109學測數學科試題

大學入學考試中心
109 學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘
題型題數：單選題 7 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題
作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿
使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答
案者，其後果由考生自行承擔。
選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能
不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一
個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。
例：若第 B 題的答案格式是，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記，如：
例：若第 C 題的答案格式是，而答案是
7
50

時，則考生必須分別在答案
卡的第 20 列的與第 21 列的畫記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的數值
3
7
8
20 21
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  
18
19
1 2 84 5 6 73 9 0  
20
21
1 2 3 4 5 6 87 9 0  
1 2 3 4 5 6 7 9 08 
19
18

第 1 頁 109 年學測
共 7 頁數學考科
- 1 -
第壹部分：選擇題（占 6 5 分）
一、單選題（占 3 5 分）
說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記
在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多
於一個選項者，該題以零分計算。
1. 已知兩個直角三角形三邊長分別為 3,4,5、5,12,13， ,  分別為它們的一角，如
下圖所示。試選出正確的選項。
(1) sin sin sin30   
(2) sin sin30 sin   
(3) sin sin sin30   
(4) sin sin30 sin   
(5) sin30 sin sin   
2. 空間中有相異四點 , , ,A B C D ，已知內積

AB ∙

AC ＝

AB ∙

AD。試選出正確的選項。
(1)

AB ∙

CD＝ 0
(2) AC AD
(3)

AB 與

CD平行
(4)

AD∙

BC ＝ 0
(5) , , ,A B C D 四點在同一平面上
3. 如圖所示， O 為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點 P 落在 ODE 內部
（不含邊界）？
(1)

OP＝

OC＋

OE
(2)

OP＝
1
4

OC＋
1
2

OE
(3)

OP＝
1
4


OC＋
1
2

OE
(4)

OP＝
1
4

OC－
1
2

OE
(5)

OP＝
1
4


OC－
1
2

OE
DE
O
F C
A B
13
5
12
β
5
3
4
α

109 年學測第 2 頁
數學考科共 7 頁
- 2 -
4. 令
1 0
0 1
I
 
  
 
，
1 1
3 4
A
 
  
 
， 1
B I A A
   ，試選出代表 BA 的選項。
(1)
1 0
0 1
 
 
 
(2)
6 0
0 6
 
 
 
(3)
4 1
3 1
 
  
(4)
1 1
3 4
 
 
 
(5)
6 6
18 24
 
 
 
5. 試問數線上有多少個整數點與點 101 的距離小於 5，但與點 38 的距離大於 3？
(1) 1 個 (2) 4 個 (3) 6 個
(4) 8 個 (5) 10 個
6. 連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 ,a b 。試問發生  2
log log 1a b 
的機率為多少？
(1)
1
3
(2)
1
2
(3)
2
3
(4)
3
4
(5)
5
6
7. 坐標平面上，函數圖形 3
3y x  上有兩點 ,P Q 到原點距離皆為 1。已知點 P 坐標
為 (cos ,sin )  ，試問點 Q 坐標為何？
(1)  cos( ),sin( )  
(2)  cos ,sin 
(3)  cos( ), sin  
(4)  cos ,sin( )  
(5)  cos , sin 

第 3 頁 109 年學測
- 3 -
二、多選題（占 3 0 分）
說明：第 8 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項
畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項
或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
8. 有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（ A）或
（ B）兩個條件之一，可得到獎金 100 元；若兩個條件都滿足，則共得 200 元
獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。
（ A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數
（ B）三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為 1,3，且所得獎金為 100 元，則未知的骰子點
數可能為何？
(1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 (5) 6
9. 在坐標平面上，有一通過原點 O 的直線 L ，以及一半徑為 2、圓心為原點 O 的
圓 。 ,P Q 為  上相異 2 點，且 ,OP OQ 分別與 L 所夾的銳角皆為 30，試選出內積

OP 

OQ之值可能發生的選項。
(1) 2 3 (2) 2 3 (3) 0 (4) 2 (5) 4
10. 考慮多項式 4 2
( ) 3 11 4f x x x   ，試選出正確的選項。
(1) ( )y f x 的圖形和 y 軸交點的 y 坐標小於 0
(2) ( ) 0f x  有 4 個實根
(3) ( ) 0f x  至少有一個有理根
(4) ( ) 0f x  有一根介於 0 與 1 之間
(5) ( ) 0f x  有一根介於 1 與 2 之間

