1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA
C´alculo 1 - 2012/1
1o
Exerc´ıcio Escolar
1 - Calcule os seguintes limites:
( O uso da regra de L’Hˆopital n˜ao ´e permitido!)
a) (1.0 pt) lim
x→7
2 −
√
x − 3
x2 − 49
lim
x→7
2 −
√
x − 3
x2 − 49
2 +
√
x − 3
2 +
√
x − 3
= lim
x→7
7 − x
(x2 − 49) (2 +
√
x − 3)
.
lim
x→7
−(x − 7)
(x − 7) (x + 7) (2 +
√
x − 3)
= lim
x→7
−1
(x + 7) (2 +
√
x − 3)
= −
1
56
.
b)(1.0 pt) lim
x→π
1 − sin(x
2
)
π − x
Fa¸ca u ≡ π − x. Ent˜ao x → π ´e equivalente a u → 0.
lim
x→π
1 − sin(x
2
)
π − x
= lim
u→0
1 − sin(π
2
− u
2
)
u
= lim
u→0
1 − cos(u
2
)
u
=
lim
u→0
1
2
1 − cos(u
2
)
u
2
= 0 .
c)(1.0 pt) lim
x→64
√
x − 8
3
√
x − 4
Fa¸ca x = u6
. Neste caso x → 64 ´e equivalente a u → 2.
lim
x→64
√
x − 8
3
√
x − 4
= lim
u→2
u3
− 8
u2 − 4
= lim
u→2
(u − 2) (u2
+ 2 u + 4)
(u − 2)(u + 2)
lim
u→2
(u2
+ 2 u + 4)
(u + 2)
= 3 .

2. b)(1.0 pt) y =
x3
3 (1 + x sec(x))3
1
3
x3
(1 + x sec(x))
3
2
1
3
3 x2
(1 + x sec(x))3 − x3 3
2
(1 + x sec(x)).(sec(x) + x sec(x) tan(x))
(1 + x sec(x))3
.
c)(1.0 pt) y = cos(x)sin(x2)
.
Tomando-se o logaritmo:
ln(y) = sin(x2
) ln(cos(x))
Derivando:
y
y
= cos(x2
) 2 x ln(cos(x)) − sin(x2
)
sin(x)
cos(x)
e portanto:
y = cos(x)sin(x2)
cos(x2
) 2 x ln(cos(x)) − sin(x2
) tan(x) .
3-(2.0 pts) Considere a fun¸c˜ao
f(x) =



x2
se x ≥ 0 ,
−x2
se x < 0 .
Usando a defini¸c˜ao calcule a derivada desta fun¸c˜ao no ponto x = 0.
lim
h→0+
f(0 + h) − f(0)
h
= lim
h→0+
h2
h
= lim
h→0+
h = 0 .
lim
h→0−
f(0 + h) − f(0)
h
= lim
h→0+
−h2
h
= lim
h→0+
−h = 0 .
Como os dois limites laterais existem e s˜ao iguais entre si, segue que
f (0) = 0.
=
=
2 - Calcule a derivada da fun¸c˜ao dada:
a)(1.0 pt) y = esin(2 x)
ln x2
+ 2 x 3x
.
esin(2 x)
cos(2 x) 2 ln x2
+ 2 x 3x
. + esin(2 x) 2 x + 2
x2 + 2 x
3x
. + esin(2 x)
ln x2
+ 2 x 3x
ln(3) .
1

3. A derivada da fun¸c˜ao ´e dada por
y (x) = −2 x e(1−x2
) ,
Inclina¸c˜ao da reta tangente em P1 : y (−1) = 2 .
Inclina¸c˜ao da reta tangente em P2 : y (1) = −2 .
Reta tangente em P1:
y − 1 = 2(x + 1) .
Reta Normal em P1 :
y − 1 = −
1
2
(x + 1) .
Reta tangente em P2:
y − 1 = −2(x − 1) .
Reta Normal em P1 :
y − 1 =
1
2
(x − 1) .
4- (2.0 pts) Encontre as equa¸c˜oes das retas tangente e normal `a curva
y = e(1−x2
)
no pontos onde essa curva intersecta a reta y = 1.
Os pontos de interse¸c˜ao s˜ao solu¸c˜oes de
1 = e(1−x2
)
0 = 1 − x2
x = ±1
Temos ent˜ao os pontos P1 = (−1, 1) e P2 = (1, 1).