Επιμέλεια: Μπάμπης Τσιριόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. 1
Τα Προβλήματα στο Δημοτικό
Επιμέλεια: Μπάμπης Τσιριόπουλος
Μερικές σκέψεις για ην επίλυση προβλημάτων, μέσα από (χαρακτηριστικά)
παραδείγματα.
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ I
Όταν μας δοθεί ένα πρόβλημα που “παραπέμπει” ασυναίσθητα σε επίλυση
συστήματος ή εξίσωσης.
1ο
Παράδειγμα
Σε ένα αγρόκτημα υπάρχουν 25 κότες και κουνέλια, που έχουν συνολικά 70
πόδια. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα κουνέλια;
Ο μαθηματικός θα λύσει το πρόβλημα στα παιδιά της γ΄ γυμνασίου με
σύστημα.
Έστω x οι κότες και y τα κουνέλια.
Έχουμε για λύση το σύστημα:
25
2 4 70
x y
x y
 

 
Από αυτό προκύπτει ότι    , 15 ,10x y 
Επομένως οι κότες είναι 15 και τα κουνέλια είναι 10.
Στα παιδιά της β΄ γυμνασίου θα το λύσει με εξίσωση.
Έστω x οι κότες. Τα κουνέλια είναι 25 x .
Έχουμε για λύση την εξίσωση:  2 4 25 75x x    .
Από αυτήν προκύπτει ότι 10x  , οπότε 15y  .
Τι γίνεται όμως με το Δημοτικό που δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ούτε
σύστημα, ούτε εξίσωση;
Υποθέτουμε πως και τα 25 ζώα ήταν κουνέλια.
Αυτά θα είχαν 25 4 100  πόδια.
Η διαφορά 100 70 30  πόδια, οφείλεται στο γεγονός ότι οι κότες έχουν 2
πόδια, ενώ τα κουνέλια έχουν 4 πόδια.
Επομένως τα κουνέλια είναι 30:2 15 (τα 2 από τα 4 πόδια των κουνελιών
έχουν ήδη “χρησιμοποιηθεί”).
Άρα οι κότες είναι 25 15 10  .
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 16

2. 2
Ένα αντίστοιχο πρόβλημα είναι αυτό με τα δίκλινα και τα τρίκλινα δωμάτια.
2ο
Παράδειγμα
Ένα ξενοδοχείο διαθέτει 30 τρίκλινα και δίκλινα δωμάτια, που μπορούν να
φιλοξενήσουν 70 πελάτες. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα
δωμάτια;
Έστω ότι όλα τα δωμάτια ήταν δίκλινα.
Το ξενοδοχείο θα μπορούσε να φιλοξενήσει 30 2 60  πελάτες.
Η διαφορά 70 60 10  οφείλεται στο γεγονός ότι υπάρχουν και τρίκλινα
δωμάτια, κάθε ένα από τα οποία μπορεί να φιλοξενήσει έναν πελάτη
παραπάνω απ’ ότι τα δίκλινα δωμάτια.
Επομένως τα τρίκλινα δωμάτια είναι 10, ενώ τα δίκλινα είναι 30 10 20  .
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 16

3. 3
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ II
Όταν έχουμε να αντιμετωπίσουμε ένα πρόβλημα όπου γνωρίζουμε το
άθροισμα δύο αριθμών και το πόσο μεγαλύτερος ή μικρότερος είναι ο ένας
από τον άλλο.
3ο
Παράδειγμα
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 75 και ο ένας είναι κατά 15 μεγαλύτερος από τον
άλλο. Να βρεθούν οι αριθμοί.
Για να δούμε πώς θα μπορούσαμε να δώσουμε παραστατικά το πρόβλημα
και θα μπορούσαμε να βοηθήσουμε τους μαθητές να κατανοήσουν τη λύση
του. Στο παρακάτω σχήμα, ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς αντιστοιχεί
στο ορθογώνιο 1, 2 και ο μικρότερος στον αριθμό 3.
Το ορθογώνιο 1 αντιστοιχεί στη διαφορά των δύο αριθμών, δηλαδή στο 15.
Επομένως τα δύο ίσα ορθογώνια 2 και 3 αντιστοιχούν στον αριθμό:
75 15 60
30
2 2

