Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. Ampliamente puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local. El concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada. Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.

1. Alumno. Jesús Alan López Montañez
Carrera. Procesos industriales
Sección. 4 “A”
Prof. Gerardo Edgar Mata Ortiz

2. Introducción
Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a
través del teorema fundamental del cálculo. Ampliamente puede decirse
que la integral contiene información de tipo general mientras que la
derivada la contiene de tipo local.
El concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a
la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada.
Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de
integral indefinida o antiderivada.

3. Formula 1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
1-∫3𝑥4
𝑑𝑥 =3∫𝑥4
dx
=3
𝑥4
5
+ 𝑐
=3𝑥5
+ 𝑐
2-∫5𝑥2
𝑑𝑥 =5∫𝑥2
𝑑𝑥
=5
𝑥3
3
+ 𝑐
=3𝑥3
+ 𝑐
3-∫
7
𝑥3
𝑑𝑥 =7∫𝑥2
𝑑𝑥
=7∫
𝑥−2
−2
+ 𝑐
=−1
𝑥2⁄ + 𝑐
4-∫
10
𝑥3
𝑑𝑥 =10∫𝑥−4
𝑑𝑥
=10∫
𝑥−3
−3
+c
=−2
𝑥3⁄ + 𝑐
5-∫30𝑥5
𝑑𝑥 =30∫𝑥5
𝑑𝑥
=30
𝑥6
6
+ 𝑐
=6𝑥6
+ 𝑐

4. Formula 2 ∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐
1-∫10𝑥4
− 2 sec 𝑥)𝑑𝑥 = 10∫ 𝑥4
𝑑𝑥 − 2 ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥
= 10
𝑥5
5
− 2 tan 𝑥 + 𝑐
= 2𝑥5
− 2 tan 𝑥 + 𝑐
2-∫
1
𝑥4
𝑑𝑥 = ∫ dx4dx
= 𝑑 ∫
1
𝑥4
𝑑𝑥
= 𝑑 ∫ 𝑥 − 4𝑑𝑥
= 𝑑 (−13𝑥 − 3 + 𝑐)
=
−1
3𝑥3
𝑑 + 𝑐
3-∫(13 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 13𝑑𝑥 + ∫ −𝑥𝑑𝑥
= 13𝑥 + 𝑐 ∫ −𝑥𝑑𝑥
= 13𝑥 + 𝑐 − (12𝑥2 + 𝑐)
= 13𝑥 − 12𝑥2 + 𝑐
4-∫𝑥2
𝑑𝑥 = ∫𝑥
2+1
2+1
𝑑𝑥
=
𝑥3
3
+ 𝑐
5-∫(20 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 20𝑑𝑥 + ∫ −𝑥𝑑𝑥
= 20𝑥 + 𝑐 ∫ −𝑥𝑑𝑥
= 20𝑥 + 𝑐 − (19𝑥2 + 𝑐)
= 20𝑥 − 19𝑥2 + 𝑐

5. Formula 3 ∫ (du + dv – dw) = ∫du + ∫dv - ∫dw
1-∫ (2+3𝑥2
− 8𝑥3
)𝑑𝑥 = ∫ 2𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ − 8𝑥3
= 2𝑥 + 𝑐 + ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 ∫ − 8𝑥3
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 𝑐 + 3 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ − 8𝑥3
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 𝑐 + 3 (
1
3
𝑥3
+ 𝑐) + ∫ − 8𝑥3
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 𝑐 + 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) + ∫ −8𝑥3
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 𝑐 + 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) ∫ −8∫ 𝑥3
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 𝑐 + 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) − 8 (
1
4
𝑥4
+ 𝑐)
= 2𝑥 + 𝑐 + 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) − 8 (
𝑥4
4
+ 𝑐)
= 2𝑥 + 𝑥3
− 8
𝑥4
4
+ 𝑐
= 2𝑥 + 𝑥3
+
−8
1
𝑥4
4
+ 𝑐
= 2𝑥 + 𝑥3
+
−8𝑥4
4
+ 𝑐
= 2𝑥 + 𝑥3
− 2𝑥4
+ 𝑐

