Acquedotti equazionireti

Riccardo Rigon
Verifica delle Reti di Distribuzione Idrica
AcquedottoPugliese.Lafontaninapubblica

Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
2
Il calcolo di una rete consiste nel determinare, per un assegnato insieme di
erogazioni, le portate defluenti lungo i lati e le quote piezometriche nei
nodi.
Nel caso in cui la rete sia alimentata da un unico serbatoio di testata, è
immediato riconoscere che è nota la quota piezometrica nel punto in cui la
condotta di avvicinamento si immette nella rete.
Calcolo delle reti di distribuzione

Riccardo Rigon
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Il proporzionamentodi una rete di distribuzione a maglie chiuse rappresenta un
problema complesso e con un elevato grado di indeterminazione algebrica.
In fase iniziale, infatti, sono da ritenersi note soltanto le scabrezze delle
tubazioni (realizzate in ghisa, acciaio o materiali plastici), le lunghezze dei lati
della rete e l’entità delle erogazioni di portata, concentrate nei nodi, con
riferimento alla condizione di funzionamento considerata (di solito si
considerano le portate di punta).
Sono altresì incogniti i diametri delle tubazioni, nonché le quote
piezometriche nei nodi e le portate defluenti lungo i lati.
Proporzionamento
delle reti di distribuzione interna

Riccardo Rigon
4
Proporzionamento
afterRobertoGreco
Per ridurre il sovrabbondante numero di incognite del problema, normalmente si
assegnano i diametri dei tubi a priori, assegnando tubi di dimensioni maggiori per la
rete principale (es. 20-30 cm) e tubi di dimensioni minori per la rete secondaria,
ricordando che l’allaccio delle utenze private è, di solito, 7.5 cm.

Riccardo Rigon
5
Proporzionamento
afterRobertoGreco
Tali diametri dovrebbero considerarsi di primo tentativo. Di fatto la loro assegnazione
trasforma il problema di calcolo in un problema di verifica.

Riccardo Rigon
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Una volta proporzionati i diametri delle tubazioni della rete, è necessario svolgere
le verifiche imposte dalla normativa vigente.
Tali verifiche prevedono la schematizzazione di tre condizioni di funzionamento
convenzionali della rete:
•verifica in condizioni di punta;
•verifica antincendio;
•verifica a rottura di uno più tratti della rete.
Le verifiche consistono nella determinazione delle portate defluenti lungo i lati e
delle quote piezometriche nei nodi. Queste ultime dovranno soddisfare i requisiti
che garantiscano la regolare erogazione delle portate richieste.
Verifica delle reti di distribuzione interna

Riccardo Rigon
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La verifica del funzionamento della rete in condizioni di punta consiste nel
considerare tutte le erogazioni medie giornaliere moltiplicate per il
coefficiente di punta orario.
Una volta svolto il calcolo della rete in tali condizioni, si deve verificare che
in tutti i nodi della rete il carico deve superare di almeno 5m il livello del
terzo piano degli edifici (o altra prescrizione locale).
Qualora la verifica non risultasse soddisfatta, bisogna modificare
opportunamente i diametri delle condotte (o innalzare opportunamente il
torrino) e ripetere il calcolo finché non risulti verificato.
Verifica delle reti nelle condizioni di punta

Riccardo Rigon
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La verifica antincendio consiste nel garantire, durante lo spegnimento di un
incendio, la regolare erogazione di una portata pari all’80% della media giornaliera.
La portata antincendio si determina considerando che essa sarà erogata con le
manichette delle autopompe dei vigili del fuoco, ciascuna delle quali eroga 15 l/s. Il
numero di idranti nidr da considerare attivi in contemporanea è di norma superiore
o uguale a 2. La portata si calcola di conseguenza.
È buona norma che gli idranti stradali siano posti nella rete ad una
distanza non superiore a 50÷100 m l’uno dall’altro.
Verifica antiincendio

