Downloaded 76 times
![Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς
Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 8
το 123 γράφεται 2 1 0
4 5 4 5 3 5 άρα στο πενταδικό σύστημα θα
γράφεται 443
Παρατηρούμε ότι στο πενταδικό σύστημα τελικ ά θα χρησιμοποιούμε
μόνο τα ψηφία 0,1,2,3,4 , ενώ π.χ. στο επταδικό τα ψηφία
0,1,2,3,4,5,6 κ.τ.λ.
Για να είμαστε σε θέση να ξεχωρίζουμε τον αριθμό 443 του
πενταδικού συστήματος αρίθμησης από τον αριθμό 443 του
δεκαδικού συμφωνούμε να γράφουμε 5 10[443] [443] αντίστοιχα.
Στη σύγχρονη ηλεκτρονική εποχή χρησιμοποιούμε το δυαδικό σύστημα
αρίθμησης για τον προγραμματισμό των ηλεκτρονικών υπολογιστών,
αφού «το περνάει» ή «δεν περνάει» ρεύμα από την μηχανή μπορεί να
αντιστοιχηθεί με τα ψηφία 1 και 0.
Οπότε ο αριθμός 123 στο δυαδικό θα γραφεί : 1111011
Αφού έχουμε ότι :
0 1 2 3 4 5 6 7
2 1 , 2 2 , 2 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32 , 2 64 2 128
και 6 5 4 3 2 1 0
123 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2
Εραστή της μαθηματικής περιπέτειας εξερεύνησε τα
διάφορα συστήματα αρίθμησης απαντώντας τα
παρακάτω ερωτήματα :
1. Πως μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 10[2011] στο επταδικό
σύστημα αρίθμησης ;
2. Ποιον αριθμό στο δεκαδικό παριστάνει ο αριθμός 7[2011] ;
3. Υπολογίσετε τα αθροίσματα :
10 10[234] [234] 5 5[234] [234] 7 7[234] [234]
4. Υπολόγισε ποιον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης
παριστάνει το άθροισμα : 3 4 5[222] [222] [222]
5. Υπολόγισε τα γινόμενα : 10 10[123] [4] 5 5[123] [4]](https://image.slidesharecdn.com/07e12bb6-5b78-4679-bbf7-b8c56254218d-161028171350/85/slide-28-320.jpg)
![Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς
Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 0
Λύση
Πως μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 10[2011] στο
επταδικό σύστημα αρίθμησης ;
Ισχύουν :
0 1 2 3 4
7 1 , 7 7 , 7 49 , 7 343 , 7 2401 , ...
Άρα
3 2 0
10[2011] 5 343 6 49 2 5 7 6 7 2 7
Δηλαδή 10 7[2011] [5602]
Ποιον αριθμό στο δεκαδικό παριστάνει ο αριθμός
7[2011] ;
3 1 0
7[2011] 2 7 1 7 1 7 686 7 1 694
Υπολογίσετε τα αθροίσματα :
10 10[234] [234] 10[468]
5 5[234] [234] 5[1023]
7 7[234] [234] 7[501]
Υπολόγισε ποιον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα
αρίθμησης παριστάνει το άθροισμα :
3 4 5
2 1 0 2 1 0 2 1 0
[222] [222] [222]
(2 3 2 3 2 3 ) (2 4 2 4 2 4 ) (2 5 2 5 2 5 )
(18 6 2) (32 8 2) (50 10 2)
26 42 62 130
Υπολόγισε τα γινόμενα :
10 10[123] [4] 10[492] 5 5[123] [4] 5[1102] ;;](https://image.slidesharecdn.com/07e12bb6-5b78-4679-bbf7-b8c56254218d-161028171350/85/slide-30-320.jpg)
![Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς
Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 00
Στα στοιχεία του Ευκλείδη γράφεται :
[Βιβλίον VI] Ὅροι ε΄ [5].
γ΄ [3]. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμ ῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς
ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμ ῆμα,οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον.
Η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σύμφωνα με την παραπάνω
αναλογία, θεωρείται η πιο αρμονική, η πιο καλαίσθητη.
Ο Luca Pacioli (1445-1524) την ονόμασε «ιερά αναλογία».
Ο Johannes Kepler (1571 -1630) την ονόμασε « ιερά τομή».
Ο L. Lorenz (1829 -1891) την ονόμασε «συνεχή τομή».
Η ονομασία «χρυσή τομή» αποδίδεται στον Leonardo Da Vinci (1452 -
1519)
Ας υπολογίσουμε έναν τέτοιο λόγο …
Θεωρούμε τμήμα ΑΓ=1 και έστω ότι το
μεγαλύτερο τμήμα είναι χ και το μικρότερο
1-χ, τότε έχουμε διαδοχικά
2χ 1 χ 1 5
χ χ 1 0 χ
1 χ 2
η τιμή αυτή είναι περίπου
ο δε λόγος
1
χ
0,61803398875… 1,61803398875…
Παρατηρήστε την ομοιότητα ανάμεσα στους δύο αριθμούς ….
Ο δεύτερος αριθμός, δηλαδή ο λόγος ανάμεσα στο ολόκληρο τμήμα
και το μεγαλύτερο κομμάτι έχει επικρατήσει να συμβολίζεται με το
γράμμα φ ( π ρ ο ς τ ι μ ή ν τ ο υ κ υ ρ ι ό τ ε ρ ο υ ε κ π ρ ο σ ώ π ο υ τ η ς α ρ μ ο ν ί α ς σ τ η ν Τ έ χ ν η κ α τ ά
τ η ν α ρ χ α ι ό τ η τ α , τ ο υ Φ ε ι δ ί α ) .
Τα πρώτα 150 ψηφία του άρρητου αριθμού Φ είναι :
1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448
62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752
12663 38622 23536 93179 31800 60766...
Για περισσότερα δεκαδικά ψηφία δες http://goldennumber.net/phi20000.htm](https://image.slidesharecdn.com/07e12bb6-5b78-4679-bbf7-b8c56254218d-161028171350/85/slide-100-320.jpg)
![Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς
Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 71
Τ ο δι π λα νό σ χ ήμ α δ είχ ν ε ι το ν
τ ρ ό πο τ ης α πο δ ει κ τική ς
δ ι α δ ικ α σί α ς πο υ
χ ρ η σι μο πο ιεί τ αι σ τ α Στ ο ι χεί α
τ ο υ Ε υκ λεί δ η . Οι α ριθ μ οί
δ η λώ νο υ ν τη ν α ρ ίθ μησ η τ ω ν
π ρ ο τά σ εω ν α πό τ ο βι βλί ο Ι
τ ω ν Σ το ι χε ίω ν με σ κοπ ό ν α
α π ο δε ι χ θεί τε λι κ ά η 47
η
π ρ ό τα σ η το πε ρ ί φημ ο
π υ θ αγ ό ρε ιο θ εώ ρη μ α.
( Α π ό τ ο « T h e G r e e k C o n c e p t o f p r o o f » σ ε ι ρ ά Μ Α 2 9 0 : T o p i c s i n t h e h i s t o r y o f
M a t h e m a t i c s , τ ο υ α ν ο ι κ τ ο ύ Α γ γ λ ι κ ο ύ Π α ν ε π ι σ τ η μ ί ο υ )
Παρακάτω δίνεται η 17 η
πρόταση από το 3ο
βιβλίο των Στοιχείων του
Ευκλείδη, διαβάστε το στα αρχαία και αποδόστετο στα νέα ελληνικά.
Πρότασις ιζ΄. [17]
Ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν
γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ
δοθεὶς κύκλος ὁ ΒΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α
σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην
εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε
διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ
ΑΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ πρὸς ὀρθὰς
ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ·
λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ
κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΑΒ.
Ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν
ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ· δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν·
καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν πρὸς τῷ Ε· βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ
ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ
γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ. ὀρθὴ δὲ ἡ
ὑπὸ ΕΔΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου· ἡ δὲ
τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ
κύκλου· ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου.
Ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντος κύκλου τοῦ ΒΓΔ
ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι](https://image.slidesharecdn.com/07e12bb6-5b78-4679-bbf7-b8c56254218d-161028171350/85/slide-171-320.jpg)
More Related Content
Μαθηματικές ιστορίες
- 1. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 Μαθηματικές ιστορίες για παιδιά αλλά … και για μεγάλους ! Γ. Λαγουδάκος Μελίσσια 2013 52 άτοκες εβδομαδιαίες δόσεις …
- 2. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2
- 3. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 Κάποια στιγμή , γύρω στα 50, αισθάνεσαι ότι ο χρόνος τρέχει ασταμάτητα. Όταν είσαι μικρός όλα μοιάζουν ατελείωτα, ατελείω τες οι διακοπές, οι φιλίες, το σχολείο… Όταν όμως μεγαλώσεις και αισθάνεσαι ότι δεν μπορείς όπως πρώτα να κάνεις τα πάντα, όταν το σώμα σου σε προδίδει, όταν κάθε μέρα κάτι έχεις, πότε πονοκέφαλο, πότε η μέση, πότε κάποιος από τους δικούς σου σε έχει ανάγκ η και πρέπει να τρέξεις, όταν στη δουλειά σου ζητούν όλο και πιο πολλά …, τότε νιώθεις ότι όλα τρέχουν και εσύ κοιτάς, απλώς κοιτάς… Τότε είναι που θυμάσαι « τις παλιές παρέες, τις παλιές αγάπες, τις χαρές». Τι να κάνουν άραγε ο Μάκης, ο Δημήτρης, ο Νίκος , ο Γιώργος, ο Βασίλης, ο Νίκος, η Βούλα, η Άννα, η Μαργαρίτα, ο Κώστας, ο Μανώλης, ο Αλέξης και τόσοι άλλοι… Πόσοι άνθρωποι τελικά είναι αυτοί που πέρασαν από τη ζωή μου και με επηρέασαν. Αξίζουν λοιπόν να τους θυμηθώ, έστω και όπως το μυαλό μου σήμερα θέλει να τους θυμάται, όμορφους όπως τότε … Συγχρόνως, ως δάσκαλος τα πάντα περιστρέφονται γύρω από τους μαθητές μου, μου αρέσει η δουλειά μου, μου αρέσει να ανακαλύπτω νέους «προβοκατόρικους» τρόπους για τη μετάδοση της γνώσης. Μου αρέσουν τα Μαθηματικά , είτε ως αυστηρά δομημένη επιστήμη αλλά ακόμα και ως σπαζοκεφαλιά ή ως παράδοξο. Έτσι, προς τιμή των φίλων αλλά και των μαθητών μου έφτιαξα 52 ιστορίες, μία για κάθε βδομάδα του χρόνου. Ιστορίες που μερικές από αυτές ανακατεύουν μαθηματικά με γεγονότα της ζωής μου. Με πρωταγωνιστές φίλους και γνωστούς αλλά και γνωστά προβλήματα, άλλα απλά άλλα πιο δύσκολα. Με τον τρόπο αυτό ξετυλίγεται το κουβάρι των αναμνήσεων και των ασκήσεων… Καλή ανάγνωση …
- 4. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4
- 5. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 Α / Α Περιγραφή Τάξη Γνώσεις Βιβλιογραφία Σελίδα 1η Μετρώντας κολώνες. Μαθητές Γυμνασίου Διαιρετότητα Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 11 2η Ο χαμένος Θησαυρός. Μαθητές Λυκείου Ισότητα τριγώνων – ιδιότητες παραλληλογράμμου Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 15 3η Πολλαπλα- σιάζοντας Αιγυπτιακά Μαθητές Γυμνασίου Ιδιότητες δυνάμεων – Πράξεις Wolfram demonstrations 19 4η Ο μικρός Gauss Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις Σχολικά βιβλία 21 5η Τα ραντεβού Μαθητές Λυκείου Η έννοια της πιθανότητας Η μαγεία των παραδόξων Martin Gardner 23 6η Γρίφος με σχήματα Μαθητές Γυμνασίου Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 25 7η Αριθμητικά συστήματα Μαθητές Λυκείου Πράξεις Wolfram demonstratio ns 27 8η Σκέψου έναν αριθμό Μαθητές Γυμνασίου Βασική άλγεβρα Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 33 9η Με κλειστά μάτια Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Έκθεμα από την Εθνική Εστία Επιστημών 35 10η Μαγικό τετράγωνο Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις Περιοδικό του διαγωνισμού Kangaroo 37 11η Παιχνίδι με τράπουλα Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής 41 12η Το 31 Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Έκθεμα από την Εθνική Εστία Επιστημών 43 13η Το σχολείο του μέλλοντος Μαθητές Λυκείου Εις άτοπο απαγωγή Τα αινίγματα της σφίγγας Martin Gardner 45 14η Μετρώντας την πυραμίδα του Χέοπος Μαθητές Γυμνασίου Όμοια τρίγωνα – Πυθαγόρειο θεώρημα Σχολικά βιβλία 51 15η Ο Ερατοσθένης και η μέτρηση της γης Μαθητές Γυμνασίου Γωνίες στον κύκλο Σχολικά βιβλία Τα αστέρια της Βερενίκης Denis guedj 55 16η Μετρήσεις στην αρχαιότητα Μαθητές Γυμνασίου Όμοια τρίγωνα – Θεώρημα Θαλή Σχολικά βιβλία Ιστορία των μετρήσεων Andrew Robinson 59 17η Το φαράγγι της Σαμαριάς Μαθητές Λυκείου Θεώρημα Bolazo – γραφική παράσταση συνάρτησης Σχολικά βιβλία 63 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
- 6. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 18η Όταν η Γεωμετρία συναντά την Άλγεβρα Μαθητές Γυμνασίου Ταυτότητες – Βασικό τυπολόγιο στα εμβαδά επιπέδων σχημάτων Σχολικά βιβλία 65 19η Η αδύνατη μοιρασιά Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις Σχολικά βιβλία Η μαγεία των παραδόξων Martin Gardner 67 20η Παλατινή βιβλιοθήκη Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις – Ικανότητα μετάφρασης από κείμενο αρχαίων Ελληνικών Σχολικά βιβλία – Διαδίκτυο Α ν α φ ο ρ ά σ ε μ α θ η μ α τ ι κ ά ε π ι γ ρ ά μ μ α τ α τ η ς Π α λ α τ ι ν ή ς α ν θ ο λ ο γ ί α ς κ α ι έ ν α π α ρ ά δ ε ι γ μ α α π ό τ η ν π ο ί η σ η τ ο υ Μ Ξ ε ν ά κ η Α.Θ. Τριανταφύλλου σ χ ο λ . σ ύ μ β ο υ λ ο ς 69 21η Υπολογίζω εμβαδά μετρώντας τελίτσες Μαθητές Λυκείου Μαθηματική επαγωγή Διαδίκτυο Κ. Κατσίγιαννης δ ι π λ . Ε ρ γ α σ ί α Σ τ ο μ ά χ ι ο ν κ α ι Θ . P i c K Tom Davis P i c k ’ s t h e o r e m 73 22η Το φλιπεράκι Μαθητές Λυκείου Ταυτότητες – Στοιχεία πιθανοτήτων Εφαρμογή σε flash από το πανεπιστήμιο της Virginia 79 23η Φέρε κάπελα κρασί Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις , Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Διαδίκτυο 81 24η Το παζλ 15 Μαθητές Λυκείου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Τελευταίο θεώρημα του Fermat Simon Singh Διαδίκτυο 83 25η Math jack Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Η μαγεία των παραδόξων Martin Gardner 87 26η Ρώσικος πολλαπλασια σμός Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις – Δυνάμεις Σχολικά βιβλία Wolfram demonstrations 89 27η Μια ιστορία με τον Σωκράτη Μαθητές Γυμνασίου Άρρητοι αριθμοί – Πυθαγόρειο θεώρημα Σχολικά βιβλία Η μ α ι ε υ τ ι κ ή μ έ θ ο δ ο ς τ ο υ Σ ω κ ρ ά τ η κ α ι η ε φ α ρ μ ο γ ή τ η ς σ τ ο ε λ λ η ν ι κ ό σ χ ο λ ε ί ο Κοθάλη κ.λ.π Ευκλείδης Γ 1 9 9 1 τ . 2 8 91 28η Αριθμός Fibonacci Μαθητές Λυκείου Πράξεις Ακολουθίες Σχολικά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλε ίδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 97 29η Ο χρυσός λόγος Μαθητές Λυκείου Εξισώσεις – Βασικές γνώσεις Γεωμετρίας Σχολικά βιβλία – Διαδίκτυο - Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 99 30η Οι αριθμοί στην Αρχαία Ελλάδα Μαθητές Γυμνασίου Ιστορικό σημείωμα Σχολικά βιβλία – Διαδίκτυο - Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 103
- 7. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 31η Π λ α κ ο σ τ ρ ώ σ ε ι ς Μαθητές Λυκείου Γεωμετρία – κανονικά πολύγωνα Σχολικά βιβλία – Διαδίκτυο - Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Ε φ α ρ μ ο γ ή α π ό τ ο λ ο γ ι σ μ ι κ ό Geometer Sketchpad 105 32η Μαθηματικά παράδοξα Μαθητές Λυκείου Πράξεις – ταυτότητες – ιδιότητες πραγματικών αριθμών – Βασικές γνώσεις γεωμετρίας Σχολικά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 109 33η Το σημείο του Ήρωνος Μαθητές Λυκείου Βασικές αρχές φυσικής - Γεωμετρίας Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 111 34η Ιστορίες κρυπτο- γράφησης Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής – Βασικές γνώσεις στατιστικής Κώδικες και μυστικά Simon Singh 115 35η Η ιστορία του αριθμού π Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία – Διαδίκτυο – Διπλωματικές εργασίες των Αρώνη Παρασκευή ( Η ι σ τ ο ρ ί α τ ο υ π )και Βασιλειάδου Ζωή (τ ε τ ρ α γ ω ν ι σ μ ό ς τ ο υ κ ύ κ λ ο υ κ α ι η π ρ ο σ έ γ γ ι σ η τ ο υ π ρ ο β λ ή μ α τ ο ς α π ό τ ο υ ς α ρ χ α ί ο υ ς Έ λ λ η ν ε ς ) 119 36η Τραπεζικά μαθηματικά Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σ ημείωμα Γεωμετρική πρόοδος Σχολικό βιβλίο e η ιστορία ενός αριθμού Eli Maor 131 37η Μ ε τ α φέ ρο ν τ α ς βαρέλια Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Γεωμετρική πρόοδος Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία 135 38η Ο γρίφος του Αϊνστάιν Μαθητές Γυμνασίου Πρόβλημα λογικής Διαδίκτυο 139 39η Άπειρη σκάλα Μαθητές Λυκείου Ακολουθίες – Γεωμετρική πρόοδος Όπερ έδει δείξε ( η ο μ ο ρ φ ι ά τ η ς μ α θ η μ α τ ι κ ή ς α π ό δ ε ι ξ η ς ) Burkard Polster- M.C.Escher ( t h e g r a p h i c w o r k ) 143 40η Ο Cavalieri και ο Αρχιμήδης Μαθητές Λυκείου Βασικές γνώσεις Γεωμετρίας Όπερ έδει δείξε ( η ο μ ο ρ φ ι ά τ η ς μ α θ η μ α τ ι κ ή ς α π ό δ ε ι ξ η ς ) Burkard Polster 147
- 8. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 41η Ιστορία του διαβήτη Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Γνώσεις Γεωμετρίας Διαδίκτυο 100 great problems of elementary Mathematics Heinrich Dorrie 151 42η Το πρόβλημα της Διδούς Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα – Γνώσεις γεωμετρίας – Ταυτότητες – ανισότητες. Διαδίκτυο - Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα V.M.Tikhomirov 153 43η Το πρόβλημα της ελάχιστης διαδρομής Μαθητές Λυκείου Γνώσεις Γεωμετρίας Διαδίκτυο - Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα V.M.Tikhomirov 157 44η Το ντόμινο Μαθητές Λυκείου Μαθηματική επαγωγή Διαδίκτυο - Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Όπερ έδει δείξε ( η ο μ ο ρ φ ι ά τ η ς μ α θ η μ α τ ι κ ή ς α π ό δ ε ι ξ η ς ) Burkard Polster 159 45η Το πρόβλημα των γενεθλίων Μαθητές Λυκείου Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων Διαδίκτυο - Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Λεξικό μαθηματικών Παντελίδη κ.τ.λ. 165 46η Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Γνώσεις Γεωμετρίας Διαδίκτυο - Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Ντένι Γκετζ «Το Θεώρημα του παπαγάλου» Ε κ δ ό σ ε ι ς Π ό λ ι ς ) – Στοιχεία του Ευκλείδη ( π ρ ω τ ό τ υ π ο ) 169 47η Γεμίζοντας με ρύζι μια σκακιέρα Μαθητές Λυκείου Αριθμητικ ή πρόοδος Σχολικά βιβλία 173 48η Fractal Μαθητές Λυκείου Μετρήσεις σχημάτων Ταξίδι στο κόσμο των μαθηματικών Ivars Peterson ε κ δ ό σ ε ι ς F r e e m a n - Γ ι α λ λ ε λ ή ς – Μ α ν ω λ ά κ η ς Περιοδικό Focus Μάιος 2012 Περιοδικό Science Illustrated Σεπ. 2010 175 49η Οι γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Πρόβλημα λογικής – στρατηγικής Διαδίκτυο – άρθρο του Σίμου Γερασιμίδη 183
- 9. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 50η Όταν μεγάλοι τζογαδόροι συνάντησαν ιδιοφυίες Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα – Βασικές γνώσεις θεωρίας πιθανοτήτων Διαδίκτυο – Φροντιστηριακά και σχολικά βιβλία 187 51η Τα μοναδιαία κλάσματα – Τα μαθηματικά των αρχαίων Αιγυπτίων Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις μεταξύ κλασμάτων – Ευκλείδεια διαίρεση Ο άνθρωπος που αγαπούσε τους αριθμούς P.Hoffman εκδ.Λιβάνη Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών μαθηματικών L.Bunt , P.Jones, J.Bedient – μετάφραση Α. Φερεντίνου- Νικολακοπούλου εκδ. Γ.Α.Πνευματικός Η Ιστορία των μαθηματικών R.Mankiewicz εκδ. Αλεξάνδρεια 191 52η Περίεργοι πολλαπλασια σμοί Μαθητές Γυμνασίου Απλές γνώσεις άλγεβρας – αριθμητικής Διαδίκτυο – Φροντιστηριακά και σχολικά βιβλία 197
- 10. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 0
- 11. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 1 Ιστορία 1η Υπάρχουν άνθρωποι που σε βοήθησαν κάποια στιγμή στη ζωή σου, χωρίς να σου ζητήσουν τίποτε για αντάλλαγμα. Το κάνανε απλ ώς γιατί ήταν καλοί άνθρωποι, γιατί έτσι είχαν μάθει …, να κάνουνε το καλό και να το πετάνε στο γιαλό. Ένας τέτοιος σπάνιος άνθρωπος ήταν και ο κ. Πέτρος Γ. δάσκαλος μου στην 5 η και 6η Δημοτικού. Στο Δημοτικό ήμουν ένας πολύ μέτριος μαθητής, με πολλές αδυναμίες στην έκφραση και στην ορθογραφία. Μπέρδευα το μήλο και το μιλώ, το περνώ και το παίρνω. Γνωρίζοντας τις αδυναμίες μου με το φόβο του λάθους αποτύπωνα τις σκέψεις μου με απλές τετριμμένες λέξεις, χρησιμοποιώντας ένα φτωχό λεξιλόγιο που όμως τουλάχιστον ήξερα να το γράφω σωστά και να το χειρίζομαι. Ο κ. Πέτρος μου έκανε ένα δώρο, ένα μικρό ορθογραφικό λεξικό τσέπης και με παρότρυνε να το ανοίγω, να το μελετώ, να το χειρίζομαι και ας κάνω περισσότερο χρόνο για τις εργασίες και τις εκθέσεις που μας έβαζε. Συγχρόνως κατάλαβε ότι στα μαθηματικά ήμουν ικανός. Μπορούσα να λύνω προβλήματα, αρκετά δύσκολα για την ηλικία μου γρήγορα αλλά και με ευφάνταστους τρόπους. Ας είναι καλά … Δεν θα ξεχάσω, όταν κάποιο Σάββατο ( κάναμε σχολείο και το Σάββατο τότε) μας πήγε όλη την 5η στην Ακρόπολη. Μας το είχε πει από την προηγούμενη ώστε να βρούμε από τις εγκυκλοπαίδειες στοιχεία για τα Προπύλαια, το Ερεχθείο και φυσικά τον Παρθενώνα. Όταν φθάσαμε εκεί ψηλά στο βράχο ο κάθε ένας από εμάς διάβαζε ότι πληροφορίες είχε μαζέψει. Η Κατερίνα και η Αγάπη, οι καλές μαθήτριες της τάξης ήταν ασυγκράτητες. Ολόκληρη την εγκυκλοπαίδεια του Ηλίου είχαν κατεβάσει, τόμους από την «διάπλαση των παίδων » είχαν φέρει μαζί τους. Ο ήλιος ολοένα και περισσότερο ανέβαινε στον ουρανό, όταν τότε… ο κ. Πέτρος μας είπε « να σας δω τώρα και σε ένα μαθηματικό πρόβλημα ». Ξεκίνησε λοιπόν να μας εξιστορεί ένα γεγονός που ο μύθος λέει ότι συνέβη εκεί που στεκόμασταν τότε… στα σκαλιά μπροστά στον Παρθενώνα.
- 12. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 2 Μία μέρα του 500 π.χ. ο Θαλής για να τιμ ωρήσει τον δούλο του Θύρση, τον έστειλε σε ένα ναό που είχε 8 κολώνες στην πρόσοψη, με την εντολή να πηγαινοέρχεται, από αριστερά προς τα δεξιά και μετά από δεξιά προς τα αριστερά, μπροστά από τις κολώνες και να τις μετρά μία μία. Όταν έφθανε στον αριθμό 1 000 έπρεπε να του αναφέρει ποια κολώνα ήταν η χιλιοστή. Το μέτρημα θα γινόταν ως εξής : Κολώνες : Αριστερά Δεξιά 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 15- 14 - 13 - 12 - 11 - 10 - 9 Αριστερά Δεξιά Αριστερά Δεξιά 16 – 17 –18 – 19 – 20 – 21 – 22 κ.ο.κ. Ο Θύρσος όμως ήταν καλός στα μαθηματικά και σε ελάχιστο χρόνο βρήκε ποια κολώνα ήταν η χιλιοστή, με αυτό τον ιδιαίτερο τρόπο αρίθμησης. Με το που τελείωσε το πρόβλημα οι περισσότεροι και βεβαίως πρώτες από όλους οι Κατερίνα και η Αγάπη προσπαθούσαν να μιμηθούν τον Θύρση. Με μεγάλα βήματα άρχιζαν να μετρούν όπως μας είχε υποδείξει ο κ. Πέτρος. Εγώ τον κοίταξα, με παρατηρούσε και εκείνος και κατάλαβα πως περίμενε από μένα να σκεφθώ και όχι απλώς να περπατώ … Ποια είναι τελικά η 1000η κολώνα; 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
- 13. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 3 Λύση Ας γράψουμε κάποια βήματα από την προσπάθεια για την αρίθμηση και ας φθάσουμε μέχρι το 20 ο βήμα. Παρατηρούμε ότι μετά το 14 ο βήμα η ακολουθία των μετρήσεων μας επαναλαμβάνεται … Βήματα 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Κολώνα 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η 7η 6η 5η 4η 3η 2η 1η 2η 3η 4η 5η 6η Άρα κάθε 14 βήματα ξεκινάμε πάλι να μετρ άμε από την αρχή δηλαδή από την 1 η κολώνα. Οπότε κάνουμε την διαίρεση 1000:14 και βρίσκουμε πηλίκο 71 και υπόλοιπο 6. Άρα μετά από 1000 βήματα θα βρεθούμε μπροστά από την 6η κολώνα. Υπάρχουν και άλλες ενδιαφέρουσες λύσεις, ασχοληθείτε και ανακαλύψτε τες.
- 14. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 4
- 15. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 5 Ιστορία 2η Θα φεύγαμε Δευτέρα πρωί και θα μέναμε μια βδομάδα. Η πρόσκληση είχε έρθει από την Βάνα προς όλη τη παρέα. Θα πηγαίναμε στο χωριό της το Χρυσοκέφαλο στο Κάτω Νευροκόπι Δράμας. Έτσι πέντε συμφοιτητές η Βάνα, η Μαργαρίτα, ο Νίκος, ο Κώστας και εγώ θα μπορούσαμε σε ένα ήσυχο χωριό απρόσκοπτα, μακριά από τους θορύβους της Θεσσαλονίκης, να ασχοληθούμε με τη Μιγαδική Ανάλυση που δίναμε την επόμενη βδομάδα. Φθάσαμε βράδυ. Το σπίτι ήταν κρύο και προσπαθήσαμε ανάβοντας το τζάκι να ζεστάνουμε λίγο τον χώρο. Από φαγητό τίποτε. Έτσι αποφασίσαμε να πάμε στο μοναδικό μαγαζί που ήταν τέτοια εποχή, μέσα Μαρτίου, ανοικτό στο χωριό. Φθάσαμε στο μπακάλικο -καφενείο του κ. Παύλου. Η ξυλόσομπα έκαιγε στη μέση του μαγαζιού με τις ψάθινες καρέκλες γύρω της. Πιο πέρα μια παρέα από τρεις - τέσσερεις γέρους που παίζανε πρέφα φωνάζοντας. Καλώς τη Βάνα μου το κορίτσι μου…, καλώς τα παιδιά… μας προϋπάντησε η κ. Τασία, θεία της Βάνας. Τι να σας φιλέψουμε; Σχεδόν αμέσως βγήκανε λουκάνικα, αβγά, τηγανιτές πατάτες και τα τσίπουρα. Τότε ήταν που παρατήρησα στη γωνία του μαγαζιού έναν περίεργο γέροντα. Χαρακτηριστικό του, το πελώριο κιτρινωπό μουστάκι. Στο ένα χέρι κρατούσε το κομπολόι και στο άλλο το στριφτό τσιγάρο με το χαρακτηριστικό κοκκινωπό τσιγαρόχαρτο της περιοχής. Τι είναι τούτα; Ρώτησε. Είναι η Βάνα, η ανιψιά μου …, η μαθηματικός …μαζί με τους φίλους της απάντησε η κ. Τασία. Η Βάνα η Μαθηματικός, καλό ακούγεται αυτό , μονολόγησε μέσα από τα δόντια του … Ε λοιπόν εσείς ! θα μπορέσετε να βοηθήσετε, ακούσ τε λοιπόν … Στα χρόνια της κατοχής ένας μαυραγορίτης είχε κρύψει έναν θησαυρό φτιάχνοντας τον παρακάτω χάρτη . Μας έδειξε ένα παλιό κιτρινισμένο χαρτί με ένα σχέδιο σαν το παρακάτω.
- 16. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 6 Όπου στις θέσεις Α,Β,Γ,Δ παρουσιάζονται αιωνόβια κυπαρίσσια κα ι στη θέση Ε μία ελιά. Παρατηρείστε ότι τα τρίγωνα που σχηματίζονται ΓΕΒ και ΔΑΕ είναι ισόπλευρα. Τον θησαυρό τον έθαψε στη θέση Θ που είναι τέτοια ώστε ΕΜ=ΜΘ με Μ το μέσο του τμήματος ΔΓ. Μετά την κατοχή το τέλος του δεν ήταν και ότι το καλύτερο, εξαφανίστηκε από προσώπου γης …. Ο χάρτης κάπου ξέμεινε και μετά από χρόνια έπεσε στα χέρια μου . Ένας αγώνας μεταξύ των επίδοξων κυνηγών θησαυρών ξεκίνησε… Όμως για κακή τους τύχη το τοπίο είχε αλλάξει από εκείνα τα χρόνια, πολλά δένδρα είχαν κοπεί, μόνο τα κυπαρί σσια στις θέσεις Α και Β υπήρχαν ακόμα, αυτά που υπάρχουν κοντά στο Άι Γιώργη δίπλα στο σπίτι σου μικρή μου. Ο θησαυρός φαίνεται ότι για πάντα έχει χαθεί. Τα τσίπουρα βοήθησαν να αλλάξουμε γρήγορα κουβέντα. Η ιστορία ξεχάστηκε. Μετά από καιρό ρώτησα τη Βά να για τον παππού. Τελικά ο περίεργος αυτός γέροντας ήταν γιος του μαυραγορίτη. Ξενιτεύτηκε και γυρνώντας έψαξε και αυτός για τον θησαυρό αλλά δεν βρήκε τίποτε. Έχει όμως αρκετά λεφτά όπως λένε στο χωριό. Κοιταχτήκαμε …, χαμογελάσαμε … Τελικά ο γέροντας μπορούσε να βρει το θησαυρό και απλώς κορόιδευε τους πάντες;
- 17. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 7 Λύση Παρατηρείστε ότι τα τρίγωνα ΘΔΑ, ΑΕΒ και ΘΓΒ είναι ίσα (ΑΔ=ΑΕ=ΘΓ, ΔΘ=ΕΒ=ΓΒ και ΘΔΑ ΑΕΒ ΘΓΒ ) Οπότε το τρίγωνο ΑΘΒ είναι ισόπλευρο ( αφού ΑΘ=ΘΒ=ΑΒ) Επομένως η θέση του θησαυρού θα αναζητηθεί ως η τρίτη κορυφή ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς ΑΒ.
- 18. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 8
- 19. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 9 Ιστορία 3η Πως πολλαπλασιάζουν στην Αίγυπτο ; Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς n=40 και m=21. Σχηματίζουμε δύο στήλες όπως στο διπλανό σχή μα, Στην αρχή γράφουμε τους δύο αριθμούς που θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε. Από κάτω γράφουμε τους αριθμούς 1 και τον δεύτερο αριθμό (τον 21) Μετά διπλασιάζουμε συνεχώς τους αριθμούς αυτούς σχηματίζοντας τις γραμμές 2 – 42 / 4 – 84 / 8 – 168 / 16 – 336 / 32 – 672 / Τη διαδικασία αυτή τη συνεχίζουμε μέχρι ότου στην πρώτη στήλη να έχω αριθμό μικρότερο ή ίσο του n. Στο παράδειγμά μας η τελευταία γραμμή πρέπει να είναι η 32 – 672 αφού οι επόμενοι αριθμοί θα ήταν 64 – 1344 , όπου ο 64 είναι μεγαλύτερος του 40. Ακολούθως σημειώνουμε εκείνους τους αριθμούς της πρώτης στήλης που έχουν άθροισμα ίσο με n=40. ( Η εύρεση των αριθμών αυτών γίνεται ψάχνοντας τους κατάλληλους αριθμούς της 1 η ς στήλης από το τέλος προς την αρχή) στο παράδειγμά μας οι αριθμοί είναι οι 32 και 8 αφού 32+8=40. Το γινόμενο 40 21 είναι ίσο με το άθροισμα των αντίστοιχων αριθμών των 32 και 8 της 2 η ς στήλης δηλαδή, είναι ίσο με 168 672 840 Για εξάσκηση ας πολλαπλασιάσουμε αιγυπτιακά … τους αριθμούς 42 και 23 η απάντηση δίνεται στο διπλανό πίνακα Πως εξηγείτε την όλη διαδικασία ; Γ ι α π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α ε π ι σ κ ε φ τ ε ί τ ε τ η ν ι σ τ ο σ ε λ ί δ α h t t p : / / d e m o n s t r a t i o n s . w o l f r a m . c o m / i n d e x . h t m l - E g y p t i a n m u l t i p l i c a t i o n
- 20. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 0 Λύση Για το 1ο παράδειγμα ισχύει : Παρατηρείστε ότι το γινόμενο 40 21 γράφεται διαδοχικά : 3 5 40 21 (8 32) 21 (2 2 ) 21= 3 5 2 21 2 21 168 672 840 Για το 2ο παράδειγμα ισχύει : 3 5 42 23 (2 2 2 ) 23 3 5 2 23 2 23 2 23 46 184 736 966 Τελικά για να πολλαπλασιάσουμε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς δεν χρειάζεται να μάθουμε ολόκληρη την προπαίδεια … αλλά μόνο την προπαίδεια του 2 !!!
- 21. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 1 Ιστορία 4η «… όταν ήταν πια στα δέκα, έγινε δεκτός στην τάξη της αριθ μητικής. Καθώς ήταν η πρώτη τάξη στην αριθμητική, κανένα από τα αγόρια δεν είχε ακούσει για αριθμητικές προόδους. Ήταν εύκολο λοιπόν για τον δάσκαλο κ. Buttner να τους δώσει ένα πρόβλημα στην πρόσθεση, του οποίου την απάντηση μπορούσε να βρει ο ίδιος μέσ α σε δευτερόλεπτα με τη βοήθεια ενός τύπου. Το πρόβλημα ήταν του είδους να βρεθεί το άθροισμα : 1 2 3 ... 100. … Ήταν συνήθεια του σχολείου, το αγόρι που πρώτο εύρισκε την απάντηση να αφήνει την πλάκα του στο τραπέζι, το δεύτερο θα άφηνε την δική του πάνω στην πλάκα του πρώτου και ούτω καθ’εξής. Ο Buttner μόλις είχε τελειώσει τη διατύπωση του προβλήματος και ο μικρός Gauss άφησε την πλάκα του στο τραπέζι : «Εδώ είναι» είπε … και η πλάκα έγραφε μόνο έναν αριθμό… το σωστό 5050 !!!» Α π ό σ π α σ μ α α π ό τ ο κ λ α σ ι κ ό β ι β λ ί ο τ ο υ Ε . Τ . B e l l « ο ι Μ α θ η μ α τ ι κ ο ί » Ε κ δ ό σ ε ι ς : Π α ν ε π ι σ τ η μ ι α κ έ ς Ε κ δ ό σ ε ι ς Κ ρ ή τ η ς . Μία ιδιοφυΐα μόλις είχε εντοπιστεί … Αποτελεί πάντα πρόκληση σε όλους να απαντήσουν και αυτοί με τη σειρά τους πόσο είναι το άθροισμα ακόμα και αν δεν γνωρίζουν ή δεν θυμούνται τίποτε για τις αριθμητικές προόδους. Ευκαιρία λοιπόν να ξεδιπλώσεις το υπολογιστικό ταλέντο σου αναγνώστη …
- 22. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 2 Λύση ένας τρόπος λύσης, παρουσιάζεται παρακάτω … Γενικεύστε το συμπέρασμά σας υπολογίζον τας το άθροισμα : Σ 1 2 3 ... ν όπου ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός 1,2,3,… Μετά προσπαθήστε να απαντήσετε στο παρακάτω πρόβλημα : « Σε μία επιστημονική ημερίδα βρίσκονται 100 σύνεδροι, αν όλοι χαιρετηθούν μεταξύ τους , πόσες χειραψίες συνολικά θα έχουν γίνει; » Αν υποθέσουμε και ότι όλοι γνωρίζονται μεταξύ τους με τα μικρά τους ονόματα. Πόσα ονόματα θα ακουστούν αν ο καθένας χαιρετήσει με το μικρό όνομα όλους τους υπόλοιπους. Από την απάντηση που θα δώσεις, καταλαβα ίνεις γιατί στις ημερίδες οι σύνεδροι προτιμούν να τρώνε στο μπουφέ παρά να μιλούν !!!
- 23. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 3 Ιστορία 5η Κάθε Κυριακή θέλω να πιω τον καφέ μου και να διαβάσω την εφημερίδα μου σε ένα από τα δύο στέκια που συχνάζουν φίλοι μου. Το ένα είναι στον κήπο στην Κηφ ισιά και το άλλο στο καφενεδάκι στο ρέμα του Χαλανδρίου. Στο πρώτο συχνάζουν φίλοι από τη δουλειά και στο δεύτερο φίλοι από το Γυμνάσιο. Για να φθάσω στο ένα ή στο άλλο στέκι περιμένω το λεωφορείο στη στάση, αφού θέλω την Κυριακή να μη οδηγώ. Τα δύο λεωφο ρεία που περνάνε , το ένα για Κηφισιά και το άλλο για Χαλάνδρι περνούν από τη στάση κάθε 30 λεπτά, παίρνω όποιο έρθει πρώτο και πηγαίνω στον έναν ή στον άλλο προορισμό. Οι αναχωρήσεις των λεωφορείων παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα : Για Κηφισιά 9.00 9.30 10.00 10.30 11.00 11.30 12.00 12.30 … Για Χαλάνδρι 9.01 9.31 10.01 10.31 11.01 11.31 12.01 12.31 … Μια μέρα ενώ βρίσκομαι με τους φίλους του σχολείου, μου λέει σοβαρά ο Δημήτρης , κολλητός από την 2 α δημοτικού. Δεν σου κάνουμε πια Γιώργο …, μια φορ ά στις τριάντα συγκεντρώσεις καταδέχεσαι να έρχεσαι. Έπεσα από τα σύννεφα όταν το συνειδητοποίησα και εγώ. Πως όμως γίνεται αυτό; Αφού αφήνω τη τύχη να αποφασίσει που θα πάω, παίρνοντας το πρώτο λεωφορείο που θα έρθει.
