Praktichne zastosuvannya _zag_vidomosti__isto

1. Інтеграл та його
застосування

2. 2
Історія розвитку понять інтеграла йІсторія розвитку понять інтеграла й
інтегрального обчисленняінтегрального обчислення
Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального
обчислення пов’язана з потребою в обчисленні
площ фігур, а також поверхонь і об’ємів довільних
тіл. Передісторія інтегрального обчислення сягає
глибокої давнини: ідеї інтегрального обчислення
можна знайти в роботах давньогрецьких учених
Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда
(бл.287-212 до н.е.).
Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального
обчислення пов’язана з потребою в обчисленні
площ фігур, а також поверхонь і об’ємів довільних
тіл. Передісторія інтегрального обчислення сягає
глибокої давнини: ідеї інтегрального обчислення
можна знайти в роботах давньогрецьких учених
Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда
(бл.287-212 до н.е.).

3. 3
Короткі історичні відомостіКороткі історичні відомості
 Поняття інтеграла та інтегральне
обчислення виникло через
необхідність обчислювати площі
будь-яких фігур і поверхонь та
об'ємів довільних тіл.
 Символ увів Лейбніц у 1686 році.
 Отож, інтеграл — центральне
поняття інтегрального
числення, узагальнення
поняття суми для функції,
визначеній на континуумі.
∫

4. 4
Криволінійна трапеція та її площа
xy sin=
Криволінійною трапецією називається
фігура, обмежена графіком невід’ємної
на відрізку функції, віссю Ох і
прямими x=a і x=b.
Наприклад.
Теорема. Нехай - непарна і
невід'ємна на відрізку функція, а S –
площа відповідної криволінійної трапеції.
Якщо - первісна для на інтервалі,
що містить відрізок
, то .
Наприклад. Обчислити площу
криволінійної трапеції, обмеженої лініями:
, , x=0, .
Розв’язання
- синусоїда; - вісь Ox; x=0 – вісь
Оу; - пряма, що проходить через
точку паралельно осі Оу.
Для функції первісною є
a=0, b = .
Нехай S - шукана площа, тоді .
(кв. од.)
Відповідь: 2 кв. од.
[ ]ba;
)(xfy =
[ ]ba;
)(xF )(xf
[ ]ba; )()( aFbFS −=
xy sin= 0=y
π=x
xy sin= 0=y
π=x
( )0;π
xy sin= ;cos)( xxF −=
π
).()( aFbFS −=
=−−−=−= )0cos(cos)0()( ππ FFS
21)1( =+−−=

5. 5
Визначений інтеграл
- неперервна на проміжку І;
- первісна для на проміжку І;
- приріст первісної.
Число називається визначеним
інтегралом від a до b від функції , ,
Позначається:







=−
∫
a
b
b
a
xFaFbFб
іксдеіксвідефbдоавідінтегралчитатьсяdxxfa
)()()()
;"":;)()
)(xf
)(xF
)()( aFbF −
)()( aFbF −
)(xf Ia∈
.Ib ∈

6. 6
Формула Ньютона - Лейбніца
- підінтегральна функція;
- підінтегральний вираз;
a - нижня межа інтегрування;
b - верхня межа інтегрування;
x – змінна інтегрування.
∫ =
b
a a
b
xFdxxf )()(
)(xf
dxxf )(
Основні властивості визначених інтегралів
∫ ∫ ∫±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
2) ∫ ∫=
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( , (k – );стала
1)

7. 7
Нехай криволінійна
трапеція обмежена зверху
графіком функції , яка
неперервна і невід’ємна на
відрізку , віссю Ох і
прямими x=a і x=b.
Внаслідок обертання цієї
криволінійної трапеції
навколо осі Ох утворилося
тіло, об’єм якого можна
обчислити за формулою:
Наприклад. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням
навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями: , , ,
.
Розв’язання
- вісь Ох;
- пряма, що проходить через
точку (1;0) паралельно осі Оу;
- пряма, що проходить через
точку (2;0) паралельно осі Оу;
- парабола.
а =1, b=2 – межі інтегрування.
(куб. од.)
Відповідь: куб. од.
Обчислення об’ємів за допомогою
визначеного інтеграла
)(xfy =
[ ]ba;
.)(2
∫=
b
a
dxxfV π
0=y
2
xy =
1=x
2=x
0=y
1=x
2=x
2
xy =
х -2 -1 0 1 2
у 4 1 0 1 4
=⋅=== ∫∫
2
1 1
25
4
2
1
22
5
)(
x
dxxdxxV πππ
πππ
5
1
6
5
1
5
32
5
1
5
2 55
=





−=





−=
π
5
1
6

8. 8
Застосування
визначеного
інтеграла
Обчислення
площ
плоских
фігур
Застосування
в економіці
й техніці
Застосування
в економіці
й техніці
Обчислення
об'ємів тіл
Обчислення
об'ємів тіл
Обчислення
відстані
за відомим
законом
зміни
швидкості
Обчислення
відстані
за відомим
законом
зміни
швидкості
Обчислення
роботи
змінної
сили та
потужності
Обчислення
роботи
змінної
сили та
потужності
Обчислення
кількості
електрики
та кількості
теплоти
Обчислення
кількості
електрики
та кількості
теплоти

9. 9
Інтеграл виник з практичної потреби
знаходити площі неплоских фігур.
Найбільший внесок у вивченні інтегрального
числення вніс Архімед.
Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед
захотів визначити найбільш точно площу
поверхні риби.

