ejercicios de integrales indefinidas (Analisis matematico )

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA AMAZONIA PERUANA
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
TRABAJO PRÁCTICO
TEMA : EJERCICIOS DE TÓPICOS DE CALCULO (Máximo Mitacc-Luis Toro)
CATEDRÁTICO : Lic. MANUEL TUESTA MORENO
INTEGRANTES :
 ROJAS GONZALES MIGUEL ANGEL.
 HERNANDEZ JAUYA PAUL MARTÍN
NIVEL : II
CICLO : III
IQUITOS –JULIO DEL 2009-PERÚ

EL PRESENTE TRABAJO PRÁCTICO ES UNA COLECCIÓN DE PROBLEMAS DE INTEGRALES
INDEFINIDAS, EXTRAIDAS DEL LIBRO: “TOPICOS DE CALCULO (VOL.II)” DE MAXIMO MITACC-LUIS
TORO, CON SUS RESPECTIVAS SOLUCIONES DESARROLLADOS POR LOS ALUMNOS A CARGO.

Ejercicios Pág. 83
------------------- -----------------------------------------|SOLUCIONARIO|-------------------------------------------------------
ퟏ. ∫
ퟒ풙ퟐ + ퟔ
풙ퟑ + ퟑ풙
풅풙
= ∫
4푥 2 + 6
푥 3 + 3푥
푑푥
∙
1
푥(푥 2 + 1)
=
퐴
푥
+
퐵(2푥) + 퐶
푥 2 + 3
= ∫
4푥 2
푥(푥 2 + 3)
푑푥 + ∫
6
푥(푥 2 + 3)
푑푥
1 = 퐴(푥 2 + 3) + (2퐵푥 + 퐶)푥
= 4 ∫
푥
(푥2+3)
푑푥 + 6 ∫
푑푥
푥(푥2+3) 1 = 퐴푥 2 + 3퐴 + 2퐵푥 2 + 퐶푥
= 4 ∫
푥
(푥2+3)
푑푥 + 6 [1
3
∫
푑푥
푥
− 1
3
∫
푥
(푥2+3)
푑푥] 1 = 푥 2(퐴 + 2퐵) + 푥퐶 + 3퐴
= 4 ∫
푥
(푥2+3)
푑푥 + 2 ∫
푑푥
푥
− 2 ∫
푥
(푥2+3)
푑푥 퐴 = 1
3
; 퐶 = 0 ; 퐵 = − 1
6
= 2 ∫
푑푥
푥
+ 2 ∫
푥
(푥2+3)
푑푥 푥 2 + 3 = 푢
= 2 ln|푥| + 2 ∫
푥
푢
(푑푢
2푥
) 2푥푑푥 = 푑푢 ⇒ 푑푥 = 푑푢
2푥
= ln|푥|2 + ln|푢|
= ln(푥)2 + ln(푥 2 + 3)
= ln[푥 2(푥2 + 3)] + 퐶

Pág. 84
ퟓ. ∫
풙ퟐ + 풙 − ퟏ
풙ퟑ − 풙ퟐ − 풙 + ퟏ
풅풙
= ∫
푥(푥 + 1) − 1
(푥 − 1)2(푥 + 1)
푑푥
= ∫
푥(푥 + 1)
(푥 − 1)2(푥 + 1)
푑푥 + ∫
푑푥
(푥 − 1)2(푥 + 1)
∙
1
(푥 − 1)2(푥 + 1)
=
퐴
(푥 − 1)
+
퐵
(푥 − 1)2 +
퐶
(푥 + 1)
∙ 1 = A(x − 1)(x + 1) + B(x − 1) + C(x − 1)2
∙ 1 = Ax2 − A + Bx + B + Cx2 − 2Cx + C
∙ 1 = x2(A + C) + x(B − 2C) + (−A + B + C)
퐴 = − 1
4
; 퐵 = 1
2
; 퐶 = 1
4
= ∫
푥
(푋 − 1)2 푑푥 − [−
1
4
∫
푑푥
(푥 − 1)
+
1
2
∫
푑푥
(푋 − 1)2 +
1
4
∫
푑푥
(푥 + 1)
]
= ∫
푥
푑푥 + 1
(푋−1) 2 4
∫
푑푥
(푥−1)
− 1
2
∫
푑푥
− 1
(푋−1)2 4
∫
푑푥
(푥+1) 푥 − 1 = 푢 ; 푥 + 1 = 푣
푥 = 푢 + 1 푑푥 = 푑푣
= ∫
푢+1
푢2 푑푢 + 1
4
∫
푑푢
푢
− 1
2
∫
푑푢
푢2 − 1
4
∫
푑푣
푣
푑푥 = 푑푢
= ∫
푢
푢2 푑푢 + ∫
푑푢
푢2 + 1
4
ln|푥 − 1| − 1
2
(− 1
(푥−1)
) − 1
4
ln|푥 + 1|
= ln|푥 − 1| − 1
(푥−1)
+ 1
4
ln|푥 − 1| + 1
2(푥−1)
− 1
4
ln|푥 + 1|
= −
1
2(푥 − 1)
+
5
4
ln|푥 − 1| −
1
4
ln|푥 + 1| + 퐶

