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![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか？
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-47-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか？
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-48-320.jpg)
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復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co
=
∞
f(x , y )
π
δ((x − x) cos θ + (y − y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-49-320.jpg)
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復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co
=
∞
f(x , y )
π
δ((x − x) cos θ + (y − y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-50-320.jpg)
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復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co
=
∞
f(x , y )
π
δ((x − x) cos θ + (y − y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-51-320.jpg)
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復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co
=
∞
f(x , y )
π
δ((x − x) cos θ + (y − y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-52-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co
=
∞
f(x , y )
π
δ((x − x) cos θ + (y − y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-53-320.jpg)
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復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co
=
∞
f(x , y )
π
δ((x − x) cos θ + (y − y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-54-320.jpg)
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復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co
=
∞
f(x , y )
π
δ((x − x) cos θ + (y − y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-55-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか？
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-56-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか？
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-57-320.jpg)
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復元できているのだろうか？
h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin
となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(
で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 co](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-58-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか？
h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin
となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(
で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 co
を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー
三角関数を合成](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-59-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか？
h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin
となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(
で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 co
を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー
三角関数を合成
θ = π − α のときだけ0](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-60-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか？
h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin
となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(
で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 co
を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー
g(s, θ) =
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/
三角関数を合成
θ = π − α のときだけ0](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-61-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているといえなくもないが…
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-62-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているといえなくもないが…
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-63-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているといえなくもないが…
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-64-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているといえなくもないが…
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-65-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているといえなくもないが…
積分すると1
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-66-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているといえなくもないが…
積分すると1
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
) 式は
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法によ
(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
よって](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-67-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているといえなくもないが…
積分すると1
−∞
1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ
=
∞
−∞
f(x , y )
π
0
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
) 式は
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法によ
(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります
δ[h(θ)] =
k
1
|h (θk)|
δ[θ − θk]
なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について
(x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α),
α = cos−1 y −y√
(x −x)2+(y −y)2
= sin−1 x −x√
(x −x)2+(y −y)2
，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関
δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) =
1
(x − x)2 + (y − y)2 cos(π)
δ(θ − (π − α))
野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
よって
コンヴォリューションに
なっている](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-68-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元するにはは
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
1 1](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-69-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
復元するには
フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積
は
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
1 1](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-70-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
復元するには
フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積
は
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
1 1
= f(x, y) ∗
x2 + y2
第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による
，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。
得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し
リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ
の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
(9)
FT
1
x2 + y2
=
1
f2
x + f2
y
(10)
ると（証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-71-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
復元するには
フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積
は
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
1 1
= f(x, y) ∗
x2 + y2
第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による
，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。
得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し
リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ
の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
(9)
FT
1
x2 + y2
=
1
f2
x + f2
y
(10)
ると（証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆
再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像に
このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはい
かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ
エ変換のかけ算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
となります。
FT
1
x2 + y2
=
1
f2
x + f2
y
であることを用いると（証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)]
なので](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-72-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
復元するには
フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積
は
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に
は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま
，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません
フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ
」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
1 1
= f(x, y) ∗
x2 + y2
第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による
，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。
得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し
リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ
の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
(9)
FT
1
x2 + y2
=
1
f2
x + f2
y
(10)
ると（証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。
られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し
エ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ
関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
(9)
FT
1
x2 + y2
=
1
f2
x + f2
y
(10)
と（証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
との物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆
再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像に
このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはい
かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ
