1. 315 102 General Physics I อ. ดร. ศรีประจักร์ ครองสุ ข
เวกเตอร์ (Vectors)
Vectors)
• บทนํา
• การรวมเวกเตอร์
• เวกเตอร์ หนึงหน่วย
• การแยกเวกเตอร์
• ผลคูณสเกลาร์ และเวกเตอร์
• ผลคูณสเกลาร์ ของสามเวกเตอร์
1 6/4/2008

2. บทนํา (Introduction)
ปริ มาณทีวัดในทางฟิ สิ กส์แบ่งออกเป็ น 2 ประเภทคือ
• ปริ มาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริ มาณทีระบุขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น อุณหภูมิ,
ปริ มาตร, มวล, เวลา เป็ นต้น
• ปริ มาณเวกเตอร์ (vectors) คือ ปริ มาณทีต้องระบุทงขนาดและทิศทางพร้อมกัน เช่น
ั
การกระจัด, ความเร็ ว, ความเร่ ง, แรง, สนามแม่ไฟฟ้ าและสนามแม่เหล็ก เป็ นต้น
A B θB
N
A
θA
อุณหภูมิ E
B
ปริ มาณสเกลาร์ ปริ มาณเวกเตอร์
2 6/4/2008

3. การรวมเวกเตอร์
สมบัติของเวกเตอร์
(1) การเท่ากันของสองเวกเตอร์
ถ้าเวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B เท่ากัน จะต้องมีขนาดเท่ากัน (A = B) และมีทิศทางเดียว
กันด้วย
A A
B B
A=B A≠B
A A
B B
A ≠ B แต่ A = -B A≠B 6/4/2008
3

4. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)
(2) การบวกเวกเตอร์ โดยใช้วธีเรขาคณิ ต (geometric method)
ิ
• การบวกสองเวกเตอร์
A R=A+B R
B
B θ
A
• การบวกเวกเตอร์ ทีมีมากกว่าสองเวกเตอร์ ขึนไป
R=A+B+C C
C 120° B R
60° B
θ
A A
4 6/4/2008

5. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)
การบวกของสองเวกเตอร์ สามารถเขียนในอีกแบบหนึ ง ซึ งเรี ยกว่าการบวกเวกเตอร์
แบบสร้างรู ปสี เหลียมด้านขนาน (parallelogram)
B
B R
A A
(3) การสลับทีของการบวก (commutative law of addition)
A
A+B=B+A R B
B
A
5 6/4/2008

6. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)
(4) การเปลียนกลุ่มของการบวก (associative law of addition)
A + (B + C) = (A+ B) + C
C C
B+C A+B
B B
A A
(5) เวกเตอร์ ทีติดลบ (Negative of a vector)
A + (-A) = 0 เวกเตอร์ A และ –A มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้าม
(6) การคูณปริ มาณสเกลาร์ (m) กับเวกเตอร์
B = mA เวกเตอร์ B ยาวเป็ นจํานวน m เท่าของเวกเตอร์ A
6 6/4/2008

7. การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)
(7) การลบเวกเตอร์ A – B = A + (– B )
B R=A-B
A B
-B A
R=A-B
7 6/4/2008

8. คําถาม (question)?
จงหาเวกเตอร์ลพธ์
ั
C
R = A+B+C+D+E
D
D C
E
B E
R B
A
A
8 6/4/2008

9. การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลพธ์
ั
ขนาดของเวกเตอร์ ลพธ์
ั
β
R R 2 = ( A + B cos θ ) 2 + ( B sin θ ) 2
B R 2 = A2 + 2 AB cos θ + B 2 cos 2 θ + B 2 sin 2 θ
α γ θ R = A2 + B 2 + 2 AB cos θ (1.2)
A
ทิศของเวกเตอร์ ลพธ์
ั สมการที 1.2 และ 1.3 เรี ยกว่า กฎของโคไซน์
(cosine’s law) นอกจากนียังสามารถหาค่าเหล่านี
B sin θ ได้โดยใช้กฎของไซน์ (sine’s law)
tan α =
A + B cos θ
 B sin θ 
α = tan −1   (1.3) R
=
A
=
B
(1.4)
 A + B cos θ  sin γ sin β sin α
9 6/4/2008

10. เวกเตอร์หนึงหน่วย
เวกเตอร์ หนึงหน่ วย (unit vectors) คือ เวกเตอร์ ทีมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย ซึ งถูกกําหนดโดย
A
eA = (1.1) A A = Ae A
A
eA
ั
ในระบบพิกดแบบคาทีเซี ยน (cartesian coordinates system) เวกเตอร์ หนึ งหน่วยในแนวแกน
x, y, และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ i, j, k ตามลําดับ
z
k j
y
i
10 x 6/4/2008

11. การแตกเวกเตอร์
ั ่
เวกเตอร์ใดสามารถแตกเป็ นองค์ประกอบทีตังฉากกัน สําหรับระบบพิกดแบบคาร์ทีเซี ยนจะได้วา
A = Ax + Ay + Az = Axi + Ayj + Azk
z
จากรู ปจะเห็นว่า Ax = A sin θ cos φ
Ay = A sin θ sin φ
Az
A Az = A cos θ
θ eA A ดังนันขนาดของเวกเตอร์ A
k j y
Ax i y A = Ax2 + Ay + Az2
2
φ
x
และมีเวกเตอร์ หน่วย eA
e A = sin θ cos φ i + sinθsinφ j + cosθ k
11 6/4/2008

12. การแตกเวกเตอร์ (ต่อ)
ในกรณี ทีแตกเวกเตอร์ บนระนาบ (2 มิติ) จะได้
A = Ax + Ay = Ax i + Ay j
y
โดยที
Ax = A cos θ
Ay A Ay = A sin θ
j eA θ
o i Ax x ดังนันขนาดของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ หน่วย
A = Ax2 + Ay ,
2
e A = cos θ i + sinθ j
12 6/4/2008

