COORDENADAS POLARES

1. Integrais Duplas Polares
β r2 ( θ )
∫∫ f ( r ,θ )dA = α ∫θ )f ( r ,θ ).r dr dθ
R
∫ ( r1
∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫ f ( r cosθ , rsenθ ).r dr dθ
R R

2. 1) Calcule a integral iterada :
π 1+ cos ( θ ) π 1+ cos ( θ )
r 
2
∫
0
∫ rdrdθ = ∫
0 0

2 0
dθ =
π
 1 + 2 cos(θ ) + cos 2 (θ ) 
∫
0


 2
dθ =


u sen( 2u )
como : ∫ cos ( u )du = +
2
2 4
θ 2 sen(θ ) θ sen( 2θ ) 
π
+ + +  =
2 2 4 8 0
π π 3π
+ =
2 4 4

3. 1) Calcule a integral iterada(2ª maneira) :
π 1+ cos ( θ ) π 1+ cos ( θ )
r 
2
∫
0
∫ rdrdθ = ∫
0 0

2 0
dθ =
π
 1 + 2 cos(θ ) + cos 2 (θ ) 
∫ 
0

 2
dθ =


1 cos( 2u )
Temos cos 2 ( u ) = +
2 2
 1 2 cos(θ ) 1 cos( 2u ) 
π
∫  2 + 2 + 4 + 4 dθ
0  
θ 2 sen(θ ) θ sen( 2θ ) 
π
+ + +  =
2 2 4 8 0
π π 3π
+ =
2 4 4

4. Use uma integral dupla polar para calcular a área compreendida
pela rosácea de três pétalas r = sen ( 3θ )
θ = π/3
R
θ=0
Calcularemos a área da pétala R no primeiro quadrante e
multiplicaremos por três

5. π π
3 sen ( 3θ ) 3
3
3∫∫ dA =3∫ ∫ r dr dθ = 2 ∫ sen ( 3θ ) dθ =
2
R 0 0 0
du
u = 3θ → du = 3dθ → = dθ
3
π
3 π
3 3 du
∫ sen ( 3θ ) dθ = 2 ∫ sen ( u ) 3 =
2 2
20 0
1  u sen( 2u ) 
π
1 π  π
22 − 4  = 2  2  = 4
0  

6. π π
3 sen ( 3θ ) 3
3
3∫∫ dA =3∫ ∫ r dr dθ = ∫ sen 2 ( 3θ ) dθ =
R 0 0
20
1 cos( 2u )
Temos sen ( u ) = −
2
2 2
π π
3 3
3  1 cos( 6θ ) 
3
∫ sen 2 ( 3θ ) dθ = ∫  − dθ =
20 2 0 2 2 
π π
3  1 cos( 6θ ) 
3
3 θ sen( 6θ )  3
∫  2 − 2 dθ = 2  2 − 12  0 =
20    
 π  6π  
 sen 
3  3  3  0 sen( 0 ) 
− −
 3π 0  π
 −   =  − =
2  2 12  2 12  2  6 12  4
  
  

7. Calcule a área no 1° quadrante compreendida fora do círculo r = 2 e
dentro da cardióide r = 2(1 + cos(θ ) )
r=2
r = 2.( 1 + cos(θ))

8. π π
2 ( 2+ 2 cos ( θ ) ) 2 2 2 + 2 cos ( θ )
r
∫∫ dA = ∫
R 0
∫ r dr dθ = ∫
2 0
2
dθ =
2
π π
 4 + 8 cos(θ ) + 4 cos 2 (θ ) 4 
[ ]
2 2
∫  − dθ = ∫ 2 + 4 cos(θ ) + 2 cos 2 (θ ) − 2 dθ =
0  2 2 0
π π
 θ sen( 2θ ) 
∫ [ ]
2 2
4 cos(θ ) + 2 cos (θ ) dθ = 4sen(θ ) + 2. +
2
 =
0 2 4 0
π
sen( 2θ ) π
4sen(θ ) + θ +
2
= 4+
2 0 2