Uploaded byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
2,166 views

Θεωρία αριθμών

Embed presentation

Downloaded 41 times
1 / 128
2 / 128
Most read
3 / 128
Most read
4 / 128
5 / 128
Most read
6 / 128
7 / 128
8 / 128
9 / 128
10 / 128
11 / 128
12 / 128
13 / 128
14 / 128
15 / 128
16 / 128
17 / 128
18 / 128
19 / 128
20 / 128
21 / 128
22 / 128
23 / 128
24 / 128
25 / 128
26 / 128
27 / 128
28 / 128
29 / 128
30 / 128
31 / 128
32 / 128
33 / 128
34 / 128
35 / 128
36 / 128
37 / 128
38 / 128
39 / 128
40 / 128
41 / 128
42 / 128
43 / 128
44 / 128
45 / 128
46 / 128
47 / 128
48 / 128
49 / 128
50 / 128
51 / 128
52 / 128
53 / 128
54 / 128
55 / 128
56 / 128
57 / 128
58 / 128
59 / 128
60 / 128
61 / 128
62 / 128
63 / 128
64 / 128
65 / 128
66 / 128
67 / 128
68 / 128
69 / 128
70 / 128
71 / 128
72 / 128
73 / 128
74 / 128
75 / 128
76 / 128
77 / 128
78 / 128
79 / 128
80 / 128
81 / 128
82 / 128
83 / 128
84 / 128
85 / 128
86 / 128
87 / 128
88 / 128
89 / 128
90 / 128
91 / 128
92 / 128
93 / 128
94 / 128
95 / 128
96 / 128
97 / 128
98 / 128
99 / 128
100 / 128
101 / 128
102 / 128
103 / 128
104 / 128
105 / 128
106 / 128
107 / 128
108 / 128
109 / 128
110 / 128
111 / 128
112 / 128
113 / 128
114 / 128
115 / 128
116 / 128
117 / 128
118 / 128
119 / 128
120 / 128
121 / 128
122 / 128
123 / 128
124 / 128
125 / 128
126 / 128
127 / 128
128 / 128
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 1 ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επιμέλεια : Γ. Λαγουδάκος Μελίσσια 2011
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 2
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 3 Οι “Ιστορίες από τη θεωρία των αριθμών” είναι μία εργασία που βασίζεται στο μεγαλύτερο μέρος της στο βιβλίο “An introduction to number theory” του “Edward B. Burger”. Ο χωρισμός των 21 ενοτήτων ακολουθεί το χωρισμό του πρωτοτύπου. Σε κάποια όμως κεφάλαια – ιστορίες έχουν ληφθεί υπόψη και στοιχεία από τα βιβλία : “ Η υπόθεση του Rieamann” του John Derbyshire, εκδόσεις Τραυλός ,(Ιστορία 7η ). “Το τελευταίο θεώρημα του Fermat” του Simon Singh, εκδόσεις Τραυλός , (Ιστορία 13η ). “Κώδικες και μυστικά “ του Simon Singh, εκδόσεις Τραυλός (Ιστορίες 10η – 11η ). “ Η μουσική των πρώτων αριθμών ” του Marcus Du Saudoy, εκδόσεις Τραυλός (Επίλογος) Στο τέλος της εργασίας περιλαμβάνεται το κεφάλαιο «γεγονότα και βιογραφίες» όπου ο αναγνώστης μπορεί σύντομα μέσα σε 13 σελίδες να περιδιαβεί την ιστορία της θεωρίας των αριθμών από τους Βαβυλώνιους μέχρι την α πόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat το 1994. Διαβάζοντας, το καλοκαίρι του 2011 , το βιβλίο του Burger θεώρησα ότι θα είναι ενδιαφέρον να μοιραστώ με τους μαθητές μου όλα όσα καινούργια έμαθα για την ιστορία της θεωρίας των αριθμών. Όποια λάθη τυχόν υπάρχουν καλό είναι να σημειωθούν ώστε να γίνει και η αναγκαία διόρθωση. Καλό διάβασμα … Γεώργιος Λαγουδάκος (καλοκαίρι 2011)
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 4
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 5 Εισαγωγή στη Θεωρία των Αριθμών Α. Τί είναι η θεωρία των αριθμών; Η περιοχή των Μαθηματικών που ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και τις ιδιότητες τους λέγεται «Θεωρία Αριθμών¨. Αποτελείται από δύο κλάδους : Την αναλυτική θεωρία των αριθμών που εστιάζει στη μελέτη των πρώτων αριθμών. 1. Πρώτοι (primes) είναι εκείνοι οι φυσικοί που είναι μεγαλύτεροι του 1 και δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο δύο μικρότερων φυσικών. 2. Οι πρώτοι από τους πρώτους αριθμούς είναι οι 2,3,5,7,11,13,17,... 3. Το πρώτο ερώτημα που τίθεται είναι « Πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί;». 4. Το 1896 διατυπώθηκε η εικασία « το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του φυσικού ν είναι περίπου ίσο με ν lnν .» 5. Ο σπουδαίος Γερμανός μαθηματικός Riemann στην προσπάθεια του να αποδείξει την πρόταση αυτή ανέπτυξε μία εικασία. Η εικασία αυτή είναι γνωστή ως Υπόθεση Riemann. Αποτελεί ένα άλυτο πρόβλημα στη θεωρία των αριθμών το εάν η υπόθεση αυτή είναι αληθής ή όχι. 6. Η θεωρία των πρώτων αριθμών λέγεται «Αναλυτική θεωρία αριθμών» διότι εμπλέκει τεχνικές μαθηματικής ανάλυσης.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 6 Την αλγεβρική θεωρία των αριθμών που εστιάζει στην αριθμητική 1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία εξίσωση με ακέραιους συντελεστές στην οποία εμφαν ίζονται προσθέσεις – αφαιρέσεις και πολλαπλασιασμοί. Μπορούμε πάντα να βρούμε φυσικούς αριθμούς ως λύσεις της; Τέτοιες εξισώσεις λέγονται Διοφαντικές εξισώσεις . 2. Για παράδειγμα, αν σκεφτούμε την εξίσωση που προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα 2 2 2 x y z , μία λύση της είναι x 3 , y 4 και z 5 . Υπάρχουν άλλες λύσεις και πόσες είναι; 3. Το 1637 ο P. de Fermat (1601-1665) διατύπωσε την εικασία ότι η αντίστοιχη Διοφαντική εξίσωση n n n x y z με n 3 δεν έχει λύση στο σύνολο των Φυσικών αριθμών. Για περίπου 350 χρόνια η πρόταση αυτή ήταν ένα από τα «επικηρυγμένα» προβλήματα των Μαθηματικών, μέχρι το 1994 όπου … αυτό θα το δούμε στη συνέχεια. 4. Η μελέτη τέτοιων εξισώσεων μάς επιτρέπει να μελετήσουμε σε βάθος τους φυσικούς και τη σχέση τους με τους πρώτους αριθμούς. 5. Επειδή αυτή η περιοχή της θεωρίας των αριθμών ασχολείται με τη λύση εξισώσεων, λέγεται «Αλγεβρική θεωρία αριθμών». Οι δύο κλάδοι προφανώς συνδέονται μεταξύ τους στη μελέτη των πρώτων αριθμ ών και τις ιδιότητες τους.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 7 Β. Στις επόμενες ιστορίες θα ασχοληθούμε με : Τη στοιχειώδη θεωρία των αριθμών 1. Θα ξεκινήσουμε ανακαλύπτοντας μερικές ενδιαφέρουσες σχέσεις ανάμεσα στους φυσικούς αριθμούς. Οι σχέσεις αυτές πέραν του γεγονότος ότι από μόνες τους προκαλούν, συγχρόνως είναι εργαλεία για την βαθύτερη μελέτη των αριθμών. 2. Οι σχέσεις αυτές θα μας δώσουν την δυνατότητα να εικάσουμε και τέλος να γενικεύσουμε τις ιδέες μας αποδεικνύοντάς τις. Τη αναλυτική θεωρία των αριθμών , όπου θα παρουσιάσουμε τ ους πρώτους αριθμούς και το κεντρικό ρόλο που παίζουν στο κόσμο των αριθμών. Τη modular αριθμητική 1. Συνδέοντας τις ιδιότητες των πρώτων με την αριθμητική του ρολογιού, έναν κόσμο της αριθμητικής που χρησιμοποιεί την διαίρεση εστιάζοντας την στο υπόλοιπο π αρά στο πηλίκο. 2. Στη συνέχεια θα προσεγγίσουμε έναν από τους πιο μοντέρνους κλάδους των εφαρμοσμένων Μαθηματικών αυτό της κρυπτογραφίας, παρουσιάζοντας το πρόβλημα του Δημόσιου κλειδιού κρυπτογράφησης. Την αλγεβρική θεωρία των αριθμών που εστιάζει την προσοχή της στην επίλυση συγκεκριμένων εξισώσεων. Η ενασχόληση μας με το συγκεκριμένο πεδίο θα μας θυμίσει όσα είχαμε γνωρίσει για τους αριθμούς από την εποχή του σχολείου.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 8 Την αλγεβρική γεωμετρία 1. Εδώ θα συνδυάσουμε τη δύναμη της Άλγεβρας με τη δύναμη της Γεωμετρίας για να ανακαλύψουμε τη σχέση ανάμεσα στις λύσεις εξισώσεων και σημείων καμπυλών. 2. Η αλληλεπίδραση της θεωρίας των αριθμών και της Γεωμετρίας είναι ένα από τα πλέον σημαντικά πεδία έρευνας στη μοντέρνα θεωρία των αριθμών. Τους αλγεβρικούς κα ι υπερβατικούς αριθμούς 1. Εδώ θα διερευνήσουμε αν υπάρχουν και άλλοι αριθμοί εκτός από αυτούς που αποτελούν λύσεις εξισώσεων, που εξετάζουμε στην αλγεβρική θεωρία των αριθμών. 2. Η ερώτηση αυτή αποτελούσε μυστήριο για πολλά χρόνια μέχρι το 1844 … Τα συνεχή κλάσματα 1. Θα ανακαλύψουμε ένα διαφορετικό τρόπο γραφής, πέραν του γνωστού δεκαδικού τρόπου, που όμως χρησιμοποιείται ευρύτατα στη θεωρία των αριθμών. 2. Αυτός ο τρόπος γραφής θα μας δώσει τη δυνατότητα να απαντάμε σε ερωτήματα όπως: «γιατί ο αριθμός 22 7 είναι τόσο κοντά στο π;» Κατά τη διάρκεια των ιστοριών θα γνωρίσουμε εφαρμογές και γεγονότα διάσημα και περίεργα, όχι μόνο γιατί εμπλούτισαν τη θεωρία των αριθμών αλλά διότι προέβαλαν ένα περιβάλλον στο ο ποίο εκτιμούμε τις ανακαλύψεις μας σχετικά με τη δομή του κόσμου των αριθμών. Ένα περιβάλλον στο οποίο η πρόταση «Κάθε αριθμός παρουσιάζει ενδιαφέρον» θα φαντάζει ως προφανής !!!
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 9 Μιλώντας τη γλώσσα των αριθμών Α. Γνωρίζοντας τους πρωταγωνιστές … Καλώς ορίσατε στον κόσμο των αριθμών, ας τους παρουσιάσουμε … Αρχίζουμε με τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι είναι οι 1,2,3,....Το σύνολο των Φυσικών αριθμών το συμβολίζουμε με (natural) και αποτελείται από τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε για να δηλώσουμε ένα πλήθος αντικειμένων ή τη σειρά τους. Π.χ. Οι μέρες της εβδομάδας είναι 7 και ξεκινώντας από την Κυριακή η Παρασκευή είναι η 6 η μέρα της εβδομάδας. Συνεχίζουμε με τους ακέραιους οι οποίοι είναι οι {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} (Integers) Έπονται οι ρητοί, οι οποίοι είναι λόγοι ακεραίων. Πρόκειται για τα γνωστά σε όλους κλάσματα ( Rational ) δηλαδή μ { όπου μ και ν } ν Μετά έχουν σειρά οι αριθμοί που δεν γράφονται με τη μορφή κλάσματος, που λέγονται άρρητοι (Irrational ), (άρα άρρητοι είναι το σύνολο των αριθμών που δεν είναι ρητοί). Τέτοιοι είναι οι γνωστοί μας 2 , π και άλλοι πολλοί. Τέλος οι πραγματικοί αριθμοί, που είναι οι ρητοί και οι άρρητοι μαζί (Real).Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να αντιστοιχηθούν ως σημεία στην ευθεία των πραγματικών αριθμών.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 10 Β. Ανακαλύπτοντας σχέσεις και μοτίβα … Στην ιστορία της θεωρίας αριθμών η παρατήρηση σχέσεων ή μοτίβων οδήγησε σε θεωρήματα και εικασίες που ανέπτυξαν την επιστήμη των Μαθηματικών. Ας εξασκηθούμε γνωρίζοντας κάποια παραδείγματα ή «περίεργα» μοτίβα – προτάσεις. 1. Οι αριθμοί 2,4,6,8,... λέγονται άρτιοι (even) προκύπτουν ως πολλαπλάσιοι του 2 για αυτό και συμβολίζονται με 2ν με ν . 2. Οι αριθμοί 1,3,5,7,.. λέγονται περιττοί (odd) προκύπτουν ως οι ακέραιοι που διαιρούμενοι με το 2 αφήνουν υπόλοιπο 1 και συμβολίζονται με 2ν 1 με ν . 3. Μήπως μπορείτε να ανακαλύψετε τον τρόπο κατασκευής του συνόλου 1,4,9,16,...; 4. Ας δούμε την ακολουθία 1,4,2,1,4,2,1,... ή την ακολουθία 3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,... ή την ακολουθία 11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,... Τις ακολουθίες αυτές τις όρισε και μελέτησε πρώτος ο Lothar Collatz to 1937 ως εξής : « Θεωρούμε ένα φυσικό αριθμό ν, αν αυτός είναι άρτιος τότε ο επόμενος όρος της ακολουθίας είναι ο ν 2 , αν είναι περιττός τότε ο επόμενος όρος είναι ο 3ν 1 ». 5. Ας παρατηρήσουμε μερικές από τις δυνάμεις του 2. 2 3 4 5 6 2 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32 , 2 64 9 , ..., 2 512. Παρατηρήστε ότι π αρουσιάζονται ως πρώτο ψηφίο τα 4,8,1,3,6,5 αλλά για το 7 πρέπει να φθάσουμε στη δύναμη 46 2 70.368.744.177.664 , ενώ για το 9 στη δύναμη 53 2 9.007.199.254.740.992 . Υπάρχει ένα θεώρημα στη θεωρία των αριθμών που λέει «δοθέντος ενός φυσικού αριθμού ν, όσο μεγάλος και αν είναι, υπάρχει δύναμη του 2 η οποία αποδίδει φυσικό αριθμό που τα πρώτα ψηφία του παρουσιάζουν τον αριθμό ν» Για παράδειγμα ο αριθμός 1677 παρουσιάζεται στη δύναμη 24 2 16.777.216 .
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 11 Η αριθμητική πρόοδος Α. Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών 1. Ο Carl Friedrich Gauss γεννήθηκε στις 30 Απριλίου του 1777 στη Γερμανία. Ο πατέρας του, λιθοξόος το επάγγελμα, δεν ενθάρρυνε το γιό του να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά. 2. Όμως έγινε φανερό ότι ο νεαρός Gauss ήταν ένα παιδί θαύμα. Υπάρχουν πολλές ιστορίες για αυτές τις ιδιαίτερες κ λίσεις του στα Μαθηματικά . 3. Η πιο διάσημη ιστορία είναι αυτή όπου ως μαθητής της 3 η ς τάξης του σχολείου απόδειξε κατά προτροπή του δασκάλου του κ. Buttner τον τύπο ν ν (ν 1) 1 2 3 ... ν 2 . Α π ο τ ε λ ε ί π ρ ό κ λ η σ η π ρ ο ς ο π ο ι ο ν δ ή π ο τ ε α ν α γ ν ώ σ τ η η α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ π α ρ α π ά ν ω τ ύ π ο υ . 4. Σήμερα ο Gauss αναγνωρίζεται ως ένας από τους μεγαλύτερους Μαθηματικούς που υπήρξαν ποτέ. Δικαίως αποκαλείται « ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών » . 5. Έτρεφε μεγάλη αγάπη στη θεωρία των Αριθμών. Έχει γράψει ότι : « Τα Μαθηματικά είναι η βασίλισσα όλων των επιστημών και η θεωρία των Αριθμών η βασίλισσα των Μαθηματικών » 6. Ήταν τελειομανής και οι ανακαλύψεις του ήταν περισσότερες από αυτά που τελικά δημοσίευε. « Λίγα αλλά σωστά» συνήθιζε να λέει.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 12 Β. Μία ενδιαφέρουσα ακολουθία αριθμών 1. Παρατηρήστε την ακολουθία 1,3,6,10,15,21,28,… 2. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται τριγωνικοί (triangular) διότι αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των σφαιρών του μπιλιάρδου όπως μπορούμε να τις διατάξουμε σε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. 3. Χρησιμοποιώντας το στοιχειώδη τύπο του αθροίσματος που βρήκε ο Gauss στην 3 η τάξη του σχολείου, είμαστε σε θέση να επιβεβαιώσουμε ότι χρειαζόμαστε 5050 μπάλες για την κατασκευή ενός τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές του αποτελούνται από 100 μπάλες. Γιατί;. Προσπαθήστε να δείτε τους τρίγωνους αριθμούς ως μία ακολουθία των αθροισμάτων των πρώτων 1 -2-3- 4-…κ.ο.κ. φυσικών αριθμών. 4. Άρα αν συμβολίσουμε με ντ τον ν-ιοστό τρίγωνο αριθμό τότε ισχύει ν ν ν (ν 1) τ 2 5. Στην αρχαιότητα οι διάφοροι αριθμοί ονομάζονταν σε σχέση με τις «κρυμμένες» γεωμετρικές αναπαραστάσεις τους. Έτσι όπως έχουμε τους τριγωνικούς αριθμούς, αντίστοιχα υπήρχαν οι τετράγωνοι, οι πεντάγωνοι αριθμοί κ.ο.κ. 6. Γράψτε τους πρώτους 6 τετράγωνους αριθμούς. Είστε σε θέση να βρείτε έναν τύπο που να αποδίδει τον ν -ιοστό τετράγωνο αριθμό ;
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 13 7. Τον Ιούλιο του 1796 σε ηλικία 19 ετών ο Gauss απέδειξε την πρόταση « κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ τριών τρίγωνων αριθμών ». Στην πρόταση αυτή είχε φθάσει και ο Pierre de Fermat το 1638 χωρίς όμως να έχει βρεθεί κάποια απόδειξη για τον ισχυρισμό του. 8. Για εξάσκηση μπορείτε να ασχοληθείτε με την παρακάτω εφαρμογή « Σε μία συνάντηση παίρνουν μέρος 100 άτομα. Αν ο κάθε ένας χαιρετά με χειραψία ό λους τους παριστάμενους, να βρείτε πόσες χειραψίες θα γίνουν ». Τέτοιες ασκήσεις μελετά η λεγόμενη συνδυαστική θεωρία των αριθμών (combinatorial number theory) . Γ. Επεκτείνοντας τη σκέψη μας … 1. Αυτό που κάνει τους φυσικούς αριθμούς τόσο απλούς είναι ότι παράγονται με μία απλούστατη διαδικασία. Ξεκινούν από τον αριθμό 1 και μετά όλοι οι επόμενοι προκύπτουν από τον προηγούμενο όρο τους προσθέτοντας πάντα 1. Μία τέτοια ακολουθία αριθμών λέγεται αριθμητική πρόοδος ( arithmetic progression). 2. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Θα ξεκινήσουμε από το 2 και θα προσθέτουμε πάντα 2. Καταλήγουμε στην ακολουθία 2,4,6,8,…, η οποία είναι η ακολουθία των άρτιων φυσικών αριθμών. 3. Σχηματίστε μία αριθμητική πρόοδο ξεκινώντας από το 1 προσθέτοντας 10. Ποιος είναι ο 1000 ο ς όρος της ακολουθίας αυτής. Μπορείτε να γενικεύσετε το συμπέρασμά σας; Δηλαδή, αποδείξτε ότι ο ν-ιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου που σχηματίζουμε με πρώτο όρο τον 1α προσθέτοντας πάντα ω δίνεται από τον τύπο ν 1α α (ν 1) ω
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 14 4. Ένας τύπος που θα δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου μπορεί εύκολα να προκύψει (πως ;;) ακολουθώντας την λογική με την οποία παράγονται οι τρίγωνοι αριθμοί. Ο τύπος στον οποίο καταλήγουμε είναι : 1 ν ν α α Σ ν 2 ή 1 ν 2 α (ν 1) ω Σ ν 2 όπου 1α ο πρώτος όρος της ακολουθίας και να ο ν-ιοστός όρος. Δ. Για εξάσκηση … 1. Προσθέστε τους πρώτους 1.000.000 φυσικούς αριθμούς. 2. Βρείτε μέχρι ποιον φυσικό αριθμό πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμα να μην υπερβαίνει το 1.000.000. 3. Πάρτε δύο οποιουσδήποτε διαδοχικούς τριγωνικούς αριθμούς π.χ.3 και 6. Αφαιρέστε τα τετράγωνά τους , δηλαδή 36 -9=27. Παρατηρήστε ότι η διαφορά είναι κύβος φυσικού αριθμού. Ισχύει η παρατήρηση αυτή και για άλλους διαδοχικούς τριγωνικούς αριθμούς ;. Ο κύβος που προκύπτει έχει κάποια σ χέση με τους τριγωνικούς αριθμούς που έχουμε επιλέξει;. Μπορείτε να γενικεύσετε την πρόταση αυτή;
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 15 Η Γεωμετρική πρόοδος Α. Οι απαραίτητες συστάσεις … 1. Στην προηγούμενη ιστορία αναφερθήκαμε στην αριθμητική πρόοδο, ως μία ακολουθία αριθμών όπου ο κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας πάντα τον ίδιο αριθμό. Τί θα γίνει όμως αν αντί να προσθέτουμε πάντα τον ίδιο αριθμό τον πολλαπλασιάζουμε; 2. Για παράδειγμα ας ξεκινήσουμε με το 1 και ας πολλαπλασιάζουμε συνεχώς επί 2. Έτσι δημιουργούμε την ακολουθία : 1,2,4,8,16,…. 3. Ποιος είναι ο 10 ο ς όρος της ακολουθίας; Ποιος είναι ο 1000 ο ς όρος της ; Ποιος είναι ο ν -ιοστός όρος της; 4. Άλλο παράδειγμα. Ας ξεκινήσουμε με το 3 και στη συνέχεια όλοι οι όροι της ακολουθίας ας προκύπτουν με πολλαπλασιασμό με 2. Ποιος είναι ο 6 ο ς όρος της ακολουθίας; Ποιος ο 100 ο ς όρος της ; 5. Μία τέτοια ακολουθία αριθμών θα λέγεται γεωμετρική πρόοδος ( geometric progression). Ο αρχικός όρος θα λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας και θα συμβολίζεται με 1α και ο σταθερός αριθμός που συνεχώς πολλαπλασιάζουμε λέγεται λόγος (ratio) της προόδου και θα τον συμβολίζουμε με λ . 6. Προσπαθήστε να αποδείξετε ότι ο ν -ιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1α και λόγο λ θα δίνεται από τον τύπο ν 1 ν 1α α λ . 7. Γράψτε τους πρώτους 10 όρους δύο γεωμετρικών προόδων της επιλογής σας, ώστε οι όροι της πρώτης συνεχώς να αυξάνουν, ενώ οι όροι της δεύτερης να ελαττώνονται. Σε ποιο γενικό συμπέρασμα μπορείτε να καταλήξετε; Πότε δηλαδή μία γεωμετρική πρόοδος θα είναι αύξουσα και πότε φθίνουσα;
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 16 Β. Η εκθετική μεταβολή … 1. Ας σχηματίσουμε τη γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο 1 και λόγο r. Δηλαδή την ακολουθία 2 3 ν 1, r, r , r , ...,r ,... . Μία τέτοια ακολουθία την ονομάζουμε εκθετική μεταβολή (exponential growth). 2. Στην περίπτωση όπου r 1 η ακολουθία είναι (εκθετικά) αύξουσα (grows exponentially ), ενώ αν 0 r 1 η ακολουθία είναι (εκθετικά) φθίνουσα ( decays exponentially ). 3. Για παράδειγμα γράψτε τους πρώτους 10 όρους μιας εκθετικά φθίνουσας μεταβολής με λόγο 1 2 και υπολογίστε το άθροισμά τους. 4. Ο Ευκλείδης το 300 π.χ. περίπου προσδιόρισε έναν τρόπο υπολογισμού του αθροίσματος των ν πρώτων όρων μιας τέτ οιας προόδου. Με σύγχρονους συμβολισμούς η όλη διαδικασία έχει ως εξής : ονομάζουμε το ζητούμενο άθροισμα 2 ν νs 1 r r ... r (1) πολλαπλασιάζουμε επί r άρα : 2 3 ν 1 νr S r r r ... r (2) αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις (2)-(1) : ν 1 ν(r 1) S r 1 αν r 1 τότε έχουμε : ν 1 ν r 1 S r 1 . 5. Για παράδειγμα το άθροισμα των πρώτων 10 όρων της εκθετικής μεταβολής με λ 2 είναι : 11 11 10 2 1 S 2 1 2047 2 1 .
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 17 6. Υπάρχει μία κλασική ιστορία που εξελίσσεται σε μακρινούς χρόνους στην Περσία. Ένας βασιλιάς θέλοντας να ευχαριστήσει τον Μαθηματικό που κατασκεύασε πρώτος για χάρη του το γνωστό σε όλους μας σκάκι, του πρότεινε να του κάνει ότι δώρο ήθελε. Τότε ο Μαθηματικός του ζήτησε κάτι πολύ απλό!!! Όπως είναι η σκακιέρα με τα 8Χ8 τετράγωνα, ο βασιλιάς να βάζει σπυριά ρυζιού στο κάθε τετράγωνο με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Στο πρώτο τετράγωνο 1 σπυρί, στο 2ο τετράγωνο 2 σπυριά, στο 3ο τετράγωνο 2 2 σπυριά, στο 4 ο τετράγωνο 3 2 σπυριά και ούτω καθεξής μέχρι και το 64 ο τετραγωνάκι της σκακιέρας. Μόλις ο βασιλιάς θα τελείωνε, θα έδινε στον Μαθηματικό όλα τα σπυριά ρυζιού που θα ήταν στη σκακιέρα. Ο βασιλιάς, που από Μαθηματικά δεν θα ήξερε και πολλά, δέχθηκε. Πόσα σπυρ ιά τελικά έπρεπε ο βασιλιάς να δώσει στον Μαθηματικό; Αν θεωρήσουμε ότι κάθε σπυρί ρυζιού έχει περίπου 0,033gr βάρος, υπολογίστε πόσους τόνους ρυζιού θα έπρεπε να παραδώσει στον Μαθηματικό ο βασιλιάς. (Για να επιβεβαιώσετε τους υπολογισμούς σας, σας δίνω την απάντηση 671.023.802.629 τόνους ρύζι !!!)
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 18 Γ. Ας μιλήσουμε για το άπειρο … 1. Ας σχηματίσουμε τη φθίνουσα εκθετική μεταβολή με λόγο 1 2 . Υπολογίστε με τη βοήθεια «υπολογιστή τσέπης» τα αθροίσματα : 5S , 10S , 20S , 30S . Τί παρατηρείτε; 2. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζονται ορθογώνια με εμβαδά 1 1 1 1 1 1 , , , , , 2 4 8 16 64 128 κ.ο.κ. ώστε να βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Μπορείτε να εκτιμήσετε, με τη βοήθεια του σχήματος, πόσο είναι το άθροισμα όλων των εμβαδών; 3. Για να γενικεύσουμε τα όποια συμπεράσματά σας θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι η δύναμη ν r στην περίπτωση όπου 0 r 1 ολοένα και περισσότερο μικραίνει. Για παράδειγμα 10 10 1 1 ( ) 0,0009765625... 2 2 , ενώ 20 20 1 1 ( ) 0,00000095367431640625... 2 2 . Άρα δεν είναι αυθαιρεσία να ισχυριστούμε ότι η δύναμη ν r με 0 r 1 τείνει προς το 0 καθώς το ν αυξάνεται απεριόριστα. 4. Έτσι αν υπολογίσουμε το άθροισμα ν 1 2 3 ν ν r 1 S 1 r r r ... r r 1 με 0 r 1 καθώς το ν αυξάνει απεριόριστα τότε ο όρος ν 1 r θα είναι ίσος με 0 άρα μπορούμε να γράψουμε 1 S 1 r .
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 19 5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο στον οποίο καταλήξαμε υπολογίστε το άθροισμα 2 3 1 1 1 1 ... 2 2 2 . 6. Ώρα για εξάσκηση , ας θεωρήσουμε τον αριθμό 0,999... . Οι τρεις τελίτσες σημαίνουν ότι τα εννιάρια συνεχίζουν συνεχώς, όσο πάει, πόσο ; δεν ξέρω!!! Συνεχώς !!!. Αν σκεφτούμε ότι ο αριθμός 0,9 γράφεται 9 10 , ο αριθμός 0,99 γράφεται 9 9 10 100 , ο αριθμός 0,999 γράφεται 9 9 9 10 100 1000 , μπορούμε παρόμοια να γράψουμε τον περίεργο αριθμό μας ως εξής : 9 9 9 1 1 1 0,999... ... 9( ...) 9 S 10 100 1000 10 100 1000 Όπου S το άθροισμα των απείρων όρων της φθίνουσας εκθετικής μεταβολής με λόγο 1 λ 10 . Υπολογίστε το άθροισμα. Τελικά με τι ισούται ο αριθμός 0,999...;;; Για να μη σας κρατώ σε αγωνία σας αποκαλύπτω το αποτέλεσμα Ισχύει ότι 0,999... 1 !!!
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 20 Αναδρομικές ακολουθίες Α. Ένα πρόβλημα του 1202 … 1. «Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα παραχθούν σε έναν χρόνο από το αρχικό ζ ευγάρι;» 2. Ένας εποπτικός τρόπος για να παρακολουθήσουμε την εξέλιξη του προβλήματος είναι το διπλανό σχήμα . 3. Συνεχίζοντας τη διαδικασία το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία : 1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946 ... Άρα τον πρώτο χρόνο υπάρχουν 144 ζευγάρια κουνέλια !!! 4. Η ακολουθία αυτή των αριθμών ονομάζονται αριθμοί Fibonacci προς τιμή του Leonardo Pisano ή Fibonacci (1170 μ.Χ.). Ο Fibonacci το 1202 δημοσιεύει το liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του. Στο βιβλίο αυτό,, για πρώτη φορά, παρουσιάζεται το δεκαδικό σύστημα γραφής των αριθμών.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 21 5. Παρατηρείστε ότι κάθε νέος όρος της ακολουθίας προκύπτει ως άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Άρα οι όροι της ακολουθίας μπορούν να ορισθούν από τον τύπο: ν 2 ν 1 ν 1 2F F F με F 1 και F 1 . 6. Τον 19ο αιώνα ο Γάλλος Μαθηματικός Edouard Lucas κατασκεύασε την ακολουθία νL με 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,… γνωστή από τότε ως ακολουθία Lucas (Lucas sequence). Αναγνωρίζετε τον τρόπο κατασκευής της ακολουθίας; 7. Για να εξασκηθούμε με τις ακολουθίες αυτές καθώς και με το συμβολισμό τους προσπαθήστε να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις : 1. 1 3 3F F L , 2 4 4F F L ή γενικά ν ν 2 ν 2F F L 2. 1 2 κ κ 2(F F ... F ) 1 F υπάρχει παρόμοια σχέση για την ακολουθία Lucas; Β. Ένα πρόβλημα ακόμα πιο παλιό … 1. Στα στοιχεία του Ευκλείδη αναφέρεται η κατασκευή ενός τμήματος ώστε : [Βιβλίον VI] Ὅροι ε΄ [5]. γ΄ [3]. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμ ῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμ ῆμα,οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον. «ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο τμήμα, είναι ίσος με το λόγο του συνολικού μήκους του τμήματος προς το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος» Ο χωρισμός αυτός επικράτησε να ονομάζεται «διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο».
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 22 2. Ας υπολογίσουμε έναν τέτοιο λόγο … Θεωρούμε τμήμα ΑΓ=1 και έστω ότι το μεγαλύτερο τμήμα είναι χ και το μικρότερο 1 -χ, τότε έχουμε διαδοχικά 2χ 1 χ 1 5 χ χ 1 0 χ 1 χ 2 η τιμή αυτή είναι περίπου 0,61803398875… ο δε λόγος 1 1 5 χ 2 1,61803398875… . Παρατηρήστε την ομοιότητα ανάμεσα στους δύο αριθμούς …. 3. Ο δεύτερος αριθμός, δηλαδή ο λόγος ανάμεσα στο ολόκληρο τμήμα και το μεγαλύτερο κομμάτι έχει επικρατήσει να συμβολίζεται με το γράμμα φ ( π ρ ο ς τ ι μ ή ν τ ο υ κ υ ρ ι ό τ ε ρ ο υ ε κ π ρ ο σ ώ π ο υ τ η ς α ρ μ ο ν ί α ς σ τ η ν Τ έ χ ν η κ α τ ά τ η ν α ρ χ α ι ό τ η τ α , τ ο υ Φ ε ι δ ί α ) . 4. Τα πρώτα 150 ψηφία του άρρητου αριθμού Φ είναι : 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766... Για περισσότερα δεκαδικά ψηφία δες http://goldennumber.net/phi20000.htm 5. Η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σύμφωνα με την παραπάνω αναλογία, θεωρείται η πιο αρμονική, η πιο καλαίσθητη. Ο Luca Pacioli (1445-1524) την ονόμασε «ιερά αναλογία». Ο Johannes Kepler (1571 -1630) την ονόμασε « ιερά τομή». Ο L. Lorenz (1829 -1891) την ονόμασε «συνεχή τομή». Η ονομασία «χρυσή τομή» αποδίδεται στον Leonardo Da Vin ci (1452-1519).
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 23 Γ. Κρυμμένες σχέσεις … 1. Μεταξύ των όρων της ακολουθίας του Fibonacci και του χρυσού λόγου φ κρύβεται μία σχέση. 2. Ας θεωρήσουμε τους λόγους μεταξύ των διαδοχικών όρων της ακολουθίας του Fibonacci, δηλαδή : 1 2 3 5 8 13 1 , 2 , 1.5 , 1.66 , 1.6 , 1.625 1 1 2 3 5 8 21 34 55 89 1.615 , 1.619 , 1.617 , 1.618 ,... 13 21 34 55 θα παρατηρήσουμε ότι καθώς προχωράμε ο λόγος των διαδοχικών όρων της ακολουθίας προσεγγίζει τον αριθμό φ !!! 3. Στην παρατήρηση αυτή μπορούμε να καταλήξουμε και διαφορετικά. Ας παρατηρήσουμε τον τρ όπο με τον οποίο γράφουμε τους λόγους αυτούς παρακάτω : 1 1 1 2 (1 1) 1 1 1 1 1 3 (2 1) 1 1 1 1 12 2 2 1 1 5 (3 2) 2 1 1 1 13 3 3 1 1 1 1 8 (5 3) 3 1 1 1 15 5 5 1 1 1 1 1 1
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 24 4. Παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο παράγεται η ακολουθία αυτή. Υπάρχει κάτι το «αυτό όμοιο» στην όλη διαδικασία. Ο αριθμός στον οποίο καταλήγουμε έχ ει μέσα του τον ίδιο τον αριθμό, ας το παρατηρήσουμε καλύτερα : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... . Έχοντας κάνει τις σκέψεις αυτές καταλήγουμε στην ισότητα 1 φ 1 φ . 5. Η εξίσωση αυτή δίνει λύσεις τις : 1 5 φ 2 , το γνωστό μας «χρυσό αριθμό» και 1 5 τ 2 που θα μας χρησιμεύσει αργότερα… .
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 25 Γενικός τύπος ακολουθίας Α. Ποιος είναι ο τύπος; 1. Παρατηρήστε τις παρακάτω ακολουθίες αριθμών : 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … 200 , 195 , 185 , 170 , 150 , … 9 , 6 , 18 , 15 , 45 , 42 , 126 , … 50 , 49 , 47 , 44 , 40 , 35 , 29 , 22 , 14 , … 2. Μπορείτε να βρείτε τον 20ο όρο κάθε μιας από τις ακολουθίες αυτές ; 3. Ας υποθέσουμε ότι ένα ρομπότ δέχεται μόνο δύο εντολές. Την εντολή Μ « πήγαινε μπροστά ένα μέτρο» και την εντολή Δ « στρίψε επιτόπου δεξιά 45 μοίρες». Με την ακολουθία ΜΔΜΔΔΔΜΔΜΔΔΔ το ρομπότ διαγράφει ένα ρόμβο. Ποια πρέπει να είναι η ακολουθία των εντολών ώστε να διαγράψει ένα οκτάγωνο; 4. Από τα παραπάνω παραδείγματα γίνεται φανερή η σχέση των ακολουθιών με τον προγραμματισμό αλλά και η αναγκαιότητα της εύρεσης ενός κλειστού τύπου παρα γωγής μιας ακολουθίας.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 26 Β. Ανακαλύπτοντας έναν κλειστό τύπο στην ακολουθία του Fibonacci 1. Σε απλά παραδείγματα ακολουθιών θα δυσκολευθούμε λίγο αλλά είναι πιθανόν στο τέλος να βρούμε έναν γενικό τύπο. Τί γίνεται όμως σε δυσκολότερες κα ταστάσεις; Ποιος μπορεί να είναι για παράδειγμα ο κλειστός τύπος της ακολουθίας Fibonacci; 2. Ο Γάλλος Μαθηματικός Jacques Binet το 1843 περιέγραψε έναν τρόπο εύρεσης οποιουδήποτε όρου της ακολουθίας αυτής χωρίς κατά ανάγκη να έχουμε κ αταγράψει όλους τους προηγούμενους. 3. Οι συλλογισμοί του ήταν οι εξής : Ξεκίνησε από την εξίσωση : 21 x 1 x x 1 x η οποία ως γνωστό έχει λύσεις του αριθμούς φ και τ (Ιστορία 4 η ) Άρα ισχύουν οι ισότητες 2 φ φ 1 και 2 τ τ 1 . 4. Ακολούθως σχημάτισε τις δυνάμεις : 3 2 2 φ φ φ φ (φ 1) φ φ φ 1 φ 2φ 1 4 3 2 φ φ φ φ (2φ 1) 2φ φ 2(φ 1) φ 3φ 2 5 4 2 φ φ φ φ (3φ 2) 3φ 2φ 3(φ 1) 2φ 5φ 3 Παρατηρείτε την ακολουθία που σχηματίζεται ;
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 27 5. Ας τα γράψουμε ξανά το ένα κάτω από το άλλο : 2 3 4 5 6 φ φ 1 φ 2φ 1 φ 3φ 2 φ 5φ 3 φ 8φ 5 ... 6. Παρατηρείτε πως εμφανίζονται οι όροι της ακολουθίας του Fibonacci; Σε ποιο γενικό τύπο μπορο ύμε να καταλήξουμε; 7. Επιβεβαιώστε ότι μεταξύ των δυνάμεων του φ και των όρων της ακολουθίας Fibonacci ισχύει ο αναδρομικός τύπος : ν ν ν 1φ F φ F . 8. Παρόμοιος τύπος θα ισχύει και για τον αριθμό τ (γιατί;;). Άρα θα ισχύει ν ν ν 1τ F τ F 9. Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε : ν ν νφ τ F (φ τ) άρα ν ν ν ν ν ν ν 1 5 1 5 1 5 1 5 ( ) ( ) ( ) ( )φ τ 2 2 2 2F φ τ 1 5 1 5 5 2 2 . 10. Παρατηρήστε ότι με τον τύπο αυτό η ακολουθία Fibonacci είναι στην πραγματικότητα μία διαφορά ανάμεσα σε δύο γεωμετρικές προόδους. 11. Μπορείτε παρόμοια να καταλήξετε στο γενικό τύπο ν 1 ν 1 νL φ τ με ν 1 για την ακολουθία Lucas;
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 28 Γ. Επιλύοντας ένα διάσημο γρίφο … 1. Οι πύργοι του Ανόι είναι ένα λογικό πάζλ που κατασκευάσθηκε το 1883 από τον καθηγητή “ Claus”, που στην πραγματικότητα πρόκειται για αναγραμματισμό του ονόματος του κ. Lucas!! 2. Το πάζλ αυτό αποτελείται από τρεις στύλους και μία συλλογή από δίσκους διαφορετικών δ ιαμέτρων, που μπορούν να τοποθετηθούν στους στύλους αυτούς. 3. Το παιχνίδι ξεκινά έχοντας όλους τους δίσκους στο πρώτο στύλο, τοποθετημένους κατά σειρά διαμέτρων με το δίσκο που έχει μεγαλύτερο διάμετρο στη βάση. 4. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να μεταφερθ ούν όλοι οι δίσκοι από τον πρώτο στύλο στον τελευταίο με την ίδια τοποθέτηση. 5. Επιτρέπεται να μετακινούμε έναν δίσκο κάθε φορά σε όποιον στύλο θέλουμε, με την προϋπόθεση, αν υπάρξουν δύο ή περισσότεροι δίσκοι κάποια φορά σε ένα στύλο αυτοί θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι κατά φθίνουσα σειρά σε σχέση με τη διάμετρό τους , συνθήκη που ισχύει πάντα στο παιχνίδι αυτό. 6. Η πρόκληση του παιχνιδιού συνιστάται στο να το λύσουμε με όσο το δυνατό λιγότερες κινήσεις !!! 7. Για εξάσκηση παίξτε το παιχνίδι στη διεύθ υνση : http://users.sch.gr/thafounar/games/towersOfHanoi/towersOfHanoi. html
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 29 Δ. Ανακαλύπτοντας Μαθηματικά !! 1. Το καλό με τις διαδικτυακές εφαρμογές είναι ότι μπορείς να πειραματιστείς – να δοκιμάσεις. 2. Αν έχουμε 1 μόνο δίσκο ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 1 κίνηση. Αν έχουμε 2 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 3 κινήσεις. Αν έχουμε 3 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Με λίγη εξάσκηση θα φθάσετε στο άριστο α ποτέλεσμα των 7 κινήσεων. Αν έχουμε 4 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Εδώ τα πράγματα δυσκολεύουν, αλλά το ρεκόρ είναι 15 κινήσεις. 3. Ανακαλύπτετε κάποια κρυμμένη μαθηματική σχέση ανάμεσα στους όρους της ακολουθίας 1 , 3 , 7 , 15 , … 4. Σωστά το μαντέψατε ο κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει διπλασιάζοντας τον προηγούμενο και προσθέτοντας ένα, δηλαδή ισχύει ότι : ν ν 1h 2 h 1 . 5. Βρείτε έναν γενικό τύπο που να αποδίδει τους όρους της ακολουθίας. 6. Υπάρχει μία ομάδα μοναχών στο μακρινό Θιβέτ που στο μοναστήρι τους υπάρχει ένα τέτοιο πάζλ που αποτελείται από 64 χρυσούς δίσκους και 3 διαμαντένιους στύλους. Σύμφωνα με το γενικό τύπο που θα βρείτε υπάρχουν 64 2 1 κινήσεις για να λυθεί όσο το δυνατό γρηγορότερα ένα τέτοιο πάζλ. Οι μοναχοί συνεχώς, από τότε που φτιάχτηκε το μοναστήρι, κάνουν και από μία κίνηση κάθε ένα δευτερόλεπτο. Υπάρχει ένας θρύλος που λέει ότι όταν το πάζλ λυθεί τότε θα έρθει και το τέλος του κόσμου. Μην ανησυχείτε όμως σύμφωνα με τους υπολογισμούς μου χρειάζονται 583.344.214.028 χρόνια για να γίνει κάτι τέτοιο και το μοναστήρι είναι μόλις 1500 ετών…
