SlideShare a Scribd company logo
1 of 18
The Definite Integral
and The Fundamental
Theorem of Calculus
This method used the sum of
the area of intervals under a
curve- called Reimann Sums
The limit of the sums of intervals is the same as
a definite integral over the same interval.
b
A (x)
• A’ (x) = f (x)
• A (a) = 0 and F (x) = A (x) + C
• A (b) = A
F b
( )-F a
( )= A b
( )+C
é
ë ù
û- A a
( )+C
é
ë ù
û=
A b
( )- A a
( )= A-0 = A
The Fundamental Theorem
of Calculus, Part I
f x
( )dx
a
b
ò = F(x)]a
b
How about some
practice?
1. x dx
1
9
ò = x
1
2
dx
1
9
ò = 2x
3
2
3
ù
û
ú
ú
ú1
9
=
2
3
9
3
2
-1
3
2
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
2
3
9
3
2
-1
3
2
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
2
3
27-1
( ) =
52
3
2.
sin x
5
dx
0
p
2
ò =-
cosx
5
ù
û
ú
0
p
2
=-
1
5
cos
p
2
æ
è
ç
ö
ø
÷-cos0
é
ë
ê
ù
û
ú= -
1
5
0-1
[ ] =
1
5
3. 5ex
dx
0
ln3
ò =5ex ù
û0
ln3
=5 eln3
-e0
( )= 5 3-1
( )=10
More Examples !!!
Evaluate f (x)dx
0
6
ò If f (x) =
x2
, x < 2
3x -2, x ³ 2
ì
í
ï
î
ï
x2
dx
0
2
ò + 3x -2
( )dx
2
6
ò =
x3
3
ù
û
ú
0
2
+
3x2
2
-2x
ù
û
ú
2
6
=
8
3
-0
æ
è
ç
ö
ø
÷+ 42-2
( )=
128
3
TOTAL AREA
A1 A3 A5
a A2 A4 b
Total area = f (x) dx
a
b
ò
Practice Time !!!
Find the total area between the curve y = 1 – x2
and the x-axis over the interval [0, 2].
A = 1- x2
dx
0
2
ò = 1- x2
( )dx
0
1
ò + - 1- x2
( )dx
1
2
ò =
x -
x3
3
æ
è
ç
ö
ø
÷
ù
û
ú
0
1
- x -
x3
3
æ
è
ç
ö
ø
÷
ù
û
ú
1
2
= 1-
1
3
-0
æ
è
ç
ö
ø
÷- 2-
8
3
æ
è
ç
ö
ø
÷- 1-
1
3
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
ê
ù
û
ú=
2
3
- -
4
3
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
6
3
= 2
The Mean Value Theorem for Integrals:
Over any interval, there exists an x value which creates a y value
that is the height of a rectangle which will equal the area under the
curve.
The Average Value:
The function value, f(c), found by the
Mean Value Theorem
Þ f c
( ) =
1
b-a
f x
( )
a
b
ò
Example
faverage =
1
2-
1
2
x2
+1
x2
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
2
2
ò dx =
2
3
1+
1
x2
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
2
2
ò dx =
2
3
x -
1
x
æ
è
ç
ö
ø
÷
ù
û
ú
1
2
2
=
2
3
2-
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷-
1
2
-2
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
ê
ù
û
ú=
2
3
1
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷- -1
1
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
ê
ù
û
ú=
2
3
×3= 2
In analyzing the graph of F(x) we would look
at the derivative:
d
dx
F x
( ) =???
F x
( )= sint
( )
a
x
ò dt =-cost]a
x
=-cosx - -cosa
( )=
d
dx
F x
( ) =
d
dx
-cosx +cosa
[ ] =
-cosx+cosa
sin x
f (x)
The Fundamental Theorem of
Calculus, Part II
d
dx
f (t)
a
x
ò dt
é
ë
ê
ù
û
ú= f (x)
1.
d
dx
tan4
t
( )dt
0
x
ò
é
ë
ê
ù
û
ú=
How about some
practice?
tan4
x
2.
d
dx
t3
dt
1
x
ò
é
ë
ê
ù
û
ú= x3
3.
d
dx
sint
t
dt
0
x
ò
é
ë
ê
ù
û
ú=
sin x
x
Integrals with Functions as
Limits of Integration
d
dx
f (t)
a
g(x)
ò dt
é
ë
ê
ù
û
ú= f g x
( )
( )×g' x
( )
Let’s Practice !!!
d
dx
1
t3
dt
2
x2
ò =
1
x2
( )
3
×2x = 1
x6
×2x =
2
x5
d
dx
1-t2
( )dt
1
sin x
ò =1-sin2
x
( )×cosx =cos2
x×cosx = cos3
x