 
Επομένως ο μικρότερος αριθμός είναι το 30 και ο μεγαλύτερος είναι το:
30 15 45  .
2
1
3
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 16

4. 4
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ III
Όταν έχουμε να αντιμετωπίσουμε ένα πρόβλημα όπου γνωρίζουμε το
άθροισμα δύο αριθμών και το πόσες φορές μεγαλύτερος ή μικρότερος είναι ο
ένας από τον άλλο.
4ο
Παράδειγμα
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 60. Αν ο ένας αριθμός είναι τρεις φορές
μεγαλύτερος από τον άλλο, να βρεθούν οι αριθμοί.
Στην περίπτωση αυτή, επειδή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε εξίσωση,
υποθέτοντας ότι ο ένας αριθμός είναι ο x και ο άλλος ο 60 x ,
χρησιμοποιούμε τα “μερίδια”.
Υποθέτουμε πως ο μικρότερος αριθμός αντιστοιχεί σε 1 μερίδιο, οπότε ο
μεγαλύτερος αντιστοιχεί σε 3 μερίδια.
Τα μερίδια είναι συνολικά 1 3 4  , οπότε αν χωρίσουμε τον αριθμό σε
μερίδια, κάθε μερίδιο θα αντιστοιχεί σε 60:4 15 μονάδες.
Επομένως ο μικρότερος αριθμός είναι το 15 και ο μεγαλύτερος είναι το:
15 3 45  .
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 16

5. 5
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ IV
Όταν έχουμε να αντιμετωπίσουμε ένα πρόβλημα όπου γνωρίζουμε την
περίμετρο ενός ορθογωνίου, μία σχέση μεταξύ των δύο διαστάσεων και
θέλουμε να βρούμε τις διαστάσεις του.
5ο
Παράδειγμα
Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 60 εκ. και η μία πλευρά του είναι κατά 6 εκ.
μεγαλύτερη από την άλλη. Να βρείτε τις δύο πλευρές.
Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε την ημιπερίμετρο, για να απαλλαγούμε
από το 2 του τύπου, που δίνει την περίμετρο του ορθογωνίου  2      .
Η ημιπερίμετρος είναι ίση με 60:2 30 εκ., οπότε έχουμε να λύσουμε ένα
πρόβλημα της μορφής: “Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 30 και ο ένας είναι κατά
6 μεγαλύτερος από τον άλλο. Να βρείτε τους δύο αριθμούς”.
Έχουμε: 30 6 24  και 24:2 12 .
Επομένως ο ένας αριθμός είναι το 12 και ο άλλος το 30 12 18  .
Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 12 εκ. και 18 εκ.
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 16

6. 6
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ V
Προβλήματα που λύνονται με τη χρήση του Πίνακα Ποσών – Τιμών ή την
Απλή Μέθοδο των Τριών ή την Αναγωγή στη Μονάδα.
6ο
Παράδειγμα
Όταν αλέθουμε το σιτάρι για να γίνει αλεύρι, το σιτάρι χάνει στο άλεσμα το 25
% του βάρους του. Στη συνέχεια, όταν ζυμώνουμε το αλεύρι για να γίνει
ζυμάρι, το αλεύρι αυξάνει στο ζύμωμα το βάρος του κατά 50 %. Τέλος, όταν
ψήνουμε το ζυμάρι για να γίνει ψωμί, το ζυμάρι χάνει στο ψήσιμο το 20 % του
βάρους του. Να βρείτε πόσα κιλά σιτάρι χρειαζόμαστε για να κάνουμε 240
κιλά ψωμί.
Όταν μας δίνεται μείωση, έκπτωση κλπ, κατά ένα ποσοστό, παίρνουμε το
ποσοστό που έμεινε, αφαιρώντας από το 100 %.
Αντίστοιχα: Όταν μας δίνεται αύξηση κατά ένα ποσοστό, προσθέτουμε το
ποσοστό στο 100 %. Με τον τρόπο αυτό αποφεύγουμε την ενδιάμεση πράξη,
με την οποία βρίσκουμε πόση είναι η μείωση ή η αύξηση, για να βρούμε στη
συνέχεια την τελική τιμή.
Ακολουθούμε τα βήματα, αρχίζοντας από το τελευταίο δεδομένο.
Εφ’ όσον το ζυμάρι χάνει 20 % κατά τη μετατροπή του σε ψωμί, μένει το:
100 % – 20 % = 80 % του βάρους του ζυμαριού.
 Για 240 κιλά ψωμί χρειαζόμαστε:
80 100
240: 240 300
100 80
   κιλά ζυμάρι.
 Για 300 κιλά ζυμάρι χρειαζόμαστε:
150 100
300: 300 200
100 150
   κιλά
αλεύρι.
 Για 200 κιλά αλεύρι χρειαζόμαστε:
75 100
200: 200 266
100 75
   κιλά σιτάρι.
Μπορούμε στις περιπτώσεις αυτές να χρησιμοποιήσουμε τον
πίνακα ποσών – τιμών.
ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ
ζυμάρι 100 κ. x; κ.
ψωμί 80 κ. 240 κ.
Τα ποσά είναι ανάλογα. Επομένως:
100
80 240
80 100 240
80 24.000
24.000:80
300
x
x
x
x
x

