Barisan dan deret merupakan susunan bilangan dengan pola tertentu. Barisan adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan fungsi, sedangkan deret adalah penjumlahan bilangan-bilangan pada suatu barisan. Terdapat tiga jenis pola dasar yaitu barisan aritmetika, barisan geometri, dan deret geometri tak hingga.
Dokumen tersebut membahas tentang aljabar vektor, termasuk definisi vektor dan operasi-operasi pada vektor seperti perkalian skalar, panjang vektor, sudut antar vektor, sifat-sifat vektor. Dibahas pula vektor di R2 dan R3 beserta representasinya menggunakan basis vektor.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep dasar vektor, termasuk definisi vektor skalar dan vektor, notasi vektor, vektor yang sama dan berlawanan, operasi vektor seperti penjumlahan dan pengurangan vektor, serta contoh-contoh penerapannya.
Barisan dan deret merupakan jajaran bilangan dengan urutan tertentu yang memiliki pola yang teratur. Terdapat tiga jenis barisan dan deret yaitu barisan aritmatika, geometri, dan Fibonacci. Barisan aritmatika memiliki selisih konstan antara dua bilangan berurutan, sedangkan barisan geometri memiliki rasio konstan. Soal latihan membahas tentang rumus suku ke-n, jumlah n bilangan, dan suku tengah pada ketiga jenis barisan terse
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Deret Geometri Tak Hingga
Lebih lengkap:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/05/deret-geometri-tak-hingga.html
Barisan dan deret merupakan susunan bilangan dengan pola tertentu. Barisan adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan fungsi, sedangkan deret adalah penjumlahan bilangan-bilangan pada suatu barisan. Terdapat tiga jenis pola dasar yaitu barisan aritmetika, barisan geometri, dan deret geometri tak hingga.
Dokumen tersebut membahas tentang aljabar vektor, termasuk definisi vektor dan operasi-operasi pada vektor seperti perkalian skalar, panjang vektor, sudut antar vektor, sifat-sifat vektor. Dibahas pula vektor di R2 dan R3 beserta representasinya menggunakan basis vektor.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep dasar vektor, termasuk definisi vektor skalar dan vektor, notasi vektor, vektor yang sama dan berlawanan, operasi vektor seperti penjumlahan dan pengurangan vektor, serta contoh-contoh penerapannya.
Barisan dan deret merupakan jajaran bilangan dengan urutan tertentu yang memiliki pola yang teratur. Terdapat tiga jenis barisan dan deret yaitu barisan aritmatika, geometri, dan Fibonacci. Barisan aritmatika memiliki selisih konstan antara dua bilangan berurutan, sedangkan barisan geometri memiliki rasio konstan. Soal latihan membahas tentang rumus suku ke-n, jumlah n bilangan, dan suku tengah pada ketiga jenis barisan terse
Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Deret Geometri Tak Hingga
Lebih lengkap:
https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/05/deret-geometri-tak-hingga.html
PERSAMAAN GARIS LURUS (Sub Materi: Grafik & Tabel Pada PGL) Pertemuan 1Shinta Novianti
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan garis lurus dan grafiknya. Materi ini menjelaskan tentang konsep dasar persamaan garis lurus, rumus kemiringan, dan cara membuat tabel dan menggambar grafik berdasarkan persamaan yang diberikan. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya untuk memahami konsep tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang ukuran keruncingan dan jenis-jenis kurva distribusi frekuensi. Terdapat tiga jenis kurva yaitu leptokurtik, mesokurtik, dan platikurtik yang dapat diidentifikasi melalui koefisien kurtosis yang dihitung berdasarkan rumus tertentu. Contoh soal menunjukkan cara menghitung koefisien kurtosis untuk menentukan jenis kurva suatu data.
1) Vektor adalah besaran yang memiliki besaran dan arah. Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal atau dibubuhi tanda panah.
2) Vektor dapat ada di ruang R1, R2, dan R3 yang masing-masing memiliki 1, 2, dan 3 sumbu koordinat. Vektor basis adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat.
3) Operasi vektor meliputi penjumlahan, pengurangan,
Setelah lama tidak up load slideshare,.. disemangati oleh kondisi siswa - siswi yang harus belajar di rumah,.. akhirnya 2 hari jadi dech...
Oh yaa.. agar lebih jelas lagi memahami tentang rasio trigonometri silahkan tonton juga video penjelasan dari saya di link di bawah ini yaaa.. jangan lupa subcribe untuk mendapatkan pemberitahuan video lainnya...
https://youtu.be/vNjuNPPJD-s
https://youtu.be/0_0sKvAY94Y
https://youtu.be/HMvaui2q0c0
semoga bermanfaat bagi kelas 10 SMA.. semangat belajar !!! dan semoga membantu dan menginspirasi juga bagi Bapak Ibu Guru yang sedang mencari materi ini,.. Semangat yaaa Bapak Ibu..!!
