1. • Kurnia Wanto 3125090115
• Siti Desty Wahyuningsih 3125091278
• Dena Trisnawati 3125092165
• Vickri Wahyudi 3125092167
• Gilang Syahya 3125092182

2. • Limit Trigonometri
cos x
1. Tentukan lim .
x →0 x + 1
cos x cos 0
lim =
x →0 x + 1 0 +1
1
=
1
=1
cos 2 t
2. Carilah lim .
t →0 1 + sin t
cos 2 t cos t ⋅ cos t
lim = lim
t →0 1 + sin t t →0 1 + sin t
cos 0 ⋅ cos 0
=
1 + sin 0
(1)(1)
=
1+ 0
=1
3 x tan x
3. Carilah lim .
x →0 sin x
3 x tan x 3 x ⋅ tan x
lim = lim
x →0 sin x x →0 sin x
3 x sin x
= lim ⋅
x →0 sin x cos x
3x
= lim
x →0 cos x
=3
sin x
4. Tentukan lim .
x →0 2 x
sin x x
lim =
x →0 2 x 2x
1
=
2
sin 3θ
5. Carilah lim .
x →θ 2θ
sin 3θ 3
lim =
x →θ 2θ 2

3. sin 3θ
6. Carilah lim .
x →θ tan θ
sin 3θ sin 3θ ⋅ cos θ
lim = lim
x →θ tan θ x →θ sin θ
= 3 lim cos θ
x →θ
=3
sin 2 3t
7. Tentukan lim .
x →0 2t
sin 2 3t sin 3t ⋅ sin 3t
lim = lim
x →0 2t x →0 2t
2
3t
=
2t
3
= t
2
1 − cos 3 x
8. Tentukan lim .
x →0 1
x tan x
2
3
2 sin 2 x
1 − cos 3x 2
lim = lim
x →0 1 x →0 1
x tan x x tan x
2 2
3 3
2 ⋅ sin x sin x
= lim 2 ⋅ 2
x →0 x 1
tan
2
3
1
= 2⋅ 2 ⋅
1 1
2
=6
sin 2 3 x
9. Carilah lim .
x →0 x 2 cos 2 x
sin 2 3 x sin 3 x sin 3x 1
lim 2 = lim ⋅ ⋅
x →0 x cos 2 x x →0 x x cos 2 x
3 3 1
= ⋅ ⋅
1 1 cos 0
= 3 ⋅ 3 ⋅1
=9

4. x tan x
10. Hitung lim
x →0 1 − cos x
x tan x
lim
x →0 1 − cos x
x tan x x tan x
= lim = lim
x →0 1 x →0 1
1 − (1 − 2 sin 2 x) 2 sin 2 x
2 2
1
x
1 tan x 2 1
= lim . . .
x →0 2 x 1 1
sin x ( ) 2
2 2
2
 1 
1 1 tan x  x 
= . . lim . lim  2  = 2.1.12 = 2
2 1 x →0 x x →0  1 
 sin x 
4  2 
x
•1. Carilah di ∞
Limit lim Tak Hingga dan Limit Tak Berhingga
x→ x − 5
.
x
x
lim = lim x
x →∞ x − 5 x →∞ x 5
−
x x
1
=
1- 0
=1

5. (
2. lim x x − x 2 + 16
x →∞ ) (
= lim x x − x 2 + 16 ×
x →∞ ) x + x 2 + 16
x + x 2 + 16
lim x( x − x − 16 )
2 2
= x →∞
x + x 2 + 16
− 16 x
= lim
x →∞
x + x 2 + 16
− 16
− 16
= lim 16 = = −8
x →∞
1+ 1+ 2 1+ 1+ 0
x
8 5
+ 2
lim 8 x + 5
3. x →∞ lim x x
= x →∞
2x 2 − 9x 9
2−
x
 8 5 
lim + 2 
x →∞ x
 x 
=
 9
lim 2 − 
x →∞
 x
8 5
lim + lim 2
x →∞ x x →∞ x
=
9
lim 2 − lim
x →∞ x →∞ x
1 1
8 lim + 5 lim 2
x →∞ x x →∞ x
=
1
2 − 9 lim
x →∞ x
8⋅0 + 5⋅0
=
2 −9⋅0
3 x 3 − x= 0
2
Carilah lim 3 .
x →∞ πx − 5 x 2
4. 3x 3 x 2
−
3x − x
3 2
x3 x3
lim 3 = lim 3
x →∞ πx − 5 x 2 x →∞ πx 5x 2
− 3
x3 x
3−0
=
π −0
3
=
π