エ変換のかけ算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
となります。
FT
1
x2 + y2
=
1
f2
x + f2
y
であることを用いると（証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)]
なので](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-73-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-74-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-75-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
周波数0の成分](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-76-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-77-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-78-320.jpg)
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これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-79-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-80-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-81-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-82-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる
おかしい。画像なんだから](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-83-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる
おかしい。画像なんだから
0](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-84-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる
おかしい。画像なんだから
0](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-85-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる
おかしい。画像なんだから
0
値は正のはず](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-86-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる
おかしい。画像なんだから
0
値は正のはず
そもそも](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-87-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
(8)
第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による
もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。
られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し
リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ
関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
(9)
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる
おかしい。画像なんだから
0
値は正のはず
そもそも](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-88-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
(8)
第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による
もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。
られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し
リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ
関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
(9)
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。し
再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳し
このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得
かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューショ
エ変換のかけ算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
となります。
FT
1
x2 + y2
=
1
f2
x + f2
y
であることを用いると（証明は略），(9) 式は
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる
おかしい。画像なんだから
0
値は正のはず
そもそも](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-89-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
これでいいのでしょうか？
つまりf(x, y)は
fx + fy
証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] = f2
x + f2
y × FT[b(x, y)] (11)
物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング
，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ
tion) といいます。
題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ
FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな
。
は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに，
のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の
均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ
T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
b(x, y) =
∞
−∞
f(x , y )
1
(x − x)2 + (y − y)2
dx dy
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
(8)
第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による
もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。
られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し
リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ
関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
(9)
= f(x, y) ∗
1
x2 + y2
となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。し
再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳し
このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得
かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューショ
エ変換のかけ算」の関係があるので
FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT
1
x2 + y2
∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT
1
x2 + y2
となります。
FT
1
x2 + y2
=
1
f2
x + f2
y
であることを用いると（証明は略），(9) 式は
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきません
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と
は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも
因があります。
フィルタ補正逆投影法
前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用
かも実用的な再構成法を導くことができます。
浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10)
周波数0の成分
0
こうなっている
ことになる
おかしい。画像なんだから
0
値は正のはず
そもそも
∴ FT[f(x, y)] = FT
となります。
FT
1
x2 +
であることを用いると（証明は略），(9) 式は
FT[f(x, y)] =
となり，(11) 式でもとの物体 f(x, y) のフーリエ
(inverse filtering) といい，このような方法でコ
リューション (deconvolution) といいます。
この方法には，2 つの問題点があります。そのひ
た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x,
ければならないことです。
もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから
(11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0
値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y)
で発散している](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-90-320.jpg)
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フィルタ補正逆投影法
再び投影定理
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の２次元
フーリエ変換
投影の１次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理．
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように
dxdy = dsdu ですから，
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
F(fx, fy)
ξ
Gθ(ξ)
図 1: 投影定理．
)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ
ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
す。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に
復元
２次元逆フーリエ変換](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-94-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
極座標に変換
前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
りますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-97-320.jpg)
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フィルタ補正逆投影法
極座標に変換
前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
りますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-98-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
極座標に変換
前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
りますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-99-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
極座標に変換
前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
りますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-100-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
極座標に変換
前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
りますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-101-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
極座標に変換
前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
りますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし
投影定理より](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-102-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
極座標に変換
前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
りますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし
T[f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
が f(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
表されます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ)
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
なります。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
いう関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
投影定理より](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-103-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
極座標に変換
前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
りますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変
(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし
T[f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ
が f(x, y) ですから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
表されます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ)
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
なります。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
いう関係がありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
すから，
f(x, y) =
∞
−∞
F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ
f(x, y) =
2π
0
∞
0
F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ)
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0
投影定理より](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-104-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
