Corso its energie perdite di carico nei tubi

PERDITE DI CARICO NEI TUBI
- FISICA TECNICA -

Fluidodinamica: Viscosità
Perdite di carico
distribuite
Perdite di carico
distribuite
2

PERDITE DI CARICO DISTRIBUITE
In un tubo in cui scorre un fluido le perdite di carico corrispondono alle perdite di pressione: per calcolarle
si può utilizzare l’equazione che esprime la velocità in funzione della variazione di pressione :
in cui w e µ sono rispettivamente la velocità media e la viscosità del fluido, L ed R la
lunghezza del condotto e il raggio della sua sezione.
La perdita di carico è quindi direttamente proporzionale alla viscosità e alla velocità del
fluido e alla lunghezza del tubo ed è inversamente proporzionale al quadrato del raggio
della sezione. Ad ogni metro di tubo corrisponde quindi una certa perdita di carico; inoltre,
più il fluido scorre veloce, più energia viene dissipata.
Poiché le perdite di carico risultano proporzionali alla lunghezza del condotto, si
considerano distribuite lungo il condotto stesso e per questo vengono definite perdite
distribuite.

La perdita di carico può anche essere espressa in funzione del numero di Reynolds, la cui espressione è
in cui ρ è la densità del fluido e D il diametro della sezione del tubo.
Si consideri infatti la relazione (1): moltiplicandola e dividendola per la velocità media w, per la densità ρ e sostituendo il
raggio R con il diametro D, si ottiene:
Il numero puro 64/Re prende il nome di fattore di attrito ξ

Tale espressione non ha però validità generale:
è esatta solo nel caso particolare di regime
laminare completamente sviluppato, con tubo
di sezione circolare e superficie liscia, quando
cioè è valida la soluzione parabolica di
Poiseuille.
ξ=64/Re
in tutti gli altri casi ξ assume un valore diverso da 64/Re.. Il fattore di attrito è definito come quel numero
puro che rende vera la relazione (3) e il suo valore, che viene ricavato sperimentalmente, dipende
principalmente da tre fattori:
•il numero di Reynolds.
•la rugosità relativa: è un fattore che si potrebbe definire di forma e che dipende dalla possibilità che le
pareti del tubo siano non lisce ma rugose. Si indica con il rapporto adimensionale ε/D, dove ε è la rugosità,
definita come l’altezza media delle asperità in millimetri sulla superficie della parete, e D il diametro in
millimetri del tubo.
•un parametro che dipende dalla distanza x dal punto di imbocco del tubo ed è pari a x/D. La dipendenza da
questo termine viene in genere trascurata. Infatti le perdite di carico sono funzione di x solo nella regione di
ingresso del tubo, in quanto la velocità è funzione di x; tale dipendenza invece scompare nel regime
sviluppato che, nel caso più frequente di regime turbolento, si instaura dopo solo 10 diametri.

DIAGRAMMA DI MOODY
I valori del fattore di attrito inteso come funzione del numero di Reynolds e della rugosità relativa sono
tabulati. Questa funzione viene anche rappresentata graficamente tramite un diagramma. Tale diagramma
venne realizzato pressoché contemporaneamente da studiosi di fluidodinamica, di idraulica e di
aerodinamica ed è conosciuto come diagramma di Moody (fig. 1) o, in idraulica, arpa di Nikuradse, per la
forma caratteristica.

materiale ε (mm)
acciaio chiodato 0.0 – 9.0
cemento 0.3 – 3.0
doghe in legno 0.19 – 0.9
fusione in ferro 0.25
ferro zincato 0.15
ferro asfaltato 0.12
acciaio commerciale 0.046
PROBLEMA
Si calcoli la perdita di carico di un tubo di sezione circolare avente un diametro interno
D di 50,8 mm, una lunghezza L di 22,86 m, nel quale scorre ammoniaca (NH3
) satura
alla temperatura T = -12,2 °C e con una velocità media w di 21,3 m.
s-1
. La scabrezza
ε del condotto sia pari a 0,046 mm, la viscosità dell’ammoniaca µ 8,6 10-6
Pa s e la sua
densità ρ 2,19 kg m-3
.

Per calcolare la perdita di carico nel tubo si usa la relazione (3):
Il valore del coefficiente di attrito ξ è funzione del numero di Reynolds Re e della rugosità relativa ε/D.
Tale valore di Re è piuttosto elevato e pertanto il regime sarà fortemente turbolento.
Con questi valori si può leggere sul diagramma di Moody che il fattore di attrito ξ è:
ξ= 0.0205.
ξINFINE:

Perdite di carico
concentrate
Perdite di carico
concentrate
9

Le perdite concentrate sono localizzate in un ben preciso
punto del percorso, e sono dovute ad ostacoli quali un
rubinetto, una diramazione, un restringimento o un
allargamento del condotto, un gomito ecc.
V V
V
V
10
Brusco
restringimento
Brusco
allargamento
Variazione di
direzione
Ostacolo a parete