Teks tersebut membahas tentang fungsi logaritma, termasuk pengertian logaritma, grafik fungsi logaritma, sifat-sifat logaritma, dan persamaan logaritma.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan garis lurus, termasuk definisi persamaan garis lurus, kemiringan garis, menentukan persamaan garis lurus berdasarkan kemiringan dan titik-titik yang diketahui, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang pola bilangan pada barisan dan deret, termasuk pengertian barisan dan deret, contoh-contoh pola bilangan pada barisan aritmatika dan geometri, serta cara menentukan rumus suku ke-n pada berbagai jenis barisan dan deret.
1. Dokumen ini membahas tentang persamaan garis lurus dan grafiknya.
2. Terdapat penjelasan tentang kemiringan garis lurus, bentuk umum persamaan garis lurus, dan sifat-sifat persamaan garis lurus.
3. Diberikan contoh soal dan penyelesaiannya tentang menentukan gradien garis lurus dan grafik persamaannya.
1. Perkalian titik memungkinkan pengalian dua vektor sehingga hasilnya merupakan skalar, bukan vektor. Perkalian titik didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian komponen-komponen yang bersesuaian.
Dokumen ini membahas tentang deret geometri tak hingga, termasuk definisi, rumus, dan pembuktian. Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi konvergen dan divergen tergantung nilai rasio. Pembuktian deret geometri tak hingga didasarkan pada rumus deret geometri berhingga.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, representasi vektor, operasi-operasi vektor seperti penjumlahan dan perkalian skalar vektor, serta komponen-komponen vektor dalam sistem koordinat kartesius.
Submateri ini bagian dari Materi Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial pada mata pelajaran Matematika Peminatan
Penjelasan slideshare tersebut ada pada link berikut :
https://youtu.be/lm3GZgP-8as
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom. Matriks dapat berupa matriks nol, kolom, baris, persegi, atau identitas. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan matriks lain, serta pembentukan determinan dan invers matriks. Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Pertemuan 7 (ukuran kemiringan dan keruncingan data)reno sutriono
Dokumen tersebut membahas mengenai ukuran kemiringan dan keruncingan data. Ukuran kemiringan digunakan untuk mengetahui model distribusi yang memiliki kemiringan tertentu, sedangkan keruncingan digunakan untuk mengetahui tingkat runcing datarnya suatu kurva distribusi. Diberikan contoh perhitungan tingkat kemiringan dan keruncingan pada data tertentu beserta penjelasan rumus-rumus yang digunakan.
2018 Geometri Transformasi Perkalian 5 Isometri Kelompok 6 Rombel 3Yosia Adi Setiawan
Tugas Akhir Mata Kuliah Geometri Transformasi FMIPA Unnes Rombel 03 Kelompok 6
Adah Rodiah (4101415011)
Kartika Septina (4101415025)
Laela Sih Harti (4101415043)
Isnaini Umi S. (4101415077)
Siska Dwi L. (4101415121)
Info: fauzi1997@students.unnes.ac.id
PERSAMAAN GARIS LURUS (Sub Materi: Grafik & Tabel Pada PGL) Pertemuan 1Shinta Novianti
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan garis lurus dan grafiknya. Materi ini menjelaskan tentang konsep dasar persamaan garis lurus, rumus kemiringan, dan cara membuat tabel dan menggambar grafik berdasarkan persamaan yang diberikan. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya untuk memahami konsep tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang ukuran keruncingan dan jenis-jenis kurva distribusi frekuensi. Terdapat tiga jenis kurva yaitu leptokurtik, mesokurtik, dan platikurtik yang dapat diidentifikasi melalui koefisien kurtosis yang dihitung berdasarkan rumus tertentu. Contoh soal menunjukkan cara menghitung koefisien kurtosis untuk menentukan jenis kurva suatu data.
1) Vektor adalah besaran yang memiliki besaran dan arah. Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal atau dibubuhi tanda panah.
2) Vektor dapat ada di ruang R1, R2, dan R3 yang masing-masing memiliki 1, 2, dan 3 sumbu koordinat. Vektor basis adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat.
3) Operasi vektor meliputi penjumlahan, pengurangan,
Setelah lama tidak up load slideshare,.. disemangati oleh kondisi siswa - siswi yang harus belajar di rumah,.. akhirnya 2 hari jadi dech...
Oh yaa.. agar lebih jelas lagi memahami tentang rasio trigonometri silahkan tonton juga video penjelasan dari saya di link di bawah ini yaaa.. jangan lupa subcribe untuk mendapatkan pemberitahuan video lainnya...
https://youtu.be/vNjuNPPJD-s
https://youtu.be/0_0sKvAY94Y
https://youtu.be/HMvaui2q0c0
semoga bermanfaat bagi kelas 10 SMA.. semangat belajar !!! dan semoga membantu dan menginspirasi juga bagi Bapak Ibu Guru yang sedang mencari materi ini,.. Semangat yaaa Bapak Ibu..!!
