109學測數學科試題

1. 大學入學考試中心
109 學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘
題型題數：單選題 7 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題
作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿
使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答
案者，其後果由考生自行承擔。
選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能
不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一
個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。
例：若第 B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記，如：
例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是
7
50

時，則考生必須分別在答案
卡的第 20 列的 與第 21 列的 畫記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的數值
3
7
8
20 21
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  
18
19
1 2 84 5 6 73 9 0  
20
21
1 2 3 4 5 6 87 9 0  
1 2 3 4 5 6 7 9 08 
19
18

2. 第 1 頁 109 年學測
共 7 頁 數 學 考 科
- 1 -
第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 6 5 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占 3 5 分 ）
說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記
在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多
於一個選項者，該題以零分計算。
1. 已 知 兩 個 直 角 三 角 形 三 邊 長 分 別 為 3,4,5、5,12,13， ,  分 別 為 它 們 的 一 角，如
下 圖 所 示 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) sin sin sin30   
(2) sin sin30 sin   
(3) sin sin sin30   
(4) sin sin30 sin   
(5) sin30 sin sin   
2. 空 間 中 有 相 異 四 點 , , ,A B C D ， 已 知 內 積

AB ∙

AC ＝

AB ∙

AD。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1)

AB ∙

CD＝ 0
(2) AC AD
(3)

AB 與

CD平 行
(4)

AD∙

BC ＝ 0
(5) , , ,A B C D 四 點 在 同 一 平 面 上
3. 如 圖 所 示 ， O 為 正 六 邊 形 之 中 心 。 試 問 下 列 哪 個 向 量 的 終 點 P 落 在 ODE 內 部
（ 不 含 邊 界 ） ？
(1)

OP＝

OC＋

OE
(2)

OP＝
1
4

OC＋
1
2

OE
(3)

OP＝
1
4


OC＋
1
2

OE
(4)

OP＝
1
4

OC－
1
2

OE
(5)

OP＝
1
4


OC－
1
2

OE
DE
O
F C
A B
13
5
12
β
5
3
4
α

3. 109 年學測 第 2 頁
數 學 考 科 共 7 頁
- 2 -
4. 令
1 0
0 1
I
 
  
 
，
1 1
3 4
A
 
  
 
， 1
B I A A
   ， 試 選 出 代 表 BA 的 選 項 。
(1)
1 0
0 1
 
 
 
(2)
6 0
0 6
 
 
 
(3)
4 1
3 1
 
  
(4)
1 1
3 4
 
 
 
(5)
6 6
18 24
 
 
 
5. 試 問 數 線 上 有 多 少 個 整 數 點 與 點 101 的 距 離 小 於 5，但 與 點 38 的 距 離 大 於 3？
(1) 1 個 (2) 4 個 (3) 6 個
(4) 8 個 (5) 10 個
6. 連 續 投 擲 一 公 正 骰 子 兩 次 ， 設 出 現 的 點 數 依 序 為 ,a b 。 試 問 發 生  2
log log 1a b 
的 機 率 為 多 少 ？
(1)
1
3
(2)
1
2
(3)
2
3
(4)
3
4
(5)
5
6
7. 坐 標 平 面 上，函 數 圖 形 3
3y x  上 有 兩 點 ,P Q 到 原 點 距 離 皆 為 1。已 知 點 P 坐 標
為 (cos ,sin )  ， 試 問 點 Q 坐 標 為 何 ？
(1)  cos( ),sin( )  
(2)  cos ,sin 
(3)  cos( ), sin  
(4)  cos ,sin( )  
(5)  cos , sin 

4. 第 3 頁 109 年學測
共 7 頁 數 學 考 科
- 3 -
二 、 多 選 題 （ 占 3 0 分 ）
說明：第 8 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項
畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項
或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
8. 有 一 個 遊 戲 的 規 則 如 下 ： 丟 三 顆 公 正 骰 子 ， 若 所 得 的 點 數 恰 滿 足 下 列 （ A） 或
（ B） 兩 個 條 件 之 一 ， 可 得 到 獎 金 100 元 ； 若 兩 個 條 件 都 滿 足 ， 則 共 得 200 元
獎 金 ； 若 兩 個 條 件 都 不 滿 足 ， 則 無 獎 金 。
（ A） 三 個 點 數 皆 為 奇 數 或 者 皆 為 偶 數
（ B） 三 個 點 數 由 小 排 到 大 為 等 差 數 列
若 已 知 有 兩 顆 骰 子 的 點 數 分 別 為 1,3， 且 所 得 獎 金 為 100 元 ， 則 未 知 的 骰 子 點
數 可 能 為 何 ？
(1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 (5) 6
9. 在 坐 標 平 面 上 ， 有 一 通 過 原 點 O 的 直 線 L ， 以 及 一 半 徑 為 2、 圓 心 為 原 點 O 的
圓 。 ,P Q 為  上 相 異 2 點，且 ,OP OQ 分 別 與 L 所 夾 的 銳 角 皆 為 30，試 選 出 內 積