More Related Content

What's hot

Tema 3 (Cálculo de derivadas)
Tema 3  (Cálculo de derivadas)Tema 3  (Cálculo de derivadas)
Tema 3 (Cálculo de derivadas)jhbenito
 
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchThế Giới Tinh Hoa
 
Resumen de Derivadas (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)
Resumen de Derivadas (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Resumen de Derivadas (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)
Resumen de Derivadas (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Mauricio Vargas 帕夏
 
4 Penyelesaian Grafik Dengan Matlab
4 Penyelesaian Grafik Dengan Matlab4 Penyelesaian Grafik Dengan Matlab
4 Penyelesaian Grafik Dengan MatlabSimon Patabang
 
Limit dan kontinuan
Limit dan kontinuanLimit dan kontinuan
Limit dan kontinuansidesty
 
Một số bài tập hàm số
Một số bài tập hàm sốMột số bài tập hàm số
Một số bài tập hàm sốtuituhoc
 
Special Products
Special ProductsSpecial Products
Special Productsdeathful
 
Cong thuc-tich-phan
Cong thuc-tich-phanCong thuc-tich-phan
Cong thuc-tich-phanQuoc Tuan
 
Bài tập tích phân- nguyên hàm
Bài tập tích phân- nguyên hàmBài tập tích phân- nguyên hàm
Bài tập tích phân- nguyên hàmdiemthic3
 
Grupos de jovenes reprobados en clase ADE
Grupos de jovenes reprobados en clase ADEGrupos de jovenes reprobados en clase ADE
Grupos de jovenes reprobados en clase ADECesar D Colosio C
 
81 bukti bukti_limit_ apiq
81 bukti bukti_limit_ apiq81 bukti bukti_limit_ apiq
81 bukti bukti_limit_ apiqAgus Nggermanto
 
Persamaan trigonometri
Persamaan trigonometriPersamaan trigonometri
Persamaan trigonometrikusnadiyoan
 
1ª lista de exercicios de cálculo I limites
1ª lista de exercicios de cálculo I   limites1ª lista de exercicios de cálculo I   limites
1ª lista de exercicios de cálculo I limitesmarcelotorraca
 

What's hot (20)

Tema 3 (Cálculo de derivadas)
Tema 3  (Cálculo de derivadas)Tema 3  (Cálculo de derivadas)
Tema 3 (Cálculo de derivadas)
 
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
 
Resumen de Derivadas (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)
Resumen de Derivadas (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)Resumen de Derivadas (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)
Resumen de Derivadas (Cálculo Diferencial e Integral UNAB)
 
4 Penyelesaian Grafik Dengan Matlab
4 Penyelesaian Grafik Dengan Matlab4 Penyelesaian Grafik Dengan Matlab
4 Penyelesaian Grafik Dengan Matlab
 
Limit dan kontinuan
Limit dan kontinuanLimit dan kontinuan
Limit dan kontinuan
 
Factorización 1
Factorización 1Factorización 1
Factorización 1
 
Một số bài tập hàm số
Một số bài tập hàm sốMột số bài tập hàm số
Một số bài tập hàm số
 
Produtos notáveis III
Produtos notáveis IIIProdutos notáveis III
Produtos notáveis III
 
