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1. www.mathportal.org
Integration Formulas
1. Common Integrals Integrals of Exponential and Logarithmic Functions
Indefinite Integral ∫ ln x dx = x ln x − x + C
Method of substitution
x n +1 x n +1
∫ x ln x dx =
n
ln x − +C
∫ f ( g ( x)) g ′( x)dx = ∫ f (u )du n +1 ( n + 1)
2
Integration by parts
∫e
x
dx = e x + C
∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ g ( x) f ′( x)dx
bx
∫ b dx =
x
Integrals of Rational and Irrational Functions +C
ln b
x n +1
∫ x dx =
n
+C ∫ sinh x dx = cosh x + C
n +1
1 ∫ cosh x dx = sinh x + C
∫ x dx = ln x + C
∫ c dx = cx + C
x2
∫ xdx = 2
+C
x3
∫ x dx =
2
+C
3
1 1
∫ x2 dx = − x + C
2x x
∫ xdx =
3
+C
1
∫1+ x 2
dx = arctan x + C
1
∫ 1 − x2
dx = arcsin x + C
Integrals of Trigonometric Functions
∫ sin x dx = − cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ tan x dx = ln sec x + C
∫ sec x dx = ln tan x + sec x + C
1
∫ sin ( x − sin x cos x ) + C
2
x dx =
2
1
∫ cos x dx = 2 ( x + sin x cos x ) + C
2
∫ tan
2
x dx = tan x − x + C
∫ sec
2
x dx = tan x + C

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2. Integrals of Rational Functions
Integrals involving ax + b
( ax + b )n + 1
n
∫ ( ax + b ) dx = a ( n + 1) ( for n ≠ −1)
1 1
∫ ax + b dx = a ln ax + b
a ( n + 1) x − b
∫ x ( ax + b )
n
dx = 2
( ax + b )n+1 ( for n ≠ −1, n ≠ −2 )
a ( n + 1)( n + 2 )
x x b
∫ ax + b dx = a − a 2 ln ax + b
x b 1
∫ ( ax + b )2 dx = a 2 ( ax + b ) + a 2 ln ax + b
x a (1 − n ) x − b
∫ ( ax + b )n dx = a 2 ( n − 1)( n − 2)( ax + b )n−1 ( for n ≠ −1, n ≠ −2 )
1  ( ax + b ) 
2
x2
∫ ax + b dx = 3  − 2b ( ax + b ) + b 2 ln ax + b 
a  2 
 
x2 1  b2 
∫ ( ax + b )2 dx = 3  ax + b − 2b ln ax + b −
a 

ax + b 

x2 1  2b b2 
∫ ( ax + b )3 dx =  ln ax + b + − 
a3  ax + b 2 ( ax + b )2 
 
1  ( ax + b ) 
3−n 2− n 1−n
x2 2b ( a + b ) b2 ( ax + b )
∫ ( ax + b ) n dx = − + −  ( for n ≠ 1, 2,3)
a3  n−3 n−2 n −1 
 
1 1 ax + b
∫ x ( ax + b ) dx = − b ln x
1 1 a ax + b
∫ x 2 ( ax + b ) dx = − bx + b2 ln x
1  1 1 2 ax + b 
∫ x 2 ( ax + b )2 dx = − a  2 + 2 − 3 ln
 b ( a + xb ) ab x b x


 
Integrals involving ax2 + bx + c
1 1 x
∫ x 2 + a 2 dx = a arctg a
1 a−x
 2a ln a + x for x < a
1 
∫ x2 − a 2 dx =  1 x − a
 ln for x > a
 2a x + a


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 2 2ax + b
 arctan for 4ac − b 2 > 0
2
 4ac − b 4ac − b 2

1  2 2ax + b − b 2 − 4 ac
∫ ax 2 + bx + c dx =  ln for 4ac − b 2 < 0
 b 2 − 4ac 2 ax + b + b 2 − 4ac

− 2 for 4ac − b 2 = 0
 2ax + b

x 1 b dx
∫ ax 2 + bx + c dx = 2a ln ax ∫ ax 2 + bx + c
2
+ bx + c −
2a
m 2 2an − bm 2ax + b
 ln ax + bx + c + arctan for 4ac − b 2 > 0
 2a a 4ac − b 2
4ac − b 2
mx + n m
 2an − bm 2ax + b
∫ ax 2 + bx + c dx =  2a ln ax + bx + c + a b2 − 4ac arctanh b2 − 4ac for 4ac − b < 0
2 2

m 2an − bm
 ln ax 2 + bx + c − for 4ac − b 2 = 0
 2a
 a ( 2 ax + b )
1 2ax + b ( 2 n − 3 ) 2a 1
∫ n
dx = n−1
+
2 ∫
( n − 1) ( 4ac − b ) ( ax 2 + bx + c )n−1
dx
( ax 2
+ bx + c ) ( n − 1) ( 4ac − b2 )( ax 2 + bx + c )
1 1 x2 b 1
∫x dx = ln 2 − ∫ 2 dx
( ax 2
+ bx + c ) 2c ax + bx + c 2c ax + bx + c
3. Integrals of Exponential Functions
ecx
∫ xe dx =
cx
( cx − 1)
c2
 x2 2x 2 
∫ x 2 ecx dx = ecx 
 c − c 2 + c3 