- 24. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 4 Λύση Ας παρακολουθήσουμε τον παρακάτω πίνακα που δείχνει που τελικά πηγαίνω ανάλογα την ώρα που τυχαίνει να έρθει το λεωφορείο. Κηφισιά 9.00 9.02-9.30 9.32-10.00 … Χαλάνδρι 9.01 9.31 10.01 … Θα παρατηρήσουμε ότι 29 στις 30 φορές παίρνω το λεωφορείο για την Κηφισιά.
- 25. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 5 Ιστορία 6η Ένα περίεργο φαινόμενο !!! Παρατηρείστε το παρακάτω σχήμα : Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 13 και 5 cm καλύπτεται από δύο ορθογώνια τρίγωνα, το πρώτο με κάθετες πλευρές 8 και 3 cm και το δεύτερο με κάθετες πλευρές 5 και 2 cm και από δύο άλλα ίσα «εξάπλευρα». Αν όμως αναδιατάξουμε τα σχήματα αυτά μένει ένα τετράγωνο πλευρά 1 cm ακάλυπτο. Πως το εξηγείτε αυτό ;
- 26. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 6 Λύση Κι’ όμως και η παραμικρή απόκλιση κάνει τη διαφορά… Τελικά ότι φαίνεται δεν είναι κιόλας. !!!
- 27. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 7 Ιστορία 7η Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε στην εποχή μας είναι αποτέλεσμα μιας μακρόχρονης εξελικτικής πορείας. Π.χ όταν οι αρχαίοι Έλληνες ήθελαν να γράψουν τον αριθμό 18 έγραφαν : ιη οι Μάγια έγραφαν : οι Βαβυλώνιοι έγραφαν : οι Ρωμαίοι έγραφαν : XVIII Ο σύγχρονος τρόπος γραφής καθιερώθηκε στις αρχές του 16 ο υ αιώνα και βασίστηκε στην χρήση 10 ψηφίων , τ ων 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Έτσι όταν γράφουμε 123 χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1,2 και 3 όμως η σειρά με την οποία γράφονται δείχνει και την «αξία τους» δηλαδή το ψηφίο 3 δείχνει τις μονάδες το ψηφίο 2 τις δεκάδες και το ψηφίο 1 τις εκατοντάδες, οπότε τον αριθμό τον διαβάζουμε εκατό είκοσι τρία. Άρα χρησιμοποιώντας το σύγχρονο τρόπο συμβολισμού ισχύει ότι : 2 1 0 123 1 100 2 10 3 1 10 2 10 3 10 Οπότε κάθε αριθμός εκφράζεται με ένα άθροισμα δυνάμεων του 10, ο τρόπος αυτός γραφής – συμβολισμού των αριθμών λέγεται δεκαδικός τρόπος αρίθμησης. Αν για παράδειγμα χρησιμοποιώντας τα σύμβολα των ψηφίων όπως τα γνωρίζουμε θέλαμε τον κάθε αριθμό να τον γράφουμε ως άθροισμα δυνάμεων του 5 ο τρόπος αυτός συμβολισμού των αριθμών θα λεγόταν πενταδικό σύστημα αρίθμησης. Οπότε πως θα γραφόταν ο αριθμός 123 ; Για να τον γράψουμε στο πενταδικό σύστημα θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι : 0 1 2 3 5 1 , 5 5 , 5 25 , 5 125 ,... οπότε
- 28. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 8 το 123 γράφεται 2 1 0 4 5 4 5 3 5 άρα στο πενταδικό σύστημα θα γράφεται 443 Παρατηρούμε ότι στο πενταδικό σύστημα τελικ ά θα χρησιμοποιούμε μόνο τα ψηφία 0,1,2,3,4 , ενώ π.χ. στο επταδικό τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6 κ.τ.λ. Για να είμαστε σε θέση να ξεχωρίζουμε τον αριθμό 443 του πενταδικού συστήματος αρίθμησης από τον αριθμό 443 του δεκαδικού συμφωνούμε να γράφουμε 5 10[443] [443] αντίστοιχα. Στη σύγχρονη ηλεκτρονική εποχή χρησιμοποιούμε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης για τον προγραμματισμό των ηλεκτρονικών υπολογιστών, αφού «το περνάει» ή «δεν περνάει» ρεύμα από την μηχανή μπορεί να αντιστοιχηθεί με τα ψηφία 1 και 0. Οπότε ο αριθμός 123 στο δυαδικό θα γραφεί : 1111011 Αφού έχουμε ότι : 0 1 2 3 4 5 6 7 2 1 , 2 2 , 2 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32 , 2 64 2 128 και 6 5 4 3 2 1 0 123 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 Εραστή της μαθηματικής περιπέτειας εξερεύνησε τα διάφορα συστήματα αρίθμησης απαντώντας τα παρακάτω ερωτήματα : 1. Πως μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 10[2011] στο επταδικό σύστημα αρίθμησης ; 2. Ποιον αριθμό στο δεκαδικό παριστάνει ο αριθμός 7[2011] ; 3. Υπολογίσετε τα αθροίσματα : 10 10[234] [234] 5 5[234] [234] 7 7[234] [234] 4. Υπολόγισε ποιον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης παριστάνει το άθροισμα : 3 4 5[222] [222] [222] 5. Υπολόγισε τα γινόμενα : 10 10[123] [4] 5 5[123] [4]
- 29. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 9 Επειδή τα πολλά μαθηματικά κουράζουν ας δούμε ένα παιχνίδι για να διασκεδάσουμε. Δείτε προσεκτικά τις παρακάτω κάρτες. Είναι χρωματισμένες κάρτες που στην μια μεριά έχει η κάθε μία ορισμένους αριθμούς και στην άλλη τίποτε μόνο το χρώμα τους. Το παιχνίδι παίζεται ως εξής. Σου ζητώ να διαλέξεις έναν αριθμό από αυτούς που είναι σημειωμένους στις κάρτες και να γνωρίζεις σε ποιες κάρτες υπάρχει ο αριθμός που διάλεξες. Μετά γυρίζω τις κάρτες ανάποδα και σου ζητώ να μου δείξεις σε ποιες κάρτες υπάρχει ο αριθμός που διάλεξες. Μετά Ω!! τι θαύμα σου λέω τον αριθμό!!! Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι διάλεξες τον αριθμό 9. Γυρνάμε τις κάρτες και μου δείχνεις τις κάρτες «μπλε» και «μωβ» . Τότε εγώ είμαι σε θέση να μαντέψω ότι ο αριθμός είναι πράγματι το 9. Πως εξηγείται αυτή η ικανότητα που έχω να μαντεύω τους αριθμούς; Μπορώ να σου πω ότι η λύση βασίζεται στο δυαδικό σύστημα γραφής των αριθμών που αναφέραμε στις προηγούμενες σελίδες. Ακόμη μπορώ να σου πω ότι υπάρχει αντίστοιχο παιχνίδ ι με πέντε κάρτες, που η Πέμπτη κάρτα ξεκινά από τον αριθμό 16 και οι κάρτες περιέχουν αριθμούς από το 1 ως το 31. Αν καταλάβεις τι παίζεται τότε φτιάξε έξη κάρτες που να περιέχουν αριθμούς από το 1 ως το 63. Ένα είναι σίγουρο τότε ολόκληρη η παρέα θα παρ αδεχτεί τις μαντικές ικανότητές σου.
- 30. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 0 Λύση Πως μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 10[2011] στο επταδικό σύστημα αρίθμησης ; Ισχύουν : 0 1 2 3 4 7 1 , 7 7 , 7 49 , 7 343 , 7 2401 , ... Άρα 3 2 0 10[2011] 5 343 6 49 2 5 7 6 7 2 7 Δηλαδή 10 7[2011] [5602] Ποιον αριθμό στο δεκαδικό παριστάνει ο αριθμός 7[2011] ; 3 1 0 7[2011] 2 7 1 7 1 7 686 7 1 694 Υπολογίσετε τα αθροίσματα : 10 10[234] [234] 10[468] 5 5[234] [234] 5[1023] 7 7[234] [234] 7[501] Υπολόγισε ποιον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης παριστάνει το άθροισμα : 3 4 5 2 1 0 2 1 0 2 1 0 [222] [222] [222] (2 3 2 3 2 3 ) (2 4 2 4 2 4 ) (2 5 2 5 2 5 ) (18 6 2) (32 8 2) (50 10 2) 26 42 62 130 Υπολόγισε τα γινόμενα : 10 10[123] [4] 10[492] 5 5[123] [4] 5[1102] ;;
- 31. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 1 Αν παρατηρήσουμε προσεκτικά θα δούμε ότι στις κάρτες γράφονται οι αριθμοί από το 1 ως το 15 με τη βοήθεια του δυαδικού συστήματος γραφής των αριθμών. Η πρώτη κάρτα ξεκινά με το 0 1 2 η δεύτερη με το 1 2 2 , η τρίτη με το 2 4 2 και η τέταρτη με το 3 8 2 . Οι υπόλοιποι αριθμοί γράφονται κατάλληλα στις τέσσερεις κάρτες. Για παράδειγ μα το 3 επειδή γράφεται 1+2 θα γραφεί στις δύο πρώτες κάρτες. Το 5 γράφεται 4+1 άρα θα γραφεί στην 1 η και στην 3 η κάρτα. Ένα άλλο παράδειγμα για να το καταλάβουμε ο αριθμός 11 γράφεται 8+2+1 άρα θα γραφεί στην 1η – 2η και 4η κάρτα. Αν υποθέσουμε ότι έχεις διαλέξει τον αριθμό 13 τότε θα δείξεις τις κάρτες «μπλε» - «πράσινη» - και «μωβ». Εγώ γνωρίζω ότι ο αριθμός θα προκύπτει ως άθροισμα των αριθμών 1 -2-4-8 ανάλογα σε πια από τις «μπλε»- «κίτρινη» - «πράσινη» - «μωβ» αντίστοιχα κάρτα θα δείξεις. Άρα από τις σ υγκεκριμένες κάρτες προκύπτει ο αριθμός : 1+4+8=13.
- 32. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 2
- 33. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 3 Ιστορία 8η Είναι γνωστά τα παιγνίδια στα οποία καλείς ένα φίλο σου να σκεφτεί έναν αριθμό και μετά από διάφορες πράξεις με κάποιους επιλεγμένους αριθμούς, του αποκαλύπτεις τον αριθμό που σκέφτηκ ε. Ουσιαστικά πρόκειται για προβλήματα που ανάγονται σε εξισώσεις που αν τις λύσεις ανακαλύπτεις τον κρυμμένο αριθμό. Ένα τέτοιο πρόβλημα συνήθιζε να παίζει μαζί μας ο πατέρας μου. Μάζευε όλη την «μαρίδα» στο τραπεζάκι κάτω από την ελιά στο εξοχικό στην Νέ α Μάκρη και πραγματικά μας εντυπωσίαζε με την ικανότητα να μαντεύει όχι έναν αλλά δύο άγνωστους αριθμούς!! Σαν σήμερα έρχονται στις σκέψεις μου οι παιδικές φωνές έκπληξης και απορίας… « Σκέψου έναν αριθμό από το 1 ως το 9 μας έλεγε … Διπλασίασε τον και μετά πρόσθεσε 5 Πολλαπλασίασε το αποτέλεσμα επί 5 Μετά πρόσθεσε και άλλον έναν αριθμό από το 1 ως το 9 και πες μου το αποτέλεσμα…» Θυμάμαι το αποτέλεσμα για τους αριθμούς που είχα σκεφτεί … 108 φώναξα με αγωνία – σίγουρος ότι θα τον είχα μπερδέψει και ότι αυτή τη φορά δεν θα μπορούσε να βρει τη σωστή απάντηση. Κι’ όμως … « ο πρώτος αριθμός που σκέφτηκες είναι το 8 και ο δεύτερος το 3» είπε και ήταν τα σωστά… Ακόμη και τώρα μετά από τόσα χρόνια μου φαίνεται μαγικό…, αν και ξέρω ότι απλώς είναι μαθηματικό…
- 34. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 4 Λύση Ας υποθέσουμε ότι ο πρώτος αριθμός είναι ο χ μετά τον διπλασιάζουμε άρα γίνεται 2χ, μετά προσθέτουμε 5 άρα έχουμε 2χ+5 και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα επί 5, οπότε καταλήγουμε 5(2χ+5). Ας υποθέσουμε ότι ο δεύτερος αριθμός είναι ο ψ και ότι ό πως στην ιστορία μας το τελικό αποτέλεσμα είναι το 108, καταλήγουμε λοιπόν στην εξίσωση 5(2χ+5)+ψ=108 Μετά από απλές πράξεις έχουμε 10χ+ψ=83 Όμως το μυστικό βρίσκεται στο γεγονός ότι και οι δύο αριθμοί είναι από το 1 ως το 9 οπότε η έκφραση 10χ+ψ δεν είν αι τίποτε άλλο παρά ο δεκαδικό τρόπος γραφής του 83 δηλαδή 10 χ ψ 10 8 3 Άρα χ=8 και ψ=3 !!!. Τόσο απλό αλλά και τόσο μαγικό !!!
- 35. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 5 Ιστορία 9η Υπάρχει ένα παιχνίδι όπου σε ένα κυκλικό ξύλινο δίσκο τοποθετούμε τέσσερα κεραμικά πλακάκια που το καθένα το έχουμε ζωγραφίσει με κόκκινη μπογιά την μία πλευρά του και με μαύρη την άλλη. Το παιχνίδι παίζεται με δύο παίκτες. Ο ένας έχει δεμένα τα μάτια του και ο άλλος τοποθετεί στον δίσκο όπως θέλει τα τέσσερα πλακάκια. Ο σκοπός του παιγνιδιο ύ είναι ο παίκτης που έχει δεμένα τα μάτια του με όσο το δυνατό λιγότερες κινήσεις να γυρίσει όσα πλακάκια θέλει ώστε όλα τα πλακάκια να έχουν κάποια στιγμή το ίδιο χρώμα. Σε κάθε κίνηση που θα κάνει ρωτά τον συμπαίκτη του αν τα έχει καταφέρει ή όχι κ αι ανάλογα συνεχίζει ή τελειώνει. Το παιχνίδι αυτό μπορεί να γίνει ακόμα πιο ενδιαφέρον αν μετά την κάθε προσπάθεια ο δίσκος γυρνάει όσες φορές θέλουμε δυσκολεύοντας έτσι την όλη προσπάθεια !!! Προσπαθήστε να παίξετε, υπάρχει μήπως μία σίγουρη στρατηγική για την νίκη ;;
- 36. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 6 Λύση Οι δυνατές περιπτώσεις που μπορούν να παρουσιαστούν τα πλακάκια είναι τέσσερεις, οι παρακάτω : 1η . Και τα τέσσερα με το ίδιο χρώμα π.χ. 2η . Διαγώνια με το ίδιο χρώμα π.χ. 3η . Στην ίδια πλευρά με το ίδιο χρώμα π.χ. 4η . Τα τρία με το ίδιο χρώμα π.χ. Ο μέγιστος αριθμός κινήσεων με τις οποίες, ανεξάρτητα αν περιστρέφεται ή όχι ο δίσκος μπορούμε να καταλήξουμε σε τέσσερα πλακάκια με το ίδο χρώμα είναι 7. Ο αλγόριθμος επίλυσης του προβλήματος είναι : 1η κίνηση : δεν αλλάζω τίποτε , μήπως βρίσκομε στην 1 η περίπτωση 2η κίνηση : αλλάζω διαγώνια , οπότε αν βρισκόμαστε στην 2 η περίπτωση λύνουμε το πρόβλημα. 3η κίνηση : αλλάζω οριζόντια , οπότε λύνουμε το πρόβλημα αν είμαστε στην 3α περίπτωση. 4η κίνηση : αλλάζω διαγώνια , μήπως μετά την τρίτη κίνηση βρίσκομαι στην 3 β περίπτωση. Μετά τις τέσσερεις πρώτες κινήσεις αν δεν έχει λυθεί το πρόβλημα αυτά σημαίνει ότι η διάταξη θα είναι σαν την 4 η περίπτωση, οπότε… 5η κίνηση : αλλάζω ένα οποιοδήποτε, μήπως κ αι τύχει και αλλάξω το μοναδικό πλακάκι διαφορετικού χρώματος. 6η κίνηση : αφού το πρόβλημα δεν λύθηκε στην 5 η κίνηση αυτό σημαίνει ότι ο δίσκος τώρα θα έχει την μορφή της 3 η ς περίπτωσης, άρα, αλλάζω οριζόντια οπότε λύνεται αν είμαι στην 3 α περίπτωση και στην περίπτωση όπου δεν έχει λυθεί τότε … 7η κίνηση : αλλάζω διαγώνια και το πρόβλημα λύθηκε !!!
- 37. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 7 Ιστορία 10η Ο τυχερός μου αριθμός είναι το 83, αφού γεννήθηκα στις 8 του Μαρτίου , το σωτήριο έτος … Έτσι έφτιαξα το παρακάτω μαγικό τετράγω νο με το οποίο παίζω το εξής παιχνίδι. 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13 1. Ζητώ από τους συμπαίκτες μου να διαλέξουν έναν αριθμό, όποιον θέλουν από τον παραπάνω πίνακα. 2. Μετά να διαγράψουν όλους τους υπόλοιπους αριθμούς που βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στήλη με τον αριθμό που διάλεξαν. 3. Την διαδικασία αυτή ζητώ να την επαναλάβουν και άλλες τέσσερις φορές. 4. Στο τέλος να κυκλώσουν τους πέντε αριθμούς που έχουν μείνει (χωρίς να έχουν διαγραφεί) και να τους προσθ έσουν. Το άθροισμα τους είναι… μα τι άλλο από το 83 !!! Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι : ο πρώτος αριθμός που επιλέγεται είναι το 21 Διαγράφουμε τους υπόλοιπους αριθμούς που βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στήλη Ο δεύτερος αριθμός ας είναι το 9, διαγράφουμε όμοια τους υπόλοιπους αριθμούς 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13
- 38. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 8 Ο τρίτος αριθμός ας είναι ο 15, διαγράφουμε όμοια τους υπόλοιπους αριθμούς Ο τέταρτος αριθμός ας είναι ο 20, διαγράφουμε όμοια όλους τους υπόλοιπο υς αριθμούς Ο πέμπτος αριθμός δεν μπορεί να είναι άλλος από τον 18 Το άθροισμα των επιλεγμένων αριθμών είναι : 21+9+15+20+18=83 !!! Πώς το εξηγείτε αυτό ; Φτιάξε τα δικά σου μαγικά τετράγωνα με τους δικούς σου τυχερούς αριθμούς !!! 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13
- 39. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 9 Λύση Ο στόχος είναι να φτιάξουμε έναν πίνακα 5Χ5 όπου όποια στοιχεία και αν πάρουμε, τα οποία όμως να μη βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στήλη, να έχουν άθροισμα 83. Ο τρόπος κατασκευής βασίζεται στο να επιλέξουμε αρχικά 10 αριθμούς με άθροισμα 83 ( στο παράδειγμα μας οι αριθμοί που έχουν επιλεγεί είναι οι 12,8,9,11,5,6,7,13,4,8) Τους αριθμούς αυτούς τους τοποθετούμε σε έναν πίνακα διπλής εισόδου όπως στο διπλανό σχήμα Μετά συμπληρώνουμε τον πίνακα προσθέτοντας απλά τα αντίστοιχα στοιχεία κάθε γραμμής και στήλης. Ο μαγικός πίνακας μας είναι έτοιμος προς πάσα χρήση !! 12 8 9 11 5 6 18 14 15 17 11 7 19 15 16 18 12 13 25 21 22 24 18 4 16 12 13 15 9 8 20 16 17 19 13 Κατασκεύασε τους δικούς σου πίνακες και παίξε με τους φίλους σου !!! 12 8 9 11 5 6 7 13 4 8
- 40. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 0
- 41. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 1 Ιστορία 11η Ήταν άνοιξη του 1978, ο ήλιος έλαμπε και διάθεση για σχολείο δεν υπήρχε. Μοιραία η πλατεία Παπαδιαμάντη φιλοξένησε για άλλη μί α φορά την παρέα. Εκτός από εμένα ήταν ο Δημήτρης και ο Νίκος ένας πανέξυπνος άνθρωπος. Πρώτος μαθητής αλλά όχι αυτό που λέμε φυτό απλά μυαλό !! Το καφενείο που συχνάζαμε το είχε ο κ. Παύλος ένας μυστήριος άνθρωπος που όλο με κάτι περίεργες σπαζοκεφαλιές ασχολιόταν. Κάποια στιγμή μας πλησιάζει και μας παρουσιάζει 5 φύλλα 2 κόκκινα και 3 μαύρα. Θα παίξετε ένα παιχνίδι μας είπε με τόνο φωνής τέτοιο που δεν σήκωνε κουβέντα. Θα βάλω να κρατάτε στο μέτωπο σας ένα από αυτά τα φύλλα, έτσι ο καθένας σας να μπορεί να βλέπει τα φύλλα των άλλων αλλά όχι το δικό του. Τα δύο φύλλα που περισσεύουν θα τα κρύψω. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να μαντέψετε το χρώμα του φύλλου σας. Λοιπόν ξεκινάμε … Πρώτος ήμουν εγώ, αλλά δεν μπορούσα να μαντέψω. Μετά ήταν η σειρά του Δημήτρη που και αυτός με τη σειρά του παραιτήθηκε κάθε προσπάθειας. Τέλος ο Νίκος είπε με σιγουριά ότι το χρώμα του δικού του φύλλου ήταν ….. Το σπουδαίο ήταν ότι ούτε που καταδέχτηκε να κοιτάξει τα φύλλα μας, απλώς περίμενε τη σειρά του και μίλησε… Ο κ. Παύλος χαμογέλασε,… μια μέρα θα πας μπροστά εσύ του είπε και έφυγε για να εξυπηρετήσει κάποιους πελάτες. Ακόμα και τώρα σκέφτομαι με τι άνεση και αυτοπεποίθηση μίλησε τότε ο Νίκος, πόσο βέβαιος ήταν!!! Ποιο ήταν το χρώμα του φύλλου του; Πως εξηγείται αυτή η άνεση;
- 42. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 2 Λύση Ο Νίκος απάντησε ότι το δικό του χαρτί είχε χρώμα μαύρο και αυτό γιατί … Όλες οι δυνατές περιπτώσεις είναι 7 και παρουσιάζονται στο παρακάτω πίνακα : Εγώ Δημήτρης Νίκος 1η περίπτωση Μαύρο Κόκκινο Κόκκινο 2η περίπτωση Κόκκινο Μαύρο Κόκκινο 3η περίπτωση Μαύρο Μαύρο Κόκκινο 4η περίπτωση Κόκκινο Κόκκινο Μαύρο 5η περίπτωση Μαύρο Κόκκινο Μαύρο 6η περίπτωση Κόκκινο Μαύρο Μαύρο 7η περίπτωση Μαύρο Μαύρο Μαύρο Από τη στιγμή που δεν μπόρεσα με σιγουριά να απαντήσω ο Νίκος κατάλαβε, όπως και ο Δημήτρης ότι δεν έχουν και οι δύο κόκκινο χαρτί. Το γεγονός ότι ούτε και ο Δημήτρης δεν μπορούσε με σιγουριά να απαντήσει οδήγησε τον Νίκο να απορρίψει την 2 η περίπτωση, γιατί τότε ο Δημήτρης θα απαντούσε. Απόρριψε επίσης και την 3 η περίπτωση γιατί και πάλι ο Δημήτρης θα μπορούσε να απαντήσει αφού και αυτός με την σειρά του είχε ήδη απορρίψει τις δύο πρώτες περιπτώσεις. Τι έμενε λοιπόν, όποια από τις τέσσερις περιπτώσεις και αν ήταν πάντα αυτός θα είχε χρώμα μαύρο, τόσο απλά !!!
- 43. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 3 Ιστορία 12η Υπάρχει ένα παλιό παιχνίδι το «31», δεν έχει καμιά σχέση με αυτό που παίζεται με χαρτιά. Για να είμαστε ακριβείς θα μπορούσε να το λέγαμε «52», «63» ή ότι άλλο νούμερο θέλετε. Ακούστε πως παίζεται… Πρόκειται για παιχνίδι για δύο παίκτες. Ας υποθέσο υμε ότι έχουμε 31 κέρματα, οι παίκτες παίρνουν 1,2 ή 3 κέρματα τη φορά εναλλάξ. Αυτός που θα μείνει με ένα κέρμα χάνει. Ήταν της μόδας κάποτε γιατί το μόνο που χρειάζεται είναι κέφι και αν ακόμα δεν έχεις κέρματα δεν πειράζει χρησιμοποιείς βότσαλα. Για τον φίλο μου τον Νίκο σας έχω μιλήσει, ναι είναι αυτός που τον λέω μυαλό -διάνοια. Όταν το έπαιξα κάποτε σαν μαθητής μαζί του και τον νίκησα αισθάνθηκα ότι επιτέλους σε κάτι είμαι καλύτερός του. Όταν … μετά το δεύτερο παιχνίδι μου είπε: « το παιχνίδι είναι χαζό, πάντα υπάρχει τρόπος να κερδίζεις…, ακόμα και αν τα κέρματα είναι 1000» Πράγματι υπάρχει μία σίγουρη στρατηγική νίκης για αυτό το παιχνίδι μπορείς να τη βρεις;
- 44. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 4 Λύση Ας ξεκινήσουμε ανάποδα. Για να μείνει ένας παίκτης με 1 κέρμα πρέπει π ροηγουμένως στην «μάνα» να υπάρχουν 4 ή 3 ή 2 κέρματα. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν πριν παίξει ο δεύτερος παίκτης στην μάνα υπάρχουν 5 το πολύ κέρματα. Δηλαδή με 5 κέρματα στη μάνα και παίζοντας ο άλλος μπορώ να κερδίσω. Έτσι το πρόβλημα μπορεί να αλλάξε ι και νικητής να θεωρείται αυτός που αφήνει στον άλλο παίκτη 5 κέρματα. Η προηγούμενη κατάσταση οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τότε προηγουμένως στη μάνα υπάρχουν το πολύ 6 -7-8 κέρματα. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν πριν παίξει ο δεύτερος παίκτης στην μάνα υπάρχου ν 9 το πολύ κέρματα. Έτσι το παιχνίδι αλλάζει και νικητής είναι εκείνος π ου αφήνει στον αντίπαλο 9 κέρματα. Ακολουθώντας την ίδια λογική μπορούμε να καταλήξουμε ότι νικητής είναι εκείνος που αφήνει στη μάνα 5 -9-13-17-21-25-29 κ.τ.λ κέρματα δηλαδή αριθμό ς κερμάτων της μορφής 4ν 1. Αυτή είναι μία σίγουρη στρατηγική νίκης για το παιχνίδι αυτό!! Ας παίξουμε μία παρτίδα για να επιβεβαιώσουμε τη στρατηγική μας Α’ παίκτης -2 -1 -2 -2 -2 -1 -1 -2 Μάνα 31 29 26 25 23 21 19 17 15 13 10 9 6 5 3 1 Β’ Παίκτης -3 -2 -2 -2 -3 -3 -2 Παρατηρείστε πως ο 1 ο ς παίκτης προσπαθεί να αφ ήνει στη μάνα αριθμό από κέρματα της μορφής 4ν 1 , δηλαδή 29,25,21,17,13,9,5. Ποια θα ήταν η στρατηγική αν μπορούσαμε να παίρνουμ ε μέχρι 5 κέρματα, ξεκινώντας από οποιοδήποτε αρχικό αριθμό κερμάτων.
- 45. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 5 Ιστορία 13η Το να μιλάς για το σχολείο του μέλλοντος είναι ριψοκίνδυνο αφού ότι και αν πεις σε λίγο θα γίνει παρόν και πολύ γρήγορα παρελθόν. Μάλλον σκιαγραφείς έναν χώρο που θα έχει ότι καλύτερο σαν χαρακτηριστικά. Να είναι δημιουργικό, να είναι χαρούμενο, να είναι χρήσιμο, να είναι αποτελεσματικό. Έτσι η γνώση δεν θα αναπαράγεται απλά, αλλά θα παράγεται και θα ανακαλύπτεται. Οι σχέσεις ανάμεσα στους μαθητές αλλά και ανάμεσα σε μαθητές και καθηγητές θα είναι τέτοιες ώστε να προάγεται η κριτική σκέψη και η διάθεση για έρευνα. Έτσι στο σχολείο του μέλλοντος, κάθε καθηγητής έχει και την αίθουσά του. Οπότε στις πόρτες των αιθουσών υπάρχουν πινακίδες που πληροφορούν αν στην αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά , Φυσική , Φιλολογικά κ.τ.λ. Ο Λυκειάρχης όμως στην προσπάθεια του να αναπτύξει την κρίση των μαθητών του αποφάσισε οι πινακίδες να είναι κάπως ιδιαίτερες ….. Έτσι τη Δευτέρα μπροστά σε δύο αίθουσες ,όπου μπορούσαν να είναι και οι δύο Μαθηματικών ή και οι δύο Φιλολόγων ή η μία Μαθηματικού και η άλλη Φιλολόγου, τοποθέτησε τις πινακίδες: Αν η μία από τις δύο πινακίδες γράφει την αλήθεια και η άλλη ψέματα, τι μάθημα διδάσκεται σε κάθε αίθουσα ; Την Τρίτη ,οι πινακίδες έγραφαν: Αν γνωρίζουμε ότι και οι δύο πινακίδες λένε αλήθεια ή και οι δύο ψέματα, καθώς επίσης ότι μπορεί και στις δύο αίθουσες να διδάσκονται Μαθηματικά ή και στις δύο Φιλολογικά ή στη μία Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά, τι μάθημα διδάσκεται στη καθεμία αίθουσα ; Ι Σ τ η ν α ί θ ο υ σ α α υ τ ή δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά κ α ι σ τ η δ ι π λ α ν ή Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά ΙΙ Σ ε μ ί α α π ό α υ τ έ ς τ ι ς δ ύ ο α ί θ ο υ σ ε ς δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά κ α ι σ τ η ν ά λ λ η Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά Ι Σ ε μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν α π ό α υ τ έ ς τ ι ς δ ύ ο α ί θ ο υ σ ε ς δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά ΙΙ Σ τ η ν ά λ λ η α ί θ ο υ σ α δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά
- 46. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 6 Την Τετάρτη, οι μαθητές βρέθηκαν σε μία έκπληξη υπήρχαν σε τρεις αίθουσες πινακίδες: Αν σε μία από τις αίθουσες διδάσκονται Μαθηματικά και στις άλλες δύο Φιλολογικά και το πολύ μία από τις τρεις πινακίδες λέει την αλήθεια, τι μάθημα διδάσκεται σε κάθε μία αίθουσα ; Την Πέμπτη ,ο Λυκειάρχης δεν πρόλαβε να τοποθετήσει στις δύο αίθουσες τις πινακίδες, αλλά απλά τις έδειξε στους μαθητές: Είναι γνωστό ότι : Αν στην αίθουσα Ι διδάσκονται Μαθηματικά τότε η πινακίδα λέει την αλήθεια, αλλά, αν διδάσκονται Φιλολογικά ,τότε η πινακίδα λέει ψέματα. Για την αίθουσα ΙΙ ισχύει το αντίθετο ,δηλαδή, αν διδάσκονται Μαθηματικά, τότε η πινακίδα λέει ψέματα, ενώ ,αν διδάσκονται Φιλολογικά ,τότε λέει την αλήθεια. Τι μάθημα διδάσκεται στην κάθε αίθουσα, αν γνωρίζουμε ότ ι μπορεί και στις δύο αίθουσες να διδάσκονται Μαθηματικά ή και στις δύο Φιλολογικά ή στη μία Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά ; Το μεγαλείο τελικά των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών είναι ότι ξεκινώντας με ένα «έστω …» κατέληγαν σε ένα «ώστε…» δύο λεξούλες που η μία προκύπτει από την άλλη με έναν απλό αναγραμματισμό !!!. Εργαζόμενος με τον ίδιο τρόπο αναγνώστη προσπάθησε να απαντήσεις στα ερωτήματα που θέτει το παραπάνω κείμενο. Αν αναρωτιέστε τι έγινε την Παρασκευή η απάντηση είναι ότι δεν υπήρχαν σε καμιά αίθουσα πινακίδες ,γιατί απλά οι μαθητές πήγαν εκδρομή !! Ι Σε αυτήν την αίθουσα διδάσκονται Φιλολογικά ΙΙ Σε αυτή την αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά ΙΙΙ Στην αίθουσα ΙΙ διδάσκονται Φιλολογικά Στην αίθουσα αυτή διδάσκονται Φιλολογικά Και στις δύο αίθουσες διδάσκονται Φιλολογικά
- 47. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 7 Λύση Τη Δευτέρα υπήρχαν οι πινακίδες : Αν η μία από τις δύο πινακίδες γράφει την αλήθεια και η άλλη ψέματα , τι μάθημα διδάσκεται σε κάθε αίθουσα ; Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας ψεύδους για τις περιπτώσεις της άσκησης. 1η Πινακίδα 2η Πινακίδα Αλήθεια Στην Ι μαθηματικά και στην ΙΙ Φιλολογικά Σε μία αίθουσα Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά Ψέμα Στην Ι Φιλολογικά και στην ΙΙ Μαθηματικά Και στις δύο αίθουσες ή μαθηματικά ή Φιλολογικά Επειδή η μία πινακίδα λέει την αλήθεια και η άλλη ψέμα η περίπτωση 1η Πινακίδα – Αλήθεια , 2η Πινακίδα – Ψέμα οδηγεί σε άτοπο Άρα στην 1η αίθουσα διδάσκονται Φιλολογικά και στην 2η Μαθηματικά. Ι Σ τ η ν α ί θ ο υ σ α α υ τ ή δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά κ α ι σ τ η δ ι π λ α ν ή Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά ΙΙ Σ ε μ ί α α π ό α υ τ έ ς τ ι ς δ ύ ο α ί θ ο υ σ ε ς δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά κ α ι σ τ η ν ά λ λ η Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά
- 48. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 8 Τη Τρίτη υπήρχαν οι πινακίδες : Αν γνωρίζουμε ότι και οι δύο πινακίδες λένε αλήθεια ή και οι δύο ψέματα, καθώς επίσης ότι μπορεί και στις δύο αίθουσες να διδάσκονται Μαθηματικά ή και στις δύο Φιλολογικά ή στη μία Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά, τι μάθημα διδάσκεται στη καθεμία αίθουσα ; Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας ψεύδους για τις περιπτώσεις της άσκησης. 1η Πινακίδα 2η Πινακίδα Αλήθεια Σε μία το ελάχιστο από τις αίθουσες διδάσκονται Μαθηματικά Στη 1η διδάσκονται Φιλολογικά Ψέμα Σε καμία αίθουσα δε διδάσκονται Μαθηματικά Στη 1η δεν διδάσκονται Φιλολογικά Επειδή και οι δύο λένε αλήθεια ή και οι δύο ψέμα , η περίπτωση και οι δύο να λένε ψέματα οδηγεί σε άτοπο. Άρα στη 1η διδάσκονται Φιλολογικά και στη 2η μαθηματικά. Ι Σ ε μί α τ ου λά χι σ το ν απ ό α υ τέ ς τ ι ς δ ύο αί θο υ σε ς δ ι δ άσ κ ο ντ αι Μ α θ ημ ατ ικ ά ΙΙ Σ τ η ν ά λλη α ί θο υσ α δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά
- 49. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 9 Την Τετάρτη, υπήρχαν σε τρεις αίθουσες πινακίδες: Αν σε μία από τις αίθουσες διδάσκονται Μαθηματικά και στις άλλες δύο Φιλολογικά και το πολύ μία από τις τρεις πινακίδες λέει την αλήθεια, τι μάθημα διδάσκεται σε κάθε μία αίθουσα ; Επειδή το πολύ μία από τις τρεις πινακίδες λέει την αλήθεια σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα για τα δεδομένα της άσκησης. Η 1η περίπτωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα : Άτοπο !!! Η 2η περίπτωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα : Άτοπο !!! διότι σε μία αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά. Η 3η περίπτωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα : Που σημαίνει ότι στην 3η αίθουσα διδάσκονται Φιλολογικά Η 4η περίπτωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα : Άτοπο !!! διότι σε μία αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά. Άρα τα μαθήματα τις τρεις αίθουσες είναι αντίστοιχα Μαθηματικά – Φιλολογικά - Φιλολογικά Περίπτωση 1η πινακίδα 2η πινακίδα 3η πινακίδα 1η Αλήθεια Ψέμα Ψέμα 2η Ψέμα Αλήθεια Ψέμα 3η Ψέμα Αλήθεια Ψέμα 4η Ψέμα Ψέμα Ψέμα 1η αίθουσα 2η αίθουσα 3η αίθουσα Φιλολογικά Φιλολογικά Στην 2η Μαθηματικά 1η αίθουσα 2η αίθουσα 3η αίθουσα Μαθηματικά Μαθηματικά Στην 2η Μαθηματικά 1η αίθουσα 2η αίθουσα 3η αίθουσα Μαθηματικά Φιλολογικά Στην 2η Φιλολογικά 1η αίθουσα 2η αίθουσα 3η αίθουσα Μαθηματικά Φιλολογικά Στην 2η Μαθηματικά Ι Σ ε α υ τ ή ν τ η ν α ί θ ο υ σ α δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά ΙΙ Σ ε α υ τ ή τ η ν α ί θ ο υ σ α δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά ΙΙΙ Σ τ η ν α ί θ ο υ σ α Ι Ι δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά
- 50. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 0 Τη Πέμπτη ο Λυκειάρχης δεν πρόλαβε να τοποθετήσει στις δύο αίθουσες τις πινακίδες, αλλά απλά τις έδειξε στους μαθητές: Είναι γνωστό ότι : Αν στην αίθουσα Ι διδάσκονται Μαθηματικά τότε η πινακίδα λέει την αλήθεια, αλλά, αν διδάσκονται Φιλολογικά ,τότε η πινακίδα λέει ψέματα. Για την αίθουσα ΙΙ ισχύει το αντίθετο ,δηλαδή, αν διδάσκονται Μαθηματικά, τότε η πινακίδα λέει ψέματα, εν ώ ,αν διδάσκονται Φιλολογικά ,τότε λέει την αλήθεια. Τι μάθημα διδάσκεται στην κάθε αίθουσα, αν γνωρίζουμε ότι μπορεί και στις δύο αίθουσες να διδάσκονται Μαθηματικά ή και στις δύο Φιλολογικά ή στη μία Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά ; Καταρχήν πρέπει να βρούμε ποια πινακίδα αντιστοιχεί σε ποια αίθουσα. Αν στην αίθουσα Ι αντιστοιχούσε η 1η πινακίδα καταλήγουμε σε άτοπο. Διότι, γνωρίζουμε ότι στην Ι αίθουσα: αν διδάσκονται μαθηματικά τότε η πινακίδα ( που λέει στην αίθουσα αυτή διδάσκονται Φιλολογικά) λέει αλήθεια πράγμα άτοπο. Αν διδάσκονται Φιλολογικά τότε η πινακίδα λέει ψέματα, πάλι άτοπο. Συμπέρασμα οι πινακίδες πρέπει να τοποθετηθούν ως εξής : Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα για τα δεδομένα της άσκησης. 1η αίθουσα 1η Πινακίδα Στις δύο αίθουσες διδάσκονται Φιλολογικά 2η Πινακίδα Στην αίθουσα διδάσκονται Φιλολογικά 2η αίθουσα Διδάσκονται Μαθηματικά Αλήθεια Ψέμα Διδάσκονται Μαθηματικά Διδάσκονται Φιλολογικά Ψέμα Αλήθεια Διδάσκονται Φιλολογικά Για την 1η αίθουσα έχουμε ότι : Αν διδάσκονται μαθηματικά τότε η πινακίδα λέει αλήθεια άρα και στις δύο αίθουσες διδάσκονται Φιλολογικά, άτοπο. Αν διδάσκονται Φιλολογικά τότε η πινακίδα λέει ψέμα, άρα δεν διδάσκονται και στις δύο αίθουσες Φιλολογικά. Οπότε στην 2 η αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά. Η επιλογή να διδάσκονται Μαθηματικά στη 2η αίθουσα μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η 2η πινακίδα λέει ψέμα, δηλαδή ότι πράγματι στην αίθουσα δε διδάσκονται Φιλολογικά Άρα στη 1η διδάσκονται Φιλολογικά και στη 2η μαθηματικά. Σ τ η ν αί θο υ σ α αυ τή δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά Κ α ι σ τι ς δ ύ ο αί θο υ σε ς δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά 2 η α ί θο υ σα Σ τ η ν αί θο υ σ α αυ τή δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά 1 η α ί θο υ σα Κ α ι σ τι ς δ ύ ο αί θο υ σε ς δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά
- 51. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 1 Ιστορία 14η Είχαμε και οι τρεις μείνει με το στόμα ανοικτό. Ήταν τεράστιες! Πραγματικό θαύμα κατασκευής , πολιτισμού. Οι φωτογραφίες έδιναν και έπαιρναν. Βγήκαμε μία και οι τρεις, η Αθανασία η Κωνσταντίνα και εγώ. Μία οικογενειακή φωτογραφία, στη σκιά του μεγαλύτερ ου ανθρώπινου δημιουργήματος, κάτω από την πυραμίδα του Χέοπα. Σύμφωνα με τον οδηγό μας η κατασκευή της κράτησε 30 χρόνια. Από ελεύθερους αγρότες που δούλευαν για το ψωμί τους σε περιόδους που δεν είχε ανάγκη η γη από εργατικά χέρια και όχι από δούλους όπως έχουμε συνηθίσει να πιστεύουμε. Λέγεται ότι είναι ταφικό μνημείο, αλλά αυτό αμφισβητείται έντονα. Υπάρχουν θεωρίες όπου υποστηρίζουν ότι το σύμπλεγμα των πυραμίδων είναι ένα αστρονομικό παρατηρητήριο. Λένε ότι οι τρεις μαζί αποτελούν προβολή στη γη τω ν τριών μεγάλων άστρων της ζώνης του Ωρίωνα. Από μετρήσεις των βασικών μεγεθών της εμφανίζονται αριθμοί σταθμοί στη Μαθηματική επιστήμη. Ο αριθμός π, ο χρυσός λόγος φ, ο 2 . Οι γωνίες της βάσης της είναι 90 με ελάχιστη απόκλιση. Ο προσανατολισμός της είναι Βοράς Νότος, μία τέλεια κατασκευή προσανατολισμού, ίσως ο πρώτος μεσημβρινός. Πόσο ψηλή είναι, ρώτησε η κόρη μου; Περίπου 147 μέτρα είπα, ξέρεις ποιος τη μέτρησε πρώτος; Ο Θαλής ο Μιλήσιος ένας από τους επτά σοφούς της αρχαιότητας. Επτά σοφοί της αρχαιότητας, επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου, καλό μου ακούγεται είπε η γυναίκα μου η Αθανασία. Χωρίς να χάσω χρόνο τοποθέτησα την κόρη μου Κωνσταντίνα σε μία όρθια, πιθανόν λίγο άβολη θέση και της είπα, ας μετρή σουμε τη σκιά σου, είναι περίπου 1,5 μέτρο. Αν μετρήσουμε και τη σκιά της πυραμίδας από τους λόγους που θα προκύψουν μπορούμε να υπολογίσουμε και εμείς όπως ο Θαλής την πυραμίδα. Μίλησα γρήγορα, είχα ενθουσιαστεί, ένιωθα ένας μικρός – ασήμαντος στην πραγματικότητα, Θαλής. Δεν κατάλαβα τίποτε, είπε η κόρη μου, μιλάς για τον εαυτό σου. Ας κάνουμε ένα σχήμα. Γεωμετρία χωρίς σχήμα γίνεται;
- 52. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 2 Εγώ είμαι περίπου 1,5 μέτρο, τη σκιά μου τη μέτρησες. Περίεργο! το ίδιο. Πόσο είναι η πλευρά της βάσης της πυραμίδας; Ο ταξιδιωτικός οδηγός μιλάει για 230 μέτρα. Δεν έχουμε παρά να μετρήσουμε τη σκιά… Η σκηνή θα έπρεπε να ήταν για γέλια. Μες τον ήλιο δύο παλαβοί μετρούσαν περπατώντας από το άκρο της πυραμίδας μέχρι εκεί που σταμάταγε η σκιά της. Είναι περίπου … Περίπου πόσο είπε η Αθανασία; Η φωνή μας τη έπαιρνε ο αέρας, ποτέ δεν την άκουσε. Τώρα που κοιτάμε ξανά τις φωτογραφίες από την εκδρομή αυτή με ξαναρώτησε, τελικά … πόσο ήταν η σκιά της πυραμίδας;
- 53. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 3 Λύση Αφού το ύψος ΔΕ της κόρης μου και το μήκος ΖΕ της σκιάς της ήταν το ίδιο, πρέπει να συμβαίνει το ίδιο και με το ύψος και τη σκιά της πυραμίδας. Άρα αφού το ύψος της είναι 147 μέτρα τόσο πρέπει να είναι και η απόσταση ΒΓ. Δηλαδή η μισή πλευρά της πυραμίδας και η σκιά που μπορούσαμε να μετρήσουμε ήταν 147 μέτρα. Επομένως 115 μέτρα η μισή πλευρά, άρα η σκιά ήταν… Η πραγματική μέτρηση από τον Θαλή θα έπρεπε να παρουσίαζε μεγαλύτερες δυσκολίες. Στην ιστορία μου αυθαίρετα θεωρώ ότι η σκιά της πυραμίδας πέφτει με προσανατολισμό Βορά- Νότου, όπως και οι πλευρές της πυραμίδας. Αλλά αυτό μπορεί να συμβαίνει, αν συμβαίνει, κάποιες ελάχιστες μέρες το χρόνο. Ο μύθος δεν λέει ότι ο Θαλής πήγε μία συγκριμένη εποχή αλλά ότι απλά τη μέτρησε χρησιμοποιώντας τη σκιά του και τη σκιά της. Οπότε μάλλον στην πραγματικ ότητα ο Θαλής θα είχε να λύση το πρόβλημα του υπολογισμού του ύψους της πυραμίδας σε μία κατάσταση όπως αυτή που περιγράφει το διπλανό σχήμα. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ύψος της πυραμίδας τώρα; Εδώ σας θέλω Θαλήδες μου …
- 54. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 4
- 55. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 5 Ιστορία 15η Όποιο Ελληνικό γκρουπ επισκέπτεται την Αίγυπτο πάει οπωσδήποτε και στην Αλεξάνδρεια. Την πόλη του μεγάλου Αλεξάνδρου. Σήμερα η πόλη δεν διαφέρει από μία οποιαδήποτε άλλη μεγαλούπολη της Βόρειας Αφρικής. Πολύς κόσμος , πολύ φασαρία, μεγάλη μόλυνση. Για μας τους Έλληνες υπάρχει το μουσείο του Καβάφη, το πατριαρχείο με την εκκλησία του Αγίου Γεωργίου και … βέβαια η νέα μεγάλη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας. Δεν γνωρίζω αν η παλιά ήταν τόσο επιβλητική, αλλά το κτήριο της νέας βιβλιοθήκης είναι το κάτι άλλο. Μπαίνοντας στο κτήριο, ως γνήσιοι Έλληνες ξεσηκώσαμε τον κόσμο. Θαυμάζαμε τις τεράστιες αψίδες που σχημάτιζαν μία μεγάλη ενιαία αίθουσα γεμάτη από σπουδαστές, βιβλιοθήκες, υπολογιστές. Στους τοίχους χάρτες πορτρέτα γνωστών και άγνωστων επιφανών δημιουργών των τεχνών και των επιστημών. Σε περίοπτη θέση μία αφίσα με τον Ερατοσθένη και τον χάρτη του τότε γνωστού κόσμου κατά τον Πτολεμαίο. Τότε ήταν που ήρθε δειλά δίπλα μας ο Χουσεΐν, σπουδαστής Ηλεκτρονικών Υπολογιστών του Πανεπιστημίου του Καΐρου αλλά και μεταπτυχιακός σπουδαστής του Μετσόβιου Πολυτεχνείου της Αθήνας.