Teks tersebut membahas tentang fungsi logaritma, termasuk pengertian logaritma, grafik fungsi logaritma, sifat-sifat logaritma, dan persamaan logaritma.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan garis lurus, termasuk definisi persamaan garis lurus, kemiringan garis, menentukan persamaan garis lurus berdasarkan kemiringan dan titik-titik yang diketahui, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang pola bilangan pada barisan dan deret, termasuk pengertian barisan dan deret, contoh-contoh pola bilangan pada barisan aritmatika dan geometri, serta cara menentukan rumus suku ke-n pada berbagai jenis barisan dan deret.
1. Dokumen ini membahas tentang persamaan garis lurus dan grafiknya.
2. Terdapat penjelasan tentang kemiringan garis lurus, bentuk umum persamaan garis lurus, dan sifat-sifat persamaan garis lurus.
3. Diberikan contoh soal dan penyelesaiannya tentang menentukan gradien garis lurus dan grafik persamaannya.
1. Perkalian titik memungkinkan pengalian dua vektor sehingga hasilnya merupakan skalar, bukan vektor. Perkalian titik didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian komponen-komponen yang bersesuaian.
Dokumen ini membahas tentang deret geometri tak hingga, termasuk definisi, rumus, dan pembuktian. Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi konvergen dan divergen tergantung nilai rasio. Pembuktian deret geometri tak hingga didasarkan pada rumus deret geometri berhingga.
Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, representasi vektor, operasi-operasi vektor seperti penjumlahan dan perkalian skalar vektor, serta komponen-komponen vektor dalam sistem koordinat kartesius.
Submateri ini bagian dari Materi Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial pada mata pelajaran Matematika Peminatan
Penjelasan slideshare tersebut ada pada link berikut :
https://youtu.be/lm3GZgP-8as
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom. Matriks dapat berupa matriks nol, kolom, baris, persegi, atau identitas. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan matriks lain, serta pembentukan determinan dan invers matriks. Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Pertemuan 7 (ukuran kemiringan dan keruncingan data)reno sutriono
Dokumen tersebut membahas mengenai ukuran kemiringan dan keruncingan data. Ukuran kemiringan digunakan untuk mengetahui model distribusi yang memiliki kemiringan tertentu, sedangkan keruncingan digunakan untuk mengetahui tingkat runcing datarnya suatu kurva distribusi. Diberikan contoh perhitungan tingkat kemiringan dan keruncingan pada data tertentu beserta penjelasan rumus-rumus yang digunakan.
2018 Geometri Transformasi Perkalian 5 Isometri Kelompok 6 Rombel 3Yosia Adi Setiawan
Tugas Akhir Mata Kuliah Geometri Transformasi FMIPA Unnes Rombel 03 Kelompok 6
Adah Rodiah (4101415011)
Kartika Septina (4101415025)
Laela Sih Harti (4101415043)
Isnaini Umi S. (4101415077)
Siska Dwi L. (4101415121)
Info: fauzi1997@students.unnes.ac.id
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan lingkaran, mulai dari definisi persamaan lingkaran dengan pusat di (0,0), persamaan lingkaran dengan pusat di titik lain, posisi suatu titik terhadap lingkaran, jarak antara titik dan lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran, dan persamaan garis singgung lingkaran.
Dokumen tersebut membahas tentang lingkaran dan hubungannya dengan garis. Dijelaskan bahwa lingkaran terdiri dari pusat dan keliling, serta memiliki persamaan matematis berdasarkan pusat dan jari-jari. Garis dapat memotong, menyentuh, atau tidak beririsan dengan lingkaran, dengan aturan-aturan khusus untuk garis singgung dan hubungan antar dua lingkaran.
Geometri Transformasi UNNES 2018 Rombel 4 Kelompok 3DiniHastiningrum
1. Rombel 004 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang tahun 2018.
2. Dokumen ini membahas tentang definisi dan teorema-teorema transformasi seperti pencerminan, geseran, rotasi, dan setengah putaran.
3. Memberikan contoh soal transformasi yang terdiri dari beberapa transformasi sekaligus dan cara menyelesaikannya secara langsung maupun tidak langsung.
1. Rombel 004 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang menjelaskan beberapa transformasi matematika.
2. Transformasi tersebut meliputi pencerminan, geseran, rotasi, dan setengah putaran serta hubungan antara transformasi tersebut.
3. Bukti langsung dan tak langsung diberikan untuk menunjukkan hubungan antara beberapa transformasi tersebut.
2018 Geometri Transformasi Rombel 04 Kelompok 3 Perkalian Isometriadin daru
1. Rombel 004 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang menjelaskan beberapa definisi transformasi seperti kesebangunan, hasil kali transformasi, pencerminan, geseran, refleksi geser, rotasi, dan setengah putaran.
