2013年度春学期 画像情報処理 第１４回「CTスキャナ ― 投影からの画像の再構成/ 逆投影法による再構成」
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関西大学総合情報学部 2013年度春学期 画像情報処理 第１４回／ 第４部・CTスキャナ ― 投影からの画像の再構成「逆投影法による再構成」 担当・浅野晃 2013/7/10
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- 5. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 6. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
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- 10. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない
- 11. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy
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- 14. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
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- 17. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない
- 18. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない →補間を行う
- 19. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 20. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 21. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 22. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 23. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 24. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
- 25. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体に ひろがるアーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
- 29. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
- 30. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
- 31. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
- 32. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
- 33. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？
- 34. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
- 35. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換．
- 36. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換．
- 37. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では
- 38. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht
- 39. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり
- 40. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は
- 41. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f
- 42. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f
- 43. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 44. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 45. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
- 46. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 逆投影
- 47. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 48. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 49. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 50. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 51. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 52. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 53. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 54. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 55. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 56. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 57. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 58. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 co
- 59. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー 三角関数を合成
- 60. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 61. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー g(s, θ) = −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/ 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 62. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 63. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 64. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 65. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 66. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 67. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) ) 式は b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法によ (x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 よって
- 68. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) ) 式は b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法によ (x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 よって コンヴォリューションに なっている
- 69. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するにはは b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1
- 70. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1
- 71. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1 = f(x, y) ∗ x2 + y2 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による ，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 (9) FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y (10) ると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11)
- 72. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1 = f(x, y) ∗ x2 + y2 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による ，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 (9) FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y (10) ると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆 再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像に このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはい かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ エ変換のかけ算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 となります。 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y であることを用いると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] なので