- 4 -
11. 設 , ,a b c 為實數且滿足 log 1.1a  、 log 2.2b  、 log 3.3c  。試選出正確的選項。
(1) 2a c b 
(2) 1 10a 
(3) 1000 2000c 
(4) 2b a
(5) , ,a b c 成等比數列
12. 下表是 2011 年至 2018 年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，
各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如 2011 年總就
業人口為 1,070.9 萬人， 65 歲以上男性農業就業人口為 69.1 千人。試根據表
格資料選出正確的選項。
就業人口男性農業就業人口按年齡別分
年別
總就業人口
（萬人）
農業就業
人口
（萬人）
男性農業
就業人口
（千人）
39 歲以下
（千人）
40-49 歲
（千人）
50-64 歲
（千人）
65 歲以上
（千人）
2011 年 1,070.9 54.2 386.3 67.6 85.4 164.2 69.1
2012 年 1,086.0 54.4 394.9 67.5 87.0 169.5 70.9
2013 年 1,096.7 54.4 391.5 66.6 83.9 171.3 69.7
2014 年 1,107.9 54.8 391.2 65.8 79.8 173.0 72.6
2015 年 1,119.8 55.5 403.1 71.7 76.9 181.3 73.2
2016 年 1,126.7 55.7 404.5 77.4 77.4 176.4 73.3
2017 年 1,135.2 55.7 405.1 73.9 78.1 178.3 74.8
2018 年 1,143.4 56.1 415.1 72.0 78.8 184.9 79.4
(1) 從 2013 年至 2018 年， 65 歲以上的男性農業就業人口逐年遞增
(2) 從 2013 年至 2018 年， 50 歲至 64 歲之男性農業就業人口逐年遞增
(3) 上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五
(4) 上表中，每一年 50 歲至 64 歲之男性農業就業人口都少於 49 歲以下之男
性農業就業人口
(5) 就 65 歲以上之男性農業就業人口而言，2018 年比 2011 年增加了不到一萬人

第 5 頁 109 年學測
- 5 -
13. 如示意圖，四面體 OABC 中， OAB 和 OAC 均為正三角形， 30BOC  。試選出
正確的選項。
(1) BC OC
(2) OBC 是等腰三角形
(3) OBC 的面積大於 OAB 的面積
(4) 30CAB  
(5) 平面 OAB 和平面 OAC 的夾角（以銳角計）小於 30
第貳部分：選填題（占 3 5 分）
說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14–36）
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 網路賣家以 200 元的成本取得某件模型，並以成本的 5 倍作為售價，差價即為
利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調
降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為 ○14 ○15 ○16 元。
B. 有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白
色的機率各為
1
2
；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為
1
3
，不同色的
機率為
2
3
。今某甲投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為
○17
○18
。（化為最簡分
數）
C. 設 S 為坐標平面上直線 2 10x y  被平行線 2 15 0x y   與 2 0x y  所截的線段
（含端點）。若直線 3x y c  與 S 有交點，則 c 的最小值為 ○19 ○20 。
O
C
B
A

- 6 -
D. 平面上有一箏形 ABCD，其中 2AB BC  ， 2AD CD  ， 135BAD  。
則 AC 
○21 ○22 ○23
○24
。（化為最簡根式）
E. 空間中有三點 (1,7,2)A 、 (2, 6,3)B  、 (0, 4,1)C  。若直線 L 通過 A 點並與直線 BC 相交
且垂直，則 L 和直線 BC 的交點坐標為 ( ○25 ○26 , ○27 ○28 , ○29 ○30 )。
F. 坐標平面上有一條拋物線 ，其上有四個點構成等腰梯形，且等腰梯形的對稱
軸與  的對稱軸重合。已知該等腰梯形的上底為 4、下底為 6、高為 14，則 
的焦距為
○31
○32 ○33
。（化為最簡分數）
G. 設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形
狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧
QRT 是一個以 O 點為圓心、 QT 為直徑的半圓，
2 3QT  。圓弧 QST 的圓心在 P 點， 2PQ PT  。圓
弧 QRT 與圓弧 QST 所圍出的灰色區域 QRTSQ 即為
某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為
a b  ，其中  為圓周率， a 為有理數， b 為整數，
則 a 
○34
○35
（化為最簡分數）， b  ○36 。
Q
OP RS
T

第 7 頁 109 年學測
- 7 -
參考公式及可能用到的數值
1. 首項為 a ，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為
 2 ( 1)
2
n a n d
S
 

首項為 a ，公比為 ( 1)r r  的等比數列前 n 項之和為
 1
1
n
a r
S
r



2. 三角函數的和角公式： sin( ) sin cos cos sinA B A B A B  
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B  
tan tan
tan( )
1 tan tan
A B
A B
A B

 

3. ABC 的正弦定理： 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   （ R 為 ABC 外接圓半徑）
ABC 的餘弦定理： 2 2 2
2 cosc a b ab C  
4. 一維數據 1 2: , , , nX x x x ，算術平均數 1 2
1
1 1
( )
n
X n i
i
x x x x
n n


     
標準差 2 2 2
1 1
1 1
( ) ( )
n n
X i X i X
i i
x x n
n n
  
 
 
    
 
 
5. 二維數據 1 1 2 2( , ):( , ),( , ), ,( , )n nX Y x y x y x y ，相關係數 1
,
( )( )
n
i X i Y
i
X Y
X Y
x y
r
n
 
 

 


迴歸直線（最適合直線）方程式 , ( )Y
Y X Y X
X
y r x

 

  
6. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 , 3.142 
7. 對數值： 10log 2 0.3010 , 10log 3 0.4771 , 10log 5 0.6990 , 10log 7 0.8451
8. 角錐體積 =
1
3
底面積 高

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