10. 10
Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх
площі, причому чим більшою була кількість прямокутників,
тим точнішим було значення площі.

11. 11

12. 12
1. Обчисленняшляхузавідомим
.законом зміни швидкост і
∫=
2
1
)(
t
t
dttvS

13. 13
' :Розв яжемо задачу' :Розв яжемо задачу
,Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю яка
змінюється за законом v=2t+1(м/ ). ,с Знайти шлях
який пройшло тіло за інтервал часу від t 1 =1c, до
t2 =3c.
∫
+⋅
=+−+=
==+
=
3
1
3
1
).(10))11(39(
2
)12( )
2
2(
м
dtt
s
t
t

14. 14
2. Обчисленняроботизмінної
.сили
∫=
b
a
dxxFA )(

15. 15
' :Розв яжемо задачу' :Розв яжемо задачу
, ,Обчислити роботу яку треба виконати щоб
викачати воду з ями 4 ,глибиною м що має
2 .квадратний переріз із стороною м Густина
води ρ=103
/кг м3
.
[ ] 2
.
/8,9,4;0
)4(4)(
смgx
xggHSxF осн
≈∈
−=⋅⋅= ρρ
).(101,3
)(106,3138,91032
)816(4
2
)4(4
5
33
4
0
4
0
)
2
4(4
Дж
Дж
g
dxxgА
x
xg
⋅≈
≈⋅≈⋅⋅=
=−=
=−=
−
∫
ρ
ρ
ρ

16. 16
3. Обчисленнямаси
.неоднорідного ст ерж ня
∫=
−
2
1
)(
,)(
l
l
dllmто
стержнягустинаlякщо
ρ
ρ

17. 17
' :Розв яжемо задачу' :Розв яжемо задачу
Знайти масу стержня завдовжки 35см, якщо
його лінійна густина змінюється за законом
ρ(l)=(4l+3)(кг/м)
)(3,1295,1
2
)34( )32(
35,0
0
35,0
0
кг
dllm ll
≈=
==+= +∫

18. 18
4. Обчисленнякількості
.елект рики
∫=
2
1
.)(
t
t
dttIq

19. 19
' :Розв яжемо задачу' :Розв яжемо задачу
Знайти кількість електрики, що проходить
через поперечний переріз провідника за
10с, якщо сила струму змінюється за
законом I(t)=(4t+1)(A)
∫ + ==+=
10
0
10
0
)(210
2
)14( )2( Клdttq tt

20. 20
ІНТЕГРАЛ В БІОЛОГІЇ
Середня довжина шляху, який пролітають птахи,
перетинаючи деяку фіксовану ділянку,
обчислюється за формулою:
( ) ( )( )
22
22
R
R
R
ab
dxxfxf
L
b
a ππ
==
−
−
=
∫

21. 21
ІНТЕГРАЛ В ПОБУТІ
Щоб каша була
смачною,
потрібно таке
відношення води
і круп:
1−= π
кр
в
V
V

22. 22
1Приклад ,Експериментальновстановленощопродуктивність
праці робітниканаближено виражається формулою
f(t)= -0.0033t2
- 0.089t + 20.96, деt — .робочий час у годинах
,Обчислити обсяг випуску продукції заквартал вважаючи
,робочий день восьмигодинним акількість робочих днів у
— 62.кварталі
' .Розвязання Обсяг випуску продукції протягом зміни є
, .первісною від функції що виражає продуктивність праці
Том
у
.
Протягом кварталу обсяг
випуску продукції
:становитиме
=62(-0.001 512 -2.848∙ + 167.68)
= 62 164.27 10185 ( .).∙ ≈ од

23. 23
2Приклад
,Експериментальневстановлено що залежність витрати
100бензину автомобілем від швидкості на км шляху
визначається формулою Q = 18 - 0,3v +0,003v2
, 30де ≤ v 110.≤
, 50 -Визначити середню витрату бензину якщо швидкість руху
60 / .км год
' .Розвязання Середня витратабензину становить
= 1
/10(18 60-0.3 1800+0.003 72000-18 50-0.3 1250-∙ ∙ ∙ ∙ ∙
0.003 41667) =∙
= 1
/10(1080-540 + 216-900 + 375- 125) = 10,6 ( ).л
, 100 ,Отже автомобіль на км шляху рухаючись зі
50 - 60 / , 10,6швидкістю км год витрачає в середньому л
.бензину

24. 24
,Обчислити роботу яку треба
,виконати щоб викачати воду з ями
4 .,глибиною м що має квадратний
2 .переріз зі стороною м Густина води
ρ=103
/кг м3.
' :Розв язання Спрямуємо вісь Ох
.вздовж діючої сили Значення сили
F(x), щодієнаперерізпрямокутного
4паралелепіпеда площею м2
,
,визначається вагою шару води що
.знаходиться вищевід цього перерізу
Отже
[ ]
)(101,3
)(106,3138,91032)1816(4
|
2
44)4(4
/8,9,4;0_),4(4)(
5
33
4
0
24
0
2
Дж
Джg
x
xgdxxgA
смgхдеxgxF
⋅≈
≈⋅=⋅⋅=−=
=





−=−=
≈∈−=
∫
ρ
ρρ
ρ

25. 25

26. 26

27. 27

28. 28