ퟗ. ∫
ퟐ풙ퟐ − ퟑ풙 − ퟑ
(풙 − ퟏ)(풙ퟐ − ퟐ풙 + ퟓ)
풅풙 = 푰
∙ 푥2 − 2푥 + 5 = (푥 − 1)2 + 4
퐼 = ∫
푥2 − 푥 − 8 + 푥2 − 2푥 + 5
(푥 − 1)(푥2 − 2푥 + 5)
푑푥
퐼 = ∫
푥(푥 − 1)
(푥 − 1)(푥2 − 2푥 + 5)
− 8 ∫
푑푥
(푥 − 1)(푥2 − 2푥 + 5)
+ ∫
(푥2 − 2푥 + 5)
(푥 − 1)(푥2 − 2푥 + 5)
푑푥
퐼 = ∫
푥푑푥
푥2 − 2푥 + 5
− 8 ∫
푑푥
(푥 − 1)[(푥 − 1)2 + 4]
+ ∫
푑푥
(푥 − 1)
∙ 푥 − 1 = 푢 → 푥 = 푢 + 1
∙ 푑푥 = 푑푢
퐼 = ∫
(푢 + 1)
푢2 + 4
푑푢 − 8 ∫
푑푥
푢(푢2 + 4)
+ ∫
푑푢
푢
퐼 = ∫
푢 푑푢
푢2 + 4
+ ∫
푑푢
푢2 + 4
− 8 ∫
푑푢
푢(푢2 + 4)
+ ∫
푑푢
푢
1
푢(푢2 + 4)
=
퐴
푢
+
퐵(2푢) + 푐
푢2 + 4
∙ 1 = 퐴(푢2 + 4) + (2퐵푢 + 푐)푢 4퐴 = 1 → 퐴 =
1
4
∙ 1 = 퐴푢2 + 4퐴 + 2퐵푢2 + 푢퐶 퐶 = 0
∙ 1 = 푢2(퐴 + 2퐵) + 푢퐶 + 4퐴 퐴 + 2푏 = 0 → 퐵 = −
1
8
퐼 = ∫
푢 푑푢
푢2 + 4
+ ∫
푑푢
푢2 + 4
1
4
− 8[
∫
푑푢
푢
−
1
4
∫
푢 푑푢
푢2 + 4
] + ∫
푑푢
푢
퐼 = ∫
푢 푑푢
푢2 + 4
+ ∫
푑푢
푢2 + 4
− 2 ∫
푑푢
푢
− 2 ∫
푢 푑푢
푢2 + 4
] + ∫
푑푢
푢
퐼 = 3 ∫
푢 푑푢
푢2 + 4
− ∫
푑푢
푢
+ ∫
푑푢
푢2 + 4
∙ 푢2 + 4 = 푡 → 푡 = 푢2 + 4 = (푥 − 1) 2 + 4 = 푥2 − 2푥 + 5
∙ 2푢 푑푢 = 푑푡 ∙ 푢 = (푥 − 1)
∙ 푑푢 =
푑푡
2푢

퐼 = 3 ∫
푢
푡
푑푢
2푢
(
) − ∫
푑푢
푢
+ ∫
푑푢
푢2 + 4
퐼 =
3
2
퐿푛|푡| − 푙푛|푢| +
1
2
푢
2
푎푟푐푡푔 (
) + 푐
퐼 =
3
2
퐿푛|푥2 − 2푥 + 5| − 푙푛|푥 − 1| +
1
2
푥 − 1
2
푎푟푐푡푔 (
) + 푐
Pág.85-------------------------------------
ퟏퟑ. ∫
ퟐ풙
풙ퟒ + 풙ퟐ + ퟏ
풅풙 = 푰
퐼 = 2 ∫
4푥 푑푥
4(푥4 + 푥2 + 1)
퐼 = 2 ∫
4푥 푑푥
4푥4 + 4푥2 + 1 + 3
퐼 = 2 ∫
4푥 푑푥
(2푥2 + 1) 2 + 3
푢 = 2푥2 + 1
푑푢 = 4푥푑푢
푑푥 =
푑푢
4푥
퐼 = 2 ∫
4푥푑푢
(푢2 + 3)4푥
퐼 = 2 ∫
푑푢
푢2 + 3
= 2 ∫
푑푢
푢2 + (√3)2
1
√3
= 2 (
푢
√3
푎푟푐푡푔 (
)) + 푐
퐼 =
2
√3
푎푟푐푡푔 (
2푥2 + 1
√3
) + 푐
ퟏퟕ. ∫
풅풙
풙ퟖ + 풙ퟔ = 푰
퐼 = ∫
푑푥
푥6(푥2 + 1)
= ∫
푥6 + 1 − 푥6
푥6(푥2 + 1)
= ∫
(푥6 + 1)푑푥
푥6(푥2 + 1)
− ∫
푥6푑푥
푥6(푥2 + 1)
퐼 = ∫
(푥2 + 1)(푥4 − 푥2 + 1)푑푥
푥6(푥2 + 1)
− ∫
푑푥
(푥2 + 1)
퐼 = ∫
푑푥
푥2 − ∫
푑푥
푥4 + ∫
푑푥
푥6 − ∫
푑푥
푥2 + 1
퐼 = −
1
푥
+
1
3푥3 −
1
5푥5 − 푎푟푐푡푔 푥 + 푐

dt
  
3 9 3 3
D
(t 1)
C
    
t
dx
B
t
dt
9x
A
t
1
1

2 3
1  At (t  1)  Bt (t  1)  C(t  1) 
Dt
3 2 2 3
1 At At Bt Bt Ct C Dt
dt
      
3 2
1  t (A  D)  t (B  A)  t(C  B)  ( 
C)
A D B A C B C
       
0 0 0 1
D B A C B C
      
1 0 1

C
1
1
   
1
18(x 1)
1
dt
1
dt
1
9(x 1)
dt
1
1
dt
ln x 1
9
1
1


9ln x
I ln x
18(x 1)

9(x 1)
ln x 1
9
9
I
ln x
2(x 1)
(x 1)
ln x 1
9
I
t 1
t
t
t
9
I
1 1 1
1
(t 1)t
9
I
x t
9
I
x.t
I
dt
9x
x 1 t x t 1 9x .dx dt dx
x(x 1)
21.
9 9 2
9
9 9 2
9
9
9 9 2
9
2 3
2 3
8
8
9 9 8
9 3




   



   








   





    

    
         

   

D A - B

Pág.86
 I
 
x Senx Senx Cosx
 .dx

4
(x Cosx
4
1).
25.
Cosx
(x 1)( Senx)
(x 1)( Senx) Cosx
I 4 4
 
.dx
 
   


 

(x 1).Cosx
.dx
(x 1).Cosx
.dx I
(x 1).Cosx
4
4
4
dx
4
x 1
  .dx
 
Senx
Cosx

I I
1 2
I
 
Senx.Cosx
Senx
I 2
1 1 2
   .dx u Senx Cosx.dx 2u.du
     
1 
Sen x
.dx I
Cosx
du
2u
2
I 2 2
(1- u )(1 u )
  .du  I

2u
1- u
.du I
u .2u
1 u
2
4 1
4 1
2
1   


1
  
Aplicar una identidad : 2 2 
a u
1
a - u
2u
a - u
arctgu
u 
1


I 1 2 2 1 2 2 1 
u 1
1
Ln
2
    I

du
1 u
du
1- u
.du I
1
1 u
1
1 u

 