13. การรวมเวกเตอร์ดวยวิธีแยกองค์ประกอบ
้
y จากรู ปจะเห็นว่า
A1 = A1x i + A1y j
A1 A2 = -A2x i + A2y j
A2 A3 = -A3x i - A3y j
x
A3 ดังนันเวกเตอร์ ลพธ์ของสามเวกเตอร์ คือ
ั
R = A1 + A 2 + A 3
R = ( A1x − A2 x − A3 x )i + ( A1 y + A2 y − A3 y ) j
R = Rx i + R y j
y
ขนาดและทิศทางของ R คือ
R Ry R = Rx + R y
2 2
θ x
Rx  Ry 
13
θ = tan −1 
 
 6/4/2008
 Rx 

14. การรวมเวกเตอร์ดวยวิธีแยกองค์ประกอบ
้
ถ้ามีเวกเตอร์ จานวนมาก การรวมเวกเตอร์ ในแต่ละองค์ประกอบจะเป็ นดังนี
ํ
Rx = ∑ Rix ผลบวกแบบพีชคณิ ตของเวกเตอร์ องค์ประกอบตามแกน x
i =1
R y = ∑ Riy ผลบวกแบบพีชคณิ ตของเวกเตอร์ องค์ประกอบตามแกน y
i
R = Rx i + R y j
14 6/4/2008

15. ตัวอย่าง 1
กําหนดให้ A1 = 3i + 5 j − k จงหา (1) R = A1 + A 2
A 2 = i − 4 j + 3k (2) R = A1 − A 2
วิธีทา
ํ
(1) (2)
R = (3 + 1)i + (5 − 4) j + (−1 + 3)k R = (3 − 1)i + (5 − (−4)) j + (−1 − 3)k
R = 4i + j + 2k R = 2i + 9j - 4k
R = 4 2 + 12 + 2 2 = 21 R = 2 2 + 9 2 + (−4) 2 = 101
15 6/4/2008

16. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์
การคูณเวกเตอร์มี 2 แบบ คือ
• การคูณแบบสเกลาร์ (scalar product) ปริ มาณสเกลาร์
• การคูณแบบเวกเตอร์ (vector product) ปริ มาณเวกเตอร์
ผลคูณแบบสเกลาร์
A.B = AB cos θ (1.2)
โดยที
B
θ 0 ≤ θ ≤ 180o
A
16 6/4/2008

17. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)
สมบัติการคูณแบบสเกลาร์
(1) A.B = B.A
(2) A.(B + C) = A.B + A.C
(3) m(A.B) = (mA).B = A.( mB) = (A.B)m
(4) i.i = j.j = k.k = 1
i.j = j.k = k.i = 0
(5) A = Ax i + Ay j + Az k , B = Bx i + B y j + Bz k
A.B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
A.A = A2 = Ax + Ay + Az2
2 2
B.B = B 2 = Bx2 + B y + Bz2
2
(6) A.B = 0 if A ≠ 0, B ≠ 0 then A ⊥ B
17 6/4/2008

18. ตัวอย่าง 2
จงแสดงให้เห็นว่า i.i = j.j = k.k = 1 และ i.j = j.k = k.i = 0
วิธีทา
ํ
จากนิยามของการคูณแบบสเกลาร์ A.B = AB cosθ
เนืองจากเวกเตอร์ หนึ งหน่วย i, j และ k ทํามุมตังฉากกันคือ θ = 90°
ดังนัน i.j = ij cos 90 = 0, j.k = jk cos 90 = 0, k.i = ki cos 90 = 0
ส่ วน i.i = j.j = k.k = 1 เนืองจากเวกเตอร์ มีทิศเดียวกัน
18 6/4/2008

19. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)
ผลคูณแบบเวกเตอร์
A×B อ่านว่า “A cross B”
A×B
โดยมีขนาดเป็ น
A × B = AB sin θ (1.3)
θ B จากรู ปแสดงให้เห็นว่า
A A × B = −B × A
B× A
19 6/4/2008

20. ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)
สมบัติการคูณแบบเวกเตอร์
(1) A × B = - B × A
(2) A × (B + C) = A × B + A × C
(3) m (A × B) = ( mA) × B = A × ( mB) = (A × B) m
(4) i × i = j × j = k × k = 0
i× j =k
j× k = i
k ×i = j
(5) A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + B y j + Bz k
i j k
A × B = Ax Ay Az
Bx By Bz
= ( Ay Bz − Az B y )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax B y − Ay Bx )k
20 6/4/2008

21. การคูณของสามเวกเตอร์
การคูณของสามเวกเตอร์ มี 2 แบบ คือ
• การคูณสามชันแบบสเกลาร์ (scalar triple product)
• การคูณสามชันแบบเวกเตอร์ (vector triple product)
การคูณสามชันแบบสเกลาร์ ได้ผลลัพธ์เป็ นปริ มาณสเกลาร์ ซึงมีนิยามดังนี
Ax Ay Az
A.(B × C) = Bx By Bz (1.4)
Cx Cy Cz
การคูณสามชันแบบเวกเตอร์ ได้ผลลัพธ์เป็ นปริ มาณเวกเตอร์ ซึงมีนิยามดังนี
A × B × C = ( A.C)B − (A.B)C (1.5)
21 6/4/2008

22. คําถาม?
กําหนดให้ A = 2i + j − 3k
B = i − 2j + k
C = −i + j − 4k
จงหา
(1) A.B
(2) A × B
(3) A.(B × C)
(4) A × (B × C)
22 6/4/2008