2. Jadwal Kuliah
Hari : Rabo jam : 15.30
Sistem Penilaian
UTS 30 %
UAS 30 %
Tugas 40 %
3. Silabus
• Bab I Matriks dan Operasinya
• Bab II Determinan Matriks
• Bab III Invers Matriks
• Bab IV Sistem Persamaan Linear
• Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen
• Bab VI Matlab (SPL)
• Bab VII Vektor
• Bab VIII Perkalian Vektor
• Bab IX Ruang Vektor
• Bab X Proses Gram Schmidt
• Bab XI Transformasi Linier Kernel
• Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen
• Bab XIII MATLAB
4. Sub Pokok Bahasan 1
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
– Matriks dan Jenisnya
– OperasiMatriks
– Operasi Baris Elementer
–Sifat OperasiMatriks
Beberapa Aplikasi Matriks
– Representasi image (citra)
– Chanel/Frequency assignment
– Operation Research
dan lain-lain.
5. Pengertian Matrix
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun
dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Notasi yang digunakan
Atau Atau
6. Matriks
Notasi Matriks
A =
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç ç ç
è
n
n
a a .....
a
11 12 1
a a ....
a
21 22 2
: : : :
a a ....
a
m 1 m 2
mn
Baris ke -1
Unsur / entri /elemen ke-mn
(baris m kolom n)
Kolom ke -2
Matrix A berukuran (ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan
sama (notasi A = B)
Jika i j i j untuk setiap i dan j a = b
7. Jenis Matriks
(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
A*0=0, begitu juga 0*A=0.
(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah
baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33,
….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A
tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2
ö
æ
2 3
A = ÷ ÷ø
ç çè
1 4
8. Jenis Matriks
(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang
semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :
ö
÷ ÷ ÷ ø
æ
ç ç ç
è
2 0 0
0 5 0
0 0 3
(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang
semua elemen diagonalnya adalah 1.
Contoh :
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
9. Jenis Matriks
(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua
elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
Contoh :
A=
ö
æ
4 0 0
0 4 0
(vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah
matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal
elemennya = 0.
A =
÷ ÷ ÷ ø
ç ç ç
è
0 0 4
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
3 2 1
0 4 5
0 0 4
10. (Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas
diagonal elemennya = 0.
A=
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
3 0 0
1 4 0
6 9 4
(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang
elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan
bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama
dengan dirinya sendiri.
Contoh :
ö
÷ ÷ ÷
æ
1 2 0
2 3 1
A = =
ø
ç ç ç
è
0 1 1
AT
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
1 2 0
2 3 1
0 1 1
A = AT
11. (ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya
adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij,
elemen diagonal utamanya = 0
Contoh :
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
A = AT =
ø
æ
ç ç ç ç ç è
0 1 3 0
1 0 4 2
- -
-
-
3 4 0 1
0 2 1 0
ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç ç ç
è
0 1 3 0
1 0 4 2
3 4 0 1
- -
-
- -
-
0 2 1 0
12. TRANSPOSE MATRIKS
Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka
transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A
dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
(A+B)T = AT + BT
(AT) T = A
k(AT) = (kA)T
(AB)T = BT AT
13. Operasi Matrix
• Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan
Contoh =
a.
b.
ö
÷ ÷ø
a e b f
æ
+ +
ç çè
+ +
ö
= ÷ ÷ø
ç çè æ
ö
+ ÷ ÷ø
æ
ç çè
c g d h
e f
g h
a b
c d
ö
÷ ÷ø
æ
= ÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
+ ÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
ç çè
4 7
7 6
3 1
4 1
1 6
3 5
14. Operasi Matrix
• Pengurangan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan
Contoh =
a.
b.
ö
÷ ÷ø
a e b f
æ
- -
ç çè
- -
ö
= ÷ ÷ø
ç çè æ
ö
- ÷ ÷ø
æ
ç çè
c g d h
e f
g h
a b
c d
ö
÷ ÷ø
-
= ÷ ÷ø
æ
-
ç çè
3 1
ö
æ
- ÷ ÷ø
ç çè
ö
æ
ç çè
2 5
1 4
4 1
1 6
3 5
15. Operasi Matrix
Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
p q
k
æ
ç çè
r s
• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
ö
÷ ÷ø
æ
= ÷ ÷ø
ç çè
ö
kp kq
kr ks
Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn
(3 2)
æ
= ÷ ÷ø
(2 3)
,
x
p q
r s
B
x t u
a b d
e f g
A
ö
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
ö
æ
=
ç çè
(2 2)
p q
æ
+ + + +
ö
æ
ö
æ
=
A B r s
÷ø
÷ x ep fr gt eq fs gu
(3 2)
a b d
(2 3) . .
x
x
ap br dt aq bs du
t u
e f g
ö
ç çè
+ + + +
=
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
÷ ÷ø
ç çè
16. Hukum Perkalian Matriks :
Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif, A*B ¹ B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A¹0 dan B¹0
Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
17. Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2)
dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1
OBE2
ö
÷ ÷ ÷
1 2 3
3 2 1
ø
æ
ç ç ç
1 2 A b b
« - - -
è
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ- - -
=
ç ç ç
è
0 2 4
3 2 1
1 2 3
0 2 4
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
- -
1 1 0 1
0 2 1 7
-
ö
÷ ÷ ÷
1 A b
ø
æ
ç ç ç
è
- -
4 4 0 4
0 2 1 7
-
=
4
1
¾¾® 2 1 1 3
2 1 1 3
19. Definisi yang perlu diketahui :
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ -
=
0 0 0 0
ç ç ç
è
1 1 1 3
0 0 3 1
B
– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan
satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris
ke-3 adalah nol.
20. OBE
Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih
ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris
paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi
Gauss)
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses
Eliminasi Gauss-Jordan)