   






arctg( Senx )
Senx 
1
I1 
Senx 1
1
Ln
2


4 4 2 2 2 2 2
        
x 1 x 2x 1- 2x (x 1) ( 2x)
(x 1 2x)(x 1 2x)
dx
x 1
I
2 2
2 4
    

 
dx
I
2 2 2
    

(x 1 2x)(x 1 2x)
C(2x 2) D
A(2x  2) 
B
4 2 2
 
 A(2x  2)  B  x 2  2x  1    C(2x  2)  D  x 2
 2x 
1

(x 2x 1)(x 2x 1)
1
1
x 1
(x 2x 1)
(x 2x 1)
x 1
2 2
4
   


 

 




     
         
1  x (2A  2C)  x (2 2C  2 2A  2A  2C  B  D)  x(2A  2C  2A  2C  2B  2D)  ( 2A  B  2C 
D)
   
2A  2C  0 2(C  A)  B  D  0 2(D  B)  0 2(A  C)  B  D 
1
1
4
y D
8
2
, C
1
4
, B
2
8
A
3 2
2x 1
2
2x 1 C(2x 2) D x
2
1 A(2x 2) B x


   
I

2 2 2 2 2
2x 
2
2x 
2
dx
1
2
dx
1
     
 

 

 

x 2x 1
4
x 2x 1
8
x 2x 1
4
.dx
x 2x 1
2
8
 
2    
arctg( 2x 1)
2
4
arctg( 2x 1)
2
4
2
x 2x 1
x 2x 1
Ln
2
8
I
2
 

Rpta I I I
Senx 
1
1
2
   C
2
 
2
x  2x 
1
 
 


  
arctg( 2x 1)
4
arctg( 2x 1)
4
x 2x 1
Ln
2
8
arctg( Senx)
Senx 1
Ln
2
I
2
1 2

Pág. 101
x dx
2. 4
 x  x
5
x 2
dx
 
 
x x 5
1)
1
1
(
-1
,
2
. M .C.M (2, 5) 10
5
1
Fracciones :  
10 9
dtt 10. ) t (
 
 
t
[(t ) 5
1] 1
2
1
10 10
t x
9
10

dx

10t dt 5 9
t .t dt
10 10 -2
 

t (t 1)
14
t dt
 

10 1
t ( 1)
10
2 t
t dt
 

10 1 t
t ( )
10
2
2
t
14
14
t dt
10 8 2
 

t (1 t )
6
dt t
t
4
10 )dt
 2
 
t 1
10 (t 2
1 t
4

  
t
4
t
2
4   
  dt
10 t dt 10 2
  
1 t
   )dt
10 t dt 10 (t 2
1 t
4 2
2
4 2
t dt
1
4 2    
10 t dt 10 t dt 10 (1 2
10 t dt 10 t dt 10 )dt
   2
   
1 t
1 t
   
4 2
dt
    2
10
5 3 1     
10 t dt 10 t dt 10 dt 10 t 10t 10[ arctg. ] C
    
1 t
2t 1
3
t
1
10
1
1
3
Rpta 2x 10
x 10
10x 10
10arctgx C
3
2
1
    
dx
    

 




 M.C.M

5
,
4
   
  
x 1 t 4t dt dx
x 1 x 1
4 3
4
4
3
5
6. 4
4
3
3
dt
4t dt
4t dt
  
3 2 2
   

 

3
3 5
1 t
I 4
t (1 t )
I
t t
I
C
x  1 
1
x 1 1
I 4ln
t 
1
t 1
I 4ln
4
4

 
 



Pág. 102
1ퟖ. ∫
풅풙
풙ퟐ √풙ퟐ − ퟐ풙 + ퟒ
= 푰
2
1 1
   
tdt
t t

 
t
t

tdt
t
t
   

t
t
dt
t
dt



2
       
1 2 4 ( 2 8 )
   
  
1
2 8
1
2 8 2
  
  2 
8

1
 
dt
du
t dt
t dt

 
t dt
 

 



 

1
    

1
1
3
1
2 2
1
I t t t t t
2 2
c
         
1 1





1 1





2 1
2 4 1
1
1
         
x x x x x
I
dt
dt





x x x x x
I
t t t
t
dt
t t
I
u t t
u
t t
I
t t
t t
t t
I
u t t du t dt
I
t t
t
tdt
t t
t t t
t t t
I
t
dt
dx
x
t
t
x
I I


















 



   



 



 



   
 

 





















 

    
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 










 
 
2 2
2
2 2 2
2
2
2
1
2 2 2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2
2
2 4
1
2
ln
4
1
4
1
4
1
1 2
2
ln 2
4
4
1
1 2
4
1 2 4
2
ln 2
4
2 1 2 4
8
1 2 4
2
ln 2
4
2
2
1 2 4
2 2 1 2 4
1 2 4
4 1 2 4
1 2 4
8
1 2 4
8
1 2 4
4
2
4
1 2
4
1 2
4
1 1 2
4
1
2
1 1
1 2

 
I
dx
x x x

  

2 4 1
22.
2
 

1
c
dt

  
3 1
x
dt






  
1
I arcSen
x


1
arcSen
x





arcSen
t
t
I arcSen
t
dt
t
dt
t
dt
t

t
dt
t
t
dt
I
t t t
t
dt
t t t
I
t
dx
x
t
t
x
t
x












3

  








3

 














1

 





 

 





 

 





 

 
    
 
 







 

      
    
2
3
2
1
3
1
2
3
3
3
1
3 1
3
1
3
3
1 3
3
1
3
1
8 1
4
4
1 4
2 1
1
2 4
1 1
2
1
2
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 
dx I
x
x


