単振り子と二重振り子のコンピュータシミュレーションについて解説したスライドです。

1. UnityによるUnityによらない物理シミュレーショ
ン
@dc1394
単振り子と二重振り子のコンピュータシ
ミュレーション

2. 自己紹介
 Twitter: @dc1394
 C++, C#, F#そしてRubyが好きです。
 趣味はプログラミングではなく数値解析。
 C++で量子力学の数値計算とかやってます。

3. 概要
 「できる限り厳密な」振り子の物理シミュレーション
 (1)空気抵抗を無視する場合
 単振動で近似できる場合
 厳密解
 (2)空気抵抗を考慮する場合
 (3)二重振り子

4. 使用するプログラム言語、ライブラリ
等
 数値計算のプログラム言語はC++14を使用する。
 Boost.Odeintを用いるため、Boost C++ Librariesを
使用する。
 コンパイラには、Microsoft Visual C++ 2015
(VC14)を使用する。
 シミュレーションの可視化のために、Unity 5とC#
を使用する。

5. 単振り子とは
 伸び縮みしない軽い棒
の一端を固定し、他端
におもりを付けて吊るし、
鉛直面内で振らせるも
の。
 図はWikipedia[1]より引
用。
 [1] 単振り子 -
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6
%8C%AF%E3%82%8A%E5%AD%
90

6. 単振り子の運動方程式
 空気抵抗を無視したとき、左図
（Wikipedia[1]より引用）より、運
動方程式は、
 となる。従って、
 なる常微分方程式を解けば、こ
の運動が解析できる。
 [1] 単振り子 -
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E3%82
%8A%E5%AD%90

7. 単振動で近似できる場合
 θが非常に小さい場合（ ）、 と近
似できるので、
 となる。この常微分方程式の解は、初期条件、
 を用いると、 となる。
 これは周期 の単振動であり、周期Tは振
幅θ0に依存しない。

8. 単振動で近似した場合のプロット（θ0
= 10°）

9. 単振動で近似した場合のプロット（θ0
= 30°）

10. 単振動で近似した場合のプロット（θ0
= 60°）

11. 単振動で近似した場合のプロット（θ0
= 90°）

12. 単振動で近似した場合のプロット（θ0
= 179°）

13. 厳密解
 この常微分方程式は非線形方程式であり、厳密
解を初等関数で表すことはできない。
 初期条件、
 を用いると、厳密解は、
 となる（論文[1]より）。ここで、sn(u, k)はJacobiの楕
円関数であり、K(k)は第一種完全楕円積分である。
 [1] A. Beléndez et al., Revista Brasileira de Ensino de Física, 29, 645 (2007).

14. 厳密解の周期
 同論文によると、厳密解の周期Tは、 第一種完全
楕円積分K(k)を用いて、
 と書ける。従って、周期Tは振幅θ0に依存する。

15. Boostライブラリに含まれる特殊関数
の利用
 Jacobiの楕円関数sn(u, k)は、Boostライブラリの
「jacobi_sn」関数を用いれば、簡単に得られる
（ jacobi_sn関数では、引数の順序がsn(k, u)と逆に
なっていることに注意）。
 また、第一種完全楕円積分K(k)は、同様に、Boost
ライブラリの「ellint_1」関数を用いれば、簡単に得
られる。

16. 厳密解と単振動で近似した場合を比
較したプロット（θ0 = 10°）

17. 厳密解と単振動で近似した場合を比
較したプロット（θ0 = 30°）

18. 厳密解と単振動で近似した場合を比
較したプロット（θ0 = 60°）

19. 厳密解と単振動で近似した場合を比
較したプロット（θ0 = 90°）

20. 厳密解と単振動で近似した場合を比
較したプロット（θ0 = 179°）

21. 空気抵抗を考慮する場合
 空気抵抗を考慮する場合、運動方程式は、
 となる。ここで、f(v)は物体の形状に依存する、極
めて複雑な式であり、解析的には求められない。
 そして、任意の形状の物体についてf(v)を求める
には、Navier–Stokes方程式を、与えられたvに対し
て数値的に解かなければならない。
 これは非常に難しく、PCによるリアルタイムシミュ
レーションはまず不可能である。

22. 粘性抵抗と慣性抵抗
 ここでは、振り子を完全な球体と近似して、それに働く
空気抵抗力f(v)を考えることにする。
 半径rの完全な球体に働く空気抵抗力f(v)は、以下の
式で与えられる（サイト[1]より）。
 ここで、sgn(x)は符号関数である。
 第一項は、物体表面に平行に働く粘性力の合力であ
り、粘性抵抗と呼ばれる。
 第二項は、物体の慣性に起因するので慣性抵抗と呼
ばれる。
 [1] 球体の空気抵抗と係数 - http://slpr.sakura.ne.jp/qp/air-resistance/