6. 3x 4 − 2 x 3 + 6
5. Tentukanlah lim .
x →∞ x 3 + x 2 − x + 2
2 6
3− + 4
3x 4 − 2 x3 + 6 x x
lim 3 = lim
x →∞ x + x 2 − x + 2 x →∞ 1 1 1 2
+ 2− 3+ 4
x x x x
=∞
( )
lim x + 1 − x = lim x + 1 − x ×
3 2
( 3 2
)
3
(x 2
) 2
+1 + 3 x2 +1 + x2
6. x →∞ x →∞ 3
(x 2
+ 1)
2
+ 3 x2 +1 + x2
x2 +1 − x3
= lim
x →∞ 3
(x 2
) 2
+1 + 3 x2 +1 + x2
1 1
+ −1
= lim x x2
x →∞
1 2 1 1 1 1
3
5
+ 7 + 9 +3 7 + 9 +
x x x x x x
= −∞ (tidak ada limit)
1
1− 8
x −8 x x =∞
7. lim = lim
x →∞ 3 x x →∞ 1
3
x
2 x 2 + 3x
x(2 x + 3)
8. lim = lim
x →∞
x − x x →∞ x 1 − 1
2
x →∞
( ∞
x
x →∞
)
lim 2 x − 1 − x + 3 = lim 2 x − 1 − x + 3 ×
2x −1 + x + 3 

2x −1 + x + 3 
=  
1− 0  (2 x − 1) − ( x + 3) 
=∞ = lim 
x →∞
 2x −1 + x + 3 
 x−4 
9. = lim 
x →∞
 2x −1 + x + 3 
 4 
 1− 
= lim  x 
x →∞ 2 1 1 3 
 − 2 + + 
 x x x x2 
1− 0 1
= = =∞
0−0 + 0+0 0

7. x2
10. Tentukan lim
x→∞ 5 − x 3
.
x2 1
x2 x3
lim = lim = lim x
x →∞ 5 − x 3 x →∞ 5 x 3 x →∞ 5
− 3 −1
x 3
x x3
1
lim
x →∞ x
=
5
lim 3 − lim 1
x →∞ x x →∞
0
= =0
0 −1
x2 + x + 3
11. Tentukan lim .
x →∞ ( x − 1)( x + 1)
x2 + x + 3 x2 + x + 3
lim = lim
x →∞ ( x − 1)( x + 1) x →∞ x2 −1
x2 x 3
2
+ 2+ 2
= lim x x x
2
x →∞ x 1
2
− 2
x x
1+ 0 + 0
=
1− 0
= 1 =1
7 x5 − 4x + 2
12. Hitunglah nilai lim
x →∞ 3 x 5 − 2 x 2 − 3 x + 1

8. 4 2
7− + 5
x 4
x 7−0+0 7
lim = =
x →∞ 2 3 1 3−0−0−0 3
3− − 3 − 5
x x x
13. Hitunglah nilai lim x + 2 x + 3 − x − 2 x − 1
2 2
x →∞
x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x − 1
= lim x 2 + 2 x + 3 − x 2 − 2 x − 1.
x →∞
x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x − 1
( x 2 + 2 x + 3) + ( x 2 − 2 x − 1)
= lim
x →∞
x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x − 1
4x + 4
= lim
x →∞
x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x − 1
4
4+
= lim x
x →∞ 2 3 2 1
1+ + 2 + 1− − 2
x x x x
4+0 4
= = =2
1+ 0 + 0 + 1− 0 − 0 2
x2
14. Carilah lim .
−
x →5 ( x − 5)(3 − x)
x2 52
lim = −
x →5− ( x − 5)(3 − x ) 0 ⋅ (−2)
25
= +
0
=∞
2 x − 3x 2
15. Tentukan lim .
x →1 x + x − 2
− 2
2 x − 3x 2 2 x − 3x 2
lim 2 = lim
x →1− x + x − 2 x →1− ( x + 2)( x − 1)
2−3
=
3 ⋅ 0−
−1
= −
0
=∞
• Kekontinuan