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 30 Όταν οι αρχαίοι Έλληνες διδάσκουν … Α. Τα στοιχεία του Ευκλείδη 1. Ένα εκπληκτικό γεγονός συνέβη το 300π.χ. Ο «πρύτανης του πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας» ο Ευκλείδης ,συγκέντρωσε όλα τα επιτεύγματα της ελληνικής μαθηματικής επιστήμης σε δεκατρία βιβλία και συνέγραψε τα λεγόμενα Στοιχεία. 2. Ο τρόπος που έγραψε το βιβλίο αυτό ,είναι ο ίδιος που μέχρι σήμερα θεωρείται ως ο ιδανικός τρόπος συγγραφής οποιουδήποτε επιστημονικού πονήματος. Αρχικά έδινε τους όρους (ορισμούς), μετά τον απολύτως αναγκαίο αριθμό αξιωμάτων (αιτήματα), μετά τις λεγόμενες κοινές έννοιες (αναπόδεικτες ως προφανείς προτάσεις) και ακολούθως προτάσεις που αποδεικνύονται από τα προηγούμενα , τα λεγόμενα θεωρήματα. Κάθε φορά τελείωνε την αποδεικτική διαδικασία με τις περίφημες εκφράσεις του ὅπερ ἔδει ποιῆσαι όταν επρόκειτο για κατασκευή, ή ὅπερ ἔδει δεῖξαι, όταν επρόκειτο για απόδειξη. 3. Ανάμεσα στα πολλά και θαυμαστά θεωρήματα υπάρχουν δύο που άπτονται της θεωρίας των αριθμών και θεωρούνται ως θεμελιώδη. 4. Το πρώτο από αυτά είναι γνωστό ως “ θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής” ( fundamental theorem of arithmetic) και λέει ότι «κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων αριθμών ». 5. Θυμηθείτε στην εισαγωγή είχαμε δώσει τ ον ορισμό των πρώτων αριθμών ως εκείνους τους φυσικούς που είναι μεγαλύτεροι του 1 και δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο δύο μικρότερων φυσικών. 6. Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… 7. Για παράδειγμα το 12 είναι σύνθετος αριθμός (composite) διότι γράφεται ως γινόμενο 2 2 3. Η γραφή αυτή λέγεται παραγοντοποίηση (factoring ).
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 31 8. Ο αριθμός 1 δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους διότι σε αυτήν την περίπτωση ένας αριθμός π.χ. ο 6 δεν θα γραφόταν κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων διότι θα ίσχυε 6 2 3 αλλά και 6 1 2 3 . 9. Με το θεώρημα αυτό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για να γράψουμε τους φυσικούς αριθμούς χρειαζόμαστε μόνο τους πρώτους. 10. Έτσι αν ανακαλύψουμε τη δομή των πρώτων αριθμών και όλες τις κρυμμένες ιδιότητες τους θα έχουμε κατανοήσει όλους τους φυσικούς αριθμούς. Β. Το κόσκινο του Ερατοσθένη 1. Πώς μπορούμε όμως να βρούμε με τρόπο συστηματικό τους πρώτους αριθμούς; 2. Το 200 π.χ. ο Έλληνας Μαθηματικός Ερατοσθένης (276-195 π.χ.) ανακάλυψε μία μέθοδο με την οποία έβρισκε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι απ ό κάποιον φυσικό αριθμό όσο μεγάλος και αν ήταν. 3. Η μέθοδος αυτή λέγεται κόσκινο (sieve) του Ερατοσθένους. 4. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 100 τότε: Γράφουμε όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 100 σε ένα πίνακα (όπως τον παρακάτω). Διαγράφουμε όλους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 2. Μετά διαγράφουμε όλους τους πολλαπλάσιους του 3. Συνεχίζουμε τη διαδικασία αυτή για τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 5 και μετά του 7. Όσοι αριθμοί έχουν απομείνει είναι οι πρώτοι αριθμοί που είναι μικρότεροι του 100.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 32 5. Προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι με 4 απλά βήματα βρίσκουμε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 100. Αν θέλαμε να βρούμε τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 300; Πόσα βήματα θα χρειαστούμε; 6. Γενικά ισχύει ο εξής κανόνας « αν θέλουμε να βρούμε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι από έναν φυσικό αριθμό ν τότε θα χρειαστούμε να κοσκινίσουμε με τους πρώτους που είναι μικρότεροι από τον αριθμό ν ». 7. Ας δικαιολογήσουμε την πρόταση αυτή για το παράδειγμά μας. Πρέπει να αποδείξουμε ότι μετά το κοσκίνισμα με τους πρώτους 2,3,5,7 που είναι μικρότεροι του 10 έχουν απομείνει μόνο πρώτοι αριθμοί. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει σύνθετος αριθμός πο υ δεν έχει διαγραφεί από τη λίστα. Ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο κανενός αριθμού μικρότερου του 10 . Άρα προκύπτει ως γινόμενο δύο αριθμών μεγαλύτερων του 10. Άρα ο αριθμός αυτός πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 100 άρα εκτός της λίστας που διαπραγματευόμαστε. 8. Στο παρακάτω πλαίσιο εφαρμόστε την τεχνική του Ερατοσθένη για να υπολογίσετε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 300.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 33 9. Με τη βοήθεια της παρατήρησης του Ερατοσθένη, είμαστε σε θέση να ανακαλύπτουμε αν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος ή όχι. 10. Για παράδειγμα ο 397 είναι πρώτος ή σύνθετος;. Αυτό που πρέπει να εξετάσουμε είναι αν διαιρείται με τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 397 19.24, δηλαδή τους 2,3,5,7,11,13,17,19. Εύκολο ;;; Γ. Δύο ερωτήματα ψάχνουν απάντηση Ερώτηση 1 η . Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν; 1. Στο 9ο βιβλίο των Στοιχείων του ο Ευκλείδης δίνει την απάντηση. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ας παρακολουθήσουμε την ιδιοφυέστατη δικαιολόγηση του ισχυρισμού του. 2. * Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν ν πρώτοι αριθμοί οι 1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π . * Ο στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι υπάρχει και άλλος πρώτος αριθμός πέραν των ν που υπάρχ ουν στην λίστα μας. * Σχηματίζουμε τον αριθμό 1 2 3 νπ π π π ... π 1. * Ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος του 1, οπότε σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων. * Έστω q ένας πρώτος παράγοντας του αριθμού π. * Ο αριθμός q μπορεί να είναι κάποιος από τους 1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π ; * Η απάντηση είναι πως όχι διότι ο π διαιρούμενος με κάθε ένα από τους 1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π δίνει υπόλοιπο 1. * Αυτό σημαίνει ότ ι ο q είναι ένας πρώτος που δεν συμπεριλαμβάνεται στη λίστα των αρχικών ν πρώτων αριθμών. * Άρα υπάρχουν τελικά άπειροι πρώτοι αριθμοί. 3. Η πρόταση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν τελικά άπειροι πρώτοι και επομένως κα ι άπειροι σύνθετοι φυσικοί αριθμοί.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 34 Ερώτηση 2 η . Πόσοι διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί υπάρχουν; 1. Το σίγουρο είναι ότι οι μοναδικοί διαδοχικοί πρώτοι είναι οι 2 και 3 (γιατί;;;). 2. Ψάχνοντας τους πίνακες των πρώτων που ήδη έχουμε σχηματίσει μπορούμε να βρούμε 2,3,4 διαδοχικούς σύνθετους αριθμούς; 3. Ποιος μπορεί να είναι ο μεγαλύτερος αριθμός διαδοχικών σύνθετων αριθμών; 4. Ο Ευκλείδης και πάλι δίνει την απάντηση. Ισχυρίζεται ότι μπορούμε να βρούμε οποιοδήποτε πλήθος διαδοχικών σύνθετων αριθμών. 5. Ας παρακολουθήσουμε την απόδειξή του. * Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι είμαστε σε θέση να βρούμε ένα πλήθος ν σύνθετων διαδοχικών φυσικών αριθμών. * Κατασκευάζουμε τον φυσικό k 2 3 ... (ν 1). * Ο αριθμός k 2 2 3 ... (ν 1) 2 είναι σύνθετος αφού διαιρείται με το 2. * Ο αριθμός k 3 2 3 ... (ν 1) 3 όμοια είναι σύνθετος αφού διαιρείται με το 3. * Όμοια τα ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς k 4 2 3 ... (ν 1) 4 , k 5 2 3 ... (ν 1) 5 κ.τ.λ. k (ν 1) 2 3 ... (ν 1) (ν 1). * Με τον τρόπο αυτό έχουμε βρει ν διαδοχικούς φυσικούς σύνθετους αριθμούς. 6. Παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν 6 διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί. Σχηματίζουμε τον αριθμό 2 3 4 5 6 7 5040. Οι αριθμοί 5042 , 5043 , 5044 , 5045 , 5046 , 5047 είναι έξι διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 35 Ο τύπος του Euler A. Δημιουργώντας έναν θαυμαστό τύπο… 1. Το 1737 ο Leonhard Euler, ο πολυγραφότερος όλων των Μαθηματικών κατέληξε στην ισότητα : 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 1 1 1 2 3 4 51 1 1 1 2 3 5 7 2. Το περίεργο στην ισότητα αυτή είναι ότι στο πρώτο μέλος έχουμε ένα άπειρο γινόμενο που περιλαμβάν ει όλους τους πρώτους, ενώ στο δεύτερο μέλος έχουμε ένα άπειρο άθροισμα των αντιστρόφων όλων των φυσικών αριθμών. 3. Το άθροισμα του δεύτερου μέλους ήταν γνωστό στη μαθηματική κοινότητα ως αρμονική σειρά (harmonic series ). Ήταν επίσης γνωστό ότι το άθροισμα αυτό δεν ήταν στην ουσία ένας αριθμός αλλά μία έννοια, αυτή του απείρου. Δηλαδή το αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των αντιστρόφων των φυσικών είναι άπειρο. Στα Μαθηματικά αυτό λέγεται ότι η σειρά (των προσθετέων) αποκλίνει (diverges ). 4. Γιατί όμως; Παρακολουθήστε τη σειρά των συλλογισμών. 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ... 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ... 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 1 ... 2 2 2 1 1 1 ...
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 36 5. Το θαυμαστό είναι ότι ο Euler δεν σταμάτησε εδώ αλλά γενίκευσε το συμπέρασμα του και κατέληξε στην ισότητα : s s s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 1 12 3 4 5 6 1 1 1 1 2 3 5 7 όπου s ένας οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος του 1. 6. Αν ονομάσουμε : s s s s 1 1 1 1 ζ(s) 1 ... 2 3 4 5 , την οποία θα τη λέμε από εδώ και πέρα συνάρτηση ζήτα (zeta function) η γενική σχέση παίρνει την κομψή μορφή : s 1 ζ(s) (1 p ) , άμα μπερδευτήκατε δεν πειράζει έτσι και αλλιώς δεν θα χρησιμοποιήσουμε πολύπλοκα σύμβολα ξανά, μία φορά έτσι προς τιμή του Euler !!! 7. Ένας ιδιαίτερα όμορφος τρόπος απόδειξης του παραπάνω τύπου βασίζεται ουσιαστικά σε μέθοδο που μοιάζει με αυτό του κόσκινου του Ερατοσθένη. Ο τρόπος αυτός αποδίδεται στον ίδιο τον Euler. Ισχύει ότι : s s s s 1 1 1 1 ζ(s) 1 ... (1) 2 3 4 5 Πολλαπλασιάζουμε επί s 1 2 και έχουμε : s s s s s s 1 1 1 1 1 1 ζ(s) ... (2) 2 2 4 6 8 10 Αφαιρούμε την (2) από τη (1) και έχουμε : s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ζ(s) 1 ... (3) 2 3 5 7 9 11 13 Πολλαπλασιάζουμε την (3) επί s 1 3 και έχουμε : s s s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ζ(s) ... (4) 3 2 3 9 15 21 27 33 39
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 37 Αφαιρούμε την (4) από την (1) και έχουμε : s s s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) ζ(s) 1 ... (5) 3 2 5 7 11 13 17 19 23 Παρατηρήστε ότι με τη διαδικασία αυτή πρώτα «εξαφανίσαμε» στο δεύτερο μέλος όλα τα πολλαπλάσια του 2 και μετά όλα τα πολλαπλάσια του 3. Αν συνεχίσουμε παρόμοια θα έχουμε την ισότητα : s s s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) ζ(s) 1 ... 5 3 2 7 11 13 17 19 23 Μετά από «άπειρη» παρόμοια διαδικασία μπορούμε να ισχυριστούμε ότι θα καταλήξουμε στην ισότητα : s s s s s 1 1 1 1 1 ... (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ζ(s) 1 11 7 5 3 2 Ή ισοδύναμα στην ισότητα : s s s s 1 1 1 1 ζ(s) ... 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 7 * 1 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) Β. Ένας άλλος τρόπος για την απόδειξη της απειρίας των πρώτων Αν υποθέσουμε ότι οι πρώτοι δεν ήταν άπειροι τότε το γινόμενο 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 7 θα αντιπροσώπευε ένα πεπερασμένο γινόμενο άρα κάποιον πραγματικό αριθμό. Αυτό είναι άτοπο διότι γνωρίζουμε ότι ισχύει η ισότητα 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 1 1 1 2 3 4 51 1 1 1 2 3 5 7 και ότι το δεύτερο μέλος της είναι μία αποκλίνουσα σειρά.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 38 Το θεώρημα των πρώτων αριθμών Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν μικρότεροι από το 20; Η απάντηση είναι εύκολη. Υπάρχουν οκτώ οι 2,3,5,7,11,13,17,19. Πόσοι πρώτοι υπάρχουν μικρότερ οι από χίλια; Από ένα εκατομμύριο; Από ένα δισεκατομμύριο; Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος ο οποίος να μας δ ίνει το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό, χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε; Ας συμβολίσουμε με π(n) το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι ή ίσοι του n. Τότε προφανώς π(20) 8. Ο Ευκλείδης, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, απόδειξε ότι καθώς ο n γίνεται ολοένα και μεγαλύτερος η τιμή του π(n) απειρίζεται. Υπάρχει όμως ένας τύπος για το π(n); Α. Η ιστορία ξεκινά… 1. Στο τέλος του 18 ο υ αιώνα o Γάλλος Μαθηματικός ο Adrien-Marie- Legendre και ο Gauss διατύπωσαν την άποψη ότι καθώς το n γίνεται ολοένα και μεγαλύτερο η τιμή π(n) ολοένα και περισσότερο πλησιάζει στην τιμή n ln(n) . 2. Το 1850 ο Ρώσος Μαθηματικός Pafnuty Chebyshev απόδειξε ότι: αν η ποσότητα π(n) n ln(n) συγκλίνει καθώς το n αυξάνει τότε το όριο πρέπει να είναι το 1 .
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 39 3. Το 1859 ο Γερμανός Μαθηματικός Bernhard Riemann στο διδακτορικό του «σχετικά με τον αριθμό των πρώτων που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο φυσικό » ( on the Number of Prime Less Than a Given Magnitude) παρουσίασε πολλές επαναστατικές ιδέες σχετικά με το θέμα αυτό. Επίσης συνέδεσε το ζήτημα αυτό με τους μιγαδικούς αριθμούς και τη συνάρτηση ζήτα που από τότε λέγεται και Riemann zeta function . Μελέτησε τις μιγαδικές λύσεις s x iy της εξίσωσης ζ(s) 0 για 0 x 1 και συνέδεσε το θεώρημα των πρώτων αριθμών με την περίφημη υπόθεση του ( Riemann Hypothesis ) ότι όλες οι μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης ζ(s) 0 έχουν πραγματικό μέρος ίσο με 1/2 . Το σημαντικό είναι ότι αν η υπόθεση του Riemann είναι αληθής τότε αποδεικνύεται η μικρή διαφορά ανάμεσα στις τιμές των ποσοτήτων π(n) και n ln(n) . Επίσης η αλήθεια της υπόθεσης κάνει τα Μαθηματικά πλουσιότερα αφού εκατοντάδες θεωρήματα έχουν αποδειχθεί ξεκινώντας με την φράση « αν η υπόθεση Riemann είναι αληθής τότε …». Το 1900 ο Γερμανός Μαθηματικός David Hilbert παρουσίασε τα 23 προβλήματα που πρέπει να ασχοληθεί η μαθηματική κοινότητα , ένα από αυτά ήταν και η υπόθεση του Riemann. Το 2000 το Ινστιτούτο των Μ αθηματικών του Cambridge «Clay» επικήρυξε την υπόθεση με βραβείο 1.000.000.$. Δικαίως θεωρείται το σπουδαιότερο άλυτο πρόβλημα των Μαθηματικών. Το 2001 ένα πρόγραμμα της θεωρίας των αριθμών που λέγεται “ZetaGrid”επιβεβαίωσε ότι οι πρώτες 100.000.000.000.00 0 μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης ζ(s) 0 έχουν πραγματικό μέρος ίσο με 1/2, βέβαια αυτό δεν είναι παρά μία αρκετά μεγάλη λίστα και όχι γενική απόδειξη της υπόθεσης του Riemann. 4. To 1896 o Γάλλος μαθηματικός Jasques Salomon Hadamard και ο Βέλγος Μαθηματικός Charles de la Vallee – Poussin , ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο απόδειξαν ότι : η ποσότητα π(n) n ln(n) συγκλίνει στο 1. Το Θ.Π.Α. επιτέλους αποδείχτηκε !!!
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 40 5. Είδαμε ότι η ποσότητα π(n) προσεγγίζεται ικανοποιητικά από τη συνάρτηση n ln(n) . Ωστόσο υπάρχει και μία άλλη συνάρτηση που συμπεριφέρεται παρόμοια. Πρόκειται για τη συνάρτηση n 0 Li(n) (1/ logt)dt ονομάζεται «Λογαριθμικό ολοκλήρωμα» (logarithmic intergral). 6. Το 1914 ένας Βρετανός μαθηματικός ο John Littlewood μελετώντας τη συνάρτηση Li(n) απόδειξε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει αυτής της π(n) και μάλιστα άπειρες φορές. Χωρίς να μπορεί να βρεθεί ένας γενικός κανόνας για το πότε συμβαίνει αυτό. 7. Η λύση του Θ.Π.Α. που δόθηκε το 1896 ήταν εξαιρετικά έξυπνη και κομψή, αλλά προϋπόθετε εργαλεία και τεχνικές ιδιαίτερα απαιτητικά. Ο Βρετανός Μαθηματικός G.H.Hardy 1921 έθεσε το ερώτημα της δυνατότητας ύπαρξης μιας στοιχειώδους λύσης. 8. Το 1933 ο Νότιο αφρικανός Μαθηματικός Samuel Skewes απόδειξε ότι αν η υπόθεση Riemann είναι αληθής τότε … , η συνάρτηση Li(n) πρέπει να γίνεται μικρότερη της π(n) για κάποιο n μικρότερο του 3410 10 10 . Ο αριθμός αυτός γνωστός πλέον ως Skewes number είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που εμφανίζεται σε απόδειξη των μαθηματικών. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η Li(n) β ρ ί σ κ ε τ α ι π ά ν ω α π ό τ η ν κ α τ α ν ο μ ή τ ω ν π ρ ώ τ ω ν π(n) ( κ ό κ κ ι ν η γ ρ α μ μ ή ) κ α ι α π ό κ ά τ ω έ χ ο υ μ ε τ η ν n ln(n) * 2 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 41 9. Το 1948 ο Ούγγρος μαθηματικός Paul Erdos και ο Νορβηγός Μαθηματικός Atle Selberg έδωσαν σε χωριστές αναφορές τη στοιχειώδη (elementary) απόδειξη προϋποθέτοντας απλές γνώσεις λογαρίθμων. Η απόδειξη αυτή έμελε να φέρει σ ε ρήξη τους δύο Μαθηματικούς. Αλλά η μαθηματική κοινότητα τίμησε και τους δύο. Ο Selberg , ο οποίος ήταν καθηγητής στο Ινστιτούτο ανώτερων σπουδών του Πρίνστον , βραβεύθηκε το 1950 με το μετάλλιο Fields ( το Nobel των Μαθηματικών). Ο Erdos , που είχε πάνω από 1500 δημοσιεύσεις με πάνω από 500 συνεργάτες , το 1952 βραβεύθηκε με το Cole Prize ( από τα πλέον αξιοσέβαστα βραβεία στο χώρο των μαθηματικών). Β. Εικασίες … Σε όλη αυτή τη μακρά περίοδο αναζήτησης της απόδειξης του θεωρήματος των πρώτων αριθμών, ένα μεγάλο πλήθος εικασιών διατυπώθηκαν, ας αναφέρουμε μερικές… 1. Ο Gauss διατύπωσε την εικασία ότι οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδος περιέχει πάντα πρώτους αριθμούς . Το 1837 ο Γερμανός Μαθηματικός Johann Dirichlet απέδειξε την εικασία αυτή. 2. Ας γράψουμε την ακολουθία των πρώτων αριθμών, 2,3,5,7,11,13,17,19,… Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 3,5,7 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Πόσο μεγάλη λίστα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου μπορούμε να βρούμε στην ακολουθία των πρώτων α ριθμών; Το 2004 οι Ben Green και Terence Tao απέδειξαν ότι είμαστε σε θέση να βρούμε απεριόριστα μεγάλη λίστα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου, στην ακολουθία των πρώτων αριθμών. Μπορείτε να εξετάσετε αν υπάρχει αριθμητική πρόοδος από τρεις διαδοχικούς πρώτους της μορφής n, n 3, n 6 ;
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 42 3. Δίδυμοι πρώτοι (twin primes); Λέγονται οι πρώτοι που διαφέρουν κατά δύο. Για παράδειγμα (3,5), (5,7), (11,13). Πόσοι είναι; Αυτό είναι ένα ανοικτό πρόβλημα και δεν έχει αποδειχθεί ακόμα. Μπορούμε όμως να αποδείξουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n 2 υπάρχει πρώτος μεταξύ των αριθμών n και 2n. Επίσης είμαστε σε θέση να αποδείξουμε ότι για κάθε θετικό αριθμό ε υπάρχει αριθμός εn ώστε για κάθε εn n υπάρχει πρώτος μεταξύ των n και (1 ε) n . 4. Το 1742 ο Christian Goldbach (1690-1764) διατύπωσε την εικασία ότι «κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων» . Για παράδειγμα 8=3+5, 16=5+11 . Υπάρχουν παραδείγματα όπου ο άρτιος μπορεί να γραφεί με περισσότερου ς τρόπους ως άθροισμα πρώτων, π.χ. 42=5+37=11+31=13+29=19+23. 5. Ο P.Fermat (1601-1665) έθεσε το ερώτημα αν ο τύπος n 2 nF 2 1 παράγει πρώτους αριθμούς. Πράγματι οι 1 2 3 4F 5, F 17, F 257, F 65537 είναι πρώτοι αλλά ο 32 5F 2 1 4294967297 δεν είναι , διαιρείται με το 641. Μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί άλλος πρώτος αριθμός από τον τύπο αυτό. Κ α τ α ν ο μ ή π ο υ π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο υ ς τ ρ ό π ο υ ς μ ε τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς μ π ο ρ ε ί ν α γ ρ α φ ε ί έ ν α ς ά ρ τ ι ο ς ω ς ά θ ρ ο ι σ μ α δ ύ ο π ρ ώ τ ω ν * 3 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 43 6. Ο μοναχός M. Mersenne (1588-1648) ασχολήθηκε με το ερ ώτημα για ποιους πρώτους αριθμούς p ο αριθμός p pM 2 1 είναι πρώτος; Για p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 132049 παίρνουμε πρώτους αριθμούς , ο 11 11M 2 1 2047 23 89 είναι σύνθετος. Αν ο αριθμός pM είναι πρώτος τότε αυτός λέγεται αριθμός Μερσέν. Υπάρχει η εικασία ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί. Το 1983 με τη βοήθεια υπολογιστών υψηλών δυνατοτήτων αποδείχθηκε ότι ο αριθμός 132049M ,ένας αριθμός με 39751 ψηφία, είναι πρώτος. Το κυνήγι των αριθμών Μερσέν συνεχίζεται γιατί οι πρώτοι χρησιμοποιούνται σήμερα σε διαδικασίες κωδικοποίησης.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 44 Περί διαίρεσης φυσικών … Α. Η ευκλείδεια διαίρεση 1. Ας θυμηθούμε τη γνωστή μας διαίρεση (division) και τις ιδιότητές της με απλά παραδείγματα. Διαιρέστε το 47 με το 3. Η απάντηση που δίναμε στο σχολείο είναι ότι έχουμε πηλίκο (quotient ) 15 και υπόλοιπο (remainder)2 και γράφαμε : 47 3 15 2. Επίσης γνωρίζαμε τα πιθανά υπόλοιπα μιας διαίρεσης χωρίς να την κάνουμε. Για παράδειγμα η διαίρεση 51: 4 γνωρίζουμε ότι αποδίδει υπόλοιπο έναν από τους 0,1,2,3. Στην περίπτωση όπου το υπόλοιπο της διαίρεσης α : β είναι μηδέν τότε τη διαίρεση τη λέγαμε τέλεια, ή ότι ο β είναι διαιρέτης ή είναι παράγοντας του α. 2. Η ισότητα που γράφαμε μετά από μία διαίρεση αποδίδεται στον Ευκλείδη και λέγεται ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης . Σύμφωνα με αυτή ν αν Δ και δ φυσικοί αριθμοί με δ 0, τότε υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί π και υ ώστε : Δ δ π υ με 0 υ δ. Β. Μέγιστος κοινός διαιρέτης 1. Στο σχολείο συγκεντρώσαμε 126 τετράδια και 112 μολύβια για να τα δώσουμε σε ένα ορφανοτροφείο. Χρειάζεται όμως να τα συσκευάσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε το κάθε δέμα να έχει ίδιο αριθμό τετραδίων, μολυβιών, χωρίς να περισσεύει τίποτε. Πώς γίνεται αυτό;
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 45 2. Ουσιαστικά ψάχνουμε τον μεγαλύτερο αριθμό που να διαιρεί (ακριβώς) τους αριθμούς 126 και 112. Η εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη ( greatest common divisor) επιτυγχάνεται αναλύοντας τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και επιλέγοντας στη συ νέχεια όλους τους κοινούς παράγοντές τους. Δηλαδή στο παράδειγμά μας: 126 2 3 3 7 και 112 2 2 2 2 7, άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο 2 7 14 (συμβολίζουμε (126,112)=14 ), επομένως σχηματίζουμε 14 όμοια δέματα. 3. Στην περίπτωση όπου οι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι τότε υπάρχει ένας αλγόριθμος που περιγράφεται στα στοιχεία του Ευκλείδη και είναι γνωστός ως Ευκλείδειος αλγόριθμος ( Euclidean algorithm ). Βασίζεται στην πρόταση : « αν α,β δύο φυσικοί αριθμοί και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β είναι ίδιος με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των β,υ, δηλαδή (α,β)=(β,υ) ». Η διαδοχική εφαρμογή της πρότασης αυτής οδηγεί σε διαδοχικές ευκλείδειες διαιρέσεις και τελικά ο Μ.Κ.Δ των δύο αρχικών αριθμών είναι το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο των διαιρέσεων αυτών. 4. Για παράδειγμα , ας υποθέσουμε ό τι θέλουμε να βρούμε τον (126,112). Με τη βοήθεια του αλγορίθμου, τότε έχουμε διαδοχικά : 126 112 1 14 112 14 8 0 το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο των διαδοχικών διαιρέσε ων είναι το 14 άρα (126,112)=14. Βρείτε τον (245,217) !!. Στην περίπτωση όπου για τους φυσικούς α,β έχουμε ότι (α,β)=1 τότε τους αριθμούς θα τους λέμε πρώτους μεταξύ τους (relatively prime numbers) . Προφανώς αν χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, δύο αριθμοί θα είναι πρώτοι μεταξύ τους αν το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι το 1. 5. Για παράδειγμα οι αριθμοί 84 και 55 είναι πρώτοι διότι : 84 55 29 55 29 26 29 26 3 26 3 2 1 1 1 8 1 13 2
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 46 Από την παραπάνω διαδικασία έχουμε ότι : 3 2 3 26 3 3 26 29 26 26 29 1 ( 8) 1 9 ( 1) 9 9 10 9 ( 1) 10 19 10 ( 1) 26 29 55 29 29 55 84 55 55 84 5519 10 19 29 1 δηλαδή 84 5 19 2951 6. Αποδεικνύεται γενικά, ότι αν οι αριθμοί α,β είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε η εξίσωση α x β y 1 έχει λύση ως προς x,y . Το συμπέρασμα είναι εξαιρετικά χρήσιμο στην κρυπτογραφία… Γ. Η αριθμητική του ρολογιού … 1. Αν ήσαστε από αυτούς που στην ερώτηση 9+8 πόσο κάνει; εσείς απαντάτε 5 !!!, δεν πειράζει!!! Απλώς βλέπετε τον κόσμο διαφορετικά. Πιθανόν να έχετε στο μυαλό σας την ώρα και ένα ρολόι 12 ωρών. Κάποιος άλλος θα μπορούσε απαντήσει 9+8=3 έχοντας στο μυαλό του ένα ρολόι βδομάδας;;;
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 47 2. Ας επικεντρώσουμε την προσοχή μας στα υπόλοιπα των διαιρέσεων των αριθμών 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,… με το 4. Αυτά είναι 0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,…. Παρατηρούμε ότι τα υπόλοιπα ανακυκλώνονται γύρω από τους αριθμούς 0,1,2,3. Τους αριθμούς αυτούς μπορούμε να τους φανταστούμε ως ενδείξεις ενός περίεργου ρολογιού, όπου όταν ο δείκτης του φθάσει στο 3 μετά δείχνει 0. Στο ρολόι αυτό μας ενδιαφέρει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός οποιουδήποτε αριθμού με το 4 και όχι ο ίδιος ο αριθμός. Έτσι για παράδειγμα οι αριθμοί 14 και 22, που διαιρούμενοι με το 4 αφήνουν και οι δύο υπόλοιπο 2, στο ρολόι μας θα σημειώνονται με το δείκτη να στέκεται στην ένδειξη 2. 3. Οι αριθμοί 14 και 22 θα λέγονται ισοϋπόλοιποι με μέτρο 4 και θα τους συμβολίζουμε 22 14(mod4) προφανώς μπορούμε να γράψουμε και 14 22(mod4). 4. Σε ένα τέτοιο ρολόι μπορούμε να ορίσουμε πράξεις όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός. Για παράδειγμα για τους αριθμούς 22 και 17 που αφήνουν διαιρούμενοι με το 4 υπόλοιπα 2 και 1 αντίστοιχα έχουμε ότι : ο αριθμός 22 17 39 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 3, ο αριθμός 22 17 5 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 1, ενώ ο αριθμός 22 17 374 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 2.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 48 5. Γενικά σε μία τέτοια αριθμητική ( modular arithmetic) εύκολα μπορούμε να καταλήξουμε στις παρακάτω ιδιότητες : Αν α β(modν) τότε α β 0(modν) δηλαδή ο ν διαιρεί (ακριβώς ) την διαφορά α -β. Αν α β(modν) και γ δ(modν) τότε : α γ β δ(modν) α γ β δ(mod ν ) α γ β δ(modν) Αν α β(modν) και γ τότε ισχύουν : α γ β γ(modν) α γ β γ(modν) α γ β γ(modν) Αν α β(modν) και m τότε θα ισχύουν m α m β(modν) m m α β (modν) 6. Τη θεωρία της modular αριθμητικής όπως τη γνωρίζουμε σήμερα τη θεμελίωσε ο Gauss το 1801. Ωστόσο αναφέρονται ενδιαφέρουσες εφαρμογές της αριθμητικής αυτής από τον 3 ο μ.Χ. αιώνα από Κινέζους Μαθηματικού ς. 7. Η modular αριθμητική βρίσκει πολλές εφαρμογές στη ζωή μας. Πέραν του ότι το ρολόι είναι κατά βάση μία τέτοια αριθμητική, το ίδιο συμβαίνει για παράδειγμα και στον χιλιομετρητή των αυτοκινήτων όπου κάθε 100.000 χιλιόμετρα «μηδενίζεται». Επίσης σε κάθε τσεκ που εκδίδεται από μία τράπεζα στην πάνω δεξιά γωνία υπάρχει ένας 9ψήφιος αριθμός, η ταυτότητα της τράπεζας που έκδωσε το τσεκ. Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός αυτός είναι ο A B C - D E F - G H I τότε από τα συστήματα ασφαλείας της τράπεζας δημιουργε ίται ένας νέος αριθμός π.χ. ο 7A 3B 9C 7D 3E 9F 7G 3H 9I και αν ο αριθμός αυτός είναι 0(mod10) τότε ο αριθμός του τσεκ είναι σωστός ειδάλλως πρόκειται για πλαστογράφηση. Σε αντίστοιχες αρχές βασίζεται και ο κώδικας ISBN των εκδόσεων και ο παγκόσμιος κώδικας παραγωγής UPCs.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 49 Κρυπτογραφία και Μαθηματικά Α. Λίγη ιστορία 1. Από τα παλιά χρόνια η ανάγκη για ασφαλή επικοινωνία οδήγησε τον άνθρωπο να χρησιμοποιεί μεθόδους κρυπτογραφίας (Cryptography ). Παράλληλα εκείνοι που ήθελαν να έχουν πρόσβαση στην ξένη αλληλογραφία ανέπτυξαν τεχνικές αποκρυπτογράφησης (Decryption). 2. Είναι γνωστό ότι οι αρχαίοι Σπαρτιάτες χρησιμοποιούσαν τη λεγόμενη σκυτάλη. Ουσιαστικά επρόκειτο για έναν κύλινδρο συγκεκριμένου διαμετρήματος στον οποίο περιτύλιγαν λωρίδα δέρματος. Στη συνέχεια έγραφαν πάνω σε αυτήν ένα σύντομο μήνυμα και ακολούθως το ξ ετύλιγαν. Μία σειρά από γράμματα παρουσιάζονταν χωρίς καμία προφανή συνοχή. Για να διαβαστεί θα έπρεπε ο παραλήπτης να είχε μία όμοια σκυτάλη και αφού τύλιγε με τη σειρά του τη λωρίδα σε αυτήν να διάβαζε το μήνυμα. 3. Ο Ιούλιος Καίσαρας κρυπτογραφούσε τις δι αταγές του αντικαθιστώντας τα γράμματα του κειμένου, με γράμματα, που βρίσκονται 3 θέσεις μετά, στο Λατινικό αλφάβητο. Ένα τέτοιο σύστημα κρυπτογράφησης λέγεται κρυπτοσύστημα αντικατάστασης του Καίσαρα (Caesar cipfer) . 4. Στη διάρκεια του Μεσαίωνα η κρυπτολογία ήταν κάτι το απαγορευμένο. Η εξέλιξη, τόσο της κρυπτολογίας, όπως και των μαθηματικών, συνεχίζεται στον Αραβικό κόσμο όπου εμφανίστηκαν και τα πρώτα βιβλία που περιείχαν κρυπταλφάβητα . Aλφάβητα δηλαδή όπου κάθε γράμμα της γλώσσας υποκαθ ίσταται από ένα άλλο γράμμα ή σύμβολο. 5. Ένα κείμενο που προκύπτει από υποκατάσταση κάθε γράμματος από ένα άλλο γράμμα ή σύμβολο λέγεται « μονοαλφαβητικό κρυπτόγραμμα υποκατάστασης » (Monoalphabetic substritution ciphers).