OP 

OQ之 值 可 能 發 生 的 選 項 。
(1) 2 3 (2) 2 3 (3) 0 (4) 2 (5) 4
10. 考 慮 多 項 式 4 2
( ) 3 11 4f x x x   ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) ( )y f x 的 圖 形 和 y 軸 交 點 的 y 坐 標 小 於 0
(2) ( ) 0f x  有 4 個 實 根
(3) ( ) 0f x  至 少 有 一 個 有 理 根
(4) ( ) 0f x  有 一 根 介 於 0 與 1 之 間
(5) ( ) 0f x  有 一 根 介 於 1 與 2 之 間

5. 109 年學測 第 4 頁
數 學 考 科 共 7 頁
- 4 -
11. 設 , ,a b c 為 實 數 且 滿 足 log 1.1a  、 log 2.2b  、 log 3.3c  。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 2a c b 
(2) 1 10a 
(3) 1000 2000c 
(4) 2b a
(5) , ,a b c 成 等 比 數 列
12. 下 表 是 2011 年 至 2018 年 某 國 總 就 業 人 口 與 農 業 就 業 人 口 的 部 分 相 關 數 據 ，
各 年 度 的 人 口 以 人 數 計 ， 有 些 是 以 千 人 計 ， 有 些 以 萬 人 計 ， 例 如 2011 年 總 就
業 人 口 為 1,070.9 萬 人 ， 65 歲 以 上 男 性 農 業 就 業 人 口 為 69.1 千 人 。 試 根 據 表
格 資 料 選 出 正 確 的 選 項 。
就業人口 男性農業就業人口按年齡別分
年別
總就業人口
（萬人）
農業就業
人口
（萬人）
男性農業
就業人口
（千人）
39 歲以下
（千人）
40-49 歲
（千人）
50-64 歲
（千人）
65 歲以上
（千人）
2011 年 1,070.9 54.2 386.3 67.6 85.4 164.2 69.1
2012 年 1,086.0 54.4 394.9 67.5 87.0 169.5 70.9
2013 年 1,096.7 54.4 391.5 66.6 83.9 171.3 69.7
2014 年 1,107.9 54.8 391.2 65.8 79.8 173.0 72.6
2015 年 1,119.8 55.5 403.1 71.7 76.9 181.3 73.2
2016 年 1,126.7 55.7 404.5 77.4 77.4 176.4 73.3
2017 年 1,135.2 55.7 405.1 73.9 78.1 178.3 74.8
2018 年 1,143.4 56.1 415.1 72.0 78.8 184.9 79.4
(1) 從 2013 年 至 2018 年 ， 65 歲 以 上 的 男 性 農 業 就 業 人 口 逐 年 遞 增
(2) 從 2013 年 至 2018 年 ， 50 歲 至 64 歲 之 男 性 農 業 就 業 人 口 逐 年 遞 增
(3) 上 表 中 ， 每 一 年 的 男 性 農 業 就 業 人 口 占 總 就 業 人 口 的 比 率 都 小 於 百 分 之 五
(4) 上 表 中 ， 每 一 年 50 歲 至 64 歲 之 男 性 農 業 就 業 人 口 都 少 於 49 歲 以 下 之 男
性 農 業 就 業 人 口
(5) 就 65 歲 以 上 之 男 性 農 業 就 業 人 口 而 言，2018 年 比 2011 年 增 加 了 不 到 一 萬 人