  
 


Την ίδια λογική χρησιμοποιούμε και για τη μετατροπή του αλευριού σε
ζυμάρι, καθώς και του σιταριού σε αλεύρι.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την απλή μέθοδο των τριών.
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 16

7. 7
Τα 100 κιλά ζυμάρι δίνουν 80 κιλά ψωμί
Τα x; κιλά ζυμάρι δίνουν 240 κιλά ψωμί
Τα ποσά είναι ανάλογα. Επομένως:
240
100 300
80
x    κιλά ζυμάρι.
Την ίδια λογική χρησιμοποιούμε και για τη μετατροπή του αλευριού σε
ζυμάρι , καθώς και του σιταριού σε αλεύρι.
Μπορούμε επίσης να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα.
Από τα 100 κιλά ζυμάρι παίρνουμε 80 κιλά ψωμί.
Επομένως 100 : 80 = 1,25 κιλά ζυμάρι δίνουν 1 κιλό ψωμί.
Οπότε τα 240 κιλά ψωμί τα παίρνουμε από 240 x 1,25 = 300 κιλά αλεύρι.
Την ίδια λογική χρησιμοποιούμε και για τη μετατροπή του αλευριού σε
ζυμάρι, καθώς και του σιταριού σε αλεύρι.
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 16

8. 8
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ VI
Προβλήματα που είναι προτιμότερο να τα λύνουμε με την Αναγωγή στη
Μονάδα.
7ο
Παράδειγμα
Ένας λόχος στρατού 120 ανδρών έχει τρόφιμα για 15 ημέρες. Ύστερα από 5
ημέρες ενισχύεται ο λόχος με 30 άνδρες. Πόσες ημέρες θα περάσουν όλοι
μαζί με τα τρόφιμα που έχουν;
Ο λόχος είχε 120 x 15 = 1.800 μερίδες.
Στις 5 ημέρες καταναλώθηκαν 120 x 5 = 600 μερίδες.
Επομένως έμειναν 1.800 – 600 = 1.200 μερίδες.
Οι στρατιώτες είναι τώρα: 120 + 30 = 150.
Άρα έχουν τρόφιμα για άλλες 1.200 : 150 = 8 ημέρες.
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 16

9. 9
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ VII
Προβλήματα που ουσιαστικά είναι μερισμού σε μέρη ανάλογα.
8ο
Παράδειγμα
Nα μοιράσετε το ποσό των 7.350 ευρώ σε τρία αδέρφια ηλικίας 36, 51 και 60
ετών, ανάλογα με την ηλικία τους.
Έχουμε:
36 + 51 + 60 = 147
7.350 : 147 = 50
Επομένως χωρίζουμε το ποσό των 7.350 ευρώ σε:
 36 x 50 = 1.800 ευρώ
 51 x 50 = 2.550 ευρώ
 60 x 50 = 3.000 ευρώ
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 16