- 56. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 6 Πάντα χαίρομαι όταν συναντώ Έλληνες μας είπε. Ελάτε να σας ξεναγήσω. Ελάτε να σας συστήσω στον διάσημο επιστήμονα και προγονό σας, τον Ερατοσθένη. Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ότι η γη είναι στρογγυλή. Το γνώριζαν από τη σκιά που ρίχνει στη σελήνη όταν έχουμε εκλείψεις, από το γεγονός ότι πρώτα ξεχωρίζουν τα ιστία από ένα πλοίο που έρχεται στο λιμάνι και μετά ολόκληρο το καράβι. Από τη θέση των αστερισμών στον ορίζοντα. Όσο πιο Βόρεια ταξιδεύουμε τόσο ο πολικός ανεβαίνει σε σχέση με τον ορίζοντα. Όμως ο πρώτος που μέτρησε την ακτίνα της ήταν ο Ερατοσθένης. Ο Ερατοσθένης (275 -193 π.χ.) δίδαξε στην Αθήνα και στην Αλεξάνδρεια. Στο έργο του « περί διαστάσ εων της γης» υπολογίζει με θαυμαστή ακρίβεια για τα μέτρα της εποχής την ακτίνα της γης, χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Γνώριζε ότι στη πόλη της Συήνης στο σημερινό Ασουάν υπάρχει ένα πηγάδι που στο μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου ( 21 Ιουνίου) ο ήλιος πέφτει στη βάση του κάθετα, χωρίς να υπάρχουν σκιές. Επίσης γνώριζε ότι ο προσανατολισμός Συήνη – Αλεξάνδρεια ήταν Νότος - Βοράς και απείχαν περίπου 800 χιλιόμετρα. Μετά μέτρησε γωνίες, να έτσι και μας έδειξε ένα σχέδιο στο τοίχο. Ο Χουσεΐν χωρίς να πάρει ανάσα συνέχισε …η γωνία ω είναι η γωνία της σκιάς των αχτίνων του ηλίου στην Αλεξάνδρεια. Την υπολόγισε 18 . Μετά από αυτό ήταν εύκολος ο υπολογισμός η ακτίνα είναι περίπου … Απόγονε του Ερατοσθένη, πόσο είναι η ακτίνα της γη ς ; Οι μετρήσεις που ήδη έχουν αναφερθεί σίγουρα θα σε βοηθήσουν…
- 57. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 7 Λύση Μετρώντας ο Ερατοσθένης ότι η γωνία ω είναι 18 , εύκολα υπολογίζει ότι η γωνία φ είναι 1 72 360 50 Θεωρώντας ότι οι ακτίνες του ηλίου είναι παράλληλες μεταξύ τους υπολογίζει ότι η απόσταση Αλεξάνδρεια – Συήνη αντιστοιχεί σε τόξο 72 . Άρα τόξο 72 ενός μεσημβρινού της γης αντιστοιχεί σε μήκος 800Km, άρα τόξο 360 αντιστοιχεί σε μήκος 360 800 800 50 40.000 50 Km 40.000Km είναι λοιπόν η περιφέρεια της γης. Άρα η ακτίνα της είναι 40.000 40.000 6.370 2 6,28 Km Μας έβαλε τα γυαλιά ο Ερατοσθένης, με σκέψη και απλά μαθηματικά υπολόγισε κάτι που θεωρείτο αν όχι απίθανο τουλάχιστο πολύ δύσκολο να υπολογισθεί. Αθάνατη αρχαία Ελλάδα !!!
- 58. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 8
- 59. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 9 Ιστορία 16η Η επίσκεψη στη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας δεν είχε τελειωμό. Η μία αίθουσα διαδεχόταν την άλλη. Ο Χουσεΐν ήταν γνώριμος στους υπευθύνους και με τη βοήθεια του η επίσκεψή μας στα ενδότερα της βιβλιοθήκης εξελίχτηκε σε προσκύνημα στην Αλεξανδρινή τεχνολογία και επιστήμη. Μας μίλησε για το Φάρο το νησάκι στην είσοδο του λιμανιού όπου κτίστηκε και το τεράστιο οικοδόμημα που με ένα σύστημ α φωτιάς και κατόπτρων οδηγούσε τα πλοία σε κάποιο από τα λιμάνια της Αλεξάνδρειας. Μας μίλησε για την ανάγκη προσδιορισμού των μεγάλων αποστάσεων, πόσο δηλαδή απείχε ένα πλοίο που φαινόταν να έρχεται από το λιμάνι ώστε να γίνουν οι κατάλληλες προετοιμασίες ελλιμενισμού του. Μας μίλησε για την Αστρονομία και την Μηχανική που είχε αναπτυχθεί τότε. Ονόματα όπως Ίππαρχος, Αρίσταρχος, Ερατοσθένης, Αρχιμήδης, Πτολεμαίος, Πάππος, Ήρωνας, Απολλώνιος, ήταν συνεχώς στα λόγια του. Για πες μας λοιπόν πως υπολόγιζαν μεγάλες αποστάσεις; Τον διέκοψε η Κωνσταντίνα. Είχαν κάποιο όργανο μέτρησης ή υπολόγιζαν στο περίπου. Ελάτε από δω, μας είπε. Μας οδήγησε σε μία αίθουσα μελέτης για μικρά παιδιά. Κοιτάξτε … μας είπε δείχνοντας μία αφίσα στον τοίχο. Το σχέδιο της ήταν περί που το παρακάτω : Ας υποθέσουμε ότι ένας άνθρωπος βρίσκεται στη θέση Α και θέλει να υπολογίσει πόσο μακριά είναι το πλοίο. Τι κάνει; Περπατά 10μέτρα μέχρι το σημείο Β, βάζει ένα σημάδι περπατά άλλο ένα μέτρο, ξαναβάζει σημάδι. Μετά περπατά κάθετα στη πα ραλία, μέχρι ένα σημείο Δ από το οποίο το σημάδι στη θέση Β και το πλοίο να φαίνονται στην ίδια ευθεία. Με τις μετρήσεις αυτές βρίσκει την απόσταση ΑΠ.
- 60. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 0 Δείτε και αυτό συνέχισε. Υπήρχε ένα όργανο σαν το σημερινό μοιρογνωμόνιο, μόνο που στη κορυφή του υπήρχε ένα νήμα της στάθμης, δηλαδή ένας σπάγκος με ένα βαρίδι στην άκρη του, κάτι σαν αυτό … Με αυτό σημάδευαν το άκρο του ιστίου του πλοίου, μετρούσαν την γωνία δηλαδή με την οποία έβλεπαν το πλοίο και αφού γνώριζαν πόσο ψηλό είναι ένα πλοίο μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν τριγωνομετρία για να υπολογίσουν την απόσταση πλοίου – στεριάς. Α! , ξέχασα να σου πω ότι είχαν μια σειρά από μετρήσεις σαν τους σύγχρονους τριγωνομετρικούς πίνακες. Δηλαδή γνώριζαν την εφαπτομένη βασικών γωνιών, όσων τέλος πάντων ήταν χρήσιμοι για τους υπολογισμούς τους. Τι λες … μπορείς να καταλάβεις πως τα όμοια τρίγωνα που μαθαίνεις στο σχολείο και η τριγωνομετρία γεννήθηκαν εδώ σε αυτόν τον τόπο, για να ικανοποιήσουν βασικές ανάγκες, για να απαντήσουν σε απορίες, για να λύσουν προβλήματα !!!
- 61. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 1 Λύση Στο πρώτο σχέδιο τα τρίγωνα ΑΒΠ και ΒΓΔ είναι όμοια. Από τις αναλογίες που προκύπτουν έχουμε : 10 1000 1 100 x x m Στο δεύτερο σχέδιο στο ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει : 8 8 1000 0.008 x x m x
- 62. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 2
- 63. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 3 Ιστορία 17η Ήταν Ιούλιος του 20.. όταν η παρέα αποφάσισε να κατέβει το φαράγγι της Σαμαριάς. Ξεκινήσαμε το πρωί στις 8.00 και κατά τις 4.00 το απόγευμα δροσιζόμαστε στην παραλία. Τα 13 Km περίπου του μαγευτικού φαραγγιού μας πρόσφεραν στιγμές χαράς και ξεκούρασης. Οι φωτογραφίες αποτύπωναν το τοπίο. Από τις πιο ωραίες στιγμές εκείνη στις «πόρτες» του φαραγγιού, το πιο στενό κομμάτι του. Απαραίτητη η φωτογράφιση όλης της ομάδας. Την επόμενη μέρα ξεκινήσαμε την επιστροφή. Η άνοδος πιο κουραστική, αλλά και πάλι ξεκινώντας στις 8.00 το πρωί από την Αγιά Ρούμελη καταφέραμε στις 4.00 το απόγευμα να φθάσουμε στο Ξυλόσκαλο, στην είσοδο δηλαδή του φαραγγιού. Αν εξαιρέσουμε την ατυχία να ξεχάσουμε τη φωτογραφική μηχανή στην παραλία και να αναγκαστούμε να σταματήσουμε για λίγο μέχρι ο Δημήτρης γυρίσει ξανά πίσω για να την πάρει, όλα κύλησαν και πάλι μαγικά. Το τοπίο συγκλονιστικό. Όσες φορές τελικά και αν περπατήσεις το φαράγγι όλο και κάτι διαφορετικό έχει να σο υ δώσει. Πάλι οι φωτογραφικές μηχανές άναψαν κυριολεκτικά σε όλη τη διαδρομή, αλλά ειδικά στις «πόρτες», σε αυτό το μαγικό σημείο. Στην Αθήνα πια η εκδρομική ομάδα συναντήθηκε για να μοιράσει το φωτογραφικό υλικό. Οι ψηφιακές μηχανές έκαναν και πάλι το θα ύμα τους και αναδείκνυαν την ομορφιά του τοπίου. Όμως κάτι περίεργο είχε αποτυπωθεί …. Στις δύο φωτογραφίες που είχαμε πάρει στις «πόρτες» , μία κατά την κάθοδο και μία κατά την άνοδο είχαν την ίδια ακριβώς ώρα!!. Σύμπτωση; Πως είναι δυνατό να είμαστε στο ίδιο σημείο δύο διαφορετικές μέρες ακριβώς την ίδια ώρα !!! 2 0 - 7 - 2 . . . 1 2 . 2 0 μ . μ . 2 1 - 7 - 2 0 . . . 1 2 . 2 0 μ . μ .
- 64. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 4 Λύση Ας σχεδιάσουμε σε ένα σύστημα συντεταγμένων την θέση μας κατά την κάθοδο αλλά και κατά την άνοδο του φαραγγιού, σε σχέση με την Αγία Ρούμελη σε συνάρτηση με το χρόνο. Την πρώτη φορά ξεκινάμε από τη Ξυλόπορτα, στις 8.00 π.μ. και διανύουμε την απόσταση των 13 Km σε 8 ώρες. Στο παρακάτω σχήμα η πορεία μας εμφανίζεται με μπλε χρώμα. Παρατηρείστε ότι δεν βαδίζαμε με την ίδια ταχύτητα σε όλη τη διαδρομή. Στην άνοδο ξεκινήσαμε από τη ν Αγία Ρούμελη στις 8.00 π.μ. και φθάσαμε στη Ξυλόπορτα και πάλι στις 4.00 το απόγευμα. Παρατηρείστε ότι για μία ώρα ( από τις 9.00 έως τις 10.00 π.μ.) είμαστε ακίνητοι γιατί περιμέναμε τον Δημήτρη που είχε πάει να φέρει την φωτογραφική του μηχανή που είχ ε ξεχάσει στην Αγία Ρούμελη. Στο παρακάτω σχήμα η πορεία μας εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα Όπως και να έχει σε κάποιο σημείο οι δύο διαδρομές όπως αποδίδονται στο παρακάτω διάγραμμα τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο. Το σημείο αυτό αποδίδει το γεγονός ότι σίγουρα στο τόπο αυτό και στις δύο διαδρομές (ανάβαση – κατάβαση) βρεθήκαμε στην ίδια ακριβώς ώρα. Έτυχε όμως να είναι οι «πόρτες» και να ανακαλύψουμε το φαινόμενο αυτό μέσα από τις φωτογραφίες μας !!! Ό σ ο ι α π ό σ α ς θ υ μ ά σ τ ε α κ ό μ α τ α « Λ υ κ ε ι α κ ά Μ α θ η μ α τ ι κ ά » τ ο π ρ ό β λ η μ α α υ τ ό α π ο δ ε ι κ ν ύ ε τ α ι μ ε τ η β ο ή θ ε ι α τ ο υ θ ε ω ρ ή μ α τ ο ς τ ο υ B o l z a n o …
- 65. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 5 Ιστορία 18η Όταν η Γεωμετρία συναντά την Άλγεβρα … Όλοι γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α είναι 2 α Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου διαστάσεων α και β είναι α β , ενώ το εμβαδόν του τραπεζίου με βάσεις β, Β και ύψος υ είναι β Β υ 2 Στο Γυμνάσιο ένα κομμάτι των μαθηματικών βασάνιζε και βασανίζει τους μαθητές, πιθανόν και εσένα αναγνώστη…, Η ενότ ητα που αυτοαποκαλείται « Ταυτότητες»!!! Στο μέρος αυτό της Άλγεβρας καταγράφονται ισότητες που ισχύουν για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Τις ισότητες αυτές τις χρησιμοποιούμε για να κάνουμε εύκολα πράξεις αλλά και για να λύνουμε εξισώσεις ή να απλοποι ούμε παραστάσεις. Θυμήσου αναγνώστη την προσπάθεια που έκανες για να τις μάθεις απέξω… Κι όμως τα επόμενα σχήματα που ουσιαστικά δεν είναι τίποτε άλλο παρά σχέσεις μεταξύ των εμβαδών των σημειωμένων σχημάτων αποδίδουν γεωμετρικά μία σειρά από τις ταυτότ ητες που οι μαθητές μαθαίνουν απέξω… Ποιες είναι οι σχέσεις – ισότητες που προκύπτουν από τα παρακάτω σχήματα ; Σχήμα 1ο Σχήμα 2ο Σχήμα 3 ο
- 66. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 6 Λύση Για το 1 ο σχήμα , έχουμε ότι ένα τ ετράγωνο πλευράς α+β σχηματίζεται από δύο τετράγωνα το ένα πλευράς α και το άλλο πλευράς β και από δύο ορθογώνια διαστάσεων α και β. Άρα ισχύει ότι : 2 2 2 (α β) α β 2αβ Για το 2 ο σχήμα , έχουμε ότι το τετράγωνο πλευράς α αποτελείται από ένα τετράγωνο πλευράς β και δύο τραπέζια με βάσεις α και β και ύψος ίσο με α-β. Δηλαδή η διαφορά των εμβαδών των δύο τετραγώνων είναι ίση με το εμβαδόν των δύο τραπεζίων. Άρα ισχύει : 2 2 α β α β 2 (α β) 2 δηλαδή 2 2 α β (α β) (α β) Για το 3 ο σχήμα , καταλήγουμε στην ταυτότητα … 2 2 2 2 (α β γ) α β γ 2αβ 2αγ 2βγ
- 67. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 7 Ιστορία 19η Ήταν Σεπτέμβρης του 1972 σε ένα χωριό κάτω από τον Χελμό, κεφαλοχώρι σωστό αφιερωμένο στο μυθικό ήρωα Κλείτωρα. Οι αναμνήσεις πολ λές από εκείνη την εποχή. Πιτσιρίκια, η μόνη έγνοια μας το παιχνίδι, η μπάλα στην αυλή του Γυμνασίου , οι βουτιές στα παγωμένα νερά του Αροάνιου ποταμού . Εκείνη την εποχή γινόταν η ζωοπανήγυρη αφιερωμένη στον προστάτη του χωριού Αι Δημήτρη. Ο σπιτονοικοκύρης ο κ. Κώστας σαμαροποιός το επάγγελμα είχε μετατρέψει την αυλή του σε έκθεση μουλαριών, αλόγων και γαιδάρων. Μπροστά στα μάτια μου σκηνή απείρου κάλλους ελάμβανε χώρα!! Τα παιδιά του κ. Κώστα τσακώνονταν με ένταση μεγάλη, αιτία ο χωρισμός της προίκας τους, δίκαια, σύμφωνα με τις επιθυμίες του πατέρα τους. Ο κ. Κώστας λάτρης και γνώστης μαθηματικών προβλημάτων τους χάρισε 11 άλογα έτσι ώστε ο μεγάλος να πάρει τα μισά ο μεσαίος το ένα τέταρτο και μικρός το ένα έκτο. Μοιρασιά που με πρώτη ματιά δεν μπορούσε να γίνει. Δεν έφθανε αυτό χάρισε και στις νύφες του τις 17 χρυσές λίρες που είχε ώστε, η Πρώτη να έπαιρνε το ένατο η Δεύτερη το ένα τρίτο και η Τρίτη τις μισές. Με τα πολλά επειδή δεν άντεχε άλλο τις φωνές αλλά και την αμάθεια τους έδωσε άλλο ένα άλογο και άλλη μία λίρα με σκοπό να μπορέσουν να κάνουν την μοιρασιά και μετά τους ζήτησε στο τέλος να τα επιστρέψουν πίσω !! Έκπληκτοι τα παιδιά και οι νύφες του αλλά και όλοι οι παριστάμενοι θαύμασαν τις γνώσεις και τις μαθηματικές ικανότητες του κ. Κώστα. Αυτός μου χαμογέλασε και κλίνοντας το μάτι μου θύμισε το πρόβλημα που λύσαμε την προηγουμένη. Ένα κλασικό πρόβλημα αθροίσματος κλασμάτων, μια ιστορία που στα σχολικά βιβλία λέγεται ότι εξελίσσεται στην μακρινή Αραβία με καμήλες αν θυμάμαι κ αλά…
- 68. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 8 Λύση Επειδή 1 1 1 11 2 4 6 12 ο κ. Κώστας γνώριζε ότι δίνονται ένα ακόμα άλογο θα μπορούσαν οι γιοί του να κάνουν την μοιρασιά και συγχρόνως θα επέστρεφαν και το επιπλέον άλογο πίσω. Πράγματι το 1 2 των 12 αλόγων είναι 6 άλογα το 1 4 των 12 αλόγων είναι 3 άλογα και τέλος το 1 6 των 12 αλόγων είναι 2 άλογα σύνολο 6 3 2 11 άλογα. Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να γίνει και η μοιρασιά των λιρών.
- 69. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 9 Ιστορία 20η Στην Παλατινή Βιβλιοθήκη της Χαϊδελβέργης ανακαλύφτηκ ε το 1606 ένα χειρόγραφο που περιλαμβάνει την Ανθολογία του Κωνσταντίνου Κεφαλά ( Ι ε ρ ω μ έ ν ο ς λ ό γ ι ο ς α π ό τ η ν Κ ω ν σ τ α ν τ ι ν ο ύ π ο λ η 9 ο ς μ . Χ . α ι ώ ν α ς ) Για το λόγο αυτό ο κώδικας πήρε το όνομα «Παλατινή ή Ελληνική Ανθολογία». Πρόκειται για μια συλλογή 3.700 ελ ληνικών ποιημάτων - επιγραμμάτων, ποικίλου περιεχομένου. Είναι ταξινομημένα κατά θέμα σε 16 βιβλία. Στο 14ο βιβλίο υπάρχουν 46 μαθηματικά επιγράμματα. Τα προβλήματα αυτά παρουσιάζουν ιδιαίτερη εκπαιδευτική – διδακτική αξία αφού ο διδάσκων μπορεί να συνδέσει τα Αρχαία Ελληνικά με τα Μαθηματικά. Στα πλαίσια αυτής της διαθεματικής προσέγγισης της γνώσης έδωσα στους μαθητές μου τα παρακάτω κείμενα προς μετάφραση αλλά και προς λύση !!! 1ο κείμενο Ἡμίονος καὶ ὄνος φορέουσαι σῖτον ἔβαινον· αὐτὰρ ὄνος στενάχιζεν ἐπ’ ἄχθεϊ φόρτου ἑοῖο· τὴν δὲ βαρυστενάχουσαν ἰδοῦσ’ ἐρέει νεν ἐκείνη· «Μῆτερ, τί κλαίουσ’ ὀλοφύρεαι, ἠύτε κούρη; εἰ μέτρον ἕν μοι δοίης, διπλάσιον σέθεν ἦρα· εἰ δὲ ἕν ἀντιλάβοις, πάντως ἰσότητα φυλάξεις.» Εἰπὲ τὸ μέτρον, ἄριστε γεωμετρίης ἐπίιστορ. Μ ε ρ ι κ έ ς ά γ ν ω σ τ ε ς λ έ ξ ε ι ς ἄ χ θο ς =β ά ρ ος ἑ οῖ ο (ε υ κ τ . το υ ἑ ά ω - ἑ ῶ = ) α ὐ τ ὰρ = α λλ ά , ό μως σ τ ε ν αχ ίζ ω = σ τε ν ά ζ ω, α ν α σ τ ε ν άζ ω , θρ ην ώ β α ρ υσ τ ε ν άχ ω =β α ρ υα ν α σ τ ε ν ά ζ ω κ ο ύ ρη = (Ι ω ν . ) α ν τ ί κό ρ η α ἴ ρ ω( α ό ρ. ἦ ρ α ) = σ η κ ώ ν ω ἐ π ί ισ τ ορ ( κλ ητ . τ ο υ ἐ π ι ίσ τ ω ρ= α υ τ ό ς π ου γ ν ω ρ ίζ ει κ α λ ά κ ά τι , ε π ι σ τ ά μεν ο ς)
- 70. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 0 2ο κείμενο Οὗτός τοι Διόφαντον ἔχει τάφος. ἆ μέγα θαῦμα· καὶ τάφος ἐκ τέχνης μέτρα βίοιο λέγει. ἕκτην κουρίζειν βιότου θε ὸς ὤπασε μοίρην· δωδεκάτην δ’ ἐπιθεὶς μῆλα πόρεν χνοάειν· τῇ δ’ ἄρ’ ἐφ’ ἑβδομάτῃ τὸ γαμήλιον ἥψατο φέγγος, ἐκ δὲ γάμων πέμ πτῳ παῖδ’ ἐπένευσεν ἔτει. αἰαῖ, τηλύγετον δειλὸν τέκος· ἥμισυ πατρὸς τοῦδ’ ἐκάη κρυερὸς μέτρον ἑλών βιότου· πένθος δ’ αὖ πισύρεσσι παρηγορέων ἐνιαυτοῖς τῇδε πόσου σοφίῃ τέρμ’ έπέρησε βίου. Το επίγραμμα αυτό γνωστό ως πρόβλημα της ηλικίας του Διόφαντ ου σε ελεύθερη μετάφραση λέει : Ποια τελικά είναι η ηλικία του Διόφαντου;
- 71. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 1 Λύση 1ο κείμενο Μετάφραση : « Ένα γαϊδούρι και ένα μουλάρι φορτωμένα στάρι βάδιζαν. Λόγω όμως του βάρους η γαϊδούρα στέναζε. Καθώς το μουλάρι την έβλεπε να στενάζει της είπε, μητέρα γιατί θρηνείς και κλαίς σαν κορίτσι; Αν μου έδινες μία ποσότητα από το φορτίο ( ένα σακί;) θα έφερα διπλάσια ποσότητα από σένα , αν έπαιρνες από μένα ένα θα είχαμε ίσους. Πες τον αριθμό των σάκων άριστε γνώστη της γεωμετρίας» Ας υποθέσουμε ότι το γαϊδούρι είχε χ σακιά στάρι και το μουλάρι ψ Από το κείμενο καταλήγουμε στο παρακάτω σύστημα : 2(χ 1) ψ 1 ψ 2χ 3 2χ 3 χ 2 χ 5 χ 1 ψ 1 ψ χ 2 ψ χ 2 ψ 7 2ο κείμενο Σύμφωνα με το επίγραμμα αν ονομάσουμε με χ την ηλικία του Διόφαντου σχηματίζουμε την εξίσωση : χ χ χ χ 5 4 χ 6 12 7 2 Η οποία λύνεται ως εξής : χ χ χ χ 5 4 χ 6 12 7 2 χ χ χ χ 84 84 84 84 5 84 84 4 84 χ 6 12 7 2 14χ 7χ 12χ 420 42χ 336 84χ 84χ 75χ 756 9χ 756 χ 84
- 72. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 2
- 73. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 3 Ιστορία 21η Ήταν Ιανουάριος του ’78 όταν ο Γιώργος Δ. ο μαθηματικός που είχα στη Β’ Λυκείου σχεδίασε το διπλανό σχήμα στον πίνακα. «Βρείτε το εμβαδόν του, αν η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών οριζόντιων ή κατακόρυφων σημείων είναι ίση με μία μονάδα» Το καλό με αυτόν τον δάσκαλο ήταν ότι τα θέματα που έβαζε δεν υπήρχαν στα συνηθισμένα φροντιστηριακά βιβλία. Ή ταν θέματα που έπρεπε να σκεφτείς και να συνδυάσεις αυτά που ήξερες για να απαντήσεις. Αν έβλεπε ότι δεν τα καταφέρναμε, έδινε συγκεκριμένες οδηγίες ώστε βήμα -βήμα να είχαμε την εντύπωση ότι εμείς τελικά βρίσκαμε τη λύση. Λύσεις για το συγκεκριμένο πρόβλημ α βρέθηκαν αρκετές και μάλιστα σύντομα. Αυτό όμως που δεν θα ξεχάσω είναι ότι μετρώντας απλώς τις τελείες βρήκε γρήγορα και σωστά το ζητούμενο εμβαδόν. Πρόκειται για το θεώρημα του Pick μας είπε και έγραψε έναν τύπο στον πίνακα 1 2 . Αν Α ο αριθμός των εσωτερικών σημείων του σχήματος, Β ο αριθμός των σημείων που βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τότε ο τύπος αυτός δίνει το εμβαδόν του πολυγώνου. Ας επαληθεύσουμε, πόσο βρήκατε; 28τ.μ. ωραία λοιπόν ας εφαρμόσουμε τον τύπο : Α=23, Β=12 επομένως 12 23 1 28 2 !!! Το θέμα τώρα είναι να το αποδείξετε, να μια ωραία εργασία για το Σαββατοκύριακο. Επειδή μάλλον θα δυσκολευτείτε, ας σας βοηθήσω λιγάκι.
- 74. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 4 Α. Δείξτε τον τύπο πρώτα για ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Δηλαδή αν έχουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων ,m n δείξε ότι ο τύπος εφαρμόζεται και ότι βρίσκεις εμβαδόν E m n Β. Δείξτε τον τύπο για ορθογώνια τρίγωνα. Δηλαδή αν έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ,m n δείξε ότι ο τύπος εφαρμόζεται και ότι βρίσκεις εμβαδόν 2 m n E Γ. Δείξτε τον τύπο για ένα τυχαίο τρίγωνο, σαν κι αυτό εδώ. Δ. Προσπαθείστε να αποδείξετε ότι αν έχουμε δύο τρίγωνα με κοινή μία πλευρά τους τότε μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με τη βοήθεια του τύπου. Εε! μετά από όλα αυτά μπορε ίτε να αποδείξετε τον τύπο για οποιαδήποτε κυρτό τετράπλευρο, αφού αν από την μια κορυφή του φέρουμε τις διαγώνιες τότε … Τι λες αναγνώστη μέσα στο Σαββατοκύριακο θα καταφέρουμε κάτι;
- 75. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 5 Λύση Αν έχουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαστάσεων m,n τότε : Το εμβαδόν ως γνωστό είναι m n και Α= ( 1) ( 1)m n Β= 2 2m n Άρα εφαρμόζοντας τον τύπο έχουμε : 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 2 m n E m n m n n m m n m n Αν έχουμε ένα ορθογών ιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές m,n τότε : Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν κ σημεία πάνω στην υποτείνουσα χωρίς να υπολογίζουμε τις κορυφές του τριγώνου τότε 1B n m k Επειδή το ορθογώνιο τρίγωνο κατασκευάζεται φέρνοντας την διαγώνιο ενός ορθογ ωνίου παραλληλογράμμου, θα ισχύει ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 m n k A k m n A Άρα ( 1) ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 m n k n m k m n n m k n m k m n E Αν έχουμε ένα τυχαίο τρίγωνο τότε : Σε ένα τυχαίο τρίγωνο Α μπορούμε πάντα να σχεδιάσουμε ορθογώνια τρίγωνα Β,Γ,Δ ώστε μαζί με το Α να σχηματίζεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Ε.