6. 第 5 頁 109 年學測
共 7 頁 數 學 考 科
- 5 -
13. 如 示 意 圖 ， 四 面 體 OABC 中 ， OAB 和 OAC 均 為 正 三 角 形 ， 30BOC  。 試 選 出
正 確 的 選 項 。
(1) BC OC
(2) OBC 是 等 腰 三 角 形
(3) OBC 的 面 積 大 於 OAB 的 面 積
(4) 30CAB  
(5) 平 面 OAB 和 平 面 OAC 的 夾 角 （ 以 銳 角 計 ） 小 於 30
第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占 3 5 分 ）
說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14–36）
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 網 路 賣 家 以 200 元 的 成 本 取 得 某 件 模 型，並 以 成 本 的 5 倍 作 為 售 價，差 價 即 為
利 潤。但 過 了 一 段 時 間 無 人 問 津，因 此 賣 家 決 定 以 逐 次 減 少 一 半 利 潤 的 方 式 調
降 售 價 。 若 依 此 方 式 進 行 ， 則 調 降 三 次 後 該 模 型 的 售 價 為 ○14 ○15 ○16 元 。
B. 有 一 按 鈕 遊 戲 機，每 投 幣 一 枚，可 按 遊 戲 機 三 次。第 一 次 按 下 會 出 現 黑 色 或 白
色 的 機 率 各 為
1
2
； 第 二 或 第 三 次 按 下，出 現 與 前 一 次 同 色 的 機 率 為
1
3
，不 同 色 的
機 率 為
2
3
。今 某 甲 投 幣 一 枚 後 ，按 三 次 均 出 現 同 色 的 機 率 為
○17
○18
。（ 化 為 最 簡 分
數 ）
C. 設 S 為 坐 標 平 面 上 直 線 2 10x y  被 平 行 線 2 15 0x y   與 2 0x y  所 截 的 線 段
（ 含 端 點 ）。 若 直 線 3x y c  與 S 有 交 點 ， 則 c 的 最 小 值 為 ○19 ○20 。
O
C
B
A

7. 109 年學測 第 6 頁
數 學 考 科 共 7 頁
- 6 -
D. 平 面 上 有 一 箏 形 ABCD， 其 中 2AB BC  ， 2AD CD  ， 135BAD  。
則 AC 
○21 ○22 ○23
○24
。（ 化 為 最 簡 根 式 ）
E. 空 間 中 有 三 點 (1,7,2)A 、 (2, 6,3)B  、 (0, 4,1)C  。若 直 線 L 通 過 A 點 並 與 直 線 BC 相 交
且 垂 直 ， 則 L 和 直 線 BC 的 交 點 坐 標 為 ( ○25 ○26 , ○27 ○28 , ○29 ○30 )。
F. 坐 標 平 面 上 有 一 條 拋 物 線 ， 其 上 有 四 個 點 構 成 等 腰 梯 形 ， 且 等 腰 梯 形 的 對 稱
軸 與  的 對 稱 軸 重 合 。 已 知 該 等 腰 梯 形 的 上 底 為 4、 下 底 為 6、 高 為 14， 則 
的 焦 距 為
○31
○32 ○33
。（ 化 為 最 簡 分 數 ）
G. 設 計 師 為 天 文 館 設 計 以 不 銹 鋼 片 製 成 的 月 亮 形
狀 ， 其 中 有 一 款 設 計 圖 如 右 圖 所 示 ： 圖 中 ， 圓 弧
QRT 是 一 個 以 O 點 為 圓 心 、 QT 為 直 徑 的 半 圓 ，
2 3QT  。圓 弧 QST 的 圓 心 在 P 點， 2PQ PT  。圓
弧 QRT 與 圓 弧 QST 所 圍 出 的 灰 色 區 域 QRTSQ 即 為
某 一 天 所 見 的 月 亮 形 狀 。 設 此 灰 色 區 域 的 面 積 為
a b  ，其 中  為 圓 周 率， a 為 有 理 數， b 為 整 數，
則 a 
○34
○35
（ 化 為 最 簡 分 數 ）， b  ○36 。
Q
OP RS
T

8. 第 7 頁 109 年學測
共 7 頁 數 學 考 科
- 7 -
參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1. 首 項 為 a ， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n 項 之 和 為
 2 ( 1)
2
n a n d
S
 

首 項 為 a ， 公 比 為 ( 1)r r  的 等 比 數 列 前 n 項 之 和 為
 1
1
n
a r
S
r



2. 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ： sin( ) sin cos cos sinA B A B A B  
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B  
tan tan
tan( )
1 tan tan
A B
A B
A B

 

3. ABC 的 正 弦 定 理 ： 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   （ R 為 ABC 外 接 圓 半 徑 ）
ABC 的 餘 弦 定 理 ： 2 2 2
2 cosc a b ab C  
4. 一 維 數 據 1 2: , , , nX x x x ， 算 術 平 均 數 1 2
1
1 1
( )
n
X n i
i
x x x x
n n


     
標 準 差 2 2 2
1 1
1 1
( ) ( )
n n
X i X i X
i i
x x n
n n
  
 
 
    
 
 
5. 二 維 數 據 1 1 2 2( , ):( , ),( , ), ,( , )n nX Y x y x y x y ， 相 關 係 數 1
,
( )( )
n
i X i Y
i
X Y
X Y
x y
r
n
 
 

 


迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式 , ( )Y
Y X Y X
X
y r x

 

  
6. 參 考 數 值 ： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 , 3.142 
7. 對 數 值 ： 10log 2 0.3010 , 10log 3 0.4771 , 10log 5 0.6990 , 10log 7 0.8451
8. 角 錐 體 積 =
1
3
底 面 積 高