 3
1/ 2
3 1
34.
1/ 2
 
1/ 3 1/ 3
x x dx
I 1
 

1
      
t
1/ 2
   

I x t

1/ 3 2 2 2 4 2
     
    
6
5 3
6
I t t
dt x t dt t t dt t dt t dt
x
 

2 / 3
6
3
I  x   x  c
dt
x
t
x t x dx tdt dx
     



1/ 3 5 / 2 1/ 3 3 / 2
1/ 3 2
2 / 3
1/ 3 2 2 / 3
1 2 1
5
5
6 6 1 6 6
6
6
2
3
1

Pág. 105
ퟑퟖ. ∫
풅풙
풙ퟐ (ퟏ + 풙ퟐ )
ퟑ
⁄ퟐ
= ∫ 푥 −2(1 + 푥 2)−3
⁄2 푑푥 1 + 푥2 = 푡2 푥2 ⇒ 푡 =
(1+푥2 )
1
⁄2
푥
= − ∫(푡2 − 1)(푡2푥 2)−3
⁄2 푡푑푡
푥−3 푡2 = 푥 −2 + 1 ⇒ 푑푥 = −푡푑푡
푥−3
= − ∫(푡2 − 1)푡−3 푡 푑푡
= − ∫(1 − 푡−2)푑푡
= − (∫ 푑푡 − ∫ 푡 −2 )
= −푡 + (
−1
푡
)
= −
(1 + 푥 2)1
⁄2
푥
−
푥
(1 + 푥 2)1
⁄2
+ 퐶
ퟒퟐ. ∫
ퟏ
⁄ퟑ
√ퟏ + 풙
풙
ퟐ
⁄ퟑ
풅풙
= ∫ 푥
−2
⁄3 (1 + 푥
1
⁄3)
1
⁄2
푑푥 1 + 푥
1
⁄2
1
⁄3 = 푡2 ⇒ 푡 = (1 + √푥 3 )
= ∫ 푥
−2
⁄3 (푡2)1
⁄2 6푡푑푡
푥
−2
⁄3
1
3
푥
−2
⁄3푑푥 = 2푡푑푡 ⇒ 푑푥 = 6푡푑푡
푥
−2
⁄3
= 6 ∫ 푡2 푑푡
푡3
3
= 6 (
)
1
⁄2
= 2푡3 = 2 [(1 + √푥 3 )
3
= 2(1 + √푥 3 )
]
3
⁄2
+ 퐶

ퟒퟔ. ∫
풙ퟓ + ퟐ풙ퟐ
(ퟏ + 풙ퟑ )ퟑ/ퟐ 풅풙 = 푰
5 2
x 2
x
(1 
)



 
I x x dx x x dx x t x x t
           
(1 ) 2 (1 ) 1
 
tdt
2
 
2
    
 
2
3  2 
2
2
I  x t dt 
t dt
 
4
2  2 
2
2
I  t  t dt 
t dt
 
4
2
2
I dt t dt t dt
C
  
x
  

2
2
I  t 
t dt

2
I x
tdt
x
x dx tdt dx
tdt
x
x t
x
I x t
x
I


  
 

3
3
2
2 2
2
2
2
2
3
2 2
2
2
3
5 2
2 2 3 3 2
3
2 2 3
3
5 3
2
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
( 1)
3
)
3
2(
3
2
3
3 2
3
2 ( )
3
( )
1
1
1 t 1 3
Pág. 110
ퟑ. ∫
풅풙
ퟐ + 풔풆풏풙
= 푰
푥
2
푧 = 푡푔 (
) 푑푥 =
2푑푧
1 + 푧2
푠푒푛푥 =
2푧
1 + 푧2
퐼 = ∫
2푑푧
1 + 푧2
2 +
2푧
1 + 푧2
퐼 = ∫
2푑푧
1 + 푧2
2 + 2푧2 + 2푧
1 + 푧2
= ∫
2푑푧
2푧2 + 2푧 + 2
= ∫
푑푧
푧2 + 푧 + 1
퐼 = ∫
푑푧
(푧 +
1
2
1
2
)2 − (
)
2
+ 1
= ∫
푑푧
(푧 +
1
2
2
)2 + √3
4
퐼 =
1
√3
4
푎푟푐푡푔
푧 +
(
1
2
√3
4 )
=
2
√3
2푧 + 1
√3
푎푟푐푡푔 (
) =
2
√3
2푡푔 (
푎푟푐푡푔 (
푥
2
) + 1
√3
) + 푐

ퟕ. ∫
풅풙
풔풆풏ퟐ ퟒ풙 + 풕품ퟐ ퟒ풙
= 푰
dt
4(1 t )
 dx

t tg4x 4x arctg t
dt
1 t
  
4dx
2 2 


2
2
t
1
1 t
cos4x
1 t
sen4x




dt
1
 





















 





t

2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 t
1 t
4
I
t
t
t
dt
1
dt
1
1
 1  t

2 2 4 4 2
    


t
 
1 t
1

t

2
2
2
2
2
2
t 2t
4
t t
4
1 t
1 t
dt
4
I
t
dt
1
 2 2 t 2 t
   
4
I
  2   2  2
 
A t 2 t B 2
t t Ct D
2  2 
1
Ct D
B
A

2 2 2 2 2
t 
t (2 ) 2
t t
t
t
t
    


  

1  (2 ) 2  ( ) 2 2 2  A t  t  B  t  t Ct  D
3 2 3 2 1 2At  At  Bt  2B Ct  Dt
1 t (A C) t (B D) t(2A) 2B 3 2      
A C C
   
0 0
B D D
    
0 1/ 2
A A
2  0  
0
B B
2  1  
1/ 2



dt

1
1
1
   2 2
t
2 t
t t
I 









2
0
2
0
4
1
2
1
1
I 2 2 2
  dt












t 
t
2
4
1
1
1
dt
dt
  
1
   

 

2
2
2
2 2
8 2
8
8 2
8
t
dt
t dt
t
t
I



1 1 
t









 







