這是一份國立中興高級中學99學年度第一次教師甄選數學科試題卷，包括33道題目，涵蓋數學的不同領域，題型涉及選擇題、填充題和計算題，並提供作答注意事項。每題的分數和作答格式都有詳細說明，考生需按照要求填寫答案以獲得計分。試題的目的是評估考生的數學能力及解題技巧。

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國立中興高級中學 99 學年度第 1 次教師甄選 數學科 試題卷
 作答注意事項說明 
※ 題目卷共 4 頁，共 33 題。第 1~32 題: 每題 3 分，第 33 題: 4 分。
※ 請將答案填寫於答案卷之規定欄位內，否則不予計分。
※ 複選題是指「至少有一個選項是正確的」，必須全對才計分，答錯不倒扣。
※ 填充題的答案若提示為分數，則一律要化成最簡分數回答，否則不予計分。
1. 一道光線通過原點O 後，沿著 y 軸射向直線 : 3 3 0L x y   ，碰到直線 L 後，假設光線依光學原理反射後
通過 x 軸上的點坐標 (a, 0)，求實數 a 值= 。(最簡分數)
2. 若方程組
2 0
1
mx y
x y
  

 
有解，則實數 m 之範圍為__________。
3. 求 2009
3 除以 1000 之餘數為 。
4. 求 n
nn
n 6
32
lim


+



1 6
32
n
n
nn
+

1 5n
n
n
之值=__________。 (最簡分數)
5. 若 2000
( 1)x  除以 4 3 2
( 2 1)x x x x    之餘式為 3 2
ax bx cx d   ，則實數 a b c d   之值= 。(最簡分數)
6. 設 xR， ( ) 2(9 9 ) 4(3 3 ) 15x x x x
f x  
     ，則 f(x)的最小值為 。(最簡分數)
7. 若 A=1+2+22
++273
，則 A 為 n 位正整數，A 的個位數字為 x，A 的最高位數字為 y，
求整數 n x y  之值= 。 (已知: 10 10 10log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 7 0.8451   )
8. 已知三角形的邊長為 5 ， 6 ， 7 ，若此三角形的面積為 k ，求實數k 之值= 。(最簡分數)
9. 設0 x   ，若 2 2
( ) 3sin 4 3sin cos cosf x x x x x   的最大為 M、最小值為 m，
求實數 M m 之值= 。(最簡分數)

2. 第 2 頁，共 5 頁
y y
y y
y
x
Z
Z Z
Z
Z
A B
C
D
E
10. 方程式 6 4 2
1 0x x x    的六個根在高斯平面上圍成六邊形，求此六邊形的面積為 。 Ans： 21
11. 將一個正五邊形 ABCDE 的部份面積分別記為 x, y, z, (如圖)，
已知 x=1，求實數序組 (y，x+5y+5z )＝_______。
12. △ABC 中，點 M 在 AB 上且 AM ： BM =2：3，
點 P 在CM 上且CP ： PM =3：1，
若 AP =x AB +y AC ，求實數 x y 之值= 。(最簡分數)
13. 設平面 x＋y＋z＝1 與球面 x2
＋y2
＋z2
＝4 相交部分為圓 S。已知平面 2x＋2y＋z＝1 與圓 S 交於 P，Q 兩點，
則 PQ 之長為 。
14. 若三平面 1 : 2 3 4 0E x y z    ， 2 :2 3 4 0E x y z a    ， 3 :3 4 0E x y bz   相交集於一直線，
則實數 a b 之值= 。(最簡分數)
15. 點 P(4,3,1)，點 Q 為圓
2 2 2
( 1) ( 5) 13
2 2 3
x y z
x y z
     

  
上之動點，求線段長 PQ 之最小值為_______。(最簡分數)
16. 設 1 2,F F 為坐標平面上橢圓
2 2
1
25 9
x y
  ： 的兩個焦點，點 P 在橢圓 上。
試問下列哪些選項是正確？_______。(複選填)
(1) 若 P 點在第一象限且 1 2 90F PF  ，則 P 點的坐標為
5 7 9
( , )
4 4
。
(2) 使得 1 2 90F PF  的 P 點有 4 個。
(3) 使得△ 1 2F PF 為直角三角形的 P 點有 4 個。
(4) 若△ 1 2F PF 為直角△, 則△ 1 2F PF 周長＝18。
(5) 若△ 1 2F PF 為直角△, 則△ 1 2F PF 面積＝9。
17. 將 8 件不同的物品全部分給甲、乙、丙三人，若其中一人至少得 1 件，一人至少得 2 件，另一人至少得 3 件，
則分法有 N 種。將相同的蘋果 4 個及相同的梨子 6 個，全部分給丁、戊、己三人，若每人至少得 1 個(不論
是蘋果或梨子)，則分法有 M 種。求 N+M 之值=_______。
18. 遞迴數列＜an＞，已知 a1＝3，且 5an+1＝3an＋2, (n 2, nN)，則 an 之一般式為________。(以 n 表示)

