
3
4
𝑑𝑥
3. ∫ 9,75 𝑑𝑥
4. ∫ √3 𝑑𝑥
5. ∫ {
3√40
√10+15
} 𝑑𝑥
6. ∫ 16 √2 𝑑𝑡
7. ∫ 𝑒2
𝑑𝑥
8. ∫ 2𝜋 𝑑𝑟
9. ∫ −21 𝑑𝑢
10. ∫
6
𝑒
𝑑𝑥
Integrasi fungsi daya
Rumus integral berikut untuk fungsi daya dapat diturunkan dari rumus untuk membedakan
fungsi daya (lihat Bab 4) dan fungsi logaritma alami (lihat Bab 6):
Dan ∫ 𝑥 𝑛
dx =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ C, Untuk semua n≠ 1;
∫ 𝑥−1
dx = ∫
1
𝑥
dx = In|x| + C,
Dimana C adalah konstanta yang sewenang-wenang.
• ∫ 𝑥2
dx =
𝑥3
3
+ C,
• ∫ √ 𝑥 dx = ∫ 𝑥
3
2 dx =
𝑥
3
2
3
2⁄
+ C =
2𝑥
3
2
3
+ C
• ∫
1
𝑥5
dx = ∫ 𝑥5
dx =
𝑥−4
−4
+ C = -
1
4𝑥4
+ C
• ∫ 𝑥 𝑛
dx =
𝑥 𝑛−1
𝜋+1
+ C
• ∫
1
𝑢
du = In |u| + C
Latihan
1. ∫ 𝑥5
𝑑𝑥
2. ∫ √𝑥34
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑥√2dx
4. ∫
1
𝑥2
dx

4. 5. ∫ 𝑡100
𝑑𝑡
6. ∫ 𝑢2𝑥
𝑑𝑢
7. ∫
1
√ 𝑥
dx
8. ∫
𝑥5
𝑥2 𝑑𝑥
9. ∫ 𝑟−1
𝑑𝑟
10. ∫
1
𝑡
𝑑𝑡
Integrasi fungsi eksponensial
Rumus integral berikut untuk fungsi eksponensial dapat diturunkan dari aturan untuk membedakan
fungsi eksponensial (lihat Bab 6) dan aturan rantai (lihat Bab 5):
∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝐶;
∫ 𝑒 𝑘𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑘
𝑒 𝑘𝑥
+ 𝐶, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘 ≠ 0;
∫ 𝑏 𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑙𝑛𝑏
𝑏 𝑥
+ 𝐶, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 0; 𝑑𝑎𝑛
∫ 𝑏 𝑘𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑘𝑙𝑛𝑏
𝑏 𝑘𝑥
+ 𝐶, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑘 ≠ 0;
Dimana C adalah konstanta yang sewenang-wenang.
• ∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢
+ 𝐶
• ∫ 𝑒5𝑢
𝑑𝑥 =
1
5
𝑒 𝑢
+ 𝐶 =
𝑒5𝑥
5
+ 𝐶
• ∫ 2 𝑥
𝑑𝑥 =
1
ln 2
2 𝑥
+ 𝐶 =
2 𝑥
ln 2
+ 𝐶
• ∫ 25𝑥
𝑑𝑥 =
1
5ln 2
25𝑥
+ 𝐶 =
25𝑥
5ln2
+ 𝐶
Latihan
1. ∫ 𝑒 𝑡
𝑑𝑡
2. ∫ 𝑒20𝑥
𝑑𝑥
3. ∫ 𝑒 𝑥𝑥
𝑑𝑥
4. ∫ 𝑒0,25𝑥
𝑑𝑥
5. ∫ 𝑒
𝑥
5 𝑑𝑥
6. ∫ 𝑒√3𝑥
𝑑𝑥
7. ∫ 4 𝑥
𝑑𝑥
8. ∫ 23𝑥
𝑑𝑥
9. ∫ 1000,25𝑥
𝑑𝑥
10. ∫ 𝜋
𝑥
5 𝑑𝑥