Riccardo Rigon
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Ai fini dello svolgimento della verifica antincendio, la portata andrà posizionata nel
punto della rete nel quale l’erogazione di una ingente portata concentrata comporti
i maggiori problemi per il funzionamento complessivo della rete (se
l’individuazione del punto più critico non è univoca, la verifica deve essere ripetuta
più di una volta), ovvero nei punti di minimo piezometrico della rete, in condizioni
di funzionamento normale.
Una volta svolto il calcolo della rete, bisogna verificare che la quota piezometrica
sia ovunque superiore di 5 m all’altezza del terzo piano degli edifici e che, dove è
erogata la portata antincendio, sia superiore di 15 m al piano stradale (condizione
questa per il corretto funzionamento degli apparecchi erogatori delle qutopompe
dei vigili del fuoco).
Verifica antiincendio

Riccardo Rigon
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La verifica del funzionamento della rete in occasione della rottura di un lato viene
svolta ipotizzando che la rottura abbia luogo nel punto più critico (di solito uno
dei tratti adiacenti al nodo in cui la condotta di avvicinamento si immette nella
rete).
La verifica consiste nel controllare che l’interruzione del tratto consenta la
regolare erogazione della portata media giornaliera, con la quota piezometrica
di progetto.
Verifica a rottura

Riccardo Rigon
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Problemi di Verifica
Symbol Name nickname Unit
Li lunghezza del tronco i-esimo li [L]
Di diametro della condotta del tronco i-esimo di [L]
Qi portata circolante nel tronco i-esimo qi [L3
T 1
]
Hi perdita di carico idraulico nel tronco i-esimo hi [L]
hk carico idraulico nel nodo k-esimo hk [L]
Pk portata scambiata con l’esterno nel nodo k-esimo pk [L3
T 1
]
Cj scabrezza del tronco j-esimo (Darcy-Weisbach) cj []
ks j scabrezza del tronco j-esimo (Gaukler-Strickler) ks [L1/3
T 1
]

Riccardo Rigon
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Definendo la matrice diagonale (t x t):
La verifica avviene usando le equazioni di conservazione della massa (ai nodi) e di
dissipazione dell’energia nei tratti:

Riccardo Rigon
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Le equazioni si possono scrivere:

Riccardo Rigon
14
dove
se il sistema ha n nodi e t tratti

Riccardo Rigon
15
Il sistema, scritto ora, sinteticamente:
Contiene n + t equazioni (dove n è il numero dei nodi interni e t il numero dei tratti) può
essere semplificato riducendo il numero di equazioni e di incognite

Riccardo Rigon
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In particolare, il sistema può essere semplificato considerando la dissipazione
dell’energia solo sulle maglie (e non sui tratti).
Per fare questo è necessario introdurre una matrice di maglia, B, contenente m *
t elementi (pari al numero di maglie per il numero di tratti) il cui valore è
se il il tronco l-esimo appartiene alla maglia k-esima ed è in direzione
concorde alla direzione della maglia
kl = 0
kl = 1
kl = 1 se il il tronco l-esimo appartiene alla maglia k-esima ma è in direzione
opposta alla direzione della maglia
seil tronco l-esimo non appartiene alla maglia k-esima

Riccardo Rigon
17
In particolare, il sistema può essere semplificato considerando la dissipazione
dell’energia solo sulle maglie (e non sui tratti).
Per fare questo è necessario introdurre una matrice di maglia, B
1 2
Sulla maglia è necessario
scegliere una direzione, che
p u ò e s s e r e c o n c o r d e o
discorde con le direzioni
scelte per i tratti.

Riccardo Rigon
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Nell’esempio due maglie con matrice di maglia:
1 2

Riccardo Rigon
19
Le equazioni relative ai tronchi possono allora essere sostituite dalle
equazioni di maglia:
t
l=1
n
j=1
kl alj hj =
t
l=1
n
j=1
kl lj Qj

Riccardo Rigon
20
Allora il sistema diviene:
dove dalla matrice A si è eliminato un nodo, il cui carico risulta dipendente
dagli altri

Riccardo Rigon
21
Poichè = ( ⇥Q 1
)
la seconda delle equazioni precedenti è una equazione non lineare e il
sistema è non lineare, generalmente di grado, polinomiale, di grado superiore
al quinto e, pertanto, l’equazione risolvente non ha soluzione esatta.
La soluzione deve pertanto essere cercato con metodi iterativi