- 76. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 6 Ισχύει ότι : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E A B (1) με ( ) 1 2 E E B E A , ( ) 1 2 A A B A A , ( ) 1 2 B B B B A , ( ) 1 2 B A και ( ) 1 2 B A (2) και ( 3)E A B AA A A A A B , (3) E B AB B B B B (4) Συνδυάζοντας τους τύπους αυτούς έχουμε : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 3 2 1 2 2 Αν έχουμε δύο τρίγωνα Α,Β με μία κοινή πλευρά τότε για το σχηματιζόμενο τετράπλευρο Τ ισχύει ο τύπος; Αν κ τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην κοινή πλευρά, χωρίς τις δύο κορυφές τότε, γράφουμε τις ισότητες που ισχύουν : ( ) ( ) ( ) (1) (2) 2 2 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις έχουμε : ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2
- 77. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 7 Αν έχουμε ένα οποιαδήποτε κυρτό πολύγωνο τότε πάλι όπως πριν μπορούμε να το χωρίσουμε, φέρνοντας τις κατάλληλες διαγωνίους σε επιμέρους τρίγωνα και όπως πριν να δείξουμε την ισχύ του τύπου του PicK. Όταν ήρθε η Δευτέρα κάποιοι από τους συμμαθητές μου είχαν κάνει αξιόλογες προσπάθειες για την απόδειξη ενός ή περισσοτέρων από τα παραπάνω βήματα. Τότε ο κ. Γιώργος Δ. ασυγκράτη τος όπως πάντα μας κέντρισε για άλλη μία φορά. Αν το πολύγωνο έχει τρύπες; Τότε το θεώρημα του κ. Pick ισχύει; Μήπως δεν ισχύει; Μήπως όμως ισχύει κάτι άλλο που παίρνει υπόψην του και τον αριθμό των τρυπών; Εδώ σας θέλω μπορούμε να καταλήξουμε σε μία νέα σχέση;
- 78. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 8
- 79. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 9 Ιστορία 22η Στις αρχές της δεκαετίας του 80 ήταν της μόδας τα πρώτα ηλεκτρονικά παιχνίδια. Ένα από αυτά ήταν, φλιπεράκι όπου μπίλιες έπεφταν από την κορυφή ενός τριγωνικού γηπέδου που ήταν γεμάτο από καρφιά σχηματίζοντας ένα κανονικ ό μοτίβο. Σκοπός του παιχνιδιού ήταν να μαζέψεις όσο το δυνατό περισσότερους πόντους που σημειώνονταν στις τελικές θήκες -θέσεις που κατέληγαν οι μπίλιες. Το γήπεδο έμοιαζε με κάτι σαν το παρακάτω σχέδιο … 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 Το περίεργο ήταν ότι οι ακριανές θέσεις είχαν και τους περισσότερους πόντους αν και από πρώτη ματιά η μπίλια φαινόταν ότι είχε τις περισσότερες πιθανότητες να κατέληγε σε αυτές. Ενώ στη μέση οι πόντοι ήταν μόνο ένας ενώ μέχρι να φθάσει η μπίλια εκεί θα έπρεπε να περάσει από πολλά εμπόδια, άρα θα ήταν σπάνιο να καταλήξει εκεί. Κι όμως τα φαινόμενα απατούν … Με πόσες δυνατές διαδρομές μπορεί μία μπίλια να καταλήξει σε κάποια από τις δεκαπέντε θέσεις που σημειώνονται; Υπάρχει κάποιος συστηματικός τρόπος να μετρηθούν;
- 80. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 0 Λύση Ας μετρήσουμε τους δυνατούς τρόπους στις τρεις πρώτες σειρές. Οι αριθμοί που παρουσιάζονται στο διπλανό σχήμα δίνουν με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να φθάσουμε μέχρι το συγκεκριμένο σημείο. Ένας άλλος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι ο αριθμός που γράφεται σε κάθε σημείο είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων αντίστοιχων σημείων. Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία θα καταλήξουμε στο σχήμα : Παρατηρούμε ότι περισσότερες δυνατότητες έχει να καταλήξει μία μπίλια στις κεντρικές θέσεις παρά στα άκρα. Το σχήμα αυτό είναι γνωστό στη Μαθηματική επιστήμη ως τρίγωνο του Pascal. Είναι ένας εποπτικός τρόπος να γραφούν οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος ν (α β) Συγκεκριμένα, παρατηρείστε την ομοιότητα ανάμεσα στο σχήμα και στους συντελεστές των αναπτυγμάτων : 0 1 2 2 2 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 (α β) 1 (α β) α β (α β) α 2αβ β (α β) α 3α β 3αβ β (α β) α 4α β 6α β 4αβ β
- 81. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 1 Ιστορία 23η Θεσσαλονίκη 1980. Τα μεσημέρια σύχναζα στη ταβέρνα « τα αδέλφια» στην Άνω Τούμπα. Το γεύμα λιτό – φοιτητικό, αλλά είχε πάντα λίγο από το πολύ καλό κρασί που με καμάρι διαφήμιζε στους πελάτες ο κ. Στράτος, αφεντικό του μαγαζιού και ο μεγαλύτερος από τα τρία αδέλφια – ιδιοκτήτες της ταβέρνας. Ο κ. Στράτος ήταν κλασικός τύπος ταβερνιάρη, σου έφερνε το φαγητό αλλά πάντ α θα καθόταν και θα συζήταγε κάτι μαζί σου. Το μαγαζί του ήταν τόπος συνάντησης τα μεσημέρια και οι συνδαιτυμόνες, φοιτητές, εργάτες από τις διπλανές βιοτεχνίες ή οικοδομές αλλά και κουστουμαρισμένοι από γραφεία και τράπεζες. Χωνευτήρι τάξεων, αντιλήψεων και πολιτισμών το μαγαζάκι αυτό. Από τις πλέον απολαυστικές εικόνες που μου έρχονται στο μυαλό ήταν όταν κάποιος ήθελε να αγοράσει λίγο από το χύμα κρασί. Ολόκληρη παράσταση τότε δινόταν… Ο κ. Στράτος ήταν περήφανος και το διαφήμιζε ότι χρησιμοποιώντας μόνο δύο δοχεία που χωρούσαν επτά και πέντε λίτρα μπορούσε να δώσει στους πελάτες οποιαδήποτε ποσότητα κρασιού επιθυμούσαν. Με γρήγορες κινήσεις γέμιζε ένα δοχείο το άδειαζε στο άλλο, έχυνε ότι περίσσευε πάλι μέσα στο βαρέλι αλλά τελικά σου έδινε όσα λίτρ α κρασί του ζητούσες. Πως το κατάφερνε αυτό; Πως μπορούμε χρησιμοποιώντας μόνο τα δοχεία των 5 και 7 λίτρων να δώσουμε 6 λίτρα κρασί; Πως μπορούμε να δώσουμε 1-2-3-4-8-9 λίτρα; Μ ε τ ά α π ό κ α ι ρ ό μ ο υ ή ρ θ ε σ ε e - m a i l η π α ρ α κ ά τ ω σ π α ζ ο κ ε φ α λ ι ά κ α ι σ ε θ υ μ ή θ η κ α κ . Σ τ ρ ά τ ο κ α λ ή σ ο υ ώ ρ α ε κ ε ί π ο υ β ρ ί σ κ ε σ α ι … Σ Π Α Ζ Ο Κ Ε Φ Α Λ Ι Α
- 82. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 2 Λύση Παρακάτω σχεδιάζονται τα δύο δοχεία στις διαδοχικές στιγμές όπως προσπαθούμε να σχηματίζουμε ποσότητα κρασί 6 λίτρων. Όταν κάποια στιγμή ένα δοχείο φαίνεται άδειο τότε υποτίθεται ότι η ποσότητα που προηγουμένως είχε, χύθηκε και πάλι στο βαρέλι … Προσπαθήστε να σχηματίσετε ποσότητα 1 και 3 λίτρων!! 2η κίνηση 2 λίτρα 2lt 5lt 4η κίνηση 0lt 2lt 3η κίνηση 2lt 0lt 1η κίνηση 7lt 0lt 5η κίνηση 7lt 2lt 6η κίνηση 4 λίτρα 5lt 4lt 7η κίνηση 0lt 4lt 8η κίνηση 0lt 4lt 9η κίνηση 7lt 4lt 10η κίνηση 6lt 5lt 11η κίνηση 6 λίτρα 6lt
- 83. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 3 Ιστορία 24η Ήταν το 1968 όταν κυκλοφόρησε ένα παιχνίδι σαν αυτά που φαίνονται δίπλα. Η αρχική μορφή όταν το αγόραζες ήταν ένα μπερδεμένο - ασυνάρτητο σχήμα αφού τα τετραγωνάκια που σχηματίζουν την εικόνα δεν παρουσιάζονταν στη σωστή σειρά. Ο σκοπός του ήταν να αναδιατάξεις τα 15 τετραγωνάκια ώστε να παρουσιαστεί ή ζωγραφιά, ή στην απλούστερη εκδοχή του να βάλεις στη σειρά από το 1 ως το 15 τα αριθμημένα τετραγωνάκια. Δημιουργός του παιχνιδιού αυτού ήταν ο Αμερικανός Sam Loyd (1841-1911). Υπάρχει τρόπος να εξασκηθείς και σήμερα αφού το παιχνίδι στις διάφορες μορφές του προσφέρεται διαδικτυακά!! Μία τέτοια ιστοσελίδα είναι και η : http://www.sunshine2k.de/stuff/Java /15puzzle /15Puzzle.html Ο Sam Loyd πρόσφερε μία «απλούστερη» εκδοχή του παιχνιδιού και την ονόμασε puzzle 14-15. Η διάταξη των πλακιδίων είναι σαν αυτή που παρουσιάζεται δίπλα. Παρατηρείστε ότι απλώς έχει αναδιαταχτεί το τετραγωνάκι 14 και το 15. Είχε μάλιστα προσφέρει και ένα βραβείο 1000 δολαρίων στον πρώτο που θα μπορούσε να λύσει τη σπαζοκεφαλιά αυτή. Χιλιάδες άνθρωποι ξενύχτισαν προσπαθώντας… « … μα γα ζάτο ρ ες ξ ε χν ού σ αν ν α α νο ίξ ο υ ν τα μ αγ αζ ιά τ ου ς , έ να ς κ λη ρ ι κός στ εκό τα ν έν α ο λ όκ λ η ρ ο βρ ά δυ κάτω α πό μί α λά μ πα τ ου
- 84. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 4 δ ρ ό μου π ρο σ πα θώ ντα ς ν α θυ μ η θε ί το ν τ ρό π ο μ ε τ ον ο πο ίο εί χε λ ύ σε ι το π ρ ό β λ ημ α , … κυ βε ρν ή τ ες ναυ άγ η σα ν τα π λο ία τ ους και μ η χα νι κοί ο δ ή γ η σα ν τα τ ρ έ να πέ ρ α α πό τ ους στ α θμ ού ς , έ να ς ε κ δότ η ς π ήγε ν α φ άει τ ο με σ η μ ερ ια νό του κ αι το ν β ρ ήκ αν π ε ρασ μ έ να μ ε σά νυ χτα ν α σ π ρ ώ χν ει μ ικ ρά κ ομ μάτ ια πί τας γύ ρω απ ό έ να πιά το… » Α π ό σ π α σ μ α α π ό τ ο β ι β λ ί ο τ ο υ S i m o n S i n g h « Τ ο τ ε λ ε υ τ α ί ο θ ε ώ ρ η μ α τ ο υ F e r m a t » ε κ δ ό σ ε ι ς Τ ρ α υ λ ό ς Η συγκεκριμένη εκδοχή του παιχνιδιού ενώ φαίνεται απλούστερη από τις προηγούμενες δεν έχει λύση !!! Εξασκηθείτε με την σπαζοκεφαλιά, με τη βοήθεια της ιστοσελίδας ή βρείτε το παιχνίδι σε κάποιο παλαιοπωλείο ή κατασκευάστε το. Ανακαλύψτε τον δικό σας τρόπο ν α το λύνετε… Όταν για πρώτη φορά μετά από χρόνια έπαιξα το παιχνίδι, διαπίστωσα ότι στο applet που σας προτείνω να ασχοληθείτε, υπάρχει η δυνατότητα πολλών αναδιατάξεων των 15 τετραγώνων αλλά συγχρόνως δίνεται εξ αρχής και η δυνατότητα να γνωρίζουμε αν το puzzle είναι επιλύσιμο ή όχι !! Πως μπορούμε να γνωρίζουμε αν μία διάταξη είναι επιλύσιμη ή όχι; Τελικά γιατί η σπαζοκεφαλιά του Loyd είναι μη επιλύσιμη και τελικά τα 1000 δολάρια του ήταν ασφαλή !!!
- 85. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 5 Λύση Για να εξετάσουμε αν είναι επιλύσιμο ή όχι μία διάταξη ενός puzzle θα εισάγουμε έναν όρο, αυτόν του βαθμού διαταραχής. Ουσιαστικά είναι ένας αριθμός που μετρά πόσα ζεύγη από πλακάκια είναι σε λάθος σειρά. Π.χ. Στην αρχική διάταξη όλα τα πλακάκια βρίσκονται στη σωστή σειρά, άρα ο βαθμός διαταραχής είναι 0. Στο δεύτερο παράδειγμα τα ζεύγη που βρίσκονται σε λάθος σειρά, δηλαδή ένας μεγαλύτερος αριθμός βρίσκεται πίσω από έναν μικρότερο είναι : (3,2),(3,1),(2,1),(1,4). Άρα ο βαθμός διαταραχής είναι 4. Στην περίπτωση του puzzle 14-15 όπου η μόνη αναδιάταξη είναι μεταξύ των πλακών με αριθμούς 14 και 15 ο βαθμός διαταραχής ε ίναι 1. Ας βρούμε το βαθμό διαταραχής και για το διπλανό Puzzle. Τα ζεύγη είναι (14,13),(14,12),(13,12), άρα Β.Δ ( β α θ μ ό ς δ ι α τ α ρ α χ ή ς ) =3 Για να εξετάσουμε πότε ένα puzzle λύνεται, πρέπει να ξεκινήσουμε ανάποδα… (σχήμα 1 ο ) και να αλλάξουμε κάποια από τα πλακάκια… (σχήμα 2 ο ) και στο νέο puzzle να αλλάξουμε πάλι κάποια από τα πλακάκια του (σχήμα 3ο ) . Τα δύο τελευταία puzzle είναι προφανώς επιλύσιμα αφού προέκυψαν από αναδιάταξη των πλακών ξεκινώντας από την αρχή, οπότε μία αντίστροφη σειρά μετακινήσεων θα οδηγήσει στη λύση του προβλήματος. Ας βρούμε τον βαθμό διαταραχής στα δύο τελευταία σχήματα . Για το 2ο σχήμα έχουμε ((15,11),(15,13),(15,14),(15,12),(13,12),(14,12) άρα Β.Δ=6. Για το 3ο σχήμα έχουμε (12,10),(12,11),(14,13),(14,10),(14,11),(15,13),( 15,10), (15,11),(13,10),(13,11) άρα Β.Δ=10 Αποδεικνύεται ότι οι διατάξεις που είναι επιλύσιμες , που προκύπτουν δηλαδή μετά από αναδιατάξεις των πλακών από την αρχική μορφή έχουν βαθμό διαταραχής άρτιο αριθμό. Για το λόγο αυτό οποιαδήποτε διάταξη με περιττό αριθμό βαθμού διαταραχής είναι μη επιλύσιμο puzzle. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 3 2 1 4 6 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 σ χ ή μ α 1 ο σ χ ή μ α 2 ο σ χ ή μ α 3 ο
- 86. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 6
- 87. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 7 Ιστορία 25η Σε μία μεγάλη χώρα την Mathland την χώρα των μαθηματικών σε μία μεγάλη πόλη, στην Math Vegas γνωστή για τα καζίνο της όπου παίζονται όλα τα μαθηματικά παιχνίδια, τώρα τελευταία τη ς μόδας είναι ένα παιχνίδι που λέγεται Math jack. Προσοχή αναγνώστη, κάθε ομοιότητα με πρόσωπα και μέρη γνωστά είναι απλώς σύμπτωση!!! Το παιχνίδι αυτό παίζεται με εννέα κάρτες όπου είναι σημειωμένοι οι αριθμοί 3,4,5,6,7,8,9,10 και 11. Ο σκοπός είναι ποντ άροντας ο παίκτης και η μάνα διαδοχικά σε μία κάρτα τη φορά (κάνοντάς την δική τους) να φτάσει κάποιος από τους δύο πρώτος, σε άθροισμα ίσο με 21, χρησιμοποιώντας όποιες από τις κάρτες του θέλει. Για να έχει ενδιαφέρον το παιχνίδι, το καζίνο δίνει το πλ εονέκτημα στον πελάτη να παίξει πρώτος. Επίσης σε κάθε χτύπημα το καζίνο ποντάρει 100mathόλαρα ενώ ο παίκτης 1. Στο τέλος ο νικητής παίρνει όλα τα math$ που βρίσκονται στο τραπέζι και αν κερδίσει ο πελάτης παίρνει επιπλέον δώρο ετήσια συνδρομή για το περ ιοδικό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, ο « Μικρός Ευκλείδης» !!! Για να καταλάβουμε τους όρους του παιχνιδιού ας παίξουμε μία παρτίδα. Πελάτης : ποντάρω στο 10 1 math$ Καζίνο : ποντάρω στο 3 100 math$ Πελάτης : ποντάρω στο 8 1 math$ Καζίνο : ποντάρω στο 11 100 math$ Πελάτης : ποντάρω στο 7 1 math$ Καζίνο : ποντάρω στο 4 100 math$ Πελάτης : ποντάρω στο 6 1 math$ και παρακαλώ τα λεφτά στον μάστορα !!!, αφού 8+7+6=21 Βέβαια η παρτίδα αυτή είναι μία από τις πολλές που μπορού ν να παιχτούν. Έχει παρατηρηθεί όμως ότι το καζίνο, γνώστης των μυστικών της μαθηματικής επιστήμης … κερδίζει τις περισσότερες φορές, λες και ότι έχει μία σίγουρη στρατηγική νίκης στο συγκεκριμένο παιχνίδι!!! Υπάρχει πράγματι στρατηγική νίκης ; Εσείς τι λέτε ….
- 88. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 8 Λύση Το παιχνίδι είναι μία απλή παραλλαγή της γνωστής σε όλους μας τρίλιζας και του «μαγικού» τετραγώνου που σχηματίζουμε τον αριθμό 15 σε κάθε στήλη ή γραμμή ή διαγώνιο βάζοντας τους αριθμούς 1,2,…9 σε έναν πίνακα 3Χ3. Ας σχηματίζουμε ένα παρόμοιο πίνακα με άθροισμα τώρα 21 χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 3,4,…11 Αν η μάνα γνωρίζει έναν τέτοιο πίνακα τότε μπορεί να σχεδιάσει εκ του ασφαλούς τη στρατηγική της για να κερδίσει ή να χάσει κατά το δοκούν … Για να καταλάβουμε ας δούμε τις κινήσεις μάνας και παίκτη που έγιναν στο προηγούμενο παράδειγμα. Ο παίκτης πόνταρε στο 10 και η μάνα στο 3. Η μάνα ποντάροντας στο 3 ουσιαστικά ήθελε να χάσει γιατί από τον πίνακα γίνεται φανερό ότι οποιαδήποτε άλλη κίνηση εκτός από τη δέσμευση του 7 θα οδηγούσε σε ήτα. Επομένως έχοντας υπόψη της η μάνα ένα τέτοιον πίνακα είναι σε θέση όποια στιγμή θέλει να χάσει η να κερδίσει ή να οδηγήσει το παιχνίδι σε ισοπαλία. Μη ξεχνάμε ότι η τρίλιζα είναι ένα τετριμμένο παιχνίδι με την έννοια ότι αν και οι δύο παίκτ ες έχουν εντρυφήσει στα μυστικά της δύσκολα μπορεί να κερδίσει κάποιος.
- 89. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 9 Ιστορία 26η Υπάρχουν άνθρωποι που αν και δεν έχουν σπουδάσει τίποτε έχουν μία εσωτερική σοφία που ώρες - ώρες σε ξαφνιάζει. Εδώ και δέκα χρόνια κάθε Πέμπτη η κ. Κατερίνα έρχε ται στο σπίτι μου και μου το καθαρίζει. Η κ. Κατερίνα κατάγεται από τη Γεωργία είχε μία τακτοποιημένη ζωή εκεί, αλλά ήρθαν τα ανάποδα χρόνια, που σε όλους μπορούν να έρθουν, και αναγκάστηκε να αφήσει τα πάντα και να αναζητήσει ένα καλύτερο μέλλον στη μαμά Ελλάδα. Η κ. Κατερίνα είναι Ρώσο - πόντια, εκεί στην αρχαία Κολχίδα ελληνικός πληθυσμός υπήρχε από τα πολύ παλιά χρόνια, εδώ και τέσσερις χιλιάδες χρόνια λένε οι ιστορικοί. Μία μέρα πως το έφερε η κουβέντα, ούτε που θυμάμαι, χρειάστηκε να πολλαπλασιάσει δ ύο αριθμούς π.χ. τους 21 και 45. Η έκπληξη που αισθάνθηκα από την περίεργη τεχνική που η κ. Κατερίνα χρησιμοποίησε για να τους πολλαπλασιάσει δεν περιγράφεται… Έγραφε σε δύο στήλες του αριθμούς και μετά τον πρώτο τον υποδιπλασίαζε και τον δεύτερο τον διπλ ασίαζε. Αν στην διαίρεση του πρώτου με το 2 έμενε υπόλοιπο τότε από κάτω έγραφε απλώς το πηλίκο και το υπόλοιπο το ξεχνούσε. Την διαδικασία αυτή την συνέχιζε μέχρις ότου η πρώτη στήλη φθάσει στον αριθμό 1. Τότε σημείωνε τους μονούς αριθμούς της πρώτης στήλ ης και έπειτα πρόσθετε τους αντίστοιχους αριθμούς της δεύτερης στήλης. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των δύο αριθμών δίνεται από το άθροισμα αυτό !! Πράγματι 45 21 945 Πως όμως εξηγείται αυτό; Γ ι α π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α ε π ι σ κ ε φ τ ε ί τ ε τ η ν ι σ τ ο σ ε λ ί δ α h t t p : / / d e m o n s t r a t i o n s . w o l f r a m . c o m / i n d e x . h t m l R u s s i a n p e a s a n t
- 90. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 0 Λύση Η τεχνική βασίζεται στο να γράψουμε τον έναν από τους δύο παράγοντες σε δυαδική μορφή. Δηλαδή ο αριθμός 45 γράφεται 5 3 2 0 101101 2 2 2 2 32 8 4 1 45 Οπότε το γινόμενο 45 21 γράφεται 5 3 2 0 5 3 2 0 45 21 (2 2 2 2 ) 21 2 21 2 21 2 21 2 21 672 168 84 21 945
- 91. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 1 Ιστορία 27η Η ιστορία του αριθμού 2 Η ιστορία μας εξελίσσε ται στην Αθήνα το 410 π.χ. κάτω από το βράχο της Ακρόπολης. Πρωταγωνιστές ο δάσκαλος Σωκράτης και ένα παιδί, σαν όλα τα παιδιά της εποχής, γεμάτο όρεξη να μάθει τα πάντα και γρήγορα… Ο διάλογος που ακολουθεί θα μπορούσε να είναι αληθινός. Το παιδί για τι ς ανάγκες της ιστορίας θα το πούμε Γιώργο και οι όποιες αναφορές σε μαθηματικά θέματα θα γίνουν χρησιμοποιώντας σύγχρονους συμβολισμούς. Σωκράτης : πες μου Γιώργο στο σχολείο έχετε μάθει για το τετράγωνο Γιώργος : και βέβαια, είναι το τετράπλευρο που έχε ι όλες τις πλευρές και τις γωνίες του ίσες. Σωκράτης : ξέρεις πόσο είναι το εμβαδόν του Γιώργος : αν η πλευρά του είναι α τότε το εμβαδόν του είναι 2 α Σωκράτης : εσύ ξέρεις πολλά…. Πες μου λοιπόν αν έχω ένα τετράγωνο πλευράς 1, πως μπορώ να φτιάξω ένα τετράγωνο με διπλάσιο εμβαδόν; Γιώργος : αυτό είναι απλό…, διπλασιάζοντας τις πλευρές του θα πάρω ένα τετράγωνο με διπλάσιο εμβαδόν. Σωκράτης : συγκεντρώσου … Γιώργος : δίκιο έχεις, βλακεία είπα. Αν διπλασιάσ ω τις πλευρές θα έχω ένα τετράγωνο με πλευρά 2 άρα το εμβαδόν του καινούργιου τετραγώνου θα είναι 4 και όχι 2 που θέλεις. Σωκράτης : οπότε… Γιώργος : το σίγουρο είναι ότι η πλευρά του τετραγώνου που ψάχνουμε είναι μεγαλύτερη από 1 και μικρότερη από 2. Σωκράτης : καλά τα πας… Γιώργος : καμιά βοήθεια … Σωκράτης : ας κάνουμε ένα σχήμα είναι πιθανόν να μας βοηθήσει
- 92. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 2 Γιώργος : ορίστε …. Σχεδίασα όλα τα τετράγωνα, αυτό με πλευρά 1 και εμβαδόν 1 και αυτό με πλευρά 2 και εμβαδόν 4. Σωκράτης : πολύ καλά. Τα σχεδίασ ες και σε τετραγωνισμένο χαρτί αυτό θα μας βοηθήσει. Γιώργος : το τετράγωνο που ζητάμε είναι κάτι το ενδιάμεσο από αυτά εδώ. Σωκράτης : καλά τα λές… Γιώργος : …. Σωκράτης : μάλλον βρεθήκαμε σε αδιέξοδο. Γιώργος : δεν ξέρω τι άλλο να κάνω. Σωκράτης : πρέπε ι με κάποιον τρόπο να φτιάξουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν το μισό του μεγάλου Γιώργος : ναι… Σωκράτης : για πες μου, στο σχολείο μάθατε για την διαγώνιο. Γιώργος : και βέβαια, είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις απέναντι κορυφές του τετραγώνου. Σωκράτης : η διαγώνιος χωρίζει το τετράγωνο … Γιώργος : π ε τ ά γ ε τ α ι χ ω ρ ί ς ν α α φ ή σ ε ι τ ο δ ά σ κ α λ ο ν α ο λ ο κ λ η ρ ώ σ ε ι τ η ν π ρ ό τ α σ η τ ο υ σε δύο ίσα τρίγωνα!! Σωκράτης : άρα αυτή εδώ η διαγώνιος ( σ χ ε δ ι ά ζ ε ι τ η δ ι α γ ώ ν ι ο ) χωρίζει το τετράγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσα εμβαδά. Γιώργος : το κάθε ένα έχει εμβαδόν 1 2 Σωκράτης : τώρα μήπως μπορείς να κατασκευάσεις ένα τετράγωνο με εμβαδόν 2, το μισό δηλαδή του μεγάλου τετραγώνου; Γιώργος : τώρα νομίζω πως μπορώ !!
- 93. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 3 Ποια είναι η λύση που προτείνει στον Σωκράτη ο Γιώργος; Ποια είναι τελικά η πλευρά του τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με 2; Αυτά και άλλα πολλά ερωτήματα έψαχναν απαντήσεις στην Αθήνα του 410 π.χ. για περισσότερες πληροφορίες μελετήστε την εξαιρετική εργασία « η μαιευτική μέθοδ ος του Σωκράτη και η εφαρμογή της στο ελληνικό σχολείο» που θα βρείτε στην διεύθυνση : http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2589 Όσο για το μήκος της πλευράς του τετραγώνου με εμβαδόν 2, αυτό που γνωρίζουμε είναι ότι οι μαθηματικοί προσπάθησαν χρόνια ολόκληρα να το υπολογίσουν αλλά στο τέλος αρκούνταν σε μία καλή προσέγγιση του!! Λέγεται ότι ο πρώτος μαθηματικός που συνειδητοποίησε ότι ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να βρεθεί, δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα ή ως πολλαπλάσιο κάποιου από τους γνωστούς σε όλους μας φυσικούς αριθμούς ήταν ο Ίππασος. Ο Ίππασος άνήκε σε μία μυστικιστική οργάνωση μαθηματικών με αρχηγό το Πυθαγόρα. Οι Πυθαγόρειοι, έτσι ονομάζονταν όλοι οι μαθηματικοί, μαθητές του Πυθαγόρα , είχαν την έδρα τους στον Κρότωνα στην Νότια Ιταλία. Ήταν πεποίθηση των Πυθαγορείων ότι όλα τα μεγέθη, μήκη εμβαδά , όγκοι εκφράζονται με τη βοήθεια των φυσικών αριθμών. Για αυτό οι μόνοι αριθμοί που χρειαζόμαστε είναι οι ρητοί, δηλαδή οι αριθμοί που προ κύπτουν ως λόγοι δύο φυσικών αριθμών. Όμως η πιο γνωστή ανακάλυψη τους το γνωστό σε όλους μας πυθαγόρειο θεώρημα έμελε να φέρει αναστάτωση σε ολόκληρη την κοινότητα. Το μήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με 1 είναι ένα μήκος που δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο φυσικών αριθμών. Τον αριθμό αυτόν και όλους τους άλλους όμοιους του, που βρέθηκαν αργότερα τους ονόμαζαν μήκη «άλογα» - « ανέκφραστα» - « άρρητα»
- 94. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 4 Λύση Η λύση που πρότεινε ο Γιώργος είναι η εξής : Παρατηρείστε ότι η πλευρά α του τετραγώνου που ψάχνουμε είναι υποτείνουσα τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με 1. Γιατί όμως το μήκος αυτό α για το οποίο ισχύει 2 α 2 είναι άρρητος αριθμός ; Η πιο γνωστή απόδειξη βασίζεται στην πρόταση (Π) « το τετράγωνο κάθε άρτιου αριθμού είναι αριθμός άρτιος και αντίστροφα, αν δηλαδή το τετράγωνο ενός αριθμού είναι άρτιος τότε και ο αριθμός είναι άρτιος» (άρτιος – ζυγός λέγεται ένας αριθμός όταν είναι πολλαπλάσιος του 2) Έτοιμοι !! ξεκινάμε … 1. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός α που εκφράζει την πλευρά του τετραγώνου εμβαδού 2 είναι ρητός. 2. Υπάρχουν λοιπόν φυσικοί αριθμο ί μ , ν ώστε μ α ν .Ο λόγος αυτός υποθέτουμε ότι δεν μπορεί να απλοποιηθεί, ειδάλλως θα τον απλοποιούσαμε. 3. Υψώνουμε και τα δύο μέλη της ισότητας στη δευτέρα και έχουμε 2 2 2 μ α ν ή 2 2 2 2 μ 2 μ 2ν ν (1) 4. Άρα ο αριθμός 2 μ είναι πολλαπλάσιος του 2 δηλαδή άρτιος οπότε σύμφωνα με την πρόταση (Π) και ο μ είναι άρτιος. Ας τον συμβολίσουμε μ 2m.
- 95. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 5 5. Οπότε η (1) γράφεται 2 2 2 2 4m 2ν ν 2m . Άρα ο 2 ν είναι άρτιος άρα και ο ν είναι άρτιος. Ας τον συμβολίσουμε ν 2n 6. Ο αριθμός α μπορεί πλέον να γραφεί σ τη μορφή μ 2m m α ν 2n n πράγμα άτοπο διότι εξ αρχής είχαμε υποθέσει ότι το κλάσμα μ ν είναι ανάγωγο ( δεν μπορεί να απλοποιηθεί). Για πρώτη φορά στην ιστορία οι μαθηματικοί βρέθηκαν μπροστά σε ένα περίεργο φαινόμενο!!! Ένα ευθύγραμμο τμήμα με συγκεκριμένο μήκος τους προκαλούσε να το υπολογίσουν με ακρίβεια, χρησιμοποιώντας τους γνωστούς αριθμούς, φυσικούς - ρητούς. Τα μαθηματικά που γνώριζαν δεν επαρκούσαν … Ένας νέος αριθμός γεννήθηκε ο 2 και μαζί με αυτόν μια νέα ομάδα αριθμών, οι άρρητοι αριθμοί…
- 96. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 6
- 97. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 7 Ιστορία 28η Η ιστορία της ακολουθίας του Fibonacci Πρωταγωνιστής της ιστορίας ο Leonardo Pisano ή Fibonacci γεννηθείς στη Πίζα το 1170 μ.Χ. Ταξίδεψε στην Ελλάδα στην Αίγυπτο και σ την Συρία γνωρίζοντας τα Ελληνικά και Αραβικά μαθηματικά. Επιστρέφει στην Πίζα γύρω στο 1200 και το 1202 δημοσιεύει το liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του Στο βιβλίο του έδειχνε τ ην πρακτικότητα του αραβικού αριθμητικού συστήματος στην τήρηση εμπορικών βιβλίων, στις χρηματοσυναλλαγές, τις μετατροπές των μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό των επιτοκίων και σε άλλες εφαρμογές . Οι έμποροι του Μεσαίωνα έγραφαν με το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης το οποίο είναι απλό για την καταγραφή αριθμών, την πρόσθεση και την αφαίρεση αλλάς όχι για τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση. Ενώ στις συναλλαγές τους χρησιμοποιούσαν αριθμητικό άβακα, για να κάνουν υπολογισμούς Ο Fibonacci τους έδωσε ένα λειτ ουργικό σύστημα ψηφίων ( τ ο δ ε κ α δ ι κ ό σ ύ σ τ η μ α ) για τον υπολογισμό των αριθμητικών πράξεων. Καταρχήν περιγράφει τα εννιά δεκαδικά ψηφία καθώς το σύμβολο 0 το οποίο ονομαζόταν sifr στα αραβικά. (Α π ό ε κ ε ί π ρ ο έ ρ χ ε τ α ι η Α γ γ λ ι κ ή λ έ ξ η z e r o ) . Το βιβλίο έτυχε θερμ ής υποδοχής ανάμεσα στους λογίους της Ευρώπης και τους επηρέασε σημαντικά. Στο τρίτο μέρος του liber abaci εμφανίζεται το παρακάτω πρόβλημα: «Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι τον μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος;»
- 98. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 8 Λύση Ένας εποπτικός τρόπος για να παρακολουθήσουμε την εξέλιξη του π ροβλήματος είναι το διπλανό σχήμα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία : 1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946 ... Παρατηρείστε ότι κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Η ακολουθία αυτή των αριθμών ονομάζονται αριθμοί Fibonacci και ορίζονται από τον τύπο: ν 2 ν 1 ν 1 2α α α με α 1 και α 1 Άρα τον πρώτο χρόνο υπάρχουν 144 ζευγάρια κουνέλια !! Από τότε που πρωτοεμφανίστηκε η ακολουθία Fibonacci πολλά έχουν γραφεί, πολλές ιδιότητες έχουν ανακαλυφθεί, πολλοί τρόποι περιγραφής της έχουν διατυπωθεί. Ένας τρόπος παρουσίασης και ο διπλανός όπου σχεδιάζουμε δύο τετράγωνα πλευράς 1 μετά ένα πλευράς 2, στη συνέχεια ένα πλευράς 3, ένα πλευράς 5 κ.ο.κ. Τα τετράγωνα αυτά τα ονομάζουμε τετράγωνα Fibonacci . Αν στη συνέχεια ενώσουμε με μία καμπύλη τις κορυφές του θα σχηματισθεί, όπως στο σχήμα μία έλικα, η έλικα Fibonacci .
- 99. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 9 Ιστορία 29η Η ιστορία που θα αφηγηθώ αναφέρεται πράγματι σε κάτι το μαγικό. Για ένα μυστηριακό σύμβολο « το πεντάλφα ». Κατά την αρχαιότητα συμβόλιζε την τελειότητα και την ομορφιά. Σχετιζόταν με την θεά Αφροδίτη αφού ο πλανήτης Αφροδίτη διέγραφε το σχήμα αυτό στον ελλειπτικό ουρανό κατά τη διάρκεια οχτώ ετών. Με την επικράτηση του χριστιανισμού κάθε τι που ανήκε στην παλιά θρησκεία δαιμονοποιήθηκε και έτσι το σχήμα αυτό επικράτησε να συμβολίζει το κακό, το σατανικό… Όμως εδώ δεν εξετάζουμε αυτά. Το μαγικό που υπάρχει και θα το ανακαλύψουμε μαζί, είναι οι γεωμετρικές ιδιότητες του. Κατά αρχήν το σχήμα αυτό είναι το πρώτο από ένα πλήθος άλλων γεωμετρικών σχημάτων – κατασκευών, ( λ έ γ ο ν τ α ι f r a c t a l s κ α ι θ α τ α γ ν ω ρ ί σ ο υ μ ε σ ε ά λ λ η ι σ τ ο ρ ί α ) που έχει την ιδιότητα να αποτελείται από άπειρα το πλήθος μέρη, κάθε ένα όμως από αυτά να είναι όμοιο μ ε το όλο. Ας παρατηρήσουμε … Πόσα πεντάγωνα βλέπετε ; Πόσα αστέρια ; Δείτε καλύτερα … Ανακαλύψτε ότι το αρχικό πεντάγωνο δημιουργεί ένα μικρότερο και αυτό ένα μικρότερο, επ’ άπειρο …, ώστε κάθε μέρος του πενταγώνου είναι το ίδιο με το όλο. Είναι αντικείμενο που ενώ κατακερματίζεται, παραμένει ενωμένο !!! Κατά δεύτερον, αν μετρήσουμε τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ στο διπλανό σχήμα θα παρατηρήσουμε ότι ισχύει η σχέση : ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΒΓ . Δηλαδή το τμήμα ΑΓ χωρίζεται από το σημείο Β σε δύο τμήματα ώστε: «ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο τμήμα, είναι ίσος με τον λόγο του συνολικού μήκους του τμήματος προς το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος» Ο χωρισμός αυτός ονομάζεται διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρ ο λόγο.
- 100. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 00 Στα στοιχεία του Ευκλείδη γράφεται : [Βιβλίον VI] Ὅροι ε΄ [5]. γ΄ [3]. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμ ῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμ ῆμα,οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον. Η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σύμφωνα με την παραπάνω αναλογία, θεωρείται η πιο αρμονική, η πιο καλαίσθητη. Ο Luca Pacioli (1445-1524) την ονόμασε «ιερά αναλογία». Ο Johannes Kepler (1571 -1630) την ονόμασε « ιερά τομή». Ο L. Lorenz (1829 -1891) την ονόμασε «συνεχή τομή». Η ονομασία «χρυσή τομή» αποδίδεται στον Leonardo Da Vinci (1452 - 1519) Ας υπολογίσουμε έναν τέτοιο λόγο … Θεωρούμε τμήμα ΑΓ=1 και έστω ότι το μεγαλύτερο τμήμα είναι χ και το μικρότερο 1-χ, τότε έχουμε διαδοχικά 2χ 1 χ 1 5 χ χ 1 0 χ 1 χ 2 η τιμή αυτή είναι περίπου ο δε λόγος 1 χ 0,61803398875… 1,61803398875… Παρατηρήστε την ομοιότητα ανάμεσα στους δύο αριθμούς …. Ο δεύτερος αριθμός, δηλαδή ο λόγος ανάμεσα στο ολόκληρο τμήμα και το μεγαλύτερο κομμάτι έχει επικρατήσει να συμβολίζεται με το γράμμα φ ( π ρ ο ς τ ι μ ή ν τ ο υ κ υ ρ ι ό τ ε ρ ο υ ε κ π ρ ο σ ώ π ο υ τ η ς α ρ μ ο ν ί α ς σ τ η ν Τ έ χ ν η κ α τ ά τ η ν α ρ χ α ι ό τ η τ α , τ ο υ Φ ε ι δ ί α ) . Τα πρώτα 150 ψηφία του άρρητου αριθμού Φ είναι : 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766... Για περισσότερα δεκαδικά ψηφία δες http://goldennumber.net/phi20000.htm
- 101. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 01 Κάποια μέρα ζήτησα από τους μαθητές μου να τοποθετήσουν ένα κάδρο στο τοίχο της τάξης τους ώστε να δείχνει όσο το δυνατό πιο όμορφα. Οι προτάσεις που πήρα ήταν τέτοιες που πλησίαζαν προς αυτή του διπλανού σχήματος. Παρατηρήστε ότι το κέντρο του κάδρου χωρίζει τις δύο διαστάσεις του ορθογωνίου σε λόγο Φ !!! Ο άνθρωπος είναι να μη ανακαλύψει κάτι ενδιαφέρον πρωτότυπο και συγχρόνως μυστηριακό, θα το βλέπει παντού. Έτσι και η χρυσή αναλογία, ψάξε – ψάξε τη βρίσκεις σε κάθε δημιούργημα ανθρώπινο ή θείο. Τυχαίο ; Παρατηρήστε τα παρακάτω σχέδια και σχήματα. Σας αφήνω μόνους για να πιστέψετε ή να αμφισβητήσετε ... Ε π ί δ α υ ρ ο ς N o t r e d a m e α ν θ ρ ώ π ι ν ο χ έ ρ ι η Α φ ρ ο δ ί τ η τ η ς Μ ή λ ο υ α ν θ ρ ώ π ι ν α δ ά κ τ υ λ α
- 102. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 02 π ρ ό σ ω π ο Π α ρ θ ε ν ώ ν α ς Ο Π α ρ θ ε ν ώ ν α ς Μ υ σ τ ι κ ό ς δ ε ί π ν ο ς d a V i n c i α ν θ ρ ώ π ι ν ο σ ώ μ α M o n a L i s a - d a V i n c i
- 103. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 03 Ιστορία 30η Η σημερινή ιστορία φιλοδοξεί να μας μάθει να συμβολίζουμε αρχαιο -ελληνικά . Ο τρόπος συμβολισμού των αριθμών στην αρχαία Ελλάδα ήταν διαφορετικός από ότι σήμερα. Η σκέψη τους απλή. Έλεγαν, γιατί να χρησιμοποιούμε άλλα σύμβολα για τους αριθμούς αφού ήδη έχουμε τα γράμματα. Έτσι σχημάτισαν ένα «αλφάβητο» αριθμών !! Έτσι το 7634 γραφόταν « ,ζχλε », ενώ το 666 « χξς’» Για αριθμούς μεγαλύτερους του 9.000 χρησιμοποιούσαν το σύμβολο αΜ της μυριάδας (10.000) , έτσι για να συμβολίσουν τον αριθμό : 22345 έγραφαν αΜβ’ ’ ,βτμε εννοώντας 1 μυριάδα (αΜ) επί 2 (β’) άρα 20.000 και μετά τον αριθμό 2345 (,βτμε) 100283 έγραφαν αΜι’ σπγ εννοώντας 1 μυριάδα (αΜ) επί 10 (ι’) άρα 100.000 και μετά τον αριθμό 283 (σπγ) 1000283 έγραφαν αΜρ’ σπγ εννοώντας 1 μυριάδα (αΜ) επί 100 (ρ’) άρα 1.000.000 και μετά τον αριθμό 283 (σπγ) 90000283 έγραφαν αΜ,θ σπγ εννοώντας 1 μυριάδα (αΜ) επί 9000 (,θ) άρα 90.000 .000 και μετά τον αριθμό 283 (σπγ) 100.000.000= 2 10.000 έγραφαν βΜα’ ή βΜ 1.000.000.000.000= 3 10.000 έγραφαν γΜα’ ή γΜ κ.τ.λ. Άρα το εξωτερικό χρέος της Ελλάδας που είναι περίπου 345.000.000.000 θα γραφόταν βΜ ,γυ’ν’. Όπως και να το γράψει κάποιος, πάλι μεγάλο είναι !!! Για εξάσκηση προτείνω να γράψετε στην επόμενη φορολογική δήλωση: την ηλικία σας, τον αριθμό της ταυτότητάς σας, τη χρονολογία γεννήσεως σας , το ποσό του τραπεζικού λογαριασμού σας , το ετήσιο εισόδημά σας σωστά- ειλικρινά ΑΛΛΑ στα Ελληνικά !!!
