Downloaded 37 times
Ejercicios de antiderivadas
- 1. Alumno. Jesús AlanLópez Montañez Carrera. Procesos industriales Sección. 4 “A” Prof. Gerardo Edgar Mata Ortiz
- 2. Introducción Históricamente la ideade integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. Ampliamente puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local. El concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada. Las reglas de la derivación son la base que de cada operación de integral indefinida o antiderivada.
- 3. Formula 1 ∫𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 1-∫3𝑥4 𝑑𝑥 =3∫𝑥4 dx =3 𝑥4 5 + 𝑐 =3𝑥5 + 𝑐 2-∫5𝑥2 𝑑𝑥 =5∫𝑥2 𝑑𝑥 =5 𝑥3 3 + 𝑐 =3𝑥3 + 𝑐 3-∫ 7 𝑥3 𝑑𝑥 =7∫𝑥2 𝑑𝑥 =7∫ 𝑥−2 −2 + 𝑐 =−1 𝑥2⁄ + 𝑐 4-∫ 10 𝑥3 𝑑𝑥 =10∫𝑥−4 𝑑𝑥 =10∫ 𝑥−3 −3 +c =−2 𝑥3⁄ + 𝑐 5-∫30𝑥5 𝑑𝑥 =30∫𝑥5 𝑑𝑥 =30 𝑥6 6 + 𝑐 =6𝑥6 + 𝑐
- 4. Formula 2 ∫𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐 1-∫10𝑥4 − 2 sec 𝑥)𝑑𝑥 = 10∫ 𝑥4 𝑑𝑥 − 2 ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = 10 𝑥5 5 − 2 tan 𝑥 + 𝑐 = 2𝑥5 − 2 tan 𝑥 + 𝑐 2-∫ 1 𝑥4 𝑑𝑥 = ∫ dx4dx = 𝑑 ∫ 1 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑑 ∫ 𝑥 − 4𝑑𝑥 = 𝑑 (−13𝑥 − 3 + 𝑐) = −1 3𝑥3 𝑑 + 𝑐 3-∫(13 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 13𝑑𝑥 + ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 13𝑥 + 𝑐 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 13𝑥 + 𝑐 − (12𝑥2 + 𝑐) = 13𝑥 − 12𝑥2 + 𝑐 4-∫𝑥2 𝑑𝑥 = ∫𝑥 2+1 2+1 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 𝑐 5-∫(20 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 20𝑑𝑥 + ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 20𝑥 + 𝑐 ∫ −𝑥𝑑𝑥 = 20𝑥 + 𝑐 − (19𝑥2 + 𝑐) = 20𝑥 − 19𝑥2 + 𝑐
- 5. Formula 3 ∫(du + dv – dw) = ∫du + ∫dv - ∫dw 1-∫ (2+3𝑥2 − 8𝑥3 )𝑑𝑥 = ∫ 2𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ − 8𝑥3 = 2𝑥 + 𝑐 + ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 ∫ − 8𝑥3 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 + 3 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ − 8𝑥3 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 + 3 ( 1 3 𝑥3 + 𝑐) + ∫ − 8𝑥3 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 + 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) + ∫ −8𝑥3 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 + 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) ∫ −8∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 + 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) − 8 ( 1 4 𝑥4 + 𝑐) = 2𝑥 + 𝑐 + 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) − 8 ( 𝑥4 4 + 𝑐) = 2𝑥 + 𝑥3 − 8 𝑥4 4 + 𝑐 = 2𝑥 + 𝑥3 + −8 1 𝑥4 4 + 𝑐 = 2𝑥 + 𝑥3 + −8𝑥4 4 + 𝑐 = 2𝑥 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑐
- 6. 2-∫ (4𝑥3 -3𝑥2 + 6𝑥− 1)dx = ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ −3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ −3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 1 4 𝑥4 1 + 𝑐) + ∫ −3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 𝑥4 4 + 𝑐) + ∫ −3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 𝑥4 4 + 𝑐) + −3 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 𝑥4 4 + 𝑐) + −3 ∫ ( 1 3 𝑥3 + 𝑐) ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 𝑥4 4 + 𝑐) + −3 ∫ ( 𝑥3 3 + 𝑐) ∫ 6𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 𝑥4 4 + 𝑐) + −3 ∫ ( 𝑥3 3 + 𝑐) + 6 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 𝑥4 4 + 𝑐) + −3 ∫ ( 𝑥3 3 + 𝑐) + 6 ∫( 1 2 𝑥2 + 𝑐) ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 𝑥4 4 + 𝑐) − 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) + 6 ( 𝑥2 2 + 𝑐) ∫ −1𝑑𝑥 = 4 ( 𝑥4 4 + 𝑐) − 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) + 6 ( 𝑥2 2 + 𝑐) + (−𝑥 + 2) =𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 𝑐