Special Products
Special ProductsSpecial Products
Special Products
 
Mata = integrales
Mata = integralesMata = integrales
Mata = integrales
 
Cong thuc-tich-phan
Cong thuc-tich-phanCong thuc-tich-phan
Cong thuc-tich-phan
 
Bài tập tích phân- nguyên hàm
Bài tập tích phân- nguyên hàmBài tập tích phân- nguyên hàm
Bài tập tích phân- nguyên hàm
 
Grupos de jovenes reprobados en clase ADE
Grupos de jovenes reprobados en clase ADEGrupos de jovenes reprobados en clase ADE
Grupos de jovenes reprobados en clase ADE
 
Integration formulas
Integration formulasIntegration formulas
Integration formulas
 
Notacion cientifica
Notacion cientificaNotacion cientifica
Notacion cientifica
 
81 bukti bukti_limit_ apiq
81 bukti bukti_limit_ apiq81 bukti bukti_limit_ apiq
81 bukti bukti_limit_ apiq
 
1ee prova com_gab
1ee prova com_gab1ee prova com_gab
1ee prova com_gab
 
Persamaan trigonometri
Persamaan trigonometriPersamaan trigonometri
Persamaan trigonometri
 
1ª lista de exercicios de cálculo I limites
1ª lista de exercicios de cálculo I   limites1ª lista de exercicios de cálculo I   limites
1ª lista de exercicios de cálculo I limites
 
U4 s1 productos notables
U4 s1   productos notablesU4 s1   productos notables
U4 s1 productos notables
 

More from dicosmo178

8.7 numerical integration
8.7 numerical integration8.7 numerical integration
8.7 numerical integrationdicosmo178
 
8.2 integration by parts
8.2 integration by parts8.2 integration by parts
8.2 integration by partsdicosmo178
 
7.3 volumes by cylindrical shells
7.3 volumes by cylindrical shells7.3 volumes by cylindrical shells
7.3 volumes by cylindrical shellsdicosmo178
 
7.2 volumes by slicing disks and washers
7.2 volumes by slicing disks and washers7.2 volumes by slicing disks and washers
7.2 volumes by slicing disks and washersdicosmo178
 
7.1 area between curves
7.1 area between curves7.1 area between curves
7.1 area between curvesdicosmo178
 
6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus...
6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus...6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus...
6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus...dicosmo178
 
6.3 integration by substitution
6.3 integration by substitution6.3 integration by substitution
6.3 integration by substitutiondicosmo178
 
6.2 the indefinite integral
6.2 the indefinite integral 6.2 the indefinite integral
6.2 the indefinite integral dicosmo178
 
6.1 & 6.4 an overview of the area problem area
6.1 & 6.4 an overview of the area problem area6.1 & 6.4 an overview of the area problem area
6.1 & 6.4 an overview of the area problem areadicosmo178
 
5.8 rectilinear motion
5.8 rectilinear motion5.8 rectilinear motion
5.8 rectilinear motiondicosmo178
 
5.7 rolle's thrm & mv theorem
5.7 rolle's thrm & mv theorem5.7 rolle's thrm & mv theorem
5.7 rolle's thrm & mv theoremdicosmo178
 
5.5 optimization
5.5 optimization5.5 optimization
5.5 optimizationdicosmo178
 
5.4 absolute maxima and minima
5.4 absolute maxima and minima5.4 absolute maxima and minima
5.4 absolute maxima and minimadicosmo178
 
5.3 curve sketching
5.3 curve sketching5.3 curve sketching
5.3 curve sketchingdicosmo178
 
5.2 first and second derivative test
5.2 first and second derivative test5.2 first and second derivative test
5.2 first and second derivative testdicosmo178
 
5.1 analysis of function i
5.1 analysis of function i5.1 analysis of function i
5.1 analysis of function idicosmo178
 
4.3 derivatives of inv erse trig. functions
4.3 derivatives of inv erse trig. functions4.3 derivatives of inv erse trig. functions
4.3 derivatives of inv erse trig. functionsdicosmo178
 