- 104. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 04
- 105. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 05 Ιστορία 31η Όποτε βρεθείτε σε εκκλησία σας προτρέπω να εξετάσετε με επιμονή τα βιτρό στα παράθυρα ή τις πλακοστρώσεις του δαπέδου της. Παρατηρήστε τα σχέδια που σχηματίζονται από τους διάφορους συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων. Με πόσους όμως διαφορετικούς συνδυασμούς μπορούμε να σχηματίσουμε ένα βιτρό ή μία πλακόστρωση ; Για να μπορέσουμε να δώσουμε μία μαθηματική απάντηση στο ερώτημα αυτό ας θυμηθούμε ορισμένες βασικές γνώσεις από την Λυκειακή γεωμετρία. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν είναι ισόπλευρο και ισογώνιο. Σε ένα κανονικό πολύγωνο εξετάζουμε δύο χαρακτηριστικές γωνίες του. Την κεντρική γωνία νω για την οποία ισχύει ο ν 360 ω ν όπου ν ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου και την γωνία του νφ για την οποία ισχύει ότι : ο ν νω φ 180 . Άρα για το κανονικό εξάγωνο του διπλανού σχήματος έχουμε ότι : ο ο 6 360 ω 60 6 και ο ο ο ο 6 νφ 180 ω 180 60 120 Είναι προφανές ότι ένα τετράγωνο βιτρό ή πλακάκι χρησιμοποιείται για την κάλυψη οποιασδήποτε επιφάνειας όμως : 1. Πότε ένα κανονικό πολύγωνο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μονάδα για την κάλυψη μιας επιφάνειας; 2. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά πολύγωνα για καλυφθεί πλήρως, χωρίς επικαλύψεις μία επιφάνεια;
- 106. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 06 Λύση Για να χρησιμοποιηθεί ως μονάδα πλακόστρωσης ένα κανονικό πολύγωνο ν- πλευρών θα πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός μ ώστε ο ο ο ο ν 360 μ φ 360 μ (180 ) 360 ... μ ν 2μ 2ν ν Ή παραγοντοποιώντας την τελευταία σχέση καταλήγουμε (μ 2)(ν 2) 4 δηλαδή μ 2 2 μ 2 4 μ 2 1 ή ή ν 2 2 ν 2 1 ν 2 4 Άρα μ=4 και ν=4 ή μ=6 και ν=3 ή μ=3 και ν=6 Δηλαδή μία πλήρης πλακόστρωση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας: 4 τετράγωνα ή 6 τρίγωνα ή 3 εξάγωνα. Για να χρησιμοποιήσουμε τρία διαφορετικά κανονικά πο λύγωνα για πλακόστρωση αρκεί να ισχύει : ο ν μ κφ φ φ 360 ;; . Αντικαθιστώντας καταλήγουμε στην συνθήκη : 1 1 1 1 ν μ κ 2 . Λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς τους φυσικούς ν, μ, κ ( η ε π ί λ υ σ η π ι θ α ν ό ν ν α κ ο ύ ρ α ζ ε γ ι ’ α υ τ ό κ α ι τ η ν π α ρ α λ ε ί π ω ) καταλήγουμε στις λύσεις : (5,5,10) , (12,12,3) , (8,8,4) , (3,7,42), (3,8,24), (3,9,18), (3,10,15), (4,5,20) και (4,6,12) Υπάρχει και λύση με τέσσερα πολύγωνα (4,4,6,3), (6,6,3,3) Ας δούμε τις λύσεις σε σχήματα, γατί όπως και να το κάνουμε μία εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις πόσο μάλλον αποδείξεις !!
- 107. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 07 Sketchp Για περισσότερες πλακοστρώσεις περιηγηθείτε στο μαγικό κόσμο του sketchpad πατώντας ΕΔΩ
- 108. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 08
- 109. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 09 Ιστορία 32η Ήταν αρχές του Σεπτεμβρίου το 1975. Α’ Λυκείου στο κβ’ Λύκειο Αθηνών στα κάτω Πατήσια. Πρώτη μέρα στο Λύκειο. Πρώτη επαφή με τα Μαθηματικά. Καθηγητής ο κ. Ιωάννης Π. Ξεκινά να μιλά σχεδόν μονολογώντας. « τα μαθηματικά είναι συλλογισμός είναι αιτιολογία. Αν κάτι φαίνεται … δεν σημαίνει ότι είναι κιόλας. Μην σας ξεγελούν οι αισθήσεις σας. Δεκτό είναι μόνο κάθε τι που αποδεικνύεται !! » και συνέχισε χωρίζοντας τον πίνακα σε δύο μέρη. Η εικόνα των όσων έγραψε εκεί νη την ημέρα ήταν πάνω κάτω η εξής : Και τα δύο συμπεράσματά του ήταν προφανέστατα λάθος. Γιατί όμως ; Άλγεβρα Έστω α 1 έχουμε διαδοχικά 2 2 α α α 1 α α α 1 α 1 (α 1)(α 1) (α 1) 1 (α 1) 1 α 0 Άρα 1 0 !!! Γεωμετρία Στο παραπάνω τ υχαίο τρίγωνο έχω φέρει την μεσοκάθετο του ΒΓ και τη διχοτόμο της γωνίας Α που τέμνονται στο Σ. Ισχύουν : ΣΒ=ΣΓ ιδιότητα μεσοκαθέτου ΣΛ=ΣΚ ιδιότητα διχοτόμου Άρα τα τρίγωνα ΣΒΛ και ΣΚΓ είναι ίσα όπως και τα ΑΛΣ και ΑΣΚ. Οπότε από τα ίσα τρίγωνα έχω : ΛΒ=ΚΓ και ΑΛ=ΑΚ , άρα και ΑΒ=ΑΓ Δηλαδή οποιοδήποτε τυχαίο τρίγωνο σαν το ΑΒΓ είναι τελικά ισοσκελές !!!
- 110. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 10 Λύση Για το θέμα της Άλγεβρας το λάθος βρίσκεται στην απλοποίηση του παράγοντα α 1 στην 4η γραμμή. Ο παράγοντας αυτός είναι 0 και δεν επιτρέπεται να απλοποιούμε ή ισοδύναμα να διαιρούμε και τα δύο μέλη μιας ισότητας με το 0. Στο θέμα της Γεωμετρίας το λάθος βρίσκεται στο γεγονός ότι η διχοτόμος και η μεσοκάθετος σε ένα τυχαίο τρίγωνο τέμνονται σε σημείο εκτός του τριγώνου.
- 111. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 11 Ιστορία 33η 1977 οδός Σόλωνος , κέντρο Αθήνας. Φροντιστήριο Ηράκλειτος. Όπως όλα τα παιδιά έτσι και εγώ προετοιμαζόμουν για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Στις 5 το απόγευμα το πρώτο δίωρο κάναμε Φυσική - οπτική. Ο Ηλίας Κ. δάσκαλος της Φυσικής εξιστορεί. « Θα μιλήσουμε για το φως και τον τρόπο που συμπεριφέρεται μία ακτίνα όταν αυτή προσπίπτει σε ένα καθρέπτη ή μία λεία και στιλπνή επιφάνεια. Από το δημοτικό ακόμα μαθαίνουμε ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκλασης. Γιατί όμως συμβαίνει αυτό ; Πως επιλέγεται μία τέτοια διαδρομή και όχι κάποια άλλη. Ο πρώτος που κατέληξε στο συμπέρασμα αυτό λέγεται ότι ήταν ο μαθηματικός Ήρων ο Αλεξανδρινός (10μ.χ. -70μ.Χ.). Στο έργο του «κατοπτρικά » διαπίστωσε ότι η διαδρομή αυτή είναι και η πιο μικρή. Δηλαδή η φύση κάνει οικονομία !!! Αργότερα ο Fermat (1601- 1665) κατέληξε στο ίδιο συμπέρασμα αποδεικνύοντας ότι ο δρόμος αυτός είναι και ο πιο σύντομος!!!... και συνεχίζει με αποδείξεις και ασκήσεις …» Στις 7 το απόγευμα μετά από ένα σύντομο διάλειμμα συνεχίζουμε με γεωμετρία. Καθηγητής ο Παναγιώτης Γ. ο ‘γεωμέτρη ς’ του φροντιστηρίου. « Ας λύσουμε την εξής άσκηση : δύο χωριά Α και Β βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της εθνικής οδού. Θέλουμε να κατασκευάσουμε μία έξοδο της εθνικής από όπου θα συνδεθούν με επαρχιακούς δρόμους τα δύο χωριά. Να βρείτε που πρέπει να κατασκ ευάσουμε την έξοδο ώστε το άθροισμα των αποστάσεων των χωριών από το σημείο της εξόδου να είναι το ελάχιστο δυνατό. Το πρόβλημα αυτό της εύρεσης του σημείου της εξόδου είναι γνωστό στη βιβλιογραφία ως σημείο του Ήρωνα …»
- 112. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 12 Τελικά αυτός ο Ήρωνας είχε την τ ιμητική του εκείνη την μέρα … Ήταν συνήθεια μετά από ένα κουραστικό τετράωρο στο φροντιστήριο η παρέα να συναντιέται στο «μπιλιαρδάδικο» του κ. Πέτρου. Εκεί εντρυφούσαμε στα μυστικά του «Αμερικάνικου». Γέλια – φωνές – τσακωμοί αλλά πάνω από όλα πλάκα, μεγάλη πλάκα !!! Όμως εκείνη τη μέρα όταν προσπαθούσα να στείλω επιτυχώς μία μπίλια στην τρύπα σαν να είμαστε συνενοημένοι φωνάξαμε : ο Ήρωνας !!, τη λύση θα την δώσει ο Ήρωνας !! Τελικά ποια η σχέση του Ήρωνα με το μπιλιάρδο την ανάκλαση του φωτός και το σημείο της γεωμετρίας στο οποίο το άθροισμα των αποστάσεων να γίνεται ελάχιστο;
- 113. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 13 Λύση Όταν κοιταζόμαστε σε έναν καθρέπτη το είδωλο, μας δίνει την εντύπωση ότι βρίσκεται σε ίση απόσταση «από την άλλη μεριά του καθρέπτη». Δηλαδή ισχύει ΑΟ=ΟΑ’. Όταν ένας άλλος παρατηρητής μας βλέπει « μέσα» από τον καθρέπτη η διαδρομή ΒΑ’ είναι ίση με την διαδρομή ΒΣ+ΣΑ. Συγχρόνως η θέση αυτή του σημείου Σ είναι τέτοια ώστε : η γωνία πρόπτωσης να είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης ( αφού τα τρίγων α ΑΟΣ και ΟΣΑ’ είναι ίσα) το άθροισμα των αποστάσεων ΒΣ+ΣΑ να είναι η ελάχιστη δυνατή. Αφού αν Σ’ ένα άλλο σημείο τότε : Σ'Β Σ'Α Σ'Β Σ'Α' ΒΑ' ΒΣ ΣΑ' ΒΣ ΣΑ Άρα το σημείο του Ήρωνα της κλασικής άσκησης της γεωμετρίας σχετίζεται πλήρως με την ανακλαστική ιδιότη τα του φωτός. Και όχι μόνο αυτό, ακόμα και στο μπιλιάρδο η μπίλια «ανακλάται» στα τοιχώματα του μπιλιάρδου, έτσι ακολουθεί τους κανόνες του φωτός, την αρχή της συντομότερης διαδρομής !!
- 114. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 14
- 115. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 15 Ιστορία 34η Χαϊδάρι 1986, σχολή κρυπτογραφίας. Εκπαιδευτής ο ταγματάρχης κ. Τάσος Π. Μάθημα : Ιστορία της κρυπτογράφησης . «… ο Ιούλιος Καίσαρας κρυπτογραφούσε τις διαταγές του αντικαθιστώντας τα γράμματα του κειμένου, με γράμματα, που βρίσκονται 3 θέσεις μετά, στο Λατινικό αλφάβητο. Ένα τέτοιο σύστημα κρυπτογράφησης λέγεται κρυπτοσύστημα αντικατάστασης του Καίσαρα. Στην διάρκεια του Μεσαίωνα η κρυπτολογία ήταν κάτι το απαγορευμένο. Η εξέλιξη, τόσο της κρυπτολογίας, όπως και των μαθηματικών, συνεχίζεται στον Αραβικό κόσμο όπου εμφανίστηκαν και τα πρώτα βιβλία που περιείχαν κρυπταλφάβητα .Δηλαδή, αλφάβητα όπου κάθε γράμμα της γλώσσας υποκαθίσταται από ένα άλλο γράμμα ή σύμβολο. Ένα κείμενο που προκύπτει από υποκατάσταση κάθε γράμματος από ένα άλλο γράμμα ή σύμβολο λέγεται «μονοαλφαβητικό κρυπτόγραμμα υποκατάστασης». Οι Άραβες επίσης ήταν και οι πρώτοι που επινόησαν μεθόδους κρυπτανάλυσης, (μεθόδους ανάγνωσης ενός κρυπτογραφημένου κειμένου). Η μέθοδος που βρήκαν λέγεται «ανάλυση συχνότητας» και βασίζεται στο γεγονός ότι στις περισσότερες γλώσσες κάποια γράμματα ή συνδυασμοί γραμμάτων εμφανίζονται συχνότερα από κάποια άλλα. Με τον υπολογισμό της κατανομής των γραμμάτων μέσα στα λογοτεχνικά κείμενα βρίσκουμε ένα εργαλείο αποκρυπτογράφησης, αφού στα κρυπτογραφημένα κείμενα τέτοιες ιδιότητες αναπαράγονται . Έτσι στην αρχή ψάχνουμε να βρούμε για τον κρυπτοχαρακτήρα που επαναλαμβάνεται περισσότερο και τον αντικαθιστούμε από τον χαρακτήρα που επαναλαμβάνεται περισσότερο στη φυσική γλώσσα. Τη διαδικασία αυτή τη συνεχίζουμε έως να φθάσουμε σε μία μοναδική λύση, όπο υ το εξαγόμενο μήνυμα να έχει νόημα…» Β ι β λ ί ο α π ο κ ρ υ π τ ο γ ρ ά φ ι σ η ς τ ο υ Α λ - Κ ι ν τ ί
- 116. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 16 Αν εξετάσουμε ένα μεγάλο λογοτεχνικό κείμενο γραμμένο στα Ελληνικά είμαστε σε θέση να καταλήξουμε στον παρακάτω πίνακα εμφάνισης συχνοτήτων των γραμμάτων της Ελληνικής γλώσσας. Με τη βοήθεια του προσπαθήστε να διαβάσετε το παρακάτω κείμενο χρησιμοποιώντας την μέθοδο ανάλυσης συχνοτήτων. ΘΓΜΣΓ ΟΠΤΟΤΓ ΛΜ ΗΓΗΜΡΔΞΥΖΤ ΖΜΒΚΖΜΣΓΔΜ; ΘΓΜΣΓ ΣΞ ΛΜ ΜΡΧΞΕΓΡΜΓ ΖΤ ΣΜ ΖΜΒΚΖΜΣΓΔΜ ΤΓΞΜΓ ΖΓΜ ΔΜΕΚ ΜΡΔΚΡΚ ΣΞΥ ΟΛΤΥΖΜΣΞΡ ΧΠΚΡΓΖΚ ΘΓΜ ΞΕΞΥΡ ΘΓΜΣΓ Κ ΖΜΒΚΖΜΣΓΔΚ ΡΔΤΨΚ ΖΜΡ ΗΓΛΤΓ ΣΚ ΗΥΛΜΣΞΣΚΣΜ ΛΜ ΔΜΣΜΕΜΑΞΥΖΤ ΣΞΛ ΔΞΡΖΞ ΘΥΠΩ ΖΜΡ ΤΓΛΜΓ Κ ΘΕΩΡΡΜ ΞΕΩΛ ΣΩΛ ΥΟΞΕΞΓΟΩΛ ΤΟΓΡΣΚΖΩΛ ΘΓΜΣΓ ΣΜ ΖΜΒΚΖΜΣΓΔΜ ΤΓΛΜΓ ΞΖΞΠΦΜ ΤΧΞΥΛ ΜΟΞ ΖΞΛΜ ΣΗΥΡ ΖΓΜ ΜΓΡΒΚΣΓΔΚ ΟΞΥ ΟΜΠΜΘΤΓ ΔΞΥΕΣΞΥΠΜ ΤΔΦΠΜΡΚΡ ΔΜΓ ΗΓΜΣΥΟΩΡΚΡ ΣΚΡ ΡΔΤΨΚΡ ΧΩΠΓΡ ΗΞΘΖΜΣΓΡΖΞΥΡ ΔΜΓ ΟΠΞΔΜΣΜΕΚΨΤΓΡ Πίνακας Εμφάνισης Συχνοτήτων Ελληνικής Γλώσσας Γράμμα Συχνότητα Εμφάνισης Γράμμα Συχνότητα Εμφάνισης Γράμμα Συχνότητα Εμφάνισης Α 12 Ι 7,8 Ρ 5,009 Β 0,8 Κ 4,2 Σ 4,9 Γ 2 Λ 3,3 Τ 9,1 Δ 1.7 Μ 4,4 Υ 4,3 Ε 8 Ν 7,9 Φ 1,2 Ζ 0.5 Ξ 0,6 Χ 1,4 Η 2,9 Ο 9,8 Ψ 0,2 Θ 1,3 Π 5,024 Ω 1,6
- 117. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 17 Λύση 1. Από την ανάλυση συχνοτήτων των γραμμάτων έχουμε ότι το γράμμα Μ εμφανίζεται σε ποσοστό 15% περίπου ενώ τα γράμματα Γ,Ζ,Κ,Λ,Ξ,Ρ,Σ σε ποσοστό από 7.5% ως 10.5%. Άρα μάλλον το Μ αντιστοιχεί με το α και τα υπόλοιπα γράμματα με κάποια από τα σ, τ, κ, λ, μ, ν, ε, ι. 2. Εμφανίζεται ο συνδυασμός «ΛΜ» όπου θα αντιστοιχεί με το «να» ή το «θα». 3. Εμφανίζεται ο συνδυασμός «ΖΜΡ» άρα η κατάληξη θα πρέπει να είναι ας ή αν οπότε από τις παρατηρήσει ς 2 και 3 καταλήγουμε στο : «ΛΜ=να» και «ΖΜΡ=Ζας» δηλαδή το Λ αντιστοιχεί με το ν και το Ρ με το σ ή ς. 4. Επομένως ο συνδυασμός «ΖΜΡ» δηλαδή το «Ζας» μάλλον είναι το «μας», δηλαδή το Ζ αντιστοιχεί με το μ 5. Ο συνδυασμός «ΣΜ» δηλαδή «Σα» εκφράζει μάλλον το «να» ή «τα». Άρα από την παρατήρηση 3 καταλήγουμε ότι το Σ αντιστοιχεί με το τ 6. Το Κ θα είναι φωνήεν. 7. Υπάρχει ο συνδυασμός «ΣΚ» άρα θα είναι «το» ή «τη -τι» 8. Υπάρχει ο συνδυασμός «ΖΤ» που πρέπει να εκφράζει το «με». Δηλαδή το Τ αντιστοιχεί με το Ε 9. Ο συνδυασμός «ΖΓΜ» γράφεται «μΓα» που μάλλον θα πρέπει να σημαίνει «μία» . Οπότε το Γ αντιστοιχεί με το ι . 10. Ο συνδυασμός «ΔΜΓ» μεταφράζεται σε «Δαι». Άρα θα σημαίνει «και» οπότε το Δ αντιστοιχεί με το κ 11. Ο συνδυασμός «ΘΓΜ» δηλαδή «Θια» μπορεί να είναι «μια» ( π ο υ α π ο ρ ρ ί π τ ε τ α ι δ ι ό τ ι τ ο Ζ ε ί ν α ι μ ) ή «για». Άρα το Θ αντιστοιχεί με το γ Για να δούμε που έχουμε φθάσει : Γιατι ΟΠεΟει να ΗιΗασκΞΥμε μαΒΚΖατικα; γιατι τΞ να ασΧΞΕισαι με τα μαΒΚΖατιΔκα ειΞαι μια καΕΚ ασκΚσΚ τΞΥ ΟνεΥματΞς ΧΠΚσιμΚ για ΞΕΞΥς γιατι Κ μαΒΚματικΚ ΡκεΨΚ μας Ηινει τΚ ΗΥνατΞτΚτα Λα καταΕαΑΞΥμε τΞν ΔΞσμΞ γΥΠΩ μας ειΛαι Κ γΕΩΡΡα ΞΕΩν τΩν ΥΟΞΕΞιΟΩν εΟιστΚμΩν γιατι τα μαΒΚματικα ειΛαι ΞμΞΠΦα εΧΞΥν αΟΞ μΞνα τΗΥς μια αισΒΚτικΚ ΟΞΥ ΟαΠαγει κΞΥΕτΞΥΠα εκΦΠασΚς και ΗιατΥΟΩσΚς τΚς σκεΨΚς ΧΩΠις ΗΞγματισμΞΥς και ΟΠΞκαταΕΚΨεις
- 118. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 18 Πιστεύω τώρα πως είναι εύκολο να διαβάσουμε το κείμενο καταλαβαίνοντας από τα συμφραζόμενα. Το κείμενο είναι : «Γιατί πρέπει να διδάσκουμε μαθηματικά; Γιατί το να ασχολείσαι με τα μαθημα τικά είναι μία καλή άσκηση του πνεύματος, χρήσιμη για όλους. Γιατί η μαθηματική σκέψη μας δίνει τη δυνατότητα να καταλάβουμε τον κόσμο γύρω μας. Είναι η γλώσσα όλων των υπόλοιπων επιστημών. Γιατί τα μαθηματικά είναι όμορφα. Έχουν από μόνα τους μία αισθητική που παράγει κουλτούρα έκφρασης και διατύπωσης της σκέψης χωρίς δογματισμούς και προκαταλήψεις.» Το αλφάβητο που χρησιμοποιήθηκε είναι το : Μ Α Θ Η Τ Ι Κ Β Γ Δ Ε Ζ Λ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω Για περισσότερα κρυπτό -αλφάβητα και αναλύσεις συχνοτήτων επισκεφθείτε τις διευθύνσεις : http://www.simonsingh.net/The_Black_Chamber/generalsubstitution WithMenu.html http://www.simonsingh.net/The_Black_Chamber/frequencyanalysis.ht ml
- 119. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 19 Ιστορία 35η Η ιστορία του αριθμού «π» Η ιστορία αυτή έχει από όλα !!! Αναφέρεται στον πιο διάσημο αριθμό. . Τον αριθμό π. Ναι, αυτού του περίεργου αριθμού του 3,14159…. Του αριθμού που όλες οι φυλές του κόσμου προσπάθησαν να υπολογίσουν. Βαβυλώνιοι , Εβραίοι, Αιγύπτιοι, Έλληνες, Άραβες, Ινδοί, Κινέζοι, Ευρωπαίοι, Ιάπωνες, Αμερικανοί. Του αριθμού που αφιερ ώνονται εδάφια στη βίβλο και σε αρχαίες κωμωδίες. Του αριθμού για τον οποίο δημιουργούνται ταινίες ως και ποιηματάκια απομνημόνευσης. Τι είναι όμως ο αριθμός αυτός, πως προκύπτει; Μετρήστε το μήκος του διπλανού κύκλου. Δηλαδή την περιφέρειά του. Η μέτρηση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα σπάγκο τοποθετώντας τον γύρω – γύρω στον κύκλο. Μετά μετρήστε τη διάμετρο του κύκλου Διαιρέστε τα δύο αποτελέσματα που βρήκατε. Το αποτέλεσμα είναι 3,14159…. Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξετε για οποιονδήποτε κύκλο και αν σχεδιάσετε !!!! Ο αριθμός αυτός είναι η πρώτη παγκόσμια σταθερά που ανακαλύφθηκε ποτέ !!. Είναι ο αριθμός που παγκοσμίως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π. Είναι ένας διάσημος αριθμός που έχει και την γενέθλια μέρα του. Η 14 Μαρτίου κ άθε χρόνο είναι η «pi day». Εκείνη τη μέρα όλος ο κόσμος γιορτάζει το γεγονός ότι : « η διάμετρος του κύκλου χωρά 3,14 περίπου φορές στην περιφέρεια του κύκλου. »
- 120. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 20 Ο αριθμός αυτός εμφανίζεται και στο εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Ας θυμηθούμε τον τύπο …. 2 Ε πρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου. Η ιστορία ξεκινά από … την Βαβυλώνα όπου : η επικρατούσα τιμή είναι π 3, αλλά υπάρχουν πινακίδες που αναγράφεται και η τιμή 1 π 3 3,125 8 Συνεχίζουμε στην Αίγυπτο όπου στον πάπυρο του Rind ή πάπυρο του Ames, κείμενο του 1800 π.χ. περίπου, περιέχεται ένα πρόβλημα προσδιορισμού του εμβαδού ενός κυκλικού αγρού διαμέτρου 9 khet (μονάδα μέτρησης μήκους) Οι συμβουλές του γεωμέτρη της εποχής είναι οι εξής : « Πάρε το 1/9 της διαμέτρου και αφαίρεσε το από τη διάμετρο. Τη διαφορά που θα βρεις ύψωσέ την στο τετράγωνο . Το αποτέλεσμα που θα βρεις είναι το εμβαδόν του αγρού». Δηλαδή χρησιμοποιώντας σύγχρονους συμβολισμούς οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τον τύπο 28 Ε ( δ) 9 ή 2 264 256 Ε 4ρ ρ 81 81 . Η τιμή του κλάσματος στον τύπο είναι περίπου 3,16049..., η πρώτη προσέγγιση του αριθμού π. Ανηφορίζοντας φθάνουμε προς την Ιερουσαλήμ όπου σε απόσπασμα της βίβλου ( παλαιά δι αθήκη, βασιλέων Γ’,7:23) αναφέρεται ένα κυκλικό θυσιαστήριο που είχε κατασκευαστεί στο ναό του Σολομώντα όπου ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο είναι 3 !! «… κ α ὶ ἐ π ο ί η σ ε τ ὴ ν θ ά λ α σ σ α ν δ έ κ α ἐ ν π ή χ ε ι ἀ π ὸ τ ο ῦ χ ε ί λ ο υ ς α ὐ τ ῆ ς ἕ ω ς τ ο ῦ χ ε ί λ ο υ ς α ὐ τ ῆ ς , στρογγύλον κύκλῳ τὸ αὐτό· π έ ν τ ε ἐ ν π ή χ ε ι τ ὸ ὕ ψ ο ς α ὐ τ ῆς, καὶ συνηγμένοι τρεῖς καὶ τριάκοντα ἐν πήχει ἐκύκλουν αὐτήν…»
- 121. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 21 Συνεχίζοντας προς τα πάνω … φθάνουμε στην Ελλάδα Εκεί τα μαθηματικά φθάνουν στο απόγειό τους. Οι αξιωματικές τιμές για τον αριθμό π, δεν αρκούν. Το πολίτευμα δημοκρατία, έτσι κάθε τι πρέπει να αιτιολογείται. Στο χώρο των μαθηματικών να αποδεικνύεται – να κατασκευάζεται με όσο το δυνατό λιγότερα μηχανικά μέσα ( μόνο με διαβήτη και κανόνα). Η απαίτηση της δικαιολόγησης αναδεικνύει την μαθηματική επιστήμη σε αναμφισβήτητα επίπεδα. Χαρακτηριστικός ο επίλογος κάθε μαθηματικού συλλογισμού : όπερ έδει δείξαι ή όπερ έδει ποιείσαι. Πόσο όμως είναι τελικά το π; Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλο υ με τη βοήθεια ενός ισοδύναμου τετραγώνου; Κατασκευάζεται δηλαδή τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με αυτό ενός δεδομένου κύκλου; (τετραγωνισμός του κύκλου). Όσο τα ερωτήματα αυτά δεν έβρισκαν απαντήσεις, ο τετραγωνισμός του κύκλου και όσοι προσπαθούσαν κάτι τέτ οιο, αντιμετωπίζονταν ως οι άνθρωποι που κυνηγούσαν το αδύνατο , το άπιαστο… Χαρακτηριστικό το απόσπασμα από τις όρνιθες του Αριστοφάνη που ο αστρονόμος Μέτων λέει : «με το ορθό ραβδί αρχίζω να μετρώ ώστε να γίνει ο κύκλος τετράγωνος για χάρη σου˙ και στο κέντρο του θα είναι η αγορά στην οποία θα οδηγούν όλοι οι δρόμοι συγκλίνοντας στο κέντρο, όπως σ’ ένα αστέρι, που ενώ είναι κυκλοτερές στέλνει παντού ευθείες ακτίνες λαμπρές». «Αλήθεια, ο άνθρωπος είναι Θαλής!» Απαντήσεις στα ερωτήματα αυτά βρέθηκα ν, ανοίγοντας νέους δρόμους, παράγοντας νέα μαθηματικά … Αλλά ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά. Ιπποκράτης ο Χίος (-470π.χ.) κατορθώνει να τετραγωνίσει σχήματα που περιβάλλονται από κυκλικά τόξα. Οι γνωστοί μηνίσκοι του. Αν δούμε το διπλανό σχήμα το άθρ οισμα των εμβαδών των δύο «μισοφέγγαρων» είναι όσο το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου. Τα σχήματα αυτά είναι τα πρώτα καμπυλόγραμμα χωρία που υπολογίζεται το εμβαδόν τους χωρίς να χρειαστούμε τον αριθμό π. Αλλοίμονο είναι και τα τελευταία…
- 122. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 22 Αντιφών (-430π.χ.) υπολογίζει το εμβαδόν του κύκλου εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε ένα κύκλο. Ξεκινώντας από ένα τετράγωνο κατασκευάζει οκτάγωνο – 16γωνο – 32γωνο κ.τ.λ. μέχρι να φθάσει σε πολύγωνο του οποίου οι πλευρές προσεγγίζουν την περιφέρεια του κύκλου. Με τον τρόπο αυτό κατορθώνει να προσδιορίσει με μεγάλη ακρίβεια το εμβαδόν του κύκλου. Σιγά σιγά γίνεται αντιληπτό ότι με τους περιορισμούς που θέτει η κλασική γεωμετρία το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου δεν λύνεται. Έτσι όλο και πιο πολύπλοκές καμπύλες ε μφανίζονται . Δύσκολα ονόματα όπως Σπειροειδής – Τετραγωνίζουσα – Κοχλίας κάνουν την εμφάνισή τους και φθάνουμε στον μεγαλύτερο μαθηματικό της αρχαιότητας. Αρχιμήδης (287-212 π.χ.) Μαθηματικός, μηχανικός , φυσικός. Στο έργο του Κύκλου μέτρησης αποδεικνύει τα εξής θεωρήματα 1. Κάθε κύκλος είναι ίσος προς ένα ορθογώνιο του οποίου η μία πλευρά ισούται με την ακτίνα και η άλλη με την περίμετρο του κύκλου. 2. Ο λόγος ενός κύκλου προς το τετράγωνο που έχει πλευρά τη διάμετρο είναι ίσος με 11/14 3. Η περίμετρος ενός κύκλ ου έχει τιμή μεγαλύτερη από 10 3 71 της διαμέτρου και μικρότερη της 10 3 70 της διαμέτρου. Το θεώρημα αυτό δίνει την σχέση 10 10 3 π 3 71 70 . Στην ίδια σχέση καταλήγει εγγράφοντας και περιγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε κύκλο, (όπως και ο Αντιφών). Προσεγγίζοντας την περίμετρο του κύκλου με τη βοήθεια των περιμέτρων εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου 96γώνου. Μετά τους Έλληνες σειρά έχουν οι Ρωμαίοι … Ο αρχιτέκτονας Βιτρούβιος (1 ο ς αι. π.χ.) αναφέρει πηγάδι κ υκλικής διατομής με διάμετρο 4 ποδών και περίμετρο 1 12 2 ποδών, δίνοντας έτσι την τιμή 25 π 3,12 8
- 123. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 23 Όμως και στην μακρινή Κίνα οι μαθηματικοί υπολόγιζαν … Ο Liu Hsiao (1 αι. μ.χ.) χρησιμοποιε ί την τιμή π 3,1547 Ο αστρονόμος Wang Fan (219-257 μ. Χ.) καταλήγει στο συμπέρασμα ότι « όταν μία περιφέρεια κύκλου έχει μήκος 142 τότε η διάμετρός της είναι 45». Η σχέση αυτή δίνει την τιμή π 3,156 Τον 3ο μ. Χ. αιώνα ο μαθηματικός Liu Hui στο έργο του « Η αριθμητική σε εννιά μέρη», ακολουθώντας παρόμοια μέθοδο όπως εκείνη του Αρχιμήδη, αλλά μόνο με εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα δίνει την τιμή 3927 π 3,1416 1250 Τον 5ο αιώνα μ. χ. ο αστρονόμος Tsu Ch’ung Chih προσεγγίζει το π με εγγεγραμμένα πολύγωνα με 24.576 πλευρές και καταλήγει στην τιμή π 3,14159265 Στις μακρινές Ινδίες στο θρησκευτικό έργο Sulva Sutra με αφορμή την κατασκευή βωμών για θρησκευτικές τελετές οι μαθηματικοί υπολόγιζαν και έγρα φαν … « Πρόσθεσε στο μισό της πλευράς του τετραγώνου το ένα τρίτο της διαφοράς ανάμεσα στο μισό της διαγωνίου και το μισό της πλευράς και θα βρεις την ακτίνα του κύκλου ίσου εμβαδού» « Η διάμετρος του κύκλου που είναι ισοδύναμο με ένα τετράγωνο είναι τα 8/10 της διαγωνίου του τετραγώνου» Ο αστρονόμος Aryabhata (-499 μ. Χ.) στο έργο του Aryabhatiya γράφει « πρόσθεσε 4 στο 100, πολλαπλασίασε επί 8 και πρόσθεσε ακόμα 62.000, αυτό που θα βρεις είναι η περιφέρεια ενός κύκλου με διάμετρο 20.000» δίνοντας με τον τ ρόπο αυτό την τιμή 62832 π 3,1416 20000
- 124. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 24 Ο μαθηματικός και αστρονόμος Bralmagupta (-598 μ. χ) δίνει την τιμή π 10 3,1623 Τέλος ο μαθηματικός Bhaskara (1114-1185 μ. Χ.) δίνει την τιμή 22 π 3,142857 7 Πιο κάτω στην Αραβία … Ο Mohammed ibn Musa ή Al Khwarizmi (-9αιώνας μ. Χ), συγγραφέας του πολύ γνωστού μαθηματικού έργου Algebrve Almocabelah , χρησιμοποιεί τις τιμές 1 3 7 και 62832 20000 . Τις ίδιες τιμές χρησιμοποιούσαν και οι μαθηματικοί Tabit ibn Qurra (826-901 μ.Χ.) και ο Πέρσης μαθηματικός Al Birouni (973-1048 μ.Χ.) Τέλος ο αστρονόμος Al Kashi (-430 μ. Χ.) στη μακρινή Σαμαρκάνδη (στο σημερινό Ουσπεκιστάν) δίνει την τιμή π 3,14159265358988732, εγγράφοντας σε κύκλο πολύγωνο με 30 2 πλευρές. Από εδώ και μετά αναλαμβάνει η Δύση … Ολοένα και καλύτερες προσεγγίσεις παρουσιάζονται, πανέμορφοι τύποι εμφανίζονται … O Fibonacci 1220 μ. χ. δίνει την τιμή π 3,141818 Ο Al Kashi 1430 μ. Χ. υπολόγισε π 3,1459265358979 Ο Francois Viete το 1593 γράφει π 3,1415926536 αλλά και γράφει το πρώτο άπειρο γινόμενο για να περιγράψει το π 2 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 π
- 125. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 25 Το 1655 ο John Wallis (1616-1703 ) αποδεικνύει : 2 2 4 4 6 6 8 8 π ... 1 3 3 5 5 7 7 9 2 Ο Newton υπολογίζει ότι π 3,1415926535897932 Ο James Gregory (1638-1675) γράφει : 1 1 1 1 1 π 1 ... 3 5 7 9 11 4 Ο Leonard Euler ( 1707-1783) γράφει : 2 2 2 2 1 1 1 π ... 1 3 5 8 και είναι ο πρώτος που αναρωτιέται αν μπορεί ο π να είναι λύση πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ένα ερώτημα που συνδέεται άρρηκτα με το αν τελικά ο κύκλος μπορεί να τετραγωνισθεί. Οι μαθηματικοί αρχίζουν να μιλούν για ένα νέο είδος αριθμών τους υπερβατικούς αριθμούς . Το 1761 ο Johann Heinrich Lambert αποδεικνύει ότι το π είναι άρρητος. Τα ρεκόρ των δεκαδικών προσεγγίσεων του π σπάνε το ένα μετά το άλλο … Το 1844 οι Schulz von Strassnitzky και Johann Dase υπολογίζουν 200 ψηφία, ο William Shanks το 1873 700 ψηφία. Το 1882 ο Ferdinand Lindeman αποδεικνύει ότι ο π είναι υπερβατικός αριθμός. Ο κύκλος τελικά δεν μπορεί να τετραγωνισθεί. Ένα ερώτημα 2.500 χρόνων βρίσκει την απάντησή του. Τα ερωτήματα σχετικά με το «π» χάνουν την αίγλη τους, η αναζήτηση για νέους όμορφους τύπους δεν είναι πια της μόδας. Σιγά σιγά νέα ερωτήματα απ ασχολούν την μαθηματική κοινότητα, όλα σχετικά με το «π» φαίνεται να έχουν απαντηθεί. Τον 20ο αιώνα όμως με την εμφάνιση των ηλεκτρονικών υπολογιστών το κυνήγι των δεκαδικών προσεγγίσεων του «π» εμπνέει. Είναι μια ευκαιρία για να δοκιμασθεί η ταχύτητα των υπολογιστών. Έτσι το 1947 ο D.F.ferguson υπολογίζει 808 ψηφία χρησιμοποιώντας επιτραπέζιο υπολογιστή δουλεύοντας επί ένα χρόνο.