積分区間を変換
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (14
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積
同じですから
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16
報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，
同じですから
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1
報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ
f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい
。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x
まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-111-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
積分区間を変換
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (14
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積
同じですから
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16
報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，
同じですから
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1
報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ
f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい
。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x
まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-112-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
積分区間を変換
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (14
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積
同じですから
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16
報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，
同じですから
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1
報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ
f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい
。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x
まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-113-320.jpg)
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フィルタ補正逆投影法
積分区間を変換
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (14
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積
同じですから
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16
報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1
ありますから，
f(x, y) =
2π
0
∞
0
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1
。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，
同じですから
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1
報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ
f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい
。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x
まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
の逆フーリエ変換
s と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-114-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19)
逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい
タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい
ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン
ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正
ています。
影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな
の逆フーリエ変換
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数
るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方
ら逆投影しています。](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-115-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19)
逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい
タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい
ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン
ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正
ています。
影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな
の逆フーリエ変換
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数
るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方
ら逆投影しています。
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波
するフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られるこ
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-116-320.jpg)
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フィルタ補正逆投影法
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19)
逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい
タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい
ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン
ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正
ています。
影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな
の逆フーリエ変換
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数
るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方
ら逆投影しています。
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波
するフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られるこ
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この
とおくと，](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-117-320.jpg)
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フィルタ補正逆投影法
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19)
逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい
タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい
ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン
ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正
ています。
影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな
の逆フーリエ変換
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数
るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方
ら逆投影しています。
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波
するフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られるこ
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この
式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17
内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19
影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい
適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい
タ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン
とおくと，](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-118-320.jpg)
![2013年度春学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ補正逆投影法
関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17)
の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18)
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19)
逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい
タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい
ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン
ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正
ています。
影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな
の逆フーリエ変換
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数
るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方
ら逆投影しています。
と x, y の関係式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ
す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
，(17) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
す。
，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波
するフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られるこ
の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前
ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この
式（(1) 式）を使うと
f(x, y) =
π
0
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17
内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19
影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい
適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい
タ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン
とおくと，
投影を，
「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を
適用してから，逆投影](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-119-320.jpg)
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コンヴォリューション逆投影法
0 −∞
この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
7) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空
フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを
法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の
ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法
投影しています。
は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション
ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ
接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-120-320.jpg)
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A.Asano,KansaiUniv.
コンヴォリューション逆投影法
0 −∞
この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
7) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空
フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを
法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の
ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法
投影しています。
は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション
ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ
接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-121-320.jpg)
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コンヴォリューション逆投影法
0 −∞
この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
7) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空
フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを
法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の
ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法
投影しています。
は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション
ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ
接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補
ある角度 θ での投影を
周波数空間で |ξ| 倍](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-122-320.jpg)
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コンヴォリューション逆投影法
0 −∞
この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
7) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空
フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを
法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の
ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法
投影しています。
は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション
ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ
接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補
ある角度 θ での投影を
周波数空間で |ξ| 倍 実空間では
いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への
ーリエ変換法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわた
ことはありません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるの
の投影の撮影を待たずに行えます。
式の計算は Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ
いるだけですから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると
ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1
[|ξ|]
ションで表され，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコ
onvolution back projection method) とよばれています。
とのコンヴォリューション](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-123-320.jpg)
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コンヴォリューション逆投影法
0 −∞
この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
7) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空
フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを
法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の
ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法
投影しています。
は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション
ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ
接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補
よって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありません。ま
エ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補間の操
法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわたるアーテ
ません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるので，ある
影を待たずに行えます。
Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ| をかけて
すから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると
ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1
[|ξ|]
れ，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコンヴォリュ
back projection method) とよばれています。
ある角度 θ での投影を
周波数空間で |ξ| 倍 実空間では
いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への
ーリエ変換法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわた
ことはありません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるの
の投影の撮影を待たずに行えます。
式の計算は Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ
いるだけですから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると
ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1
[|ξ|]
ションで表され，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコ
onvolution back projection method) とよばれています。
とのコンヴォリューション](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-124-320.jpg)
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コンヴォリューション逆投影法
0 −∞
この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
7) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空
フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを
法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の
ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法
投影しています。
は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション
ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ
接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補
よって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありません。ま
エ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補間の操
法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわたるアーテ
ません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるので，ある
影を待たずに行えます。
Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ| をかけて
すから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると
ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1
[|ξ|]
れ，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコンヴォリュ
back projection method) とよばれています。
ある角度 θ での投影を
周波数空間で |ξ| 倍 実空間では
いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への
ーリエ変換法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわた
ことはありません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるの
の投影の撮影を待たずに行えます。
式の計算は Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ
いるだけですから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると
ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1
[|ξ|]
ションで表され，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコ
onvolution back projection method) とよばれています。
とのコンヴォリューション
最初からこれを定義しておけば
フーリエ変換の必要はない](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-125-320.jpg)
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コンヴォリューション逆投影法
0 −∞
この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで，
ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡
∞
−∞
|ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
7) 式は
f(x, y) =
π
0
ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空
フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを
法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の
ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法
投影しています。
は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション
ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ
接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補
よって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありません。ま
エ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補間の操
法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわたるアーテ
ません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるので，ある
影を待たずに行えます。
Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ| をかけて
すから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると
ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1
[|ξ|]
れ，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコンヴォリュ
back projection method) とよばれています。
ある角度 θ での投影を
周波数空間で |ξ| 倍 実空間では
いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への
ーリエ変換法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわた
ことはありません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるの
の投影の撮影を待たずに行えます。
式の計算は Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ
いるだけですから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると
ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1
[|ξ|]
ションで表され，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコ
onvolution back projection method) とよばれています。
とのコンヴォリューション
最初からこれを定義しておけば
フーリエ変換の必要はない
極座標→直交座標の変換は実空間で行うので，
誤差が画面全体に拡散することはない](https://image.slidesharecdn.com/2013sippr14ss-130722173055-phpapp02/85/2013-CT-126-320.jpg)
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2013年度春学期 画像情報処理 第１４回「CTスキャナ ― 投影からの画像の再構成/ 逆投影法による再構成」
関西大学総合情報学部 2013年度春学期 画像情報処理 第１４回／ 第４部・CTスキャナ ― 投影からの画像の再構成「逆投影法による再構成」 担当・浅野晃 2013/7/10
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- 1.
- 2.
- 3.
- 4. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 5. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 6. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 7. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 8. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 9. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で ２次元関数が再構成できる
- 10. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない
- 11. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy
- 12. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 13. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 14. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 15. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 16. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 17. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない
- 18. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない →補間を行う
- 19. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 20. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 21. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 22. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 23. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 24. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
- 25. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体に ひろがるアーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