Fluidodinamica: perdite concentrate
Tali perdite si esprimono solitamente come frazioni di
energia cinetica del tipo:
dove:
V = velocità media sulla sezione
k = coefficiente da determinarsi sperimentalmente e che
dipende dalla geometria e dal numero di Re.
Esistono delle tabelle in cui vengono riportati i valori del
coefficiente k per le geometrie e per i fluidi più comuni.
g
V
kH
2
2
=∆
11

La precedente equazione deve essere applicata per ogni
perdita di carico concentrata presente nel circuito.
Per cui la perdita concentrata totale sarà la somma di tutte le
perdite lungo il percorso.
∑=
∆=∆++∆+∆=∆
n
i
i
c
n
cccc HHHHH
1
21
...
12

K=0.5 K=1K=0.06
• Esempi di variazione del coefficiente K
al variare della geometria.
13

• I valori maggiormente utilizzati di k sono riassunti nella seguente tabella:
• A volte le perdite di carico sia continue che localizzate non vengono calcolate ma
ricavate da tabelle in cui sono presenti sia il diametro dei tubi che la velocità del
fluido. In altri casi si sostituiscono le perdite localizzate con il metodo delle
lunghezze equivalenti. Esso consiste nel tradurre ciascuna discontinuità in un
tratto di opportuna lunghezza di tubazione dritta.

Fluidodinamica: perdite di carico
Inserendo le precedenti formule relative alle perdite di carico
sia distribuite, sia concentrate, possiamo riscrivere
l’equazione di Bernoulli, tenendo conto di tutti gli m tratti di
tubo con differente geometria e tutte le n perdite di carico
concentrate:
H
P
g
V
Z
P
g
V
ZH ∆+++=++=
γγ
2
2
2
2
1
2
1
1
22
dove ∆H è:
∑∑ ==






+





=∆
n
i
i
i
m
i i
ii
g
V
k
gD
LV
H
1
2
1
2
2
32
ρ
µ
15

Fluidodinamica: perdite di caricoEsercizioEsercizio::
Determinare le perdite di carico per il sangue quando scorre
in un condotto cilindrico composto da due tratti: il primo di
lunghezza L1 = 2 m e di diametro D1 = 1 cm, il secondo di
lunghezza L2 = 3 m e di diametro D2 = 1.5 cm. La portata Q è di
2 l/min. e la temperatura è di 37 °C.
V1
D1
L1
D2
L2
V2
16

SoluzioneSoluzione::
Innanzitutto è necessario determinare il numero di Re al
fine di determinare quale sia il tipo di moto che si instaura
all’interno del condotto:
come al solito i valori di viscosità e densità del sangue si
ricavano dalle tabelle.
Sostituendo i dati si ottengono: Re1= 1500, Re2= 1000, da cui
si evince che il moto è ovunque laminare.
µ
ρVD=Re
17

Essendo il moto laminare possiamo utilizzare sia
l’espressione delle perdite di carico distribuite per
entrambi i tratti del condotto:
sia quella delle perdite di carico concentrate:
2
1
111
32
gD
LV
Hd
ρ
µ
=∆ 2
2
222
32
gD
LV
Hd
ρ
µ
=∆
g
V
kHc
2
2
=∆
18

Il coefficiente k per una brusca variazione di diametro vale:
dove A1 e A2 sono le aree di passaggio dei due tratti.
Per cui per le perdite concentrate si ottiene:
2
1
2
1 





−=
A
A
k
g
V
A
A
Hc
2
1
2
1
2
1
2






−=∆
19

La perdita di carico complessiva è quindi:
In cui sostituendo i valori otteniamo:
g
V
A
A
D
LV
D
LV
g
H
2
132
2
1
2
1
2
2
2
22
2
1
11






−+





+=∆
ρ
µ
20

V1 0,4244 m/s Re1 1500 Re2 1000
Q 2 l/min 3,3E-05 m
3
/s V2 0,1886 m/s
∆H1 0,078 m 7,84 cm
D1 1 cm 0,01 m L1 2 m ∆H2 0,023 m 2,32 cm
D2 1,5 cm 0,015 m L2 3 m
∆Hc 0,014 m 1,44 cm
A1 0,7854 cm
2
7,9E-05 m
2
ρ 1060 kg/m
3
A2 1,7671 cm
2
1,8E-04 m
2
µ 0,003 Pa s ∆H 0,116 m 11,6 cm
21
V1 0,4244 m/s Re1 1500 Re2 1000
Q 2 l/min 3,3E-05 m
3
/s V2 0,1886 m/s
∆H1 0,078 m 7,84 cm
D1 1 cm 0,01 m L1 2 m ∆H2 0,023 m 2,32 cm
D2 1,5 cm 0,015 m L2 3 m
∆Hc 0,014 m 1,44 cm
A1 0,7854 cm
2
7,9E-05 m
2
ρ 1060 kg/m
3
A2 1,7671 cm
2
1,8E-04 m
2
µ 0,003 Pa s ∆H 0,116 m 11,6 cm
V1 0,4244 m/s Re1 1500 Re2 1000
Q 2 l/min 3,3E-05 m
3
/s V2 0,1886 m/s
∆H1 0,078 m 7,84 cm
D1 1 cm 0,01 m L1 2 m ∆H2 0,023 m 2,32 cm
D2 1,5 cm 0,015 m L2 3 m
∆Hc 0,014 m 1,44 cm
A1 0,7854 cm
2
7,9E-05 m
2
ρ 1060 kg/m
3
A2 1,7671 cm
2
1,8E-04 m
2
µ 0,003 Pa s ∆H 0,116 m 11,6 cm