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 50 6. Οι Άραβες ήταν και οι πρώτοι που επινόησαν μεθόδους κρυπτανάλυσης (μεθόδους ανάγνωσης ενός κρυπτογραφημένου κειμένου). 7. Η μέθοδος που βρήκαν λέγεται « ανάλυση συχνότητας» (Frequency analysis ) και βασίζεται στο γεγονός ότι στις περισσότερες γλώσσες κάποια γράμματα ή συνδυασμοί γραμμά των εμφανίζονται συχνότερα από κάποια άλλα. Με τον υπολογισμό της κατανομής των γραμμάτων μέσα στα λογοτεχνικά κείμενα βρίσκουμε ένα εργαλείο αποκρυπτογράφησης, αφού στα κρυπτογραφημένα κείμενα τέτοιες ιδιότητες αναπαράγονται. 8. Έτσι στην αρχή ψάχνουμε να βρούμε για τον κρυπτοχαρακτήρα που επαναλαμβάνεται περισσότερο και τον αντικαθιστούμε από τον χαρακτήρα που επαναλαμβάνεται περισσότερο στη φυσική γλώσσα. Τη διαδικασία αυτή τη συνεχίζουμε έως να φθάσουμε σε μία μοναδική λύση, όπου το εξαγόμενο μήνυμα να έ χει νόημα. 9. Το 1523 ο Γάλλος διπλωμάτης Βίζενερ επινόησε ένα σύστημα κρυπτογράφησης που βασιζόταν στην υποκατάσταση των γραμμάτων του κειμένου χρησιμοποιώντας όχι ένα αλλά εικοσιτέσσερα κρυπτογραφικά αλφάβητα !!! Έτσι το κάθε γράμμα μπορούσε να εμφανιστε ί στο κρυπτογραφημένο κείμενο με 24 διαφορετικές εκδοχές. Ο παραλήπτης για να αποκωδικοποιήσει το κείμενο θα έπρεπε να είχε στην κατοχή του ή να ήξερε τον τρόπο κατασκευής του βιβλίου των 24 αλφαβήτων αλλά και τη σειρά των αλφαβήτων που χρησιμοποιήθηκαν. Τ ο τελευταίο επιτυγχάνεται με τη βοήθεια ενός μυστικού κλειδιού. Ουσιαστικά το κλειδί ήταν μία φράση, όσο το δυνατό πιο μεγάλη και εύκολα απομνημονεύσιμη, η οποία έδινε ουσιαστικά τον τρόπο χειρισμού του βιβλίου κρυπτογράφησης.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 51 10. Στον εμφύλιο πόλεμο της Αμερικής χρησιμοποιήθηκε μία απλή μηχανή μονοαλφαβητικής κρυπτογράφησης . Ουσιαστικά ήταν δύο δίσκοι με τον εσωτερικό περιστρεφόμενο. Ανάλογα τη θέση των δύο δίσκων είχαμε τη δυνατότητα της μονοαλφαβητικής υποκατάστασης των γραμμάτων τους εξωτερικού δίσκου με τα αντίστοιχα γράμματα του εσωτερικού. Η πρώτη σύγχρονη «μηχανή» κρυπτογράφησης είχε γεννηθεί. Μία μηχανή που είχε το πλεονέκτημα να αλλάξει την κωδικοποίηση κάθε μέρα με μία απλή περιστροφή του εσωτερικού δίσκου. Πόσες φορές και σε ποια θέση; Αυτό είχε να κάνει με το κλειδί που συνήθως πάλι ήταν μία φράση, η οποία έδινε ουσιαστικά τον τρόπο συγχρονισμού των δύο δίσκων, ανά βδομάδα -μήνα, κ.τ.λ. 11. Η ιδέα της μηχανικής κρυπτογράφησης βρήκε τον καλύτερο εκφραστή της στη μηχανή «Αίνιγμα» ( Enigma), του γερμανικού στρατού κατά τον β’ παγκόσμιο πόλεμο. Επρόκειτο για μία αρκετά πολύπλοκη μηχανή όπου με μία σειρά αναδιατακτών και βυσμάτων κάθε γράμμα υποκαθίστατο συνεχώς με κάποιο άλλο αρκετές φορές. Σε μερικά μοντέλα οι δυνατότητες υποκατάστασης έφθαναν στις 22 10 φορές. Στον αγώνα της αποκρυπτογράφησης από την πλευρά των συμμάχων συμμετείχαν Γλωσσολόγοι, Μηχανικοί και Μαθηματικοί. Ο Άγγλος μαθηματικός Alan Turing (1912-1954) επικεφαλής της ομάδας των επιστημόνων και με τη βοήθεια της Βρετανικής αντικατασκοπίας κατόρθωσε να σπάσει τον κώδικα του αινίγματος και να συνεισφέρει με τον τρόπο τους στο τέλος του πολέμου. 12. Οι τεχνικές κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης πέρασαν στο χώρο των μηχανών. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές έκαναν την εμφάνισή τους. Η ασφάλεια των πληροφοριών και της επικοινωνίας ήταν το βασικό θέμα που απασχολούσε τους πάντες. Η κρυπτογράφηση των μηνυμάτων μέσω συστημάτων – κλειδιών ήταν μία μέθοδος αλλά ο όλο και αυξανόμενος όγκος πληροφορίας καθιστούσε τη διανομή των κλειδιών μία ιδιαίτερα δαπανηρή διαδικασία.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 52 Β. Η Αλίκη και ο Μπομπ μία κλασική ιστορία … 1. Το κόστος ανταλλαγής των κλειδιών ασφαλείας των μηνυμάτων οδήγησαν τα ινστιτούτα ερευνών πληροφοριακών συστημάτων να σχεδιάσουν προγράμματα ώστε να λυθεί το πρόβλημα αυτό. 2. Υπάρχει μία συνηθισμένη ιστορία που λέγεται ότι οδήγησε στην τελική λύση του προβλήματος. Η ιστορία που μπλέκει την Αλίκη και τον Μπομπ. Ας υποθέσουμε ότι η Αλίκη θέλει να στείλει το κλειδί ασφαλείας στον Μπομπ. Πως μπορεί να το κάνει; Με το ταχυδρομείο. Είναι όμως ασφαλές; Να του το δώσει η ίδια. Είναι όμως αυτό πάντα εφικτό; *Η λύση είναι να το βάλει σε ένα μπαούλο, να το κλειδώσει με ένα λουκέτο και μέσω ταχυδρομείου να το δώσει στον Μπομπ. *Αυτός με τη σειρά του θα κλειδώσει το μπαούλο με ένα δικό του λουκέτο και μέσω ταχυδρομείου θα το παραδώσει και πάλι στην Αλίκη. *Η Αλίκη τώρα θα ξεκλειδώσει το λουκέτο της και θα το ταχυδρομήσει για τελευταία φορά στον Μπομπ. *Ο Μπομπ τώρα δεν έχει παρά να ξεκλειδώσει το λουκέτο του και να πάρει το κλειδί ασφαλείας. * 4 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) 3. Με την ίδια λογική η Αλίκη κρυπτογραφεί με το κλειδί της το κείμενο , ο Μπόμπ όταν το λαμβάνει το κρυπτογραφεί και εκείνος και το στέλνει πίσω. Η Αλίκη αφαιρεί τη δική της κρυπτογράφηση και το ξαναστέλνει στον Μπομπ, όπου τελικά αφαιρεί τη δική του κρυπτογ ράφηση και διαβάζει το μήνυμα. 4. Δυστυχώς η διαδικασία αυτή στην κρυπτογράφηση δεν μπορεί να λειτουργήσει. Σε ένα κρυπτογραφημένο κείμενο το τελευταίο στάδιο κρυπτογράφησης πρέπει να είναι και το πρώτο που πρέπει να αποκρυπτογραφηθεί !!! Η σειρά των βημάτων δεν εφαρμόζεται.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 53 5. Η ιστορία όμως αυτή οδήγησε τους W.Diffie – M.Hellman – R.Mercle να σχεδιάσουν έναν τρόπο διανομής του κλειδιού με ασφάλεια, που συγχρόνως παρακάμπτει το πρόβλημα ότι στην κρυπτογράφηση « το τελευταίο προστιθέμενο πρώτο αφαιρείται». Η modular αριθμητική ήταν η λύση… 6. Ας σκεφθούμε τη συνάρτηση x y 3 (mod7). Η συνάρτηση αυτή για κάθε τιμή της μεταβλητής x αποδίδει το υπόλοιπο της διαίρεσης x 3 : 7 . Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης αυτής είναι ο παρακάτω : 7. Το σημαντικό σε αυτές τις συναρτήσεις είναι ότι όταν γνωρίζεις μία τιμή τους δεν βρίσκεις την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής χ. Δηλαδή τέτοιες συναρτήσεις δεν αντιστρέφονται. 8. Ας υποθέσουμε ότι το κ λειδί που θέλουν η Αλίκη και ο Μπομπ να μοιραστούν ότι είναι ένας αριθμός. Μη ξεχνάμε ότι τα πάντα στους υπολογιστές είναι ουσιαστικά ακολουθίες των ψηφίων 0 και 1, αφού ουσιαστικά η μετάδοση της όποιας πληροφορίας μετατρέπεται στο δυαδικό σύστημα σε οκτάδ ες τέτοιων ψηφίων τα γνωστά σε όλους μας « bits». Ας υποθέσουμε επίσης ότι η συνάρτηση που θα ακολουθήσουν στην κρυπτογραφημένη διανομή του κλειδιού έχει συμφωνηθεί να είναι η x y 3 (mod7) . Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή σε όλους !!! Στη συνέχεια ο καθένας επιλέγει έναν αριθμό. Π.χ. η Αλίκη διαλέγει τον Α=3 και ο Μπομπ τον Β=1, τους οποίους τους κρατάνε κρυφούς . Ας παρακολουθήσουμε τη μαγεία των μαθηματικών …
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 54 Αλίκη Η Αλίκη βρίσκει την τιμή 3 α 3 (mod7) η οποία είναι 6 τον αριθμό αυτόν το δημοσιοποιεί η Αλίκη ελεύθερα η Αλίκη βρίσκει τον αριθμό A 3 b (mod7) 3 (mod7) 6 Μπομπ Ο Μπομπ βρίσκει την τιμή 1 b 3 (mod7) η οποία είναι 3 Τον αριθμό αυτόν το δημοσιοποιεί ο Μπομπ ελεύθερα Ο Μπομπ βρίσκει τον αριθμό B 1 α (mod7) 6 (mod7) 6 * 5 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) 9. Ο κοινός αυτός αριθμός είναι το κλειδί !!! 10. Οποιοσδήποτε τρίτος έχοντας τις πληροφορίες ότι η συνάρτηση είναι η x y 3 (mod7) και ότι οι δημόσιοι αριθμοί των δύο φίλων είναι 6 και 3, δεν μπορεί με τα στοιχεία αυτά να οδηγηθεί στην εύρεση του κλειδιού κρυπτογράφησης. Η αιτία είναι ότι τέτοιες συναρτήσεις δεν αντιστρέφονται. 11. Το μόνο «ελάττωμα» ενός τέτοιου συστήματος είναι ότι χρειάζεται οι δύο φίλοι να επικοινωνούν σε πραγματικό χρόνο ώστε να συμφωνήσουν για τα τρία απαραίτητα στοιχεία της διανομής του κλειδιού κρυπτογράφησης. Το σύστημα αυτό ανταλλαγής κλειδιών καταργεί τον αυθόρμητο χαρακτήρα του ηλεκτρονικού ταχυδρομείου.
Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 55 Γ. Το δημόσιο κλειδί 1. Όλες οι τεχνικές κρυπτογράφησης που έχουν αναφερθεί μέχρι τώρα είναι συμμετρικές, δηλαδή το κλειδί για την κωδικοποίηση και την αποκωδικοποίηση ενός κρυπτογραφημένου μηνύματος είναι το ίδιο. 2. Ο Whitfield Diffie επινόησε ένα νέο είδος κρυπτογραφήματος που περιελάμβανε το λεγόμενο ασύμμετρο κλειδί . Στην περίπτωση αυτή το κλειδί της κρυπτογράφησης δεν είναι το ίδιο με αυτό της αποκρυπτογράφησης. Σε μία τέτοια διαδικασία ο χρήστης κρατά το κλειδί αποκρυπτογράφησης μ υστικό, από εδώ και στο εξής θα το λέμε ιδιωτικό (private) και δημοσιοποιεί το κλειδί κρυπτογράφησης το οποίο θα το λέμε δημόσιο (public). Το πλεονέκτημα, όπως θα φανεί παρακάτω, είναι ότι δεν χρειάζεται πλέον η συνεργασία σε πραγματικό χρόνο των δύο χρηστ ών. 3. Αν θέλουμε να δούμε ένα ισοδύναμο παράδειγμα, όπως προηγουμένως με τα λουκέτα μεταξύ Αλίκης και Μπομπ, τότε ας φανταστούμε την Αλίκη να δημιουργεί πολλά λουκέτα αλλά ένα κλειδί που το κρατά η ίδια. * 6 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) 4. Για να λειτουργήσει ένα τέτοιο σύστημα πάλι χρειαζόμαστε την κατάλληλη συνάρτηση. Τα μαθηματικά για άλλη μία φορά δίνουν τη λύση. Ένα θεώρημα ενός παλιού γν ώριμου βοήθησε …
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 6 Το σύστημα R.S.A. A. Δύο θεωρήματα της modulo αριθμητικής … 1. Τον Οκτώβρη του 1640 ο P.Fermat δημοσίευσε, χωρίς να το αποδείξει, ένα θεώρημα που είναι γνωστό ως « το μικρό θεώρημα του Fermat». Το θεώρημα αυτό το απόδειξε το 1736 ο Euler. 2. Η πρόταση αυτή λέει ότι : « Έστω p ένας πρώτος αριθμός και α ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός ώστε οι αριθμοί p,α να είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης p 1 α :p είναι 1.» Δηλαδή p 1 α 1(modp) Για παράδειγμα αν 7919 ο πρώτος αριθμός και οι αριθμοί 7919 , 5862 είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε : 7918 5862 1(mod7919). 3. Ο Euler εκτός της απόδειξης του μικρού θεωρήματος γενίκευσε το συμπέρασμά του καταλήγοντας στο εξής θεώρημα : «Έστω n ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός (πρώτος ή σύνθετος) . Γνωρίζουμε ότι τα πιθανά μη μηδενικά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός αριθμού με τον n είναι 1,2,3,...,n 1. Αν r το πλήθος των υπολοίπων αυτών που είναι πρώτοι με τον n, τότε για οποιοδήποτε αριθμό α που είναι πρώτος με τον n ισχύει ότι r α 1(modn)». Το μικρό θεώρημα του Fermat είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Euler αφού όταν ο n είναι πρώτος όλα τα πιθανά υπόλοιπα του (και τα n 1 ) είναι αριθμοί πρώτοι με τον n. 4. Για παράδειγμα . Ας θεωρήσουμε τον αριθμό 21, τα πιθανά μη μηδενικά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός αριθμού με το 21 είναι : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20. Από αυτά οι αριθμοί : 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20 , 12 το πλήθος είναι πρώτοι με τον 21. Οπότε για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό α θα ισχύει 12 α 1(mod21), δηλαδή 12 12 12 3 1mod(21) , (10 ) 1(mod21) κ.τ.λ.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 7 Β. Οι κύριοι R.Rivest , A.Shamir , L.Adleman 1. To 1977 τρεις μαθηματικοί του M.I.T. οι Ron Rivest, Adi Shamir και Leonard Adleman έκαναν πράξη το ασύμμετρο κρυπτογράφημα . Όπως ήδη έχουμε αναφέρει στην κωδικοποίηση αυτή το κλειδί της κρυπτογράφησης δεν είναι το ίδιο με αυτό της αποκρυπτογράφησης. Σε αυτήν τη διαδικασία ο χρήστης κρατά το κλειδί αποκρυπτογράφησης μυστικό ιδιωτικό κλειδί (private) και δημοσιοποιεί το κλειδί κρυπτογράφησης δημόσιο κλειδί (public). Για να το πετύχουν αυτό οι R,S,A χρησιμοποίησαν μία μονοσήμαντη συνάρτηση που μπορεί να αντιστραφεί μόνο αν ο αποδέκτης του μηνύματος κατέχει κάποια ειδική πληροφορία. 2. Ο καθορισμός των δύο κλειδιών γίνεται ως εξής : *Διαλέγουμε δύο διαφορετικούς πρώτους αριθμούς, όσο μεγαλύτερους μπορούμε. Για το παράδειγμά μας ας επιλέξουμε τους πρώτους 3 και 7. *Το γινόμενό τους είναι 21. *Πολλαπλασιάζουμε τους πρώτους που επιλέξαμε ελαττωμένους κατά ένα, δηλαδή (3 1) (7 1) 2 6 12. *Επιλέγουμε έναν οποιονδήποτε φυσικό που να είναι πρώτος με τον 12, π.χ. τον 29. *Γνωρίζουμε ότι : (12,29) 1 άρα υπάρχουν x,y ώστε 29 x 12 y 1. (δες σελίδα 46). Πράγματι ισχύει ότι 29 12 25 1 1. *Δημοσιεύουμε τους αριθμούς 29 και 21 (δημόσιο κλειδί) και *κρατάμε κρυφό τον αριθμό 5 (ιδιωτικό κλειδί). *Όλοι οι υπόλοιποι αριθμοί και πράξεις καταστρέφονται. 3. Ας παρακολουθήσουμε τώρα τη διαδικασία κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης με τη βοήθεια ενός απλού παραδείγματος : Κάποιος φίλος μας θέλει να μας ειδοποιήσει ότι θα φθάσει με το τρένο «Κ». Θέλει λοιπόν να μας στείλει την πληροφορία «Κ» κωδικοποιημένα και με ασφάλ εια.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 8 Στην αρχή αντιστοιχεί το γράμμα Κ με τον αριθμό 10, τη θέση δηλαδή του γράμματος στο Ελληνικό αλφάβητο. Πράγμα που είναι εκ των προτέρων συμφωνημένο και γνωστό σε όλους. Μην ξεχνάμε ότι μέσω του ηλεκτρονικού ταχυδρομείου τα πάντα στέλνονται ως αριθμοί, γραμμένοι μάλιστα σε μορφή ASCII γνωστοί εξ αρχής σε όλους. Θέλουμε λοιπόν να στείλουμε κρυπτογραφημένο τον αριθμό 10. Βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 29 10 : 21 το οποίο είναι 19. Ισχύει δηλαδή 29 19 10 (mod21). Τον αριθμό αυτόν μας τον στέλνουν και τον λαμβάνουμε ως εισερχόμενο μήνυμα. Εμείς μόλις λάβουμε τον αριθμό 19, βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 5 19 : 21 το οποίο είναι 10. Δηλαδή 5 10 19 (mod21). Άρα το μήνυμα μας αποκωδικοποιημένο είναι ο αριθμός 10, που είναι εύκολο να αντιστοιχηθεί με το 10 ο γράμμα της αλφαβήτου δηλαδή το γράμμα Κ. Γ. Γιατί όμως το σύστημα αυτό είναι τόσο ασφαλές; 1. Ο Ron Rivest σχεδίασε τη διαδικασία αυτή με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι αντιστρέψιμη από κάποιον που να γνωρίζει τις τιμές των δύο αρχικών πρώτων αριθμών, δηλαδή των πρώτων που το γινόμενο τους δίνει ένα μέρος του δημόσιου κλειδιού. 2. Αποδεικνύεται ότι αν το γινόμενο Ν p q είναι αρκετά μεγάλο είναι ουσιαστικά αδύνατο να εξαχθούν από αυτό οι τιμές των πρώτων p,q. Αν ο αριθμός Ν είναι ο 408.508.091 που παράγεται από τους 18.313 και 22.307, ένας εξασκημένος μαθηματικ ός στους πρώτους αριθμούς θα χρειαζόταν πάνω από 8 ώρες για να προσδιορίσει την παραγοντοποίηση. Αν οι αρχικοί αριθμοί ήταν της τάξεως του 65 10 ψηφίων τότε το γινόμενο τους, δηλαδή ο αριθμός Ν θα ήταν της τάξης των 130 10 ψηφίων. Ένας σύγχρονος υπολογιστής θα χρειαζόταν περί τα 50 χρόνια για να παραγοντοποιήσει έναν τέτοιο αριθμό. Όμως εκατό εκατομμύρια συνεργαζόμενοι υπολογιστές (όσοι πουλήθηκαν το 1995) θα χρειαζόντουσαν περίπου τα 15 δευτερόλεπτα. * 7 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 9 3. Άρα ανάλογα με το βαθμό ασφαλείας που χρειαζόμαστε δεν έχουμε παρά να επιλέξουμε μεγάλους , πραγματικά μεγάλους πρώτους της τάξεως των 308 10 ψηφίων. Ένα τέτοιο κρυπτογράφημα θα χρειαζόταν συνδυασμέν ες προσπάθειες εκατομμυρίων υπολογιστών επί χίλια και πλέον χρόνια για να σπάσει. 4. Λέγεται ότι το 1977 όταν ανακοινώθηκε επίσημα το RSA, ο Martin Gardner έδωσε στο περιοδικό Scientific American τον πρώτο : Ν=114.381.625.757.888.867.669.235.779.976.146.612.010.218.296. 721.242.362.562.561.842.935.706.935.245.733.897.830.597.123.563. 958.705.058.989.075.147.599.290.026.879.543.541 προκαλώντας με το «βραβείο» των 100 δολαρίων οποιονδήποτε να τον παραγοντοποι ήσει. Η λύση δόθηκε 17 χρόνια μετά από συνδυασμένες προσπάθειες πολλών υπολογιστών. * 8 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) Το σύστημα RSA προς στιγμή τουλάχιστον είναι ασφαλές !!
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 0 Οι Διοφαντικές εξισώσεις Α. Ο πρώτος Αλγεβριστής… 1. Στην Παλατινή Βιβλιοθήκη της Χαϊδελβέργης ανακαλύφτηκε το 1606 ένα χειρόγραφο που περιλαμβάνει την Ανθολογία του Κωνσταντίνου Κεφαλά ( Ι ε ρ ω μ έ ν ο ς λ ό γ ι ο ς α π ό τ η ν Κ ω ν σ τ α ν τ ι ν ο ύ π ο λ η 9 ο ς Μ . Χ . α ι ώ ν α ς ). Για το λόγο αυτό ο κώδικας πήρε το όνομα «Παλατινή ή Ελληνική Ανθολογία». Πρόκειται για μια συλλογή 3.700 ελληνικών ποιημάτων -επιγραμμάτων, ποικίλου περιεχομένου. Είναι ταξινομημένα κατά θέματα σε 16 βιβλία. Στο 14ο βιβλίο υπάρχουν 46 μαθηματικά επιγράμματα. 2. Ένα από αυτά ασχολείται με την ηλικία του Διόφαντου, Έλληνα μαθηματικού που έζησε στην Αλεξάνδρεια τον 3 ο Μ.Χ. αιώνα. Αναφέρει λοιπόν το επίγραμμα : «ο Διόφαντος το ένα έκτο της ζωής του ήταν παιδί, το ένα δωδέκατο μετά από αυτό βγάζει τρίχες στα μάγουλα, μετά το επόμενο ένα έβδομο παντρεύτηκε, πέντε έτη μετά το γάμο του γέννησε έναν υιό, που αλίμονο, το ατυχές παιδί, όταν έφθασε στο ένα δεύτερο της ηλικίας του πατέρα του, πέθανε και από τότε επί τέσσερα έτη παρηγορούσε το πένθος του με τη σοφία των αριθμών και έτσι τερμάτισε τη ζωή του .» 3. Ο Διόφαντος θεωρείται ο πατέρας της Άλγεβρας αφού ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε μαθηματικά σύμβολα για τη λύση εξισώσεων, εισήγαγε τους ρητούς αριθμούς, ωστόσο τις αρνητικές λύσεις των εξισώσεων τις απέρριπτε ως παράλογες, αφού δεν είχαν νόημα σε προβλήματα μέτρησης αντικειμένων. Χρησιμοποιώντας λοιπόν σύγχρονους συμβολισμούς τιμώντας τον μεγάλο μαθηματικό υπολογίστε την ηλικία του… 4. Το σημαντικότερο έργο της ζωής του ήταν μία συλλογή από 13 βιβλία, με τον τίτλο « τα Αριθμητικά». Δυστυχώς μόνο τα 6 από αυτά σώζονται. Ουσιαστικά πρόκειται για το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας όπου ασχολείται με προβλήματα που τα λύνει περιγράφοντας την όλη διαδικασία επίλυσης τους αλλά και εισάγοντας τους πρώτους συμβολισμούς. Το 1570 ο Ιταλός μαθηματικός Rafael Bombelli μετέφρασε τα Αριθμητικά του Διόφαντου στα Λατινικά.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 1 Β. Οι Διοφαντικές εξισώσεις 1. Σήμερα μία εξίσωση με έναν ή περισσότερους αγνώστους με ακέραιους συντελεστές την λέμε Διοφαντική εξίσωση. Ο σκοπός μας σε μία Διοφαντική εξίσωση εί ναι να εξετάσουμε αν έχει ακέραιες λύσεις και αν έχει, πόσες. Για παράδειγμα : * η εξίσωση 2x 1 7 έχει μία ακέραια λύση την x 3, * η εξίσωση 2x 1 6 δεν έχει ακέραια λύση, * η εξίσωση 2 x 4 έχει δύο ακέραιες λύσεις τις x 2, * η εξίσωση px qy 1 με p,q δύο πρώτους μεταξύ το υς φυσικούς αριθμούς έχει άπειρες ακέραιες λύσεις. Π.χ. η εξίσωση 3x 2y 1 έχει λύσεις όλους τους ακεραίους που δίνονται από τις ισότητες x 2n 1 και y 3n 1 για κάθε n * Γενικότερα η εξίσωση αx βy γ έχει λύση, αν και μόνο αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δ των α,β διαιρεί τον γ . Αν η εξίσωση αυτή έχει μία λύση o o(x ,y ) τότε θα έχει άπειρες που δίνονται από τους τύπους o o β α x x t, y y t δ δ όπου t . 2. Στην προσπάθεια να λύσουμε μία Διοφαντική εξίσωση η modular αριθμητική έχει λόγο. Για παράδειγμα η εξίσωση 3 4x 2y 1 έχει ακέραιες λύσεις ;. Αν παρατηρήσουμε ότι το αριστερό μέλος εκφράζει έναν άρτιο αριθμό ενώ το δεξί έναν περιττό εύκ ολα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις. Έτσι μπορούμε να καταλήξουμε στην πρόταση: «αν μπορούμε να βρούμε ακέραιο m ώστε τα δύο μέλη μιας Διοφαντικής εξίσω σης να αποδίδουν διαφορετικό υπόλοιπο διαιρούμενα με το m τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις ». 3. Η εξίσωση 2 2 2 x y z έχει ακέραιες λύσεις και αν ναι πόσες; Η παραπάνω εξίσωση προκύπτει από το γνωστό σε όλους μας Πυθαγόρειο θεώρημα, μία πολύ γνωστή λύση είναι η x 3, y 4, z 5 . Εκτός από αυτή υπάρχουν και πολλές ακόμα. Όλες οι λύσεις της εξίσωσης λέγονται Πυθαγόρειες τριάδες. Πόσες ακέραιες τέτοιες τριάδες μπορούμε να βρούμε;
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 2 Γ. Η 10η ερώτηση του Hilbert 1. Βρισκόμαστε στο 1900, στο διεθνές συνέδριο των Μαθηματικών που γίνεται στο Παρίσι. Ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert (1862-1943) θέτει στη Μαθηματική κοινότητα 23 προβλήματα – ερωτήσεις που, κατά τη γνώμη του, οι λύσεις τους θα αναπτύξουν τη Μαθηματική επιστήμη. Η ομιλία αυτή θεωρείται από τις σπουδαιότερες μαθηματικές διαλέξεις που έχουν γίνει ποτέ. 2. Η 10η ερώτηση επικεντρώνεται στις Διοφαντικές εξισώσεις. « Δεδομένης μιας Διοφαντικής εξίσωσης με οποιονδήποτε αριθμό αγνώστων και ακέραιους συντελεστές, να επινοηθεί μία διαδικασία που να καταλήγει στο συμπέρασμα αν η εξίσωση έχει λύσεις και πόσες στο σύνολο των ακεραίων». 3. Με άλλα λόγια υπάρχει ένας αλγόριθμος επίλυσης μιας Διοφαντικής εξίσωσης με οποιοδήποτε αριθμό αγνώστων; Το 1970, ο Ρώσος μαθηματικός Yuri Matyasevich, σε ηλ ικία 22 χρόνων, απέδειξε ότι ένας τέτοιος αλγόριθμος δεν υπάρχει. 4. Η μελέτη των Διοφαντικών εξισώσεων αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους κλάδους των σύγχρονών μαθηματικών αφού σε πολλά από τα λεγόμενα «άλυτα προβλήματα» εμπλέκονται τέτοιες εξισώσεις.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 3 Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Α. Ο χαρακτήρας … 1. Ο Pier de Fermat γεννήθηκε στις 20 Αυγούστου του 1601 στην πόλη Beaumont-de Lomagne της νοτιοδυτικής Γαλλία. Σπούδασε νομικά και το 1631 διορίσθηκε σύμβουλος στο Ανώτατο Δικαστήριο της Τουλούζης. Ήταν ένας ευσυνείδητος και συνεπής δημόσιος υπάλληλος και τον ελεύθερο χρόνο του, τον αφιέρωνε στα μαθηματικά. Κατά το συγγραφέα E.T.Bell του έργου « οι Μαθηματικοί», ο Fermat ήταν ο πρίγκιπας των ερασιτεχνών Μαθηματικών. Δεν δημοσίευε ποτέ τις αποδείξεις των θεωρημάτων του. Όποτε επικοινωνούσε με τους υπόλοιπους μαθηματικούς το έκανε για να τους προκαλέσει σε σχέση με την επίλυση ενός προβλήματο ς. 2. Υπάρχει μία ιστορία κατά την οποία λέγεται ότι ο Fermat ανακάλυψε ότι ο αριθμός 26 είναι ο μοναδικός φυσικός που έχει μία παράξενη ιδιότητα. Βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς 25 και 27 που ο ένας είναι τετράγωνο και ο άλλος κύβος φυσικού. Η απόδειξη ότι ο αριθμός αυτός είναι ο μοναδικός με αυτή την ιδιότητα δεν τη γνωστοποίησε. Ο Fermat ανακοινώνοντας το θεώρημα αυτό προκάλεσε τους άλλους μαθηματικούς να βρουν την απόδειξη, αλλά εις μάτην !!! 3. Ένα άλλο γνωστό θεώρημά του ήταν αυτό με βάση το οποίο ταξινομούσε όλους τους πρώτους σε δύο κατηγορίες: αυτούς που γράφονται στη μορφή 4ν 1 και σε αυτούς που γράφονται στη μορφή 4ν 1. Στο θεώρημα αυτό ισχυριζόταν ότι όλοι οι πρώτοι της πρώτης ομάδας γράφονται και ως άθροισμα δύο τετραγώνων σε αντίθεση με τους πρώτους της δεύτερης ομάδας οι οποίοι δεν μπορούν ποτέ να γραφούν με τον τρόπο αυτό. Ως συνήθως η απόδειξη της πρότασης έλλειπε . Τελικά την απόδειξη την έδωσε το 1749 ο Euler .
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 4 4. Διαβάζοντας τη Λατινική μετάφραση των Αριθμητικών του Διόφαντου στο 2ο βιβλίο στην 8 η ερώτηση, εκεί όπου ο Διόφαντος κάνει αναφορά στις Πυθαγόρειες τριάδες στο περιθώριο του βιβλίου σημειώνει : « είναι αδύνατον μία κυβική δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο κυβικών δυνάμεων ή μία τέταρτη δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων και γενικά οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του τετραγώνου είναι αδύνατο να γραφεί ως άθροισμα ίδιων δυνάμεων». Συνέχισε γράφοντας κάτι ακόμα που έμελε να στοιχειώσει γενιές και γενιές μαθηματικών : « έχω μία πραγματικά υπέροχη απόδειξη αυτής της πρότασης, που όμως δεν χωρά σ’ ένα τόσο στενό περιθώριο». 5. Η πρόταση αυτή του περιθωρίου, θα ονομαζόταν αργότερα « το τελευταίο θεώρημα του Fermat» και θα γινόταν διάσημο κατά τους επόμενους αιώνες. Β. Εστιάζοντας την προσοχή μας στο 4 και στους περιττούς πρώτους 1. Δεδομένου φυσικού αριθμού n με n 3 δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί x,y,z που να είναι λύσεις της εξίσωσης n n n x y z . Μία αρκετά απλή πρόταση ως προς τη διατύπωση της, που όμως η απόδειξή της άργησε πάνω από 350 χρόνια !!! 2. Το πρώτο μεγάλο βήμα στην απόδειξη είναι ο ισχυρισμός ότι την πρόταση αυτή χρειάζεται να την αποδείξουμε μόνο για n 4 και για n {3,5,7,11,13,...} , δηλαδή για όλους τους περιττούς πρώτους αριθμούς. Γιατί αυτό;
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 5 3. Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση έχει αποδειχθεί για τις τιμές αυτές του n. Θα αποδείξουμε ότι είμαστε σε θέση να ισχυριστούμε την αλήθεια της πρότασης και για οποιονδήποτε άλλη τιμή του n. 4. Για παράδειγμα η εξ ίσωση 6 6 6 x y z δεν μπορεί να έχει λύση ως προς x,y,z στο διότι : αν υπήρχε λύση η o o o(x ,y ,z ), θα ίσχυε 6 6 6 2 3 2 3 2 3 o o o o o o(x ) (y ) (z ) (x ) (y ) (z ) πράγμα άτοπο αφού η τελευταία ισότητα αποδίδει λύση της εξίσωση 3 3 3 x y z την 2 2 2 o o o(x ,y ,z ). Όμοια προσπαθήστε να δείξετε ότι η εξίσωση 8 8 8 x y z δεν έχει λύση στο . 5. Οι περιπτώσεις στις οποίες πρέπει να αποδείξουμε την ισχύ του θεωρήματος ελαττώθηκαν αρκετά. Αλλοίμονο !!! και πάλι για άπειρες τιμές του n πρέπει να ασχοληθούμε !! Γ. Η εξίσωση 4 4 4 x y z 1. Μέσα στα μουτζουρωμένα περιθώρια, κάπου μέσα στο αντίγραφο των Αριθμητικών, ο Fermat απέδειξε ότι η εξίσωση 4 4 4 x y z δεν έχει λύση. 2. Στις πρόχειρες σημειώσεις σκιαγραφείται ένας ιδιαίτερος συνδυασμός της εις άτοπο απαγωγής και της μαθηματικής επαγωγής που είναι γνωστή ως μέθοδος της απείρου καθόδου . 3. Στην αρχή υποθέτ ει την ύπαρξη μία λύσης 1 1 1(x ,y ,z ) . Μετά αποδεικνύει την αναγκαιότητα ύπαρξης μιας μικρότερης λύσης 2 2 2(x ,y ,z ), η οποία οδηγεί σε μία ακόμα μικρότερη λύση 3 3 3(x ,y ,z ) και ούτω καθεξής. Ουσιαστικά ανακαλύπτεται μία καθοδική κλίμακα λύσεων δίνοντας ολοένα και μικρότερους αριθμούς. Επειδή όμως οι (x,y,z)είναι φυσικοί, η ατελείωτη αυτή σειρά λύσεων είναι εσφαλμένη. Η αντίφαση αυτή αποδεικνύει ότι η αρχική υπόθεση της ύπαρξης δηλαδή της λύσης 1 1 1(x ,y ,z ) πρέπει να είναι λάθος.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 6 Δ. Το κυνήγι των πρώτων ξεκινά … 1. Το 1753 ο Leonhard Euler εφαρμόζοντας την μέθοδο της απείρου καθόδου του Fermat απέδειξε την ισχύ του θεωρήματος για n 3 2. Σειρά έχει μία κυρία. Η Sophie Germain’s γεννήθηκε την 1 η Απριλίου του 1776. Από την ηλικία των 13 ξεδίπλωσε το ταλέντο της διαβάζοντας μόνη της θεωρία αριθμών και διαφορικό λογισμό, μελ ετώντας Euler και Newton. Σπουδάζει στην Ecole Polytechnique υιοθετώντας την ψεύτική ταυτότητα του κυρίου Antoine -August Le Blanc. Εντυπωσιασμένος από τις επιδόσεις του φοιτητή του ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Joseph-Louis Lagrange επιδιώκει να γνωρίσει τον χαρισματικό σπουδαστή. Η ταυτότητα της Sophie αποκαλύπτεται και η Germain αποκτά ένα δάσκαλο που την εμπνέει. 3. Αλληλογραφεί με τον Gauss κρύβοντας και πάλι την πραγματική της ταυτότητα. Στην αλληλογραφία αυτή εστιάζει στη μελέτη των πρώτων αριθμών p που και ο αριθμός 2p 1 είναι πρώτος. Π.χ οι αριθμοί 3 και 7, ή 5 και 11, κ.ο.κ. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται πλέον στην μαθηματική βιβλιογραφία ως αριθμοί Ζερμέν (Germain numbers). 4. Μία από τις πιο σπο υδαίες ανακαλύψεις της συνδέεται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Αποδεικνύει ότι : αν υπήρχαν λύσεις της εξίσωσης n n n x y z (όπου n πρώτος της λίστας Germain) τότε τα x,y,z θα έπρεπε να ήταν πολλαπλάσια του n. 5. Το 1825 οι μαθηματικοί Gustav Lejeune-Dirichlet και Adrien- Marie Legendre χρησιμοποιώντας τις ιδέες της Germain απέδειξαν την αλήθεια του θεωρήματος για n 5. 6. Το 1839 ο Γάλλος μαθηματικός Gabriel Lame’s αποδεικνύει την αλήθεια του θεωρήματος στην περίπτωση n 7.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 7 7. Στις 1 Μαρτίου του 1847, στη συνεδρίαση της Γαλλικής Ακαδημίας, οι μαθηματικοί Gabriel Lame’s και Augustine Louis Cauchy ανακοινώνουν, χωριστά ο ένας από τον άλλον, ότι θα υποβάλλουν σε σφραγισμένους φακέλους , όπως συνηθιζόταν, τις λύσεις τους. Δυστυχώς για αυτούς ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer υποδεικνύει το λάθος στις σκέψεις και των δύο. 8. Το 1847 ο Kummer προωθώντας τις ιδέες των Euler, Germain, Dirichlet , Legendre κ.α. απέδειξε την ορθότητα του θεωρήματος του Fermat για μία συγκεκριμένη κατηγορία πρώτων, τους οποίους ονόμασε ομαλούς πρώτους (regular prime). Αν φανταστούμε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 100, όλοι είναι ομαλοί εκτός των 37,59 και 67. 9. Ο Kummer επισήμανε ότι τα γνωστά μαθηματικά δεν ήταν σε θέση να αντιμετωπίσουν όλους τους άλλους «ανώμαλους πρώτους» γενικά. Πίστευε ωστόσο ότι επινοώντας προσεκτικά τεχνικές για την κάθε πε ρίπτωση θα ήταν δυνατόν να αντιμετωπιστούν όλοι ένας προς έναν. Η απόδειξη του θεωρήματος του Fermat βρισκόταν πέρα από τις τρέχουσες μαθηματικές προσεγγίσεις.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 8 Παραγοντοποίηση και Η Αλγεβρική θεωρία των αριθμών Α. Παραγοντοποίηση στο σύνολο των ακεραίων 1. Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής « κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1, μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών κατά μοναδικό τρόπο » Π.χ. ισχύουν οι ισότητες 12 2 2 3 , 15 3 5. 2. Στο σύνολο των ακεραίων υπάρχει και πάλι η δυνατότητα της παραγοντοποίησης οποιουδήποτε αριθμού, αλλά όχι κατά μοναδικό τρόπο. Π.χ. 6 2 3 ( 2) ( 3). 3. Την παραγοντοποίηση την εκμεταλλευόμαστε για την επίλυση συγκεκριμένου είδους Διοφαντικών εξισώσεων. Για παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση 2 2 x y 5 στο . Γράφουμε : 2 2 x y 5 (x y)(x y) 5. Επειδή ο αριθμός 5 είναι πρώτος τα μόνα ζευγάρια ακεραίων που αποδίδουν γινόμενο 5 είναι +5,+1 +1,+5 ή -5,-1 ή -1,-5. Άρα x y 5 (x,y) (3, 2) x y 1 ή x y 1 (x,y) (3,2) x y 5 ή x y 5 (x,y) ( 3,2) x y 1 ή x y 1 (x,y) ( 3, 2) x y 5 . Προσπαθήστε να λύσετε στο την εξίσωση : (x 1) (y 2) 2 x y
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 9 Β. Η αλγεβρική δομή των ακεραίων 1. Στις αρχές του 20 ο υ αιώνα μία ομάδα επιστημόνω ν της μαθηματικής λογικής πήρε μέρος στην αργή και επίπονη διαδικασία της επανοικοδόμησης ολόκληρου του σώματος της μαθηματικής γνώσης, χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο αριθμό αξιωμάτων. 2. Στην προσπάθεια αυτή πρωτοστατούσε η πλέον εξέχουσα προσωπικότητα της ε ποχής ο David Hilbert. Πίστευε ότι τα πάντα στα Μαθηματικά μπορούσαν και όφειλαν να αποδειχθούν από τα βασικά αξιώματα. 3. Έτσι η αλγεβρική δομή των ακεραίων ορίσθηκε : * ως το σύνολο των ακεραίων εφοδιασμένο με δύο πράξεις , την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, ως προς τις οποίες το σύνολο είναι κλειστό. Δηλαδή τόσο το άθροισμα όσο το γινόμενο δύο ακεραίων είναι ακέραιος. Για τις δύο πράξεις απαιτούμε : *Για την πρόσθεση να ισχύει : α) η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή a b b a. β) η προσεταιριστική ιδιότητα - associativity (a b) c a (b c ) γ) υπάρχει ο αριθμός 0 για τον οποίο ισχύει a 0 a. (ουδέτερο στοιχείο ως προς τη πρόσθεση - additive identity element) δ) για κάθε αριθμό a υπάρχει αριθμός b για τον οποίο ισχύε ι a b 0, ο αριθμός b λέγεται αντίθετος (additive inverse) του a και συμβολίζουμε b a. * Για τον πολλαπλασιασμό να ισχύει : α) η προσεταιριστική ιδιότητα δηλαδή (a b) c a (b c) β) η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση – distributive laws, δηλαδή a (b c) a b a c . 4. Κάθε συλλογή αριθμών που ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες λέγεται ακέραιος δακτύλιος – ring.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 0 Γ. Ο δακτύλιος των άρτιων ακεραίων 1. Ας δούμε έναν καινούργιο κόσμο αριθμών, τους γνωστούς μας άρτιους, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς και το μηδέν. Το σύνολο αυτό αποτελεί δακτύλιο; Αν προσθέσουμε ή πολλαπλασιάσουμε δύο άρτιους παίρνουμε άρτιο; Ισχύει η αντιμεταθετική ιδι ότητα στην πρόσθεση; Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό; Ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα; Υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο 0; Κάθε αριθμός έχει τον αντίθετό του; 2. Ας αναρωτηθούμε στο δακτύλιο αυτό υπάρχουν πρώτοι αριθμοί; Δηλαδή αριθμοί πο υ δεν μπορούν να παραγοντοποιηθούν περαιτέρω σε γινόμενο αριθμών από το σύνολο αυτό; 3. Ασφαλώς ο 2 είναι πρώτος. Ο 6 είναι πρώτος; Μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο άλλων άρτιων;. Όχι, άρα είναι πρώτος στο σύνολο των άρτιων. Ο 12 δεν είναι πρώτος αφού γράφεται ως γινόμενο 2 6 . Κατασκευάζουμε λοιπόν ένα νέο σύμπαν από πρώτους αριθμούς στο σ ύνολο των άρτιων, τους αριθμούς 2,6,10,14,18,22,… 4. Στο σύνολο αυτό των άρτιων αριθμών η παραγοντοποίηση είναι μοναδική; Για παράδειγμα το 24 γράφεται 2 2 6, αλλά το 36 ως 2 18 αλλά και ως 6 6 και στις δύο περιπτώσεις γράψαμε τον αριθμό 36 ως γινόμενο πρώτων άρα η παραγοντοποίηση δεν είναι μοναδική.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 1 Δ. Ένας περίεργος ακέραιος δακτύλιος … 1. Ας θεωρήσουμε την εξίσωση 2 x 5 και ως λύσεις της δύο φανταστικούς αριθμούς τους x 5 . Τώρα είμαστε σε θέση να ορίσουμε ένα νέο σύνολο αριθμών τους αριθμούς της μορφής a b 5 , όπου a,b δύο τυχαίοι ακέραιοι. Μερικά από τα στοιχεία του συνόλου είναι οι αριθμοί : 2 3 5, 1 8 5, 0 19 5, 7 0 5 . 2. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό όπως τα παραδείγματα που ακολουθούν : (2 3 5) ( 1 4 5) 1 5 2 (2 5) ( 1 2 5) 2 4 5 5 2( 5) 2 5 5 2( 5) 8 5 5 Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο αυτό των αριθμών, εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, είναι ένας ακέραιος δακτύλιος. 3. Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί του δακτυλίου αυτού; Σίγουρα οι 2,3,5,7, 11,… αλλά και άλλοι που δύσκολα μπορούν να εντοπιστούν. Όπως για παράδειγμα οι 1 2 5 και 1 2 5 . 4. Με αρκετά δύσκολες τεχνικές μπορούμε να αποδείξουμε ότι και στο δακτύλιο αυτό, κάθε αριθμός του γράφεται ως γινόμενο πρώτων. Όμως δεν είμαστε σε θέση να υποσχεθούμε τη μοναδικότητα της παραγοντοποίησης. Για παράδειγμα ισχύει ό τι : 21 3 7 αλλά και 21 (1 2 5) (1 2 5).