1
2 2
1
8
8 1
arctg
t
I



1 t



  
1
8 2 2
8
arctg
t
I




1 1 1
t








  
2 2
8
arctg
t
I
c
tg x




4
1
1
arctg x ctg I  







  
2
2
4
8
ퟏퟏ. ∫
ퟏ + 풕품풙
ퟏ − 풕품풙
풅풙
푡푔푥 = 푡; 푑푥 =
푑푡
1 + 푡2
1 + 푡
1 − 푡
퐼 = ∫ (
) (
푑푡
1 + 푡2) = ∫
(1 + 푡)
(1 − 푡)(1 + 푡2)
퐼 =
1 + 푡
(1 − 푡)(1 + 푡2)
=
퐴
1 + 푡
+
퐵푡 + 퐶
1 + 푡2
⟹
퐴 + 퐴푡2 + 퐵푡 + 퐶 − 퐵푡2 − 퐶푡
(1 − 푡)(1 + 푡2)
퐴 + 퐵 = 1; 퐵 − 퐶 = 1; 퐴 − 퐵 = 0 퐴 − 퐶 = 1
퐴 + 퐶 = 1
퐴=1; 퐵=1; 퐶=0
퐼 = ∫
푑푡
1 − 푡
+ ∫
푡푑푡
1 + 푡2 ⟹ 푢 = 푡 − 1 ⟹ 푑푢 = 푑푡 para el primer caso ∫
푑푡
1 − t
Para el segundo caso: 푢 = 푡2 ⟹ 푑푢 = 2푡푑푡 y como 푣 = 푢 + 1 ⟹ 푑푣 = 푑푢

퐼 = − ∫
푑푢
푢
+
1
2
∫
푑푢
1 + 푢
⟹ 퐼 = − ∫
푑푢
푢
+
1
2
∫
푑푣
푣
퐼 = − ln|푢| +
1
2
ln|푣| + 푐
퐼 = − ln|푡푔푥 + 1| + ln|푡푔2 + 1| + 푐
Pág. 112
I
2
x dx
 3 3 2
x x

1   (1 
)
14.

2
x dx
  

3 3 2
1 x (1 x )
I
3 2 2
1    2 . 
3
t dt
2
2 .
3
x
dx
x t t dt x dx

t dt
. 2
2
t dt
2 .
3
2
x
x
  
3 t 
t

2 2 2 3 2




.
(1 )
3
3
( )
2
2
t dt
t t
t t
I

dt
t dt
2
.
  t t
3 1

 t
1
2
3
Z 1tdz  dt
4
4
 z  z t
dz
2
2
I      1
z
3
3
2
3
3
4
I    x C 3 1 1
3
Pág. 113
ퟏퟗ. ∫
풙 − √풙 − ퟐ ퟑ
풙ퟐ − ퟑ√(풙− ퟐ)ퟐ
풅풙 = 푰
퐼 = ∫
(푥 − √푥 − 2 3 )
(푥 − √푥 − 2 3 )(푥 + √푥 − 2 3 )
푑푥
퐼 = ∫
푑푥
푥 + √푥 − 2 3
푥 − 2 = 푡3 → 푑푥 = 3푡2. 푑푡

푥 = 푡3 + 2 → 푡 = √푥 − 2 3
퐼 = ∫
3푡2푑푡
(푡3+ 2) + 3√푡3 = ∫
3푡2푑푡
푡3 + 푡 + 2
푢 = 푡3 + 푡 + 2
푢 = (푡3 + 1)푑푥
퐼 = ∫
(3푡2 + 1 − 1)푑푡
푡3 + 푡 + 2
= ∫
(3푡2 + 1)푑푡
푡3 + 푡 + 2
− ∫
푑푡
푡3 + 푡 + 2
퐼1 = ∫
(3푡2 + 1)푑푡
푡3 + 푡 + 2
= ∫
푑푢
푢
= ln|푢| = ln|푡3 + 푡 + 2|
퐼2 = ∫
푑푡
푡3 + 푡 + 2
= ∫
푑푡
(푡3 + 1) + (푡 + 1)
푡3 + 1 = (푡 + 1)(푡2 − 푡 + 1)
퐼2 = ∫
푑푡
(푡 + 1)(푡2 − 푡 + 1) + (푡 + 1)
= ∫
푑푡
(푡 + 1)(푡2 − 푡 + 2)
1
(푡 + 1)(푡2 − 푡 + 2)
=
퐴
(푡 + 1)
+
퐵푡 + 퐶
푡2 − 푡 + 2
=
퐴(푡2 − 푡 + 2) + (푡 + 1)(퐵푡 + 퐶)
(푡 + 1)(푡2 − 푡 + 2)
1 = 퐴(푡2 − 푡 + 2) + (푡 + 1)(퐵푡 + 퐶)
1 = 퐴푡2 − 퐴푡 + 퐴 + 퐵푡2 + 퐶푡 + 푏푡 + 푐
1 = 푡2(퐴 + 퐵) + 푡(−퐴 + 퐵 + 퐶) + (2퐴 + 푐)
→ 퐴 + 퐵 = 0 … … … … … . . (∗)
→ −퐴 + 퐵 + 퐶 = 0 … … … (∗∗)
→ 2퐴 + 퐶 = 1 … … … … … (∗∗∗)
(∗) + (∗∗∗)
퐴 + 퐵 = 0
2퐴 + 퐶 = 1
3퐴 + 퐵 + 퐶 = 1
… … … … … (1)
(1)푦(∗∗)
3퐴 + 퐵 + 퐶 = 1
−(−퐴 + 퐵 + 퐶) = 0
4퐴 = 1
퐴 =
1
4