10. 10
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ VIII
Προβλήματα που χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε Ελάχιστο Κοινό
Πολλαπλάσιο
9ο
Παράδειγμα
Τρεις αθλητές ξεκινούν από το ίδιο σημείο ταυτόχρονα και τρέχουν
στο στάδιο. Ο πρώτος ολοκληρώνει τον γύρο σε 2 λεπτά, ο δεύτερος σε 3 και ο
τρίτος σε 4 λεπτά.
Α. Πότε θα βρεθούν για δεύτερη φορά όλοι στο ίδιο σημείο ταυτόχρονα και
πόσους γύρους θα έχει κάνει ο καθένας τους; (ως πρώτη φορά που
συναντιούνται θεωρήστε την φορά που βρίσκονται οι αθλητές μετά την έναρξη
του τρεξίματος από την αφετηρία)
Β. Όταν συναντιούνται ταυτόχρονα για δεύτερη φορά οι τρεις αθλητές,
ο τρίτος σταματάει και κάνει ένα διάλειμμα 2 λεπτών και μετά συνέχισε να
τρέχει με τον ίδιο ρυθμό όπως και πριν. Πότε θα βρεθούν και πάλι ταυτόχρονα
και οι 3 αθλητές;
Α. Είναι Ε.Κ.Π. (2, 3, 4) = 12. Επομένως θα βρεθούν για δεύτερη φορά
όλοι στο ίδιο σημείο ταυτόχρονα μετά από 12 λεπτά.
Θα έχουν κάνει:
 Ο πρώτος αθλητής 12 : 2 = 6 γύρου;
 Ο δεύτερος αθλητής 12 : 3 = 4 γύρους
 Ο τρίτος αθλητής 12 : 4 = 3 γύρους.
Β. Για δεύτερη φορά θα συναντηθούν μετά από 2 x 12 = 24 λεπτά, ενώ για
τρίτη φορά θα συναντηθούν μετά από 3 x 12 = 36 λεπτά.
Ο πρώτος και ο δεύτερος θα κάνουν 12 λεπτά, ενώ ο τρίτος θα κάνει
36 – (24 + 2) = 36 – 26 = 10 λεπτά.
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 16

11. 11
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ IX
Προβλήματα που χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη
10ο
Παράδειγμα
Σε μια πολύτεκνη οικογένεια οι γονείς αγόρασαν για τα παιδιά τους
στην αρχή της σχολικής χρονιάς 32 τετράδια, 28 μολύβια και 12 σβήστρες.
Αν κάθε παιδί πήρε τον ίδιο αριθμό από κάθε σχολικό είδος, να βρείτε:
α. Πόσα παιδιά έχει η πολύτεκνη οικογένεια.
β. Πόσα τετράδια, πόσα μολύβια και πόσες σβήστρες πήρε το κάθε παιδί.
α. Είναι: Μ.Κ.Δ. (32, 28, 12) = 4.
Επομένως η οικογένεια έχει 4 παιδιά.
β. Το κάθε παιδί πήρε:
 32 : 8 = 4 τετράδια
 28 : 4 = 7 μολύβια
 12 : 4 = 3 σβήστρες
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 16

12. 12
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ X
Όταν θέλουμε να βρούμε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού ή όταν
γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού και θέλουμε να βρούμε τον
αριθμό.
11ο
Παράδειγμα
Σε ένα διαγωνισμό χορού συμμετείχαν 105 άτομα. Τα
4
7
αυτών ήταν από την
Ελλάδα. Τα
2
5
των υπολοίπων ήταν από την Κύπρο και οι υπόλοιποι ήταν
από την Ιταλία και από την Ισπανία. Οι 8 άντρες χορευτές αποτελούσαν τα
4
9
των Ισπανών χορευτών. Να βρείτε:
α. Πόσοι χορευτές ήταν από την Ελλάδα
β. Πόσοι χορευτές ήταν από την Κύπρο
γ. Πόσοι ήταν οι Ιταλοί χορευτές.
α. Για να βρούμε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού, κάνουμε
πολλαπλασιασμό.
Από την Ελλάδα ήταν
4
105 60
7
  χορευτές.
β. Οι υπόλοιποι ήταν 105 – 60 = 45 χορευτές.
Από την Κύπρο ήταν
2
45 18
5
  χορευτές.
γ. Από την Ιταλία και την Ισπανία ήταν:
 105 60 18 105 78 27     χορευτές.
Όταν γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού και θέλουμε να
βρούμε τον αριθμό, κάνουμε διαίρεση.
Οι Ισπανοί χορευτές ήταν
4 4
8: 8 18
9 9
   .
Επίσης πολλές φορές κάνουμε αναγωγή στην κλασματική μονάδα.
Λέμε:
Τα
4
9
των χορευτών είναι 8 χορευτές.
Το
1
9
των χορευτών είναι 8 : 4 = 2 χορευτές.
Τα
9
9
των χορευτών είναι 2 x 9 = 18 χορευτές.
Επομένως οι Ισπανοί χορευτές ήταν 18.
Οι Ιταλοί χορευτές ήταν 27 – 18 = 9.
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 16