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 2 Ε. Το λάθος του Gabriel Lame 1. Ας θυμηθούμε ότι ο Gabriel Lame το 1839 απέδειξε το θεώρημα του Fermat για την περίπτωση του n 7. Τον ίδιο χρόνο ανακοίνωσε ότι ήταν σε θέση να αποδείξει το θεώρημα γενικά δηλαδή για κάθε n 3. 2. Η ιδέα του βασιζόταν στην υπόθεση της ύπαρξης λύσης και στην παραγοντοποίηση της εξίσ ωσης. Για παράδειγμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 2 2 x y 6 δεν έχει ακέραιες λύσεις διότι : * γράφεται (x y)(x y) 6 *οπότε αν έχει λύση θα πρέπει * x y 2 x y 3 x y 2 x y 3 ή ή ή x y 3 x y 2 x y 3 x y 2 *σε καμιά όμως περίπτωση οι x,y δεν είναι ακέραιοι. * άρα η εξίσωση δεν έχει λύση στο 3. Ο Lame δούλεψε σε έναν ακέραιο δακτύλιο στον οποίο υπέθεσε ότι η παραγοντοποίηση των σύνθετων αριθμών του είναι μοναδική. Με την παραδοχή της μοναδικότητας το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδεικνυόταν. Όμως ήταν σωστή μία τέτοια υπόθεση; ΣΤ. Ο Kummer ανακαλύπτει τους ιδανικούς αριθμούς 1. Το πρόβλημα της παραγοντοποίησης το εντόπισε ο Ernst Kummer και προσπάθησε να το επιλύσει. 2. Απέδειξε ότι ακόμα και αν η παραγοντοποίηση των στοιχείων ενός δακτυλίου σε γινόμενο πρώτων δεν είναι μοναδική, μπορούμε να σπάσουμε το δακτύλιο σε ομάδες αριθμών. Τις ομάδες αυτές να τις εφοδι άσουμε με πράξεις σαν την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, φτιάχνοντας στην ουσία νέους δακτυλίους που αποτελούνται όμως από ζεύγη αριθμών.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 3 3. Ανέπτυξε την ιδέα ότι στους δακτυλίους αυτούς υπάρχουν ζεύγη πρώτων αριθμών και ότι κάθε ζεύγος αριθμών εκφράζετ αι ως γινόμενο των πρώτων ζευγών και μάλιστα κατά μοναδικό τρόπο. 4. Ο Kummer βρήκε έναν μοναδικό τρόπο παραγοντοποίησης σε κάθε αλγεβρικό δακτύλιο όχι στα ίδια τα στοιχεία του αλλά σε ζεύγη στοιχείων του. Αυτά τα ζεύγη των αριθμών τα ονόμασε ιδεώδεις αριθμ ούς (ideals numbers ) αφού παραγοντοποιούνται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο ιδεωδών πρώτων. 5. Δυστυχώς αυτή η επαναστατική θεωρία δεν οδήγησε στην επίλυση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, αλλά γέννησε τη μοντέρνα αλγεβρική θεωρία των αριθμών.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 4 Πυθαγόρειες τριάδες Α. Το θεώρημα 1. Το τετράγωνο της υποτείνουσας (hypotenuse) ενός ορθογωνίου τριγώνου (right triangle) είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του. 2. Αντίστροφα (converse) : αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την μεγαλύτερη πλευρά. 3. Το θεώρημα ουσιαστικά παρουσιάζει τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα εμβαδά των τετραγώνων που σχηματίζονται από τις τρεις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Έτσι ισχύει η σχέση (ΒΓΘΙ) (ΑΓΗΖ) (ΑΒΔΕ) 4. Το συμπέρασμα του θεωρήματος χρησιμοποιείτο στην Αίγυπτο από το 2500 π.χ. και στη Μεσοποταμία από το 1750 π.χ. Πολλά χρόνια αργότερα η Πυθαγόρεια αδελφότητα το απέδειξε και αποδόθηκε από τότε το όνομα Πυθαγόρειο θεώρημα προς τιμή του ιδρυτή της αδελφότητας, του μεγάλου Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα. 5. Υπάρχουν πολλές αποδείξεις του θεωρήματος (πάνω από 350 !) Στα στοιχεία του Ευκλείδη αναφέρονται δύο κομψότατες γεωμετρικές αποδείξεις.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 5 B. Γεννήτρια Πυθαγόρειων τριάδων 1. Η αναζήτηση τριάδων φυσικών αριθμών που αποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και άρα ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα ( Πυθαγόρειες τριάδες - Pythagorean triples) ξεκίνησε από πολύ νωρίς. Σε μία στήλη από τη Μεσοποταμία που χρονολογείται από το 1750 π.χ., γνωστή ως Plimpton 322 περιέχει έναν αρκετά μεγάλο κατάλογο Πυθαγόρειων τριάδων . Οι πιο γνωστές τριάδες είναι η (3,4,5) η (5,12,13) κ.α. 2. Αν θέλουμε να αναζητήσουμε έναν γενικό τρόπο παραγωγής τέτοιων τριάδων δεν έχουμε παρά σκεφτούμε ότι : *Μία τριάδα φυσικών αριθμών (x,y,z) αποτελεί Πυθαγόρεια τριάδα αν 2 2 2 x y z . *Καταρχήν οι αριθμοί (x,y,z) δεν μπορεί να είναι όλοι περιττοί (γιατί;). Αν ο z είναι άρτιος τότε οι x,y είναι περιττοί ή άρτιοι, εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι η περίπτωση να είναι και οι δύο περιττοί είναι αδύνατη (γιατί;). Αν ο z είναι περιττός τότε ένας από τους x,y είναι περιττός και ο άλλος άρτιος (γιατί;). Άρα σε κάθε περίπτωση ένας από τους x,y πρέπει να είναι άρτιος. *Αν υποθέσουμε ότι ο y είναι άρτιος τότε : *Η ισότητα γράφεται ισοδύναμα 2 2 2 2 y z x y (z x)(z x). *Έχοντας υποθέσει ότι ο y είναι άρτιος θα υπάρχουν φυσικοί αριθμοί ώστε y 2 a b . *Άρα έχουμε ότι 2 2 2 (2ab) (z x)(z x) (2a )(2b ) (z x)(z x). *Εξισώνοντας τους παράγοντες έχουμε 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2a 2b z z x 2a z a b2 z x 2b x b a2b 2a x 2
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 6 *Άρα μία πυθαγόρεια τριάδα είναι η 2 2 2 2 (x,y,z) (b a , 2ab, b a ). *Για παράδειγμα αν a 2 , b 3 έχουμε (x,y,z) (5,12,13). 3. Από τη στιγμή όπου στη θέση των a, b μπορούμε να θέσουμε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό γίνεται φανερό ότι τε λικά υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες. 4. Μπορείτε να δικαιολογήσετε ότι η τριάδα 2 2 (2x , x 1, x 1) για κάθε x 1 είναι Πυθαγόρεια; 5. Ένας άλλος τρόπος για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες είναι και ο παρακάτω. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι : « η διαφορά των τετραγώνων δύο οποιονδήποτε διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι αριθμός περιττός », δηλαδή ότι ισχύει : 2 2 (ν 1) ν 2ν 1 (1). Υπάρχουν όμως άπειροι περιττοί αριθμοί που είναι συγχρόνως τετράγωνα φυσικών. Π.χ. ο 2 9 3 , ο 2 25 5 κ.α. Σε κάθε έναν από τους άπειρους αυτούς αριθμο ύς αντιστοιχεί και ένα ζεύγος τετραγώνων για τους οποίους θα ισχύει μία σχέση σαν την (1). Άρα υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες. Για παράδειγμα 2 9 3 και για ν 4 έχουμε 2 4 1 9, άρα η (1) γίνεται 2 2 2 2 2 2 5 4 3 5 4 3 . Δοκιμάστε να βρείτε με τον τρόπο αυτό τις δικές σας Πυθαγόρειες τριάδες!
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 7 Γ. Άλλη μία εμφάνιση των αριθμών «Fibonacci» 1. Γνωρίζουμε ότι η ακολουθία 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… λέγεται ακολουθία Fibonacci. Υπάρχει μία αξιοθαύμαστη σχέση ανάμεσα στους αριθμούς αυτούς και τις Πυθαγόρειες τριάδες. 2. Διαλέξτε τέσσερεις διαδοχικούς όρους της ακολου θίας Fibonacci. Π.χ. τους αριθμούς 2,3,5,8 . *Θεωρείστε το γινόμενο των άκρων x 2 8 16. *Θεωρείστε το διπλάσιο γινόμενο των δύο μέσων y 2 (3 5) 30 . *Θεωρείστε το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μέσων 2 2 z 3 5 34. *Η τριάδα (16, 30, 34) είναι μία Πυθαγόρεια τριάδα !!! 3. Παρόμοια σχέση μπορούμε να ανακαλύψουμε ανάμεσα στους αριθμούς Lucas και τις Πυθαγόρειες τριάδες.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 8 Η Αναλυτική (Αλγεβρική) Γεωμετρία Α. Οι Πυθαγόρειες τριάδες ως «ρητά» σημεία στο μοναδιαίο κύκλο 1. Ας θυμηθούμε ότι Πυθαγόρειες τριάδες, είναι τριάδες φυσικών αριθμών που αντιστοιχούν σε μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου π.χ. (3,4,5), (5,12,13). 2. Αν θεωρήσουμε την Πυθαγόρεια τριάδα (x,y,z) τότε γνωρίζουμε ότι αποτελεί συγχρόν ως και λύση της Διοφαντικής εξίσωσης 2 2 2 x y z . Διαιρώντας όλους τους όρους της ισότητας 2 2 2 x y z με 2 z καταλήγουμε στην ισότητα 2 2 (x / z) (y / z) 1. 3. Άρα το ζευγάρι ( x / z , y / z)ικανοποιεί την εξίσωση 2 2 X Y 1 . Οπότε κάθε τριάδα φυσικών – λύσεις της Διοφαντικής Πυθαγόρειας εξίσωσης, αντιστοιχεί και σε ένα ζεύγος ρητών αριθμών που είναι λύσεις της εξίσωσης 2 2 X Y 1. 4. Αν σχεδιάσουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων όλα τα ζεύγη (x,y) που αποτελούν λύσεις της εξίσωσης 2 2 X Y 1, θα παρατηρήσουμε ότι σχηματίζουν έναν κύκλο με κέντρο O(0,0) και ακτίνα R 1. Ο κύκλος αυτός λέγεται μοναδιαίος κύκλος (unit circle). 5. Ο κύκλος αυτός τέμνει τους άξονες στα σημεία ( 1,0), (0, 1) Προφανώς σημεία του κύκλου είναι και τα σημεία A(3 / 5 , 4 / 5) , B(5 / 13 , 12 / 13). 6. Ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες είναι ρητοί αριθμοί λέγεται ρητό σημείο (rational point) . Άρα τα σημεία Α και Β είναι ρητά σημεία του μοναδιαίου κύκλου.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 9 7. Από τα παραπάνω καταλήγουμε στο ότι : « κάθε Πυθαγόρεια τριάδα μπορεί να αντιστοιχηθεί μονοσήμαντα σε ένα ρητό σημείο του μοναδιαίου κύκλου και αντίστροφα κάθε ρητό σημείο του μοναδιαίου κύκλου μπορεί να μας δώσει μία Πυθαγόρεια τριάδα » . Με την πρόταση αυτή μπορούμε να επιβεβαιώσουμε τον ισχυρισμό ότι υπάρχουν άπειρα ρητά σημεία του μοναδιαίου κύκλου ! Β. Σχεδιάζοντας ευθείες … 1. Η πιο απλή γραμμή από όλες που μπορούμε να σχεδιάσουμε είναι η ευθεία. Η εξίσωσή της δεν θα περιέχει τετράγωνα και θα μοιάζει σαν τις εξισώσεις : 2 y 3(x 1) , y 2(x 1) , y (x 1) 5 . Σημειώνουμε ότι όλες οι εξισώσει ς που γράψαμε επαληθεύονται από τις τιμές x 1 και y 0 , ή λέμε ότι οι ευθείες διέρχονται από το σημείο A( 1,0). 2. Βεβαίως μία ευθεία καθορίζεται πλήρως από δύο σημεία. Για παράδειγμα η ευθεία με εξίσωση y 3(x 1) περνά από το σημείο Α και αν δώσουμε την τιμή x 1 βρίσκουμε y 6 , άρα διέρχεται και από το σημείο B(1,6). 3. Όμοια εύκολα μπορούμε να βρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση y 2(x 1) διέρχεται και από το σημείο Γ(1, 4) και η ευθεία 2 y (x 1) 5 και από το σημείο 4 Δ(1, ) 5 .
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 0 4. Όπως βλέπουμε τις εξισώσεις των ευθειών , παρατηρούμε τον αριθμό μέσα στην παρένθεση όπου ουσιαστικά μας δίνει το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα χ’χ και το συντελεστή της παρένθεσης όπου δηλώνει την κλίση (slop) της ευθείας σε σχέση με τον άξονα χ’χ. Ο αριθμός αυτός λέγεται συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας και δηλώνει το πόσο μεταβάλλεται η τιμή του y όταν η τιμή του x αυξηθεί κατά μία μονάδα. Παρατηρήστε ότι όταν ο αριθμός αυτός είναι θετικός η ευθεία «ανεβαίνει» ενώ αν είναι αρνητικός «κατεβαίνει». Επίσης όσο πιο μεγάλος είναι τόσο πιο απότομα ανεβαίνει ή κατεβαίνει η ευθεία. 5. Άρα μία ευθεία που τέμνει τον άξονα χ’χ στο σημείο A( 1,0) και έχει κλίση m έχει εξίσωση y m(x 1) . Γ. Όταν μία ευθεία και ένας κύκλος συναντιούνται … 1. Σχεδιάστε το μοναδιαίο κύκλο και μία οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το σημείο A( 1,0). Παρατηρήστε ότι εκτός από το σημείο Α τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο. Ποιο είναι; Πώς μπορούμε να το βρούμε; Αφού οι συντεταγμένες του σημείου θα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις (κύκλου και ευθείας), θα βρεθούν λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων. Έτσι θα έχουμε 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y m(x 1) y m(x 1) y m(x 1) x y 1 x m (x 1) 1 (1 m )x 2m x (m 1) 0
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 1 2. Η τελευταία εξίσωση έχει λύσεις τις x 1 και 2 2 1 m x 1 m . Οπότε τα αντίστοιχα y είναι y 0 και 2 2 2 2 1 m 2 2m y m( 1) m( ) 1 m 1 m 1 m Άρα τα σημεία τομής είναι τα A( 1,0) και 2 2 2 1 m 2m B( , ) 1 m 1 m . 3. Εδώ βρίσκεται η ομορφιά και συγχρόνως η δύναμη της συνεργασίας της άλγβερας και της γεωμετρίας. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει ένα ρητό σημείο του μοναδιαίου κύκλου αντιστοιχεί και σε μία Πυθαγόρεια τριάδα. Άρα το σημείο 2 2 2 1 m 2m B( , ) 1 m 1 m αντιστοιχεί στην Πυθαγόρεια τριάδα 2 2 (1 m , 2m , 1 m ). Την αναγνωρίζετε; 4. Επίσης αν γράψουμε το συντελεστή διευθύνσε ως m της ευθείας ως λόγο a m b δύο φυσικών οι συνεταγμένες του σημείου Β γράφονται : 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 a a 1 2 1 m 2m b a 2abb bB( , ) B( , ) B( , ) a a1 m 1 m b a b a 1 1 b b όμοια με πριν το ρητό σημείο Β αντιστοιχεί στην Πυθαγόρεια τριάδα 2 2 2 2 (b a , 2ab , b a ). Την αναγνωρίζετε; 5. Το πάντρεμα της Γεωμετρίας και της Άλγεβρας δίνει νέες δινατότητες προόδου και ανάπτυξης της θεωρίας των αριθμών. Οι Πυθαγόρειες τριάδες είναι μία ωραία αρχή, παρακάτ ω θα ασχοληθούμε με περίεργες καμπύλες και η συνεργασία αυτή θα μας είναι πολύτιμη.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 2 Οι ελλειπτικές καμπύλες Α. Η ιστορία ξεκινά … 1. Στην ιστορία αυτή θα μιλήσουμε για Διοφαντικές εξισώσεις που περιέχουν δυνάμεις του 2 και του 3. Οι εξισώσεις που θα ασχοληθούμε έχουν τη γενική μορφή 2 3 y x ax b όπου a,b δεδομένοι ακέραιοι. Οι εξισώσεις αυτής της μορφής παριστάνουν καμπύλες που μπορούμε να σχεδιάσουμε και θα τις ονομάζουμε ελλειπτικές καμπύλες (elliptic curves) . Για παράδειγμα οι εξισώσεις 2 3 y x x και 2 3 y x x 1 παριστάνουν ελλειπτικές καμπύλες. 2. Όλοι γνωρίζουμε τον τύπο που δίνει την περίμετρο ενός κύκλου L 2πR όπου R η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός μας αριθμός ο 3,14159…. Γενικά το μήκος μιας ο ποιασδήποτε καμπύλης ονομάζεται arc length . Η εύρεση του μήκους μιας έλλειψης είναι μία αρκετά δύσκολη διαδικασία που απαιτεί πιο σύνθετα εργαλεία γνωστά ως ελλειπτικά ολοκληρώματα (elliptic integrals) που συνδέονται με τη σειρά τους με τις λεγόμενες ελλειπτικές συναρτήσεις (elliptic functions). Οι συναρτήσεις αυτές συνδέονται με τις εξισώσεις της μορφής 2 3 y x ax b προς τούτο και η ονομασία ελλειπτικές εξισώσεις. 3. Η μελέτη των ελλειπτικών εξισώσεων ξεκίνησε το 19 ο αιώνα από τον Νορβηγό μαθηματικό Niels Abel και τους Γερμανούς μαθηματικούς Carl Jacobi και Karl Weierstrass μαζί με τους Gauss και Legendre.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 3 Β. Η αριθμητική των ελλειπτικών καμπυλών … 1. Αν x,y δύο ρητοί αριθμοί που ικανοποιούν μία ελλειπτική εξίσωση τότε το σημείο (x,y) ανήκει στην ελλειπτική καμπύλη. Επειδή η μεγαλύτερη δύναμη στην ελλειπτική εξίσωση είναι 3, η εξίσωση λέγεται κυβική και τα σημεία τομής μιας ελλειπτικής καμπύλης με μία ευθεία θα πρέπει να είναι το πολύ τρία. 2. Για παράδειγμα τα σημεία τομής της ελλειπτικής 2 3 2 y x x και της ευθείας y x θα βρεθούν λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων. Η εξίσωση που προκύπτει είναι η 3 2 2 x x x 0 x(x x 1) 0 που δίνει λύσεις τις x 0 και 1 5 x 2 . Οπότε τα αντίστοιχα σημεία είναι τα : O(0,0) και 1 5 1 5 A( , ) 2 2 , 1 5 1 5 B( , ) 2 2 . 3. Υπάρχει ένα θεώρημα στη σχολική Άλγεβρα που λέει ότι « αν μία κυβική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές ( coefficients) έχει δύο ρητές ρίζες τότε και η τρίτη ρίζα πρέπει να είναι ρητός αριθμός ». Οπότε αν έχουμε βρει δύο ρητά σημεία σε μία ελλειπτική καμπύλη τότε υπάρχει και ένα τρίτο ρητό σημείο. Το σημείο αυτό βρίσκεται ως σημείο τομής της ευθείας που ορίζουν τα δύο αρχικά σημεία με την ελλειπτική καμπύλη. 4. Παρατηρώντας μία οποιαδήποτε ελλειπτική καμπύλη θα δούμε ότι είναι συμμετρική ως προς τον οριζόντιο άξονα χ’χ.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 4 5. Σε μία τέτοια καμπύλη μπορούμε να ορίσουμε μία πράξη ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε ρητά σημεία της. Την πράξη θα την ονομάσουμε πρόσθεση, χωρίς όμως να είναι η γνωστή μας πράξη ανάμεσα στους πραγματικούς αριθμούς. Η πρόσθεση λοιπόν με ταξύ των σημείων μιας ελλειπτικής ορίζεται με τον εξής τρόπο. Έστω δύο ρητά σημεία Α και Β . *αν η ΑΒ τέμνει την καμπύλη και σε ένα τρίτο σημε ίο Γ, τότε *βρίσκουμε το συμμετρικό του Γ ως προς τον άξονα χ’χ , *ονομάζουμε το σημείο αυτό Γ’ και *ορίζουμε ως πρόσθεση των Α και Β το σημείο Γ’. Γράφουμε ότι Α+Β=Γ’ ή Α+Β+Γ=0. Αν η ευθεία που ορίζουν δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική τότε ως άθροισμα θεωρούμε το σημείο 0 που βρίσκεται στο «άπειρο». Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τέσσερα παραδείγματα πρόσθεσης. 6. Το σύνολο όλων των ρητών σημείων μιας ελλειπτικής εφοδιασμένα με την πράξη της πρόσθεσης όπως ορίσθηκε συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο ως 0 (ουδέτερο σημείο ως προς την πράξη) αποτελούν μία κατασκευή που στα μαθηματικά λέγεται ομάδα (group). 7. Το 1921 ο Βρετανός μαθηματικός Louis Mordell ανέπτυξε το εργαλείο αυτό και απέδειξε όλα τα σημεία μιας ελλειπτικής μπορούν να καθοριστούν με τη πρόσθεση μερικών ρητών σημείων της (finitely generated groups). 8. Το 1977 ο Barry Mazur από το Harvard University απέδειξε ότι μία ελλειπτική αν έχει πεπερασμένο πλήθος ρητών σημείων τότε αυτά δεν μπορεί να είναι πάνω από 16.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 5 Γ. Από τις καμπύλες στις επιφάνειες … 1. Μπορούμε να φανταστούμε μία επιφάνεια τριών διαστάσεων (3 -Δ) που ένας κύκλος μπορεί να προκύψει ως τομή της; Βεβαίως και μπορούμε! Μία σφαίρα είναι μία τέτοια επιφάνεια. 2. Μπορούμε να δώσουμε ανάλογη απάντηση σε μία ελλειπτική καμπύλη σαν την 2 3 y x x ; Εδώ τα πράγματα δυσκολεύουν. Στην περίπτωση αυτή ένα στερεό από όπου μπορεί να προκύψει η ελλειπτική, είναι σαν αυτό που βλέπετε στη διπλανή εικόνα και μοιάζει με λουκουμά, στη γλώσσα των μαθηματικών λέγεται torus. 3. Σημειώστε ότι μία 2ο υ βαθμού εξίσωση, όπως αυτή του κύκλου, προκύπτει ως τομή μίας σφαίρας , ένα αντικείμενο χωρίς καθόλου τρύπες. Μία ελλειπτική 3 ο υ βαθμού προκύπτει ως τομή 3 -Δ επιφάνειας με μία τρύπα. Αντίστοιχα μία εξίσωση 4 ο υ βαθμού μπορεί να προκύψει ως τομή μιας 3 -Δ επιφάνειας με τρεις τρύπες κ.ο.κ 4. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ο μοναδιαίος κύκλος έχει άπειρο πλήθος ρητών σημείων, για τις ελλειπτικές καμπύλες δεν συμβαίνει κάτι παρόμοιο. Υπάρχουν ελλειπτικές με άπειρο πλήθος ρητών σημείων, υπάρχουν όμως και ελλειπτικές με πεπερασμένο πλήθος ρητών σημείων. Οι ελλειπτικές είναι πολύ περίεργες καμπύλες ! 5. Το 1923 o Mordel διατύπωσε την υπόθεση ότι όλες οι καμπύλες που προκύπτουν ως τομές 3 -Δ επιφανειών που έχουν πάνω από μία οπή, έχουν πεπερασμένο πλήθος ρητών σημείων. 6. Το 1983 ο Γερμανός μαθηματικός Gerd Faltings απέδειξε την εικασία αυτή και βραβεύθηκε για την εργασία του με το βραβείο Fields ( το αντίστοιχο βραβείο Nobel για τα Μαθηματικά).
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 6 Δ. Το δραματικό φινάλε του θεωρήματος του Fermat 1. Το 1960 ο Γάλλος μαθηματικός Yves Hellegouarch υποθέτοντας ότι υπάρχουν περιττοί πρώτοι p που ικανοποιούν την εξίσωση p p p a b c κατέληξε να δημιουργήσει την ελλειπτική με εξίσωση 2 p p y x(x a )(x b ). Η ελλειπτική όμως αυτή παρουσίαζε μερικές παράξενες ιδιότητες επειδή το άθροισμα p p a b ήταν δύναμη του p. 2. Το 1984 ο Γερμανός μαθ ηματικός Gerhard Frey διατύπωσε την άποψη ότι μία ελλειπτική αυτής της μορφής έρχεται σε αντίθεση με μία αρκετά γνωστή εικασία σε σχέση με τις ελλειπτικές καμπύλες, την εικασία των Taniyama – Shimura – Weil. 3. To 1986 o καθηγητής του Berkeley Kenneth Ribet απέδειξε ότι η εικασία των Taniyama – Shimura – Weil και το τελευταίο θεώρημα του Fermat είναι άρρηκτα συνδεδεμένα. Αν κάποιος μπορούσε να αποδείξει την εικασία Taniyama – Shimura – Weil θα αποδείκνυε αυτόματα και το θεώρημα του Fermat. 4. Τελικά τον Ιούνιο του 1993 ο Andrew Wiles Βρετανός μαθηματικός έδωσε τρεις διαλέξεις στις οποίες απέδειξε την εικασία Taniyama – Shimura – Weil και ως εκ τούτου και το θεώρημα του Fermat. Κατά τη διάρκεια του απαραίτητου ελέγχου της απόδειξης από κριτική επιτροπή διαπιστώθηκε ένα ουσιαστικό λάθος. Ωστόσο το Μάιο του 1995 μία πλήρης απόδειξη, τελικά, δημοσιεύτηκε στο έγκριτο μαθηματικό περιοδικό Annals of Mathematics.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 7 Οι άρρητοι αριθμοί Α. Οι Πυθαγόρειοι και η τετραγωνική ρίζα του 2 1. Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τους Φυσικούς αριθμούς, ως αριθμούς που δόθηκαν στους ανθρώπους από τους θεούς. Πίστευαν ακόμα ότι ο δρόμος προς το θείο περνά μέσα από την κατανόηση των ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών. Εκτός από τη μελέτη των φυσικών διερευνούσαν και τους λό γους μεταξύ δύο φυσικών, περισσότερο σαν σχέση ανάμεσα στους δύο αριθμούς παρά σαν αριθμητικές οντότητες. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν επίσης, ότι όλα τα μήκη ευθυγράμμων τμημάτων μπορούσαν να μετρηθο ύν χρησιμοποιώντας τους φυσικούς αριθμούς ή λόγους φυσικών αριθμών. Η πίστη αυτή συνδέεται με την ιδέα ότι πάντα υπάρχει ένα μέτρο μέτρησης με το οποίο ο λόγος των μηκών δύο τμημάτων είναι ίσος με ρητό αριθμό. 2. Έχοντας την αντίληψη αυτή μπορούμε να φανταστούμε τη σύγχυση που προέκυψε από τη μέτρηση του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου μήκους ίσου με μία μονάδα. Αν σχεδιάσουμε ένα τέτοιο τετράγωνο τότε θα παρατηρήσουμε ότι η διαγώνιος έχει μήκος σίγουρα μεγαλύτερο από 1 αλλά και μικρότε ρο του 2. Δεν μπορεί να είναι φυσικός αριθμός. Άρα είναι λόγος δύο φυσικών αριθμών δηλαδή το μήκος δ της διαγωνίου είναι ίσο με το λόγο a b όπου a,b φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 8 3. Αν εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε 2 2 2 2 2a ( ) 1 1 a 2b b . Από τη σχέση αυτή καταλαβαίνουμε ότι ο 2 a είναι άρτιος, άρα και ο a (γιατί;) Οπότε και ο 2 b είναι άρτιος άρα και ο b. Άρα οι αριθμοί a,b είναι άρτιοι , πράγμα άτοπο, γιατί εξ αρχής είχαμε υποθέσει ότι οι a,b είναι πρώτοι μετ αξύ τους. Στο άτοπο καταλήξαμε γιατί υποθέσαμε ότι το μήκος της διαγωνίου είναι ρητός αριθμός. Άρα το μήκος αυτό είναι άρρητο. 4. Το μήκος αυτό θα το συμβολίζουμε με 2 , και είναι ένας άρρητος αριθμός (Irrational number) , δηλαδή δεν είναι αριθμός που μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο φυσικών αριθμών. 5. Πήρε εκατοντάδες χρόνια μέχρι οι άνθρωποι συνηθίσουν στην ιδέα της ύπαρξης τέτοιων αριθμών. Παρόμοια, όπως πριν, είμαστε σε θέση να δείξουμε ότι και οι αριθμοί 1 5 φ 2 , ο γνωστός μας χρυσός λόγος και ο συζυγής του (conjugate) 1 5 τ 2 είναι άρρητοι. 6. Όμως αν θυμηθούμε τον τύπο του Binet ο νο ς αριθμός της ακολουθίας Fibonacci που ισούται ν ν ν φ τ F 5 είναι φυσικός αριθμός. Αυτό και αν είναι περίεργο ένας συνδυασμός άρρητων αριθμών να αποδίδει ρητό αριθμό !
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 9 B. Ο λογάριθμος του 2 είναι άρρητος αριθμός 1. Ονομάζουμε (δεκαδικό) λογάριθμο (logarithm) του θετικού αριθμού Α και συμβολίζουμε logA , έναν αριθμό Β για τον οποίο ισχύει η ισοδυναμία : B logA B 10 A . Για παράδειγμα log100 2 διότι 2 10 100. 2. Θα αποδείξουμε ότι ο log2 είναι άρρητος αριθμός. Έστω ότι είναι ρητός αριθμός, άρα θα υπάρχουν φυσικοί a,b ώστε να ισχύει : a b a b a ab a log2 2 10 2 10 2 2 5 b άτοπο . Διότι σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δεν υπάρχει αριθμός που παραγοντοποιείται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δύο διαφορετικούς τρόπους. Στο άτοπο καταλήξαμε διότι θεωρήσαμε τον log2 ρητό. Άρα είναι άρρητος. Γ. Η δεκαδική γραφή των πραγματικών αριθμών 1. Οι αριθμοί 2 και log2 μπορούν να γραφούν ως δεκα δικοί. Κάνοντας χρήση ενός υπολογιστή μπορούμε να βρούμε τα πρώτα δεκαδικά ψηφία (digits) τους. Έτσι έχουμε : 2 1,41421356... και log2 0,301029996.... 2. Οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως δεκαδικοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί (real number). Τους αριθμούς αυτούς με τους αντίθετούς τους και το μηδέν, μπορούμε να τους αντιστοιχίσουμε μονοσήμαντα σε σημεία στον άξονα των πραγματικών αριθμών (real number line).
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 0 3. Αν θέλουμε να γράψουμε έναν πραγματικό αριθμό σε δεκαδική μορφή πρέπει επανειλημμένα να κάνουμε τον αλγόριθμο της διαίρεσης. Για παράδειγμα πως γράφεται σε δεκαδική μορφή ο ρητός 1 7 ; Κάνοντας τη διαίρεση 1: 7 θα καταλήξουμε στην έκφραση 1 0,142857142857142857... 7 Παρατηρούμε ότι το δεκαδικό μέρος επαναλαμβάνεται περιοδικά (periodic) . Σε αυτό το συμπέρασμα θα καταλήξουμε όταν αποπειραθούμε να κάνουμε τη διαίρεση σε οπο ιοδήποτε ρητό αριθμό. 4. Έτσι κάθε ρητός αριθμός έχει δεκαδική έκφραση που κάποια στιγμή γίνεται περιοδική και αντίστροφα αν μία δεκαδική έκφραση ενός πραγματικού αριθμού κάποια στιγμή γίνεται περιοδική τότε ο αριθμός αυτός μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο ακεραίων. Για παράδειγμα ο δεκαδικός 0,666... είναι ίσος με 2 3 . 5. Επεκτείνοντας τη σκέψη μας μπορούμε να πούμε ότι : άρρητος είναι ένας αριθμός που η δεκαδική του γραφή δεν είναι περιοδική. Με τον ορισμό αυτό μπορούμε να γράψουμε τώρα όσους άρρητους θέλουμε π.χ. ο αριθμός 0,101001000100001000001... είναι άρρητος. Προσοχή ενώ η κατασκευή του έχει κάποια κανονικότητα η δεκαδική του έκφραση δεν είναι περιοδική. 6. Οι ρητοί αριθμοί είναι περισσότερο γνωστοί σε μας και είμαστε εξοικειωμένοι με την ύπαρξη τους σε αντίθεση με τους άρρητους. Η επόμενη ερώτηση που μοιραία προκύπτει είναι : Πόσοι είναι οι άρρητοι αριθμοί; Ποιοι είναι περισσότεροι οι άρρητοι ή οι ρητοί; Η απάντηση θα μας ξαφνιάσει. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν αριθμό από αυτούς που βρίσκονται στον άξονα των πραγμ ατικών αριθμών η πιθανότητα να είναι ρητός είναι 0%. Οι ρητοί αριθμοί είναι διασκορπισμένοι στον άξονα των πραγματικών τόσο που πρέπει σιγά σιγά να συνηθίσουμε να τους θεωρούμε εξαίρεση και εξωτικούς και τους άρρητους ως τους συνήθεις αριθμούς.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 1 Δ. Οι διασημότητες… 1. Αν διαιρέσουμε το μήκος οποιουδήποτε κύκλου με τη διάμετρό του τότε θα βρίσκουμε πάντα τον ίδιο σταθερό αριθμό, τη διάσημη από την αρχαιότητα σταθερά π. Είναι περίπου 3,14159265... Είναι ένας πολύ περίεργος αριθμός γι’ αυτό και δεν είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι τελικά είναι ένας άρρητος αριθμός. Ωστόσο έχουν ανακαλυφθεί πανέμορφοι τρόποι έκφρασης του αριθμούς αυτού. Ένας διάσημος τύπος είναι και ο 4 4 4 4 4 π 4 ... 3 5 7 9 11 . 2. Η σταθερά του Euler γνωστή και ως e. Εμφανίζεται σχεδόν πάντα όποτε μελετούμε ρυθμό μεταβολής ενός μεγέθους. Είναι ίσος περίπου με e 2,7182818284... Για τον αριθμό αυτόν έχουν επίσης ανακαλυφθεί τύποι έκφρασης όπως ο 1 1 1 1 e 1 ... 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 . Χρησιμοποιώντας άπειρες σειρές μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι άρρητος. 3. Θυμόσαστε τη συνάρτηση ζ στην υπόθεση Riemann ή στον τύπο του Euler; Τη συνάρτηση με τύπο s s s s 1 1 1 1 ζ(s) 1 ... 2 3 4 5 Υπάρχουν αρκετοί άρρητοι αριθμοί που συνδέονται με την συνάρτηση αυτή. Όπως η τιμή ζ(2) που ισούται με 2 π 6 ! Η τιμή ζ(3) που ενώ δεν γνωρίζουμε την τιμή της όπως την ζ(2), το 1977 ο Γάλλος μαθηματικός Roger Apery απέδειξε ότι είναι άρρητος αριθμός. Η σειρά αυτή λέγεται Apery ’s number. Το όριο της διαφοράς ζ(n) ln(n) καθώς το n αυξάνει απεριόριστα που συμβολίζεται με γ και έχει υπολογιστεί ότι είναι περίπου γ 0,577215664.... Ωστόσο δεν έχει αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι άρρητος.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 2 Παραμένει ένα από τα άλυτα προβλήματα της θεωρίας των αριθμών. Ο David Hilbert έλεγε ότι η απόδειξη της αρρητότητας του γ είναι ανέφικτη, ενώ ο G.H.Hardy καθηγητής αριθμοθεωρίας στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης πρόσφερε την έδρα του σε όποιον αποδείκνυε ότι ο γ είναι άρρητος. Λέγεται ότι αν ο γ είναι τελικά ρητός ας πούμε a b τότε ο b πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 240.000 10 !!!
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 3 Υπερβατικοί και Αλγεβρικοί αριθμοί Α. Προσεγγίσεις … 1. Όπως ήδη έχουμε πει, ρητοί (rational) είναι εκείνοι οι πραγματικοί (real) αριθμοί που η δεκαδική τους έκφραση (decimal expansions) κάποια στιγμή γίνεται περιοδική (periodic). Για παράδειγμα 2 4 3 0,666... , 4 4,000... , 0,75000... 3 1 4 . Σε αντίθεση με αυτούς οι άρρητοι (irrational ) πραγματικοί αριθμοί είναι οι δεκαδικοί μη περιοδικοί με άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Π.χ. π 3,14159.... 2. Αν αναρωτηθούμε ποιοι είναι οι περισσότεροι τότε σαφώς η πλάστιγγα γέρνει υπέρ των αρρήτων. Αν διαλέξουμε στην τύχη έναν αριθμό η πιθανότητα να είναι ρητός είναι σχεδόν μηδέν. Οι άρρητοι είναι απείρως περισσότεροι από τους ρητούς. 3. Αλλά ενώ οι ρητοί είναι τόσο σπάνιοι μπορούμε να προσεγγίσουμε (approximate) όσο θέλουμε έναν άρρητο αριθμό χρησιμοποιώντας τους ρητούς αριθμούς. Ένα «κουτσούρεμα» της δεκαδικής έκφρασης του άρρητου αριθμού θα μας διευκολύνει στην προσέγγιση του. Έτσι είμαστε σε θέση να πλησιάσουμε όσο περισσότερο θέλουμε έναν άρρητο αριθμό χρησιμοποιώντας ρητούς αριθμούς. Ενώ έναν οποιονδήποτε ρητό μπορούμε να προσεγγίσουμε με ένα άλλο διαφορετικό ρητό αριθμό. Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ό τι «αν μας δώσουν δύο οποιουσδήποτε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς χ και ψ. Πάντα μπορούμε να βρούμε έναν ρητό αριθμό ανάμεσά τους ». Αυτό επιβεβαιώνει τον ισχυρισμό ότι το σύνολο των ρητών είναι ένα ιδιαίτερα «πυκνό» σύνολο μέσα στο σύνολο των πραγμα τικών αριθμών.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 4 Β. Οι Αλγεβρικοί αριθμοί 1. Ας ξεκινήσουμε διαπιστώνοντας ότι οποιοσδήποτε ρητός αριθμός αποτελεί λύση μιας γραμμικής εξίσωσης. Για παράδειγμα ο ρητός 3 5 είναι λύση της εξίσωσης : 5x 3 0 . Έτσι το σύνολο των ρητών μπορεί να ορισθεί ως «το σύνολο των λύσεων εξισώσεων της μορφής sx r 0 όπου s,r δεδομένοι ακέραιοι και s 0». Στην περίπτωση μας η λύση της εξίσωσης προφανώς είναι r x s . Σε πιο σύνθετες εξισώσεις θα συναντήσουμε άλλους γνώριμους αριθμούς ως λύσεις. Όπως η 2 x 2 0 που έχει λύση τις x 2 ή η εξίσωση 2 x 1 0 με λύσεις τους φανταστικούς x i ή η εξίσωση 2 x x 1 0 με λύσεις τις γνωστές μας 1 5 x 2 . Ή πιο γενικά οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής n n 1 n n 1 1 oa x a x ... a x a 0 με n n 1 1 oa ,a ,...,a ,a , na 0 και n , που λέγεται πολυωνυμική εξίσωση ( polynomial equation) η οποία αποδεικνύεται ότι έχει πάντα λύσεις ως προς x και μάλιστα το πλήθος των λύσεων είναι όσο η δύναμη στην οποία εμφανίζεται ο άγνωστος x. 2. Ορίζουμε ως «Αλγεβρικούς αριθμούς (algebraic numbers ) το σύνολο όλων των αριθμών που αποτελούν λύσεις μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές ». Για παράδειγμα οι αριθμοί 2 , i, είναι αλγεβρικοί αριθμοί αφού αποτελούν λύσεις πολυωνυμικής εξίσωσης με συντελεστές ακέραιους. Επειδή στις εξισώσεις, λύσεις των οποίων είναι οι αριθμοί αυτοί, ο άγνωστος x εμφανίζεται υψωμένος στο τετράγωνο, οι αλγεβρικοί αυτοί αριθμοί λέμε ότι έχουν βαθμό (degree) 2. Ο αριθμός 3 2 που είναι λύση της εξίσωσης 3 x 2 είναι 3ο υ βαθμού. Πιο περίεργους αλγεβρικούς αριθμούς μπορούμε να φτιάξουμε συνδυάζοντας ότι πιο θε αματικό έχουμε συναντήσει μέχρι τώρα για παράδειγμα ένας τέτοιος αλγεβρικός αριθμός μπορεί να είναι ο 3 85 1 71 ( 29 31) .
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 5 Γ. Οι υπερβατικοί αριθμοί 1. Από τη στιγμή που μπορούμε να φτιάξουμε τόσο σύνθετους αλγεβρικούς αριθμούς μοιραία έρχεται η απορία. Όλοι οι γνωστοί μας αριθμοί είναι αλγεβρικοί; Υπάρχουν αριθμοί που δεν αποτελούν λύσεις πολυωνιμικών εξισώσεων με συντελεστές ακεραίους; Οι ερωτήσεις αυτές μοιάζουν όπως τότε που οι μαθηματικοί αναρωτιόντουσαν αν υπάρχουν άλλοι αριθμοί εκτός από τους ρητούς, μέχρι που ανακάλυψαν τους άρρητους… Όπως και στους άρρη τους, που ο ορισμός τους ήταν άρνηση του ορισμού των ρητών, ας τον θυμηθούμε : «άρρητος είναι ένας αριθμός που δεν είναι ρητός», έτσι και τώρα τί θα συμβεί αν ανακαλύψουμε έναν αριθμό που δεν είναι λύση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές; Θα έχουμε ανακαλύψει ένα νέο είδος αριθμού; Υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί; 2. Το ερώτημα αυτό ήταν το κυρίαρχο μαθηματικό πρόβλημα του 19 ο υ αιώνα. Μέχρι που το 1844 ο Γάλλος μαθηματικός Joseph Liouville ανακάλυψε αυτούς του ς περίεργους αριθμούς. Τους ονόμασε υπερβατικούς αριθμούς (transcendental numbers ). Ο Liouville διατύπωσε το θεώρημα: “ αν a είναι ένας δοσμένος αλγεβρικός αριθμός βαθμού d τότε υπάρχει μία θετική σταθερά c ώστε για όλους τους ρητούς p a q ισχύει d c p a q q ” . Από το θεώρημα αυτό συνεπάγεται ότι αν ο αριθμός a είναι αλγεβρικός τότε κάθε ρητός p q που βρίσκεται πολύ κοντά στον a θα πρέπει να έχει μεγάλο παρονομαστή. Ισοδύναμα αν βρούμε έναν αριθμό a ο οποίος έχει μία άπειρη λίστα ρητών αριθμών που τον προσεγγίζουν ολοένα και «περισσότερο» με «μικρούς» παρονομαστές τότε ο a δεν μπορεί να είναι αλγεβρικός. Θα πρέπει να είναι υπερβατικός αριθμός. Ένας τέτοιος αριθμός είναι και ο L 1,1100010000000000000000010000... στον οποίο τα μηδενικά που βρίσκονται μεταξύ των μονάδων αυξάνονται με βάση κάποιο πρότυπο – μοτίβο.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 6 Ο αριθμός αυτός έχει μία άπειρη λίσ τα ρητών αριθμών που τον προσεγγίζουν χρησιμοποιώντας μικρούς παρονομαστές. Για παράδειγμα ο αριθμός 1.110.001 1.110001 1.000.000 προσεγγίζει τον L με μία απόκλιση της τάξης του 24 10 . Ο αριθμός 111.000.100.000.000.000.000.000 1.110001000000000000000000001 100.000.000.000.000.000.000.000 προσεγγίζει τον L με μία απόκλιση της τάξης του 41 10 κ.ο.κ. Σύμφωνα με το θεώρημα του Liouville η πολύ καλή αυτή προσέγγιση του αριθμού L χρησιμοποιώντας ακολουθία ρητών αριθμών με «μικρούς» παρονομ αστές, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι αλγεβρικός. Είναι υπερβατικός αριθμός. Ο αριθμός αυτός ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι ήταν υπερβατικός και είναι γνωστός ως Liouville’s number. 3. Όταν ο Liouville αναφέρθηκε στους υπερβατικούς αριθμούς ήταν το 1844. Τριάντα χρόνια αργότερα το 1873 ο Γάλλος μαθηματικός Charles Hermite απέδειξε ότι ο αριθμός e είναι υπερβατικός. Το 1882 ο Γερμανός μαθηματικός Ferndinand von Lindermann απόδειξε ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός. Οι αποδείξεις είναι αρκετά περίπλοκες και απαιτούν γνώσεις και τεχνικές υψηλού επιπέδου. Το 1900 ο David Hilbert στο συνέδριο των μαθηματικών στο Παρίσι έθεσε ορισμένα ανοικτά - άλυτα προβλήματα η λύση των οποίων θα έδινε νέα ώθηση και ανάπτυξη στη μαθηματική επιστήμη. Το 1ο από αυτά ήταν να αποδειχθεί ότι αριθμός 2 2 είναι υπερβατικός. Γενικότερα ζήτησε να αποδειχθεί ότι «δεδομένων αλγεβρικών αριθμών a, b με τον a να μην είναι ίσο με το 0 ή το 1 και τον b άρρητο τότε ο αριθμός b a είναι υπερβατικός». Τριάντα τέσσερα χρόνια αργότερα ο Ρώσος μαθηματικός Aleksadr Gelfond και ο Γερμανός μαθηματικός Theodor Shneider ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο απόδειξαν την αλήθεια της πρότασης αυτής.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 7 4. Πόσοι είναι όμως οι υπερβατικοί αριθμοί; Πάλι όπως και στους ρητούς – άρρητους, αν διαλέξουμε στην τύχη έναν αριθμό τότε η πιθανότητα ο αριθμός που διαλέξαμε να είναι υπερβατικός είναι 100% !!! Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι οι συνήθεις αριθμοί , οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι μία μικρή πολύ μικρή μειοψηφία. 5. Υπάρχουν αρκετά ανοικτά – άλυτα προβλήματα σχετικά με τους υπερβατικούς αριθμούς. Όπως : ο αριθμός e π είναι υπερβατικός; Ο αριθμός e π; Πολλοί πιστεύουν πως οι αριθμοί αυ τοί είναι υπερβατικοί. Όμως μέχρι τώρα κανείς δεν το έχει αποδείξει.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 8 Διοφαντική προσέγγιση Α. Προσεγγίζοντας όσο το δυνατόν πιο “φθηνά” … 1. Όπως ήδη έχουμε πει το σύνολο των ρητών αριθμών είναι αρκετά πυκνό ώστε να είμαστε σε θέση να προσεγγίζουμε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό με τη βοήθεια του. Έτσι για παράδειγμα ο αριθμός π μπορεί να προσεγγιστεί με τους αριθμούς 22 3,142857143 7 αλλά και 31 3,1 10 κ.τ.λ. Το ερώτημα που θέτουμε στην ιστορία αυτή είναι να βρούμε την καλύτερη ρητή προσέγγιση χρησιμοποιώντας ρητό αριθμό με παρονομαστή (denominator) μικρότερο ή ίσο δοθέντος φυσικού αριθμού. Η προσέγγιση αυτή είναι γνωστή ως Διοφαντική (Diophantine approximation ). 2. Johann Dirichlet το 1842 απέδειξε το παρακ άτω θεώρημα : « Αν a πραγματικός αριθμός και Q 1 ένας δοσμένος πραγματικός αριθμός, τότε υπάρχει ρητός p q ώστε να ισχύει p 1 a q (Q 1) q με 1 q Q » 3. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσεγγίσουμε τον άρρητο π με έναν ρητό με παρονομαστή όχι μεγαλύτερο από το Q 7. Η διαδικασία που περιγράφεται από το θεώρημα του Dirichlet είναι η εξής : *Χωρίζουμε το διάστημα [0,1] σε Q 1 7 1 8ίσα διαστήματα. *Ο χωρισμός αυτός θα γίνει με τη βοήθεια των αριθμών 0 και 1 και των δεκαδικών μερών (fractional parts) των γινομένων 1 π , 2 π , 3 π , 4 π , 5 π , 6 π , 7 π δηλαδή τους αριθμούς :
