Blochの定理を証明してみたスライドです。

1. 周期系に対するSchrödinger方程式
@dc1394
Blochの定理の証明

2. ポテンシャルの周期性
 完全結晶においては、原子核は、Bravais格子ベ
クトル{ R }のセットによって表された周期的配列で
配置される。
 完全結晶は無限系であり、また、これらの格子ベ
クトルによる並進操作に対して対称性を有してい
る。
 また特に、ポテンシャルも周期的である。
 これはすべてのBravais格子ベクトルに対して成り
立つ。

3. 並進演算子を定義する
 このポテンシャル中において、一粒子の運動を表
すSchrödinger方程式は、原子単位系で、
 となる。ここで、各格子ベクトルRに対して、位置の
どんな関数f(r)にも作用するような、並進演算子
を定義する（以下(3)式）。

4. 並進演算子の性質
 ここで、ハミルトニアン（とポテンシャル）が周期的
であるので、
 これらの演算子は並進演算子と可換である（以下
(5)式）。
 すなわち、
 である。

5. 並進操作の固有値
 そして、並進演算子はお互いに可換である（以下(7)
式）。
 従って、各格子ベクトルRに対応する量子数が存在し
なければならず、また、ハミルトニアンの固有関数
ψ(r)を、並進操作の固有関数にもなるように選ぶこと
ができる。
 ここで、 とψ(r)のノルムは1であるはずなので、
 となる。

6. 固有値c(R)の関数形
 並進ベクトルの交換関係から、固有値c(R)は以下
(10)式の関係を満たさなければならない。
 さらに、N回（Nは任意の整数）並進操作を施したと
き、
 となるはずなので、固有値の関数c(X)において、
考えられる関数形は、(9)式、(10)式、(11)式から、
 である。

7. 固有値
 従って、3つの複素数{ xj }に関して、3つのプリミ
ティブ格子ベクトル{ aj }に対して固有値を定義で
きる（以下(13)式）。
 すべての格子ベクトルRは、
 と表すことができる（ここでnjは整数とする）ので、
(13)式から、
 となる。

8. 固有値c(R)の最終的な形
 これから、結局、
 となる。ここで、
 である。ここで、{ gj }は逆格子ベクトルであり、
 を満たす。そして、 { xj }は一般に複素数である。

9. Blochの定理の一つの形
 よって、
 となり、これがBlochの定理の一つの形である。
 ここで、関数
 を考えると、この関数u(r)は、
 となるので、格子の周期性を有する。

10. Blochの定理のもう一つの形
 この関数u(r)を用いると、波動関数は、
 と書ける。ここで、
 であり、これがBlochの定理のもう一つの形である。

11. 固有状態をラベルする
 ここで、ハミルトニアンと並進操作の固有状態を
ψkvでラベルすることにする。
 ここでvは、量子ベクトルkとともに、異なったハミ
ルトニアンの固有状態をラベルする量子数であり、
並進対称性と関連している。
 ここで、周期関数は常にFourier級数で表現できる
ことに注意すると、
 となる。

12. 平面波の線形結合としてψkvを表現
 ここで、Gは逆格子ベクトルであり、
 である。ここで、mjは整数である。
 したがって、平面波の線形結合としてψkvを表現
でき、
 となる。

13. Blochの定理からの結論
 無限の空間のすべての波動関数に対して、
Schrödinger方程式を解くことは結局、単一の単位
格子の中でSchrödinger方程式を解くことに帰着さ
れるが、しかし一方でkに対して可能な値すべて
に対して、Schrödinger方程式を解かなくてはなら
ない。
 Schrödinger方程式を解きやすいように単純化す
る必要があり、kの値を制限するいくつかの境界条
件を波動関数に課す必要がある。