- 126. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 26 Μετά γίνεται η έκρηξη … 1949 ο ENIAC υπολογίζει 2.037 ψηφία 1954 ο NORC υπολογίζει 3.089 ψηφία 1957 ο Pegasus υπολογίζει 7.48 0 ψηφία 1959 ο ΙΒΜ 704 16.167 ψηφία 1961 ο ΙΒΜ 7090 100.265 ψηφία 1966 ο ΙΒΜ 7030 250.000 ψηφία 1967 ο CDC 6600 500.000 ψηφία 1973 ο CDC 7600 1.001.250 ψηφία Ένας ατελείωτος κατάλογος Ρώσοι – Αμερικάνοι – Ιάπωνες – Κινέζοι, ένας ανταγωνισμός για την ακ ρίβεια και φθάνουμε στον Fabrice Bellard που το 2010 υπολόγισε 2,7 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, χρησιμοποιώντας έναν απλό υπολογιστή. Εργάστηκε 131 ημέρες, ενώ χρειάστηκε 1 ΤΒ σκληρό δίσκο για να αποθηκεύσει το αποτέλεσμά του ! Ενώ έγραφα αυτά ανακάλυψα ότι οι Alexander J. Yee & Shigeru Kondo κατάφεραν να υπολογίσουν περί τα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Ο υπολογισμός των ψηφίων διήρκεσε 90 ημέρες αρχίζοντας στις 4 Μαΐου 2010. Τελικά ο διαγωνισμός μάλλον θα συνεχιστεί για πολύ ακόμα !!! Για περισσότερες πληροφορίες στην ιστοσελίδα : http://www.numberworld.org/misc_runs/pi -5t/details.html
- 127. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 27 Η σειρά σας τώρα !!! Προσπαθήστε να υπολογίσετε τον αριθμό π χρησιμοποιώντας την ιδέα του Αρχιμήδη εγγράφοντας και περιγράφοντας κανονικά πολύγωνα. Όσο περισσότερες πλευρές τόσο καλύτερη προσέγγιση . Υπόδειξη Υπολογίστε το εμβαδόν του κύκλου ως άθροισμα εμβαδών κυκλικών τομέων. Αυξάνοντας το πλήθος των κυκλικών τομέων τότε σχηματίζεται ορθογώνιο με ύψος R και βάση ίση με το μισό του μήκους του κύκλου. Υπόδειξη Στο διπλανό σχήμα έχουμε κυλήσει έναν κύκλο ώστε να έχουμε σχηματίσει τμήμα όσο το μισό του μήκους το υ κύκλου. Για όσους θυμούνται λίγη γεωμετρία από το Λύκειο προσπαθήστε να δικαιολογήσετε γιατί με την διπλανή κατασκευή τετραγωνίζουμε τον κύκλο !! Υπόδειξη
- 128. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 28 Για το τέλος αφήνουμε το καλύτερο. Για την απομνημόνευση των πρώτων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παρακάτω φράση : «Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.» Το πλήθος των γραμμάτων κάθε λέξης της φράσης αυτής αντιστοιχεί σε καθένα από τα διαδοχικά ψηφία του ιστορικού και περίφημου αριθμού π = 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6... Για την Ιστορία : Οι 6 πρώτες λέξεις του παραπάνω επιγράμματος αποδίδονται στον Πλάτωνα, ενώ τις υπόλοιπες 17 συνέταξε, ο Ν. Χατζηδάκης (1872 – 1942) Καθηγητής Μαθηματικών του Π.Α Υπάρχουν και αντίστοιχα στιχάκια σε όλες τις γλώσσες του κόσμου όπως για παράδειγμα : Στα Αγγλικά How I wish I could recollect, of circle round, the exact relation Arkimedes learned 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 ( Π ό σ ο θ α ' θ ε λ α ν α θ υ μ ά μ α ι α π ό τ ο ν σ τ ρ ο γ γ υ λ ό κ ύ κ λ ο τ η ν α κ ρ ι β ή σ χ έ σ η π ο υ γ ν ω ρ ί ζ ε ι ο Α ρ χ ι μ ή δ η ς ) Στα Γαλλικά Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! Immortel Archimède, artiste ingénieur, Qui de ton jugement peut priser la valeur? 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 ( Π ώ ς μ ' α ρ έ σ ε ι ν α δ ι δ ά σ κ ω α υ τ ό τ ο χ ρ ή σ ι μ ο σ τ ο υ ς σ ο φ ο ύ ς α ρ ι θ μ ό . Α θ ά ν α τ ε Α ρ χ ι μ ή δ η , κ α λ λ ι τ έ χ ν η , μ α θ η μ α τ ι κ έ , κ α τ ά τ η γ ν ώ μ η σ ο υ π ο ι ο ς θ α μ π ο ρ ο ύ σ ε ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε ι τ η ν α ξ ί α τ ο υ ; ) Στα Γερμανικά Wie, o dies π macht ernstlich so vielen viele Müh 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 ( Π ώ ς , ώ α υ τ ό τ ο π ι ό ν τ ω ς δ η μ ι ο υ ρ γ ε ί σ ε τ ό σ ο π ο λ λ ο ύ ς τ ό σ ο μ ε γ ά λ ο π ρ ό β λ η μ α . ) Στα Ιταλικά Che n’ ebbe d’ utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta? 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 ( Τ ι κ α λ ό β ρ ή κ ε ο Α ρ χ ι μ ή δ η ς α π ό τ η μ ε γ ά λ η τ ο υ α ν α κ ά λ υ ψ η τ α κ ά τ ο π τ ρ α π ο υ π υ ρ π ο λ ο ύ ν ; )
- 129. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 29 Στα Πορτογαλικά Sim, é útil e fácil memorizar um número grato aos sábios. 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 ( Ν α ι , ε ί ν α ι χ ρ ή σ ι μ ο ν α α π ο μ ν η μ ο ν ε ύ σ ε ι ς έ ν α ν α ρ ι θ μ ό χ ρ ή σ ι μ ο σ τ ο υ ς σ ο φ ο ύ ς . ) Στα Ρουμάνικα Aşa e bine a scrie renumitul şi utilul număr. 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 ( Α υ τ ό ς ε ί ν α ι ο τ ρ ό π ο ς ν α γ ρ ά ψ ε ι ς τ ο φ η μ ι σ μ έ ν ο κ α ι χ ρ ή σ ι μ ο α ρ ι θ μ ό ) Στα Ρώσικα Это я знаю и помню прекрасно 3 , 1 4 1 5 9 ( Α υ τ ό τ ο ξ έ ρ ω κ α ι τ ο θ υ μ ά μ α ι τ έ λ ε ι α . ) Ενώ κάποιοι φτιάχνουν ως και πίτες για τον αριθμό αυτό εμείς ας φτιάξουμε ποιήματα - στίχους για τον αριθμό π !!! Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα με λέξεις , δημιουργώντας το δικό σας ποίημα για την απομνημόνευση των πρώτων 19 ψηφίων. 3 1 4 1 5 9 Για περισσότερες πληροφορίες : http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_aroni.pdf 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8
- 130. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 30
- 131. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 31 Ιστορία 36η Η ι σ τ ο ρ ί α τ ο υ α ρ ι θ μ ο ύ « e » Έτος 2025 !!!. Μετά τη κρίση του 2010 οι μεγάλες χαμένες ήταν τελικά οι τράπεζες. Οι μεγάλες ιδιωτικές πολυεθνικές τράπεζες. Μεγαλειώδεις ειρην ικές διαδηλώσεις του κόσμου στις πόλεις της Ευρώπης, ανάγκασαν τους ηγέτες των κρατών της Ευρωζώνης να συμφωνήσουν ή μάλλον να αποδεχθούν ότι κέρδη του κεφαλαίου και ευημερία – κοινωνική συνοχή δεν πάνε παρέα. Οι παλιές αξίες της δικαιοσύνης, της ισότητας, της αλληλεγγύης, πήραν τη θέση του κέρδους της απληστίας και του ανταγωνισμού. Νέοι τραπεζικοί οργανισμοί δημιουργήθηκαν με μετόχους απλούς αποταμιευτές, αλλά και με τη συμμετοχή κρατικών επιχειρήσεων και οργανισμών. Η έννοια του τόκου επαναπροσδιορίσθηκ ε και απαιτείται πια μόνο αν η επιχειρηματική διαδικασία αποφέρει κέρδη. Η συμμετοχή λοιπόν στα κέρδη αλλά και στις ζημιές θεωρείται ως φυσιολογική συνέπεια του ρίσκου του επιχειρείν. Αλλά πριν προχωρήσει η ιστορία μας ας αναφερθούμε σε έναν τύπο γνωστό σε όσους ασχολούνται με συναλλαγές και πιστωτικούς οργανισμούς. Τον τύπο του ανατοκισμού !!! Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε ένα ποσό α ευρώ σε μία τράπεζα που προσφέρει ετήσιο τόκο τ=ε%. Μετά τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο αρχικό ποσό που έχουμε καταθέσει. Το νέο ποσό-κεφάλαιο τοκίζεται πάλι με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο κ.ο.κ. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια τότε το ποσό που θα εισπράξουμε στο τέλος του ν ο υ χρόνου θα δίνεται από τον τύπο : ν να α(1 τ) Δύο από τις μεγαλύτερες ιδιωτικές τράπεζες, υπαίτιες για πολλούς για τα 15 σκληρά χρόνια ανασφάλειας και αβεβαιότητας που ακολούθησαν της κρίσης, προσπαθούν με διάφορα επενδυτικά προϊόντα να προσελκύσουν κεφάλαια, ώστε να ορθοποδήσουν στον ανταγωνισμό των Δημόσιων τραπεζικών κολοσσών. Η Goldman shacks διαφημίζει επιτόκιο 170% !!. Η Meryl Beatch προσφέρει ένα πιο σύνθετο προϊόν, δίνει τη δυνατότητα στον αποταμιευτή να ανατοκίζει τα χρήματά του με επιτόκιο 100% όσες φορές θέλει κατά τη διάρκεια ενός χρόνου, κάθε μήνα, κάθε βδομάδα, κάθε μέρα ότι θέλει… Είναι να απορεί κανείς για την κατάντια των κολοσσών αυτών!! Αν θέλεις όμως να εκμεταλλευτείς την κατάσταση και να πάρεις λίγο από το αίμα σου πίσω σε ποια από τις δύο προσφορές θα ενέδιδες αναγνώστη;
- 132. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 32 Λύση Η προσφορά της Goldman sacks είναι απλή. Αν κάποιος καταθέσει 1000 ευρώ, μετά από ένα χρόνο θα πάρει : 1 1 170 α 1000 (1 ) 1000 (2,7) 2700 100 ευρώ. Η προσφορά της Meryl Beatch είναι πιο δελεαστική και συγχρόνως πιο περίπλοκη. Για ευκολότερες πράξεις ας υποθέσουμε ότ ι αποταμιεύουμε 1 ευρώ, τότε Στον τύπο του ανατοκισμού αντικαθιστούμε οα 1 και αν ο καταθέτης θέλει να ανατοκίζεται το κεφάλαιο του : 1 φορά το χρόνο τότε 100 ν 1 και τ 1 100 άρα 1 1α 1 (1 1) 2 δηλαδή τα χρήματα τ ου θα διπλασιαστούν. 2 φορές το χρόνο τότε 50 1 ν 2 και τ 100 2 άρα 2 2 1 9 α 1 (1 ) 2.25 2 4 δηλαδή τα χρήματα του θα γίνου 2.25 φορές περισσότερα. 3 φορές το χρόνο τότε 100 13ν 3 και τ 100 3 άρα 3 3 1 α 1 (1 ) 2,37 3 δηλαδή τα χρήματά του θα γίνουν 2,37 φορές περισσότερα. Αν η διαδικασία αυτή συνεχιστεί θα καταλήξουμε στον παρακάτω πίνακα : 1 2 3 … 12 … 52 … 3 10 … 4 10 … 5 10 … 6 10 2 2,25 2,37 … 2,613035 … 2,704813 … 2,716923 … 2,718145 … 2,718268 … 2,718280 και θα παρατηρήσουμε ότι όσο αυξάνει η τιμή του ν από ένα σημείο και μετά το αποτέλεσμα σταθεροποιείται σε μία τιμή γύρω στο 2,71828. Δηλαδή μία κατάθεση 1000 ευρώ μπορεί να αποδώσει το πολ ύ 2718 ευρώ περίπου. Τελικά δεν έχουν το θεό τους… Πολύ φασαρία για … 18 ευρώ, τσάμπα οι υπολογισμοί.
- 133. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 33 Βέβαια όλα τα παραπάνω είναι φανταστικά Αν είναι δυνατόν μία τράπεζα να δίνει τόκο 170%. Αλλά η διαδικασία που αναφέρθηκε παραπάνω ήταν αυτή που οδήγησε τους μαθηματικούς στην ανακάλυψη ενός σπουδαίου αριθμού του : 2,71828128459045235360287471352… Ο αριθμός αυτός στον οποίο τείνουν οι τιμές της ακολουθίας ν ν 1 α (1 ) ν καθώς το ν αυξάνει απεριόριστα, συμβολίζεται με e και είναι άρρητος. Ο συμβολισμός του οφείλεται στον Ελβετό μαθηματικό Leohard Euler (1707-1783) Το παρακάτω applet υπολογίζει την τιμή του e … http://www.ies.co.jp/math/java/calc/exp/exp.html Το σπουδαίο στον αριθμ ό αυτό βρίσκεται στο γεγονός ότι τον συναντάμε ΠΑΝΤΟΥ !!! στην Ψυχολογία , στην Αστρονομία , στην Χημεία , στην Σεισμολογία, στην Θερμοδυναμική, στην Ακουστική, στην Ραδιενεργή διάσπαση των σωματιδίων α, στην Ραδιοχρονολόγηση, στον Υπολογισμό Εμβαδών, στους Μιγαδικούς, στις Κατασκευές, στην Μηχανική, στην Αρχιτεκτονική … ΠΑΝΤΟΥ !!! Τελειώνοντας σας χαιρετούμε από το 2025… με έναν όμορφο τύπο !!!
- 134. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 34
- 135. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 35 Ιστορία 37η ά λ λ η μ ί α ι σ τ ο ρ ί α μ ε τ ο ν α ρ ι θ μ ό e «Κάθε 100 Km να κοιτάτε τα λάδια και προσο χή πάντα στη θερμοκρασία, μη ζεσταθεί, θα σας αφήσει στη μέση». Με αυτά τα λόγια ο πατέρας του Βασίλη μας έδωσε το παλιό ford. Το ταξίδι ξεκίνησε. Προορισμός ο γύρος της Πελοποννήσου, συνεπιβάτες ο Βασίλης ο Νίκος και εγώ. Ήταν τέλος Ιουλίου του 1983 και η διάθεση της παρέας στα ύψη, θα διασκεδάζαμε ότι και να γινόταν. Η Κόρινθος, η αρχαία Επίδαυρός, το Ναύπλιο, οι πρώτες στάσεις. Μετά οι παραλίες της Αρκαδίας, το Άστρος , το Λεωνίδιο. Έπειτα ο Πάρνωνας, η μεγάλη πρόκληση της σακαράκας υψώνονταν μπροστά μας. Τότε ήταν που όλα τα λαμπάκια άναψαν, δεν υπήρχε χρώμα που δεν φωτοβολούσε στο καντράν του αυτοκινήτου. Σε αρμονία με τα φωτάκια και ο Βασίλης που κάτασπρος και κάθιδρος έσφιγγε το τιμόνι. Θα μας πάει ως τον Κοσμά άραγε μονολογούσε. Τα τελευταία μέτρα, πιθανόν χιλιόμετρα μέχρι να φθάσουμε στο γραφικό αυτό χωριουδάκι του Πάρνωνα τα κάναμε σπρώχνοντας αλλά και ρυμουλκούμενοι από το αγροτικό του κ. Πέτρου. Φθάνοντας στη πλατεία γίναμε το αντικείμενο συζήτησης. Ήταν προφανές ότι δεν μπορο ύσαμε να προχωρήσουμε. Το αμάξι θα το επισκεύαζε ο κ. Πέτρος και εμείς θα έπρεπε να απολαμβάναμε την φιλοξενία των κατοίκων του χωριού. Οι τέσσερεις μέρες που καθίσαμε εκτός προγράμματος ήταν από τις ομορφότερες της εκδρομής. Ο κ. Πέτρος όταν άκουσε πως ήμ ασταν φοιτητές του Μαθηματικού, της μεγάλης του αγάπης όπως συνήθιζε να λέει, δεν μας άφηνε ούτε λεπτό χωρίς να μας θέτει ερωτήματα και προβλήματα. Οι ιστορίες του ήταν αφορμή για συζητήσεις και υπολογισμούς, έτσι το δεύτερο πρωινό, όταν όλος ο κόσμος ήταν μαζεμένος κάτω από τη μεγάλη μουριά ξεκίνησε μία ιστορία… « Κάποτε είχα και εγώ ένα αμάξι σαν το δικό σας, μάλλον πολύ χειρότερο από το δικό σας… Ήταν αγροτικό, από τα πρώτα παλιά Ford. Το μεγάλο του κουσούρι ήταν ότι η καρότσα του μπορούσε να μεταφέρει έ να βαρέλι πετρέλαιο από το οποίο όμως συγχρόνως τροφοδοτούνταν. Να φανταστείτε μέχρι να ανέβει στην κορυφή του βουνού έκαιγε όλο το καύσιμο που
- 136. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 36 κουβάλαγε στην καρότσα του και μετά κατέβαινα μέχρι τα ριζά του βουνού με λυμένα τα φρένα του. Ήταν χειμώνας του ’50 και έπρεπε να φέρω πετρέλαιο στο χωριό, ο μόνος τρόπος που είχα ήταν να χρησιμοποιήσω όσο το δυνατό πιο έξυπνα το ρημάδι αυτό που μου έλαχε για φορτηγό. Από κάτω, από τη διασταύρωση του «Γερακιού» ( έν α κεφ α λο χώ ρι στ ους π ρ όπο δ ες το υ β ου ν ού ) θα έπρεπε να έφερνα μέχρι εδώ πάνω όσο το δυνατό περισσότερο πετρέλαιο από τα 100 βαρέλια που μπόρεσα να μαζέψω. Πως μπορούσα να κάνω όμως κάτι τέτοιο;» Με το που σταμάτησε την αφήγηση , φωνές, γέλια, παλαμάκια… Τι έκανες μάγε μου; Ανακάλυψες πετρέλαιο στο πηγάδι σου… Τα έφερνες με τα ζα από το μονοπάτι …. Ήταν μερικά από τα σχόλια, αλλά αυτός απτόητος συνέχισε… «Εδώ σας θέλω Μαθηματικοί μου… εγώ τότε έφερα μέχρι εδώ πάνω 36 ολόκληρα βαρέλια εσείς θα το καταφέρνατε;» Μετά από χρόνια το ίδιο πρόβλημα το είδα σε βιβλίο Μαθηματικών για μαθητές της Β’ Λυκείου, η καλύτερη λύση είναι περίπου 36,8 βαρέλια. Το ωραίο είναι ότι ξαφνικά χωρίς να το περιμένει κανείς εμφανίζεται αυτός ο μαγικός αριθμός το e=2,71828128459045235360287471352… Όσο για το παλιό Ford του Βασίλη είναι παλιοσίδερα κάπου σε ένα χωράφι έξω από την Κόρινθο, μέχρι εκεί μας πήγε… Να φανταστείτε ότι μας γράψανε για υπερβολική ταχύτητα περνώντας με 60 Km μέσα από το Ξυλόκαστρο.
- 137. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 37 Λύση Αν ανεβούμε μέχρι το μισό της διαδρομής θα έχουμε καταναλώσει το μισό βαρέλι, το ξεφορτώνουμε, επιστρέφουμε και παίρνουμε άλλο βαρέλι. Τη διαδικασία αυτή την κάνουμε για όλα τα βαρέλια. Με τον τρόπο αυτό μέχρι τα μισά της διαδρομής μπορούμε να μεταφέρουμε 50 βαρέλια. Αν ακολουθήσουμε την ίδια τακτική μέχρι την κορυφή θα έχουμε μεταφέρει 50 μισά βαρέλια, δηλαδή 25 ολόκληρα βαρέλια. Είναι όμως αυτή η βέλτιστη λύση; Αν χωρίσουμε τη διαδρομή σε τρία ίσα διαστήματα, κάνοντας δ ύο ενδιάμεσες στάσεις τότε : Στην πρώτη στάση θα έχουμε ανεβάσει 2 100 3 βαρέλια. Στην δεύτερη στάση θα έχουμε ανεβάσει 22 2 2 ( 100) ( ) 100 3 3 3 βαρέλια. Στην κορυφή θα έχουμε ανεβάσει 32 ( ) 100 3 βαρέλια. Αν χωρίσουμε τη διαδρομή σε τέσσερα ίσα διαστήματα τότε όμοια θα έχουμε ανεβάσει στην 1η στάση 3 ( ) 100 4 βαρέλια, στη 2η στάση 23 ( ) 100 4 βαρέλια, στην 3η στάση 33 ( ) 100 4 βαρέλια και τέλος στην κορυφή θα έχουμε 43 ( ) 100 4 βαρέλια.
- 138. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 38 Αν κάνουμε ν στάσεις στην κορυφή θα φθάσουν : ν 1ν ( ) 100 ν 1 βαρέλια ή ν 1 1 100 ν 1 ( ) ν βαρέλια ή ν 1 100 1 1 (1 ) (1 ) ν ν βαρέλια , θυμηθείτε ότι όταν ο αριθμός ν μεγαλώνει απεριόριστ α η ακολουθία ν1 (1 ) ν τείνει προς τον αριθμό e, ενώ ο παράγοντας 1 (1 ) ν προς τον αριθμό 1. Άρα ο μέγιστος δυνατός αριθμός βαρελιών που τελικά μπορούμε να ανεβάσουμε στην κορυφή του βουνού με τη διαδικασία που περιγράψαμε είναι : 1 100 100 36,787968... e 1 e βαρέλια Παρατηρείστε πως σε ένα πρόβλημα που η λύση του χωρίζεται σε ένα άπειρο αριθμό επαναλαμβανόμενων όμοιων βημάτων εμφανίζεται μαγικά!! ο αριθμός e=2,71828128459045235360287471352…
- 139. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 39 Ιστορία 38η Είναι γνωστός ως γρίφος του Αϊνστάιν. Δεν γνωρίζω αν πράγματι δημιουργός του είναι ο μεγάλος αυτός Φυσικός, αλλά όταν ακούει κάποιος κάτι τέτοιο «σκοτώνεται» να το λύσει. Όταν έπεσε για πρώτη φορά στα χέρια μου ο γρίφος αυτός κάθισα στο γραφείο, του έριξα μια ματιά, πες από σεβασμό στο όνομα πες ότι κάτι θα ξέρουν όσοι το διαφημίζουν δεν ξεκίνησα αμέσως να το λύνω. Πήγα πρώτα να φτιάξω έναν καφέ. Γυρνώντας, τι έκπληξη!, ο γρίφος ήταν ήδη λυμένος. Ένα δεκαπεντάχρονο μουτράκι γεμάτο αυτοπεποίθηση και καμάρι με κ οιτούσε. Τον γρίφο τον έλυσα ύστερα και εγώ, μάλλον θα δυσκολεύτηκα περισσότερο από την κόρη μου. Αλλά με έκπληξη συνειδητοποιήσαμε αργότερα συγκρίνοντας τις δύο λύσεις ότι ήταν διαφορετικές!!! Ορίστε αγαπητέ εραστή των σπαζοκεφαλιών, ένας γρίφος αν μήτε άλλο με βαρύγδουπο όνομα περιμένει εσένα να τον επιλύσεις. ΠΡΟΒΛΗΜΑ : 5 σπίτια , 5 διαφορετικά χρώματα . Σε κάθε σπίτι ένα άτομο με διαφορετική εθνικότητα , 5 διαφορετικά ποτά 5 διαφορετικά σπόρ και 5 διαφορετικά κατοικίδια. Συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα, αν σου δίνονται όχι μία ούτε δύο αλλά δεκαπέντε πληροφορίες !!
- 140. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 40 1ο Σπίτι 2ο Σπίτι 3ο Σπίτι 4ο Σπίτι 5ο Σπίτι Χρώμα σπιτιού Εθνικότητα Ποτό Σπόρ Κατοικίδιο 1. Ο Βρετανός ζει σε κόκκινο σπίτι 2. Ο Σουηδός έχει σκυλί 3. Ο Δανός πίνει τσάι 4. Το πράσινο σπίτι είναι αριστερά από το άσπρο 5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ 6. Το άτομο που παίζει ποδόσφαιρο έχει πουλιά 7. Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού παίζει τένις 8. Το άτομο που μένει στο σπίτι που είναι δεξιά από το κεντρικό πίνει γάλα 9. Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι 10. Το άτομο που παίζει γκολφ είναι άμεσος γείτονας με αυτόν που έχει τις γάτες 11. Αυτός που έχει άλογο είναι άμεσος γείτονας με αυτόν που παίζει τένις 12. Ο ιδιοκτήτης που παίζει μπάσκετ πίνει μπύρα 13. Ο Γερμανός παίζει βόλ ευ 14. Ο Νορβηγός είναι πλάι στο γαλάζιο σπίτι 15. Το άτομο που παίζει γκολφ έχει γείτονα που πίνει νερό. Ποιος έχει το ψάρι ??
- 141. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 41 Λύση 1ο Σπίτι 2ο Σπίτι 3ο Σπίτι 4ο Σπίτι 5ο Σπίτι Χρώμα σπιτιού Κίτρινο Γαλάζιο Πράσινο Κόκκινο Άσπρο Εθνικότητα Νορβηγός Δανός Γερμανός Βρετανός Σουηδός Ποτό Νερό Τσάι Καφέ Γάλα Μπύρα Σπόρ Τένις Γκολφ Βόλεϊ Ποδόσφαιρο Μπάσκετ Κατοικίδιο Γάτες Άλογο Ψάρι Πουλιά Σκυλί Υπάρχει άλλη λύση;
- 142. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 42
- 143. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 43 Ιστορία 39η Ξεκινήσαμε να πάμε εκδρομή στην Αλεξανδρούπολη, εκεί θ α βρίσκαμε τον φίλο και σύντροφο Θανάση που σπούδαζε Πολιτικός Μηχανικός. Όπως όλες οι εκδρομές εκείνης της εποχής κατέληξε σε μία συνεχή οινοποσία με συνοδεία οργάνων – μπαγλαμαδάκι – και πολύ τραγούδι. Κάποιο βράδυ στο καφενείο του κυρ. Αποστόλη σε μία κατάσταση πλήρους ευδαιμονίας και χαλαρότητας ο Θανάσης παίζοντας με τα πλακάκια ενός ντόμινο, με ύφος ειδήμονα ισχυρίστηκε, « δώσε μου μπόλικα πλακάκια και απέραντη σκάλα μπορώ να σου φτιάξω, από τη Γη ως τη Σελήνη», παραφράζοντας την γνωστή ρήση του Αρχιμ ήδη. Έλα μεγάλε μηχανικέ…, πρωτομάστορα…, θες να σφάξουμε και κανένα κοκόρι…, τι παιδί και αυτός ο Θανάσης…, Ο… Μηχανικός!!!, που να φθάσει και στο δεύτερο έτος…, να περάσει και κανένα μάθημα να λες…, ήταν μερικά από τα σχόλια που ακούστηκαν. Κι’ όμως ο Θανάσης απτόητος συνέχισε σαν να έλεγε απέξω το μάθημα του. Είναι στοιχειώδεις γνώσεις Φυσικής αγαπητοί μου, ορίστε …, αρκεί να προεξέχει το κάθε τουβλάκι λίγο από το προηγούμενο του, πόσο;… βρείτε το. Μηχανική καλά μου παιδιά Μηχανική, ή μάλλον Μαθημα τικά. Ναι ! Μαθηματικά πρώτος ο Αρχιμήδης μίλησε για το κέντρο βάρους, δεν θυμάστε; Και ξεκίνησε. Ορίστε τα δύο πρώτα … Ορίστε και το επόμενο … Ορίστε και το επόμενο … Με μια άπειρη τέτοια διαδικασία μπορώ να γεφυρώσω οποιαδήποτε απόσταση, όση μεγάλη και αν είναι, … άπειρη… Τι λες αναγνώστη … πόσα πλακάκια θα χρειαστείς για να καλύψεις μία απόσταση όσο πέντε ντόμινο; Τελικά μπορούμε να καλύψουμε μία απόσταση όσο μεγάλη και αν είναι, … άπειρη…, όπως ισχυρίστηκε ο φίλος μου ο Θανάσης.
- 144. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 44 Λύση Ας θεωρήσουμε ότι το πρώτο ντόμινο έχει μήκος 1, τότε για να ισορροπήσει πάνω του το δεύτερο θα πρέπει να προεξέχει το πολύ κατά 1 2 και για να ισορροπήσει πάνω του τ ο τρίτο θα πρέπει να προεξέχει το πολύ κατά 1 3 και για να ισορροπήσει πάνω του το τέταρτο θα πρέπει να προεξέχει το πολύ κατά 1 4 κ.ο.κ. … για να ισορροπήσει πάνω του το ν -οστό θα πρέπει να προεξέχει το πολύ κατά 1 και συνεχίζουμε, πόσο; Ανάλογα με τα ντόμινο που διαθέτουμε. Πόσο όμως είναι το άθροισμα 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 4 ( οι τρεις τελίτσες στο τέλος του αθροίσματος σημαίνει ότι το άθροισμα συνεχίζει επ’ άπειρον – περίεργη έννοια-) Το άθροισμα αυτό λέγεται αριθμητική σειρά και μπορούμε να αποδείξουμε ότι αυξάνει απεριόριστα, δηλαδή τελικά μπορούμε να φτιάξουμε μία γέφυρα με απεριόριστο μήκος. Για να δικαιολογήσω αυτά που ισχυρίζομαι παρακολ ουθήστε τους παρακάτω συλλογισμούς. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (... 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 Το τελευταίο άθροισμα αυξάνει απεριόριστα…
- 145. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 45 Τελικά για να καλύψουμε μία απόσταση ίση με δύο ντόμινο θα χρειαστούμε 4 ντόμινο, μία απόσταση ίση με 3 ντόμινο θα χρειαστούμε 11 έντεκα, μία απόσταση ίση με 4 ντόμινο θα χρειαστούμε 29 ντόμινο. Άραγε πόσα ντόμινο θα χρειαστούμε για να γεφυρώσουμε μία απόσταση ίση με 5 ντόμινο; Τι είναι όμως το άπειρο; Η έννοια αυτή παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες σε βαθμό που οι Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί και όχι μ όνο απόφευγαν να ασχοληθούν μαζί του. Ας δούμε δύο χαρακτηριστικά περίεργα που αναφέρονται στην έννοια αυτή. 1ο πρόβλημα (0,999…=1 !!!) Προσπαθήστε να υπολογίσετε τον αριθμό 0,999... Προσοχή οι τρεις τελίτσες στο τέλος σημαίνει ότι τα εννιάρια συνεχίζονται συνεχώς! Άλλο πράγμα ο αριθμός 0,999999999999999999999999999999999 και άλλο ο 0,999... 2ο πρόβλημα ( Το ξενοδοχείο του Hilbert) Ας φανταστούμε ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια και όλα κατειλημμένα. Αν έρθει άλλος ένας πελάτης τι θα κάνουμε; Θα πούμε δυστυχώς είμαστε γεμάτοι; Ή θα ζητήσουμε απλά από όλους τους ενοίκους να μεταφερθούν στο διπλανό δωμάτιο. Με τον τρόπο αυτό ο ένοικος του 1 ο υ δωματίου θα πάει στο 2 ο δωμάτιο, ο ένοικος του 2 ο υ δωματίου θα πάει στο 3ο , ο ένοικος του 3ο υ δωματίου θα πάει στο 4 ο κ.ο.κ Με αυτή την απλή κίνηση ένα δωμάτιο ελευθερώνεται !!!
- 146. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 46 Οι έννοιες του άπειρου (του πολύ μεγάλου …) αλλά και του απειροστού ( του πολύ μικρού…) είναι θεμελιώδεις, όσοι από εσάς διαλέξετε να σπουδάσετε μαθηματικά θα σ ας μαγέψουν , θα σας δυσκολέψουν, θα σας παραξενέψουν. Τη μαγεία αυτή την αισθάνθηκε και ένας μεγάλος Ολλανδός ζωγράφος ο Escher. Aνακαλύψτε τις έννοιες του άπειρου και του απειροστού μέσα από τη δύναμη της ζωγραφικής του.
- 147. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 47 Ιστορία 40η Ο Cav a l i er i κ αι ο Α ρ χι μή δη ς Ο Bonaventura Cavalieri (1598-1647) γεννήθηκε στο Μιλάνο. Από νωρίς στο τάγμα των Ιησουιτών σπούδασε μαθηματικά όπου και τα δίδαξε στο πανεπιστήμιο της Μπολόνια. Στο έργο του «Μέθοδος για την ανάπτυξη της νέας γεωμετρίας των συνεχών αδιαιρέτων», ισχυριζόταν ότι : αν κάθε οριζόντια γραμμή τέμνει δύο επίπεδα σχήματα έτσι ώστε οι τομές να έχουν το ίδιο μήκος τότε τα δύο σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν, αντίστοιχα αν κάθε οριζόντια επιφάνεια τέμνει δύο στερεά σχήματα έτσι ώστε οι το μές να έχουν το ίδιο εμβαδόν τότε τα δύο στερεά έχουν το ίδιο όγκο. Λέγεται ότι η μέθοδος που ανέπτυξε βασιζόταν σε μεγάλο βαθμό σε ιδέες του μεγάλου μαθηματικού της αρχαιότητας Αρχιμήδη. Είναι γνωστό ότι ο Αρχιμήδης χωρίζοντας ένα οποιοδήποτε σχήμα σ ε πολύ μικρά ορθογώνια υπολόγιζε το εμβαδόν του. Την ίδια εποχή με τον Cavalieri o Cepler (1571- 1630) εμνεόμενος και αυτός από τον μεγάλο δάσκαλο υπολόγισε το εμβαδόν του κύκλου με τη βοήθεια πολλών μικρών κυκλικών τομέων Μια που το έφερε η κουβέντα γι α τον Αρχιμήδη αξίζει να αναφέρουμε ότι ο πανεπιστήμονας αυτός πέρα από τις πολλές ανακαλύψεις του σε όλο το εύρος των επιστημών διακρινόταν σε αντίθεση με τα μέχρι τότε συμβατά και καθιερωμένα, ότι χρησιμοποιούσε και «μηχανικές » μεθόδους για να ανακαλύψε ι κρυμμένες σχέσεις και αναλογίες. Πιο χαρακτηριστική περίπτωση είναι ο τρόπος με τον οποίο κατέληξε στο ότι ο όγκος ενός κώνου είναι το 1/3 του αντίστοιχου κυλίνδρου.
- 148. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 48 Λέγεται ότι κατασκεύασε από κερί έναν κύλινδρο και τον ζύγησε, μετά έξισε το παραπανίσ ιο κερί και σχημάτισε έναν κώνο. Ξαναζύγησε και διαπίστωσε ότι το βάρος του ήταν το 1/3 του κυλίνδρου. Αφού τα δύο στερεά ήταν κατασκευασμένα από το ίδιο υλικό ίδια σχέση έπρεπε να υπάρχει και για τους όγκους των δύο στερεών. Μετά απέδειξε τη σχέση με αστη ρό μαθηματικό τρόπο. Η σχέση που όμως αγάπησε περισσότερο από όλες ο Αρχιμήδης ήταν αυτή που λέει : « ο όγκος μιας σφαίρας είναι ίσος με τα 2/3 του όγκου του μικρότερου κυλίνδρου που την περιβάλλει» Ο τύπος αυτός του έκανε τόσο εντύπωση ώστε ζήτησε ν α χαράξουν στην ταφόπετρά του ένα σχήμα σαν το διπλανό. Παρατήρησε τα σχήματα δίπλα και με τη βοήθεια της αρχής του Cavalieri απόδειξε ότι : και επομένως βρες τον τύπο που υπολογίζει το εμβαδόν μιας σφαίρας ακτίνας . Για τους υπολογισμούς σου ας είναι γνωστό ότι 2 ( )ί άV Ύ και 1 3 ώ ίV V 2 3 ί ίV V
- 149. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 49 Λύση Θεωρούμε τον μισό κύλινδρο στον οποίο μπορεί να εγγραφεί σφαίρα ακτίνας ρ και τον κώνο που μπορεί να εγγραφεί σε αυτόν. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κώνο και την μισή σφαίρα που εγγράφεται στον κύλινδρο διαστάσεων ρΧρ. Θεωρούμε μία τυχαία επιφάνεια που τέμνει τα στερεά. Οι χρωματισμένες με κόκκινο επιφάνειες έχουν το ίδιο εμβαδόν (γιατί;;) Θ υ μ ή σ ο υ ό τ ι τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ κ ύ κ λ ο υ δ ί ν ε τ α ι α π ό τ ο ν τ ύ π ο 2 Άρα σύμφωνα με την αρχή του Cavalieri το στερεό που προκύπτει αφαιρώντας από τον κύλινδρο τον κώνο και η μισή σφαίρα έχουν το ίδιο όγκο. Δηλαδή ισχύει ότι : 2 ί ί ώ V V V ή 2 21 ( ) ( ) 3 2 ίV ή 3 32 4 3 2 3 ί ί V V Οπότε 3 24 2 2 ( ) 2 3 3 3 ί ίV V Μία σχέση αφιερωμένη στον μεγάλο μαθηματικό, που τόσο την αγάπησε !
- 150. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 50
- 151. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 51 Ιστορία 41η Ο L.Mascheroni (1750-1800) δίδασκε μαθηματικά στο πανεπιστήμιο της Pavia. Γνώριζε καλά Γεωμετρία, καθώς και τ ους μεγαλύτερους αρχαίους Γεωμέτρες και το έργο τους. Σύμφωνα με τους κλασικούς οποιαδήποτε κατασκευή ήταν παραδεκτή μόνο αν αυτή γινόταν με κανόνα και διαβήτη. Βέβαια πολλά προβλήματα ήταν άλυτα με αυτήν την παραδοχή, για το λόγο αυτό είχαν επινοηθεί και άλλες τεχνικές που είχαν ονοματισθεί ως μηχανικές. Το 1797 δημοσιεύει το έργο του la geometrica del compaso στο οποίο απέδειξε ότι όποια κατασκευή μπορεί να γίνει με τον συμβατικό τρόπο κατασκευής ( με κανόνα και διαβήτη) μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας μόνο διαβήτη ! Ουσιαστικά η «Γεωμετρία του διαβήτη », αποδείκνυε ότι τα σημεία που προσδιορίζονται ως σημεία τομής δύο ευθειών ή ως σημεία τομής ευθείας και διαβήτη ήταν δυνατό να προσδιοριστούν ως σημεία τομής δύο κύκλων μόνο. Οπότε όλες οι κατασκευές μπορούν να γίνουν χρησιμοποιώντας τελικά μόνο διαβήτη. Βέβαια από τη στιγμή που προσδιόριζε, με τον τρόπο του, τα αναγκαία σημεία, τα ευθύγραμμα τμήματα καθώς και οι αναγκαίες ευθείες θα χαράσσονταν πάλι με κανόνα. Ας δούμε μία κλασική κατασκευή : Να προσδιορίσετε το μέσο δοθέντος ευθυγράμμου τμήματος Προσπαθήστε να λύσετε το παραπάνω πρόβλημα. Προσοχή όμως χωρίς κανόνα, μόνο με διαβήτη!!
- 152. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 52 Λύση Παρακολουθήστε βήμα – βήμα τη λύση και προσπαθήστε να δικαιολογήσετε γιατί τελικά το σημείο Μ είναι το ζητούμενο.
- 153. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 53 Ιστορία 42η «Είχε αφήσει όλα τα πλούτη και τις ανέσεις της. Βρισκόταν στη μέση των ακτών της Αφρικής. Αναπολούσε την Τύρο την πατρίδα της, αλλά γνώριζε ότι αν θα έμενε εκεί θα είχε την ίδια τύχη με τον άνδρα της. Κληρονόμος και αυτή όπως και ο αδελφός της, αυτός όμως πιο μοχθηρός πιο πανούργος. Αναγκάστηκε να φύγει, να γλυτώσει. Τώρα είχε να κάνει με άξεστους, με χωριάτες που κάνουν και αστεία. Ζήτησε να αγοράσει γη, να ξεκινήσει από την αρχή αυτή και οι πιστοί της άνθρωποι, κ αι ο ντόπιος φύλαρχος αστειευόμενος της αντιπρότεινε να αγοράσει τόση γη όση καλύπτεται με τη δορά ενός ταύρου. Έφτιαξε λοιπόν από το δέρμα σχοινί, αφού το έκοψε σε λωρίδες. Όση γη μπορώ να καλύψω είπες, ορίστε… και ξετυλίγοντας το κουβάρι κύκλωσε μια μεγ άλη περιοχή. Εδώ θα γίνει το κάστρο μου και θα το ονομάσω Βύρσα, επειδή είναι κυκλικό. Ήταν έξυπνη και συγχρόνως μορφωμένη, γνώριζε ότι από όλα τα σχήματα που έχουν δεδομένη περίμετρο εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι ο κύκλος. Η πόλη που θα χτιστεί γύρω από το φρούριο θα την έλεγε Καρχηδόνα θα τη στόλιζε με τα ωραιότερα κτήρια, θα την έκανε βασίλισσα της Μεσογείου. Η πόλη αυτή ήταν προορισμένη να ζήσει και να μεγαλουργήσει χίλια χρόνια. Η βασίλισσα λεγό ταν Διδώ και ο μύθος αυτός αναφέρεται στην Αινειάδα του Βιργιλίου, κάτι σαν τα δικά μας Ομηρικά έπη, μόνο που εκεί εξιστορείται η γένεση ενός άλλου μεγάλου έθνους αυτού των Ρωμαίων. Το πρόβλημα που είχε μπροστά της, να βρει δηλαδή πιο είναι το σχήμα που με δεδομένη περίμετρο δίνει το μεγαλύτερο εμβαδόν , είναι το πρώτο από μια σειρά παρόμοια προβλήματα που λέγονται ισοπεριμετρικά . Τέτοια προβλήματα υπάρχουν αρκετά και λύσεις όμορφες, άλλες απλές, άλλες πιο δύσκολες. Για παράδειγμα το πρόβλημα της Διδούς, όπως συνηθίζεται να λέγεται, έχει λυθεί από
- 154. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 54 πολλούς και μεγάλους μαθηματικούς. Ο Ζηνόδωρος, o Αρχιμήδης , ο Steiner, o Weierstrass , o Schwartz είναι μερικοί από αυτούς.» Είχε το χάρισμα να εξιστορεί, ήταν παραμυθάς , συγχρόνως ό,τι χρήσιμο υπήρχε το έμπ λεκε στην υπόθεση της ιστορίας. Από πού το ξεκίνησε, πού το έφτασε…. Ο λόγος για τον κ. Νίκο. Καλλιτέχνης του μαρμάρου από την Τήνο. Γνώριζε πολλά και μία από της αγάπες του η Γεωμετρία που τόσο την εκτιμούσε. Χωρίς γεωμετρία δε μπορείς να σμιλέψεις το μάρμαρο, έλεγε … « Επειδή η λύση του προβλήματος της Διδούς είναι δύσκολη, θα μου λύσετε ένα άλλο παρόμοιο πρόβλημα που το έλυσε και αυτό η βασίλισσά μας.» Συνέχισε … «Μια μέρα ήρθαν και οι ιερείς. Για να τιμήσουμε τους θεούς, μεγάλο ορθογώνιο ναό πρέπει να χτίσουμε, δέκα χιλιόμετρα να βαδίζει κάποιος γύρω – γύρω από τους τοίχους του τόσος μεγάλος πρέπει να είναι. Και οι διαστάσεις του ρώτησε η Διδώ ; Τι θέλεις τις διαστάσεις ό,τι και να είναι τι πειράζει; Τόσο μεγάλος πρέπει να είναι όσο προστάζουν οι θεοί . Τι να κάνω που τους χρειάζομαι σκέφτηκε η Διδώ. Ας είναι και ανόητοι. Τι δουλειά έχει η περίμετρος με το εμβαδόν!. Θα σας φτιάξω τον μεγαλύτερο ορθογώνιο ναό με την περίμετρο που μου ζητήσατε…» «Τι σχήμα λέτε να είχε ο ναός μας ρώτησε, όλη την παρέα ο κ.Νίκος » Εμείς παιδιά τότε δεν μπορέσαμε καλά - καλά να καταλάβουμε το ερώτημα νομίζαμε όπως και οι ιερείς του μύθου ότι, όποιες διαστάσεις και να είχε το ορθογώνιο, αρκεί βέβαια η περίμετρος να ήταν 10.000 μέτρα το ίδιο εμβα δόν θα ήταν. Τι λέτε, είναι σωστό να σκεφτόμαστε όπως οι ιερείς της Καρχηδόνας;
- 155. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 55 Λύση Από τα ορθογώνια με περίμετρο 10.000 αυτό που έχει το μέγιστο εμβαδό είναι το τετράγωνο πλευρά 2500 γιατί; Προσπάθησε να δικαιολογήσεις την απάντηση με τη βοήθεια τ ης παρακάτω άσκησης. Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ και το ορθογώνιο ΑΗΘΕ όπως στο σχήμα Α) Να αποδείξετε ότι τα δύο τετράπλευρα έχουν την ίδια περίμετρο Β) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν του ορθογωνίου. Γ) Δείξτε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο.