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 9 0 0,000000... , {1 π} 0,141592... , {2 π} 0,283185... , {3 π} 0,424777... , {4 π} 0,566370... , {5 π} 0,707963... , {6 π} 0,849555... , {7 π} 0,991148..., 1 1,000000.... *Τουλάχιστον δύο από τους αριθμούς αυτούς «απέχουν» απόσταση μικρότερη ή ίση του 1 0,125 8 . Στην πραγματικότητα οι αριθμοί {7 π} και 1 απέχουν απόσταση μικρότερη του 1 8 . Άρα : 1 1 22 1 (7π 21) 1 7π 22 π 8 8 7 8 7 . Οπότε ο ρητός 22 7 προσεγγίζει τον αριθμό π με μία απόκλιση της τάξεως του 1 1 0,01785 8 7 56 .
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 00 Β. Ένας άλλος ορισμός των άρρητων αριθμών 1. Στην περίπτωση όπου έχουμε άρρητο πραγματικό αριθμό a τότε με βάση το θεώρημα του Dirichlet μπορούμε αυξάνοντας συνεχώς τον ρητό Q να βρούμε μία άπειρη λίστα ρητών p q που να ικανοποιούν την ανισότητα p 1 a q (Q 1) q . Επειδή ισχύει ότι : 1 1 q Q 1 Q 1 q καταλήγουμε στην ανισότητα 2 p 1 a q q . 2. Με τη βοήθεια του συμπεράσματος αυτού είμαστε σε θέση να καταλήξουμε σε μία νέα π ροσέγγιση για τον ορισμό του άρρητου αριθμού, δηλαδή : « ένας αριθμός a είναι άρρητος αν και μόνο αν υπάρχει μία άπειρη ακολουθία διαφορετικών μεταξύ τους ρητών p q που ικανοποιούν την ανίσωση 2 p 1 a q q .
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 01 Γ. Το μπιλιάρδο, οι τροχιές των πλανητών και ο κ. Kronecker … 1. Προηγουμένως συμβολίσαμε το δεκαδικό μέρος ενός πραγματικού αριθμού x με {x}, π.χ. {6,132) 0,132 , {57, 6} 0, 6. Αντίστοιχα συμβολίσαμε και τα δεκαδικά μέρη γινομένων ακεραίων με κάποιον άρρητο αριθμό . Για παράδειγμα γράψαμε : {1 π} 0,141592... , {2 π} 0,283185... , {3 π} 0,424777... {4 π} 0,566370... , {5 π} 0,707963... , {6 π} 0,849555... , {7 π} 0,991148..., κ.τ.λ. 2. Αν σημειώσουμε τ ους αριθμούς αυτούς στον άξονα των πραγματικών αριθμών θα παρατηρήσουμε ότι ισοκατανέμονται στο ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ των αριθμών 0 και 1. Συνεχίζοντας, να πολλαπλασιάζουμε τον άρρητο π με ολοένα και μεγαλύτερους ακέραιους και να σημειώνουμε τα δεκαδικά μέρη των γινομένων θα παρατηρήσουμε ότι αυτά αρχίζουν να καλύπτουν τα ενδιάμεσα αρχικά κενά. Έτσι αν διαλέξουμε οποιονδήποτε αριθμό ανάμεσα στους 0 και 1, πάντα θα υπάρχει ακέραιο πολλαπλάσιο του π που το δεκαδικό του μέρος να βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς αυτούς. 3. Την παρατήρηση αυτή την απέδειξε ο Γερμανός μαθηματικός Leopold Kronecer το 1884 διατυπώνοντας το θεώρημα « αν a ένας άρρητος πραγματικός αριθμός τότε η άπειρη ακολουθία {a} , {2a} , {3a} , ... διασπείρεται στο διάστημα [0,1]». 4. Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται εκεί που δεν το περιμένει κανείς. Για παράδειγμα :
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 02 Στο μπιλιάρδο !!! Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μπιλιάρδο, χωρίς τρύπες όπου όταν η μπάλα χτυπήσει στα τοιχώματα θα ανακλαστεί ώστε η γωνία πρόπτωσης και η γωνία ανάκλασης να είναι ίδια. Στο ιδανικό αυτό μπιλιάρδο υποθέτουμε ακόμα ότι δεν υπάρχουν τριβές. Έτσι η μπίλια θα ακ ολουθεί συνεχώς μία τροχιά που θα καθορίζεται από την αρχική θέση της και την γωνία πρόπτωσης. Με τη βοήθεια του θεωρήματος του Kronecer αποδεικνύεται ότι : * η τροχιά της μπίλιας θα είναι τυχαία όταν η κλίση της αρχικής γωνίας πρόσπτωσης είναι άρρητος αριθμός, ενώ * η τροχιά θα είναι περιοδική όταν η κλίση είναι ρητός αριθμός!!! Στην αστρονομία !!! Έστω ότι έχουμε μία ομάδα πλανητών που κινούνται περιοδικά με διαφορετικές ακτίνες γύρω από τον ήλιο. Υποθέτουμε επίσης ότι αρχικά όλοι οι πλανήτες βρίσκονται στην ίδια ευθεία με τον ήλιο. Σύμφωνα με το θεώρημα του Kronecer αποδεικνύεται ότι ακόμα και αν οι τροχιές των πλανητών φαίνονται ότι δεν έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους, οι πλανήτες κάποια στιγμή θα βρεθούν και πάλι όλοι με τον ήλιο στην ίδια ευθεία!!!
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 03 Γράφοντας τους πραγματικούς με τη μορφή συνεχών κλασμάτων Α. Και πάλι ο Ευκλείδης … 1. Τον αλγόριθμο της ευκλείδειας διαίρεσης τον θυμόμαστε; « Δεδομένων δύο φυσικών αριθμών a και b υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί q και υ ώστε να ισχύει η ισότητα a b q υ με 0 υ b» . Ο ίδιος μεγάλος μαθηματικός μας πρόσφερε και τον τρόπο εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο φυσικών, τον θυμόμαστε; Εφαρμόζουμε την παρατήρηση ότι για τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών a,b που συμβολίζεται με (a,b) ισχύει ότι (a,b) (b,υ), όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης a : b. Έτσι με συνεχείς διαιρέσεις βρίσκουμε τον Μ.Κ.Δ. ως τον πρώτο μη μηδενικό υπόλοιπο των διαιρέσεων αυτών. Ας τον θυμηθούμε με ένα παράδειγμα. Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός δια ιρέτης των αριθμών 130 και 41; Έχουμε ότι : 3 7 41 7 1 130 41 5 6 7 6 1 6 1 6 0 Το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι το 1 άρα (130,41) 1 ( άρα οι αριθμοί αυτοί είναι πρώτοι μεταξύ τους).
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 04 2. Τον αλγόριθμο αυτόν μπορούμε να τον εκμεταλλευτούμε για να γράψουμε τον ρητό 130 41 διαφορετικά. Ας παρακολουθήσουμε τη διαδικασία. 130 41 3 7 7 1 3 3 4141 41 41 7 1 1 3 3 7 5 6 6 5 7 7 1 1 3 3 1 1 5 5 7 6 1 1 6 6 1 3 1 5 1 1 6 Έτσι παρατηρούμε ότι ισχύει : 130 1 3 141 5 1 1 6 * 9 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) 3. Η παρουσίαση αυτή λέγεται έκφραση υπό τη μορφή συνεχών κλασμάτων (continues fraction expansion). Αφού τον Ευκλεί δειο αλγόριθμο υπολογισμού του μέγιστου κοινού διαιρέτη μπορούμε τον εφαρμόσουμε σε κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών, είμαστε σε θέση κάθε λόγο δύο φυσικών να τον γράψουμε με τη μορφή συνεχών κλασμάτων.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 05 Η γενική μορφή είναι o 1 2 3 4 1 a 1 a 1 a 1 a a ... με τους ia όλους φυσικούς αριθμούς. Το πλήθος των φυσικών προφανώς είναι πεπερασμένο, αφού ο Ευκλείδειος αλγόριθμος υπολογίζει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη μετά από πεπερασμένο π λήθος διαιρέσεων. Η πρόταση αυτή ισχύει και αντίστροφα δηλαδή ένα συνεχές κλάσμα όπως π.χ. το 1 2 1 4 3 τελικά εκφράζει έναν ρητό αριθμό τον 29 13 . 4. Οπότε «ένας αριθμός A θα είναι ρητός αν και μόνο αν μπορεί να γραφεί ως ένα άθροισμα πεπερασμένου πλήθους, συνεχών κλασμάτων». Με τη βοήθεια της γραφής αυτής έναν οποιονδήποτε ρητό αριθμό συμφωνούμε να τον συμβολίζουμε και ως o 1 2 n[a ,a ,a ,...,a ]. Για παράδειγμα : ο ρητός 140 13 γράφεται : [3,5,1,6] ο ρητός 29 13 γράφεται : [2,4,3] * 1 0 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 06 Β. Ένας άρρητος με τη μορφή συνεχών κλασμάτων … 1. Η διαδικασία γραφής ενός ρητού με τη μορφή συνεχών κλασμάτων, προϋποθέτει την εφαρμογή του Ευκλείδειου αλγορίθμου για τον υπολογισμό του Μ.Κ.Δ. δύο ακεραίων. Στους άρρητους όμως αριθμούς ο αλγόριθμος αυτός δεν εφαρμόζεται. Γεννιέται το ερώτημα, υπάρχει τρόπος έναν άρρητ ο να τον γράψουμε ως άθροισμα κλασμάτων; Το σίγουρο είναι ότι αν υπάρχει τότε τα συνεχή κλάσματα θα πρέπει να είναι άπειρα. 2. Ας προσπαθήσουμε να γράψουμε τον ρητό 130 41 που ισούται με 3,170731707317073.... ως άθροισμα συνεχών κλασμάτων εκμεταλλευόμενοι όμως τη δεκαδική του έκφραση. 3,1707317073... 1 3 0,1707317073... 3 1 0,1707317073... 1 1 3 3 5,857142857142... 5 0,857142857142... 1 1 3 3 1 1 5 5 1 1,1666... 0,857142857142... 1 1 3 3 1 1 5 5 11 0,1666... 1 1 0,1666... 1 3 [3,5,1, 1 5 1 1 6 6] Καταλήγουμε λοιπόν στην ίδια γραφή όπως και προηγουμένως.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 07 3. Τη μέθοδο αυτή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και σε έναν οποιονδήποτε άρρητο αριθμό. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. 1 2 1,414213... 1 0,414213... 1 1 0,414213... 1 1 1 1 1 1 ... 12,414213... 2 0,414213... 2 1 0,414213... Παρατηρείτε πως επαναλαμβάνονται τα κλάσματα. Άρα για την τετραγωνική ρίζα το υ 2 έχουμε τελικά μία μορφή «περιοδικότητας» !!! Τελικά γράφεται με τη μορφή άπειρων συνεχών κλασμάτων ως εξής : 1 2 1 [1,2,2,2,...] 1 2 1 2 2 ... Το 1770 ο Γάλλος μαθηματικός Lagrange απέδειξε ότι ένας πραγματικός αριθμός χαρακτηρίζεται από «περιοδική έκφραση» όταν αυτός γραφεί με τη μορφή συνεχών κλασμάτων αν και μόνο αν ο αριθμός αυτός είναι ένας τετραγωνικός άρρητος αριθμός. Αποτελεί δηλαδή λύση τετραγωνικής πολυωνυμικής εξίσωσης. Για το λόγο αυτό έχουμε και τη γνωστή «περιοδικότητα» του αριθμού φ, θυμόμαστε; 1 φ 1 1 1 1 1 1 ... . Άρα ο αριθμός φ γράφεται με τη μορφή φ [1,1,1,1,...] . Μία άκρως ενδιαφέρουσα γραφή που μας επιτρέπει κατά μία έννοια να ισχυριστούμε ότι ο φ είναι « ο μικρότερος άρρητος από όλους τους άρρητους»!!!
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 08 Ας δούμε μερικούς συνήθεις άρρητους, όπως π.χ. 3 [1,1,2,1,2,1,2,...] , 5 [2, 4, 4, 4, 4,...], 6 [2,2,4,2,4,2,4,...] , 7 [2,1,1,1, 4,1,1,1, 4,...]. Παρατηρήστε ότι το τελευταίο ψηφίο του περιοδικού μέρους είναι πάντα διπλάσιο από το πρώτο ψηφίο της έκφρ ασης του άρρητου με τη μορφή συνεχών κλασμάτων. Για τον log2 τα πράγματα είναι πιο πολύπλοκα τελικά η γραφή του μετά από πολλούς υπολογισμούς είναι log2 [0,3,3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18,1,6,1,2,1,...] . Ο αριθμός π γράφεται π [3,7,15,1,192,1,1,1,2,1,3,1,14,3,...] την γραφή αυτή χρησιμοποίησε το 1882 ο Lindemann για να αποδείξει ότι το π είναι υπερβατικός. Το 1770 ο Joseph Lagrange απέδειξε ότι η καλύτερη ρητή προσέγγιση ενός άρρητου μπορεί να προκύψει «κόβοντας» κατάλληλα τη μορφή των συνεχών κλασμάτων. Για παράδειγμα 1 17 2 [1,2,2,2] 1 1,466 1 122 1 2 2 . Μία γραφή που προσεγγίζει την πραγματική τιμή με απόκλιση 0,0024. Άλλο παράδειγμα 1 22 π [3,7] 3 3,142857 7 7 , μία τιμή που αποκλίνει από την πραγματική κατά 0,0012 . Τέλος, ενδιαφέρον παράδειγμα είναι ο αριθμός e για τον οποίο ισχύει ότι e [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,...] , αναγνωρίζετε μία κανονικότητα στη γραφή του;
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 09 Γεγονότα και βιογραφίες 2000 – 1650 π.Χ . 540 π.Χ. 540 - 500 π.Χ. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρουν προσεγγιστικά την τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 2 . Ο Πυθαγόρας ιδρύει τη σχολή του στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας και αποδεικνύει το Πυθαγόρειο θεώρημα . Πυθαγόρας (569-507 π.Χ.) Γεννήθηκε στη Σάμο και ίδρυσε σχολή στην Κάτω Ιταλία. Δεν άφησε γραπτά κείμενα και ότι γνωρίζουμε για τη ζωή και το έργο του το γνωρίζουμε από τον Αριστοτέλη και τον Πλάτωνα. Πίστευε ότι οι αριθμοί είναι η βάση των πάντων. Θεωρείται ο πατέρας της θεωρίας των αριθμών. Οι Πυθαγόρειοι αποδεικνύουν την ύπαρξη των άρρητων αριθμών
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 10 300 π.Χ. 200 π.Χ φυσικό Ο Ευκλείδης θεμελιώνει αξιωματικά τη Γεωμετρία στα «Στοιχεία» του. Αποδεικνύει ότι οι πρώτοι είναι άπειροι και το ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός. Διατυπώνει το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής και παρουσιάζει τον αλγόριθμο εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών. Ευκλείδης (325 -265 π.Χ.) Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια. Έγραψε τα «Στοιχεία» μία συλλογή 13 βιβλίων που περιλαμβάνουν Γεωμετρία και θεωρία αριθμών. Ο τρόπος συγγραφής του έργου θεωρείται ακόμα και σήμερα ως ο ιδανικός τρόπος παρουσίασης επιστημονικών εργασιών. Ο Ερατοσθένης αναπτύσσει το «κόσκινο» του. Μία μέθοδο εύρεσης όλων των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο φυσικό. Ερατοσθένης (276 -194 π.Χ.) Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Ασχολήθηκε επίσης με τη Γεωγραφία, την Αστρονομία και την ποίηση.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 11 210-290 μ.Χ. 1202 1570 1575 Ο Διόφαντος συγγράφει το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας τα «Αριθμητικά». Διόφαντος (210-290 μ.Χ.) Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια. Στα 13 βιβλία που συνέγραψε με τον τίτλο «Αριθμητικά» περιλαμβάνονται οι αλγεβρικές γνώσεις της εποχής. Ασχολήθηκε με τις λύσεις εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές που προς τιμήν του λέγονται Διοφαντικές εξισώσεις. Ο Fibonacci ορίζει την περίφημη ακολουθία του. Fibonacci Leonardo de Pisa (1175- 1250) Ιταλός μαθηματικός. Ο σπουδαιότερος μαθηματικός του 13ο υ αιώνα. Εισήγαγε στην Ευρώπη το Ινδο -αραβικό σύστημα γραφής των αριθμών. Ο Bombelli μεταφράζει στα Λατινικά τα «αριθμητικά» του Διόφαντου. Γίνεται η πρώτη έκδοση των «Αριθμητικών».
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 12 1637 1640 1736 1737 Ο Fermat σημειώνει στα περιθώρια του αντιτύπου των «Αριθμητικών» του το περίφημο τελευταίο θεώρημα του. Ο Fermat διατυπώνει το «μικρό» θεώρημα του. Pierre de Fermat (1601-1665 Δικηγόρος, ερασιτέχνης μαθηματικός. Πολλοί τον ονομάζουν ως τον θεμελιωτή της μοντέρνας θεωρίας των αριθμών. Διάσημος για τις εικασίες του και τα θεωρήματά του που κατά τη συνήθεια του απλώς ανακοίνωνε τις ανακαλύψεις του προκαλώντας τους άλλους μαθηματικο ύς να τις αποδείξουν. O Euler αποδεικνύει το μικρό θεώρημα του Fermat. O Euler δημοσιεύει τον διάσημο παραγωγικό τύπο του, θεμελιώνοντας τη σύγχρονη αναλυτική θεωρία των αριθμών. Leonhard Euler (1707-1783) Ελβετός πολυγραφότατος μαθηματικός και επιστήμονας. Διατύπωσε πρωτότυπες ιδέες σε όλες τις περιοχές της ανάλυσης. Η εξίσωση του eπ i +1=0 θεωρείται ο ομορφότερος τύπος των μαθηματικών.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 13 1742 1750 1770 1785 O Goldbach σε ένα γράμμα του προς τον Euler διατυπώνει την εικασία του «κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων» Η εικασία αυτή δεν έχει αποδειχθεί μέχρι της μέρες μας. Ο Euler χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απείρου καθόδου του Fermat απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=3. Ο Lagrange απέδειξε ότι η καλύτερη ρητή προσέγγιση ενός άρρητου αριθμού επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τη γραφή των συνεχών κλασμάτων. Επίσης απέδειξε ότι οι τετραγωνικοί άρρητοι παρουσιάζουν μία μορφή περιοδικότητας όταν γράφονται με τη μορφή συνεχών κλασμάτων. Joseph-Louis Lagrange (1736- 1813) Γαλλο – ιταλός μαθηματικός, μαθητής του Euler. Διατύπωσε εικασίες και θεωρήματα στη θεωρία των αριθμών και στη θεωρία των συνεχών κλασμάτων. 8 χρονών ο Gauss αποδεικνύει τον τύπο του αθροίσματος των ν πρώτων φυσικών αριθμών
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 14 1792 1801 1820 1825 Ο Gauss και ο Legendre διατυπώνουν το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Ο πρίγκιπας των μαθηματικών. Απέδειξε πρώτος ότι το σύνολο των μιγαδικών είναι κλειστό. Ένα μεγάλο πλήθος προβλημάτων εικασιών και θεωρημάτων οφείλονται στις εργασίες του μεγάλου αυτού Γερμανού μαθηματικού. Ο Gauss παρουσιάζει τη θεωρία της modular αριθμητικής. Andrien-Marie Legendre (1752- 1833) Γάλλος μαθηματικός, με μεγάλη συνεισφορά στη θεωρία των αριθμών, στατιστική, άλγεβρα και ανάλυση. Απόδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=5. Το 1796 διατύπωσε το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Η Germain κάνει σπουδαίες προόδους στο τελευταίο θεώρημα του Fermat . Ο Dirichlet και ο Legendre χρησιμοποιώντας τις ιδέες της Germain αποδεικνύουν το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=5.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 15 1839 1842 1843 1844 Ο Gabriel Lame (1795-1870) απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=7. Ισχυρίστηκε ότι απόδειξε γενικά το θεώρημα, αλλά έκανε λάθος. Johann Dirichlet (1805-1859) Γερμανός μαθηματικός. Δίδαξε στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Μεγάλη η συνεισφορά του στη μελέτη των πρώτων αριθμών και στη ρητή προσέγγιση των πραγματικών αριθμών. Ο Dirichlet αποδεικνύει το θεώρημα του σχετικά με τη ρητή προσέγγιση των πραγματικών αριθμών. Η εργασία αυτή (μαζί με την αντίστοιχη του Liouville’s) θεμελιώνει μία νέα περιοχή έρευνας στη θεωρία των αριθμών αυτή της Διοφαντικής προσέγγισης. Ο Binet παρουσιάζει τον τύπο που αποδίδει το γενικό όρο της ακολουθίας Fibonacci. Ο Liouville δημιουργεί τον πρώτο υπερβατικό αριθμό. Επίσης παρουσιάζει το θεώρημα σχετικά με το μέγεθος του παρονομαστή του ρητού που προσεγγίζει έναν αλγεβρικό αριθμό.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 16 1847 1850 O Kummer κατορθώνει να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat για όλους τους «ομαλούς» πρώτους αριθμούς. Joseph Liouville (1809-1882) Γάλλος μαθηματικός. Είναι γνωστός για την απόδειξη που παρουσίασε το 1844 για την ύπαρξη των υπερβατικών αριθμών. Κατασκεύασε παραδείγματα υπερβατικών αριθμών και περιέγραψε μία ειδική κλάση υπερβατικών που ονομάζονται «αριθμοί του Liouville». Ernst Kummer (1810-1893) Γερμανός μαθηματικός. Διαπίστωσε το λάθος της « απόδειξης» του Lame. Ανέπτυξε την έννοια των ιδανικών αριθμών εξερευνώντας τη μονοσήμαντη παραγοντοποίηση σε διάφορους αλγεβρικούς δακτυλίους που κατασκεύασε. O Ρώσος μαθηματικός Chebyshev Pafnuty (1821-1894) σημείωσε μεγάλη πρόοδο για την απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων. αριθμών.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 17 1859 1873 1882 1883 Ο Riemann δημοσιεύει τη διπλωματική εργασία του για το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Στην εργασία αυτή αναφέρεται η υπόθεση του, μία εικασία που μέχρι σήμερα δεν έχει αποδειχθεί. Βernhard Riemann (1826-1866) Σημαντική μορφή με προσφορά στους τομείς της ανάλυσης, γεωμετρίας και τοπολογίας. Καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Gottingen συνεχιστής του έργου του Gauss. Η υπόθεση του για την κατανομή των πρώτων όπως την παρουσίασε στη διδακτορική του διατριβή, είναι ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα των μαθηματικών, γνωστή ως η «υπόθεση του Riemann». Ο Hermite αποδεικνύει ότι ο αριθμός e είναι υπερβατικός. Ο Lindemann αποδεικνύει ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός. Ο Γάλλος μαθηματικός Edouard Lucas (1842-1891) παρουσιάζει την κατασκευή του «πύργοι του Ανόι» . Στον τρόπο επίλυσης του πάζλ εμπλέκει αναδρομικές ακολουθίες.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 18 1884 Georg Cantor 1896 1900 Ο Kronecker αποδεικνύει ότι το δεκαδικό μέρος του γινομέν ου ενός ακεραίου επί έναν άρρητο διαχέεται στο διάστημα [0,1]. Leopold Kronecker (1823-1891) Γερμανός μαθηματικός με μεγάλη συνεισφορά στους τομείς της θεωρίας των αριθμών, της άλγεβρας και της ανάλυσης. Πίστευε ότι η αριθμητική και η ανάλυση θα μπορούσε να θεμελιωθεί στους ακέραιους αριθμούς. Επηρεάστηκε και προώθησε τις ιδέες του άλλου σπουδαίου σύγχρονού του Γερμανού μαθηματικού Georg Cantor (1845-1918) σχετικά με το άπειρο και τον πληθικό αριθμό συνόλων. Oι Hadamard και Poussin ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο αποδεικνύουν το θεώρημα των πρώτων αριθμών. J a c q u e s H a d a m a r d V a l l e e P o u s s i n Ο Hilbert παρουσιάζει στο 2 ο Παγκόσμιο συνέδριο στο Παρίσι 23 προβλήματα, προκλήσεις, για την ανάπτυξη των μαθηματικών του 20 ο υ αιώνα.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 19 1921 1933 1934 Ο Βρετανός μαθηματικός Louis Mordel (1888-1972) ανακαλύπτει αλγεβρικές δομές στα ρητά σημεία των ελλειπτικών καμπυλών. David Hilbert (1862-1943) Γεννημένος στη Ρωσία ο Γερμανός αυτός σπουδαίος μαθηματικός δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Gottingen συνεχίζοντας την παράδοση των Gauss και Riemann. Η ομιλία του στο 2 ο Παγκόσμιο συνέδριο μαθηματικών του Παρισιού θεωρείται από τις σπουδαιότερες ομιλίες που έ χουν γίνει ποτέ. Υποστηρικτής των απόψεων του Cantor, παρουσίασε την υπόθεση του συνεχούς ως το πρώτο από τα 23 περίφημα προβλήματα που πρέπει η μαθηματική επιστήμη να λύσει κατά τον 20 ο αιώνα. O Νοτιο-αφρικανός μαθηματικός Stanley Skewes (1899-1988) εργαζόμενος πάνω στην κατανομή των πρώτων περιγράφει τον μεγαλύτερο αριθμό που έχει εμπλακεί σε απόδειξη μέχρι τώρα. Ο Ρώσος μαθηματικός Aleksandr Gelfond και ο Γερμανός συνάδελφός του Theodor Schneider ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο αποδεικνύ ουν ένα από τα 23 προβλήματα του Hilbert « ο αριθμός αβ με τον α αλγεβρικό και τον β άρρητο είναι υπερβατικός».
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 20 1949 1962 1970 1977 Ο Ούγγρος μαθηματικός Paul Erdos (1913-1996) και ο Νορβηγός Atle Selberg (1917-2007) αποδεικνύουν χωριστά ο ένας από τον άλλο το θεώρημα των πρώτων αριθμών χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις τεχνικές. A t l e S e l b e r g Ο Paul Erdos αποδεικνύει ότι κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο αριθμών Liouville. P a u l E r d o sΟ Ρώσος μαθηματικός Matiyasevich αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει ένας γενικός αλγόριθμος όπου με πεπερασμένο αριθμό βημάτων μπορεί να καταδείξει αν μία Διοφαντική εξίσωση έχει λύση ή όχι. Ένα από τα περίφημα προβλήματα του Hilbert βρίσκει τη λύση του. Οι Rivest, Shamir και Adleman δημιουργούν το δημόσιο κλειδί κρυπτογράφησης, γνωστό ως σύστημα RSA. O Barry Mazur (1937- ) καθηγητής του Πρίστον δημοσιεύει τα αποτελέσματα των ερευνών του σχετικά με την αλγεβρική δομή των ρητών σημείων των ελλειπτικών καμπυλών.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 21 1983 1993 Ο Γερμανός μαθηματικός Gert Faltings αποδεικνύει την εικασία του Mordell σχετικά με το πλήθος των ρητών σημείων καμπυλών που αποτελούν τομές στερεών με περισσότερες από μία οπές. Το 1986 κατακτά το βραβείο Fields. Ο Andrew Wiles (1953- ) Βρετανός μαθηματικός του πανεπιστημίου του Πρίνστον μετά από 10 χρόνων εργασία, ανακοινώνει ότι έχει αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Δυστυχώς διαπιστώνεται λάθος στην απόδειξη. Το 1994 συμπληρώνει την απόδειξη και την παρουσιάζει ολοκληρωμένη.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 22 Το τέλος ενός βιβλίου … αφορμή για μια καινούργια αρχή !! Όταν τελειώνει ένα βιβλίο πάντα μένει μια αίσθηση ανικανοποίητου να πλανιέται. Ίσως διότι κάποια σημεία δεν έγιναν κατανοητά ή κάποια άλλα τα περάσαμε γρήγορα. Ότι και αν έχει συμβεί, ένα βιβλίο έχει πολλές αναγνώσεις. Πρέπει να διαβαστεί ξανά και ξανά. Να σημειωθεί, να τσακισθεί, να γ ίνει δικό μας. Ποιος ξέρει μπορεί σε κάποιο περιθώριο να γράψουμε μια υποψία ή μια απορία!!! Ξεκινώντας τις ιστορίες της θεωρίας των αριθμών υποσχεθήκαμε να πείσουμε μέχρι το τέλος του βιβλίου η πρόταση : «Κάθε αριθμός παρουσιάζει ε νδιαφέρον» να μην μας ξενίζει και τόσο… Θα κάνω μία τελευταία προσπάθεια για να σας πείσω. Παρακολουθήστε τις παρακάτω ιστορίες. Χρόνος, περίπου 1780. Ο μεγάλος μαθηματικός Euler, εμπνεόμενος (;) από το τελευταίο θεώρημα του Fermat ισχυρίζεται ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 4 4 4 4 x y z w . Κανείς δεν μπόρεσε να επιβεβαιώσει ή να διαψεύσει την εικασία αυτή. Έπρεπε να φθάσουμε το 1988 όπου ο Noam Elkies του Πανεπιστημίου του Χάρβαντ έδωσε στη δημοσιότητα μία ισότητα την : 4 4 4 4 2.682.440 15.365.639 18.760.760 20.615.673 . Ακόμα και ο Euler μπορεί να κάνει λάθος. * 1 1 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 23 Χρόνος 1920. Τόπος, αναρρωτήριο Πάτνεϊ του Λονδίνου. Πρωταγωνιστές ο Άγγλος μαθηματικός G.H.Hardy καθηγητής του Κέμπριτζ και ο Ινδός μαθηματικός Ramanujan Srininasa . Ο Χάρντι επισκέπτεται τον Ραμανουτζάν που ήταν άρρωστος. Για να πει κάτι παρουσίασε τον αριθμό του ταξί που τον είχε φέρει στο αναρρωτήριο. Είπε ότι ο αριθμός ήταν ένας μάλλον βαρετός αριθμός, το 1729. Τότε ο Ραμανουτζάν ασυγκράτητος ακόμα και στο κρεβάτι της αρρώστιας, του αντέτεινε ότι είναι ένα ς πολύ ενδιαφέρον αριθμός. Ανέφερε ότι είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφεί με δύο διαφορετικούς τρόπους ως άθροισμα δύο κύβων. Πράγματι 3 3 3 3 1729 1 12 10 9 !!! * 1 2 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) Υπάρχουν δύο είδη τζιτζικιών τα Magicicada septendecim και Maggicicada tredecim που περνούν μια πολύ περίεργη ζωή. Ο κύκλος της ζωής τους είναι 17 και 13 χρόνια αντίστοιχα. Όλη τους τη ζωή τη περνούν μέσα στο έδαφος και τρέφονται από τους χυμούς των ριζών των δένδρων. Μέσα σε μία νύχτα συμβαίνει κάτι το καταπληκτικό, εκατομμύρια τζιτζίκια σηκώνονται από το έδαφος και καταλαμβάνουν μαζικά το δάσος. Τραγουδούν, τρώνε, ζευγαρώνουν, γεννούν τα αυγά τους και μετά από έξι εβδομάδες πεθαίνουν. Το δάσος ησυχάζει για τα επόμενα 17 χρόνια. Γιατί όμως τα είδη αυτά έχουν εξελίξει το μήκος της ζωής έτσι ώστε να είναι πρώτοι αριθμοί; Μία εξήγηση είναι ότι αφού έχουν κύκλο ζωής πρώτο αριθμό, είναι πολύ σπάνιο να αναδυθούν και να διεκδικήσουν ταυτόχρονα το δάσος. Κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί κάθε 17 13 221 χρόνια. Μία άλλη εξήγηση είναι ότι στο περιβάλλον που αναπτύσσονται τα έντομα αυτά, αναπτύσσεται και ένα θανατηφόρο για αυτά μανιτάρι. Οι κύκλοι των 17 και 13 χρόνων είναι τέτοιοι ώστε τα τζιτζίκια σπάνια θα αναδυθούν την ίδια εποχή με το μανιτάρι. * 1 3 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) Οι πρώτοι αριθμοί δεν είναι μία αφηρημένη έννοια αλλά το κλειδί για την επιβίωση των εντόμων αυτών !
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 24 Υπάρχουν πολλές παρόμοιες τέτοιες ενδιαφέρουσες (;) ιστορίες για τους αριθμούς. Σειρά σας είναι να ψάξετε, να τις βρείτε, αλλά και να ανακαλύψετε σχέσεις που κανείς άλλος μέχρι τώρα δεν έχει βρει. Ίσως τα πιο ενδιαφέροντα βιβλία είναι αυτά που τελικά αφήνουν μέσα μας έναν σπόρο που ενδέχεται από κάποιον ευτυχή συνδυασμό τυχαιότητας και ωρίμανσης να ενεργοποιηθεί στο μέλλον. Αν έριξα ένα σπόρο σε κάποιους από σας, αυτό θα φανεί … Δε λέω ότι όλοι θα γίνουμε σαν τον ιδιοφυή Ινδό μαθηματικό αλλά μπορούμε πάντα : να αναρωτιόμαστε, να συζητάμε, να μας απασχολεί το γιατί συμβαίνει κάτι και όχι απλώς να το δεχόμαστε, να εργαζόμαστε με διερευνητική διάθεση, με όρεξη και κέφι !!!
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 25 Βιβλιογραφία – Παραπομπές Το βιβλίο «Ιστορίες από τη θεωρία των αριθμών » είναι μία ελεύθερη απόδοση του βιβλίου “ An Introduction to Number Theory “ εκδόσεις “The Teaching Company” . Ο συγγραφέας του βιβλίου είναι ο Edward B. Burger, καθηγητής στο Williams College . Σε διάφορα σημεία του βιβλίου υπάρχουν παραπομπές με την ένδειξη * 1 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) . Οι ενδείξεις αυτές αναφέρονται σε αποσπάσματα από διάφορα βιβλία ή μαθηματικές εφαρμογές. Συγκεκριμένα : Αριθμός παραπομπής Σελίδα κειμένου Βιβλίο-Applet αναφοράς - σελίδα 1. 33 Υπόθεση Riemann του John Derbyshire , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδες (146-149) 2. 36 Applet “the prime number theorem” από το Wolfram demonstrations project. 3. 38 Applet “Goldbach conjecture” από το Wolfram demonstrations project 4. 48 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 393 5. 50 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 403 6. 51 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 410 -411 7. 54 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 421 8. 55 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 422-423 9. 100 Applet “continues fraction expression” από το center for technology and teacher education του university of Virginia 10. 101 Applet “continues fraction expression” από το center for technology and teacher education
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 26 του university of Virginia 11. 118 Το τελευταίο θεώρημα του Fermat του Simon Singh, εκδόσεις Τραυλός . Σελίδα 211 12. 119 Η μουσική των πρώτων αριθμών του Marcus Du Saudoy, Εκδόσεις τραυλός . Σελίδα 50 13. 119 Η μουσική των πρώτων αριθμών του Marcus Du Saudoy, Εκδόσεις τραυλός . Σελίδα 227 Επίσης για τα σχήματα χρησιμοποιήθηκε το μαθηματικό λογισμικό Geogebra 3.2.40 Οι φωτογραφίες των Μαθηματικών στο τελευταίο μέρος του βιβλίου « Γεγονότα και Βιογραφίες» αναζητήθηκαν από διάφορες πηγές στο διαδίκτυο.
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 27 Περιεχόμενα Εισαγωγή στη θεωρία των αριθμών Σελίδα : 5 Οι φυσικοί αριθμοί Σελίδα : 9 Η αριθμητική πρόοδος Σελίδα : 11 Η γεωμετρική πρόοδος Σελίδα : 15 Αναδρομικές ακολουθίες Σελίδα : 20 Γενικός τύπος ακολουθίας Σελίδα : 25 Η κλασική θεωρία των πρώτων αριθμών Σελίδα : 30 Ο τύπος του Euler Σελίδα : 35 Το θεώρημα των πρώτων αριθμών Σελίδα : 38 Ο αλγόριθμος της διαίρεσης και η modular αριθμητική Σελίδα : 44 Κρυπτογραφία και μαθηματικά Σελίδα : 49 Τι σύστημα R.S.A. Σελίδα : 56 Οι Διοφαντικές εξισώσεις Σελίδα : 60 Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Σελίδα : 63 Η παραγοντοποίηση και η αλγεβρική θεωρία αριθμών Σελίδα : 68 Πυθαγόρειες τριάδες Σελίδα : 74 Η αναλυτική γεωμετρία Σελίδα : 78 Οι ελλειπτικές καμπύλες Σελίδα : 82
Ι Σ Τ Ο ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 28 Οι άρρητοι αριθμοί Σελίδα : 87 Οι ακέραιοι και οι υπερβατικοί αριθμοί Σελίδα : 93 Η Διοφαντική προσέγγιση Σελίδα : 98 Γράφοντας τους πραγματικούς ως συνεχή κλάσματα Σελίδα : 103 Στο πέρασμα του χρόνου : γεγονότα και βιογραφίες Σελίδα : 109 Επίλογος Σελίδα : 122 Παραπομπές-Βιβλιογραφία Σελίδα : 125 Περιεχόμενα Σελίδα : 127