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- 29. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x,y) での値は x y f(x, y)
- 30. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x,y) での値は x y f(x, y)
- 31. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x,y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
- 32. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x,y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
- 33. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x,y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？
- 34. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x,y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
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- 38. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht
- 39. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり
- 40. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は
- 41. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f
- 42. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f
- 43. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 44. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 45. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0 すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) ht (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ −∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
- 46. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 逆投影
- 47. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 48. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 49. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影されたRadon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 50. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影されたRadon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 51. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影されたRadon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 52. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影されたRadon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 53. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影されたRadon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 54. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影されたRadon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 55. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影されたRadon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x co = ∞ f(x , y ) π δ((x − x) cos θ + (y − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 56. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 57. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 58. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 co
- 59. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー 三角関数を合成
- 60. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 61. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペー g(s, θ) = −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/ 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 62. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 63. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 64. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 65. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 66. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 67. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) ) 式は b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法によ (x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 よって
- 68. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 −∞ 1) 式を (2)式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ) = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) ) 式は b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法によ (x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 よって コンヴォリューションに なっている
- 69. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するにはは b(x, y) = ∞ −∞ f(x, y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1
- 70. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x, y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1
- 71. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x, y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1 = f(x, y) ∗ x2 + y2 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による ，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 (9) FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y (10) ると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11)
- 72. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x, y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1 = f(x, y) ∗ x2 + y2 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による ，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 (9) FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y (10) ると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆 再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像に このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはい かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ エ変換のかけ算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 となります。 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y であることを用いると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] なので
- 73. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x, y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1 = f(x, y) ∗ x2 + y2 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による ，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 (9) FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y (10) ると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し エ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ 関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 (9) FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y (10) と（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) との物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆 再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像に このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはい かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ エ変換のかけ算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 となります。 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y であることを用いると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] なので
- 74. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ fx + fy 証明は略），(9)式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原
- 75. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ fx + fy 証明は略），(9)式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7
- 76. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ fx + fy 証明は略），(9)式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 周波数0の成分
- 77. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ fx + fy 証明は略），(9)式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分
- 78. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ fx + fy 証明は略），(9)式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分
- 79. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分
- 80. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0
- 81. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0
- 82. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる
- 83. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる おかしい。画像なんだから
- 84. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる おかしい。画像なんだから 0
- 85. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる おかしい。画像なんだから 0
- 86. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる おかしい。画像なんだから 0 値は正のはず
- 87. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる おかしい。画像なんだから 0 値は正のはず そもそも
- 88. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 (8) 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ 関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 (9) ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる おかしい。画像なんだから 0 値は正のはず そもそも
- 89. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 (8) 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ 関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 (9) = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。し 再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳し このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得 かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューショ エ変換のかけ算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 となります。 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y であることを用いると（証明は略），(9) 式は ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる おかしい。画像なんだから 0 値は正のはず そもそも
