文档包含填空题和计算证明题，涉及几何学、代数和概率等数学内容。每个题目都规定了具体的解答要求和分值。此文档为数学考试或测验练习提供了题目示例。

1. 一．填充題: 每題十分 (請在答案卷標號依序作答，無須過程。)
1. 空間中三射線 , ,OX OY OZ
uuur uuur uuur
互夾為45°。若平面OXY 與平面OYZ 銳夾角α ，
則cos =α ________。
2. 空間坐標系上，則橢圓
2 2
4
0
x y
x y z
⎧ + =
⎨
+ + =⎩
的兩焦點坐標為________。
3. 設 ,n m ∈ N ，將n 個球隨機全部投入m 個不同的袋子裡，則空袋子個數的數
學期望值為________。
4. ABCΔ 中， 2, 3, 4AB BC CA= = = 。設 I 為 ABCΔ 之內心，直線 L 為過內心 I ，
與二邊 ,AB AC 分別交於 ,D E ，則 ADEΔ 最小面積為________。
5. 設 023
=+++ cbxaxx 之所有根均為大於 2 的整數，且 2010−=++ cba ，
則 =a ________。
6. ba, 為實數，若 012 234
=++++ bxxaxx 至少有一實根，則 22
ba + 的
最小值為________。
7. 以四種顏色塗 33× 的方格，規定相鄰不同色，且圖形不旋轉，則共有______
種著色方法。
8. cba ,, 為非零實數， 333555
cbacba ++=++ ， 0=++ cba ，則
=++ 222
cba _______。
第 一 頁 / 共 兩 頁

2. 二、計算證明題: 每題十分 (須詳細過程)
1. 如圖 CDAB = =1，∠BDC=90°，∠ADB=30°，求 BC =?
2. 設函數 f (x)為一可微分函數, P 為 y=f (x)圖形上距離原點 O 最近的一點, 若
y=f (x)之圖形不過原點, 試證明直線OP 為 y=f (x)之圖形上過 P 點之法線。
第 二 頁/ 共 兩 頁
A
D
B
C

3. 一．填充題: 每題十分 (請在答案卷標號依序作答，無須過程。)
1. 2 1−
2.
2 3 2 3 4 3
( , , )
3 3 3
−
，
2 3 2 3 4 3
( , , )
3 3 3
− −
3. 1
( 1)n
n
m
m −
−
4.
8 15
27
5. -58
6. 8
7. 9612
8. 6/5
二、計算證明題: 每題十分 (須詳細過程)
1. 3
2
2. 略