More Related Content

PDF
Μαθηματικές ιστορίες
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
άλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
byChristos Loizos
 
PDF
ελληνικη γραμματικη
byΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ
 
DOCX
Φύλλο εργασίας δομημένης μορφής ,Αρχαία ελληνικά Α Γυμνασίου , Ενότητα 3
bymvourtsian
 
PDF
Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών - Γ΄ τάξη, 5η Ενότητα (κεφ. 27-32)
byΗλιάδης Ηλίας
 
DOCX
ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ -ΕΝΟΤΗΤΑ 2 :ΓΛΩΣΣΑ- ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ
bysomakris
 
PPT
Αξιολόγηση επιχειρημάτων
byorfeas70
 
PDF
Αφήγηση
byAngeliki Chroni
 
Μαθηματικές ιστορίες
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
άλγεβρα α΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
byChristos Loizos
 
ελληνικη γραμματικη
byΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ
 
Φύλλο εργασίας δομημένης μορφής ,Αρχαία ελληνικά Α Γυμνασίου , Ενότητα 3
bymvourtsian
 
Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών - Γ΄ τάξη, 5η Ενότητα (κεφ. 27-32)
byΗλιάδης Ηλίας
 
ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ -ΕΝΟΤΗΤΑ 2 :ΓΛΩΣΣΑ- ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ
bysomakris
 
Αξιολόγηση επιχειρημάτων
byorfeas70
 
Αφήγηση
byAngeliki Chroni
 

What's hot

PDF
Αριστοτέλης: Εισαγωγή, Κριτήρια αξιολόγησης Κ.Ε.Ε.
byThanos Stavropoulos
 
DOC
ΔΕΝΟΜΑΙ.doc
byssuserf8f0ce
 
DOCX
Θουκυδίδου, Περικλέους Επιτάφιος, κεφ. 37
byΣΟΦΙΑ ΦΕΛΛΑΧΙΔΟΥ
 
PDF
Αριστοτέλης, Ηθικά Νικομάχεια
bygina zaza
 
PDF
Γλώσσα Ε΄. Ενότητα 4. Κεφάλαιο 2: ΄΄Ο Τεντέν και ο Μιλού΄΄
byΧρήστος Χαρμπής
 
DOC
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑ
bydrallis
 
DOC
ΣΚΕΤΣ 1 ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΩΠΟ.doc
bySavvas Ch
 
PDF
Aρχές Φιλοσοφίας Β' Λυκείου - Τράπεζα Θεμάτων: 3ο κεφάλαιο
byThanos Stavropoulos
 
DOCX
ΝΕΑΝΙΚΗ ΑΜΦΙΣΒΗΤΗΣΗ-ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
byRia Papamanoli
 
PDF
Αριστοτέλης, Ηθικά Νικομάχεια, ασκήσεις
bygina zaza
 
PDF
14. Οι πεδιάδες της Ελλάδας
byPetros Michailidis
 
PDF
Fysiki a gymnasiou_diagonismata-triminou_gymnasion_kykladon
byargirisbakalis
 
PPSX
Aρχές φιλοσοφίας 1.1, 1.2
byAkis Ampelas
 
PDF
Μαθηματικά Δ΄ επαναληπτικό 7ης ενότητας
byΧρήστος Χαρμπής
 
PPSX
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΦΥΣΗ
by1lykspartis
 
PDF
ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ- ΣΤ΄ΤΑΞΗΣ
bymanithe72
 
DOCX
ιι. οι ποικιλίες της γλώσσας
byEleni Kots
 
PPT
Η ΑΝΑΛΗΨΗ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥ-ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ
byMaria Froudaraki
 
PDF
. Δροσινης: θαλασσιν τραγούδια-φυλλο-εργασιασ
byΚατερίνα Προκοπίου
 
PPTX
παρουσίαση 1
bykostasdalas
 
Αριστοτέλης: Εισαγωγή, Κριτήρια αξιολόγησης Κ.Ε.Ε.
byThanos Stavropoulos
 
ΔΕΝΟΜΑΙ.doc
byssuserf8f0ce
 
Θουκυδίδου, Περικλέους Επιτάφιος, κεφ. 37
byΣΟΦΙΑ ΦΕΛΛΑΧΙΔΟΥ
 
Αριστοτέλης, Ηθικά Νικομάχεια
bygina zaza
 
Γλώσσα Ε΄. Ενότητα 4. Κεφάλαιο 2: ΄΄Ο Τεντέν και ο Μιλού΄΄
byΧρήστος Χαρμπής
 
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑ
bydrallis
 
ΣΚΕΤΣ 1 ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΩΠΟ.doc
bySavvas Ch
 
Aρχές Φιλοσοφίας Β' Λυκείου - Τράπεζα Θεμάτων: 3ο κεφάλαιο
byThanos Stavropoulos
 
ΝΕΑΝΙΚΗ ΑΜΦΙΣΒΗΤΗΣΗ-ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ
byRia Papamanoli
 
Αριστοτέλης, Ηθικά Νικομάχεια, ασκήσεις
bygina zaza
 
14. Οι πεδιάδες της Ελλάδας
byPetros Michailidis
 
Fysiki a gymnasiou_diagonismata-triminou_gymnasion_kykladon
byargirisbakalis
 
Aρχές φιλοσοφίας 1.1, 1.2
byAkis Ampelas
 
Μαθηματικά Δ΄ επαναληπτικό 7ης ενότητας
byΧρήστος Χαρμπής
 
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΦΥΣΗ
by1lykspartis
 
ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ- ΣΤ΄ΤΑΞΗΣ
bymanithe72
 
ιι. οι ποικιλίες της γλώσσας
byEleni Kots
 
Η ΑΝΑΛΗΨΗ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΥ-ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ
byMaria Froudaraki
 
. Δροσινης: θαλασσιν τραγούδια-φυλλο-εργασιασ
byΚατερίνα Προκοπίου
 
παρουσίαση 1
bykostasdalas
 

Viewers also liked

PDF
Φράκταλς
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
How much does an inaccurate dental shade cost?
byAndy Klein
 
PPTX
CAREER OPTION after B.Sc.Ag by suresh kumar panda
bysuresh kumar panda
 
PDF
Draw to win
byDennis Hambeukers
 
PPTX
Lathmar holi
bySareez
 
PDF
James A. Harrold CV
byJames Harrold
 
DOCX
Linkedin
byImaan Hazir
 
PPT
ejemplo ANA Y SARA
byyolandagilmarco84
 
PDF
gazettenet_HMBnetwork
byPatrick Hoff
 
PDF
TeachLulu_FullPackage
byCarley Muller
 
PPTX
Runaway Girl Community PRC (2)
byRegina Alesso
 
PDF
Level 3 Self assesment Tax Returns
byVanessa King
 
PPTX
Spitz,Gina_EvaluatingTeachingandLearning_Nov2014
byGina Spitz, Ph.D.
 
DOC
Updated CV Louis Smit
byLouis Smit
 
PPSX
InterFulfillment - The Canadian eCommerce solution built around your business
byAdayra Lg
 
PPTX
Film Funding Research
bymedcalfbro
 
PPT
Subir un archivo
byceliyoxer
 
PPTX
Km tatadocomo
byGunjan Tiwari
 
ODP
Stunning Shipping Container Homes
bytheMinimalistMan
 
TXT
Combo fix
byFERNANDO FILINTO DA SILVA
 
Φράκταλς
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
How much does an inaccurate dental shade cost?
byAndy Klein
 
CAREER OPTION after B.Sc.Ag by suresh kumar panda
bysuresh kumar panda
 
Draw to win
byDennis Hambeukers
 
Lathmar holi
bySareez
 
James A. Harrold CV
byJames Harrold
 
Linkedin
byImaan Hazir
 
ejemplo ANA Y SARA
byyolandagilmarco84
 
gazettenet_HMBnetwork
byPatrick Hoff
 
TeachLulu_FullPackage
byCarley Muller
 
Runaway Girl Community PRC (2)
byRegina Alesso
 
Level 3 Self assesment Tax Returns
byVanessa King
 
Spitz,Gina_EvaluatingTeachingandLearning_Nov2014
byGina Spitz, Ph.D.
 
