1. Практичне заняття 1.
Комплексні числа
Мета заняття: ознайомлення студентів з поняттям «комплексні числа».
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про комплексні числа та
прикладів задач по заданій темі.
Завдання 2. Надання коротких теоретичних відомостей про дії над комплексними
числами та прикладів задач по заданій темі.
Завдання 3. Розгляд прикладів на розв’язування рівнянь з комплексними
відповідями.
Основні теоретичні відомості, формули та приклади.
Означення. Комплексним числом z називається вираз z=x+iy, де х, у – дійсні
числа, а і – уявна частина, що задовольняє умові 2
1i = − .
Числа х та у називаються, відповідно, дійсною та уявною частинами
комплексного числа z та позначаються x=Rez, y=Imz.
Означення. Комплексні числа z1=x1+iy1 та z2=x2+iy2 будуть рівними ⇔
х1=х2 та у1=у2.
Нехай є два комплексних числа z1=x1+iy1 та z2=x2+iy2, тоді:
1. z1+ z2= (x1+х2) +і(у1+у2)
2. z1 - z2= (x1-х2) +і(у1-у2)
3. z1 z2= (x1х2 - у1у2) +і(x1у2 + х2 у1)
4. 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
z x x y y y x x y
i
z x y x y
+ −
= +
+ +
Означення. Комплексне число z x iy= − називається спряженим до
комплексного числа z=x+iy.
Приклад 1. Задано комплексні числа z1=2+3і та z2=3-5і. Обчислити: z1+ z2;
z1 - z2; z1 z2; 1
2
z
z
; 1z .
Розв’язання.
1. z1+ z2=2+3і+3-5і=5-2і
2. 2. z1- z2=(2+3і)-(3-5і)= 2+3і-3+5і=-1+8і
3. z1 z2=(2+3і) (3-5і)=6+9і-10і-15і2
=6-і+15=21-і
4.
2
1
2
2
2 3 (2 3 )(3 5 ) 6 9 10 15 9 19 9 19
3 5 (3 5 )(3 5 ) 34 34 349 25
z i i i i i i i
i
z i i i i
+ + + + + + − + −
= = = = = +
− − + −
5. 1 2 3z i= −
Приклад 2. Розв’язати рівняння ( )4
1 16 0x + − = .
Розв’язання. ( )4
1 16 0x + − = ;
( )4
1 16x + = ;
( )2
1 4x + = ± ;
( ) ( )2 2
1 4 1 4x x+ = + = −
( ) ( )2
1 2 1 2x x i+ = ± + = ±
1 2 3 41 3 1 2 1 2x x x i x i= = = − + = − −
Приклад 3. Знайти дійсні розв’язки рівняння ( ) ( )4 2 5 3 13i x i y i+ + − = +
Розв’язання. ( ) ( )4 2 5 3 13i x i y i+ + − = + ;
( ) ( )4 5 2 3 13x y x y y i+ + − = + ;
4 5 13
2, 1.
2 3 1
x y
x y
x y
+ =
⇔ = =
− =
Завдання для індивідуальної роботи № 1.
Номер варіанта визначається за списком в журналі групи.
Відповіді слід надіслати у вигляді документу з розширенням
«.doc» або «.pdf»
Задано комплексні числа z1=x1+iy1 та z2=x2+iy2,. Обчислити: z1+ z2; z1 - z2; z1
z2; 1
2
z
z
; 1z .
1.1 z1=12-3і та z2=3-15і.
1.2 z1=1-13і та z2=13+15і
3. 1.3 z1=11-і та z2=3+5і
1.4 z1=4-4і та z2=8-5і
1.5 z1=7+3і та z2=13-15і
1.6 z1=9+2і та z2=3+і
1.7 z1=1-3і та z2=2+5і
1.8 z1=6-6і та z2=6-і
1.9 z1=5-8і та z2=3+5і
1.10 z1=8+3і та z2=3-15і
1.11 z1=7-5і та z2=3+5і
1.12 z1=4+9і та z2=3-4і
1.13 z1=12-2і та z2=4-7і
1.14 z1=9-3і та z2=4+15і
1.15 z1=6+5і та z2=3-15і
1.16 z1=9-3і та z2=6+15і
1.17 z1=1-3і та z2=3-5і
1.18 z1=12+2і та z2=3-15і
1.19 z1=7-3і та z2=6+15і
1.20 z1=5-3і та z2=3-6і
1.21 z1=2+9і та z2=7-15і
1.22 z1=6-3і та z2=3+15і
1.23 z1=4+7і та z2=3-17і
1.24 z1=12-3і та z2=7+15і
1.25 z1=6-4і та z2=3-15і
1.26 z1=11+3і та z2=4-15і
1.27 z1=3-3і та z2=3-4і
1.28 z1=9-5і та z2=3+15і
1.29 z1=12+4і та z2=3-4і
1.30 z1=6-3і та z2=4+15і