6. 2-∫ (4𝑥3
-3𝑥2
+ 6𝑥 − 1)dx = ∫ 4𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ −3𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥
= 4 ∫ 4𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ −3𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
1
4
𝑥4
1
+ 𝑐) + ∫ −3𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
𝑥4
4
+ 𝑐) + ∫ −3𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
𝑥4
4
+ 𝑐) + −3 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
𝑥4
4
+ 𝑐) + −3 ∫ (
1
3
𝑥3
+ 𝑐) ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
𝑥4
4
+ 𝑐) + −3 ∫ (
𝑥3
3
+ 𝑐) ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
𝑥4
4
+ 𝑐) + −3 ∫ (
𝑥3
3
+ 𝑐) + 6 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
𝑥4
4
+ 𝑐) + −3 ∫ (
𝑥3
3
+ 𝑐) + 6 ∫(
1
2
𝑥2
+ 𝑐) ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
𝑥4
4
+ 𝑐) − 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) + 6 (
𝑥2
2
+ 𝑐) ∫ −1𝑑𝑥
= 4 (
𝑥4
4
+ 𝑐) − 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) + 6 (
𝑥2
2
+ 𝑐) + (−𝑥 + 2)
=𝑥4
− 𝑥3
+ 3𝑥2
− 𝑥 + 𝑐

7. 3-∫(2𝑥2
− 4𝑥 + 4) = ∫ 2𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ −4𝑥𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥
= 2 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ −4𝑥𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥
= 2 ∫
1
3
𝑥3
+ 𝑐 ∫ −4𝑥𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥
= 2 (
𝑥3
3
+ 𝑐) + ∫ −4𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥
= 2 (
𝑥3
3
+ 𝑐) − 4 (
1
2
𝑥2
+ 𝑐) + ∫ 4𝑑𝑥
= 2 (
𝑥3
3
+ 𝑐) − 4 (
𝑥2
2
+ 𝑐) + ∫ 4𝑑𝑥
= 2 (
𝑥3
3
+ 𝑐) − 4 (
𝑥2
2
+ 𝑐) + (4𝑥 + 𝑐)
=
2𝑥3
3
− 2𝑥2
+ 4𝑥 + 𝑐

8. 4-∫ (3𝑥5
− 2𝑥3
) dx = ∫ 3𝑥5
𝑑𝑥 + ∫ −2𝑥3
𝑑𝑥
= 3 ∫ 𝑥5
𝑑𝑥 + ∫ −2𝑥3
𝑑𝑥
= 3 (
1
6
𝑥6
+ 𝑐) + ∫ −2𝑥3
𝑑𝑥
= 3 (
1
6
𝑥6
+ 𝑐) − 2 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
= 3 (
1
6
𝑥6
+ 𝑐) − 2 (
1
4
𝑥4
+ 𝑐)
=
𝑥6
2
+ 2
𝑥4
4
+ 𝑐
=
𝑥6
2
+
2(−𝑥4)
2(2)
+ 𝑐
=
𝑥6
2
+
−𝑥4)
2
+ 𝑐
=
𝑥6
2
−
−𝑥4)
2
+ 𝑐
=
1
2
𝑥6
+ (
1
2
𝑥4
+ 𝑐)
=
1
2
𝑥6
−
1
2
𝑥4
+ 𝑐

9. 5-∫ (3 − 2𝑥 + 𝑥2
) dx = ∫ 3𝑑𝑥 + ∫ −2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
= 3𝑥 + 𝑐 ∫ −2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
= 3𝑥 + 𝑐 − 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
= 3𝑥 + 𝑐 − 2 (
1
2
𝑥2
+ 𝑐) + ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
= 3𝑥 + 𝑐 − 2 (
𝑥2
2
+ 𝑐) + ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
= 3𝑥 + 𝑐 − 2 (
𝑥2
2
+ 𝑐) + (
1
3
𝑥3
+ 𝑐)
= 3𝑥 + 𝑐 − 2 (
𝑥2
2
+ 𝑐) +
𝑥3
3
+ 𝑐
= 3𝑥 − 𝑥2
+
𝑥3
3
+ 𝑐
= 3𝑥 − 𝑥2
+
1
3
𝑥3
+ 𝑐