- 90. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は fx +fy 証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) 物体 f(x, y) のフーリエ変換を復元できます。この方法を逆フィルタリング ，このような方法でコンヴォリューションの逆演算を行うことをデコンヴォ tion) といいます。 題点があります。そのひとつは，逆投影 b(x, y) は物体 f(x, y) がぼけて広がっ FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲よりもずっと大きくとって計算しな 。 は吸収率の分布ですから，すべての (x, y) において正の値であるはずなのに， のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。つまり，フーリエ変換の周波数 0 の 均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値というのはありえないはずです。これ T[b(x, y)] は発散してしまっていて，そもそも情報が得られていないことに原 b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 (8) 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ 関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 (9) = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。し 再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳し このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得 かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューショ エ変換のかけ算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 となります。 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y であることを用いると（証明は略），(9) 式は ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してし 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきません かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7 た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, y) の存在する範囲 ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから，すべての (x, y (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 となることです。 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) がすべて正の値と は，fx = fy = 0 のとき FT[b(x, y)] は発散してしまっていて，そも 因があります。 フィルタ補正逆投影法 前節のように逆投影法は実はうまくいきませんが，投影定理を用 かも実用的な再構成法を導くことができます。 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) 周波数0の成分 0 こうなっている ことになる おかしい。画像なんだから 0 値は正のはず そもそも ∴ FT[f(x, y)] = FT となります。 FT 1 x2 + であることを用いると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = となり，(11) 式でもとの物体 f(x, y) のフーリエ (inverse filtering) といい，このような方法でコ リューション (deconvolution) といいます。 この方法には，2 つの問題点があります。そのひ た形になっているため，FT[b(x, y)] を物体 f(x, ければならないことです。 もうひとつは，f(x, y) は吸収率の分布ですから (11) 式から fx = fy = 0 のとき FT[f(x, y)] = 0 値，すなわち f(x, y) の平均が 0 なのに，f(x, y) で発散している
- 91. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
- 92. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy 復元
- 93. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy 復元 ２次元逆フーリエ変換
- 94. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s,θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy F(fx, fy) ξ Gθ(ξ) 図 1: 投影定理． )] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy す。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に 復元 ２次元逆フーリエ変換
- 95. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 96. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 97. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 98. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 99. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし
- 100. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし
- 101. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし
- 102. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし 投影定理より
- 103. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし T[f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ が f(x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 表されます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ なります。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) いう関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
- 104. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 前回にならって F(fx, fy)と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 G Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) りますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξd ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリエ変 (x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy れます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) に変 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ ます。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ れます。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) とし T[f(x, y)] を前回にならって F(fx, fy) と書くことにしましょう。F(fx, fy) を逆フーリ が f(x, y) ですから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 表されます。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ, θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ なります。投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) いう関係がありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ すから， f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 。これを，図 1 の右下のように fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ として極座標 (ξ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理により，Radon 変換 g(s, θ) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0 投影定理より
- 105. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
- 106. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
- 107. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても， 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
- 108. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても， 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
- 109. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても， 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー
- 110. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても， 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい 。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 111. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても， 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) 式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい 。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 112. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても， 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) 式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい 。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 113. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても， 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) 式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい 。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 114. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 Gθ(ξ) = F(ξcos θ, ξ sin θ) (14 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (15 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても，積 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (16 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (1 ありますから， f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ (1 。ここで，ξ の積分区間を (−∞, ∞) とし，そのかわりに θ の積分区間 (0, π) としても， 同じですから f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ (1 報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 3/5 ペー 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) 式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) らはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみましょ f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ につい 。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますから，f(x まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復元される 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前 の関係式 s = x cos θ + y sin θ x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち の逆フーリエ変換 s と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
- 115. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y)= π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19) 逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正 ています。 影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな の逆フーリエ変換 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数 るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方 ら逆投影しています。
- 116. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y)= π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19) 逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正 ています。 影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな の逆フーリエ変換 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数 るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方 ら逆投影しています。 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波 するフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られるこ の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この
- 117. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y)= π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19) 逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正 ています。 影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな の逆フーリエ変換 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数 るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方 ら逆投影しています。 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波 するフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られるこ の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この とおくと，
