лекція 15

1. Теореми розкладу
Знаходження оригіналу за зображенням
Елементарний метод.
Лекція 8.

2. 8.1. Елементарний метод.
Приклад. Знайти оригінал для функції ( )
102
1
2
++
=
pp
pF
Розв’язання. Виділимо повний квадрат в знаменнику і застосуємо теорему
зміщення:
( ) ( )
.3sin
3
1
91
3
3
1
91
1
102
1
222
te
pppp
t−
÷
++
⋅=
++
=
++
Приклад. Знайти оригінал для функції ( )
( )
.
1
1
22
+
=
p
pF
Розв’язання. Скористаємось теоремою про
множення зображень
( )
( )∫ =−=÷
+
⋅
+
=
+
t
dttt
ppp 0
2222
sinsinsin*sin
1
1
1
1
1
1
τττ
( )( ( ) ( ).sincos
2
1
2sin
4
1
cos
2
1
2coscos
2
1
00
ttttttdtt
tt
−−=−+−=−−−= ∫ τττ

3. 8.1. Елементарний метод.
Приклад. Знайти оригінал для функції ( ) ( )
( )( ).
91
95
2
+−
−
=
ppp
p
pF
( )
9
4
91
45
22
+
+
+
−
−
−=
pp
p
pp
pF
Користуючись теоремою лінійності і таблицею зображень, знаходимо
оригінал.
( ) .3sin
3
4
3cos45 ttetf t
+−−=

4. 8.2. Теореми розкладу.
Для знаходження оригіналу в більш загальних випадках користуються теоремами
розкладу.
( ) ∑
∞
=
+
+++==
0
3
2
2
10
1
...,
n
n
n
p
C
p
C
p
C
p
C
pF то функція
( ) ∑
∞
=
++==
0
10 ...
!n
n
n tCC
n
t
Ctf (8.1)
Приклад. Знайти оригінал для функції ( ) .
1
sin
1
pp
pF =

5. 8.2. Теореми розкладу.
Розв’язання. Маємо
( ) ...
!5
1
!3
11
...
!5
1
!3
1111
sin
1
64253
−+−=





−+−==
ppppppppp
pF
Тоді за теоремою розкладу ( ) ...
!5!5
1
!3!3
1 53
−⋅+⋅−=
tt
ttf
( ) ( )( )∑
=
=
n
k
k
t
pFtf
1
pk
eres (8.2)

6. 8.2. Теореми розкладу.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
∑
−
→ 





−
−
=
k
npt
n
k
pp
k
k
k
k pR
epQ
pp
n
tf
1
lim
!1
1
(8.3)
( ) ( )
( )∑ ′
=
k
tp
k
k k
e
pR
pQ
tf (8.4)

7. 8.2. Теореми розкладу.
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
+
−−−
+
−−−
= tp
l
tp
l
e
pppppp
pQ
e
pppppp
pQ
tf 21
23212
2
13121
1
......
( )
( )( ) ( )
.
...
...
121
tp
lll
l
e
pppppp
pQ 
 −−−−
++ (8.5)
( )
( ) ( )22
21
3
−+
=
pp
p
pF
Розв’язання.
•Маємо ( ) ( ) ( ) ( ) .21,3
22
−+== pppRppQ
( )
( ) ( ) ( ) ( )
=
′








+−
+
′








−−
=
→−→ 2221 1
3
lim
!12
1
2
3
lim
!12
1
p
pe
p
pe
tf
pt
p
pt
p
( ) ( )( ).1316
9
1 2 tt
etet −
−−−=
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )
=
+
−++
+
−
−−+
→−→ 3231 1
211
lim3
2
221
lim3
p
pppte
p
pppte pt
p
pt
p

8. 8.2. Теореми розкладу.
Для обчислення похідної зручно скористатись формулою Лейбніца:
( ) ,2 vuvuvuuv ′′+′′+′′=
″ якщо покласти
( )
,
2
3
2
−
=
p
p
u .pt
ev =
( )
( )
∑
=
−−−
−
=
−
⋅−
−
⋅=





−
++−==
4
1
333
22
1
22
1
4
1
4
1
k
ttitttitit
tttp
k i
eeee
i
e
i
e
eee
p
tf k
( ).sin
2
1
tsht −
( )
( )( )( )
.
211
23 2
++−
+
=
pppp
p
pF
( ) .
1
1
4
−
=
p
pF

9. 8.2. Теореми розкладу.
Розв’язання.
За формулою (8.5) маємо
( ) ( )
( )( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
+
+−
+
+
++
+
+
++−
+
=
−=== 1
2
1
2
0
2
21
23
21
23
211
23
p
pt
p
pt
p
pt
ppp
ep
ppp
ep
ppp
ep
tf
( )
( )( )
.
3
7
2
5
6
5
1
11
23 2
2
2
ttt
p
pt
eee
ppp
ep −−
−=
−++−=
+−
+
( ) ( )∫
∞+
∞−
=
i
i
pt
dpepF
i
tf
γ
γπ
,
2
1 (8.6)
( ) ( )∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−






= ,
2
1
dsduufeetf isuist
π
(8.7)

10. 8.2. Теореми розкладу.
( ) ( )∫
+∞
∞−
Φ= ,
2
1
dsset ist
π
ϕ ( ) ( ) ( )∫∫
+∞
−
+∞
∞−
−
==Φ
0
,dttedttes istist
ϕϕ ( ) ,0=tϕ .0<t
( ) ( ) ( )
( )∫ ∫∫
∞ ∞
+−−−
∞
==
0 00
dttfedttfeedtte tististist σσ
ϕ
де
Тоді .
( ) ( )∫
+∞
∞−
+= dsisFet ist
γ
π
ϕ
2
1
і тому ( ) ( )
( )∫
+∞
∞−
+
+= dsisFetf tsi
σ
π
γ
2
1
Це означає, що
( ) ( )∫
∞+
∞−
=
i
i
pt
dppFe
i
tf
γ
γ
π2
1

11. 8.2. Теореми розкладу.
( ) ( )∫∫
+
−
∞→
∞+
∞−
⋅=⋅
ia
ia
pt
a
i
i
pt
dpepFdpepF
γ
γ
γ
γ
lim
Зауваження. Безпосереднє застосування формули обернення (8.6) часто
призводить до труднощів і тому для знаходження оригіналу за його
зображенням користуються попередніми теоремами розкладу , які ,
звичайно, є наслідками цієї теореми, оскільки
( ) ( )( )∑∫ =
∞+
∞− k
tp
k
i
i
pt k
epFresdpepF
i
γ
γπ2
1

12. 8.2. Теореми розкладу.
( ) ( ) ,
2
1
1 ∫
∞+
∞−
=
i
i
pt
dppFe
i
tf
γ
γπ
( ) ( ) .
2
1
2 ∫
∞+
∞−
=
i
i
pt
dppFe
i
tf
γ
γπ
•

13. Запитання для самоконтролю
1. В чому полягає елементарний метод знаходження оригіналу за його
зображенням.
2. Сформулювати першу теорему розкладу.
3. Сформулювати другу теорему
розкладу.
4. Які наслідки з другої теореми розкладу?
5. Довести третю теорему розкладу (формулу обернення).
6. В чому полягає теорема про єдність оригіналу?