Fluidodinamica: Viscosità
PoiseuillePoiseuille
22

Fluidodinamica: PoiseuilleLa variazione di pressione ∆p tra due punti di un tubo in cui scorre
un fluido newtoniano in condizione di moto laminare si ricava
sperimentalmente ed è:
detta legge di Poiseuille,
dove:
– L è la lunghezza del tubo
– r il suo raggio, µ il coefficiente di viscosità
del fluido
– Q la portata del tubo
Q
r
L
p 4
8
π
µ
=∆
Jean Louis Poiseuille
(1799 -1869)
23

Ricordando che:
E che per la legge di Poiseuille:
Possiamo porre:
Ossia per un fluido reale che scorre in un tubo in condizioni
di moto laminare la resistenza R è direttamente
proporzionale alla lunghezza del tubo e alla viscosità, mentre
è inversamente proporzionale con la quarta potenza del
raggio.
QRp ⋅=∆
Q
r
L
p 4
8
π
µ
=∆
4
8
r
L
R
π
µ
=
24
Fluidodinamica: Poiseuille

Dalla formula di Poiseuille, si ricava l’espressione della
velocità:
con:
Ri è detto raggio idraulico ed espresso come il rapporto tra
l’area della sezione ed il contorno bagnato, che per sezione
circolare è pari a r/2.
µ
ρ
2
2
iJRg
V =
22
2
r
r
r
Ri ==
π
π
25

Quindi si è ricavata l’espressione analitica del profilo
parabolico della velocità di un fluido in moto
laminare in un condotto cilindrico:
µ
ρ
8
2
Jrg
V =
V=0
Vmax
26

Se per un soggetto in condizioni normali si assume in media
una differenza di pressione tra arteria aorta e vena cava di
circa 100 mmHg, considerando una portata media di sangue
attraverso il sistema circolatorio di circa 5 litri/min, si ha che
la resistenza idraulicaresistenza idraulica complessiva è di circa 20
mmHg/litri/min. Sotto sforzo, ad esempio per un ∆P di circa
150 mmHg e Q di circa 15 litri/min, applicando la legge di
Poiseuille, si ricava che la resistenza idraulica è dimezzata.
La diminuzione di R permette, senza dover aumentare
eccessivamente ∆P, un notevole aumento di portata:
all'aumento dello sforzo segue quindi una maggior
irrorazione sanguigna come richiesto dalla maggior attività.
27

Se invece per una qualche causa il diametro dei vasi
sanguigni si riduce?
• per la legge di Poiseuillelegge di Poiseuille si riduce fortemente la
portata in volume di sangue in tali vasi
• oppure il cuore è costretto a compiere un lavoro
maggiore per mantenerla costante
Si dimostri la precedente affermazione.
28

E’ necessario ricorrere all’espressione della resistenza:
Come si vede la R varia con la quarta potenza del raggio del
vaso, per cui il dimezzamento di r induce un aumento di R di
ben 16 volte.
Quindi, per mantenere la stessa portata è necessario che il
cuore compia un lavoro 16 volte superiore.
4
8
r
L
R
π
µ
=
29

EsercizioEsercizio::
In un tubo di raggio r=0.6 cm, scorre sangue alla
temperatura di 20°C e con una portata Qv
=3500
cm³/min. Si calcoli la variazione di pressione fra due
punti distanti L=5 m.
30

Prima di tutto dobbiamo determinare il tipo di moto,
per cui è necessario calcolare il numero di Reynolds.
La velocità del fluido si determina dalla portata una
volta calcolata l’area di passaggio.
Sostituendo i valori di viscosità e densità del sengue, la
velocità appena determinata ed il diametro, Re risulta
essere pari a 1750 per cui il moto è laminare.
31

Ricordando l’equazione di Poiseuille:
e sostituendo i vari valori si ottiene:
∆p = 2149.1 Pa = 16.12 mmHg = 20.675 cm
Q
r
L
p 4
8
π
µ
=∆
32

ρ sangue 1060 kg/m
3
R 0,6 cm 0,006 m
µ sangue 0,00375 Pa s Area 0,00011 m
2
L 5 m
Q 3500 cm
3
/min 0,000058 m
3
/s
Velocità 0,516 m/s ∆P 2149,0830 Pa 16,120 mmHg
Re 1750 ∆P 0,2068 m 20,675 cm
33

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