该文档为新竹市立成德高中100学年度教师甄试数学科题目卷，包含填充题和演算题，涉及代数、几何和统计等数学知识。填充题共10题，每题6分；演算题共4题，每题10分，共计100分。题目设计旨在测试学生对数学概念和问题解决能力的掌握。

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新竹市立成德高中 100 學年度教師甄試數學科題目卷
※1.請按照順序作答，並標明題號，若答題空間不足，可寫至背面。
2.演算題沒有過程，不給分。
一、填充題：每格6分，共60分。
1.設兩個非零的實數 a 、b 滿足 ab a b  ，則
a b
ab
b a
  之值為 。
2.座標平面上有兩點 A(－1，2)、B(5，6)，P 點在 x 軸上。當
2 2
PA PB 有最小值時，P 點的座標為 。
3.下表是某班成績的次數分配表，已知全班共有38人，且中位數為60分，眾數為50分，則x的值為 。
4.如下圖，若正方形 ABCD之邊長為8公分，一圓O過A、D兩點且與 BC 相切，則此圓之直徑為 公分。
5.如下圖，菱形 ABCD中，兩對角線 AC、BD相交於O，E 為 BC 的中點，已知 24AC  ， 18BD  ，則 BF ＝ 。
6.如下圖，在直角△ABC中， 4AB  ， 3BC  ， 90B  ，若四邊形 ACDE 為正方形，則△ABE的面積為 。
成績(分) 20 30 40 50 60 70 90 100
人數(人) 2 3 5 x 6 y 3 4
A
B C
D
E

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7.如下圖，四邊形 ABCD 為正方形，其頂點 A、D 在 2
2y x 上，頂點 B、C 在 21
2
y x 上，且 AD // x 軸，則 D 點的座
標為 。
8.方程式 101)4(1)4( 22
 xx 的實根 x 為 。
9.若將 n 個連續正整數 1、2、3、…、n 中，刪去一個數後，使得剩下的(n－1)個數的總和為 2007，則刪去的數是 。
10.如下圖，△ABC 中，在各邊外側作三個正方形 ADEB、BFGC、CHIA 而得六邊形 DEFGHI，設 6AB  、 3AC  ，
則此六邊形面積的最大值＝ 。
二、演算題：每題10分，共40分。
1.若 12 與 13 是二次方程式 2
0ax bx c   的兩根，試求 25a b 的值。
2.不論 n 是何正整數， 4 2 2 1
3 5n n 
 恆為正整數 P 的倍數，試求最大的 P 值，並證明你的結論。
3. (1)設正五邊形的一邊長為 a，試求其對角線的長。
(2)在座標平面上，橫、縱座標均為整數的點稱為格子點。試問有沒有頂點都是格子點的正五邊形？有，請舉一例；
沒有，請詳加證明。
4.設一平行四邊形 ABCD 兩對角線的交點為 M。
(1)求證：過 M 的直線將 ABCD 面積兩等分。
(2)若有一直線將 ABCD 面積兩等分，試問此直線是否過 M？是，請證明；不是，請舉一例。