13. 13
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ XI
Όταν θέλουμε λύσουμε “σύνθετες εξισώσεις”.
Γενικά για την επίλυση εξισώσεων πρέπει να γνωρίζουμε ότι:
 Για να βρούμε τον άγνωστο προσθετέο, αφαιρούμε από το άθροισμα
τον γνωστό προσθετέο.
Παράδειγμα:
23 42
42 23
19
x
x
x
 

 
 
 Για να βρούμε τον άγνωστο μειωτέο, προσθέτουμε τη διαφορά και τον
αφαιρετέο. Παράδειγμα:
7 20
20 7
27
x
x
x
 

 
 
 Για να βρούμε τον άγνωστο αφαιρετέο, αφαιρούμε από το μειωτέο τη
διαφορά. Παράδειγμα:
16 11
16-11
5
x
x
x
 


 
 Για να βρούμε τον άγνωστο παράγοντα του γινομένου, διαιρούμε το
γινόμενο με το γνωστό παράγοντα. Παράδειγμα:
8 56
56:8
7
x
x
x
 


 
 Για να βρούμε τον άγνωστο διαιρετέο, πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη
με το πηλίκο. Παράδειγμα:
:12 5
12 5
60
x
x
x


 
 
 Για να βρούμε τον άγνωστο διαιρέτη, διαιρούμε το διαιρετέο με το
πηλίκο. Παράδειγμα:
42: 6
42:6
7
x
x
x



 
12ο
Παράδειγμα
Να λυθεί η εξίσωση
3 5
10
2
x 

Γνωρίζουμε ότι το κλάσμα είναι μία διαίρεση με διαιρετέο τον αριθμητή και
διαιρέτη τον παρονομαστή. Επομένως για να βρούμε τον άγνωστο διαιρετέο,
πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη με το πηλίκο, δηλαδή:
3 5 2 10
3 5 20
x
x
   
  
12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 16

14. 14
Για να βρούμε τον άγνωστο προσθετέο, αφαιρούμε από το άθροισμα τον
γνωστό προσθετέο, δηλαδή:
3 20 5
3 15
x
x
  
 
Για να βρούμε τον άγνωστο παράγοντα του γινομένου, διαιρούμε το γινόμενο
με το γνωστό παράγοντα, δηλαδή:
15:3
5
x
x


12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 14 of 16

15. 15
13ο
Παράδειγμα
Να λυθεί η εξίσωση
4 8 4
12 3
x 

Για να βρούμε τον άγνωστο διαιρετέο, πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη με το
πηλίκο, δηλαδή:
4
4 8 12
3
4 8 16
x
x
   
  
Για να βρούμε τον άγνωστο μειωτέο, προσθέτουμε τη διαφορά και τον
αφαιρετέο, δηλαδή:
4 16 8
4 24
x
x
  
 
Για να βρούμε τον άγνωστο παράγοντα του γινομένου, διαιρούμε το γινόμενο
με το γνωστό παράγοντα, δηλαδή:
24: 4
6
x
x


12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 15 of 16

16. 16
14ο
Παράδειγμα
Να λυθεί η εξίσωση
4 7
8 13
3
x 
 
Για να βρούμε τον άγνωστο προσθετέο, αφαιρούμε από το άθροισμα τον
γνωστό προσθετέο, δηλαδή:
4 7
8 13
3
4 7
13 8
3
4 7
5
3
x
x
x
 
 
 
 
 

Για να βρούμε τον άγνωστο διαιρετέο, πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη με το
πηλίκο, δηλαδή:
4 7 3 5
4 7 15
x
x
   
  
Για να βρούμε τον άγνωστο προσθετέο, αφαιρούμε από το άθροισμα τον
γνωστό προσθετέο, δηλαδή:
4 15 7
4 8
x
x
  
 
Για να βρούμε τον άγνωστο παράγοντα του γινομένου, διαιρούμε το γινόμενο
με το γνωστό παράγοντα, δηλαδή:
8: 4
2
x
x


12.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 16 of 16