23. 抗力係数とReynolds数
 ここで、
 μ [kg⋅m−1⋅s−1]：流体の粘性係数（粘度）
 ρ [kg⋅m−3]：流体の密度
 CD：抗力係数と呼ばれ、下記Reynolds数の関数
 Re：Reynolds数と呼ばれる無次元量であり、 と
して定義される
 なお、20℃の空気の場合、
 μ = 1.822×10−5(kg⋅m−1⋅s−1), ρ = 1.205(kg⋅m−3)
 である（出典：サイト[1]より）
 [1] 水・空気の物性 密度 粘度 動粘度 - http://www.mterm-pro.com/machine-
yougo/fluid-dynamics/water-air-bussei.html

24. 球の周りの流れ
 球の周りの低レイノルズ数流れ。下記サイト[1]より
引用。
 [1] http://www.caero.mech.tohoku.ac.jp/research/IBM/Spheres.gif

25. 抗力係数のグラフ
 抗力係数CDは、Reynolds数の値により複雑に変化
する（下図はWikimedia Commons[1]より引用）。
 [1]https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drag_coefficient_of_a_sphere_as_a_f
unction_of_Reynolds_number.png

26. Stokes近似
 のとき、 と近似できる（Stokes近似、
図の青線）。
 このとき、慣性抵抗は無視できるので、考慮する
必要は無い。

27. Reynolds数が大きいとき
 Reynolds数が大きい場合の に対しては、実
験結果をフィッティングした以下の表式（論文[1]よ
り）を用いる。
 [1] Nian-Sheng Cheng, Powder Technology, 189, 395 (2009).

28. 解くべき常微分方程式
 以上のことから、解くべき常微分方程式は、場合
分けして、
 (i) のとき、
 (ii)それ以外の場合、
 である。
 この常微分方程式は、解析的には解けない。従っ
て、 Boost.Odeintに実装されているBulirsch-Stoer法
を用いて、数値的に解く。

29. 空気抵抗を考慮した場合のプロット
（θ0 = 179°）

30. 空気抵抗を考慮した場合と考慮しな
い場合の比較（θ0 = 179°）

31. 球に発泡スチロールを使った場合の
比較（θ0 = 179°）

32. 実行画面

33. ソースコードとバイナリへのリンク
 このプログラムのソースコードは、GitHub上で公
開しています。
 https://github.com/dc1394/simplependulum
 また、バイナリも以下で公開しています。
 https://github.com/dc1394/simplependulum/releas
es/tag/v0.12
 ライセンスは2条項BSDライセンスとします。

34. 二重振り子
 振り子の先にもうひと
つの振り子を連結し
たもの。
 図はWikipedia[1]より
引用。
 [1] Double pendulum -
https://en.wikipedia.org/wiki/Doubl
e_pendulum

35. 二重振り子の運動方程式
 二重振り子の運動方程式は、Lagrangianと、Euler–
Lagrange方程式から、以下のように導出できる
（ただし、簡単化のために、空気抵抗等は無視し、
とする）。
 詳しい計算は下記サイト[1]を参照のこと。
 [1] 2重振り子 - http://www.aihara.co.jp/~taiji/pendula-equations/present-
node2.html

36. 二重振り子の運動方程式
 上記の二元連立常微分方程式は、解析的には解
けない。
 従って、Bulirsch-Stoer法を用いて、数値的に解く。

37. 二重振り子のプロット（ θ1,0= θ2,0 =
10°）

38. 二重振り子のプロット（ θ1,0= θ2,0 =
30°）

39. 二重振り子のプロット（ θ1,0= θ2,0 =
60°）

40. 二重振り子のプロット（ θ1,0= θ2,0 =
90°）

41. 二重振り子のプロット（ θ1,0= θ2,0 =
90°）

42. 二重振り子のプロット（ θ1,0= θ2,0 =
179°）

43. θ1,0= θ2,0 = 179°と179.1°のθ1の
比較

44. θ1,0= θ2,0 = 179°と179.1°のθ2の
比較

45. 実行画面

46. ソースコードとバイナリへのリンク
 このプログラムのソースコードは、GitHub上で公
開しています。
 https://github.com/dc1394/doublependulum
 また、バイナリも以下で公開しています。
 https://github.com/dc1394/doublependulum/relea
ses/tag/v0.11
 ライセンスは2条項BSDライセンスとします。

47. まとめ
 以下の場合について、振り子の物理シミュレー
ションを行った。
 (1)空気抵抗を無視する場合
 単振動で近似できる場合
 厳密解
 (2)空気抵抗を考慮する場合
 (3)二重振り子