 
1 n cx n n −1 cx
∫x x e − ∫ x e dx
n cx
e dx =
c c
i
ecx ( )
∞ cx
∫ x dx = ln x + ∑
i =1 i ⋅ i !
1 cx
∫e
cx
ln xdx = e ln x + Ei ( cx )
c
ecx
∫ e sin bxdx =
cx
( c sin bx − b cos bx )
c 2 + b2
ecx
∫ e cos bxdx =
cx
( c cos bx + b sin bx )
c 2 + b2
ecx sin n −1 x n ( n − 1)
∫ e sin xdx = ∫e sin n −2 dx
cx n cx
2 2
( c sin x − n cos bx ) + 2 2
c +n c +n

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4. Integrals of Logarithmic Functions
∫ ln cxdx = x ln cx − x
b
∫ ln(ax + b)dx = x ln(ax + b) − x + a ln(ax + b)
2 2
∫ ( ln x ) dx = x ( ln x ) − 2 x ln x + 2 x
n n n −1
∫ ( ln cx ) dx = x ( ln cx ) − n∫ ( ln cx ) dx
i
dx ( )
∞ ln x
∫ ln x = ln ln x + ln x + ∑
n =2 i ⋅ i !
dx x 1 dx
∫ ( ln x )n =−
( n − 1)( ln x ) n −1
+
n − 1 ∫ ( ln x )n −1
( for n ≠ 1)
 ln x 1 
∫ x m ln xdx = x m +1  −  ( for m ≠ 1)
 m + 1 ( m + 1) 2 
 
n
n x m+1 ( ln x ) n n −1
∫ x ( ln x ) ∫ x ( ln x ) dx
m m
dx = − ( for m ≠ 1)
m +1 m +1
( ln x )n ( ln x )n+1
∫ x
dx =
n +1
( for n ≠ 1)
2
ln x n ln x n ( )
∫ x dx = 2n ( for n ≠ 0 )
ln x ln x 1
∫ xm dx = − ( m − 1) xm−1 − ( m − 1)2 xm−1 ( for m ≠ 1)
( ln x )n ( ln x )n n ( ln x )n−1
∫ xm
dx = −
( m − 1) x m−1 m − 1 ∫ x m
+ dx ( for m ≠ 1)
dx
∫ x ln x = ln ln x
dx ∞
( n − 1)i ( ln x )i
∫ xn ln x = ln ln x + ∑ ( −1)
i
i =1 i ⋅ i!
dx 1
∫ x ( ln x )n =−
( n − 1)( ln x )n−1
( for n ≠ 1)
x
∫ ln ( x ) ( )
+ a 2 dx = x ln x 2 + a 2 − 2 x + 2a tan −1
2
a
x
∫ sin ( ln x ) dx = 2 ( sin ( ln x ) − cos ( ln x ) )
x
∫ cos ( ln x ) dx = 2 ( sin ( ln x ) + cos ( ln x ) )

5. www.mathportal.org
5. Integrals of Trig. Functions
∫ sin xdx = − cos x cos x
∫ sin 2 x dx = − sin x
1
∫ cos xdx = − sin x cos 2 x x
x 1 ∫ sin x dx = ln tan 2 + cos x
∫ sin
2
xdx =
− sin 2 x
2 4
∫ cot
2
xdx = − cot x − x
x 1
∫ cos xdx = 2 + 4 sin 2 x
2
dx
∫ sin x cos x = ln tan x
1
∫ sin xdx = 3 cos x − cos x
3 3
dx 1 x π
1 3
∫ sin 2 x cos x = − sin x + ln tan  2 + 4 
 
∫ cos xdx = sin x − 3 sin x
3
dx 1 x
dx x ∫ sin x cos2 x = cos x + ln tan 2
∫ sin x xdx = ln tan 2 dx
dx x π ∫ sin 2 x cos2 x = tan x − cot x
∫ cos x xdx = ln tan  2 + 4 
  sin( m + n) x sin( m − n) x
dx
∫sin mxsin nxdx = − 2( m+ n) +
2( m − n)
m2 ≠ n2
∫ sin 2 x xdx = − cot x
cos ( m + n) x cos ( m − n) x
dx ∫sin mxcos nxdx = − 2( m + n) − m2 ≠ n2
∫ cos2 x xdx = tan x 2( m − n)
sin ( m + n) x sin ( m − n) x
dx cos x 1 x
∫ sin 3 x = − 2sin 2 x + 2 ln tan 2 ∫ cos mxcos nxdx = 2( m + n) +
2( m − n)
m2 ≠ n2
dx sin x 1 x π cos n +1 x
∫ cos3 x = 2 cos2 x + 2 ln tan  2 + 4  ∫ sin x cos xdx = −
n
  n +1
1 sin n +1 x
∫ sin x cos xdx =
n
∫ sin x cos xdx = − 4 cos 2 x n +1
1 3
∫ sin x cos xdx = 3 sin x
2 ∫ arcsin xdx = x arcsin x + 1 − x2
1 ∫ arccos xdx = x arccos x − 1 − x2
∫ sin x cos xdx = − 3 cos x
2 3
1
∫ arctan xdx = x arctan x − 2 ln ( x )
2
+1
x 1
∫ sin x cos xdx = 8 − 32 sin 4 x
2 2
1
∫ arc cot xdx = x arc cot x + 2 ln ( x )
2
+1
∫ tan xdx = − ln cos x
sin x 1
∫ cos2
x
dx =
cos x
sin 2 x x π 
∫ cos x dx = ln tan  2 + 4  − sin x
 
∫ tan xdx = tan x − x
2
∫ cot xdx = ln sin x