2. Diberikan bukti langsung dan tidak langsung bahwa Ms ○ G PQ ○ G KL Mc ○ R A,φ ○ S B sama dengan R X,
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian lingkaran dan unsur-unsurnya seperti titik pusat, jari-jari, diameter, busur lingkaran, serta rumus-rumus yang terkait dengan lingkaran seperti rumus luas dan keliling lingkaran.
Dokumen tersebut membahas tentang hubungan antara parabola dengan garis. Secara singkat, dijelaskan definisi parabola dan persamaan umum parabola dengan variasi puncak dan focusnya. Selanjutnya dijelorkan cara menentukan persamaan garis singgung pada suatu parabola.
Dokumen tersebut membahas tentang garis singgung lingkaran, termasuk rumus untuk menentukan panjang garis singgung dari titik di luar lingkaran, persamaan garis singgung jika titik singgung diketahui, dan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui. Juga dijelaskan contoh penerapan rumus-rumus tersebut.
Dokumen tersebut menceritakan perasaan seseorang yang merasa tertekan dan tidak bebas untuk mengejar impiannya. Ia merasa selalu disalahkan dan tidak dihargai. Ia hanya ingin menjadi dirinya sendiri dan mendapatkan haknya. Namun ia merasa terbatasi dan berada di bawah kendali orang lain. Pesan moral dari dokumen tersebut adalah bahwa setiap orang berhak untuk bebas mengembangkan dirinya dan
Pengkodean akun menggunakan kode angka, huruf, atau kombinasi keduanya untuk memberi tanda pada akun yang telah dirancang. Kode akun digunakan untuk mempermudah identifikasi, pencatatan, pengelompokan, penyimpanan, dan pengambilan data akuntansi. Ada beberapa jenis kode akun seperti kode numeral, kode kelompok, kode blok, kode mnemonik, dan kode kombinasi huruf dan angka.
Dokumen tersebut membahas tentang berbagai profesi akuntansi, mulai dari akuntan pemerintah, akuntan manajemen perusahaan, akuntan publik, dan akuntan pendidik. Profesi-profesi tersebut memainkan peran penting dalam menunjang perekonomian nasional dan meningkatkan transparansi informasi keuangan.
Dokumen tersebut membahas tentang kedatangan dua gelombang bangsa Melayu ke Nusantara, yaitu:
1. Bangsa Proto Melayu (Melayu Tua) sekitar 1500 SM yang datang dari Asia melalui dua jalur dan membawa alat batu
2. Bangsa Deutro Melayu (Melayu Muda) sekitar 500 SM yang datang dari Indocina melalui jalur barat dan membawa budaya logam dan megalitikum
Dokumen tersebut juga menjelaskan ciri, ke
Dokumen tersebut merangkum rumus-rumus dasar fisika SMA yang meliputi besaran dan satuan fisika, vektor, kelajuan dan kecepatan, perlajuan dan percepatan, gerak lurus beraturan dan berubah beraturan, gerak jatuh bebas, gerak vertikal ke atas, dinamika gerak lurus, gaya normal dan gaya gesek, katrol tetap, gerak parabola, gerak melingkar beraturan, paduan gerak melingkar beraturan, gaya gravitasi, us
Logaritma memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, seperti untuk mengukur intensitas gempa bumi melalui skala Richter, mengukur tingkat keasaman dalam pH, dan menghitung tingkat kebisingan suara dalam desibel.
Dokumen tersebut berisi tentang menu utama yang terdiri dari fungsi, persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, dan soal latihan. Juga terdapat penjelasan singkat tentang relasi dan fungsi, fungsi linear, serta fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut memberikan contoh soal tentang sisa pembagian suku banyak dan penyelesaiannya menggunakan metode TRIK SUPERKILAT. Diberikan dua contoh soal beserta penyelesaiannya dengan menggunakan konsep teorema sisa dan modifikasi metode Horner.
Laporan ini merangkum hasil percobaan tentang elastisitas karet dan pegas. Percobaan menguji hubungan antara beban yang diberikan dengan perubahan panjang karet dan pegas berdasarkan hukum Hooke. Data menunjukkan hubungan yang berbanding lurus antara gaya dan perubahan panjang pada kondisi seimbang. Laporan ini menyimpulkan bahwa elastisitas adalah kemampuan benda untuk kembali ke bentuk semula setelah gaya dihilangkan.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 Fase E Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka.
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP ”CSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)” akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel – BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info ini👆 utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024
2.5 lingkaran(fil eminimizer)
1. 2. 5.
Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
( ݔെ ܽ )ଶ ( ݕെ ܾ)ଶ ൌ ݎଶ
Bentuk Umum
ݔଶ ݕଶ ݔܣ ݕܤ ܥൌ 0
dibagi (െ2)
Pusat
(ܽ, ܾ)
Jari-jari
ݎ
Pusat
ଵ
ଵ
ቀെ ଶ ,ܣെ ଶ ܤቁ
Jumlah kuadrat pusat
dikurangi ܥ
Jari-jari
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ݎൌ ටቀെ ଶ ܣቁ ቀെ ଶ ܤቁ െ ܥ
2. Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran
PGS Lingkaran
di titik (ݔଵ , ݕଵ ) pada lingkaran
PGS Lingkaran
dengan gradien ݉
faktor.
Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor
penjumlahan.
Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan
Ingat pola persamaan garis lurus ࢟ ൌ ࢞ ࢉ
Lalu perhatikan gambar berikut!
ௗ௧
ݔଶ
ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ
ݔଵ ݔ
( ݔെ ܽ)ଶ
ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ
(ݔଵ െ ܽ)( ݔെ ܽ)
ݔ
ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ
ௗ௧
ௗ௧
ଵ
(ݔ
ଶ ଵ
)ݔ
Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien ,
,
maka PGS tersebut adalah ࢟ ൌ ࢞ േ ࢉ
dimana ࢉ ൌ ࢘ඥ
PGS lingkaran di titik (ݔଵ , ݕଵ )
pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari ݎ
ݔଵ ݔ ݕଵ ݕൌ ݎଶ
PGS lingkaran di titik (ݔଵ , ݕଵ )
pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari ݎ
(ݔଵ െ ܽ)( ݔെ ܽ) (ݕଵ െ ܾ)( ݕെ ܾ) ൌ ݎଶ
PGS lingkaran di titik (ݔଵ , ݕଵ )
pada lingkaran dengan bentuk umum
ݔଶ ݕଶ ݔܣ ݕܤ ܥൌ 0
PGS dengan gradien ݉
dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari ݎ
ݕൌ ݉ ݔേ 1√ݎ ݉ଶ
PGS dengan gradien ݉
dari lingkaran pusat (ܽ, ܾ) dan jari-jari ݎ
( ݕെ ܾ) ൌ ݉( ݔെ ܽ) േ 1√ݎ ݉ଶ
ݔଵ ݔ ݕଵ ݕ ଶ (ݔଵ )ݔ ଶ (ݕଵ )ݕ ܥൌ 0
Catatan Tambahan:
Ingat juga tentang konsep jarak titik (ݔଵ , ݕଵ ) ke garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0:
ܽݔଵ ܾݕଵ ܿ
݀ൌฬ
ฬ
√ܽଶ ܾ ଶ
TRIK SUPERKILAT:
PGS lingkaran pusat (ݔଵ , ݕଵ ) jari-jari ݎyang sejajar dengan garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0:
ܽ ݔ ܾ ݕൌ ܽݔଵ ܾݕଵ േ ݎඥܽଶ ܾ ଶ
PGS lingkaran pusat (ݔଵ , ݕଵ ) jari-jari ݎyang tegak lurus dengan garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0:
ܾ ݔെ ܽ ݕൌ ܾݔଵ െ ܽݕଵ േ ܽ√ݎଶ ܾ ଶ
3. PGS Lingkaran
di titik (ݔଵ , ݕଵ ) yang berada di luar lingkaran
(ܽ, ܾ)
(0, 0)
(ݔଵ , ݕଵ )
Titik Singgung (ܽ, ܾ)
Diperoleh PGS Persamaan Lingkaran (dalam variabel ܽ, ܾ).
Substitusi titik (ݔଵ , ݕଵ ) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran
Diperoleh dua titik Singgung (ܽଵ , ܾଵ ) dan (ܽଶ , ܾଶ )
Substitusikan ke PGS di langkah kedua
Selesai
TRIK SUPERKILAT:
Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu.
PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien.
Selesai.
4. Soal:
Contoh Soal:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 10!
Penyelesaian:
PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik
singgung tersebut (ࢇ, ࢈). Artinya titik (ܽ, ܾ)tersebut berada
.
baik di PGS maupun lingkaran.
(ܽ, ܾ)
(0, 0)
(5, 5)
Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel ࢇ dan ࢈.