- 118. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y)= π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19) 逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正 ています。 影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな の逆フーリエ変換 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数 るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方 ら逆投影しています。 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波 するフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られるこ の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この 式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18 f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19 影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい 適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい タ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン とおくと，
- 119. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 関係式（(1) 式）を使うと f(x, y)= π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17) の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18) f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19) 逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい タを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい ィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン ともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法では補正 ています。 影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューションをともな の逆フーリエ変換 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数 るフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られること の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方 ら逆投影しています。 と x, y の関係式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ す。この式の [ ] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ，(17) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ す。 ，(2) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波 するフィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られるこ の方法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前 ーションをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この 式（(1) 式）を使うと f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ (17 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ (18 f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ (19 影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空間におい 適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを表してい タ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の「デコン とおくと， 投影を， 「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を 適用してから，逆投影
- 120. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 0 −∞ この式の [] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ 7) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ ) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空 フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを 法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法 投影しています。 は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ 接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補
- 121. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 0 −∞ この式の [] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ 7) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ ) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空 フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを 法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法 投影しています。 は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ 接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補
- 122. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 0 −∞ この式の [] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ 7) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ ) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空 フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを 法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法 投影しています。 は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ 接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補 ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
- 123. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 0 −∞ この式の [] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ 7) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ ) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空 フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを 法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法 投影しています。 は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ 接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補 ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への ーリエ変換法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわた ことはありません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるの の投影の撮影を待たずに行えます。 式の計算は Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ いるだけですから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ションで表され，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコ onvolution back projection method) とよばれています。 とのコンヴォリューション
- 124. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 0 −∞ この式の [] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ 7) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ ) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空 フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを 法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法 投影しています。 は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ 接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補 よって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありません。ま エ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補間の操 法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわたるアーテ ません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるので，ある 影を待たずに行えます。 Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ| をかけて すから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] れ，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコンヴォリュ back projection method) とよばれています。 ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への ーリエ変換法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわた ことはありません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるの の投影の撮影を待たずに行えます。 式の計算は Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ いるだけですから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ションで表され，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコ onvolution back projection method) とよばれています。 とのコンヴォリューション
- 125. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 0 −∞ この式の [] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ 7) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ ) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空 フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを 法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法 投影しています。 は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ 接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補 よって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありません。ま エ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補間の操 法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわたるアーテ ません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるので，ある 影を待たずに行えます。 Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ| をかけて すから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] れ，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコンヴォリュ back projection method) とよばれています。 ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への ーリエ変換法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわた ことはありません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるの の投影の撮影を待たずに行えます。 式の計算は Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ いるだけですから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ションで表され，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコ onvolution back projection method) とよばれています。 とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば フーリエ変換の必要はない