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19. 將 4 個球全部投入 3 個不同的袋子中，每次投一球，連續投 4 次，則空袋子個數的期望值_______(最簡分數)。
20. 三個 8cm×8cm 的正方形都被連接兩條鄰邊中點的直線分成 A、B 兩片(如圖一)，並將這六片粘在另一個
正六邊形的邊上(接縫部分不計)(如圖二)，然後折成一個多面體。求此多面體的體積為_______cm3
。
圖二圖一
B
B B
B
A
A A
A
21. 若坐標平面上有一橢圓與 x 軸相切，且其焦點為 1F (2，1)與 2F (6，2)，則此橢圓的短軸長為_______。
22. 已知 , (0, )
2

   ，則 2 2
( 6sin 3tan ) ( 6 cos 3cot )y        的最小值為_______。
23. 某校高一第一次段考數學成績不太理想，多數同學成績偏低；考慮到可能是同學們適應不良所致，數學老師
決定將每人的原始成績取平方根後再乘以 10 作為正式紀錄的成績。今隨機抽選 100 位同學，發現調整後的
成績其算術平均為 61 分，樣本標準差為 20 分；若這 100 位同學未調整前的成績之算術平均介兩個連續正整
數 N 與 N+1 之間，求 N 之值=________。 (註：算術平均數
1
1 n
i
i
X x
n 
  ；樣本標準差 2
1
1
( )
1
n
i
i
S x X
n 
 

 )
24. 想要了解臺灣地區的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查，依性別區分，所得結果如下表﹕
女性公民 男性公民
抽樣調查人數 600 800
贊成此議題的比例 p 0.6 0.81
請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論是正確的？_______。(複選填)
(1) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例。
(2) 在 95%的信心水準之下，全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間約為[ 0 596 0 604 ]. , . 。
(3) 全台灣女性公民贊成此議題的比例介於 59.6%與 60.4%間之機率為 0.95。
(4) 如果不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例為 0.72。
(5) 如果不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例在 95%的信心水準之下，其信賴區間寬度為 0.048。
(註：在 95%信心水準之下之信賴區間為
(1 ) (1 )
2 , 2
p p p p
p p
n n
  
  
  
)

4. 第 4 頁，共 5 頁
25. 已知豬得口啼疫的比率為 0.05，今有一口蹄疫檢驗，對健康的豬能作出正確檢驗的機率為 0.92，對罹患口蹄
疫的豬能作出正確檢驗的機率為 0.80，今有一豬作此檢驗，求此豬檢驗為健康，但其確實罹病的機率為____
(最簡分數)。
26. 將矩陣
1 2 1 1 0 0
1 4 1 0 1 0
2 1 2 0 0 1
 
 
 
  
經列運算化為
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a b c
d e f
g h i
 
 
 
  
，求實數 f 之值=_______。(最簡分數)
27. 設甲箱內有 2 白球，乙箱內有 3 紅球，現在每次各自箱中隨機取一個球交換，若經過長期達穩定狀態後，
求有 2 紅球在甲箱內的機率=_______。(最簡分數)
28. 設 k 為定數，若 k
x
bxax
x



 2
2
1 )1(
2
lim ，求實數 a+b+k 之值=_______。(最簡分數)
29. 設
4
)4)(3)(2)(1(
)(


xxxx
xf ，求導函數 )1(f  =_______。(最簡分數)
30. 01232 23
 kxxx 有二相異負根及一正根，求實數 k 範圍為__________。
31. 求由 2
4y x 與 2
4x y 所圍成之區域繞 x 軸旋轉所得之旋轉體體積為__________。
32. 高三某班有 9 位同學(編號 1,2,…,9)，期末考的物理成績與數學成績之資料如下：
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
物理 x 68 66 62 66 69 62 65 63 64
數學 y 78 74 70 76 82 73 78 78 75
求這 9 位學生的物理成績與數學成績的相關係數為_______。(最簡分數)
33. 承第 32 題，若利用最小平方法，根據這 9 個資料之變數 y 對變數 x 的迴歸直線(即最適合直線)，
則當物理成績為 75 分，預測其數學成績為 分。(四捨五入求到小數點第一位)

5. 第 5 頁，共 5 頁
國立中興高級中學 99 學年度第 1 次教師甄選 數學科答案
※ 第 1~32 題:每題 3 分，第 33 題:4 分。
※ 請將答案填寫於答案卷之規定欄位內，否則不予計分。
※ 複選題是指「至少有一個選項是正確的」，必須全對才計分，答錯不倒扣。
※ 填充題的答案若提示為分數，則一律要化成最簡分數回答，否則不予計分。
1 2 3 4
3
4
m2 或 m－2 683
29
16
(=0+
2
3 +
16
5 )
5 6 7 8
6
( 3 2
2 2 1x x x    )
11
27
(=23+3+1)
13
2
9 10 11 12
2
(=5-3)
21 (
5 7 3 5
,
5 2

)
11
20
(= 3
10
+ 1
4
)
13 14 15 16
2 3
7
(a=2, b=5)
5 (1)(2)(4)
17 18 19 20
5946
(=5628+318)
13
1 2 ( )
5
n
 
16
27
256
21 22 23 24
2 2 24 12 3 41 (2)(4)(5)
25 26 27 28
5
442
1
9

3
10
5
4
(=21+1/4)
29 30 31 32
-3/2 7k0
96
5
 26
35
33
86.4
( y=42/5+36x/25)