7.2 volumes by slicing disks and washers
7.2 volumes by slicing disks and washers7.2 volumes by slicing disks and washers
7.2 volumes by slicing disks and washersdicosmo178
 
8.2 integration by parts
8.2 integration by parts8.2 integration by parts
8.2 integration by partsdicosmo178
 
8.7 numerical integration
8.7 numerical integration8.7 numerical integration
8.7 numerical integrationdicosmo178
 

More from dicosmo178 (20)

8.7 numerical integration
8.7 numerical integration8.7 numerical integration
8.7 numerical integration
 
8.2 integration by parts
8.2 integration by parts8.2 integration by parts
8.2 integration by parts
 
7.3 volumes by cylindrical shells
7.3 volumes by cylindrical shells7.3 volumes by cylindrical shells
7.3 volumes by cylindrical shells
 
7.2 volumes by slicing disks and washers
7.2 volumes by slicing disks and washers7.2 volumes by slicing disks and washers
7.2 volumes by slicing disks and washers
 
7.1 area between curves
7.1 area between curves7.1 area between curves
7.1 area between curves
 
6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus...
6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus...6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus...
6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus...
 
6.3 integration by substitution
6.3 integration by substitution6.3 integration by substitution
6.3 integration by substitution
 
6.2 the indefinite integral
6.2 the indefinite integral 6.2 the indefinite integral
6.2 the indefinite integral
 
6.1 & 6.4 an overview of the area problem area
6.1 & 6.4 an overview of the area problem area6.1 & 6.4 an overview of the area problem area
6.1 & 6.4 an overview of the area problem area
 
5.8 rectilinear motion
5.8 rectilinear motion5.8 rectilinear motion
5.8 rectilinear motion
 
5.7 rolle's thrm & mv theorem
5.7 rolle's thrm & mv theorem5.7 rolle's thrm & mv theorem
5.7 rolle's thrm & mv theorem
 
5.5 optimization
5.5 optimization5.5 optimization
5.5 optimization
 
5.4 absolute maxima and minima
5.4 absolute maxima and minima5.4 absolute maxima and minima
5.4 absolute maxima and minima
 
5.3 curve sketching
5.3 curve sketching5.3 curve sketching
5.3 curve sketching
 
5.2 first and second derivative test
5.2 first and second derivative test5.2 first and second derivative test
5.2 first and second derivative test
 
5.1 analysis of function i
5.1 analysis of function i5.1 analysis of function i
5.1 analysis of function i
 
4.3 derivatives of inv erse trig. functions
4.3 derivatives of inv erse trig. functions4.3 derivatives of inv erse trig. functions
4.3 derivatives of inv erse trig. functions
 
7.2 volumes by slicing disks and washers
7.2 volumes by slicing disks and washers7.2 volumes by slicing disks and washers
7.2 volumes by slicing disks and washers
 
8.2 integration by parts
8.2 integration by parts8.2 integration by parts
8.2 integration by parts
 
8.7 numerical integration
8.7 numerical integration8.7 numerical integration
8.7 numerical integration
 

6.5 & 6.6 & 6.9 the definite integral and the fundemental theorem of calculus copy