Updated CV Louis Smit
byLouis Smit
 
InterFulfillment - The Canadian eCommerce solution built around your business
byAdayra Lg
 
Film Funding Research
bymedcalfbro
 
Subir un archivo
byceliyoxer
 
Km tatadocomo
byGunjan Tiwari
 
Stunning Shipping Container Homes
bytheMinimalistMan
 
Combo fix
byFERNANDO FILINTO DA SILVA
 

Similar to Θεωρία αριθμών

PDF
αλγεβρα α λυκειου
bybagg1
 
PDF
Η ιστορία των λογαρίθμων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
α γ μαθ 2015 16
byChristos Loizos
 
PDF
Calculus i
byChristos Loizos
 
PDF
Η ιστορία των προβλημάτων στα μαθηματικά,Γ.Ν.Γκρίτζαλη
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
Θεωρία Γυμνασίου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Typologio mathimatikwn
byChristos Loizos
 
PDF
Mathimatika thetikou pros_b_meros
byChristos Loizos
 
PDF
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPS
Kg.logarithmi
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PPT
ιστόρια των μαθηματικών
bykkll6465
 
PDF
Typologio 2003
byChristos Loizos
 
PDF
Number theory30sep
byChristos Loizos
 
PDF
σχολικές σημειώσεις άλγεβρας α΄λυκείου
bykeratea1
 
PDF
Συνεχή Κλάσματα και Ανθυφαίρεση- Ανταναίρεση.pdf
byΓιάννης Πλατάρος
 
PPT
τι υπάρχει πίσω από την κουρτίνα;
byjpapoglou
 
PDF
Neo a lykeioy_algebra
byLia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
PDF
Protikrisi 1
byChristos Loizos
 
PDF
Ektos ulis 2016 17
byChristos Loizos
 
PDF
Lec3 number systems_number_theory
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
αλγεβρα α λυκειου
bybagg1
 
Η ιστορία των λογαρίθμων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
α γ μαθ 2015 16
byChristos Loizos
 
Calculus i
byChristos Loizos
 
Η ιστορία των προβλημάτων στα μαθηματικά,Γ.Ν.Γκρίτζαλη
byΘανάσης Δρούγας
 
Θεωρία Γυμνασίου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Typologio mathimatikwn
byChristos Loizos
 
Mathimatika thetikou pros_b_meros
byChristos Loizos
 
Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Kg.logarithmi
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
ιστόρια των μαθηματικών
bykkll6465
 
Typologio 2003
byChristos Loizos
 
Number theory30sep
byChristos Loizos
 
σχολικές σημειώσεις άλγεβρας α΄λυκείου
bykeratea1
 
Συνεχή Κλάσματα και Ανθυφαίρεση- Ανταναίρεση.pdf
byΓιάννης Πλατάρος
 
τι υπάρχει πίσω από την κουρτίνα;
byjpapoglou
 
Neo a lykeioy_algebra
byLia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
Protikrisi 1
byChristos Loizos
 
Ektos ulis 2016 17
byChristos Loizos
 
Lec3 number systems_number_theory
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 

More from Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)

PDF
Abra mathabra
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Επίλυση εξισώσεων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Συν - μετρία
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Abra Μathabra
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Sangaku net
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
MatHistory
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Abra mathabra
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Επίλυση εξισώσεων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Συν - μετρία
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Abra Μathabra
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Sangaku net
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
MatHistory
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 

