1. 第5章 統計的仮説検定
Rによるやさしい統計学
@Prunus1350
Tokyo.R 26
2012/09/08

2. 自己紹介

3. • Twitterアカウント
ぷるうぬす@Prunus1350
• 職業
SASエンジニア
• 好きな物
日本酒、ベルギービール

4. まずは前回のおさらい

5. 標本
正規母集団 平均： X 1
2
不偏分散： ˆ1
標本サイズ： n
平均： µ 平均： X 2
2
母分散： 不偏分散： ˆ2
2
ランダムサンプリング
…
平均： X m
2
不偏分散： ˆm
…

6. 標本の平均： X
2
はいろいろな値をとり得るが…
不偏分散： ˆ
期待値は母集団のものと一致する！
E[X] = µ
E[ˆ 2 ] = 2

7. また、標本の平均：X の分布は
平均： µ
2
分散： n
0.4
の正規分布にしたがう
0.3
0.2
0.1
0.0
-4 -2 0 2 4
X

8. ここから第5章の本題

9. 正規母集団を仮定すると、
標本の平均が母平均とどのくらいずれているかを
見ることにより、その標本平均の出る確率が
どのくらいかが分かる
0.4
0.3
確率が低ければ
0.2
仮定が違っているのかも、
0.1
と考えることができる
0.0
-4 -2 0 2 4
X

10. 平均値の検定をやってみよう

11. 母分散が既知の場合は
Z検定
マジンガーZ

12. 標本平均では確率計算が面倒なので、
標準化する
0.4
検定統計量Z
0.3
X µ
Z=
0.2
p
n
0.1
2
：母分散
0.0
-4 -2 0 2 4
Z

13. Rでやってみる
> 心理学テスト<-c(13,14,7,12,10,6,8,15,4,14,9,6,10,12,5,12,8,8,12,15)
> Z分子 <- mean(心理学テスト)-12
> Z分子
[1] -2
> Z分母 <- sqrt(10/length(心理学テスト))
> Z分母
[1] 0.7071068
> Z統計量 <- Z分子/Z分母
> Z統計量
[1] -2.828427
> 2*pnorm(abs(Z統計量),lower.tail=FALSE)
[1] 0.004677735

14. 母集団の分散が未知の場合は
ｔ検定
テコンV

15. 検定統計量Z 検定統計量ｔ
X µ X µ
Z= t= ˆ
p p
n n
2 2
：母分散 ˆ ：不偏分散
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0
-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4
Z t

16. 自由度：1
0.4
0.3
0.2
0.1
実線：ｔ分布
点線：標準正規分布
0.0
-4 -2 0 2 4
t

17. 自由度：2
0.4
0.3
0.2
0.1
実線：ｔ分布
点線：標準正規分布
0.0
-4 -2 0 2 4
t

18. 自由度：3
0.4
0.3
0.2
0.1
実線：ｔ分布
点線：標準正規分布
0.0
-4 -2 0 2 4
t

19. 自由度：20
0.4
0.3
0.2
0.1
実線：ｔ分布
点線：標準正規分布
0.0
-4 -2 0 2 4
t

20. Rでやってみる
> 心理学テスト<-c(13,14,7,12,10,6,8,15,4,14,9,6,10,12,5,12,8,8,12,15)
> t.test(心理学テスト,mu=12)
One Sample t-test
data: 心理学テスト
t = -2.6166, df = 19, p-value = 0.01697
alternative hypothesis: true mean is not equal to 12
95 percent confidence interval:
8.400225 11.599775
sample estimates:
mean of x
10

21. 独立性の検定
（χ二乗検定）

22. 独立性の検定とは？
2つの質的変数に関連があるか
どうかを確かめるための検定
数学の好き嫌いと
統計の好き嫌いには
関連があるのか？
統計嫌い 統計好き 計
数学嫌い 10 4 14
数学好き 2 4 6
計 12 8 20

23. 観測値 期待値
統計嫌い 統計好き 計 統計嫌い 統計好き 計
数学嫌い 10 4 14 数学嫌い 8.4 5.6 14
数学好き 2 4 6 数学好き 3.6 2.4 6
計 12 8 20 計 12 8 20
Ok ：観測度数
Ek ：期待度数
2
検定統計量
2 (O1 E1 ) 2 (O2 E2 ) 2 (Ok Ek ) 2
= + + ··· +
E1 E2 Ek

24. 2
は帰無仮説のもとで自由度別の
2
分布にしたがう
2
分布
0.5
自由度：1
0.4
自由度：2
0.3
自由度 = （列の数 - 1） （行の数 - 1）
自由度：4
0.2
自由度：8
0.1
0.0
0 5 10 15 20

25. Rでやってみる
> A <- matrix(c(10,2,4,4),ncol=2,byrow=FALSE)
>
> chisq.test(A,correct=FALSE)
Pearson's Chi-squared test
data: A
X-squared = 2.5397, df = 1, p-value = 0.111
警告メッセージ：
In chisq.test(A, correct = FALSE) : カイ自乗近似は不正確かもしれません

26. おまけ

27. 2 2分割表の場合は
Yatesの補正をかけるべし！

28. Rでやってみる
> A <- matrix(c(10,2,4,4),ncol=2,byrow=FALSE)
>
> chisq.test(A)
Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: A
X-squared = 1.2004, df = 1, p-value = 0.2732
警告メッセージ：
In chisq.test(A, correct = FALSE) : カイ自乗近似は不正確かもしれません

29. 警告メッセージが気になる…

30. フィッシャーの正確確率検定
（Fisher s Exact Test）
テレンス・T・ダービー

31. 2 2分割表で期待度数が小さい場合には
χ二乗検定ではなく
フィッシャーの正確確率検定を用いるべし！
統計嫌い 統計好き 計
数学嫌い a b e e Ca ⇤ f Cc e!f !g!h!
P = =
n Cg n!a!b!c!d!
数学好き c d f
計 g h n
デメリット：階乗を含むので計算が大変

32. 周辺度数を固定したままセル内の人数を変え、
それぞれの確率を計算する
a b c d P
0.4
① 12 2 0 6 0.0007223942
② 11 3 1 5 0.01733746 0.3
③ 10 4 2 4 0.119195
④ 9 5 3 3 0.3178535 0.2
⑤ 8 6 4 2 0.3575851
0.1
⑥ 7 7 5 1 0.1634675
⑦ 6 8 6 0 0.02383901 0
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
計 1
パターン③と、それより確率の低い
パターン①,②,⑦のPを足し合わせる（両側検定）
p 0.16109

33. Rでやってみる
> A <- matrix(c(10,2,4,4),ncol=2,byrow=FALSE)
>
> fisher.test(A)
Fisher's Exact Test for Count Data
data: A
p-value = 0.1611
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.4459581 70.7319343
sample estimates:
odds ratio
4.565523

34. ご清聴ありがとうございました！