9. 1. Apakah fungsi f ( x) = ( x − 3)( x − 4) kontinu di 3?
f ( x) = ( x − 3)( x − 4) lim( x − 3)( x − 4) = (3 − 3)(3 − 4)
x →3
f (3) = (3 − 3)(3 − 4) = 0 ⋅ (−1)
= 0 ⋅ (−1) =0
=0
Syarat kontinu :
a. lim f ( x) = ada
x →c
b. f (c) ada. c bereda dalam daerah asal f
c. lim f ( x) = f (c)
x →c
Jadi, f ( x) = ( x − 3)( x − 4) kontinu di 3.
x 2 − 49
2. f ( x) = hasilnya tidak tentu di suatu titik tertentu.
x−7
Bagaimana seharusnya didefinisikan agar membuat fungsi itu kontinu?
x 2 − 49
f ( x) = tidak tentu di titik 7.
x−7
x 2 − 49
f ( x) =
x−7
( x − 7)( x + 7)
=
( x − 7)
f ( x ) = ( x + 7)
f (7) = (7 + 7) = 14
lim( x + 7) = 7 + 7 = 14
x →7
33 − x 2
3. Di titik manakah−f x 2x) =
33 ( menjadi tidak kontinu?
f ( x) = 2 π + 3 x − 3π − x
x 2
xπ + 3 x − 3π − x
xπ + 3x − 3π − x 2 = 0 xπ + 3x − 3π − x 2 = 0
3( x − π ) − x ( x − π ) = 0 π ( x − 3) − x ( x − 3) = 0
x( x − π ) 33 −xx− π )
= 3( 2 x( x − 3) = π ( x − 3)
Jadi, f ( x) = tidak kontinu di x = 3 dan x = π .
xπ + 3 x − 3π − x
x=3 2
x =π

10. Dalam soal-soal 4-8, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di
3; jika tidak jelaskan sebabnya.
4. g ( x) = ( x 2 − 9)
• lim( x − 3)( x + 3) = 0
x →3
• g (3) = ( x − 3)( x + 3) = 0
Kontinu, karena hasil lim( x − 3)( x + 3) sama dengan g (3) = ( x − 3)( x + 3) .
x →3
3
5. h( x) =
x −3
3 3
• lim = (tak tentu)
x →3 x−3 0
3
• h(3) =
x−3
3
h(3) =
3−3
3
= (tak tentu)
0
3 3
Tidak kontinu, karena lim dan h(3) = tidak ada.
x →3 x−3 x −3

11. 6. g (t ) = t − 4
• lim t − 4 = 3 − 4
x →3
= − 1 (imajiner)
• g (3) = 3 − 4
= − 1 (imajiner)
Tidak kontinu, karena lim t − 4 dan g (3) = t − 4 tidak ada.
x →3
x2 − 9
7. h( x) =
x−3
x2 − 9 ( x − 3)( x + 3)
• lim = lim
x →3 x−3 x →3 ( x − 3)
= lim x + 3
x →3
=6
32 − 9
• h(3) =
3−3
9−9
=
(3 − 3)
0
=
0
x2 − 9
Tidak kontinu, karena h(3) = tidak ada.
x −3
21 − 7 x
8. f ( x) =
x−3

12. 21 − 7 x − 7( x − 3)
• lim = lim
x →3 x − 3 x →3 ( x − 3)
= lim− 7
x →3
= −7
21 − 7 ⋅ 3
• f (3) =
3−3
0
=
0
21 − 7 x
Tidak kontinu, karena f (3) = tidak ada.
x −3
Dalam soal-soal 9-11, fungsi yang di berikan tidak terdefinisidi suatu titik tertentu.
Bagaimana seharusnya didefinisikan disana agar membuat fungsi itu kontinu di titik
ini?
2 x 2 − 18
9. f ( x) =
3− x
2( x 2 − 9) 2( x + 3)( x − 3)
lim = lim
x →3 3− x x →3 3− x
2( x + 3)( x − 3)
= lim
x →3 − ( x − 3)
= lim− 2( x + 3)
x →3
= −2(6)
= −12
t −1
10. H (t ) =
t −1
t − 1 = lim t −1
lim
x →1 t −1 x →1
( t − 1)( t + 1)
1
= lim
x →1
t +1

13. 1
=
2
x2 −1
11. f ( x) = sin
x +1
x 2 − 1 = lim sin ( x − 1)( x + 1)
lim sin
x →1 x +1 x →1 ( x + 1)
= lim sin( x − 1)
x →1
= sin(1 − 1)
=0