Dokumen tersebut membahas tentang aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi untuk kelas XI SMA IPA. Materi tersebut mencakup penjelasan konsep dasar perkalian, permutasi siklis dan dengan unsur yang sama, serta kombinasi dan binomial Newton beserta contoh soalnya.

1. Aturan Perkalian,
Permutasi, dan Kombinasi
Untuk Kelas XI SMA IPA
Oleh Aris Kosasih

2. Kompetensi Inti
• Memahami, menerapkan, dan menjelaskan pengetahuan
faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif dalam
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora
dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,
dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian,
serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang
kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya
untuk memecahkan masalah

3. Kompetensi Dasar
• 3.14 Memahami dan menerapkan berbagai aturan
pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta
menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian,
permutasi dan kombinasi) melalui diagram atau cara
lainnya
• 3.15 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi
dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata

4. Indikator Pencapaian Kompetensi
• Siswa mampu mengidentifikasi permasalahan yang
berhubungan dengan aturan pencacahan (perkalian,
permutasi dan kombinasi)
• Siswa mampu menerapkan berbagai konsep dan prinsip
permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata

5. Peta Konsep

6. Aturan Perkalian
• Aturan Pengisian Tempat
Jika sesuatu pekerjaan diselesaikan dengan p cara yang
berlainan dan sesuatu pekerjaan lain diselesaikan dengan q
cara yang berlainan, maka banyaknya cara untuk melakukan
dua kegiatan itu dapat diselesaikan dengan
(p × q) cara.
• Notasi Faktorisasi
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1
sampai dengan n. Definisi matematisnya adalah:
n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1

7. Contoh
• Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang
terdiri dari 4 angka, padahal tersedia angka-angka 1, 2, 3,
4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang
sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
• Polisi itu dapat membuat plat nomor kendaraan sebanyak 5 ×
4 × 3 × 2 = 120 plat nomor kendaraan.
• Hitunglah nilai dari 2! × 3!
• 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1
= 6 × 2
= 12

8. Permutasi
• Notasi Permutasi
• Permutasi Siklis
• Permutasi Jika Ada Unsur Yang Sama

9. Notasi Permutasi
• Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan
objek-objek
• Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan
urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen,
dengan r  n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan
urutan tidak ada elemen yang sama.
))
1
(
)...(
2
)(
1
(
)
,
( 



 r
n
n
n
n
r
n
P
)!
(
!
r
n
n



10. Contoh
• Tentukan nilai dari !
)
3
,
8
(
P
)!
(
!
)
,
(
r
n
n
r
n
P


)!
3
8
(
!
8
)
3
,
8
(


P
!
5
!
8

!
5
!
5
6
7
8 


 6
7
8 


336


11. Permutasi Siklis
• Permutasi siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya
melingkar, sehingga banyaknya menyusun n unsur yang
berlainan dalam lingkaran ditulis:
)!
1
(
)
1
)(
2
)...(
2
)(
1
(
!




 n
n
n
n
n
n
n
)!
1
(
)
,
( 
 n
P siklis
n

12. Contoh
• Pada rapat pengurus OSIS SMA X dihadiri oleh 6 orang
yang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapakah
susunan yang dapat terjadi?
)!
1
(
)
,
( 
 n
P siklis
n
)!
1
6
(
)
,
6
( 

siklis
P !
5

1
2
3
4
5 



 120


13. Permutasi Jika Ada Unsur Yang Sama
• Jika dalam suatu permutasi terdapat beberapa unsur yang
sama, maka permutasi tersebut disebut permutasi dengan
pengulangan.
• Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m
unsur yang sama dapat ditentukan dengan:
!
!
!
!
)
_
(
m
l
k
n
P sama
unsur 

14. Contoh
• Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata
AGUSTUS?
• Pada kata AGUSTUS Banyaknya huruf = 7, banyaknya S = 2,
banyaknya U = 2
!
!
!
!
)
_
(
m
l
k
n
P sama
unsur 
!
2
!
2
!
7
)
_
( 
sama
unsur
P
1
2
!
2
!
2
3
4
5
6
7








