1. 臺北市立松山高級工農職業學校 101 學年度第 2 次教師甄選
【數學科】初試試題
作答說明：
1. 請在答案卷上標明題號依序作答。
2. 全卷限用藍色或黑色單一顏色筆作答。
3. 作答時間 90 分鐘。
4. 交卷時請將試題卷與答案卷一併繳交。
一、填充題(不需要寫算式，每題 5 分)
2 1 0 4
1 2 1 0
1. 四階行列式 的值 ？
0 1 2 1
1 1 1 0
2
( 2 )
2. 請利用底下的對數表求 2 的近似值至小數點後第一位(由第二位作四捨五入) ？
log 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
3. 設 f x   54 x3  99 x 2  66 x  20 ，求 f 0.333 之近似值到小數以下第三位 ？
4. 方程式 2 x5  8x4  3x3  13x2  3x  3  0 ，方程式的最大實根為 ？
5. 設 f x  為三次實係數多項式函數，其圖形通過 1,3 、  1,5 兩點。若 f x  的圖形在點 1,3 的切線
斜率為 7，而在點  1,5 的切線斜率為  5 ，求 f 0  ？
-1-

2. a x3 b
6. lim  1，求數對 a, b   ？
x 1 x 1
 x 2  xy  y 2  9

7. x, y, z 為正實數，  y 2  yz  z 2  16 ，求 x  y  z  ？
 z 2  zx  x 2  25

 1  9 1 3 1
8. A  ， A  PDP ，且 P  1 0 ，求 A 
n
(答案以 n 表示， n  N )？
 1  7  
二、問答題(每題 6 分)
以下是本校學生解題時常犯的錯誤，請寫出錯誤之處及正確觀念為何並寫出正確答案(不需要寫算
式)。
x3  x 2  x  1
1. 求 lim ？
x 1 x3  x 2
甲學生的算式：
x3  x 2  x  1 3x 2  2 x  1 6x  2
使用羅必達規則(L’Hôpital’s rule)運算， lim  lim  lim 1
x 1 x x
3 2 x 1 3 x  2 x
2 x 1 6 x  2
2. f x  為三次多項式， f 2009  1， f 2010  3 ， f 2011  2 ， f 2012  7 ，求 f 2014 之值？
乙學生的算式：
利用有限差分法
f 2009 f 2010 f 2011 f 2012 f 2014
1 3 2 7 5
2 5 5 2 ，所以 f 2014  5
7 0 7
7 7
-2-

3. 1 1
3. 設 a, b  0 ，求 (a  )(3b  ) 之最小值為？
b 3a
丙學生的算式為？
1 1
利用算幾不等式 a   2 a
b b
1 1
3b   2 3b 
3a 3a
1 1 a 3b
兩式相乘得 (a  )(3b  )  4   4 ，最小值為 4
b 3a b 3a
4. 從 attention 的字母中任選五個字母的組合數為？
丁學生的算式：
從 9 個字母中任選 5 個，有 C5  126 種。
9
5. 5 種不同顏色塗於下列圖中 顏色可重複使用但圖形不可旋轉且相鄰區域不同色 問塗色方法數？
， ，
B C
A
E D
戊學生的算式：
按照區域 A→B→C→D→E 塗色，方法數 5  4  3  3  2  360 種。
6. 連接圓上 10 個相異點所能形成的所有弦，最多會把圓分成幾塊？
己學生的算式為：
1塊 2塊 4塊 8塊
依照圖形的規律，當圓上有 10 個點時，最多可分成 2  512 塊區域。
9
7. 情況甲：同時投擲兩粒公正的相異骰子得點數和為 6；
情況乙：同時投擲兩粒公正的相同骰子得點數和為 6。
請問你認為下列哪一選項正確？
(A)情況甲發生之機率較大 (B)情況乙發生之機率較大
(C)兩種情形發生機率相等 (D)無法判斷兩者機率大小
庚學生的算式：
5
投兩個相異骰子的所有情形共有 6  6  36 種，所以機率為 。
36
3 1
投兩個相同骰子的所有情形共有 H 2  21 種，所以機率為  。
6
21 7
5 1
∵  ∴答案選(B)
36 7
-3-

4.  3  x  y  6……(1)
8. 求聯立不等式  的圖形區域面積為何？
0  4 x  y  6……(2)
辛同學的算式：
(2)  (1) 得  3  3x  0 ，  1  x  0
4  (1)  (2) 得 12  3 y  18 ， 4  y  6 ，區域面積為 2。
9. 設 y  sin 2 x  4 sin x  4 cos x  1 ，求 y 的最小值為？
壬同學的算式：
令 sin x  cos x  t ，兩邊平方 1  2 sin x cos x  t 2 ， sin 2 x  t 2  1
 
y  t 2  1  4t  1  t  2  4 ，當 t  2 時，y 有最小值  4 。
2
10. 年終為了替孤兒院的孩子募集壓歲錢，百貨公司印製了 100 張彩券義賣，已知彩券中 50%是有獎
品的。今某人購買了 3 張彩券，問恰有 2 張中獎之機率為？
癸同學的算式：
3 1 1 3
彩券中 50%是有獎品的，中獎的機率 C2 ( )2  
2 2 8
臺北市立松山高級工農職業學校 101 學年度第 2 次教師甄選
【數學科】初試試題答案
一、填充題
1. 6 2. 1.8 3.  7.006 5. 1
4. 2 1
6. 4,8
7. 25  12 3 3n  4 4n 1  9n 4
n 1

8.  n 1 
 n 4  3n  4 4 
n 1
-4-