10. Formula 4 ∫𝑎𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑣
1-∫18𝑥4
𝑑𝑥 = 18 ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
= 18 (
1
5
𝑥5
+ 𝑐)
= 18 (
𝑥5
5
+ 𝑐)
=
18
1
𝑥5
5
+ 𝑐
=
18
1
𝑥5
+ 𝑐
2-∫20𝑥2
𝑑𝑥 = 20 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
= 20 (
1
3
𝑥3
+ 𝑐)
= 20 (
𝑥3
3
+ 𝑐)
=
20
1
𝑥3
3
+ 𝑐
=
20
3
𝑥3
+ 𝑐
3-∫15𝑥3
𝑑𝑥 = 15 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
= 15 (
1
3
𝑥4
+ 𝑐)
= 15 (
𝑥4
4
+ 𝑐)
=
15
1
𝑥4
4
+ 𝑐
=
15
4
𝑥4
+ 𝑐

11. 4-∫50𝑥5
𝑑𝑥 = 50 ∫ 𝑥5
𝑑𝑥
= 50 (
1
6
𝑥6
+ 𝑐)
= 50 (
𝑥6
6
+ 𝑐)
=
50
1
𝑥6
6
+ 𝑐
=
50
4
𝑥6
+ 𝑐
5-∫9𝑥8
𝑑𝑥 = 9 ∫ 𝑥8
𝑑𝑥
= 9 (
1
9
𝑥9
+ 𝑐)
= 9 (
𝑥9
9
+ 𝑐)
=
9
1
𝑥9
9
+ 𝑐
=
9
9
𝑥9
+ 𝑐

12. Formula 5 ∫𝑣 𝑛
𝑑𝑣 =
𝑣 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐
1-∫(𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(3𝑥 − 2) + 1(3𝑥 − 2)𝑑𝑥
= ∫ 𝑥(3𝑥) + 𝑥 ∗ −2 + 1(3𝑥 − 2)𝑑𝑥
= ∫ 𝑥(3𝑥) + 𝑥 ∗ −2 + (1(3𝑥) + 1 − 2)𝑑𝑥
= 3𝑥2
− 2𝑥 + (3𝑥 − 2)𝑑𝑥
= ∫ 3𝑥2
+ (3𝑥 − 2)𝑑𝑥
= ∫ 3𝑥2
+ 𝑥 − 2𝑑𝑥
= ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ xdx ∫ −2dx
= 3∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ xdx ∫ −2dx
= 3 (
1
3
𝑥3
+ 𝑐) + (xdx) + ∫ −2dx
= 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) + (xdx) + ∫ −2dx
= 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) + (
1
2
dx) + ∫ −2dx
= 3 (
𝑥3
3
+ 𝑐) +
𝑥2
2
+ c + (−2x + c)
= 𝑥3
+
1
2
𝑥2
− 2𝑥 + 𝑐

13. 2-∫(𝑥5
− 2𝑥)2(𝑥 − 1)𝑑𝑥 =
1
5
(𝑥5
− 2𝑥)2(𝑥 − 1)𝑑𝑥
=
1
5
(𝑥5
− 2𝑥)3
+ 𝑐
=
1
5
(𝑥5−2𝑥)3
3
+ 𝑐
=
(𝑥5−2𝑥)3
15
+ 𝑐
3-∫(𝑥6
− 2𝑥)9(𝑥 + 2)𝑑𝑥=
1
6
(𝑥6
− 2𝑥)9(𝑥 + 2𝑥)𝑑𝑥
=
1
6
(𝑥6
− 2𝑥)9
+ 𝑐
=
(𝑥6−2𝑥)9
6
+ 𝑐
4-∫(𝑥2
− 1𝑥)(𝑥 − 1𝑥)𝑑𝑥 =
1
1
(𝑥2
− 1𝑥)(𝑥 − 1𝑥)𝑑𝑥
=
1
1
(𝑥2−1𝑥)
1
+ 𝑐
=
𝑥2−1𝑥
1
+ 𝑐
5-∫(3𝑥5
− 2𝑥)3(𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
3
1
(3𝑥5
− 2𝑥)3(𝑥 + 1)𝑑𝑥
=
3
1
(3𝑥5
− 2𝑥)3
+ 𝑐
=
(3𝑥5−2𝑥)
1
+ 𝑐