  • 1. The Definite Integral and The Fundamental Theorem of Calculus
  • 2. This method used the sum of the area of intervals under a curve- called Reimann Sums
  • 3. The limit of the sums of intervals is the same as a definite integral over the same interval.
  • 4.
  • 5.
  • 6. b A (x) • A’ (x) = f (x) • A (a) = 0 and F (x) = A (x) + C • A (b) = A F b ( )-F a ( )= A b ( )+C é ë ù û- A a ( )+C é ë ù û= A b ( )- A a ( )= A-0 = A
  • 7. The Fundamental Theorem of Calculus, Part I f x ( )dx a b ò = F(x)]a b
  • 8. How about some practice? 1. x dx 1 9 ò = x 1 2 dx 1 9 ò = 2x 3 2 3 ù û ú ú ú1 9 = 2 3 9 3 2 -1 3 2 æ è ç ö ø ÷ = 2 3 9 3 2 -1 3 2 æ è ç ö ø ÷ = 2 3 27-1 ( ) = 52 3 2. sin x 5 dx 0 p 2 ò =- cosx 5 ù û ú 0 p 2 =- 1 5 cos p 2 æ è ç ö ø ÷-cos0 é ë ê ù û ú= - 1 5 0-1 [ ] = 1 5 3. 5ex dx 0 ln3 ò =5ex ù û0 ln3 =5 eln3 -e0 ( )= 5 3-1 ( )=10
  • 9. More Examples !!! Evaluate f (x)dx 0 6 ò If f (x) = x2 , x < 2 3x -2, x ³ 2 ì í ï î ï x2 dx 0 2 ò + 3x -2 ( )dx 2 6 ò = x3 3 ù û ú 0 2 + 3x2 2 -2x ù û ú 2 6 = 8 3 -0 æ è ç ö ø ÷+ 42-2 ( )= 128 3
  • 10. TOTAL AREA A1 A3 A5 a A2 A4 b Total area = f (x) dx a b ò
  • 11. Practice Time !!! Find the total area between the curve y = 1 – x2 and the x-axis over the interval [0, 2]. A = 1- x2 dx 0 2 ò = 1- x2 ( )dx 0 1 ò + - 1- x2 ( )dx 1 2 ò = x - x3 3 æ è ç ö ø ÷ ù û ú 0 1 - x - x3 3 æ è ç ö ø ÷ ù û ú 1 2 = 1- 1 3 -0 æ è ç ö ø ÷- 2- 8 3 æ è ç ö ø ÷- 1- 1 3 æ è ç ö ø ÷ é ë ê ù û ú= 2 3 - - 4 3 æ è ç ö ø ÷ = 6 3 = 2
  • 12. The Mean Value Theorem for Integrals: Over any interval, there exists an x value which creates a y value that is the height of a rectangle which will equal the area under the curve. The Average Value: The function value, f(c), found by the Mean Value Theorem Þ f c ( ) = 1 b-a f x ( ) a b ò
  • 13. Example faverage = 1 2- 1 2 x2 +1 x2 æ è ç ö ø ÷ 1 2 2 ò dx = 2 3 1+ 1 x2 æ è ç ö ø ÷ 1 2 2 ò dx = 2 3 x - 1 x æ è ç ö ø ÷ ù û ú 1 2 2 = 2 3 2- 1 2 æ è ç ö ø ÷- 1 2 -2 æ è ç ö ø ÷ é ë ê ù û ú= 2 3 1 1 2 æ è ç ö ø ÷- -1 1 2 æ è ç ö ø ÷ é ë ê ù û ú= 2 3 ×3= 2
  • 14. In analyzing the graph of F(x) we would look at the derivative: d dx F x ( ) =??? F x ( )= sint ( ) a x ò dt =-cost]a x =-cosx - -cosa ( )= d dx F x ( ) = d dx -cosx +cosa [ ] = -cosx+cosa sin x f (x)
  • 15. The Fundamental Theorem of Calculus, Part II d dx f (t) a x ò dt é ë ê ù û ú= f (x)
  • 16. 1. d dx tan4 t ( )dt 0 x ò é ë ê ù û ú= How about some practice? tan4 x 2. d dx t3 dt 1 x ò é ë ê ù û ú= x3 3. d dx sint t dt 0 x ò é ë ê ù û ú= sin x x
  • 17. Integrals with Functions as Limits of Integration d dx f (t) a g(x) ò dt é ë ê ù û ú= f g x ( ) ( )×g' x ( )
  • 18. Let’s Practice !!! d dx 1 t3 dt 2 x2 ò = 1 x2 ( ) 3 ×2x = 1 x6 ×2x = 2 x5 d dx 1-t2 ( )dt 1 sin x ò =1-sin2 x ( )×cosx =cos2 x×cosx = cos3 x