Perhatikan bahwa (ܽ, ܾ) berada di lingkaran, maka:
PGS lingkaran di titik (ܽ, ܾ) adalah ࢇ࢞ ࢈࢟ ൌ
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (ܽ, ܾ) adalah ࢇ ࢈ ൌ
Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (, ) ke PGS akan diperoleh:
ܽ ݔ ܾ ݕൌ 10 ֞ 5ܽ 5ܾ ൌ 10
֞ ܾܽ ൌ2
֞
࢈ൌ2െܽ
Dari persamaan lingkaran ܽଶ ܾ ଶ ൌ 10 dan ܾ ൌ 2 െ ܽ, substitusikan ࢈ ൌ െ ࢇ ke persamaan lingkaran
diperoleh:
ܽଶ (2 െ ܽ)ଶ ൌ 10
֞ ܽଶ (4 െ 4ܽ ܽଶ ) ൌ 10
֞
2ܽଶ െ 4ܽ 4 ൌ 10
ଶ
֞ 2ܽ െ 4ܽ 4 െ 10 ൌ 0
֞
2ܽଶ െ 4ܽ െ 6 ൌ 0
֞
ܽଶ െ 2ܽ െ 3 ൌ 0
(ܽ 1)(ܽ െ 3) ൌ 0
֞
֞
ܽ ൌ െ1 atau ܽ ൌ 3
Dari ܽ ൌ െ1 atau ܽ ൌ 3 akan diperoleh nilai ܾ, yaitu:
ܽ ൌ െ1 ֞ ܾ ൌ 2 െ ܽ ൌ 2 1 ൌ 3
ܽ ൌ 3 ֞ ܾ ൌ 2 െ ܽ ൌ 2 െ 3 ൌ െ1
Jadi dua titik singgung tersebut adalah (െ, ) dan (, െ).
.
Sehingga PGS lingkaran pada titik (െ, ) dan (, െ) adalah:
െ ݔ 3 ݕൌ 10 dan 3 ݔെ ݕൌ 10.
TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari ݎൌ √10.
Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus:
֜
ݕൌ ݉ ݔേ ݎඥ1 ݉ଶ
5 ൌ ݉(5) േ √10ඥ1 ݉ଶ
֞
5 െ 5݉ ൌ േ√10ඥ1 ݉ଶ (kuadratkan kedua ruas)
֞ 25 െ 50݉ 25݉ଶ ൌ 10 10݉ଶ
֞ 15݉ଶ െ 50݉ 15 ൌ 0
֞ 3݉ଶ െ 10݉ 3 ൌ 0
֞ (3݉ െ 1)(݉ െ 3) ൌ 0
1
݉ ൌ atau ݉ ൌ 3
3
ଵ
Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien ݉ ൌ
ଷ
ݕെ ݕଵ ൌ ݉( ݔെ ݔଵ )
1
ݕെ 5 ൌ ( ݔെ 5)
3
െ ݔ 3࢟ ൌ 10
Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien ݉ ൌ 3
ݕെ ݕଵ ൌ ݉( ݔെ ݔଵ )
ݕെ 5 ൌ 3( ݔെ 5)
࢞ െ ࢟ ൌ 10
5. Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:
jariMenentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal!
Contoh:
1.
Diberikan persamaan lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….
Penyelesaian:
( ݔെ 0)ଶ ( ݕെ 0)ଶ ൌ 25
ݎଶ ൌ 25 ֜ ݎൌ 5
Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.
2.
Diberikan persamaan lingkaran ( ݔെ 3)ଶ ( ݕെ 4)ଶ ൌ 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran
adalah ….
Penyelesaian:
( ݔെ 3)ଶ ( ݕ 4)ଶ ൌ 25
ݎଶ ൌ 25 ֜ ݎൌ 5
Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.
3.
Diberikan persamaan lingkaran ݔଶ ݕଶ െ 2 ݔ 4 ݔെ 20 ൌ 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran
adalah ….
Penyelesaian:
ݔଶ ݕଶ െ 2 ݔ 4 ݔെ 20 ൌ 0
1
െ2
dibagi (-2)
Maka pusat (1, െ2), dan jari-jari adalah ݎൌ ඥ(1)ଶ (െ2)ଶ െ (െ20)
6. Menentukan persamaan lingkaran
Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.
Misal diketahui pusat lingkaran (ܽ, ܾ) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka ݎൌ |ܾ|.
Misal diketahui pusat lingkaran (ܽ, ܾ) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka ݎൌ |ܽ|.
Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui
pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke
garis singgung.
Contoh:
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, െ1) dan jari-jari 3 adalah ….
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dengan pusat (ܽ, ܾ) dengan jari-jari :ݎ
( ݔെ ܽ)ଶ ( ݕെ ܾ)ଶ ൌ ݎଶ
( ݔെ 5)ଶ ( ݕ 1)ଶ ൌ 9
atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:
( ݔെ 5)ଶ ( ݕ 1)ଶ ൌ 9 ֜ ݔଶ െ 10 ݔ 25 ݕଶ 2 ݕ 1 െ 9 ൌ 0
֞ ݔଶ ݕଶ െ 10 ݔ 2 ݕ 17 ൌ 0
2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah ….
Penyelesaian:
( ݔെ 3)ଶ ( ݕെ 2)ଶ ൌ 2ଶ
֜ ݔଶ ݕଶ െ 6 ݔെ 4 ݕ 9 ൌ 0
3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (െ1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah ….