∎퐻푎푙푙표 퐵:
퐴 + 퐵 = 0 → 퐵 = −
1
4
∎퐻푎푙푙표 퐶:
2퐴 + 퐶 = 1 → 퐶 = 1 −
1
2
→ 퐶 =
1
2
퐼2 = ∫
푑푡
(푡 + 1)(푡2 − 푡 + 2)
= ∫ [
1
4
(푡 + 1)
+
−
1
4
푡 +
1
2
푡2 − 푡 + 2
] 푑푡
퐼2 = ∫ [
1
4
(푡 + 1)
+
−
1
4
푡
푡2 − 푡 + 2
+
1
2
푡2 − 푡 + 2
]푑푡
퐼2 =
1
4
∫
푑푡
푡 + 1
−
1
4
∫
푡푑푡
푡2 − 푡 + 2
+
1
2
∫
푑푡
푡2 − 푡 + 2
푎 = ∫
푑푡
푡 + 1
= ln|푡 + 1|
푏 = ∫
푡푑푡
푡2 − 푡 + 2
=
1
2
∫
(2푡 − 1 + 1)
푡2 − 푡 + 2
푑푡 =
1
2
∫
(2푡 − 1)
푡⏟2 − 푡 + 2
푏1
+
1
2
∫
푑푡
⏟ 푡 2 − 푡 + 2
푏2
푏1 = ∫
(2푡 − 1)
푡2 − 푡 + 2
푑푡 = ln|푡2 − 푡 + 2| + 푐
푏2 = ∫
푑푡
푡2 − 푡 + 2
= ∫
푑푡
(푡 −
1
2
2 =
2
+ √7
)
4
1
√7
4
푎푟푐 tan
푡 −
(
1
2
√7
4 )
푏2 =
2
√7
푎푟푐 tan (
2푡 − 1
√7
)
푏 =
1
2
ln|푡2 − 푡 + 2| +
1
2
[
2
√7
푎푟푐 tan [
2푡 − 1
√7
]]
푏 =
1
2
ln|푡2 − 푡 + 2| +
1
√7
푎푟푐 tan [
2푡 − 1
√7
]
푐 = ∫
푑푡
푡2 − 푡 + 2
= ∫
푑푡
(푡 −
1
2
2 =
2
+ √7
)
4
1
√7
4
푎푐푡 tan
푡 −
(
1
2
√7
4 )
푐 =
2
√7
푎푟푐 tan (
2푡 − 1
√7
)

→ 퐼2 =
1
4
ln|푡 + 1| −
1
4
[
1
2
ln|푡2 − 푡 + 1| +
1
√7
푎푟푐 tan (
2푡 − 1
√7
)] +
1
2
[
2
√7
2푡 − 1
√7
푎푟푐 tan (
)]
→ 퐼2 =
1
4
ln|푡 + 1| −
1
8
ln|푡2 − 푡 + 2| −
1
4√7
푎푟푐 tan (
2푡 − 1
√7
) +
1
√7
2푡 − 1
√7
푎푟푐 tan (
)

 

ln 2 3 2 t
arc
 
 


  

 
 

1
1
         
2 1
7
tan
1
7
2 1
7
tan
1
4 7
ln 2
8
ln 1
4
t
I t t t t t arc
1
3 2
3 3 2 / 3 1/ 3
 
 
1
1
2 1
1
1
I x x x x x
  

  
3 3
x x



2 2 1
 

c



2 2 1
1
 x
 

 
2 1
 x
 
c
arc









1
1
1
1
1
I x x x x x arc
c
t
arc
t
I t t t t t arc
















           

            
  

 

  

 

         
2 2 1
7
1
arctan
7
2 2 1
7
4 7
ln 2 ( 2) 2
8
ln 2 1
4
ln 2
7
arctan
7
7
4 7
ln 2 ( 2) 2
8
ln 2 1
4
ln 2 2 2
7
7
7
4 7
ln 2
8
ln 1
4
ln 2
3
3
3 3 2 / 3 1/ 3
tan
tan
tan tan
ퟐퟑ. ∫ √
풙
풙 − 풂
풅풙 = 푰
퐼 = ∫
푥
√푥 − 푎√푥
푑푥 = ∫
푥. 푑푥
√푥2 − 푎푥
푢 = 푥2 − 푎푥
푑푢 = (2푥 − 푎)푑푥
퐼 =
1
2
∫
[2푥 − 푎 + 푎]푑푥
√푥2 − 푎푥
=
1
2
∫
(2푥 − 푎)푑푥
√푥2 − 푎푥
⏟
퐼1
+
푎
2
∫
푑푥
√⏟푥 2 − 푎 푥
퐼2
퐼1 = ∫
(2푥 − 푎)푑푥
√푥2 − 푎푥
= ∫
푑푢
√푢
= [2√푢] = 2√푥2 − 푎푥
퐼2 = ∫
푑푥
√푥2 − 푎푥
= ∫
푑푥
√(푥 −
푎
2
푎
2
)2 − (
)2
푢2 = 푥 −
푎
2
푑푢2 = 푑푥

퐼2 = ∫
푑푢
√푢2
푎
2
2 − (
)2
= 퐿푛 |푢2 + √푢2
푎
2
2 − (
)2| = 퐿푛 |푥 −
푎
2
+ √푥2 − 푎푥|
퐼 =
1
2
(2√푥2 − 푎푥) +
푎
2
퐿푛 |푥 −
푎
2
+ √푥2 − 푎푥|
푥
푥 − 푎
∴ ∫ √
푑푥 = √푥2 − 푎푥 +
푎
2
퐿푛 |푥 −
푎
2
+ √푥2 − 푎푥| + 푐
arcSen x
 
dx
x
1 2
2
27.
x arcSen u 2  
dx
x dx
(2 ) .2.
2
 x
 x x
du
1 2 2 1 2
1
2
1/ 2





1 2
1 2

I
1
x
dx
v
x
dx
dv  
 

 
 