- 126. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 0 −∞ この式の [] 内は，関数 |ξ|Gθ(ξ) の逆フーリエ変換になっています。そこで， ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ 7) 式は f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ ) 式の逆投影と同じ形です。つまり (19) 式は，「各 θ について，投影を周波数空 フィルタを適用しておいてから，逆投影」すれば物体 f(x，y) が得られることを 法をフィルタ補正逆投影法 (filter back projection method) といいます。前節の ョンをともなう逆投影法」では逆投影をしてから補正をしていますが，この方法 投影しています。 は，投影に関してのみフーリエ変換を扱えばよいので，デコンヴォリューション ように，ぼけによって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありませ 接用いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補 よって広がった物体像の逆フーリエ変換を扱う必要はありません。ま エ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への補間の操 法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわたるアーテ ません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるので，ある 影を待たずに行えます。 Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ| をかけて すから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] れ，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコンヴォリュ back projection method) とよばれています。 ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では いるフーリエ変換法と同様に，極座標上の点から直交座標上の格子点への ーリエ変換法と違って実空間で補間を行うので，実空間で画面全体にわた ことはありません。また，フィルタによる補正は各 θ で独立に行えるの の投影の撮影を待たずに行えます。 式の計算は Radon 変換 g(s, θ)) のフーリエ変換 Gθ(ξ) にフィルタ関数 |ξ いるだけですから，フィルタ関数を実空間で表した FT−1[|ξ|] を用いると ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ションで表され，フーリエ変換を行う必要はなくなります。この方法はコ onvolution back projection method) とよばれています。 とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば フーリエ変換の必要はない 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので， 誤差が画面全体に拡散することはない
- 127. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a)(b) (c) 々のフィルタ関数．(a) オリジナルのフィルタ関数 (|ξ|)．(b) Ram-Lak フィルタ．(c) フィルタ． 関数の実現 で説明した「投影を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫があ ィルタは ξ が大きくなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数 限になります（図 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 で，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最
- 128. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a)(b) (c) 々のフィルタ関数．(a) オリジナルのフィルタ関数 (|ξ|)．(b) Ram-Lak フィルタ．(c) フィルタ． 関数の実現 で説明した「投影を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫があ ィルタは ξ が大きくなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数 限になります（図 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 で，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最 を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫がありま くなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数で 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最高 数は無意味なので，フィルタでカットしてしまってもかまいません。そこ ように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えます。これを Ramachand ルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数を H(ξ) で表すと H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax 高周波数を強調する形になっているので，画像中のノイズを強調する傾向 るため，高周波数での利得を抑えるように調整したフィルタがいろいろ提
- 129. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a)(b) (c) 々のフィルタ関数．(a) オリジナルのフィルタ関数 (|ξ|)．(b) Ram-Lak フィルタ．(c) フィルタ． 関数の実現 で説明した「投影を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫があ ィルタは ξ が大きくなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数 限になります（図 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 で，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最 を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫がありま くなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数で 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最高 数は無意味なので，フィルタでカットしてしまってもかまいません。そこ ように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えます。これを Ramachand ルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数を H(ξ) で表すと H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax 高周波数を強調する形になっているので，画像中のノイズを強調する傾向 るため，高周波数での利得を抑えるように調整したフィルタがいろいろ提 ルタ関数の実現 節で説明した「投影を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫があり フィルタは ξ が大きくなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数 無限になります（図 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 こで，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最 波数 ξmax 以上の周波数は無意味なので，フィルタでカットしてしまってもかまいません。そ 14fig:filterfunc(b) のように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えます。これを Ramacha hminarayanan フィルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数を H(ξ) で表すと H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax ります。 am-Lak フィルタは，高周波数を強調する形になっているので，画像中のノイズを強調する傾 す。その影響を抑えるため，高周波数での利得を抑えるように調整したフィルタがいろいろ います。代表的なものが Shepp-Logan フィルタで，そのフィルタ関数 H(ξ) は H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 図 S14fig:filterfunc(c) のように表わされます。Ram-Lak フィルタに比べて，周波数空間で sin け算された形になっています。これは実空間では rect 関数とコンヴォリューションを行って
- 130. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a)(b) (c) 々のフィルタ関数．(a) オリジナルのフィルタ関数 (|ξ|)．(b) Ram-Lak フィルタ．(c) フィルタ． 関数の実現 で説明した「投影を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫があ ィルタは ξ が大きくなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数 限になります（図 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 で，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最 を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫がありま くなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数で 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最高 数は無意味なので，フィルタでカットしてしまってもかまいません。そこ ように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えます。これを Ramachand ルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数を H(ξ) で表すと H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax 高周波数を強調する形になっているので，画像中のノイズを強調する傾向 るため，高周波数での利得を抑えるように調整したフィルタがいろいろ提 ルタ関数の実現 節で説明した「投影を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫があり フィルタは ξ が大きくなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数 無限になります（図 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 こで，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最 波数 ξmax 以上の周波数は無意味なので，フィルタでカットしてしまってもかまいません。そ 14fig:filterfunc(b) のように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えます。これを Ramacha hminarayanan フィルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数を H(ξ) で表すと H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax ります。 am-Lak フィルタは，高周波数を強調する形になっているので，画像中のノイズを強調する傾 す。その影響を抑えるため，高周波数での利得を抑えるように調整したフィルタがいろいろ います。代表的なものが Shepp-Logan フィルタで，そのフィルタ関数 H(ξ) は H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 図 S14fig:filterfunc(c) のように表わされます。Ram-Lak フィルタに比べて，周波数空間で sin け算された形になっています。これは実空間では rect 関数とコンヴォリューションを行って そこで，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫し 間周波数 ξmax 以上の周波数は無意味なので，フィルタでカットしてしまっ 図 S14fig:filterfunc(b) のように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えま Lakshminarayanan フィルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数 H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax となります。 Ram-Lak フィルタは，高周波数を強調する形になっているので，画像中 ります。その影響を抑えるため，高周波数での利得を抑えるように調整した れています。代表的なものが Shepp-Logan フィルタで，そのフィルタ関数 H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax で，図 S14fig:filterfunc(c) のように表わされます。Ram-Lak フィルタに比べ がかけ算された形になっています。これは実空間では rect 関数とコンヴォリ とに相当するので，実空間で平均値フィルタリングをしていることに相当
- 131. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a)(b) (c) 々のフィルタ関数．(a) オリジナルのフィルタ関数 (|ξ|)．(b) Ram-Lak フィルタ．(c) フィルタ． 関数の実現 で説明した「投影を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫があ ィルタは ξ が大きくなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数 限になります（図 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 で，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最 を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫がありま くなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数で 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最高 数は無意味なので，フィルタでカットしてしまってもかまいません。そこ ように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えます。これを Ramachand ルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数を H(ξ) で表すと H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax 高周波数を強調する形になっているので，画像中のノイズを強調する傾向 るため，高周波数での利得を抑えるように調整したフィルタがいろいろ提 ルタ関数の実現 節で説明した「投影を周波数空間において |ξ| 倍するフィルタ」も，実現には多少工夫があり フィルタは ξ が大きくなるほど倍率（利得）が大きくなるわけですから，無限の空間周波数 無限になります（図 2(a)）。現実には，このようなフィルタを作ることはできません。 こで，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫します。投影のもつ最 波数 ξmax 以上の周波数は無意味なので，フィルタでカットしてしまってもかまいません。そ 14fig:filterfunc(b) のように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えます。これを Ramacha hminarayanan フィルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数を H(ξ) で表すと H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax ります。 am-Lak フィルタは，高周波数を強調する形になっているので，画像中のノイズを強調する傾 す。その影響を抑えるため，高周波数での利得を抑えるように調整したフィルタがいろいろ います。代表的なものが Shepp-Logan フィルタで，そのフィルタ関数 H(ξ) は H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 図 S14fig:filterfunc(c) のように表わされます。Ram-Lak フィルタに比べて，周波数空間で sin け算された形になっています。これは実空間では rect 関数とコンヴォリューションを行って そこで，有限の空間周波数の範囲で定義できるように，フィルタを工夫し 間周波数 ξmax 以上の周波数は無意味なので，フィルタでカットしてしまっ 図 S14fig:filterfunc(b) のように，関数 |ξ| を ξmax で切断したものを考えま Lakshminarayanan フィルタ（Ram-Lak フィルタ）といい，フィルタ関数 H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax となります。 Ram-Lak フィルタは，高周波数を強調する形になっているので，画像中 ります。その影響を抑えるため，高周波数での利得を抑えるように調整した れています。代表的なものが Shepp-Logan フィルタで，そのフィルタ関数 H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax で，図 S14fig:filterfunc(c) のように表わされます。Ram-Lak フィルタに比べ がかけ算された形になっています。これは実空間では rect 関数とコンヴォリ とに相当するので，実空間で平均値フィルタリングをしていることに相当 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので， 抑える