- 156. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 56
- 157. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 57 Ιστορία 43η Μέχρι εκείνη τη μέρα οι κάτοικοι στα Άνω και Κάτω Τζουτζουρέϊκα, δύο χωριά κάπου στο πουθενά, ήταν μονιασμένοι. Μαζί στις χαρές μαζί και στις λύπες. Ώσ που ο φίλος και συμφοιτητής μου στο μεταπτυχιακό Βασίλης Σ. άνοιξε το φάκελο της τεχνικής υπηρεσίας του νομού. «Μέτα χαρά είμαστε σε θέση να σας πληροφορήσουμε ότι το αίτημα σας για την κατασκευή γέφυρας στον ποταμό Τζουτζουρή ενεκρίθη, αναμένουμε την περιγραφή της οριστικής θέσης του ως άνω έργου, την κοστολόγησή του, την περιγραφή των αναγκαίων συμπληρωματικών έργων οδοποιίας, καθώς επίσης και την σύμφωνη απόφαση των κοινοτικών συμβουλίων των δύο χωριών, Άνω και Κάτω Τζουτζουρέϊκα. Μετά τιμής κ.τ.λ ….» Ο Βασίλης υπηρετούσε ως τεχνικός σύμβουλος στην Περιφερειακή αναπτυξιακή εταιρεία του Νομού …, ήταν από τους λίγους που αξιοποίησαν τελικά τον μεταπτυχιακό τίτλο του περιφερειολόγου. Κάθε χρόνο τον επισκεπτόμουν πες για το καλό κρασί της περιοχής πες για την καλή παρέα, πες για τις ωραίες στιγμές που περάσαμε μαζί και στο πανεπιστήμιο αλλά και στο μεταπτυχιακό. Με παρακάλεσε να πάω μαζί του στη κοινή σύσκεψη των δύο κοινοτικών συμβουλίων. Σκηνές απείρου κάλους εξελίσσονταν. Το γεφύρι θα γίνει εδώ !, στο σκαλοπάτι του Πασά έλεγαν οι κάτοικοι από τα Άνω Τζουτζουρέϊκα. Γιατί, για να πηγαίνετε πιο γρήγορα, ρωτούσαν οι σύμβουλοι από τα Κάτω Τζουτζουρέϊκα. Θα γίνει στο εκκλησάκι της Παναγιάς. Άκρη δεν μπορούσε να βρεθεί. Να γίνει στη μέση φώναξε ο Βασίλης αποκαμωμένος. Ξαφνικά όλοι σωπάσανε, και πια ε ίναι η μέση ρώτησαν;. Πως μπορούσε να κατασκευαστεί ένα γεφύρι κάθετο στις δύο όχθες του ποταμού ώστε τα δύο χωριά να ισαπέχουν από αυτό;
- 158. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 58 Λύση Αν το ποτάμι δεν είχε πλάτος τότε η θέση κατασκευής θα ήταν το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος που σ υνδέει τα δύο χωριά με την ευθεία που ορίζει το ποτάμι ( όπως στο διπλανό σχήμα) Επομένως αν «ανεβάσουμε» το χωριό Β κατακόρυφα στη θέση Β’ και σχεδιάσουμε την προηγούμενη κατασκευή, θα προσδιορίσουμε τη θέση Λ της γέφυρας. Αφού τα δύο χωριά συμφώνησαν μετά από ένα μήνα ήρθε απορριπτική απάντηση από την τεχνική υπηρεσία. Η δικαιολογία ήταν ότι η θέση της γέφυρας πρέπει να επιλεγεί με σκοπό την ελαχιστοποίηση του οδικού δικτύου που συνδέει τα χωριά με τα άκρα της γέφυρας. Έτσι το πρόβλημα τώρα ήταν να σχεδιαστεί η θέση της γέφυρας ώστε το συνολικό μήκος της διαδρομής ΒΚ+ΚΛ+ΛΑ να είναι ελάχιστο. Το καλό με το νέο πρόβλημα ήταν ότι δεν χρειαζόταν να επαναληφθεί κοινή συνεδρίαση των δύο δημοτικών συμβουλίων. Η απόφαση ήταν καθαρά τεχνοκρατική. Μπορείς να εξηγήσεις την λύση που έδωσε ο Βασίλης στην τεχνική υπηρεσία, αν γνωρίζεις ότι το αντίστοιχο τοπογραφικό ήταν περίπου όπως το διπλανό σχήμα, καθώς επίσης ότι η λύση βασίστηκε στο γεγονός ότι η πιο σύντομη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία;
- 159. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 59 Ιστορία 44η Είχε κάνει μία θεαματική είσοδο στο κεντρικό αμφιθέατρο. Συνοδευόταν από έναν βοηθό που του έβγαλε το σακάκι, έσβησε τους πίνακες και έκατσε σε μία γωνιά. Ο Κωνσταντίνος Λ. «ο δύσκολος» καθηγητής της Γραμμικής Άλγεβρας ξεκίνησε και έγραφε. Αξίωμα , θ εώρημα, πόρισμα, αξίωμα, θεώρημα, πόρισμα. Η φωνή του μονότονη και τσιριχτή. Όποτε ένας πίνακας γέμιζε ο βοηθός σηκωνόταν βιαστικά και τον έσβηνε. Η πρώτη ώρα πέρασε, αν είναι έτσι το Μαθηματικό χαθήκαμε σκέφτηκα. Ήταν ένα πρωινό του 1979, μόλις είχα ξεκι νήσει να παρακολουθώ στο Μαθηματικό Θεσσαλονίκης. Το αμφιθέατρο γεμάτο. Κάθομαι δίπλα από τον Σπύρο, πρωτοετής και αυτός. Γνωριστήκαμε προχθές όταν τακτοποιούσαμε τα της εγγραφής… Δεν θα ξεχάσω το βλέμμα του, ήταν σαν να παρακαλούσε κάτι να γίνει και κάπο ιος να τον πάρει από εκεί. Τότε κάτι γνώριμο από το Λύκειο ακούστηκε, με τρόπο που το έκανε και πάλι δύσκολο, περίεργο, παράξενο. « Η μαθηματική επαγωγή είναι μία μέθοδος που χρησιμοποιείται για να αποδείξουμε προτάσεις που αφορούν άμεσα ή έμμεσα ακέραιου ς δηλαδή για παράδειγμα θεωρούμε την πρόταση 2 2 2 2 ( 1) (2 1) 1 2 3 ... 6 όπου την οποία δηλώνουμε ως ( ). Το αποδεικτικό σχήμα που χρησιμοποιούμε στην απόδειξή μας μπορεί να συνοψιστεί συμβολικά ως (1) ( ) ( 1) ( ) ί ή ά Το βήμα ( ) ( 1) της απόδειξης ονομάζεται επαγωγικό βήμα και η υπόθεση ότι η ( ) είναι αληθής ονομάζεται επαγωγ ική υπόθεση. Άσκηση : να αποδείξετε ότι 2 1 3 5 ... (2 1) για κάθε » Πάνω που κάτι καταλάβαινα ο πίνακας σβήστηκε από τον βοηθό και ο καθηγητής συνέχισε … «αξιωματική θεώρηση των Φυσικών κατά Peano …»
- 160. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 60 Το βράδυ στο παραλιακό καφενείο που συχνάζαμε το πρώτο καιρό, μοιραία η κουβέντα στράφηκε γύρω από το μάθημα. Η κριτική σκληρή ο εφηβικός εγωισμός ισοπεδωτικός. Τι του σούραμε του έρμου του Κωνσταντίνου Λ. δεν λέγεται. Στο διπλανό τραπέζι ένας μεγαλύτερος σε ηλικία από εμάς, μεταπτυχιακός φοιτητής όπως τελικά αποδείχτηκε, παρενέβη. Δεν έχετε δίκιο, μη τα περιμένετε όλα στο πιάτο. Ο καθηγητής είπε αυτά που έπρεπε να πει, τώρα είναι σειρά σας να ψάξετε, να σκεφτείτε, να ερευνήσετε … Για παράδειγμα «η μαθηματική επαγωγή» που λέγ ατε είναι μία μέθοδος απόδειξης που συναντάται πολύ συχνά στην ιστορία των μαθηματικών. Λέγεται ότι ο Φραγκίσκος Μαυρόλυκος που γεννήθηκε από Έλληνες γονείς στη Σικελία γύρω στο 1500 ήταν ο πρώτος που την χρησιμοποίησε. Αργότερα ο γνωστός σας Pascal απόδειξε τη σχέση που ισχύει ανάμεσα στους συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος με τη μέθοδος αυτή. Αλλά μάλλον και εγώ σαν τον καθηγητή σας μιλάω. Δείτε ένα απλούστερο παράδειγμα. Με μία κίνηση έβγαλε από το ξύλινο κουτάκι τα κοκάλινα πλακίδια του ντόμινου που υπήρχαν πάνω στο τραπέζι και συνέχισε. « Ας τοποθετήσουμε όλα τα ντόμινο το ένα μπρος από το άλλο, ώστε να είναι σε κατάλληλη απόσταση, οπότε αν ρίξουμε κάποιο από αυτά θα πέσει πάνω στο αμέσως επόμενο του. Μένει να ρίξει κάποιος το πρώτο από τα ντόμινο και να …» Μαθηματική επαγωγή !! φώναξε ο Σπύρος. Ακριβώς !! επιβεβαίωσε ο άγνωστος φίλος και συνομιλητής μας. «Ας δούμε την άσκηση που σας έδωσε ο Κ.Λ. 2 1 3 5 ... (2 1) Αν υποθέσουμε ότι ισχύει για κάποιον φυσικό κ δηλαδή 2 1 3 5 ... (2 1) (1) τότε θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για τον επόμενο δηλαδή 2 1 3 5 ... (2 1) (2( 1) 1) ( 1) , πράγμα που είναι εύκολο αρκεί σ την (1) να προσθέσουμε και στα δύο μέλη το (2( 1) 1), άρα 2 1 3 5 ... (2 1) (2( 1) 1) (2( 1) 1) ή 2 1 3 5 ... (2 1) (2( 1) 1) 2 2 1) ή 2 1 3 5 ... (2 1) (2( 1) 1) 2 1 ή 2 1 3 5 ... (2 1) (2( 1) 1) ( 1)
- 161. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 61 Τελειώσαμε ;» Όχι πρέπει να ρίξουμε και το πρώτο ντόμινο είπα με τη σειρά μου. Να αποδείξουμε δηλαδή ότι ο τύπος ισχύει και για ν=1. Δηλαδή 2 1 (2 1 1) 1 , πράγμα που προφανώς ισχύει. Πολύ καλό!!! Αν δηλαδή έχουμε δείξει ότι η αλήθεια μιας πρότασης Π(ν) μας επιτρέπει να ισχυριστούμε και την αλήθεια της επόμενης Π(ν+1) και ότι ισχύει η Π(1) τότε θα ισχύει και η Π(2) και η Π(3) και η Π(4) και τελικά σαν το ντόμινο η αλήθεια της κάθε πρότασης ρίχνει – αποδεικνύει και την επόμενη. Άρα ισχύει η πρόταση για όλους τους Φυσικούς αριθμούς. Το πιο ωραίο είναι ότι μία σειρά από περίεργα προβλήματα – ερωτήματα όχι και τόσο εμφανώς μαθηματικά μπορούν να λυθούν με την μέθοδο αυτή, συνέχισε ο μεταπτυχιακός, για παράδειγμα.. 1ο πρόβλημα Ισχυρίζομαι ότι αν έχουμε μία επιφάνεια που αποτελείται από 2 2 τετράγωνα (με ) μπορεί να πλακοστρωθεί από πλακάκια σχήματος L ,δηλαδή από πλακάκια σαν το διπλανό σχήμα, αφήνοντας μόνο ένα τυχαίο τετραγωνάκι ακάλυπτο. 2ο πρόβλημα Αν έχουμε αρκετά σπίρτα, τότε μπορούμε να σχηματίσουμε διάφορα σχήματα σαν δέντρα. Στα σχήματα αυτά δεν υπάρχουν κλειστές διαδρομές και σε οποιοδήποτε άκρο του κάθε σπίρτου μπορούμε να ενώσουμε όσα σπίρτα θέλουμε. Ας δούμε ένα τέτοιο σχήμα. Το σημείο που συναντώνται δύο τουλάχιστ ον σπίρτα το λέμε κόμβο και τα άκρα των σπίρτων που δεν είναι κόμβοι τα λέμε ελεύθερα άκρα. Βρείτε μία σχέση ανάμεσα στον αριθμό ν των σπίρτων που χρησιμοποιούμε και τον αριθμό ε των ελεύθερων άκρων και τον αριθμό κ των κόμβων. Βρείτε πόσα σπίρτα έχουμε χρησιμοποιήσει αν ο αριθμός των ελεύθερων άκρων είναι 50 και ο αριθμός των κόμβων 27 Τον Μεταπτυχιακό φοιτητή δεν τον συνάντησα ξανά, πιθανόν να έφυγε την επομένη, τα προβλήματα τα λύσαμε όχι ότι ή ταν εύκολα αλλά σίγουρα αρκετά ενδιαφέροντα. Συμφωνείτε ;
- 162. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 62 Λύση 1ο υ προβλήματος Αν έχουμε μια επιφάνεια 2Χ2 τότε είναι προφανές ότι αυτή μπορεί να καλυφτεί από ένα πλακάκι σχήματος L αφήνοντας ένα τετράγωνο ακάλυπτο. Αν έχουμε μία επιφάνεια 4Χ4 μπορεί να καλυφθεί από πλακάκια σχήματος L αφήνοντας μόνο ένα τετράγωνο ακάλυπτο; Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τεράγωνα 2Χ2. Αφαιρώντας από τα τρία «κενά» τετράγωνα από ένα τετράγωνο στο κέντρο καταλήγουμε σε τέσσερα τετράγωνα της περίπτωσης 2Χ2 Εύκολα μπορούμε τώρα να πλακοστρώσουμε την επιφάνεια μας με πλακάκια σχήματος L, αφήνοντας μόνο ένα πλακάκι ακάλυπτο, αυτό που είχε εξ αρχής επιλεγεί .
- 163. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 63 Αν έχουμε μία επιφάνεια 8Χ8, μπορεί να καλυφθεί από πλακάκια σχήματος L αφήνοντας μόνο ένα πλακ άκι ακάλυπτο; Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τετράγωνα 4Χ4 Αφαιρώντας από τα τρία «κενά» τετράγωνα από ένα τετράγωνο στο κέντρο καταλήγουμε σε τέσσερα τετράγωνα της περίπτωσης 4Χ4 Εύκολα μπορούμε τώρα να πλακοστρώσουμε την επιφάνεια μας με πλακάκια σχήματος L, αφήνοντας μόνο ένα πλακάκι ακάλυπτο, αυτό που είχε εξ αρχής επιλεγεί . Είναι προφανές ότι η επίλυση του προβλήματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της μαθηματικής επαγωγής. Το πρόβλημα για επιφάνεια 1 1 2 2 έχει λυθεί.
- 164. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 64 Υποθέτουμε ότι είμαστε σε θέση να λύσουμε το πρόβλημα για επιφάνεια 2 2 τετραγώνων με ένα οποιοδήποτε τετράγωνο κενό. Θα αποδείξουμε ότι μία επιφάνεια με 1 1 2 2 τετράγωνα με ένα οποιοδήποτε τετραγωνάκι κε νό μπορεί να καλυφθεί πλήρως με πλακίδια σχήματος L εκτός του αρχικού κενού τετραγώνου. Χωρίζουμε το τετράγωνο σε τέσσερα τετράγωνα με 2 2 τετράγωνα, αφαιρούμε τα τρία κεντρικά τετράγωνα και το πρόβλημα ανάγεται στην προηγούμενη περ ίπτωση. Λύση 2ο υ προβλήματος Παίζοντας με διαφορετικά σχήματα και διαφορετικό αριθμό σπίρτων καταλήγουμε στην υποψία ότι η σχέση που συνδέει τον αριθμό ν των σπίρτων με τον αριθμό ε των ελεύθερων άκρων και τον αριθμό κ των κόμβων είναι : ν+1=κ+ε Θα δείξουμε την αλήθεια της προηγούμενης πρότασης με τη βοήθεια της μαθηματικής επαγωγής. Για ν=1 η πρόταση ισχύει διότι ένα σπίρτο δημιουργεί 2 ελεύθερα άκρα και κανένα κόμβο. Έστω ότι για ν σπίρτα ισχύει η πρόταση. Θα δείξουμε ότι ισχύει η πρόταση για ν+1 σπίρτα δηλαδή ισχύει η σχέση : (ν+1)+1=κ’+ε’ όπου κ’ και ε’ ο αριθμός των κόμβων και των ελεύθερων άκρων αντίστοιχα. Η πρόσθεση ενός ακόμη σπίρτου σε ν μπορεί να γίνει ακουμπώντας το νέο σπίρτο σε ένα από τους προυπάρχοντες κόμβους ή σε μία από τις ελεύθερες άκρες που υπήρχαν. Στην πρώτη περίπτωση ισχύει ότι κ’=κ και ε’=ε+1 οπότε θα έχουμε ότι 1 1 ' ' 1 2 ' ' Στην δεύτερη περίπτωση ισχύει ότι κ’=κ+1 και ε’=ε άρα θα έχουμε ότι 1 1 ' 1 ' 2 ' ' Δηλαδή ισχύει ότι (ν+1)+1=κ’+ε’ Στην περίπτωση των 50 άκρων και 27 κόμβων τότε προφανώς !!! χρησιμοποιήσαμε 76 σπίρτα…
- 165. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 65 Ιστορία 45η Θεωρείτο από τους καλύτερους δασκάλους του μαθηματικού. Συγχρόνως η στάση του στα χρόνια της χούντας τον έκανε ιδιαίτερα αγαπητό στους φοιτητές. Κάτι λοιπόν το ιδιαίτερο στιλ, κάτι ότι ήταν από εκείνους τους καθηγητές που μπορούσες να τους πλησιάσεις να τους μιλήσεις, το αμφιθέατρο ήταν πάντα γεμάτο. Ο λόγος για του Βασίλη Κ. Μάθημα , Πιθανότητες, έτος 2 ο . Κάποια απλά πράγματα τα γνωρίζαμε και από το σχολείο. Τότε τη δεκαετία του 80 και συνδυαστική κάναμε και κάποια μικρή εισαγωγή στις πιθανότητες, όχι σπουδαία πράγματα όμως. Να … ότι ως πιθανότητα ουσιαστικά θεωρούμε ένα μέτρο προσδοκίας ότι κάτι πρόκειται να συμβεί. Για όσους δεν γνωρίζουν, θα πω ένα χρήσιμο παράδειγμα. Παίζουμε τάβλι !!! Πόρτες και ο αντίπαλος σε έχει χτυπήσει, συγχρόνως έχει πιάσει τέσσερεις από τις έξι θέσεις που μπορείς να μπεις. Η κατάσταση είναι τραγική, τα έχει βάψει μαύρα. Όμως δεν είναι έτσι, τουλάχιστον αυτά λένε οι πιθανότητες. Έχεις συνολικά 36 δυνατούς συνδυασμούς ζαριών, από αυτούς σου κάνουν για να μπεις οι 20. Άρα έχεις πιθανότητα για να μπεις 20 55,5% 36 . Ποια η πιθανότητα να μη μπαίνεις; Σωστά !!! 44,5% . Το ενδεχόμενο αυτό λέγεται συμπληρωματικού του προηγούμενου και προφανώς οι πιθανότητες των δύο αυτών ενδεχομένων , τα δύο κλάσματα δηλαδή έχουν άθροισμα ένα. Ηθικό δίδαγμα, όταν έχεις τις μαύρες σου δες το από την πλευρά των πιθανοτήτων, έχει ο θεός…
- 166. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 66 Για να επιστρέψω από εκεί που άρχισα …, από τον Βασίλη Κ. Η πρώτη του κουβέντα μετά τα καθιερωμένα, ήταν… να ευχηθεί χρόνια πολλά στους εορτάζοντες;. Τι του ΄ρθε; Και συνέχισε, βάζω στοίχημα, εκ του ασφαλούς, ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο από σας που γιορτάζετε την ίδια μέρα του χρόνου, αλλά αυτό θα το κουβεντιάσουμε μια άλλη στιγμή και συνέχισε τη παράδοση. Μετά το μάθημα στους διαδρόμους δεν άκουγες τίποτε άλλο παρά ημερομηνίες, 12 Ιανουαρίου … , 22 Μαρτίου… , 8 Ιουνίου … Συγχρόνως αρκετοί ήταν και αυτοί που διαπίστωναν ότι η ημερομηνία γέννησης τους δεν ήταν και τόσο μοναδική. Υπήρχαν αρκετοί που είχαν με αυτούς την ίδια ιδέα, να γεννηθούν την ίδια ακριβώς μέρα... Βρέθηκαν 12 ζευγάρια και τέσσερεις τριάδες συμφοιτητών που είχαν την ίδια μέρα γενέθλια. Τελικά είχε δίκιο ο καθηγητής !!! Αλλά τέτοια βεβαιότητα; Κάτι θα συμβαίνει εδώ …, κάτι μαγικό, ή απλώς μαθηματικό.
- 167. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 67 Λύση Ας ξεκινήσουμε με κάτι πιο απλό. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 5 φίλους. Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο από αυτούς που να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα ; Αν την πιθανότητα αυτή δυσκολευόμαστε να τη βρούμε, μήπως μπορούμε να βρούμε τη πιθανότητα κανείς να μην έχει γενέθλια με κάποιον άλλο την ίδια μέρα; Δηλαδή όλοι να γιορτάζουν σε διαφορετικές ημερομηνίες; Πόσες είναι οι ιδανικές περιπτώσεις ώστε να συμβαίνει κάτι τέτοιο; Ο 1ο ς μπορεί να έχει γεννηθεί σε μία από τις 365 μέρες του χρόνου. Ο 2ο ς σε μία από τις 364 υπόλοιπες μέρες. Ο 3ο ς σε μία από τις 363 υπόλοιπες μέρες του χρόνου. Ο 4ο ς σε μία από τις 362 και ο 5 ο ς σε μία από τις 361 μέρες Άρα συνολικά έχουμε 365 364 363 362 361 6302555018760 ευνοϊκές περιπτώσεις σε σύνολο 5 365 6478348728125 περιπτώσεων. Άρα η πιθανότητα είναι 6302555018760 0,972 6478348728125 Οπότε η πιθανότητα σε πέντε άτομα δύο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι 1 0,972 0,028, δηλαδή κάτι τέτοιο είναι απίθανο. Τι συμβαίνει όμως όταν τα άτομα που εξετάζουμε είναι πολλά. Πόσα; , 30 ας πούμε, ή 40 ή 50 ή 60 ή … Υπάρχει μήπως ένας αριθμός ατόμων και μετά που η πιθανότητα του ενδεχομένου « δύο τουλάχιστον άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα » να είναι μεγάλη; Πόση μεγάλη; Πολύ μεγάλη … , ας πούμε 90%. Μάλλον αυτό δεν μπορεί να γίνει, θα σκεφτείτε. Κι’ όμως, ρίξτε μια ματιά στον διπλανό πίνακα που έχει υπολογισθεί η πι θανότητα του ενδεχομένου αυτού με διάφορες τιμές του πλήθους ν των ατόμων που εξετάζουμε. Πόσο δίκιο είχε να είναι τόσο σίγουρος ο Βασίλης Κ. σε γεμάτο αμφιθέατρο. ν Ρ(ν) 10 11,7% 20 41,1% 23 50,7% 30 70,6% 50 97% 57 99% 100 99,9999%
- 168. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 68
- 169. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 69 Ιστορία 46η Δεν υπάρχει βιβλίο που να εξιστορεί μαθηματικές ιστορίες, και να μη κάνει αναφορά στην πιο εκπληκτική ιστορία από όλες. Τη δημιουργία και ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης στην Αρχαία Ελλάδα. Βρισκόμαστε στις αρχές του 6 ο υ αιώνα. Εκείνη την εποχή μεγαλουργούν στον χώρο του Αιγαίου πανεπιστήμονες , και δημιουργούν χώρους κά τι σαν τα σύγχρονα πανεπιστήμια , χωρίς να χάσουν την ενότητα της γνώσης. Τα μαθηματικά, η μουσική , η φιλοσοφία , η ρητορική δεν είναι κομμάτια ξένα αλλά μία ολότητα που σκοπό έχει τη διδασκαλία του μέτρου και της αρετής . Είναι ένα σύστημα ηθικής με σκοπ ό την εξύψωση του ανθρώπου, με σεβασμό στο περιβάλλον και στους άλλους ανθρώπους ,με ανεκτικότητα και χωρίς δογματισμούς. Αλλά γιατί στο χώρο αυτόν , να αναπτυχθούν τα Μαθηματικά ; Γιατί οι Έλληνες αγαπούν τη συζήτηση… ( Η ε π ό μ ε ν η π α ρ ά γ ρ α φ ο ς ε ί ν α ι α π ό τ ο β ι β λ ί ο τ ο υ Ν τ έ ν ι Γ κ ε τ ζ « Τ ο Θ ε ώ ρ η μ α τ ο υ π α π α γ ά λ ο υ » Ε κ δ ό σ ε ι ς Π ό λ ι ς ) Π ρ άγ μα τι ο Θα λ ής ,ο Π υ θα γό ρα ς ,ο Ιπ πο κ ράτ η ς ο Χ ίο ς , ο Δ η μ όκ ρι τος , ο Θ εα ίτ ητ ος , ο Αρ χύ τας ο Τ αρα ντ ι νός , και τό σ οι ά λ λο ι Έλ λ η ν ες στ ο χα στ ές π ου δια μό ρ φω σα ν τα Μ α θ ημα τι κά που γ νωρ ί ζο υμ ε σ ή μ ε ρα δε ν ήτα ν ούτ ε σ κ λ άβ οι ούτ ε κ ρατι κοί υ πά λ λ η λο ι . Στ η ν Ελ λά δα το υ τ ότε δε ν υπ άρ χε ι ο ύτε βα σι λι άς ούτ ε μέ γα ς ι ε ρέ ας για ν α α πο φα σ ί ζει τ η φύ σ η τ ης δ ου λ εία ς τ ους ή να βά λ ει ό ρια σ τι ς με λ έτ ες το υς . Οι Έλ λ η ν ε ς δ ια νο ητ ές ε ίν αι ε λ εύ θ ε ρο ι ά ν θ ρω ποι . Α λ λ ά … οφ εί λ ου ν να υ π ερα σ πι σ τού ν τ ην άπ ο ψ η τ ους μ π ρο στά σε συνα δ έ λ φου ς τ ους . … . Στη ν Α θ ή να γι ν όν του σαν σ υ νε λ εύ σ ει ς 7 -8 0 0 0 ατ όμ ων κα ι κα θέ να ς με τ η σε ι ρά τ ου μ πο ρούσ ε να π ά ρε ι τ ο λό γο . Δυ να μι κά ε πι χει ρ ή ματα δ ιασ τα υρ ών ο ντα ν για να κ ατα φ έρ ου ν να κε ρ δίσ ο υν τ η συ να ίν ε σ η και τ ε λικ ά τ η ν π λ ει ο ψ ηφ ία . … . . Οι Έλ λ η ν ες φι λ ό σο φοι , πο λ ιτι κοί κ αι νο μικ οί δι έπ ρ επ αν στ η ν τέ χν η τ η ς π ε ι θού ς , α λ λ ά η π ρα κτ ικ ή του ς εί χε κά ποι α όρ ια . Η π ει θ ώ δε ν απ α λ εί φε ι ο ρι σ τικ ά τ η ν αμ φι β ο λί α .
- 170. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 70 Τα Μαθηματικά απαιτούν λοιπόν κάτι περισσότερο από την απλή πειθώ. Ζητούν το αναμφισβήτητο. Οι Έλληνες μαθηματικοί θέλουν να πείσουν με τέτοιο τρόπο, που κανείς να μην μπορεί να αμφισβητήσει τα συμπεράσματά τους και να μπορούν ανά πάσα στιγμή να άρουν οποιαδήποτε αμφιβολία για τους ισχυρισμούς τους. Θέλουν λοιπόν αποδείξεις. Αυτή είναι η προσφορά των πανεπιστημόνων της εποχή εκείνης στον σύγχρονο άνθρωπο. Άνετα θα μπορούσαν ακόμα και στην εποχή μας να δίνουν διαλέξεις για την φύση των όντων και των επιστημών στα σπουδαιότερα πανεπιστήμια του σήμερα και τα αμφιθέατρ α σίγουρα θα ήταν γεμάτα. Πέρα από αυτό κάτι εκπληκτικό συνέβη το 300π.χ. Ο «πρύτανης του πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας » ο Ευκλείδης ,συγκέντρωσε όλα τα επιτεύγματα της ελληνικής μαθηματική επιστήμης σε δεκατρία βιβλία και συνέγραψε τα λεγόμενα Στοιχεία. Όμως ο τρόπος που έγραψε το βιβλίο αυτό ,είναι ο ίδιος που μέχρι σήμερα θεωρούμε ως ο ιδανικός τρόπος συγγραφής οποιουδήποτε επιστημονικού πονήματος. Αρχικά έδινε τους όρους (ορισμούς), μετά το απολύτως αναγκαίο αριθμό αξιωμάτων (αιτήματα), μετά τις λεγόμενες κοινές έννοιες αναπόδεικτες ως προφανείς προτάσεις και ακολούθως προτάσεις που αποδεικνύονται από τα προηγούμενα , τα λεγόμενα θεωρήματα ,τελειώνοντας κάθε φορά την αποδεικτική διαδικασία με τις περίφημες εκφράσεις του : ὅπερ ἔδει ποιῆσαι όταν επρόκειτο για κατασκευή, ή ὅπερ ἔδει δεῖξαι, όταν επρόκειτο για απόδειξη.
- 171. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 71 Τ ο δι π λα νό σ χ ήμ α δ είχ ν ε ι το ν τ ρ ό πο τ ης α πο δ ει κ τική ς δ ι α δ ικ α σί α ς πο υ χ ρ η σι μο πο ιεί τ αι σ τ α Στ ο ι χεί α τ ο υ Ε υκ λεί δ η . Οι α ριθ μ οί δ η λώ νο υ ν τη ν α ρ ίθ μησ η τ ω ν π ρ ο τά σ εω ν α πό τ ο βι βλί ο Ι τ ω ν Σ το ι χε ίω ν με σ κοπ ό ν α α π ο δε ι χ θεί τε λι κ ά η 47 η π ρ ό τα σ η το πε ρ ί φημ ο π υ θ αγ ό ρε ιο θ εώ ρη μ α. ( Α π ό τ ο « T h e G r e e k C o n c e p t o f p r o o f » σ ε ι ρ ά Μ Α 2 9 0 : T o p i c s i n t h e h i s t o r y o f M a t h e m a t i c s , τ ο υ α ν ο ι κ τ ο ύ Α γ γ λ ι κ ο ύ Π α ν ε π ι σ τ η μ ί ο υ ) Παρακάτω δίνεται η 17 η πρόταση από το 3ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, διαβάστε το στα αρχαία και αποδόστετο στα νέα ελληνικά. Πρότασις ιζ΄. [17] Ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος ὁ ΒΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ· λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΑΒ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ· δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν πρὸς τῷ Ε· βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου· ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου· ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου. Ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντος κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι
- 172. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 72
- 173. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 73 Ιστορία 47η Σε πολλά περιοδικά με σπαζοκεφαλιές και γρίφους θα έχετε συναντήσει προβλήματα όπως : 1. Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός της ακολουθίας των αριθμών 1,2,4,8,16,…; 2. Ποιος είναι ο 10 ο ς όρος της ακολουθίας; 3. Ποιος είναι ο 1000 ο ς όρος της ; 4. Ποιο είναι το άθροισμα των πρώτων 100 όρων της ακολουθίας αυτής; Τα τρία πρώτα ερωτήματα σας τα αφήνω σε εσάς. Για το τέταρτο ας δούμε τον τρόπο που ο Ευκλείδης υπολογίζει στα «Στοιχεία» του το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας τέτοιας ακολουθίας αριθμών . Με σύγχρονους συμβολισμούς η όλη διαδικασία έχει ως εξής : ονομάζουμε το ζητούμενο άθροισμα : 2 ν 1 νS 1 r r ... r πολλαπλασιάζουμε επί r άρα : 2 3 ν νr S r r r ... r αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις : ν ν(r 1) S r 1 αν r 1 τότε έχουμε : (1) Για παράδειγμα το άθροισμα των πρώτων 10 όρων της ακολουθίας 1,2,4,8,16,… είναι : 10 10 10 2 1 S 2 1 1023 2 1 . Άρα το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της ακολουθίας θα είναι … ν ν r 1 S r 1
- 174. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 74 Υπάρχει μία κλασική ιστορία που εξελίσσεται σε μακρινούς χρόνους στην Περσία. Ένας βασιλιάς θέλοντας να ευχαριστήσει τον Μαθηματικό που κατασκεύασε πρώτος για χάρη του το γνωστό σε όλους μας σκάκι, του πρότεινε να του κάνει ότι δώρο ήθελε. Τότε ο Μαθηματικός του ζήτησε κάτι πολύ απλό!!! Όπως είναι η σκακιέρα με τα 8Χ8 τετράγωνα, ο βα σιλιάς να βάζει σπυριά ρυζιού στο κάθε τετράγωνο με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Στο πρώτο τετράγωνο 1 σπυρί, στο 2ο τετράγωνο 2 σπυριά, στο 3ο τετράγωνο 2 2 σπυριά, στο 4ο τετράγωνο 3 2 σπυριά και ούτω καθεξής μέχρι και το 64ο τετραγωνάκι της σκακιέρας. Μόλις ο βασιλιάς θα τελείωνε, θα έδινε στον Μαθηματικό όλα τα σπυριά ρυζιού που θα ήταν στη σκακιέρα. Ο βασιλιάς, που από Μαθηματικά δεν θα ήξερε και πολλά, δέχθηκε. Πόσα σπυριά τελικά έπρεπε ο βασιλιάς να δώσει στον Μαθηματικό; Αν θεωρήσουμε ότι κάθε σπυρί ρυζιού έχει περίπου 0,033gr βάρος, υπολογίστε πόσους τόνους ρυζιού θα έπρεπε να παραδώσει στον Μαθηματικό ο βασιλιάς. (Για να επιβεβαιώσετε τους υπολογισμούς σας, σας δίνω την απάντηση 671.023.802.629 τόνους ρύζι !!!).
- 175. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 75 Ιστορία 48η Παρατηρείστε να παραπάνω σχήματα… Στην αρχή έχουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Μετά «αφαιρούμε» ένα ισόπλευρο τρίγωνο ενώνοντας τα μέσ α των πλευρών του. Στη συνέχεια αφαιρούμε με παρόμοιο τρόπο άλλα τρία τρίγωνα. Μετά άλλα εννέα τρίγωνα… Ας φανταστούμε ότι η διαδικασία αυτή γίνεται συνεχώς. Μπορείτε να βρείτε ποια είναι η σχέση της περιμέτρου Π και του εμβαδού Ε του αρχικού τριγώνου με τα αντίστοιχα μεγέθη (περίμετρος, εμβαδόν) των υπόλοιπων τριών «διάτρητων» σχημάτων ; Μπορείτε να μαντέψετε ποιο θα είναι το εμβαδόν και ποια η περίμετρος του σχήματος που προκύπτει με αυτή τη διαδικασία στο 5ο σχήμα που θα ακολουθεί; Το παραπάνω σχήμα λέγεται τρίγωνο του sierpinski . Είναι ένα από τα πολλά παρόμοια σχήματα που λέγονται Fractals. Ας δούμε μερικά… Το χαλί του sierpinski 1 ο σ χ ή μ α 2 ο σ χ ή μ α 3 ο σ χ ή μ α 4 ο σ χ ή μ α
- 176. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 76 Η νιφάδα του Koch Το απειρόδενδρο Το σφουγγάρι του Karl Menger (Fractal σε στερεή έκδοση) Αλλά και σύνθετα και περίεργα όπως
- 177. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 77 Με τον διεθνή όρο fractal (μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης. Το fractal παρουσιάζεται ως μία "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποι οδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητa. . Για να γίνει αντιληπτή η διαφορά των fractal σε σχέση με τα γνωστά ευκλείδεια γεωμετρικά σχήματα (επίπεδα ή στερεά) , ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Αν μεγεθύνουμε την περιφέρεια ενός κύκλου, αυτή μετά από αλλεπάλληλες μεγεθύνσεις θα εμφανίζεται απλά ως ευθύγραμμο τμήμα. Αντίθετα, σε ένα fractal, θα εμφανίζονται κατόπιν μεγεθύνσεων λεπτομέρειες που δεν ήταν ορατές σε μικρότερη κλίμακα μεγέθυνσης. Fractal απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση. Όπως στο σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, στα φύλλα των φυτών ή στις διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων. Ο όρος προτάθηκε από τον Benoît Mandelbrot το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus , που σημαίνει κατακερματισμένος.
