本文档包含國立屏東女中的数学科教师甄选试题，题目涵盖了代数、几何、微积分等多种数学领域，涉及运算、方程组和几何性质等方面的应用。题目要求考生解决具体数学问题，并展示其理论和运算能力。整体难度较高，适合本科或研究生阶段的数学考核。

1. 國立屏東女中 101 學年度第一學期第三次教師甄選數學科試題卷
1. 自 1, 2, 3, 4, 5 等五類數字中，選取 5 個數字相乘，數字准許重複取用其乘積為 10 的倍數
者共有幾種 55
2. 求 C3  C3  C3    C3 
3 5 7 31
19160
3. 設 x  1 ，求 x  22 x 2  32 x 3    n 2 x 2 
2
 
x  x 2  n  1 x n 1  2n 2  2n  1 x n  2  n 2 x n 3
1  x 3
3 116
4. 求  x x  1dx 
0 15
 x y z  abc x bca

5. 設 a, b, c 為三相異實數，解方程組 bx  cy  az  a 2  b 2  c 2 y  c a b
cx  ay  bz  a 2  b 2  c 2 z  abc

6. 若方程式
16x  2  40x  2  12x  2  20x  2  6  a2 x  1  b2 x  1  c2 x  1  d 2 x  1  e
4 3 2 4 3 2
，其中 a, b, c, d, e 為實數，求 a  b  c  d  e  18
7. 在 xy 平面上，設與 A5,12 之距離為 6，與 O0,0 之距離為 7 之直線斜率分別為 m1 ，
n
55
m2 ，…， mn ，則  mi  
i 1 12
8. 若實係數方程式 x 3  3x 2  24 x  a  0 有相異二正根與一負根，求 a 之範圍 0  a  28
B C C A A B
tan tan tan tan tan tan
9. 在 ABC 中，試求 2 2  2 2  2 2 的最大值為 2
A B C
cos cos cos
2 2 2
z1  a
10. 兩複數 z1 , z 2 在複數平面上對應的點分別 P1 ， P2 ，O 為原點且 為純虛數(a 為非零
z1  a
5 2
實數)， 3z1  2 z1 z 2  2 z 2  0 ，試以 a 表示三角形 P OP2 的面積
2 2
1 a
4
5 
11. Arg z  表示一複數 z 的主幅角，若 Arg z 2  3    6
 
， Arg z 2  3  ，求 Arg z   60o 或
3
240o(全對才給分)

2. 12. 在空間中，已知兩球面 S1 ： x 2  y 2  z 2  1 ， S 2 ： x  2   y  5  z  3  9 皆與平面
2 2 2
E 相切且位於 E 的同側，又 P 1,4,0 在平面 E 上，求 E 之平面方程式 x  1  0 或
7 x  4 y  4 z  9 (全對才給分)
1 1 1
13. P 為 ABC 內部一點 且 PAB  PBC  PCA  15，
， 求 2
 2
 2
 8 4 3
s
i
n A s
i
n B s
i
n C
3x 2  ax  1
14. 若不等式 log a  log a 4 對任意實數 x 恆成立，求實數 a 範圍 1  a  2 3
x2  x 1
a b 
15. 設集合 S  0,1,2,3,4，集合 T  { A 為二階方陣 | A    ，其中 a, b, c, d  S 且 A 無乘法
c d 
反矩陣  ，求集合 T 之元素個數 113
16. 設 f x  為一實係數多項式，F x    f t dt，其中 a  R，若 F x  1  F x   6 x 2  4 x  4，
x
a
則 F ' 2   15
17. 設 f x   x  2 x  3x ，則 f ' 3 
17 6
144
18. 一實係數多項式 f x   x 4  ax 3  bx 2  cx  d ，已知 f 1  4 ， f 2  8 ， f 3  12 ，求
f 5  f  1  160
19.
20. 設一皆為正數的等比數列 an  的首項 a1 
1
，前 n 項和為 S n ，且
2
nn  1 1
 
210 S30  210  1 S 20  S10  0 ，求 nS n 的前 n 項和 Tn 
2 2
n
 n1  n  2
2
21. 投擲 4 顆相異的公正骰子，為使至少一次”恰兩顆點數相同”的機率不小於九成，最少應
投擲幾次 3
493
22. 投擲四顆相異的公正骰子一次，求點數和不超過 16 的機率
648
23. 三角形 ABC，若 a  AB  AC ， b  BA  BC ， c  CA  CB ，試證： ab  bc  ca  0 。