3
2
5
6
7 



 260
.
1


15. Kombinasi
• Notasi Kombinasi
• Binomial Newton

16. Notasi Kombinasi
• Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada
permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada
kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.
• Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah
jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil
dari n buah elemen
!
))
1
(
)...(
2
)(
1
(
)
,
(
r
r
n
n
n
n
r
n
C














r
n
)!
(
!
!
r
n
r
n



17. Contoh Soal Kombinasi 1
• Dari 10 orang pemain putra. Berapakah pasangan ganda
yang dapat diperoleh untuk ganda putra?
• Karena banyaknya pemain putra ada 10 dan dipilih 2,
maka banyak cara ada:
)!
(
!
!
r
n
r
n
Cn
r


)!
2
10
(
!
2
!
10
10
2


C
!
8
!
2
!
10

!
8
!
2
!
8
9
10 

 9
5
 45


18. • Dari 3 orang pemain putra dan 6 orang pemain putri.
Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk
ganda putri?
• Karena banyaknya pemain putri ada 6 dan dipilih 2, maka
banyak cara ada:
)!
(
!
!
r
n
r
n
Cn
r


)!
2
6
(
!
2
!
6
6
2


C
!
4
!
2
!
6

!
4
!
2
!
4
5
6 

 15
2
5
.
6


Contoh Soal Kombinasi 2

19. Contoh Soal Kombinasi 3

20. LATIHAN SOAL
1. Untuk mengikuti suatu kompetisi renang, seorang pelatih harus
memilih 3 perenang dari 5 orang perenang. Berapa banyak cara
pelatih dapat memilih perenang ..
2. Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih, 4 kelereng biru dan 3
kelereng merah. Banyak cara pengambilan 3 kelereng putih dari
kantong tersebut adalah…
3. Seorang peternak akan membeli hewan ternak untuk dipelihara.
Dia akan membeli 3 ekor sapi, 4 ekor domba dan 5 ekor kambing.
Seorang pedagang mempunyai 6 ekor sapi, 6 ekor domba dan 8
ekor kambing. Banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih
hewan ternak yang akan dibeli adalah…

21. Binomial Newton
• Koefisien untuk xn-kyk adalah C(n, k). Bilangan C(n, k)
disebut koefisien binomial.
• (x + y)n = C(n, 0) xn + C(n, 1) xn-1 y1 + … +
C(n, k) xn-k yk + … + C(n, n) yn
= xn-k yk


n
k
k
n
C
0
)
,
(

22. LATIHAN
• Amir mempunyai 5 kaos kaki dan 3 sepatu yang berlainan
warna. Dengan berapa cara Amir dapat memakai sepatu
dan kaos kaki?
• Terdapat 7 siswa sedang belajar di taman membentuk
sebuah lingkaran. Ada berapa cara mereka duduk dengan
membentuk sebuah lingkaran?
• Dari 3 orang pemain putra dan 6 orang pemain putri.
Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk
ganda putri?

23. Aturan Perkalian
• Diketahui terdapat 5 kaos kaki, 3 sepatu
• Jadi banyaknya cara ada 5 × 3 = 15 cara

24. Permutasi
• Terdapat 7 siswa duduk melingkar, sehingga terdapat
)!
1
(
)
,
( 
 n
P siklis
n
)!
1
7
(
)
,
7
( 

siklis
P !
6

1
2
3
4
5
6 




 720


25. Kombinasi
• Terdapat 6 pemain putri, dan akan dipilih 2 pemain, maka
terdapat
)!
(
!
!
)
,
(
r
n
r
n
r
n
C


)!
2
6
(
!
2
!
6
)
2
,
6
(


C
!
4
!
2
!
6

!
4
!
2
!
4
5
6 


5
3

15


26. TERIMA KASIH