Penyelesaian:
( ݔ 1)ଶ ( ݕെ 2)ଶ ൌ (െ1)ଶ
֜ ݔଶ ݕଶ 2 ݔെ 4 ݕ 4 ൌ 0
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3 ݔെ 4 ݕെ 2 ൌ 0 adalah ….
Penyelesaian:
Pusat (ݔଵ , ݕଵ ) ൌ (1, 4)
Garis 3 ݔെ 4 ݕെ 2 ൌ 0, dengan ܽ ൌ 3, ܾ ൌ െ4, dan ܿ ൌ െ2.
Persamaan lingkaran dengan pusat (ݔଵ , ݕଵ ) menyinggung garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0 adalah:
( ݔെ ܽ)ଶ ( ݕെ ܾ)ଶ ൌ ቂ
௫భ ା௬భ ା ଶ
√మ ା మ
ቃ
3(1) െ 4(4) െ 2
( ݔെ 1) ( ݕെ 4) ൌ ቈ
֜
√3ଶ 4ଶ
֞ ݔଶ െ 2 ݔ 1 ݕଶ െ 8 ݕ 16 ൌ 9
֞
ݔଶ ݕଶ െ 2 ݔെ 8 ݕ 8 ൌ 0
ଶ
ଶ
ଶ
7. lingkaran
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran.
Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya.
Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor.
Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan.
Contoh:
1.
Persamaan garis singgung lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 25 di titik (4, െ3) adalah ….
Penyelesaian:
ݔଵ ൌ 4 dan ݕଵ ൌ െ3
Ingat, ganti ݔଶ menjadi ݔଵ ,ݔdan ݔmenjadi ቀ
ݔଶ ݕଶ ൌ 25
֜ ݔଵ ݔ ݕଵ ݕൌ 25
௫భ ା௫
ଶ
ቁ.
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
4 ݔെ 3 ݕൌ 25
2.
Persamaan garis singgung lingkaran ( ݔെ 1)ଶ ( ݕെ 4)ଶ ൌ 25 di titik (െ2, 0) adalah ….
Penyelesaian:
ݔଵ ൌ െ2 dan ݕଵ ൌ 0
Ingat, ganti ݔଶ menjadi ݔଵ ,ݔdan ݔmenjadi ቀ
( ݕെ 4)ଶ ൌ 25
( ݔെ 1)ଶ
֜ (ݔଵ െ 1)( ݔെ 1) (ݕଵ െ 4)( ݕെ 4) ൌ 25
௫భ ା௫
ଶ
ቁ.
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
(െ2 െ 1)( ݔെ 1) (0 െ 4)( ݕെ 4) ൌ 25
(െ3)( ݔെ 1) (െ4)( ݕെ 4) ൌ 25
֜
֞
െ3 ݔെ 4 ݕെ 6 ൌ 0
3.
Persamaan garis singgung lingkaran ݔଶ ݕଶ െ 6 ݔ 4 ݕെ 12 ൌ 0 di titik (7, 1) adalah ….
Penyelesaian:
ݔଵ ൌ 7 dan ݕଵ ൌ 1
Ingat, ganti ݔଶ menjadi ݔଵ ,ݔdan ݔmenjadi ቀ
ݔଶ ݕଶ െ 6
௫భ ା௫
ଶ
ቁ.
ݔ
4
ݕ
െ 12 ൌ 0
ݔଵ ݔଶ
ݕଵ ݕ
֜ ݔଵ ݔ ݕଵ ݕെ 6 ൬
൰ 4൬
൰ െ 12 ൌ 0
2
2
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
7 ݔ ݕെ 3(7 )ݔ 2(1 )ݕെ 12 ൌ 0
֜
4 ݔ 3 ݕെ 31 ൌ 0
8. lingkaran
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.
1.
Persamaan garis singgung lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 9 di titik (1, 3) adalah ….
Penyelesaian:
TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari ݎൌ 3.
Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).
ݔଶ ݕଶ ൌ 9 ֜ (1)ଶ (3)ଶ ൌ 10 9 (maka titik berada di luar lingkaran)
Gunakan rumus berikut:
֜
ݕൌ ݉ ݔേ ݎඥ1 ݉ଶ
3 ൌ ݉(1) േ 3ඥ1 ݉ଶ
֞
3 െ ݉ ൌ േ3ඥ1 ݉ଶ (kuadratkan kedua ruas)
֞ 9 െ 6݉ ݉ଶ ൌ 9 9݉ଶ
֞
8݉ଶ 6݉ ൌ 0
֞ 2݉(4݉ 3) ൌ 0
3
݉ ൌ 0 atau ݉ ൌ െ
4
Melalui (1 ,3) dan gradien ݉ ൌ 0
ݕെ ݕଵ ൌ ݉( ݔെ ݔଵ )
ݕെ 3 ൌ 0( ݔെ 1)
ݕൌ3
Melalui (1 ,3) dan gradien ݉ ൌ െ
ݕെ ݕଵ ൌ ݉( ݔെ ݔଵ )
3
ݕെ 3 ൌ െ ( ݔെ 1)
4
4 ݕെ 12 ൌ െ3 ݔ 3
3 ݔ 4 ݕൌ 15
ଷ
ସ
9. lingkaran
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.