- 178. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 78 Πέρα από την ομορφιά που παρουσιάζουν τα σχήματα αυτά, παρουσιάζουν και κάποιες ιδιότητες που ανέτρεψ αν τα μέχρι εκείνη την εποχή δεδομένα. Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή. Σε ένα σχεδιαστικό πρόγραμμα έχουμε αποτυπώσει μία ευθύγραμμη ακτογραμμή μήκους 512 m. Για την μέτρηση χρησιμοποιούμε αρχικά ως «μονάδα» μέτρησης ένα μήκος 64 m. Υπάρχει όμως και η δυνατότητα της μεγέθυνσης χρησιμοποιώντας το εργαλείο zoom, δίνοντας την τιμή μεγέθυνσης που επιθυμούμε. Δηλαδή για την τιμή zoom=4 η «μονάδα» μέτρησης θα γίνει 64:4=16 m, για τιμή zoom=16 η «μονάδα» θα γίνει 64:16=4m , κ.ο.κ. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι μετρήσεις που έχουν γίνει. Μονάδα μέτρησης 64m 16m 4m 1m Τιμή zoom (x) 1 4 16 64 Αριθμός βημάτων Α π ο τ έ λ ε σ μ α μ έ τ ρ η σ η ς (y) 8 32 128 512 Μήκος ακτογραμμής 512m 512m 512m 512m Η σχέση ανάμεσα στο αποτέλεσμα της μέτρησης και την τιμή zoom που επιλέγουμε , για το παράδειγμά μας, είναι : 8y x Επειδή ο παράγοντας x εμφανίζεται στη δύναμη 1, λέμε ότι μία ευθύγραμμη ακτογραμμή έχει διάσταση 1. Αν όμως έχουμε να μετρήσουμε μία ακτογραμμή που δεν είναι ευθύγραμμη αρά έχει όρμους, κόλπους ακρωτήρια … τότε ας παρατηρήσουμε τον παρακάτω πίνακα που περιέχει τις αντίστοιχες μετρήσεις Μονάδα μέτρησης 64m 16m 4m 1m Τιμή zoom (x) 1 4 16 64 Αριθμός βημάτων Α π ο τ έ λ ε σ μ α μ έ τ ρ η σ η ς (y) 8 64 512 4096 Μήκος ακτογραμμής 512m 1024m 2048m 4096m
- 179. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 79 Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι : Α) Το μήκος της ακτογραμμής δεν είναι το ίδιο πάντα, αλλά εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης. Όσο μικρότερη είναι η μονάδα μέτρησης τόσο μεγαλύτερο το μήκος της ακτογραμμής. Β) Η σχέση ανάμεσα στο αποτέλεσμα της μέτρησης y και της τιμής zoom που επιλέγουμε είναι 1,5 8y x Στο δεύτερο παράδειγμά μας έχουμε ένα μέγεθος με διάσταση κλασματική. Η «δαντελωτή» έχει κλασματική διάσταση. Τα σχήματα Fractal έχουν αυτήν την χαρακτηριστική ιδιότητα, είναι δηλαδή σχήματα με κλασματική διάσταση. Για παράδειγμα αν μετρήσουμε την περίμετρο των τριών πρώτων «φάσεων» του παρακάτω fractal σχήματος που ονομάζεται νιφάδας του Koch. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων μας παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Μονάδα μέτρησης 1 1/3 1/9 Τιμή zoom (x) 1 3 9 Αριθμός βημάτων (y) 3 12 48 Περίμετρος σχήματος 3 4 5,33… Η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα μεγέθη y,x είναι 1,2618... 3y x , άρα η διάσταση του σχήματος είναι κλασματική και ίση με 1,2618… Εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε ότι το τρίγωνο του Sierpinski έχει διάσταση 1,584…, το χαλί του Sierpinski έχει διάσταση 1,8928, ο σπόγγος του Menger που μοιάζει περισσότερο σε στερεό η διάστασή του πλησιάζει το 3 είναι 2,727… Τ ο σ χ ή μ α α υ τ ό π ρ ο κ ύ π τ ε ι α π ό έ ν α ι σ ό π λ ε υ ρ ο τ ρ ί γ ω ν ο . Σ τ η σ υ ν έ χ ε ι α σ τ α μ έ σ α τ ω ν τ ρ ι ώ ν π λ ε υ ρ ώ ν τ ο υ ε μ φ α ν ί ζ ο ν τ α ι τ ρ ί α ι σ ό π λ ε υ ρ α τ ρ ί γ ω ν α μ ε γ έ θ ο υ ς ί σ ο μ ε τ ο 1 / 3 τ ο υ α ρ χ ι κ ο ύ . Τ ο σ χ ή μ α π ο υ π ρ ο κ ύ π τ ε ι μ ο ι ά ζ ε ι μ ε έ ν α α σ τ έ ρ ι μ ε έ ξ ι κ ο ρ υ φ έ ς . Μ ε τ ά σ τ α μ έ σ α τ ω ν δ ώ δ ε κ α π λ ε υ ρ ώ ν τ ο υ ε μ φ α ν ί ζ ο ν τ α ι ι σ ό π λ ε υ ρ α τ ρ ί γ ω ν α μ ε γ έ θ ο υ ς ί σ ο μ ε τ ο 1 / 9 τ ο υ α ρ χ ι κ ο ύ κ α ι ο ύ τ ω κ α θ ε ξ ή ς .
- 180. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 80 Σειρά σας τώρα… Παρατηρείστε τα διπλανά σχήματα που γίνεται προσπάθεια μέτρησης των ακτών της Αγγλίας. Στο πρώτο σχήμα η μονάδα μέτρησης είναι 200 Km με αποτέλεσμα 2.400 Km, στο δεύτερο η μονάδα είναι 1 00Km με μήκος ακτογραμμής 2.800 Km και τέλος στο τρίτο σχήμα η μονάδα είναι 50Km με μήκος 3.400Km. Η ακτογραμμή της Αγγλίας είναι ένα σχήμα με Fractal ιδιότητες, ποια είναι η διάστασή της;
- 181. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 81 Λύση Περίμετρος και εμβαδόν του τριγώνου του Sierpinski Αριθμός σχήματος 1ο 2ο 3ο 4ο 5ο Περίμετρος Π 3 2 9 4 27 8 ; Εμβαδόν Ε 3 4 9 16 26 64 ; Το σχήμα αυτό όσο «προχωρά» η περίμετρος του μεγαλώνει ενώ το εμβαδόν του μικραίνει συνεχώς… Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα μετρήσεων των ακτών της Αγγλίας. Μονάδα μέτρησης 200Κm 100Κm 50Κm Τιμή zoom (x) 1 2 4 Αριθμός βημάτων Α π ο τ έ λ ε σ μ α μ έ τ ρ η σ η ς (y) 12 28 68 Μήκος ακτογραμμής 2.400Κm 2.800Κm 3.400Κm Η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα μεγέθη x,y είναι : 1,251... 12y x , δηλαδή η διάσταση των ακτών της Αγγλίας είναι 1,251… Την ώρα που τελείωνα την ιστορία αυτή έπεσε στην αντίληψη μου ένα άρθρο του περιοδικού Focus (Ελληνική έκδοση Μάιος 2012) στο οποίο γίνεται αναφορά στην ιστοσελίδα www.skytopia.com στην οποία παρουσιάζονται πλήθος από τρισδιάστατα Fractal!!! Αξίζει να την επισκεφτείτε …
- 182. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 82
- 183. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 83 Ιστορία 49η Οι γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ Βρισκόμαστε στον 18ο αιώνα στην πόλη του Königsberg . Μια πόλη που την διέσχιζε ο ποταμός Pregel στον οποίο είχαν χτιστεί 7 γέφυρες για την επικοινωνία των κατοίκων της. Την εποχή εκείνη ήταν διαδεδομένο ένα παιχνίδι ανάμεσα στους κατοίκους αλλά και στους επισκέπτες της πόλης. Να ξεκινούν από ένα σημείο της πόλης και περνώντας όλες τις γέφυρες μία μόνο φορά να περπατήσουν από τα όμορφα σοκάκια της πόλης και να επιστρέψουν στο σημείο από όπου ξεκίνησαν. Όλες όμως οι προσπάθειες κατέληγαν σε αποτυχία. Τελικά ήταν όντως αδύνατη μια τέτοια διαδρομή ή απλά δεν είχαν βρει την κατάλληλη διαδρομή; Το 1727 ο διάσημος Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707- 1783) εργαζόταν στη Ρωσία προσκεκλημένος της αυτοκράτειρας Μεγάλης Αικατερίνης και πιθανότητα τότε ήταν που άκουσε για πρώτη φορά το «παράδοξο» πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg Ο Euler σχεδίασε έναν χάρτη του Königsberg αντικαθιστώντας τις 4 περιοχές γης που συνδέονταν από τις γέφυρες με τέσσερα σημεία, Α,Β,Γ και Δ και τις γέφυρες με γραμμές που ένωναν τα σημεία αυτά. Το πρόβλημα λοιπόν του μοναδικού περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες (και της μοναδικής λύσης στο πρόβλημα), ισοδυναμούσε με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί, μιας γραμμής – μονοκονδυλιάς , χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές.
- 184. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 84 Γιατί όμως ήταν αδύνατη μία τέτοια διαδρομή; O Euler συνειδητοποίησε ότι σε μία εφικτή διαδρομή, κάθε σημείο θα έπρεπε να είχε μία γραμμή να καταλήγει και μία να ξεκινάει από αυτό. Εάν επισκεπτόσουν αυτό το σημείο ξανά, θα έπρεπε να υπήρχε μία νέα γραμμή προς αυτό και από αυτό. Έτσι θα έπρεπε να υπάρχουν μόνο ζυγοί αριθμοί γραμμών που να ξεκινούν (καταλήγουν) από κάθε σημείο. Οι μόνες εξαιρέσεις του κανόνα αυτού είναι η αρχή και το τέλος της διαδρομής. Το σημείο εκκίνησης έχει μόνο μία γραμμή που ξεκινάει από αυτό και το σημείο τερματισμού μία γραμμή που καταλήγει σε αυτό. Έτσι για να είναι δυνατόν μία διαδρομή να σχεδιαστεί μονοκονδυλιά θα πρέπει , όχι παραπάνω από δύο σημεία – η αρχή και το τέλος – να έχουν μονό αριθμό γραμμών. Αν όμως δούμε τον χάρτη των 7 γεφυρών του Königsberg, κάθε σημείο έχει μονό αριθμό γεφυρών που ξεκινούν από αυτό ( καταλήγουν σε αυτό). Έτσι η διαδρομή που τόσος κόσμος πάσχιζε να βρει είναι ανέφικτη. Ήταν μεγάλη η έκπληξη μου όταν η βαφτισιμιά μου η Ιωάννα ζήτησε να παίξω ένα παιχνίδι που είχε κατεβάσει στο κινητό της. Το παιχνίδι λεγόταν one touch drawing . Ουσιαστικά στις διάφορες πίστες του παιχνιδιού εμφανίζονται διαδρομές όπου με μονοκονδυλιά πρέπει να ενώσεις όλα τα σημεία χωρίς όμως να περάσεις δύο ή περισσότερες φορές από την ίδια γραμμή που ενώνει τα σημεία – κόμβους. Μεγαλύτερη έκπληξη ένιωσε η Ιωάννα, αφού εφαρμόζοντας απλώς τις βασικές αρχές του Euler οι πίστες τελείωναν η μία μετά την άλλη… Είναι ευκαιρία για σένα αναγνώστη να δοκιμάσεις τις δυνάμεις σου στο παιχνίδι αυτό, αφού η τεχνολογία
- 185. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 85 δίνει τη δυνατότητα να δυσκολέψει το αρχικό βασικό πρόβλημα και να μας ανοίξει νέους δρόμους σκέψεις και αναζήτησης. Έτσι για να προκαλέσω δίνω μερικές από τις πίστες του παιχνιδιού, μερικές εύκολες άλλες πιο δύσκολες… Όπως οι δύο διπλανές … Η αυτή … όπου το βελάκι σου επιβάλει μία συγκεκριμένη φορά κίνησης ή αυτές τις δύο όπου το κόκκινο χρώμα επιβάλει στον παίκτη να περάσει δύο φορές από τη συγκεκριμένη διαδρομή… Αν κατόρθωσα να προκαλέσω το ενδιαφέρον σου , δεν έχεις παρά να αναζητήσεις το παιχνίδι και να ασχοληθείς. Ποιος ξέρει , πιθανόν να μπορέσεις σαν άλλος Euler να βρεις έναν γενικό τρόπο επίλυσης οποιασδήποτε διαδρομής όσο ευφάνταστης δυσκολίας και αν έχει. Καλή επιτυχία …
- 186. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 86
- 187. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 87 Ιστορία 50η Όταν μεγάλοι τζογαδόροι συνάντησαν ιδιοφυίες … αυτό που συνέβη ήταν να γεννηθούν νέα Μαθηματικά ! Ιστορία 1η . Βρισκόμαστε γύρω στο 1620 ο Μεγάλος Δούκας της Τοσκάνης είχε αδυναμία στα τυχερά παιχνίδια, τι αδυναμία δηλαδή σωστό πάθος. Ένα από τα αγαπημένα παιχνίδια της αυλής του ήταν να ρίχνει τρία ζάρια και να αθροίζει τις ενδείξεις τους. Όποιος από τους δύο παίχτες έφερνε μεγαλύτερο άθροισμα κέρδιζε. Μία παραλλαγή ήταν να στοιχηματίζουν στα πιθανά αθροίσματα. Σαν μεγάλος παίκτης που ήταν παρατήρησε ότι το άθροισμα 10 εμφανιζόταν συχνότερα από ότι το άθροισμα 9. Την παρατήρησή του αυτή την ανέφερε στον Πρώτο Μαθηματικό του Πανεπιστημίου της Πίζας που χρηματοδοτούσε ο οποίος δεν ήταν άλλος παρά ο Γαλιλαίος (1554-1642). Το παράδοξο στην όλη ιστορία είναι ότι το να φέρει κανείς 10 ρίχνοντας τρία ζάρια γίνεται με έξι τρόπους τους εξής : 6+3+1 ή 6+2+2 ή 5+4+1 ή 5+3+2 ή 4+4+2 ή 4+3+3 Όμως και το άθροισμα 9 με έξι τρόπους γίνεται, τους εξής : 6+2+1 ή 5+3+1 ή 5+2+2 ή 4+4+1 ή 4+3+2 ή 3+3+3 Τι λέτε η πιθανότητα να ρίξει κανείς τρία ζάρια που οι ενδείξεις τους έχουν άθροισμα δέκα είναι μεγαλύτερη από το να ρίξει τρία ζάρια με άθροισμα εννέα; Ιστορία 2η Ο Ιππότης de Méré είχε πολλά να σκεφθεί …, τι ήταν συμφερότερο για αυτόν να στοιχηματίσει ότι ένας παίκτης θα φέρει τουλάχιστον μία φορά 6 ρίχνοντας 4 φορές ένα ζάρι ή ότι θα φέρει μία τουλάχιστον φορά εξάρες ρίχνοντας 24 φορές δύο ζάρια; Ο Chevalier de Méré γνωστό μούτρο όλων των υπόγειων του Παρισιού γνώριζε ότι η πιθανότητα να φέρει 6 ρίχνοντας ένα ζάρι είναι 1/6, ενώ να φέρει κανείς εξάρες ρίχνοντας δύο ζάρια 1/36, οπότε η λογική του έλεγε ότι αν κάποιος ρίξει ένα ζάρι 4 φορές έχει 4/6 πιθανότητες να φέρει ένα τουλάχιστον 6. Ενώ αν ρίξει κάποιος δύο ζάρια 24 φορές θα έχει 24/36 πιθανότητες να φέρει εξάρες. Άρα οι πιθανότητες των δύο περιπτώσεων πρέπει να είναι ίδιες. Η εμπειρία όμως έδειχνε άλλα, η
- 188. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 88 περίπτωση του ενός ζαριού υπερτερούσε από αυτή των δύο ζαριών, που έκανε λάθος; Το πρόβλημά του το είπε στον πιο διάσημο Μαθηματικό της Γαλλίας , που δεν ήταν άλλος από τον Pierre de Fermat (1608-1665). Ο Fermat δεν ήταν κατά επάγγελμα Μαθηματικός στην πραγματικότητα ήταν δικαστικός όμως ανάμεσα στις δίκες και στις καταδίκες αυτό που τον ξεκούραζε ήταν να ασχολείται με προβλήματα. Συγχρόνως τις όποιες ανακαλύψεις του τις ανακοίνωνε και σε άλλους συναδέλφους του χωρίς πάντα να δίνει τις απαντήσεις…, αλλά απλώς να ανακοινώνει το πρόβλημα καθώς επίσης την επιτυχή έκβαση της προσπάθειάς του. Με τον τρόπο αυτό ένας άτυπος δημιουργικός ανταγωνισμός είχε αναπτυχθεί ανάμεσα στην κοινότητα των μαθηματικών. Για το πρόβλημα του Chevalier de Méré ο Fermat το ανακοίνωσε στον Plaise Pascal (1623-1662) και από τις επιστολές που αντάλλαξαν εξελίχθηκε ένα νέος τομέας των σύγχρονών μαθηματικών ο Λογισμός των Πιθανοτήτων. Ιστορία 3η Εδώ πρωταγωνιστής δεν είναι κανένας μεγάλος μαθηματικός. Συνέβη το 1984 στο Λιμένι το παραθαλάσσιο χωριό στη Μεσσηνιακή Μάνη. Ήταν Αύγουστος, φθάσαμε απόγευμα ενώ ο ήλιος έδυε. Η ταβέρνα του κ. Κώστα ήταν το μοναδικό ανοικτό μαγαζί και έτσι η παρέα, έντεκα φίλοι και φίλες μετά από ένα κουραστικό ταξίδι είχαμε όλοι συγκεντρωθεί και πεινούσαμε … Το γεύμα λουκούλλειο. Βγήκαν οι κιθάρες, άρχισαν τα τραγούδια και όλοι στο μαγαζί γνωστοί και άγνωστοι γίναμε μία παρέα. Το πρωί μετά από ένα απολαυστικό ύπνο δίπλα στο κύμα ο κ. Κώστας έφτιαξε καφέδες, κάναμε το πρωινό μπάνιο στα καταγάλανα νερά , γέλια πειράγματα και τάβλι… Ο κ. Κώστας παρακολουθούσε, του άρεσε που είχε μια τέτοια μεγάλη παρέα από νεαρόκοσμο. Κάθισε δίπλα μας. Από τάβλι δε ξέρω αλλά μου αρέσει να στοιχηματίζω, μου αρέσει να προκαλώ τη τύχη μου, είπε. Να για παράδειγμα θα ρίξεις τα δύο ζάρια μια φορά και θα υπολογίσουμε τη διαφορά των αριθμών. Αν η διαφορά είναι 0 ή 1 ή 2 κερδίζω αν είναι 3 ή 4 ή 5 χάνω. Έτσι ή κερνάω τους καφέδες ή πλένετε τα χθεσινά πιάτα, τι λέτε, πάει; Όλος ο κόσμος φώναζε, δίκαιο … , ας γίνει …, να παίξουμε …. Ένα χαμόγελο ζωγραφίστηκε στα χείλη μου. Ήξερα ότι το παιχνίδι δεν ήταν δίκαιο, αλλά ας είναι και λίγη λάντζα δεν θα μας έκανε κακό, έτσι και αλλιώς ήταν ένας ωραίος άνθρωπος ο κ. Κώστας. Τρεις διαφορετικές ιστορίες, δύο κλασικές και μία απλή, καθημερινή. Η σειρά σου αναγνώστη να ασχοληθείς, να απαντήσεις, να νιώσεις έστω και για λίγο δημιουργικός Μαθηματικός.
- 189. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 89 Λύση Ας ξεκινήσουμε από την τρίτη ιστορία, την πιο απλή. Αν ρίξουμε τα δύο ζάρια τότε τα πιθανά αποτελέσματα είναι : Αν σχηματίσουμε τις διαφορές των δύο ενδείξεων τότε θα πάρουμε τα εξής δυνατά αποτελέσματα : Μετρήστε πόσες φορές η διαφορά είναι 0 ή 1 ή 2 και πόσες 3 ή 4 ή 5. Τι πιστεύετε; Είναι τελικά δίκαιο ένα τέτοιο στοίχημα; Ο τρόπος με τον οποίο εξετάσαμε αν είναι δίκαιο ή όχι το στοίχημα της 3ης ιστορίας μας δείχνει τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να εργαστούμε ώστε να απαντήσουμε στα δύο πρώτα κλασικά προβλήματα. Υπολογίστε με τη βοήθεια ενός σχήματος ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε όλους τους δυνατούς τρόπους με τους οποίους μπορούν να εξελιχθούν τα δύο παιχνίδια. Υπολογίστε με πόσους τρόπους πραγματοποιείται η μία ή η άλλη εξέλιξη του κάθε παιχνιδιού. Τελικά ο Δούκας και ο ιππότης είχαν δίκιο όσο αναφορά στα εμπειρικά αποτελέσματα στα οποία κατέληγαν; Τι νομίζετε ότι ο Γαλιλαίος και ο Fermat απάντησαν στους δύο παίκτες. Τελικά πριν παίξετε οποιοδήποτε «τυχερό» παιχνίδι σκεφτείτε και λίγο μαθηματικά, κάνει καλό και στο μυαλό αλλά και στη τσέπη σας !
- 190. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 90
- 191. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 91 Ιστορία 51η Αιγυπτιακά κλάσματα Είναι 15 χρόνια στην Ελλάδα, αλλά όπως συνηθίζει να λέει, η χώρα που σε υποδέχεται δεν είναι παρά η εξορία σου. Ο Αχμέτ διατηρεί αρτοποιείο και συγχρόνως έχει διάφορα προϊόντα από την πατρίδα του την Αίγυπτο. Ήρθε κυνηγημένος από το καθεστώς του Μπουμπάρακ, είχε σπουδάσει δάσκαλος εκεί… Λάτρης του αρχαίου ελληνικού και αιγυπτιακού πολιτισμού. Αν δεν είμαστε εμείς οι Έλληνες και οι Α ιγύπτιοι ο κόσμος δεν θα είχε εξελιχτεί συνηθίζει να λέει. Όταν μπεις στο μαγαζί του το πρώτο περίεργο πράγμα που βλέπεις είναι ένα σχέδιο σαν αυτό της διπλανής εικόνας. Είναι το μάτι του Ώρος μου είπε ο Αχμέτ. Ο Ώρος ήταν ο μοναχογιός της Ίσιδας και του Όσιρι και ορκίστηκε να εκδικηθεί το δολοφόνο του πατέρα του, τον Σηθ. Σε μία από τις μάχες που ακολούθησαν ο Σηθ έβγαλε το μάτι του Ώρου το έκοψε σε έξι κομμάτια και το σκόρπισε σε όλη την Αίγυπτο. Τελικά ο Ώρος επικράτησε , οι θεοί επενέβησαν όρισαν το ν Ώρο ως βασιλιά της Αιγύπτου και έδωσαν στον Θωδ θεό της σοφίας οδηγίες για την επανασυναρμολόγηση του ματιού του Ώρου. Έτσι από τότε το μάτι αυτό συμβολίζει την ολότητα, τον οραματισμό, την αφθονία αλλά και την γονιμότητα. Τα επιμέρους σύμβολα από τα οπο ία αποτελείται το «μάτι» αντιστοιχούν – συμβολίζουν στα αρχαία αιγυπτιακά κλασματικές μονάδες, δηλαδή : 1/64 = 1/32 = 1/16= 1/8 = 1/4 = 1/2= Όμως 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 63 2 4 8 16 32 64 64 64 παρατήρησα,
- 192. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 92 κάτι συμβαίνει δεν είναι σωστό, ένα μέρος, το 1/64 λείπει… Δεν λείπει τίποτε το 1/64 ήταν η αμοιβή του Θωδ, η ολότητα ανήκει μόνο στους θεούς ακόμα και αν είσαι βασι λιάς δεν μπορεί να έχεις πλήρη αντίληψη των πάντων κάτι θα σου ξεφεύγει… Ξέρεις οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μόνο κλάσματα με αριθμητή τη μονάδα, μοναδικές εξαιρέσεις τα κλάσματα 2/3 και 3/4, έτσι για να γράψουν το 7/24 έγραφαν 1 1 6 8 , αλλά θα μπορούσαν να έγραφαν και 1 1 4 24 , αντιπρότεινα. Σωστά, όπως το 2/35 θα μπορεί να γραφεί 1 1 21 105 αλλά και 1 1 30 42 αλλά και ως 1 1 20 140 . Γιατί όμως τα έγραφαν έτσι; Κανείς δεν ξέρει. Μπορώ να βρω μία εξήγηση χωρίς όμως να είμαι σίγουρος για το αν αυτή είναι η πραγματική αιτία. Για απάντησε γρήγορα ποια από τα κλάσματα 55 84 και 7 11 είναι μεγαλύτερο;. Είδες χρειάζεσαι αρκετ ές πράξεις, δεν είναι και τόσο απλό. Ενώ αν ξέρεις , αν έχεις συνηθίσει δηλαδή να γράφεις : 55 1 1 1 84 2 7 84 και 7 1 1 1 11 2 8 88 , το πρόβλημα απλοποιείται. Ότι γνωρίζουμε για τα μαθηματικά των αρχαίων Αιγυπτίων βρίσκονται σε τρεις πηγ ές στον πάπυρο του Βερολίνου, στον πάπυρο της Μόσχας και στον πιο γνωστό πάπυρο του Ριντ. Ο Χένρι Ριντ ήταν ένας Σκωτσέζος παλαιοπώλης που το 1858 αγόρασε τον πάπυρο από κάποιον ντόπιο στο Λούξορ. Ο πάπυρος ξεκινά με ένα πίνακα που παριστάνει τους αριθμούς 2/ν ως αθροίσματα διαφορετικών μοναδιαίων κλασμάτων για όλες τις περιττές τιμές του ν από το 5 ως το 101.
- 193. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 93 Ωραία η κουβέντα μαζί σου, του είπα, αλλά έχω τραπέζι σήμερα και θέλω να πάρω από αυτές τις περίφημες πίτες σου. Θα είμαστε δέκα άτομα. Θα πάρεις έξι πίτες, οπότε θα έχει να μοιράσεις έξι πίτες σε δέκα άτομα, το πιο κλασικό πρόβλημα που υπάρχει στον πάπυρο του Ριντ, ο καθένας σας θα πάρει 1 1 2 10 από την κάθε πίτα ! Θα με τρελάνεις τελείως, απέξω τα ξέρεις όλα. Πρόσεξε , θα μπορο ύσα να έλεγα απλώς ότι ο καθένας θα πάρει από 6 10 της πίτας, αλλά με τον τρόπο που σου είπα, μπορεί να θέλεις περισσότερα κοψίματα, αλλά ο καθένας σας θα πάρει όχι μόνο την ίδια αναλογία πίτας αλλά και ίδια κομμάτια με τους άλλους. Αυτή ίσως είναι μία άλλη χρησιμότητα των Αιγυπτιακών κλασμάτων! Η συνάντηση με τον Αχμέτ ήταν αντικείμενο και της συζήτησης που ακολούθησε το βράδυ με τους φίλους μου. Η αναφορά στα μοναδιαία κλάσματα έδωσε αφορμή στον Γιάννη να ξεκινήσει μία επίδειξη γνώσεων. Ο πρώτος που κατόρθωσε να αποκρυπτογραφήσει τη διαδικασία παραγωγής μοναδιαίων κλασμάτων ήταν ο Fibonacci αλλά πολύ αργότερα ο Άγγλος μαθηματικός Sylvester το 1880 απέδωσε με αλγεβρικό τρόπο την όλη διαδικασία, είπε σχεδόν απνευστί. Ας πάρουμε για παράδειγμα το κλάσμα 3 7 . Βρίσκουμε το μεγαλύτερο από τα μοναδιαία κλάσματα που δεν το ξεπερνά. Το κλάσμα αυτό είναι το 1 3 . Σχηματίζουμε τη διαφορά 3 1 2 7 3 21 . Άρα 3 1 2 7 3 21 .
- 194. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 94 Κάνουμε τα ίδια για το κλάσμα 2 21 . Δηλαδή βρίσκουμε το μεγαλύτερο μοναδιαίο κλάσμα που δεν το ξεπερνά, αυτό είναι το 1 11 . Σχηματίζουμε τη διαφορά 2 1 1 21 11 231 . Άρα 2 1 1 21 11 231 . Άρα τελικά θα ισχύει 3 1 1 1 7 3 11 231 . Δύο άλλα παραδείγματα , το κλάσμα 2/5 και το κλάσμα 7/11. Βρίσκουμε … Τελικά πιο το αποτέλεσμα; Όπως και να γράψετε το 3/7 ή το 2/5 το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, διέκοψε τη μαθηματική αναζήτηση η Αθανα σία, φάτε το φαί σας θα κρυώσει… Το βράδυ κύλησε με τραγούδι, φιλοσοφικές κουβέντες και πολιτικές αναζητήσεις, τα μοναδιαία κλάσματα ξεχάστηκαν. Μία ολόκληρη εποχή στη Μαθηματική σκέψη έπεσε και πάλι σε λήθαργο. Ένα ερώτημα όμως εξακολουθούσε να υπάρχει στην ατμόσφαιρα. Πως μπορεί να γραφεί το 2/5 ή το 7/11 ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων; Βοήθα αναγνώστη, αν έστω και για λίγο εμπνεύστηκες από την ιστορία αυτή.
- 195. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 95 Λύση Η μέθοδος του Sylvester ουσιαστικά βασίζεται στην ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Δηλαδή για το κλάσμα , γράφουμε την ταυτότητα με 0 και με πράξεις καταλήγουμε στην ισότητα : 1 1 ( 1) . Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για το κλάσμα 2/5. 5 2 2 1, άρα 2 1 2 1 1 1 5 2 1 5 (2 1) 3 15 Για το κλάσμα 7/11 έχουμε : 11 7 1 4 , άρα 7 1 7 4 1 3 11 1 1 11 (1 1) 2 22 Για το 3/22 ισχύει : 22 3 7 1, άρα 3 1 3 1 1 2 1 1 22 7 1 22 (7 1) 8 22 8 8 88 Οπότε 7 1 1 1 11 2 8 88 Στην ειδική περίπτωση που έχουμε εξαρχής μοναδιαίο κλάσμα η μέθοδος του Sylvester καταλήγει στην ταυτότητα 1 1 1 1 ( 1) . Η ταυτότητα αυτή μας δίνει μερικά αξιοπρόσεκτα αθροίσματα 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 6 4 7 12 42
- 196. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 96
- 197. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 97 Ιστορία 52η Ξεχώριζε ! Ανάμεσα σε τόσους και τόσους σύνεδρους, ο Cycle Singh ( το λιοντάρι του κύκλου σε ελεύθερη μετάφραση!) , αν γράφω σωστά το όνομά του, σίγουρα ήταν από τους πιο ενδιαφέροντες. Καταγόταν από ένα μικρό χωριό νότια του Δελχί, από τις μακρινές Ινδίες. Τον γνώρισα σε συνέδριο που έγινε το καλοκαίρι του 2009 στην Αυστρία. Σε ένα διάλειμμα εκεί που πίναμε τον καφέ μας ήρθε κοντά μας, ήμουν με τον φίλο μου τον Αλέξη, μας συστήθηκε …. Δάσκαλος των μαθηματικών, είστε από την Ελλάδα … μας είπε, δείχνοντας τα ταμπελάκια που φορούσαμε. Αγαπάω την Ελλάδα, την ιστορία της, την επιστήμη τη σύγχρονη αλλά και την αρχαία. Οι δύο λαοί Ινδοί και Έλληνες είναι η μήτρα του πολιτισμού και προπάντων των μαθηματικών. Μαζί σε αυτή την μορφωτική εξόρμηση, στο μαγευτικό κάστρο του Hangenberg στο Linz της Αυστρίας ήταν και η βαφτισιμιά μου η Ιωάννα. Βαριόταν αφόρητα όλες αυτές τις τυπικές συναντήσεις, ήθελε να περπατήσει να δει το κάστρο, την όμορφη καταπράσινη εξοχή. Για καλή της τύχη ο Cycle έβγαλε από την τσάντα του ένα πολύχρωμο τετράδιο και της το έδωσε. Έλα να σου δείξω πως κάνουμε εμείς στην Ινδία τον πολλαπλασιασμό, θα εκπλαγείς και αν σου αρέσει θα σου δείξω και άλλους τρόπους που γράφω στο τετράδιο αυτό για τους μαθητές μου. Και ξεκίνησε και ήταν ασυγκράτητος … 1ος πολλαπλασιασμός Ας κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 21 13, όχι όπως ξέρεις αλλά με τα ξυλάκια μου. Ορίστε το 21 είπε βάζοντας σε κάποια απόσταση 2 και μετά 1 μπλε ξυλάκια. Ορίστε και το 13, βάζοντας 1 κόκκινο και πιο πάνω 3 κόκκινα ξυλάκια. Τώρα ας μετρήσουμε τα κοινά σημεία τους… Στο τραπέζι παρουσιάστηκε μια εικόνα σαν τη διπλανή. Ε! λοιπόν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι 273.
- 198. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 98 Πράγματι φώναξε γεμάτη θαυμασμό η Ιωάννα, τόσο βγαίνει, το έκανα και με τον τρόπο που γνωρίζω από το σχολείο, αλλά αυτό μοιάζει με παιχνίδι. Αφού σου άρεσε να σου δείξω και άλλο ένα … 2ος πολλαπλασιασμός Ας κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 12 34. Τώρα θα ζωγραφίσουμε κύκλους και ακτίνες, θέλεις ; Ορίστε το δώδεκα … Ένας κύκλος και άλλοι δύο κύκλοι από κάτω ο ένας μέσα στον άλλον. Επειδή μου αρέσει να ζωγραφίζω κύκλους κάνω το ίδιο και από δίπλα. Λέγοντας αυτά σχημάτισε στην αρχή τους κύκλους. Ορίστε και το τριάντα τέσσερα … Τρεις ακτίνες στον πρώτο κύκλο και μετά τέσσερις στον παρόμοιο κύκλο τον διπλανό του. Το ίδιο κάνω και από κάτω για να μη είναι παραπονεμένοι … Τώρα ας μετρήσουμε σε πόσα μέρη έχουν χωριστεί τα σχήματά μας από τους κύκλους και τις ακτίνες. Στο τετράδιο σχηματίστηκε μια εικόνα σαν τη παραπάνω, έφερε διακεκομμένες γραμμές και μέτρησε βάζοντας από μία τελίτσα σε κάθε κομμάτι που μετρούσε. Εδώ θα έχουμε και κρατούμενο, τα ξέρεις εσύ αυτά… Λοιπόν ο πολλαπλασιασμός αυτός είναι πιο δύσκολος και είναι ίσος με 408! Η Ιωάννα δεν κρατιότανε. Πράγματι έτσι είναι … , τι ωραία! Αυτό δεν χρειάζεται ούτε καν να ξέρεις την προπαίδεια, είναι απλώς μέτρηση και πρόσθεση. Μα μικρή μου και ο τρόπος πολλαπλασιασμού που έχεις μάθει απλώς μέτρηση και πρόσθεση είναι … Είπε ο Cycle , κοιτώντας δίπλα, μοιάζοντας να ψάχνει κάποιον.
- 199. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 99 Συγνώμη, πρέπει να φύγω, έχω να δώσω μία διάλεξη τώρα. Μας χαιρέτησε και έφυγε. Φεύγοντας το μάτι μου έπεσε σε ένα stand ανακοινώσεων που βρισκόταν δίπλα μας, η ανακοίνωση έγραφε : Computer algebra and dynamic geometry system in mathematics education , by Cycle Singh PhD Math . Τελικά είναι τέχνη να μπορείς να μιλάς ανάλογα με το επίπεδο των συνομιλητών σου μονολόγησα… Άμα ξέρεις καλά κάτι μπορείς να το εξηγήσεις στον οποιοδήποτε συνέχισε η Ιωάννα. Τελικά πως εξηγείτε εσείς αγαπητοί μου αναγνώστες αυτούς τους περίεργους πολλαπλασιασμούς; Είναι τελικά τόσο περίεργοι και διαφορετικοί όπως από πρώτη ματιά φαίνονται;
- 200. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 00 Λύση Πράγματι η τεχνική του πολλαπλασιασμού όπως την έχουμε μάθει βασίζεται σε αρίθμηση και σε απλές προσθέσεις. Ας δούμε προσεκτικά έναν τέτοιον πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα ο πρώτος πολλαπλασιασμός που με τόσο θεαματικό τρόπο μας παρουσίασε ο κ. Cycle Singh γράφεται διαδοχικά : 2 2 21 13 (2 10 1) (1 10 3) 2 10 6 10 1 10 3 1 2 10 7 10 3 1 200 70 3 273 Μήπως διακρίνετε παρόμοια διαδικασία και στον τρόπο αυτόν με τα ξυλάκια; Μήπως τελικά όλα βασίζονται στην δεκαδική μορφή γραφής που χρησιμοποιούμε για να συμβολίσουμε έναν οποιονδήποτε αριθμό. Μη ξεχνάτε ότι τα δέκα γνωστά μας ψηφία αλλά και ο δεκαδικός τρόπος γραφής οφείλεται σε ινδούς μαθηματικούς. Τα ψηφία αυτά αντικατάστησαν επάξια τον Ρωμαϊκό τρόπο συμβολισμού των αριθμών που μέχρι τις αρχές του 11ου αιώνα κυριαρχούσαν στην Ευρώπη. Φανταστείτε …να ήσασταν αναγκασμένοι να κάνετε τον πολλαπλασιασμό !! Πως όμως εξηγείτε τον δεύτερο τρόπο πολλαπλασιασμού; Προσπαθήστε να υπολογίσετε το γινόμενο 102 65 με όποιον από τους δύο νέους τρόπους που μας έδειξε ο κ. Cycle.
- 201. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 01 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑ Γεννήθηκα στις 8 Μαρτίου το 1960 στη Χίο όπου ήταν διορισμένοι καθηγητές οι γονείς μου, Κωνσταντίνος Λαγουδάκος και Ιουλία Παπαϊωάννου αμφότεροι Χημικοί. Το 1965 ήρθαμε στην Αθήνα όπου το 1970 τελείωσα το Δημοτικό στο 108ο Δημοτικό σχολείο στην οδό Θήρας. Την 1 η Γυμνασίου την τελείωσα στο Εμπορικό Γυμνάσιο στη Πλατεία Αμερικής και την 2 α και 3 η Γυμνασίου στο Γυμνάσιο της Κάτω Κλειτορίας στην Αχαΐα . Το 1974 ήρθαμε οικογενειακώς και πάλι στην Αθήνα, όπου και τελείωσα το κβ’ Λύκειο στα Κάτω Πατήσια το 1977. Πέρασα στο Μαθηματικό Θεσσαλονίκης στο 1978 και αποφοίτησα το 1983 . Το 1984 με βρίσκει και πάλι στην Αθήνα όπου ξεκινώ και εργάζομαι σε διάφορα φ ροντιστήρια. Το 1985 μέχρι το 1987 παρακολουθώ το μεταπτυχιακό τμήμα περιφερειακής ανάπτυξης της Παντείου. Μετά, στρατιωτικό – Χαϊδάρι και Χίο. Απολύομαι το 1989.Ο γάμος μου με την Αθανασία γίνεται το 1989 και το 1991 γεννιέται η κόρη μου Κωνσταντίνα. Τ ο 1991 προσλαμβάνομαι στα Εκπαιδευτήρια Δούκα πρώτα στο Γυμνάσιο κ αι μετά στο Λύκειο όπου βρίσκομαι μέχρι τώρα. Σε όλη τη διάρκεια της επαγγελματικής μου πορείας ασχολήθηκα σε διάφορα εκπαιδευτικά project και τη συγγραφή βοηθημάτων καθώς επίσης συμμετείχα σε πλήθος εκπαιδευτικών ημερίδων – συνεδρίων. Ενδεικτικά αναφέρω τη συμμετοχή μου : Στη παραγωγή λογισμικού και πρότυπων φύλλων δραστηριοτήτων με διαθεματικό χαρακτήρα στο έργο «Η τέχνη των Μαθηματικών και τα Μαθηματικά της Τέχνης» Ιούλιος 2000 (συνεργασία του Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών -ΙΤΥ, των Εκπαιδευτήριων Δούκα των εταιρειών Compupress , Excess και του Open University) Στην παιδαγωγική αξιοποίηση ήδη υπαρχόντων λογισμικών (Geometer’s Sketchpad) για την υποστήριξη καθημερινών διαδικασιών διδασκαλίας μέσω διαδικτύου στα πλαίσια του έργου «Ε-Land : Ένα ολοκληρωμένο εικονικό περιβάλλον υποστήριξης μαθησιακών κοινοτήτων στο διαδίκτυο» (Ινστιτούτο Πολιτιστικής και Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας (Ι.Π.Ε.Τ), Ινστιτούτο Πληροφορικής και Τηλεματικής , Εκπαιδευτήρια Δούκα, Εκδόσεις Πατάκη)
- 202. Μ α θημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 02 Στο εμπλουτισμό με μαθηματικά θέματα της ηλεκτρονικής εγκυκλοπαίδειας «Η πρώτη μου σχολική e-Εγκυκλοπαίδεια» (Οπτικά συστήματα Multimediα) Στη συγγραφή των «Σύγχρονων Μαθη ματικών» για όλες τις τάξεις του Δημοτικού (Έκδοσ η Εκπαιδευτηρίων Δούκα) Στη συγγραφή των «Μαθηματικών Α’ Γυμνασίου – με νέο τρόπο» (Εκδοτικές Τομές ορόσημο) Στο εμπλουτισμό με applets μαθηματικού περιεχομένου με χρήση του λογισμικού geogebra για όλες τις τάξεις του Λυκείου του ιστότοπου « planet -math » Οι « 52 άτοκες δόσεις » αποτελεί μία προσπάθεια να δοθεί στους μαθητές μου, με την μορφή μαθηματικών ιστοριών, το κίνητρο να ασχοληθούν με γνωστά μαθηματικά προβλήματα και να προάγω σε αυτούς τη διάθεση για αναζήτηση και έρευνα. Οι ιστορίες αυτές δημοσιεύτηκαν σε εβδομαδιαία βάση στην ηλεκτρονική εφημερίδα του Λυκείου των Εκπαιδευτηρίων Δούκα « το Ευανάγνωστο» τη σχολική χρονιά 2012-2013.