 
x
dx
I
1 2
1
du
2
x u du dx dx
       
1 2 2 1 1 1 
 u  x v x
du
1
2 1
1               
I 2 1 2 1 2
u
du
u
2
2
    

   
x dx
arcSen x
1 2
  


x x
dx arcSen x x
x
2 . 1 2
2 . 1 2
1 2
2
dx
2

2
2 . 1 2
I
x
 arcSen x  x  
 
dx
x
I
2
2
2 2 2
2
2 2
du
 x  u du  dxdx 

du
du
1
2 1
      u  u  x
I 2 2
u
u
2
2
2 2
2 2
2
arcSen x
 dx arcSen x x x c
     

x
2 . 1 2 2
1 2
2
Pág. 114
ퟑퟏ. ∫
풔풆풏ퟐ 풙풅풙
풂 + 풃 풄풐풔ퟐ 풙
= 푰
푡 = 푡푔푥 → 푥 = 푎푟푐푡푔(푡)
푑푥 =
−푑푡
푡2
푠푒푛푥 =
푡
√1 + 푡2
; 푐표푠푥 =
1
√1 + 푡2
퐼 = ∫
푠푒푛2푥. 푑푥
푎 + 푏 푐표푠 2푥
퐼 = ∫
푡2
1 + 푡2 (–
푑푡
푡2)
푎 +
푏
1 + 푡2
= − ∫
푡2푑푡
푡2(1 + 푡2)
(1 + 푡2)푎 + 푏
1 + 푡2
= − ∫
푑푡
(1 + 푡2)푎 + 푏
퐼 = − ∫
푑푡
푎푡2 + 푎 + 푏
= − ∫
푑푡
(√푎푡)
2
+ √푎 + 푏
2
푧 = √푎푡 ⟶ 푑푧 = √푎푑푡
⟹ 퐼 = −
1
√푎
∫
√푎푑푡
(√푎푡)
2 = −
2
+ √푎 + 푏
1
√푎
∫
푑푧
2
(푧) 2 + √푎 + 푏
⟹ 퐼 = −
1
√푎
[
1
√푎 + 푏
푎푟푐푡푔 (
푧
)] = −
√푎 + 푏
1
√푎2푏 + 푎푏
푎푟푐푡푔 (
√푎푡
√푎 + 푏
)
⟹ 퐼 = −
1
√푎2푏 + 푎푏
푎푟푐푡푔 (
√푎푡푔푥
√푎 + 푏
) + 푐

Pág. 115

x
4
 

dx I
x
2
39.

x
4
 dx
  
x x
I
2 4

x
x
4
4
 dx
 

  

 
x x x
dx
x x
I
2 8 2 4
(2 )(4 )


4
x
 

8 2
x x
2 I
8 2  2 8 2 2        x x x x     811 2 x       2 2 2 2  x 1  9  9  x 1  3  (x 1)
dx
 
xdx
2 2 2 3 ( 1) 8 2
 

 

 
2
1
4
I I
x x
x
I
dx
I 1 1
 u x du dx
1 1
     
2 2
x
3  ( 
1)

 
1
 



 


3
1
3 3
2
1
2
1
x
arcSen
u
arcSen
u
dx
I
xdx
         
I 8 2 2 2
 u x x du x dx
x x
8 2
 
2
2
2
2
2
 
  
dx
 

(2 
2 )
x dx
 
 
x dx
2  2 
2
 
 
2
 
a b
x x
x x
x x
I
1
2 2 2
2
2 8 2
8 2
2
8 2
1
2
 2 
2
x 
dx
du
      
 2
 
2
2
2
2 2 8 2
8 2
u x x
u
x x
a

 
dx
dx
  


 

 

3
1
8 2 3 ( 1)2 2 2
x
arcSen
x
x x
b
   



1 2
    
3
1
2 8 2
2
2
x
I x x arcSen



 

    
3
1
8 2 2 x
x x arcSen



4 2 x
x x arcSen



 


     
 

 
3
1
8 2
3
1
x
I arcSen


4 2 x
x x arcSen
 


    
 

 
3
1
8 2
3
1
x
I arcSen
 2 8 2
x x c
x

 
arcSen I     

2
1
3
ퟒퟑ. ∫
풆ퟐ풙
ퟑ√ퟏ+ 풆풙 풅풙 = 푰
du
x
x x x
e
1 e  u  e  u 1  e dx  du  dx 
u 
1
e
du
.
e
    
u
       
du
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
u
.du
u
.du I
u
.du I
u
I
e
u
I
x
x
2x
3
    2
3
I   u du   u du  I     3
   
2
3
2
3
5
3
1
3
2
2u 5 (u)
10
u 2u 5 I
3
10
3
u I
2
3
u
5

 2
2(1 e x ) 5  1 e
x  3
3
I    
10
2e 31 e  C
3
I 3
10
2
x x    

Pág. 116
ퟒퟕ. ∫
퐝퐱
퐱ퟒ + 퐚ퟐ 퐱ퟐ + 퐚ퟒ = 퐈
x a x a x ax a x ax a  identidad de Argand 4 2 2 4 2 2 2 2        
1
Cx D
Ax 
B
4 2 2 4 2 2 2 2
x a x a  
x ax a
x ax a


 

 
 Ax  B  x 2  ax  a 2    Cx  D  x 2  ax 
a
2

 x 2  ax  a 2  x 2  ax 
a
2 

Ax aAx a Ax Bx aBx a B Cx aCx a Cx Dx aDx a D 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1          
x A C x  aA B aC D x aB a C aD  a B a D 3 2 2 2 2 1              
 
A C
                                
0 1
   
aA B aC D
                           
0 2
     
aB a C aD B aC D aC D B
              
1
  4
1
0 0 3
2
2
2 2
                       
a
a B a D B D
 aA B  B  aA 2B  02B  aA   (2) y(3)
HALLO C
 
   
3
2
1
1
0
a
C
aC
a
B D aC
 
  
: reemplazo (4) en (3)
HALLO A
A C
 
A C
1
3
0
:
a
 
A
 
reemplazo C en (1)

HALLOB
2
B aA
1
2
3
2
1
2
2
1
2
:
a
B
a
B
a

B 
a

 
reemplazo A en ((2)y(3))
:
1
HALLOD
  
1 1
 
2 2
2 1
3
2
2
2
3
2
2
a
D
a
D
a a
D
a
B D
 


reemplazo B en (4)
1 1
x
x
3 2 2
a
a
a
I a
 2 2














 



 
3 3
2 2
1 3
2
x ax a
x ax a
x
1 1
dx
xdx
dx
 
3 2 2 3 2 2 3 2 2 2
3 2 2      
 

 

 
1 3
2
x ax a
x ax a a
x ax a a
x ax a a
a
I
   
x a a dx
2 1
x a a dx
2 1
1 1
dx
dx




 
 
I 
    
3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2
 
* **
3
2
2
2
I I
x ax a
x ax a a
x ax a a
x ax a
a



 

 
 



 

 
dx
x a
2 2
1
dx
x a dx
*  3  2 2  2 2  2 2  2 2
 
 






 


 

 


 
2
x ax a
a
x ax a
x ax a
a
x ax a
a
I
2 2 2
2 2
2 2
3
2
 

   4 2
3


 
2  

 




    

a a
x
a a
x ax a x
2 2
2 2
3




 2 
2







    


a a
x ax a x

 









a
1 2 2 2 2

* 3 
a






 




 


   



 




 



 


 