- 7. 3-∫(2𝑥2 − 4𝑥 +4) = ∫ 2𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ −4𝑥𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ −4𝑥𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥 = 2 ∫ 1 3 𝑥3 + 𝑐 ∫ −4𝑥𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥 = 2 ( 𝑥3 3 + 𝑐) + ∫ −4𝑑𝑥 + ∫ 4𝑑𝑥 = 2 ( 𝑥3 3 + 𝑐) − 4 ( 1 2 𝑥2 + 𝑐) + ∫ 4𝑑𝑥 = 2 ( 𝑥3 3 + 𝑐) − 4 ( 𝑥2 2 + 𝑐) + ∫ 4𝑑𝑥 = 2 ( 𝑥3 3 + 𝑐) − 4 ( 𝑥2 2 + 𝑐) + (4𝑥 + 𝑐) = 2𝑥3 3 − 2𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐
- 8. 4-∫ (3𝑥5 − 2𝑥3 )dx = ∫ 3𝑥5 𝑑𝑥 + ∫ −2𝑥3 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 + ∫ −2𝑥3 𝑑𝑥 = 3 ( 1 6 𝑥6 + 𝑐) + ∫ −2𝑥3 𝑑𝑥 = 3 ( 1 6 𝑥6 + 𝑐) − 2 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 3 ( 1 6 𝑥6 + 𝑐) − 2 ( 1 4 𝑥4 + 𝑐) = 𝑥6 2 + 2 𝑥4 4 + 𝑐 = 𝑥6 2 + 2(−𝑥4) 2(2) + 𝑐 = 𝑥6 2 + −𝑥4) 2 + 𝑐 = 𝑥6 2 − −𝑥4) 2 + 𝑐 = 1 2 𝑥6 + ( 1 2 𝑥4 + 𝑐) = 1 2 𝑥6 − 1 2 𝑥4 + 𝑐
- 9. 5-∫ (3 −2𝑥 + 𝑥2 ) dx = ∫ 3𝑑𝑥 + ∫ −2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝑐 ∫ −2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝑐 − 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝑐 − 2 ( 1 2 𝑥2 + 𝑐) + ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝑐 − 2 ( 𝑥2 2 + 𝑐) + ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝑐 − 2 ( 𝑥2 2 + 𝑐) + ( 1 3 𝑥3 + 𝑐) = 3𝑥 + 𝑐 − 2 ( 𝑥2 2 + 𝑐) + 𝑥3 3 + 𝑐 = 3𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3 3 + 𝑐 = 3𝑥 − 𝑥2 + 1 3 𝑥3 + 𝑐
- 10. Formula 4 ∫𝑎𝑑𝑣= 𝑎 ∫ 𝑑𝑣 1-∫18𝑥4 𝑑𝑥 = 18 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 18 ( 1 5 𝑥5 + 𝑐) = 18 ( 𝑥5 5 + 𝑐) = 18 1 𝑥5 5 + 𝑐 = 18 1 𝑥5 + 𝑐 2-∫20𝑥2 𝑑𝑥 = 20 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 20 ( 1 3 𝑥3 + 𝑐) = 20 ( 𝑥3 3 + 𝑐) = 20 1 𝑥3 3 + 𝑐 = 20 3 𝑥3 + 𝑐 3-∫15𝑥3 𝑑𝑥 = 15 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 15 ( 1 3 𝑥4 + 𝑐) = 15 ( 𝑥4 4 + 𝑐) = 15 1 𝑥4 4 + 𝑐 = 15 4 𝑥4 + 𝑐
- 11. 4-∫50𝑥5 𝑑𝑥 = 50∫ 𝑥5 𝑑𝑥 = 50 ( 1 6 𝑥6 + 𝑐) = 50 ( 𝑥6 6 + 𝑐) = 50 1 𝑥6 6 + 𝑐 = 50 4 𝑥6 + 𝑐 5-∫9𝑥8 𝑑𝑥 = 9 ∫ 𝑥8 𝑑𝑥 = 9 ( 1 9 𝑥9 + 𝑐) = 9 ( 𝑥9 9 + 𝑐) = 9 1 𝑥9 9 + 𝑐 = 9 9 𝑥9 + 𝑐
- 12. Formula 5 ∫𝑣𝑛 𝑑𝑣 = 𝑣 𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐 1-∫(𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(3𝑥 − 2) + 1(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(3𝑥) + 𝑥 ∗ −2 + 1(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(3𝑥) + 𝑥 ∗ −2 + (1(3𝑥) + 1 − 2)𝑑𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 + (3𝑥 − 2)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2 + (3𝑥 − 2)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2 + 𝑥 − 2𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ xdx ∫ −2dx = 3∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ xdx ∫ −2dx = 3 ( 1 3 𝑥3 + 𝑐) + (xdx) + ∫ −2dx = 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) + (xdx) + ∫ −2dx = 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) + ( 1 2 dx) + ∫ −2dx = 3 ( 𝑥3 3 + 𝑐) + 𝑥2 2 + c + (−2x + c) = 𝑥3 + 1 2 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑐
- 13. 2-∫(𝑥5 − 2𝑥)2(𝑥 −1)𝑑𝑥 = 1 5 (𝑥5 − 2𝑥)2(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 1 5 (𝑥5 − 2𝑥)3 + 𝑐 = 1 5 (𝑥5−2𝑥)3 3 + 𝑐 = (𝑥5−2𝑥)3 15 + 𝑐 3-∫(𝑥6 − 2𝑥)9(𝑥 + 2)𝑑𝑥= 1 6 (𝑥6 − 2𝑥)9(𝑥 + 2𝑥)𝑑𝑥 = 1 6 (𝑥6 − 2𝑥)9 + 𝑐 = (𝑥6−2𝑥)9 6 + 𝑐 4-∫(𝑥2 − 1𝑥)(𝑥 − 1𝑥)𝑑𝑥 = 1 1 (𝑥2 − 1𝑥)(𝑥 − 1𝑥)𝑑𝑥 = 1 1 (𝑥2−1𝑥) 1 + 𝑐 = 𝑥2−1𝑥 1 + 𝑐 5-∫(3𝑥5 − 2𝑥)3(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 3 1 (3𝑥5 − 2𝑥)3(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 3 1 (3𝑥5 − 2𝑥)3 + 𝑐 = (3𝑥5−2𝑥) 1 + 𝑐