1. Persamaan garis singgung lingkaran ( ݔെ 3)ଶ ( ݕ 5)ଶ ൌ 80 yang sejajar dengan garis
ݕെ 2 ݔ 5 ൌ 0 adalah ….
Penyelesaian:
Superkilat:
Trik Superkilat:
Sesuaikan sejajar apa nggak?
Masukkan substitusikan pusat
PGS lingkaran pusat (ݔଵ , ݕଵ ) jari-jari ݎyang
sejajar dengan garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0:
ܽ ݔ ܾ ݕൌ ܽݔଵ ܾݕଵ േ ݎඥܽଶ ܾ ଶ
േ Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien
Lingkaran pusat (3, െ5) dan jari-jari ݎൌ √80
PGS yang sejajar ݕെ 2 ݔ 5 ൌ 0 adalah ݕെ 2 ݔjuga!!!
ݕെ 2 ݔൌ (െ5) െ 2(3) േ √80 ඥ1ଶ (െ2)ଶ
֜ ݕെ 2 ݔൌ െ11 േ 20
֞
ݕൌ 2 ݔെ 11 േ 20
2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ݔଶ ݕଶ െ 4 ݔെ 8 ݕ 15 ൌ 0 yang tegak lurus
garis ݔ 2 ݕൌ 6 adalah ….
Penyelesaian:
Trik Superkilat:
Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari ݎൌ √5
PGS yang sejajar ݔ 2 ݕൌ 6 adalah ݔ 2 ݕharus diubah menjadi 2 ݔെ !!! ݕ
2 ݔെ ݕൌ 2(2) െ (4) േ √5 ඥ(2)ଶ (1)ଶ
֜ 2 ݔെ ݕൌ 0 േ 5
֞ 2 ݔെ ݕൌ 5 dan 2 ݔെ ݕൌ െ5
10. Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + ( y − 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik
potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....
PGS lingkaran
A. x = 2 dan x = −4 Memotong garis ݕൌ 3
ଶ
ଶ
(ݔଵ ܽ)( ݔ ܽ) (ݕଵ ܾ)( ݕ ܾ) ൌ ݎଶ
B. x = 2 dan x = −2 ݕൌ 3 ֜ ( ݔ 1) (3 െ 3) ൌ 9
( ݔ 1)ଶ ൌ 9
֞
C. x = −2 dan x = 4
֞
ݔ 1 ൌ േ3 (െ4, 3) ֜ (െ4 1)( ݔ 1) 0 ൌ 9
D. x = −2 dan x = −4
֞
െ3 ݔെ 3 ൌ 9
֞ ݔ 1 ൌ െ3 atau ݔ 1 ൌ 3
E. x = 8 dan x = −10
֞
ݔൌ െ4
֞
ݔଵ ൌ െ4
ԝ ݔଶ ൌ 2
TRIK SUPERKILAT:
Gunakan sketsa lingkaran
Jadi titik potongnya di
(െ4, 3) dan (2, 3)
(2, 3) ֜ (2 1)( ݔ 1) 0 ൌ 9
֞
3 ݔ 3 ൌ 9
֞
ݔൌ2
ݕൌ3
ݔൌ െ4
2.
ݔൌ2
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + ( y − 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik
potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....
A. x = 2 dan x = −4
Memotong garis ݕൌ 3
PGS lingkaran
B. x = 2 dan x = −2
(ݔଵ ܽ)( ݔ ܽ) (ݕଵ ܾ)( ݕ ܾ) ൌ ݎଶ
( ݔ 1)ଶ (3 െ 3)ଶ ൌ 9
ݕൌ3֜
C. x = −2 dan x = 4
( ݔ 1)ଶ ൌ 9
֞
D. x = −2 dan x = −4
֞
ݔ 1 ൌ േ3 (െ4, 3) ֜ (െ4 1)( ݔ 1) 0 ൌ 9
֞
െ3 ݔെ 3 ൌ 9
֞ ݔ 1 ൌ െ3 atau ݔ 1 ൌ 3
E. x = 8 dan x = −10
TRIK SUPERKILAT:
Gunakan sketsa lingkaran
ݕൌ3
ݔൌ െ4
ݔൌ2
֞
ݔଵ ൌ െ4
Jadi titik potongnya di
(െ4, 3) dan (2, 3)
ԝ ݔଶ ൌ 2
֞
ݔൌ െ4
(2, 3) ֜ (2 1)( ݔ 1) 0 ൌ 9
֞
3 ݔ 3 ൌ 9
֞
ݔൌ2