   
3
2
2
3
2
ln
3
2
2
1
3
2
ln
2
a
x
arctg
a
a
x ax a
a
x
arctg
a
x ax a a
a
I
퐼 ∗∗=
1
2푎2 [
1
√3
2
푎
푎푟푐푡푔 (
푥 +
푎
2
√3푎
2
)] +
3
2푎3 [
1
√3푎
2
푎푟푐푡푔 (
푥 −
푎
2
√3푎
2
)]
퐼 = 퐼(∗) + 퐼(∗∗)
퐼 =
1
2푎3 푙푛|푥 2 − 푎푥 + 푎2| −
1
√3푎3
푎푟푐푡푔 (
2푥 + 푎
√3푎
)
−
1
2푎3 푙푛|푥 2 − 푎푥 + 푎2 | −
1
√3푎3
푎푟푐푡푔 (
2푥 − 푎
√3푎
)
+
1
√3푎3
푎푟푐푡푔 (
푥 + 푎
√3푎
) +
3
√3푎4
푎푟푐푡푔 (
푥 − 푎
√3푎
) + 푐
51. ∫ √ퟏ − 풄풐풔풙 풅풙 = 푰
1 Cosx dx 2Sen2 
 
1 cos x
2
x
2

1 cos x cos
x
2





   




I    






x
x
x
 dx
   



  



  



2
dx I 2 Sen
2
dx I 2 Sen
2
I 2Sen2
     
du dx du
dx
u
x
2
2 2
I  2 2Senu.du  I  2 2Senu.du  I  2 2cosu




 



  




 




    


 







 
1 cosx
2
I 2 2
1 cosx
2
I 2 2
x
2
I 2 2 cos
I  2 1 cos x  C

ퟓퟓ. ∫
풙풆풂풙풅풙
(ퟏ + 풂풙)ퟐ = 푰
Integracionpor partes
   
ax ax ax ax
u xe du e axe dx e ax dx
      
dx
dx
 
     
xe
ax
2 2


   
  
xe
ax ax
 
a ax
e
ax
dx
a

I
 


1
1
     
u u

      
xe
du
e
ax ax
 
e
a
u ax
e
e
u
2 2
a x a a x
x
e
dx
a
e
e
du
ax




  

       

e
 
c
a ax
I
a ax
a ax
e
a ax
e
a ax a
I
I e
a
a ax
I
a
a
e du
a
du
a
a
a
I
a
I
u ax du adx dx
e ax dx
a ax a ax
I
a ax
v
ax
dv
ax
dv
ax
ax
ax ax ax


 

  

 


  

 


  

 



  


  


 
 




 

 

  

 


  
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
2
3 3 2
2
2
2 1 2 1 2 2
1
1
1
1 1
1
1
1 1

ퟓퟗ. ∫ 퐜퐭퐠퐡−ퟏ (
퐱
퐚
) 퐝퐱 = 퐈
xdx
 

x
x





dv dx v x
   


2
  
xdx
x

 
1 2 2
x 
a


2 2
u x a du xdx
du
xdx

x
x
1
1
2 1
   
x



2 2
2
1
x a c
1
2 2
1
1
2 2
1
    
a
x
a
x
. ( )

ln
2
dx x ctgh
x
a
ctgh
x a c
a
a
I x arcCtgh
u x a
u
x a
I
x a
a
x
a
xarcCtg
a
a
xdx
a
dx xarcCtg
a
I ctgh
a
a
dx
du
a
u arcCtgh
dx
a
I ctgh

I
    





   


   

 
 

 


  




 

 


   



 





 

 
1 1 2 2
1
2 2
2
1
2
1
ln
2
. ( )
ln
2
ln
2
2
2
2
( )
1
( )
1
1
Pág. 118
퐬퐞퐧ퟐ퐱
퐜퐨퐬 ퟏퟒ퐱
ퟕퟏ. ∫ √
퐝퐱 = 퐈
ퟑ

dt
2
dt
t
 
1
2
   
 
 
 
 
t t
dt
dt t t dt t dt t
2 2 3 2
t t
t
I
   



3
3
3
5 / 3 11/ 3 5/ 3 2
I t t t t
   
3
I tg x tg x  c
dt

t
t
t
t
t
t
t
I
t
x
t
t
senx
t
t tgx dx
  
1














  
  

5 11
55
(5 11)
55
11
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
, cos
1
1
3 5 2
2 2 / 3 2 / 3 8/ 3
2
2
3
2 2 6
3 2
2 6
2
3 2
2 7
2
2 2
ퟕퟓ. ∫
퐞퐱 (퐱ퟐ − ퟖ)
(퐱 − ퟐ)ퟐ 퐝퐱 = 퐈
푢 = ex (x2 − 8)
du = (x2 − 8)ex + ex (2x)
du = ex (x2 − 8 + 2x)
du = ex [(x + 1)2 − 32] = ex [(x − 2)(x + 4)]
푑푣 =
푑푥
(푥 − 2)2
푣 = −
1
(푥 − 2)
퐼 =
−ex(x2 − 8)
(푥 − 2)
− ∫ [−
1
푥 − 2
] [ex(푥 − 2)(푥 + 4)]
퐼 =
−ex(x2 − 8)
(푥 − 2)
− ∫ ex(x + 4)
⏟
퐼1
퐼1 = 푢 = (푥 + 4)
푑푢 = 푑푥
푑푣 = 푒푥 푑푥
푣 = 푒푥
퐼 =
−ex(x2 − 8)
(푥 − 2)
+ (푥 + 4)푒푥 − ∫ 푒푥 푑푥

퐼 =
−ex(x2 − 8)
(푥 − 2)
+ (푥 + 4)푒푥 − 푒푥
−(푥2 + 8)
퐼 = 푒푥 (
푥 − 2
+ 푥 + 4 − 1)
−(푥2 + 8)
퐼 = 푒푥 (
푥 − 2
+ 푥 + 3
−푥2 + 8 + 푥2 + 3푥 − 2푥 − 6
퐼 = 푒푥 (
(푥 − 2)
)
퐼 =
ex(x2 + 2)
(푥 − 2)
+ 푐
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ejercicios de integrales indefinidas (Analisis matematico )

More Related Content

Similar to ejercicios de integrales indefinidas (Analisis matematico )

ejercicios de integrales indefinidas (Analisis matematico )