Riccardo Rigon
22
Tra questi:
•Il metodo di Cross
•Il metodo di Charles & Wood (1972)
•Il metodo di newton-Raphson (Martin and Peters, 1972)
•Il metodo del gradiente (Todini e Pilati, 1987, Salgado, 1988)

Riccardo Rigon
23
Il metodo di Charles and Wood
⇤
⇥
⌅t
i=1 aijQi = Pj j = 1 · · · n 1
⌅t
l=1
⌅n
j=1 kl alj hj =
⌅t
l=1
⌅n
j=1 kl lj Qj k = 1 · · · m
Il sistema:
Viene linearizzato imponendo alla prima iterazione Qj =1, ovvero:
;1
:=
⇧
⇧
⇤
b1 Dµ
1 L1 · · 0
0 b2 Dµ
2 L2 · 0
0 · · 0
0 0 · bt Dµ
t Lt
⇥
⌃
⌃
⌅

Riccardo Rigon
24
Posizione che rende il sistema:
risolvibile. La soluzione, nella formulazione appena presentata, è un vettore di
portate di primo tentativo:
⇤
⇥
⌅t
i=1 aijQi = Pj j = 1 · · · n 1
⌅t
l=1
⌅n
j=1 kl alj hj =
⌅t
l=1
⌅n
j=1 kl
;1
lj Qj k = 1 · · · m

Riccardo Rigon
25
Queste portate vanno a determinare il successivo valore di “secondo
tentativo, che va a definire il sistema “di secondo tentativo”
che ha, come soluzioni le portate di “secondo tentativo”:
;2
⇤
⇥
⌅t
i=1 aijQi = Pj j = 1 · · · n 1
⌅t
l=1
⌅n
j=1 kl alj hj =
⌅t
l=1
⌅n
j=1 kl
;2
lj Qj k = 1 · · · m

Riccardo Rigon
26
In generale all’interazione s-esima, si otterra la soluzione di “s-esimo tentativo”:
derivante dal sistema:
⇤
⇥
⌅t
i=1 aijQi = Pj j = 1 · · · n 1
⌅t
l=1
⌅n
j=1 kl alj hj =
⌅t
l=1
⌅n
j=1 kl
;s
lj Qj k = 1 · · · m

Riccardo Rigon
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;s
:=
⇧
⇧
⇤
b1 D µ
1 |Q1| 1 ;s 1
L1 · · 0
0 b2 D µ
2 |Q2| 1 ;s 1
L2 · 0
· · · ·
0 0 · bt D µ
t |Qt| 1 ;s 1
Lt
⇥
⌃
⌃
⌅
Dove:

Riccardo Rigon
28
Il processo iterativo si ferma quando la differenza relativa tra le portate
all’iterazione s-esima e l’iterazione (s-1)-esima sono più piccole di un valore
prefissato: > 0
Ovvero:
t
i=1
|Q;s
i Q;s 1
i |
|Q;s
i |
<

Riccardo Rigon
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Un esempio con due maglie
nodi: 6
maglie: 2
serbatoi: 0
tratti: 7

Riccardo Rigon
30
nodi: 6
maglie: 2
serbatoi: 0
tratti: 7
Un esempio con due maglie

Riccardo Rigon
31
nodi: 6
maglie: 2
serbatoi: 0
tratti: 7
Equazione di Continuità
Le equazioni non sono però linearmente indipendenti: solo 5 lo sono

Riccardo Rigon
32
Equazione di dissipazione dell’energia

Riccardo Rigon
33
Il sistema complessivo
Il sistema complessivo contiene,
assegnati i diametri dei tubi per la
verifica, 7 portate e 6 altezze
idrometriche incognite e 12 equazioni.
Il sistema è non quindi completamente
determinato.
Si richiede quindi che uno dei carichi
sia fissato. Gli altri, assieme alle
portate, derivano allora dalla
soluzione del sistema.

Riccardo Rigon
34
Se sono da determinare solo le portate
Allora le equazioni si possono semplificare. Per determinare le 7 variabili in
gioco possiamo limitarci ad usare le 5 equazioni di continuità e le due
equazioni di maglia:

Riccardo Rigon
35
qui mi e’ venuto bene riassumere tutta la procedura di progettazione
Ma tutto il materiale va riorganizzato !!!
Fare un diagramma che riassuma la procedura di progettazione

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