Θεωρία αριθμών

  • 1.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 1 ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επιμέλεια : Γ. Λαγουδάκος Μελίσσια 2011
  • 2.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 2
  • 3.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 3 Οι “Ιστορίες από τη θεωρία των αριθμών” είναι μία εργασία που βασίζεται στο μεγαλύτερο μέρος της στο βιβλίο “An introduction to number theory” του “Edward B. Burger”. Ο χωρισμός των 21 ενοτήτων ακολουθεί το χωρισμό του πρωτοτύπου. Σε κάποια όμως κεφάλαια – ιστορίες έχουν ληφθεί υπόψη και στοιχεία από τα βιβλία : “ Η υπόθεση του Rieamann” του John Derbyshire, εκδόσεις Τραυλός ,(Ιστορία 7η ). “Το τελευταίο θεώρημα του Fermat” του Simon Singh, εκδόσεις Τραυλός , (Ιστορία 13η ). “Κώδικες και μυστικά “ του Simon Singh, εκδόσεις Τραυλός (Ιστορίες 10η – 11η ). “ Η μουσική των πρώτων αριθμών ” του Marcus Du Saudoy, εκδόσεις Τραυλός (Επίλογος) Στο τέλος της εργασίας περιλαμβάνεται το κεφάλαιο «γεγονότα και βιογραφίες» όπου ο αναγνώστης μπορεί σύντομα μέσα σε 13 σελίδες να περιδιαβεί την ιστορία της θεωρίας των αριθμών από τους Βαβυλώνιους μέχρι την α πόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat το 1994. Διαβάζοντας, το καλοκαίρι του 2011 , το βιβλίο του Burger θεώρησα ότι θα είναι ενδιαφέρον να μοιραστώ με τους μαθητές μου όλα όσα καινούργια έμαθα για την ιστορία της θεωρίας των αριθμών. Όποια λάθη τυχόν υπάρχουν καλό είναι να σημειωθούν ώστε να γίνει και η αναγκαία διόρθωση. Καλό διάβασμα … Γεώργιος Λαγουδάκος (καλοκαίρι 2011)
  • 4.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 4
  • 5.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 5 Εισαγωγή στη Θεωρία των Αριθμών Α. Τί είναι η θεωρία των αριθμών; Η περιοχή των Μαθηματικών που ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και τις ιδιότητες τους λέγεται «Θεωρία Αριθμών¨. Αποτελείται από δύο κλάδους : Την αναλυτική θεωρία των αριθμών που εστιάζει στη μελέτη των πρώτων αριθμών. 1. Πρώτοι (primes) είναι εκείνοι οι φυσικοί που είναι μεγαλύτεροι του 1 και δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο δύο μικρότερων φυσικών. 2. Οι πρώτοι από τους πρώτους αριθμούς είναι οι 2,3,5,7,11,13,17,... 3. Το πρώτο ερώτημα που τίθεται είναι « Πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί;». 4. Το 1896 διατυπώθηκε η εικασία « το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του φυσικού ν είναι περίπου ίσο με ν lnν .» 5. Ο σπουδαίος Γερμανός μαθηματικός Riemann στην προσπάθεια του να αποδείξει την πρόταση αυτή ανέπτυξε μία εικασία. Η εικασία αυτή είναι γνωστή ως Υπόθεση Riemann. Αποτελεί ένα άλυτο πρόβλημα στη θεωρία των αριθμών το εάν η υπόθεση αυτή είναι αληθής ή όχι. 6. Η θεωρία των πρώτων αριθμών λέγεται «Αναλυτική θεωρία αριθμών» διότι εμπλέκει τεχνικές μαθηματικής ανάλυσης.
  • 6.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 6 Την αλγεβρική θεωρία των αριθμών που εστιάζει στην αριθμητική 1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία εξίσωση με ακέραιους συντελεστές στην οποία εμφαν ίζονται προσθέσεις – αφαιρέσεις και πολλαπλασιασμοί. Μπορούμε πάντα να βρούμε φυσικούς αριθμούς ως λύσεις της; Τέτοιες εξισώσεις λέγονται Διοφαντικές εξισώσεις . 2. Για παράδειγμα, αν σκεφτούμε την εξίσωση που προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα 2 2 2 x y z , μία λύση της είναι x 3 , y 4 και z 5 . Υπάρχουν άλλες λύσεις και πόσες είναι; 3. Το 1637 ο P. de Fermat (1601-1665) διατύπωσε την εικασία ότι η αντίστοιχη Διοφαντική εξίσωση n n n x y z με n 3 δεν έχει λύση στο σύνολο των Φυσικών αριθμών. Για περίπου 350 χρόνια η πρόταση αυτή ήταν ένα από τα «επικηρυγμένα» προβλήματα των Μαθηματικών, μέχρι το 1994 όπου … αυτό θα το δούμε στη συνέχεια. 4. Η μελέτη τέτοιων εξισώσεων μάς επιτρέπει να μελετήσουμε σε βάθος τους φυσικούς και τη σχέση τους με τους πρώτους αριθμούς. 5. Επειδή αυτή η περιοχή της θεωρίας των αριθμών ασχολείται με τη λύση εξισώσεων, λέγεται «Αλγεβρική θεωρία αριθμών». Οι δύο κλάδοι προφανώς συνδέονται μεταξύ τους στη μελέτη των πρώτων αριθμ ών και τις ιδιότητες τους.
  • 7.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 7 Β. Στις επόμενες ιστορίες θα ασχοληθούμε με : Τη στοιχειώδη θεωρία των αριθμών 1. Θα ξεκινήσουμε ανακαλύπτοντας μερικές ενδιαφέρουσες σχέσεις ανάμεσα στους φυσικούς αριθμούς. Οι σχέσεις αυτές πέραν του γεγονότος ότι από μόνες τους προκαλούν, συγχρόνως είναι εργαλεία για την βαθύτερη μελέτη των αριθμών. 2. Οι σχέσεις αυτές θα μας δώσουν την δυνατότητα να εικάσουμε και τέλος να γενικεύσουμε τις ιδέες μας αποδεικνύοντάς τις. Τη αναλυτική θεωρία των αριθμών , όπου θα παρουσιάσουμε τ ους πρώτους αριθμούς και το κεντρικό ρόλο που παίζουν στο κόσμο των αριθμών. Τη modular αριθμητική 1. Συνδέοντας τις ιδιότητες των πρώτων με την αριθμητική του ρολογιού, έναν κόσμο της αριθμητικής που χρησιμοποιεί την διαίρεση εστιάζοντας την στο υπόλοιπο π αρά στο πηλίκο. 2. Στη συνέχεια θα προσεγγίσουμε έναν από τους πιο μοντέρνους κλάδους των εφαρμοσμένων Μαθηματικών αυτό της κρυπτογραφίας, παρουσιάζοντας το πρόβλημα του Δημόσιου κλειδιού κρυπτογράφησης. Την αλγεβρική θεωρία των αριθμών που εστιάζει την προσοχή της στην επίλυση συγκεκριμένων εξισώσεων. Η ενασχόληση μας με το συγκεκριμένο πεδίο θα μας θυμίσει όσα είχαμε γνωρίσει για τους αριθμούς από την εποχή του σχολείου.
  • 8.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 8 Την αλγεβρική γεωμετρία 1. Εδώ θα συνδυάσουμε τη δύναμη της Άλγεβρας με τη δύναμη της Γεωμετρίας για να ανακαλύψουμε τη σχέση ανάμεσα στις λύσεις εξισώσεων και σημείων καμπυλών. 2. Η αλληλεπίδραση της θεωρίας των αριθμών και της Γεωμετρίας είναι ένα από τα πλέον σημαντικά πεδία έρευνας στη μοντέρνα θεωρία των αριθμών. Τους αλγεβρικούς κα ι υπερβατικούς αριθμούς 1. Εδώ θα διερευνήσουμε αν υπάρχουν και άλλοι αριθμοί εκτός από αυτούς που αποτελούν λύσεις εξισώσεων, που εξετάζουμε στην αλγεβρική θεωρία των αριθμών. 2. Η ερώτηση αυτή αποτελούσε μυστήριο για πολλά χρόνια μέχρι το 1844 … Τα συνεχή κλάσματα 1. Θα ανακαλύψουμε ένα διαφορετικό τρόπο γραφής, πέραν του γνωστού δεκαδικού τρόπου, που όμως χρησιμοποιείται ευρύτατα στη θεωρία των αριθμών. 2. Αυτός ο τρόπος γραφής θα μας δώσει τη δυνατότητα να απαντάμε σε ερωτήματα όπως: «γιατί ο αριθμός 22 7 είναι τόσο κοντά στο π;» Κατά τη διάρκεια των ιστοριών θα γνωρίσουμε εφαρμογές και γεγονότα διάσημα και περίεργα, όχι μόνο γιατί εμπλούτισαν τη θεωρία των αριθμών αλλά διότι προέβαλαν ένα περιβάλλον στο ο ποίο εκτιμούμε τις ανακαλύψεις μας σχετικά με τη δομή του κόσμου των αριθμών. Ένα περιβάλλον στο οποίο η πρόταση «Κάθε αριθμός παρουσιάζει ενδιαφέρον» θα φαντάζει ως προφανής !!!
  • 9.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 9 Μιλώντας τη γλώσσα των αριθμών Α. Γνωρίζοντας τους πρωταγωνιστές … Καλώς ορίσατε στον κόσμο των αριθμών, ας τους παρουσιάσουμε … Αρχίζουμε με τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι είναι οι 1,2,3,....Το σύνολο των Φυσικών αριθμών το συμβολίζουμε με (natural) και αποτελείται από τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε για να δηλώσουμε ένα πλήθος αντικειμένων ή τη σειρά τους. Π.χ. Οι μέρες της εβδομάδας είναι 7 και ξεκινώντας από την Κυριακή η Παρασκευή είναι η 6 η μέρα της εβδομάδας. Συνεχίζουμε με τους ακέραιους οι οποίοι είναι οι {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} (Integers) Έπονται οι ρητοί, οι οποίοι είναι λόγοι ακεραίων. Πρόκειται για τα γνωστά σε όλους κλάσματα ( Rational ) δηλαδή μ { όπου μ και ν } ν Μετά έχουν σειρά οι αριθμοί που δεν γράφονται με τη μορφή κλάσματος, που λέγονται άρρητοι (Irrational ), (άρα άρρητοι είναι το σύνολο των αριθμών που δεν είναι ρητοί). Τέτοιοι είναι οι γνωστοί μας 2 , π και άλλοι πολλοί. Τέλος οι πραγματικοί αριθμοί, που είναι οι ρητοί και οι άρρητοι μαζί (Real).Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να αντιστοιχηθούν ως σημεία στην ευθεία των πραγματικών αριθμών.
  • 10.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 10 Β. Ανακαλύπτοντας σχέσεις και μοτίβα … Στην ιστορία της θεωρίας αριθμών η παρατήρηση σχέσεων ή μοτίβων οδήγησε σε θεωρήματα και εικασίες που ανέπτυξαν την επιστήμη των Μαθηματικών. Ας εξασκηθούμε γνωρίζοντας κάποια παραδείγματα ή «περίεργα» μοτίβα – προτάσεις. 1. Οι αριθμοί 2,4,6,8,... λέγονται άρτιοι (even) προκύπτουν ως πολλαπλάσιοι του 2 για αυτό και συμβολίζονται με 2ν με ν . 2. Οι αριθμοί 1,3,5,7,.. λέγονται περιττοί (odd) προκύπτουν ως οι ακέραιοι που διαιρούμενοι με το 2 αφήνουν υπόλοιπο 1 και συμβολίζονται με 2ν 1 με ν . 3. Μήπως μπορείτε να ανακαλύψετε τον τρόπο κατασκευής του συνόλου 1,4,9,16,...; 4. Ας δούμε την ακολουθία 1,4,2,1,4,2,1,... ή την ακολουθία 3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,... ή την ακολουθία 11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,... Τις ακολουθίες αυτές τις όρισε και μελέτησε πρώτος ο Lothar Collatz to 1937 ως εξής : « Θεωρούμε ένα φυσικό αριθμό ν, αν αυτός είναι άρτιος τότε ο επόμενος όρος της ακολουθίας είναι ο ν 2 , αν είναι περιττός τότε ο επόμενος όρος είναι ο 3ν 1 ». 5. Ας παρατηρήσουμε μερικές από τις δυνάμεις του 2. 2 3 4 5 6 2 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32 , 2 64 9 , ..., 2 512. Παρατηρήστε ότι π αρουσιάζονται ως πρώτο ψηφίο τα 4,8,1,3,6,5 αλλά για το 7 πρέπει να φθάσουμε στη δύναμη 46 2 70.368.744.177.664 , ενώ για το 9 στη δύναμη 53 2 9.007.199.254.740.992 . Υπάρχει ένα θεώρημα στη θεωρία των αριθμών που λέει «δοθέντος ενός φυσικού αριθμού ν, όσο μεγάλος και αν είναι, υπάρχει δύναμη του 2 η οποία αποδίδει φυσικό αριθμό που τα πρώτα ψηφία του παρουσιάζουν τον αριθμό ν» Για παράδειγμα ο αριθμός 1677 παρουσιάζεται στη δύναμη 24 2 16.777.216 .
  • 11.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 11 Η αριθμητική πρόοδος Α. Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών 1. Ο Carl Friedrich Gauss γεννήθηκε στις 30 Απριλίου του 1777 στη Γερμανία. Ο πατέρας του, λιθοξόος το επάγγελμα, δεν ενθάρρυνε το γιό του να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά. 2. Όμως έγινε φανερό ότι ο νεαρός Gauss ήταν ένα παιδί θαύμα. Υπάρχουν πολλές ιστορίες για αυτές τις ιδιαίτερες κ λίσεις του στα Μαθηματικά . 3. Η πιο διάσημη ιστορία είναι αυτή όπου ως μαθητής της 3 η ς τάξης του σχολείου απόδειξε κατά προτροπή του δασκάλου του κ. Buttner τον τύπο ν ν (ν 1) 1 2 3 ... ν 2 . Α π ο τ ε λ ε ί π ρ ό κ λ η σ η π ρ ο ς ο π ο ι ο ν δ ή π ο τ ε α ν α γ ν ώ σ τ η η α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ π α ρ α π ά ν ω τ ύ π ο υ . 4. Σήμερα ο Gauss αναγνωρίζεται ως ένας από τους μεγαλύτερους Μαθηματικούς που υπήρξαν ποτέ. Δικαίως αποκαλείται « ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών » . 5. Έτρεφε μεγάλη αγάπη στη θεωρία των Αριθμών. Έχει γράψει ότι : « Τα Μαθηματικά είναι η βασίλισσα όλων των επιστημών και η θεωρία των Αριθμών η βασίλισσα των Μαθηματικών » 6. Ήταν τελειομανής και οι ανακαλύψεις του ήταν περισσότερες από αυτά που τελικά δημοσίευε. « Λίγα αλλά σωστά» συνήθιζε να λέει.
  • 12.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 12 Β. Μία ενδιαφέρουσα ακολουθία αριθμών 1. Παρατηρήστε την ακολουθία 1,3,6,10,15,21,28,… 2. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται τριγωνικοί (triangular) διότι αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των σφαιρών του μπιλιάρδου όπως μπορούμε να τις διατάξουμε σε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. 3. Χρησιμοποιώντας το στοιχειώδη τύπο του αθροίσματος που βρήκε ο Gauss στην 3 η τάξη του σχολείου, είμαστε σε θέση να επιβεβαιώσουμε ότι χρειαζόμαστε 5050 μπάλες για την κατασκευή ενός τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές του αποτελούνται από 100 μπάλες. Γιατί;. Προσπαθήστε να δείτε τους τρίγωνους αριθμούς ως μία ακολουθία των αθροισμάτων των πρώτων 1 -2-3- 4-…κ.ο.κ. φυσικών αριθμών. 4. Άρα αν συμβολίσουμε με ντ τον ν-ιοστό τρίγωνο αριθμό τότε ισχύει ν ν ν (ν 1) τ 2 5. Στην αρχαιότητα οι διάφοροι αριθμοί ονομάζονταν σε σχέση με τις «κρυμμένες» γεωμετρικές αναπαραστάσεις τους. Έτσι όπως έχουμε τους τριγωνικούς αριθμούς, αντίστοιχα υπήρχαν οι τετράγωνοι, οι πεντάγωνοι αριθμοί κ.ο.κ. 6. Γράψτε τους πρώτους 6 τετράγωνους αριθμούς. Είστε σε θέση να βρείτε έναν τύπο που να αποδίδει τον ν -ιοστό τετράγωνο αριθμό ;
  • 13.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 13 7. Τον Ιούλιο του 1796 σε ηλικία 19 ετών ο Gauss απέδειξε την πρόταση « κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ τριών τρίγωνων αριθμών ». Στην πρόταση αυτή είχε φθάσει και ο Pierre de Fermat το 1638 χωρίς όμως να έχει βρεθεί κάποια απόδειξη για τον ισχυρισμό του. 8. Για εξάσκηση μπορείτε να ασχοληθείτε με την παρακάτω εφαρμογή « Σε μία συνάντηση παίρνουν μέρος 100 άτομα. Αν ο κάθε ένας χαιρετά με χειραψία ό λους τους παριστάμενους, να βρείτε πόσες χειραψίες θα γίνουν ». Τέτοιες ασκήσεις μελετά η λεγόμενη συνδυαστική θεωρία των αριθμών (combinatorial number theory) . Γ. Επεκτείνοντας τη σκέψη μας … 1. Αυτό που κάνει τους φυσικούς αριθμούς τόσο απλούς είναι ότι παράγονται με μία απλούστατη διαδικασία. Ξεκινούν από τον αριθμό 1 και μετά όλοι οι επόμενοι προκύπτουν από τον προηγούμενο όρο τους προσθέτοντας πάντα 1. Μία τέτοια ακολουθία αριθμών λέγεται αριθμητική πρόοδος ( arithmetic progression). 2. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Θα ξεκινήσουμε από το 2 και θα προσθέτουμε πάντα 2. Καταλήγουμε στην ακολουθία 2,4,6,8,…, η οποία είναι η ακολουθία των άρτιων φυσικών αριθμών. 3. Σχηματίστε μία αριθμητική πρόοδο ξεκινώντας από το 1 προσθέτοντας 10. Ποιος είναι ο 1000 ο ς όρος της ακολουθίας αυτής. Μπορείτε να γενικεύσετε το συμπέρασμά σας; Δηλαδή, αποδείξτε ότι ο ν-ιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου που σχηματίζουμε με πρώτο όρο τον 1α προσθέτοντας πάντα ω δίνεται από τον τύπο ν 1α α (ν 1) ω
  • 14.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 14 4. Ένας τύπος που θα δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου μπορεί εύκολα να προκύψει (πως ;;) ακολουθώντας την λογική με την οποία παράγονται οι τρίγωνοι αριθμοί. Ο τύπος στον οποίο καταλήγουμε είναι : 1 ν ν α α Σ ν 2 ή 1 ν 2 α (ν 1) ω Σ ν 2 όπου 1α ο πρώτος όρος της ακολουθίας και να ο ν-ιοστός όρος. Δ. Για εξάσκηση … 1. Προσθέστε τους πρώτους 1.000.000 φυσικούς αριθμούς. 2. Βρείτε μέχρι ποιον φυσικό αριθμό πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμα να μην υπερβαίνει το 1.000.000. 3. Πάρτε δύο οποιουσδήποτε διαδοχικούς τριγωνικούς αριθμούς π.χ.3 και 6. Αφαιρέστε τα τετράγωνά τους , δηλαδή 36 -9=27. Παρατηρήστε ότι η διαφορά είναι κύβος φυσικού αριθμού. Ισχύει η παρατήρηση αυτή και για άλλους διαδοχικούς τριγωνικούς αριθμούς ;. Ο κύβος που προκύπτει έχει κάποια σ χέση με τους τριγωνικούς αριθμούς που έχουμε επιλέξει;. Μπορείτε να γενικεύσετε την πρόταση αυτή;
  • 15.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 15 Η Γεωμετρική πρόοδος Α. Οι απαραίτητες συστάσεις … 1. Στην προηγούμενη ιστορία αναφερθήκαμε στην αριθμητική πρόοδο, ως μία ακολουθία αριθμών όπου ο κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας πάντα τον ίδιο αριθμό. Τί θα γίνει όμως αν αντί να προσθέτουμε πάντα τον ίδιο αριθμό τον πολλαπλασιάζουμε; 2. Για παράδειγμα ας ξεκινήσουμε με το 1 και ας πολλαπλασιάζουμε συνεχώς επί 2. Έτσι δημιουργούμε την ακολουθία : 1,2,4,8,16,…. 3. Ποιος είναι ο 10 ο ς όρος της ακολουθίας; Ποιος είναι ο 1000 ο ς όρος της ; Ποιος είναι ο ν -ιοστός όρος της; 4. Άλλο παράδειγμα. Ας ξεκινήσουμε με το 3 και στη συνέχεια όλοι οι όροι της ακολουθίας ας προκύπτουν με πολλαπλασιασμό με 2. Ποιος είναι ο 6 ο ς όρος της ακολουθίας; Ποιος ο 100 ο ς όρος της ; 5. Μία τέτοια ακολουθία αριθμών θα λέγεται γεωμετρική πρόοδος ( geometric progression). Ο αρχικός όρος θα λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας και θα συμβολίζεται με 1α και ο σταθερός αριθμός που συνεχώς πολλαπλασιάζουμε λέγεται λόγος (ratio) της προόδου και θα τον συμβολίζουμε με λ . 6. Προσπαθήστε να αποδείξετε ότι ο ν -ιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1α και λόγο λ θα δίνεται από τον τύπο ν 1 ν 1α α λ . 7. Γράψτε τους πρώτους 10 όρους δύο γεωμετρικών προόδων της επιλογής σας, ώστε οι όροι της πρώτης συνεχώς να αυξάνουν, ενώ οι όροι της δεύτερης να ελαττώνονται. Σε ποιο γενικό συμπέρασμα μπορείτε να καταλήξετε; Πότε δηλαδή μία γεωμετρική πρόοδος θα είναι αύξουσα και πότε φθίνουσα;
  • 16.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 16 Β. Η εκθετική μεταβολή … 1. Ας σχηματίσουμε τη γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο 1 και λόγο r. Δηλαδή την ακολουθία 2 3 ν 1, r, r , r , ...,r ,... . Μία τέτοια ακολουθία την ονομάζουμε εκθετική μεταβολή (exponential growth). 2. Στην περίπτωση όπου r 1 η ακολουθία είναι (εκθετικά) αύξουσα (grows exponentially ), ενώ αν 0 r 1 η ακολουθία είναι (εκθετικά) φθίνουσα ( decays exponentially ). 3. Για παράδειγμα γράψτε τους πρώτους 10 όρους μιας εκθετικά φθίνουσας μεταβολής με λόγο 1 2 και υπολογίστε το άθροισμά τους. 4. Ο Ευκλείδης το 300 π.χ. περίπου προσδιόρισε έναν τρόπο υπολογισμού του αθροίσματος των ν πρώτων όρων μιας τέτ οιας προόδου. Με σύγχρονους συμβολισμούς η όλη διαδικασία έχει ως εξής : ονομάζουμε το ζητούμενο άθροισμα 2 ν νs 1 r r ... r (1) πολλαπλασιάζουμε επί r άρα : 2 3 ν 1 νr S r r r ... r (2) αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις (2)-(1) : ν 1 ν(r 1) S r 1 αν r 1 τότε έχουμε : ν 1 ν r 1 S r 1 . 5. Για παράδειγμα το άθροισμα των πρώτων 10 όρων της εκθετικής μεταβολής με λ 2 είναι : 11 11 10 2 1 S 2 1 2047 2 1 .
  • 17.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 17 6. Υπάρχει μία κλασική ιστορία που εξελίσσεται σε μακρινούς χρόνους στην Περσία. Ένας βασιλιάς θέλοντας να ευχαριστήσει τον Μαθηματικό που κατασκεύασε πρώτος για χάρη του το γνωστό σε όλους μας σκάκι, του πρότεινε να του κάνει ότι δώρο ήθελε. Τότε ο Μαθηματικός του ζήτησε κάτι πολύ απλό!!! Όπως είναι η σκακιέρα με τα 8Χ8 τετράγωνα, ο βασιλιάς να βάζει σπυριά ρυζιού στο κάθε τετράγωνο με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Στο πρώτο τετράγωνο 1 σπυρί, στο 2ο τετράγωνο 2 σπυριά, στο 3ο τετράγωνο 2 2 σπυριά, στο 4 ο τετράγωνο 3 2 σπυριά και ούτω καθεξής μέχρι και το 64 ο τετραγωνάκι της σκακιέρας. Μόλις ο βασιλιάς θα τελείωνε, θα έδινε στον Μαθηματικό όλα τα σπυριά ρυζιού που θα ήταν στη σκακιέρα. Ο βασιλιάς, που από Μαθηματικά δεν θα ήξερε και πολλά, δέχθηκε. Πόσα σπυρ ιά τελικά έπρεπε ο βασιλιάς να δώσει στον Μαθηματικό; Αν θεωρήσουμε ότι κάθε σπυρί ρυζιού έχει περίπου 0,033gr βάρος, υπολογίστε πόσους τόνους ρυζιού θα έπρεπε να παραδώσει στον Μαθηματικό ο βασιλιάς. (Για να επιβεβαιώσετε τους υπολογισμούς σας, σας δίνω την απάντηση 671.023.802.629 τόνους ρύζι !!!)
  • 18.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 18 Γ. Ας μιλήσουμε για το άπειρο … 1. Ας σχηματίσουμε τη φθίνουσα εκθετική μεταβολή με λόγο 1 2 . Υπολογίστε με τη βοήθεια «υπολογιστή τσέπης» τα αθροίσματα : 5S , 10S , 20S , 30S . Τί παρατηρείτε; 2. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζονται ορθογώνια με εμβαδά 1 1 1 1 1 1 , , , , , 2 4 8 16 64 128 κ.ο.κ. ώστε να βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Μπορείτε να εκτιμήσετε, με τη βοήθεια του σχήματος, πόσο είναι το άθροισμα όλων των εμβαδών; 3. Για να γενικεύσουμε τα όποια συμπεράσματά σας θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι η δύναμη ν r στην περίπτωση όπου 0 r 1 ολοένα και περισσότερο μικραίνει. Για παράδειγμα 10 10 1 1 ( ) 0,0009765625... 2 2 , ενώ 20 20 1 1 ( ) 0,00000095367431640625... 2 2 . Άρα δεν είναι αυθαιρεσία να ισχυριστούμε ότι η δύναμη ν r με 0 r 1 τείνει προς το 0 καθώς το ν αυξάνεται απεριόριστα. 4. Έτσι αν υπολογίσουμε το άθροισμα ν 1 2 3 ν ν r 1 S 1 r r r ... r r 1 με 0 r 1 καθώς το ν αυξάνει απεριόριστα τότε ο όρος ν 1 r θα είναι ίσος με 0 άρα μπορούμε να γράψουμε 1 S 1 r .
  • 19.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 19 5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο στον οποίο καταλήξαμε υπολογίστε το άθροισμα 2 3 1 1 1 1 ... 2 2 2 . 6. Ώρα για εξάσκηση , ας θεωρήσουμε τον αριθμό 0,999... . Οι τρεις τελίτσες σημαίνουν ότι τα εννιάρια συνεχίζουν συνεχώς, όσο πάει, πόσο ; δεν ξέρω!!! Συνεχώς !!!. Αν σκεφτούμε ότι ο αριθμός 0,9 γράφεται 9 10 , ο αριθμός 0,99 γράφεται 9 9 10 100 , ο αριθμός 0,999 γράφεται 9 9 9 10 100 1000 , μπορούμε παρόμοια να γράψουμε τον περίεργο αριθμό μας ως εξής : 9 9 9 1 1 1 0,999... ... 9( ...) 9 S 10 100 1000 10 100 1000 Όπου S το άθροισμα των απείρων όρων της φθίνουσας εκθετικής μεταβολής με λόγο 1 λ 10 . Υπολογίστε το άθροισμα. Τελικά με τι ισούται ο αριθμός 0,999...;;; Για να μη σας κρατώ σε αγωνία σας αποκαλύπτω το αποτέλεσμα Ισχύει ότι 0,999... 1 !!!
  • 20.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 20 Αναδρομικές ακολουθίες Α. Ένα πρόβλημα του 1202 … 1. «Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα παραχθούν σε έναν χρόνο από το αρχικό ζ ευγάρι;» 2. Ένας εποπτικός τρόπος για να παρακολουθήσουμε την εξέλιξη του προβλήματος είναι το διπλανό σχήμα . 3. Συνεχίζοντας τη διαδικασία το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία : 1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946 ... Άρα τον πρώτο χρόνο υπάρχουν 144 ζευγάρια κουνέλια !!! 4. Η ακολουθία αυτή των αριθμών ονομάζονται αριθμοί Fibonacci προς τιμή του Leonardo Pisano ή Fibonacci (1170 μ.Χ.). Ο Fibonacci το 1202 δημοσιεύει το liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του. Στο βιβλίο αυτό,, για πρώτη φορά, παρουσιάζεται το δεκαδικό σύστημα γραφής των αριθμών.
  • 21.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 21 5. Παρατηρείστε ότι κάθε νέος όρος της ακολουθίας προκύπτει ως άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Άρα οι όροι της ακολουθίας μπορούν να ορισθούν από τον τύπο: ν 2 ν 1 ν 1 2F F F με F 1 και F 1 . 6. Τον 19ο αιώνα ο Γάλλος Μαθηματικός Edouard Lucas κατασκεύασε την ακολουθία νL με 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,… γνωστή από τότε ως ακολουθία Lucas (Lucas sequence). Αναγνωρίζετε τον τρόπο κατασκευής της ακολουθίας; 7. Για να εξασκηθούμε με τις ακολουθίες αυτές καθώς και με το συμβολισμό τους προσπαθήστε να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις : 1. 1 3 3F F L , 2 4 4F F L ή γενικά ν ν 2 ν 2F F L 2. 1 2 κ κ 2(F F ... F ) 1 F υπάρχει παρόμοια σχέση για την ακολουθία Lucas; Β. Ένα πρόβλημα ακόμα πιο παλιό … 1. Στα στοιχεία του Ευκλείδη αναφέρεται η κατασκευή ενός τμήματος ώστε : [Βιβλίον VI] Ὅροι ε΄ [5]. γ΄ [3]. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμ ῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμ ῆμα,οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον. «ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο τμήμα, είναι ίσος με το λόγο του συνολικού μήκους του τμήματος προς το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος» Ο χωρισμός αυτός επικράτησε να ονομάζεται «διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο».
  • 22.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 22 2. Ας υπολογίσουμε έναν τέτοιο λόγο … Θεωρούμε τμήμα ΑΓ=1 και έστω ότι το μεγαλύτερο τμήμα είναι χ και το μικρότερο 1 -χ, τότε έχουμε διαδοχικά 2χ 1 χ 1 5 χ χ 1 0 χ 1 χ 2 η τιμή αυτή είναι περίπου 0,61803398875… ο δε λόγος 1 1 5 χ 2 1,61803398875… . Παρατηρήστε την ομοιότητα ανάμεσα στους δύο αριθμούς …. 3. Ο δεύτερος αριθμός, δηλαδή ο λόγος ανάμεσα στο ολόκληρο τμήμα και το μεγαλύτερο κομμάτι έχει επικρατήσει να συμβολίζεται με το γράμμα φ ( π ρ ο ς τ ι μ ή ν τ ο υ κ υ ρ ι ό τ ε ρ ο υ ε κ π ρ ο σ ώ π ο υ τ η ς α ρ μ ο ν ί α ς σ τ η ν Τ έ χ ν η κ α τ ά τ η ν α ρ χ α ι ό τ η τ α , τ ο υ Φ ε ι δ ί α ) . 4. Τα πρώτα 150 ψηφία του άρρητου αριθμού Φ είναι : 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766... Για περισσότερα δεκαδικά ψηφία δες http://goldennumber.net/phi20000.htm 5. Η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σύμφωνα με την παραπάνω αναλογία, θεωρείται η πιο αρμονική, η πιο καλαίσθητη. Ο Luca Pacioli (1445-1524) την ονόμασε «ιερά αναλογία». Ο Johannes Kepler (1571 -1630) την ονόμασε « ιερά τομή». Ο L. Lorenz (1829 -1891) την ονόμασε «συνεχή τομή». Η ονομασία «χρυσή τομή» αποδίδεται στον Leonardo Da Vin ci (1452-1519).
  • 23.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 23 Γ. Κρυμμένες σχέσεις … 1. Μεταξύ των όρων της ακολουθίας του Fibonacci και του χρυσού λόγου φ κρύβεται μία σχέση. 2. Ας θεωρήσουμε τους λόγους μεταξύ των διαδοχικών όρων της ακολουθίας του Fibonacci, δηλαδή : 1 2 3 5 8 13 1 , 2 , 1.5 , 1.66 , 1.6 , 1.625 1 1 2 3 5 8 21 34 55 89 1.615 , 1.619 , 1.617 , 1.618 ,... 13 21 34 55 θα παρατηρήσουμε ότι καθώς προχωράμε ο λόγος των διαδοχικών όρων της ακολουθίας προσεγγίζει τον αριθμό φ !!! 3. Στην παρατήρηση αυτή μπορούμε να καταλήξουμε και διαφορετικά. Ας παρατηρήσουμε τον τρ όπο με τον οποίο γράφουμε τους λόγους αυτούς παρακάτω : 1 1 1 2 (1 1) 1 1 1 1 1 3 (2 1) 1 1 1 1 12 2 2 1 1 5 (3 2) 2 1 1 1 13 3 3 1 1 1 1 8 (5 3) 3 1 1 1 15 5 5 1 1 1 1 1 1
  • 24.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 24 4. Παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο παράγεται η ακολουθία αυτή. Υπάρχει κάτι το «αυτό όμοιο» στην όλη διαδικασία. Ο αριθμός στον οποίο καταλήγουμε έχ ει μέσα του τον ίδιο τον αριθμό, ας το παρατηρήσουμε καλύτερα : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... . Έχοντας κάνει τις σκέψεις αυτές καταλήγουμε στην ισότητα 1 φ 1 φ . 5. Η εξίσωση αυτή δίνει λύσεις τις : 1 5 φ 2 , το γνωστό μας «χρυσό αριθμό» και 1 5 τ 2 που θα μας χρησιμεύσει αργότερα… .
  • 25.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 25 Γενικός τύπος ακολουθίας Α. Ποιος είναι ο τύπος; 1. Παρατηρήστε τις παρακάτω ακολουθίες αριθμών : 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … 200 , 195 , 185 , 170 , 150 , … 9 , 6 , 18 , 15 , 45 , 42 , 126 , … 50 , 49 , 47 , 44 , 40 , 35 , 29 , 22 , 14 , … 2. Μπορείτε να βρείτε τον 20ο όρο κάθε μιας από τις ακολουθίες αυτές ; 3. Ας υποθέσουμε ότι ένα ρομπότ δέχεται μόνο δύο εντολές. Την εντολή Μ « πήγαινε μπροστά ένα μέτρο» και την εντολή Δ « στρίψε επιτόπου δεξιά 45 μοίρες». Με την ακολουθία ΜΔΜΔΔΔΜΔΜΔΔΔ το ρομπότ διαγράφει ένα ρόμβο. Ποια πρέπει να είναι η ακολουθία των εντολών ώστε να διαγράψει ένα οκτάγωνο; 4. Από τα παραπάνω παραδείγματα γίνεται φανερή η σχέση των ακολουθιών με τον προγραμματισμό αλλά και η αναγκαιότητα της εύρεσης ενός κλειστού τύπου παρα γωγής μιας ακολουθίας.
  • 26.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 26 Β. Ανακαλύπτοντας έναν κλειστό τύπο στην ακολουθία του Fibonacci 1. Σε απλά παραδείγματα ακολουθιών θα δυσκολευθούμε λίγο αλλά είναι πιθανόν στο τέλος να βρούμε έναν γενικό τύπο. Τί γίνεται όμως σε δυσκολότερες κα ταστάσεις; Ποιος μπορεί να είναι για παράδειγμα ο κλειστός τύπος της ακολουθίας Fibonacci; 2. Ο Γάλλος Μαθηματικός Jacques Binet το 1843 περιέγραψε έναν τρόπο εύρεσης οποιουδήποτε όρου της ακολουθίας αυτής χωρίς κατά ανάγκη να έχουμε κ αταγράψει όλους τους προηγούμενους. 3. Οι συλλογισμοί του ήταν οι εξής : Ξεκίνησε από την εξίσωση : 21 x 1 x x 1 x η οποία ως γνωστό έχει λύσεις του αριθμούς φ και τ (Ιστορία 4 η ) Άρα ισχύουν οι ισότητες 2 φ φ 1 και 2 τ τ 1 . 4. Ακολούθως σχημάτισε τις δυνάμεις : 3 2 2 φ φ φ φ (φ 1) φ φ φ 1 φ 2φ 1 4 3 2 φ φ φ φ (2φ 1) 2φ φ 2(φ 1) φ 3φ 2 5 4 2 φ φ φ φ (3φ 2) 3φ 2φ 3(φ 1) 2φ 5φ 3 Παρατηρείτε την ακολουθία που σχηματίζεται ;
  • 27.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 27 5. Ας τα γράψουμε ξανά το ένα κάτω από το άλλο : 2 3 4 5 6 φ φ 1 φ 2φ 1 φ 3φ 2 φ 5φ 3 φ 8φ 5 ... 6. Παρατηρείτε πως εμφανίζονται οι όροι της ακολουθίας του Fibonacci; Σε ποιο γενικό τύπο μπορο ύμε να καταλήξουμε; 7. Επιβεβαιώστε ότι μεταξύ των δυνάμεων του φ και των όρων της ακολουθίας Fibonacci ισχύει ο αναδρομικός τύπος : ν ν ν 1φ F φ F . 8. Παρόμοιος τύπος θα ισχύει και για τον αριθμό τ (γιατί;;). Άρα θα ισχύει ν ν ν 1τ F τ F 9. Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε : ν ν νφ τ F (φ τ) άρα ν ν ν ν ν ν ν 1 5 1 5 1 5 1 5 ( ) ( ) ( ) ( )φ τ 2 2 2 2F φ τ 1 5 1 5 5 2 2 . 10. Παρατηρήστε ότι με τον τύπο αυτό η ακολουθία Fibonacci είναι στην πραγματικότητα μία διαφορά ανάμεσα σε δύο γεωμετρικές προόδους. 11. Μπορείτε παρόμοια να καταλήξετε στο γενικό τύπο ν 1 ν 1 νL φ τ με ν 1 για την ακολουθία Lucas;
  • 28.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 28 Γ. Επιλύοντας ένα διάσημο γρίφο … 1. Οι πύργοι του Ανόι είναι ένα λογικό πάζλ που κατασκευάσθηκε το 1883 από τον καθηγητή “ Claus”, που στην πραγματικότητα πρόκειται για αναγραμματισμό του ονόματος του κ. Lucas!! 2. Το πάζλ αυτό αποτελείται από τρεις στύλους και μία συλλογή από δίσκους διαφορετικών δ ιαμέτρων, που μπορούν να τοποθετηθούν στους στύλους αυτούς. 3. Το παιχνίδι ξεκινά έχοντας όλους τους δίσκους στο πρώτο στύλο, τοποθετημένους κατά σειρά διαμέτρων με το δίσκο που έχει μεγαλύτερο διάμετρο στη βάση. 4. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να μεταφερθ ούν όλοι οι δίσκοι από τον πρώτο στύλο στον τελευταίο με την ίδια τοποθέτηση. 5. Επιτρέπεται να μετακινούμε έναν δίσκο κάθε φορά σε όποιον στύλο θέλουμε, με την προϋπόθεση, αν υπάρξουν δύο ή περισσότεροι δίσκοι κάποια φορά σε ένα στύλο αυτοί θα πρέπει να είναι τοποθετημένοι κατά φθίνουσα σειρά σε σχέση με τη διάμετρό τους , συνθήκη που ισχύει πάντα στο παιχνίδι αυτό. 6. Η πρόκληση του παιχνιδιού συνιστάται στο να το λύσουμε με όσο το δυνατό λιγότερες κινήσεις !!! 7. Για εξάσκηση παίξτε το παιχνίδι στη διεύθ υνση : http://users.sch.gr/thafounar/games/towersOfHanoi/towersOfHanoi. html
  • 29.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 29 Δ. Ανακαλύπτοντας Μαθηματικά !! 1. Το καλό με τις διαδικτυακές εφαρμογές είναι ότι μπορείς να πειραματιστείς – να δοκιμάσεις. 2. Αν έχουμε 1 μόνο δίσκο ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 1 κίνηση. Αν έχουμε 2 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Μα προφανώς 3 κινήσεις. Αν έχουμε 3 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Με λίγη εξάσκηση θα φθάσετε στο άριστο α ποτέλεσμα των 7 κινήσεων. Αν έχουμε 4 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων ώστε να λυθεί το παιχνίδι; Εδώ τα πράγματα δυσκολεύουν, αλλά το ρεκόρ είναι 15 κινήσεις. 3. Ανακαλύπτετε κάποια κρυμμένη μαθηματική σχέση ανάμεσα στους όρους της ακολουθίας 1 , 3 , 7 , 15 , … 4. Σωστά το μαντέψατε ο κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει διπλασιάζοντας τον προηγούμενο και προσθέτοντας ένα, δηλαδή ισχύει ότι : ν ν 1h 2 h 1 . 5. Βρείτε έναν γενικό τύπο που να αποδίδει τους όρους της ακολουθίας. 6. Υπάρχει μία ομάδα μοναχών στο μακρινό Θιβέτ που στο μοναστήρι τους υπάρχει ένα τέτοιο πάζλ που αποτελείται από 64 χρυσούς δίσκους και 3 διαμαντένιους στύλους. Σύμφωνα με το γενικό τύπο που θα βρείτε υπάρχουν 64 2 1 κινήσεις για να λυθεί όσο το δυνατό γρηγορότερα ένα τέτοιο πάζλ. Οι μοναχοί συνεχώς, από τότε που φτιάχτηκε το μοναστήρι, κάνουν και από μία κίνηση κάθε ένα δευτερόλεπτο. Υπάρχει ένας θρύλος που λέει ότι όταν το πάζλ λυθεί τότε θα έρθει και το τέλος του κόσμου. Μην ανησυχείτε όμως σύμφωνα με τους υπολογισμούς μου χρειάζονται 583.344.214.028 χρόνια για να γίνει κάτι τέτοιο και το μοναστήρι είναι μόλις 1500 ετών…
  • 30.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 30 Όταν οι αρχαίοι Έλληνες διδάσκουν … Α. Τα στοιχεία του Ευκλείδη 1. Ένα εκπληκτικό γεγονός συνέβη το 300π.χ. Ο «πρύτανης του πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας» ο Ευκλείδης ,συγκέντρωσε όλα τα επιτεύγματα της ελληνικής μαθηματικής επιστήμης σε δεκατρία βιβλία και συνέγραψε τα λεγόμενα Στοιχεία. 2. Ο τρόπος που έγραψε το βιβλίο αυτό ,είναι ο ίδιος που μέχρι σήμερα θεωρείται ως ο ιδανικός τρόπος συγγραφής οποιουδήποτε επιστημονικού πονήματος. Αρχικά έδινε τους όρους (ορισμούς), μετά τον απολύτως αναγκαίο αριθμό αξιωμάτων (αιτήματα), μετά τις λεγόμενες κοινές έννοιες (αναπόδεικτες ως προφανείς προτάσεις) και ακολούθως προτάσεις που αποδεικνύονται από τα προηγούμενα , τα λεγόμενα θεωρήματα. Κάθε φορά τελείωνε την αποδεικτική διαδικασία με τις περίφημες εκφράσεις του ὅπερ ἔδει ποιῆσαι όταν επρόκειτο για κατασκευή, ή ὅπερ ἔδει δεῖξαι, όταν επρόκειτο για απόδειξη. 3. Ανάμεσα στα πολλά και θαυμαστά θεωρήματα υπάρχουν δύο που άπτονται της θεωρίας των αριθμών και θεωρούνται ως θεμελιώδη. 4. Το πρώτο από αυτά είναι γνωστό ως “ θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής” ( fundamental theorem of arithmetic) και λέει ότι «κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων αριθμών ». 5. Θυμηθείτε στην εισαγωγή είχαμε δώσει τ ον ορισμό των πρώτων αριθμών ως εκείνους τους φυσικούς που είναι μεγαλύτεροι του 1 και δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο δύο μικρότερων φυσικών. 6. Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… 7. Για παράδειγμα το 12 είναι σύνθετος αριθμός (composite) διότι γράφεται ως γινόμενο 2 2 3. Η γραφή αυτή λέγεται παραγοντοποίηση (factoring ).
  • 31.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 31 8. Ο αριθμός 1 δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους διότι σε αυτήν την περίπτωση ένας αριθμός π.χ. ο 6 δεν θα γραφόταν κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων διότι θα ίσχυε 6 2 3 αλλά και 6 1 2 3 . 9. Με το θεώρημα αυτό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για να γράψουμε τους φυσικούς αριθμούς χρειαζόμαστε μόνο τους πρώτους. 10. Έτσι αν ανακαλύψουμε τη δομή των πρώτων αριθμών και όλες τις κρυμμένες ιδιότητες τους θα έχουμε κατανοήσει όλους τους φυσικούς αριθμούς. Β. Το κόσκινο του Ερατοσθένη 1. Πώς μπορούμε όμως να βρούμε με τρόπο συστηματικό τους πρώτους αριθμούς; 2. Το 200 π.χ. ο Έλληνας Μαθηματικός Ερατοσθένης (276-195 π.χ.) ανακάλυψε μία μέθοδο με την οποία έβρισκε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι απ ό κάποιον φυσικό αριθμό όσο μεγάλος και αν ήταν. 3. Η μέθοδος αυτή λέγεται κόσκινο (sieve) του Ερατοσθένους. 4. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 100 τότε: Γράφουμε όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 100 σε ένα πίνακα (όπως τον παρακάτω). Διαγράφουμε όλους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 2. Μετά διαγράφουμε όλους τους πολλαπλάσιους του 3. Συνεχίζουμε τη διαδικασία αυτή για τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 5 και μετά του 7. Όσοι αριθμοί έχουν απομείνει είναι οι πρώτοι αριθμοί που είναι μικρότεροι του 100.
  • 32.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 32 5. Προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι με 4 απλά βήματα βρίσκουμε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 100. Αν θέλαμε να βρούμε τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 300; Πόσα βήματα θα χρειαστούμε; 6. Γενικά ισχύει ο εξής κανόνας « αν θέλουμε να βρούμε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι από έναν φυσικό αριθμό ν τότε θα χρειαστούμε να κοσκινίσουμε με τους πρώτους που είναι μικρότεροι από τον αριθμό ν ». 7. Ας δικαιολογήσουμε την πρόταση αυτή για το παράδειγμά μας. Πρέπει να αποδείξουμε ότι μετά το κοσκίνισμα με τους πρώτους 2,3,5,7 που είναι μικρότεροι του 10 έχουν απομείνει μόνο πρώτοι αριθμοί. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει σύνθετος αριθμός πο υ δεν έχει διαγραφεί από τη λίστα. Ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο κανενός αριθμού μικρότερου του 10 . Άρα προκύπτει ως γινόμενο δύο αριθμών μεγαλύτερων του 10. Άρα ο αριθμός αυτός πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 100 άρα εκτός της λίστας που διαπραγματευόμαστε. 8. Στο παρακάτω πλαίσιο εφαρμόστε την τεχνική του Ερατοσθένη για να υπολογίσετε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 300.
  • 33.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 33 9. Με τη βοήθεια της παρατήρησης του Ερατοσθένη, είμαστε σε θέση να ανακαλύπτουμε αν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος ή όχι. 10. Για παράδειγμα ο 397 είναι πρώτος ή σύνθετος;. Αυτό που πρέπει να εξετάσουμε είναι αν διαιρείται με τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 397 19.24, δηλαδή τους 2,3,5,7,11,13,17,19. Εύκολο ;;; Γ. Δύο ερωτήματα ψάχνουν απάντηση Ερώτηση 1 η . Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν; 1. Στο 9ο βιβλίο των Στοιχείων του ο Ευκλείδης δίνει την απάντηση. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ας παρακολουθήσουμε την ιδιοφυέστατη δικαιολόγηση του ισχυρισμού του. 2. * Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν ν πρώτοι αριθμοί οι 1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π . * Ο στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι υπάρχει και άλλος πρώτος αριθμός πέραν των ν που υπάρχ ουν στην λίστα μας. * Σχηματίζουμε τον αριθμό 1 2 3 νπ π π π ... π 1. * Ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος του 1, οπότε σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων. * Έστω q ένας πρώτος παράγοντας του αριθμού π. * Ο αριθμός q μπορεί να είναι κάποιος από τους 1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π ; * Η απάντηση είναι πως όχι διότι ο π διαιρούμενος με κάθε ένα από τους 1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π δίνει υπόλοιπο 1. * Αυτό σημαίνει ότ ι ο q είναι ένας πρώτος που δεν συμπεριλαμβάνεται στη λίστα των αρχικών ν πρώτων αριθμών. * Άρα υπάρχουν τελικά άπειροι πρώτοι αριθμοί. 3. Η πρόταση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν τελικά άπειροι πρώτοι και επομένως κα ι άπειροι σύνθετοι φυσικοί αριθμοί.
  • 34.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 34 Ερώτηση 2 η . Πόσοι διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί υπάρχουν; 1. Το σίγουρο είναι ότι οι μοναδικοί διαδοχικοί πρώτοι είναι οι 2 και 3 (γιατί;;;). 2. Ψάχνοντας τους πίνακες των πρώτων που ήδη έχουμε σχηματίσει μπορούμε να βρούμε 2,3,4 διαδοχικούς σύνθετους αριθμούς; 3. Ποιος μπορεί να είναι ο μεγαλύτερος αριθμός διαδοχικών σύνθετων αριθμών; 4. Ο Ευκλείδης και πάλι δίνει την απάντηση. Ισχυρίζεται ότι μπορούμε να βρούμε οποιοδήποτε πλήθος διαδοχικών σύνθετων αριθμών. 5. Ας παρακολουθήσουμε την απόδειξή του. * Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι είμαστε σε θέση να βρούμε ένα πλήθος ν σύνθετων διαδοχικών φυσικών αριθμών. * Κατασκευάζουμε τον φυσικό k 2 3 ... (ν 1). * Ο αριθμός k 2 2 3 ... (ν 1) 2 είναι σύνθετος αφού διαιρείται με το 2. * Ο αριθμός k 3 2 3 ... (ν 1) 3 όμοια είναι σύνθετος αφού διαιρείται με το 3. * Όμοια τα ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς k 4 2 3 ... (ν 1) 4 , k 5 2 3 ... (ν 1) 5 κ.τ.λ. k (ν 1) 2 3 ... (ν 1) (ν 1). * Με τον τρόπο αυτό έχουμε βρει ν διαδοχικούς φυσικούς σύνθετους αριθμούς. 6. Παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν 6 διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί. Σχηματίζουμε τον αριθμό 2 3 4 5 6 7 5040. Οι αριθμοί 5042 , 5043 , 5044 , 5045 , 5046 , 5047 είναι έξι διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί.
  • 35.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 35 Ο τύπος του Euler A. Δημιουργώντας έναν θαυμαστό τύπο… 1. Το 1737 ο Leonhard Euler, ο πολυγραφότερος όλων των Μαθηματικών κατέληξε στην ισότητα : 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 1 1 1 2 3 4 51 1 1 1 2 3 5 7 2. Το περίεργο στην ισότητα αυτή είναι ότι στο πρώτο μέλος έχουμε ένα άπειρο γινόμενο που περιλαμβάν ει όλους τους πρώτους, ενώ στο δεύτερο μέλος έχουμε ένα άπειρο άθροισμα των αντιστρόφων όλων των φυσικών αριθμών. 3. Το άθροισμα του δεύτερου μέλους ήταν γνωστό στη μαθηματική κοινότητα ως αρμονική σειρά (harmonic series ). Ήταν επίσης γνωστό ότι το άθροισμα αυτό δεν ήταν στην ουσία ένας αριθμός αλλά μία έννοια, αυτή του απείρου. Δηλαδή το αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των αντιστρόφων των φυσικών είναι άπειρο. Στα Μαθηματικά αυτό λέγεται ότι η σειρά (των προσθετέων) αποκλίνει (diverges ). 4. Γιατί όμως; Παρακολουθήστε τη σειρά των συλλογισμών. 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ... 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ... 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 1 ... 2 2 2 1 1 1 ...
  • 36.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 36 5. Το θαυμαστό είναι ότι ο Euler δεν σταμάτησε εδώ αλλά γενίκευσε το συμπέρασμα του και κατέληξε στην ισότητα : s s s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 1 12 3 4 5 6 1 1 1 1 2 3 5 7 όπου s ένας οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος του 1. 6. Αν ονομάσουμε : s s s s 1 1 1 1 ζ(s) 1 ... 2 3 4 5 , την οποία θα τη λέμε από εδώ και πέρα συνάρτηση ζήτα (zeta function) η γενική σχέση παίρνει την κομψή μορφή : s 1 ζ(s) (1 p ) , άμα μπερδευτήκατε δεν πειράζει έτσι και αλλιώς δεν θα χρησιμοποιήσουμε πολύπλοκα σύμβολα ξανά, μία φορά έτσι προς τιμή του Euler !!! 7. Ένας ιδιαίτερα όμορφος τρόπος απόδειξης του παραπάνω τύπου βασίζεται ουσιαστικά σε μέθοδο που μοιάζει με αυτό του κόσκινου του Ερατοσθένη. Ο τρόπος αυτός αποδίδεται στον ίδιο τον Euler. Ισχύει ότι : s s s s 1 1 1 1 ζ(s) 1 ... (1) 2 3 4 5 Πολλαπλασιάζουμε επί s 1 2 και έχουμε : s s s s s s 1 1 1 1 1 1 ζ(s) ... (2) 2 2 4 6 8 10 Αφαιρούμε την (2) από τη (1) και έχουμε : s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ζ(s) 1 ... (3) 2 3 5 7 9 11 13 Πολλαπλασιάζουμε την (3) επί s 1 3 και έχουμε : s s s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ζ(s) ... (4) 3 2 3 9 15 21 27 33 39
  • 37.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 37 Αφαιρούμε την (4) από την (1) και έχουμε : s s s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) ζ(s) 1 ... (5) 3 2 5 7 11 13 17 19 23 Παρατηρήστε ότι με τη διαδικασία αυτή πρώτα «εξαφανίσαμε» στο δεύτερο μέλος όλα τα πολλαπλάσια του 2 και μετά όλα τα πολλαπλάσια του 3. Αν συνεχίσουμε παρόμοια θα έχουμε την ισότητα : s s s s s s s s s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) ζ(s) 1 ... 5 3 2 7 11 13 17 19 23 Μετά από «άπειρη» παρόμοια διαδικασία μπορούμε να ισχυριστούμε ότι θα καταλήξουμε στην ισότητα : s s s s s 1 1 1 1 1 ... (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ζ(s) 1 11 7 5 3 2 Ή ισοδύναμα στην ισότητα : s s s s 1 1 1 1 ζ(s) ... 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 7 * 1 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) Β. Ένας άλλος τρόπος για την απόδειξη της απειρίας των πρώτων Αν υποθέσουμε ότι οι πρώτοι δεν ήταν άπειροι τότε το γινόμενο 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 7 θα αντιπροσώπευε ένα πεπερασμένο γινόμενο άρα κάποιον πραγματικό αριθμό. Αυτό είναι άτοπο διότι γνωρίζουμε ότι ισχύει η ισότητα 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 1 1 1 2 3 4 51 1 1 1 2 3 5 7 και ότι το δεύτερο μέλος της είναι μία αποκλίνουσα σειρά.
  • 38.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 38 Το θεώρημα των πρώτων αριθμών Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν μικρότεροι από το 20; Η απάντηση είναι εύκολη. Υπάρχουν οκτώ οι 2,3,5,7,11,13,17,19. Πόσοι πρώτοι υπάρχουν μικρότερ οι από χίλια; Από ένα εκατομμύριο; Από ένα δισεκατομμύριο; Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος ο οποίος να μας δ ίνει το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό, χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε; Ας συμβολίσουμε με π(n) το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι ή ίσοι του n. Τότε προφανώς π(20) 8. Ο Ευκλείδης, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, απόδειξε ότι καθώς ο n γίνεται ολοένα και μεγαλύτερος η τιμή του π(n) απειρίζεται. Υπάρχει όμως ένας τύπος για το π(n); Α. Η ιστορία ξεκινά… 1. Στο τέλος του 18 ο υ αιώνα o Γάλλος Μαθηματικός ο Adrien-Marie- Legendre και ο Gauss διατύπωσαν την άποψη ότι καθώς το n γίνεται ολοένα και μεγαλύτερο η τιμή π(n) ολοένα και περισσότερο πλησιάζει στην τιμή n ln(n) . 2. Το 1850 ο Ρώσος Μαθηματικός Pafnuty Chebyshev απόδειξε ότι: αν η ποσότητα π(n) n ln(n) συγκλίνει καθώς το n αυξάνει τότε το όριο πρέπει να είναι το 1 .
  • 39.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 39 3. Το 1859 ο Γερμανός Μαθηματικός Bernhard Riemann στο διδακτορικό του «σχετικά με τον αριθμό των πρώτων που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο φυσικό » ( on the Number of Prime Less Than a Given Magnitude) παρουσίασε πολλές επαναστατικές ιδέες σχετικά με το θέμα αυτό. Επίσης συνέδεσε το ζήτημα αυτό με τους μιγαδικούς αριθμούς και τη συνάρτηση ζήτα που από τότε λέγεται και Riemann zeta function . Μελέτησε τις μιγαδικές λύσεις s x iy της εξίσωσης ζ(s) 0 για 0 x 1 και συνέδεσε το θεώρημα των πρώτων αριθμών με την περίφημη υπόθεση του ( Riemann Hypothesis ) ότι όλες οι μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης ζ(s) 0 έχουν πραγματικό μέρος ίσο με 1/2 . Το σημαντικό είναι ότι αν η υπόθεση του Riemann είναι αληθής τότε αποδεικνύεται η μικρή διαφορά ανάμεσα στις τιμές των ποσοτήτων π(n) και n ln(n) . Επίσης η αλήθεια της υπόθεσης κάνει τα Μαθηματικά πλουσιότερα αφού εκατοντάδες θεωρήματα έχουν αποδειχθεί ξεκινώντας με την φράση « αν η υπόθεση Riemann είναι αληθής τότε …». Το 1900 ο Γερμανός Μαθηματικός David Hilbert παρουσίασε τα 23 προβλήματα που πρέπει να ασχοληθεί η μαθηματική κοινότητα , ένα από αυτά ήταν και η υπόθεση του Riemann. Το 2000 το Ινστιτούτο των Μ αθηματικών του Cambridge «Clay» επικήρυξε την υπόθεση με βραβείο 1.000.000.$. Δικαίως θεωρείται το σπουδαιότερο άλυτο πρόβλημα των Μαθηματικών. Το 2001 ένα πρόγραμμα της θεωρίας των αριθμών που λέγεται “ZetaGrid”επιβεβαίωσε ότι οι πρώτες 100.000.000.000.00 0 μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης ζ(s) 0 έχουν πραγματικό μέρος ίσο με 1/2, βέβαια αυτό δεν είναι παρά μία αρκετά μεγάλη λίστα και όχι γενική απόδειξη της υπόθεσης του Riemann. 4. To 1896 o Γάλλος μαθηματικός Jasques Salomon Hadamard και ο Βέλγος Μαθηματικός Charles de la Vallee – Poussin , ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο απόδειξαν ότι : η ποσότητα π(n) n ln(n) συγκλίνει στο 1. Το Θ.Π.Α. επιτέλους αποδείχτηκε !!!
  • 40.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 40 5. Είδαμε ότι η ποσότητα π(n) προσεγγίζεται ικανοποιητικά από τη συνάρτηση n ln(n) . Ωστόσο υπάρχει και μία άλλη συνάρτηση που συμπεριφέρεται παρόμοια. Πρόκειται για τη συνάρτηση n 0 Li(n) (1/ logt)dt ονομάζεται «Λογαριθμικό ολοκλήρωμα» (logarithmic intergral). 6. Το 1914 ένας Βρετανός μαθηματικός ο John Littlewood μελετώντας τη συνάρτηση Li(n) απόδειξε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει αυτής της π(n) και μάλιστα άπειρες φορές. Χωρίς να μπορεί να βρεθεί ένας γενικός κανόνας για το πότε συμβαίνει αυτό. 7. Η λύση του Θ.Π.Α. που δόθηκε το 1896 ήταν εξαιρετικά έξυπνη και κομψή, αλλά προϋπόθετε εργαλεία και τεχνικές ιδιαίτερα απαιτητικά. Ο Βρετανός Μαθηματικός G.H.Hardy 1921 έθεσε το ερώτημα της δυνατότητας ύπαρξης μιας στοιχειώδους λύσης. 8. Το 1933 ο Νότιο αφρικανός Μαθηματικός Samuel Skewes απόδειξε ότι αν η υπόθεση Riemann είναι αληθής τότε … , η συνάρτηση Li(n) πρέπει να γίνεται μικρότερη της π(n) για κάποιο n μικρότερο του 3410 10 10 . Ο αριθμός αυτός γνωστός πλέον ως Skewes number είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που εμφανίζεται σε απόδειξη των μαθηματικών. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η Li(n) β ρ ί σ κ ε τ α ι π ά ν ω α π ό τ η ν κ α τ α ν ο μ ή τ ω ν π ρ ώ τ ω ν π(n) ( κ ό κ κ ι ν η γ ρ α μ μ ή ) κ α ι α π ό κ ά τ ω έ χ ο υ μ ε τ η ν n ln(n) * 2 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
  • 41.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 41 9. Το 1948 ο Ούγγρος μαθηματικός Paul Erdos και ο Νορβηγός Μαθηματικός Atle Selberg έδωσαν σε χωριστές αναφορές τη στοιχειώδη (elementary) απόδειξη προϋποθέτοντας απλές γνώσεις λογαρίθμων. Η απόδειξη αυτή έμελε να φέρει σ ε ρήξη τους δύο Μαθηματικούς. Αλλά η μαθηματική κοινότητα τίμησε και τους δύο. Ο Selberg , ο οποίος ήταν καθηγητής στο Ινστιτούτο ανώτερων σπουδών του Πρίνστον , βραβεύθηκε το 1950 με το μετάλλιο Fields ( το Nobel των Μαθηματικών). Ο Erdos , που είχε πάνω από 1500 δημοσιεύσεις με πάνω από 500 συνεργάτες , το 1952 βραβεύθηκε με το Cole Prize ( από τα πλέον αξιοσέβαστα βραβεία στο χώρο των μαθηματικών). Β. Εικασίες … Σε όλη αυτή τη μακρά περίοδο αναζήτησης της απόδειξης του θεωρήματος των πρώτων αριθμών, ένα μεγάλο πλήθος εικασιών διατυπώθηκαν, ας αναφέρουμε μερικές… 1. Ο Gauss διατύπωσε την εικασία ότι οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδος περιέχει πάντα πρώτους αριθμούς . Το 1837 ο Γερμανός Μαθηματικός Johann Dirichlet απέδειξε την εικασία αυτή. 2. Ας γράψουμε την ακολουθία των πρώτων αριθμών, 2,3,5,7,11,13,17,19,… Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 3,5,7 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Πόσο μεγάλη λίστα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου μπορούμε να βρούμε στην ακολουθία των πρώτων α ριθμών; Το 2004 οι Ben Green και Terence Tao απέδειξαν ότι είμαστε σε θέση να βρούμε απεριόριστα μεγάλη λίστα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου, στην ακολουθία των πρώτων αριθμών. Μπορείτε να εξετάσετε αν υπάρχει αριθμητική πρόοδος από τρεις διαδοχικούς πρώτους της μορφής n, n 3, n 6 ;
  • 42.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 42 3. Δίδυμοι πρώτοι (twin primes); Λέγονται οι πρώτοι που διαφέρουν κατά δύο. Για παράδειγμα (3,5), (5,7), (11,13). Πόσοι είναι; Αυτό είναι ένα ανοικτό πρόβλημα και δεν έχει αποδειχθεί ακόμα. Μπορούμε όμως να αποδείξουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n 2 υπάρχει πρώτος μεταξύ των αριθμών n και 2n. Επίσης είμαστε σε θέση να αποδείξουμε ότι για κάθε θετικό αριθμό ε υπάρχει αριθμός εn ώστε για κάθε εn n υπάρχει πρώτος μεταξύ των n και (1 ε) n . 4. Το 1742 ο Christian Goldbach (1690-1764) διατύπωσε την εικασία ότι «κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων» . Για παράδειγμα 8=3+5, 16=5+11 . Υπάρχουν παραδείγματα όπου ο άρτιος μπορεί να γραφεί με περισσότερου ς τρόπους ως άθροισμα πρώτων, π.χ. 42=5+37=11+31=13+29=19+23. 5. Ο P.Fermat (1601-1665) έθεσε το ερώτημα αν ο τύπος n 2 nF 2 1 παράγει πρώτους αριθμούς. Πράγματι οι 1 2 3 4F 5, F 17, F 257, F 65537 είναι πρώτοι αλλά ο 32 5F 2 1 4294967297 δεν είναι , διαιρείται με το 641. Μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί άλλος πρώτος αριθμός από τον τύπο αυτό. Κ α τ α ν ο μ ή π ο υ π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο υ ς τ ρ ό π ο υ ς μ ε τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς μ π ο ρ ε ί ν α γ ρ α φ ε ί έ ν α ς ά ρ τ ι ο ς ω ς ά θ ρ ο ι σ μ α δ ύ ο π ρ ώ τ ω ν * 3 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
  • 43.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 43 6. Ο μοναχός M. Mersenne (1588-1648) ασχολήθηκε με το ερ ώτημα για ποιους πρώτους αριθμούς p ο αριθμός p pM 2 1 είναι πρώτος; Για p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 132049 παίρνουμε πρώτους αριθμούς , ο 11 11M 2 1 2047 23 89 είναι σύνθετος. Αν ο αριθμός pM είναι πρώτος τότε αυτός λέγεται αριθμός Μερσέν. Υπάρχει η εικασία ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί. Το 1983 με τη βοήθεια υπολογιστών υψηλών δυνατοτήτων αποδείχθηκε ότι ο αριθμός 132049M ,ένας αριθμός με 39751 ψηφία, είναι πρώτος. Το κυνήγι των αριθμών Μερσέν συνεχίζεται γιατί οι πρώτοι χρησιμοποιούνται σήμερα σε διαδικασίες κωδικοποίησης.
  • 44.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 44 Περί διαίρεσης φυσικών … Α. Η ευκλείδεια διαίρεση 1. Ας θυμηθούμε τη γνωστή μας διαίρεση (division) και τις ιδιότητές της με απλά παραδείγματα. Διαιρέστε το 47 με το 3. Η απάντηση που δίναμε στο σχολείο είναι ότι έχουμε πηλίκο (quotient ) 15 και υπόλοιπο (remainder)2 και γράφαμε : 47 3 15 2. Επίσης γνωρίζαμε τα πιθανά υπόλοιπα μιας διαίρεσης χωρίς να την κάνουμε. Για παράδειγμα η διαίρεση 51: 4 γνωρίζουμε ότι αποδίδει υπόλοιπο έναν από τους 0,1,2,3. Στην περίπτωση όπου το υπόλοιπο της διαίρεσης α : β είναι μηδέν τότε τη διαίρεση τη λέγαμε τέλεια, ή ότι ο β είναι διαιρέτης ή είναι παράγοντας του α. 2. Η ισότητα που γράφαμε μετά από μία διαίρεση αποδίδεται στον Ευκλείδη και λέγεται ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης . Σύμφωνα με αυτή ν αν Δ και δ φυσικοί αριθμοί με δ 0, τότε υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί π και υ ώστε : Δ δ π υ με 0 υ δ. Β. Μέγιστος κοινός διαιρέτης 1. Στο σχολείο συγκεντρώσαμε 126 τετράδια και 112 μολύβια για να τα δώσουμε σε ένα ορφανοτροφείο. Χρειάζεται όμως να τα συσκευάσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε το κάθε δέμα να έχει ίδιο αριθμό τετραδίων, μολυβιών, χωρίς να περισσεύει τίποτε. Πώς γίνεται αυτό;
  • 45.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 45 2. Ουσιαστικά ψάχνουμε τον μεγαλύτερο αριθμό που να διαιρεί (ακριβώς) τους αριθμούς 126 και 112. Η εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη ( greatest common divisor) επιτυγχάνεται αναλύοντας τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και επιλέγοντας στη συ νέχεια όλους τους κοινούς παράγοντές τους. Δηλαδή στο παράδειγμά μας: 126 2 3 3 7 και 112 2 2 2 2 7, άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο 2 7 14 (συμβολίζουμε (126,112)=14 ), επομένως σχηματίζουμε 14 όμοια δέματα. 3. Στην περίπτωση όπου οι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι τότε υπάρχει ένας αλγόριθμος που περιγράφεται στα στοιχεία του Ευκλείδη και είναι γνωστός ως Ευκλείδειος αλγόριθμος ( Euclidean algorithm ). Βασίζεται στην πρόταση : « αν α,β δύο φυσικοί αριθμοί και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β είναι ίδιος με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των β,υ, δηλαδή (α,β)=(β,υ) ». Η διαδοχική εφαρμογή της πρότασης αυτής οδηγεί σε διαδοχικές ευκλείδειες διαιρέσεις και τελικά ο Μ.Κ.Δ των δύο αρχικών αριθμών είναι το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο των διαιρέσεων αυτών. 4. Για παράδειγμα , ας υποθέσουμε ό τι θέλουμε να βρούμε τον (126,112). Με τη βοήθεια του αλγορίθμου, τότε έχουμε διαδοχικά : 126 112 1 14 112 14 8 0 το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο των διαδοχικών διαιρέσε ων είναι το 14 άρα (126,112)=14. Βρείτε τον (245,217) !!. Στην περίπτωση όπου για τους φυσικούς α,β έχουμε ότι (α,β)=1 τότε τους αριθμούς θα τους λέμε πρώτους μεταξύ τους (relatively prime numbers) . Προφανώς αν χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, δύο αριθμοί θα είναι πρώτοι μεταξύ τους αν το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι το 1. 5. Για παράδειγμα οι αριθμοί 84 και 55 είναι πρώτοι διότι : 84 55 29 55 29 26 29 26 3 26 3 2 1 1 1 8 1 13 2
  • 46.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 46 Από την παραπάνω διαδικασία έχουμε ότι : 3 2 3 26 3 3 26 29 26 26 29 1 ( 8) 1 9 ( 1) 9 9 10 9 ( 1) 10 19 10 ( 1) 26 29 55 29 29 55 84 55 55 84 5519 10 19 29 1 δηλαδή 84 5 19 2951 6. Αποδεικνύεται γενικά, ότι αν οι αριθμοί α,β είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε η εξίσωση α x β y 1 έχει λύση ως προς x,y . Το συμπέρασμα είναι εξαιρετικά χρήσιμο στην κρυπτογραφία… Γ. Η αριθμητική του ρολογιού … 1. Αν ήσαστε από αυτούς που στην ερώτηση 9+8 πόσο κάνει; εσείς απαντάτε 5 !!!, δεν πειράζει!!! Απλώς βλέπετε τον κόσμο διαφορετικά. Πιθανόν να έχετε στο μυαλό σας την ώρα και ένα ρολόι 12 ωρών. Κάποιος άλλος θα μπορούσε απαντήσει 9+8=3 έχοντας στο μυαλό του ένα ρολόι βδομάδας;;;
  • 47.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 47 2. Ας επικεντρώσουμε την προσοχή μας στα υπόλοιπα των διαιρέσεων των αριθμών 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,… με το 4. Αυτά είναι 0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,…. Παρατηρούμε ότι τα υπόλοιπα ανακυκλώνονται γύρω από τους αριθμούς 0,1,2,3. Τους αριθμούς αυτούς μπορούμε να τους φανταστούμε ως ενδείξεις ενός περίεργου ρολογιού, όπου όταν ο δείκτης του φθάσει στο 3 μετά δείχνει 0. Στο ρολόι αυτό μας ενδιαφέρει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός οποιουδήποτε αριθμού με το 4 και όχι ο ίδιος ο αριθμός. Έτσι για παράδειγμα οι αριθμοί 14 και 22, που διαιρούμενοι με το 4 αφήνουν και οι δύο υπόλοιπο 2, στο ρολόι μας θα σημειώνονται με το δείκτη να στέκεται στην ένδειξη 2. 3. Οι αριθμοί 14 και 22 θα λέγονται ισοϋπόλοιποι με μέτρο 4 και θα τους συμβολίζουμε 22 14(mod4) προφανώς μπορούμε να γράψουμε και 14 22(mod4). 4. Σε ένα τέτοιο ρολόι μπορούμε να ορίσουμε πράξεις όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός. Για παράδειγμα για τους αριθμούς 22 και 17 που αφήνουν διαιρούμενοι με το 4 υπόλοιπα 2 και 1 αντίστοιχα έχουμε ότι : ο αριθμός 22 17 39 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 3, ο αριθμός 22 17 5 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 1, ενώ ο αριθμός 22 17 374 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 2.
  • 48.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 48 5. Γενικά σε μία τέτοια αριθμητική ( modular arithmetic) εύκολα μπορούμε να καταλήξουμε στις παρακάτω ιδιότητες : Αν α β(modν) τότε α β 0(modν) δηλαδή ο ν διαιρεί (ακριβώς ) την διαφορά α -β. Αν α β(modν) και γ δ(modν) τότε : α γ β δ(modν) α γ β δ(mod ν ) α γ β δ(modν) Αν α β(modν) και γ τότε ισχύουν : α γ β γ(modν) α γ β γ(modν) α γ β γ(modν) Αν α β(modν) και m τότε θα ισχύουν m α m β(modν) m m α β (modν) 6. Τη θεωρία της modular αριθμητικής όπως τη γνωρίζουμε σήμερα τη θεμελίωσε ο Gauss το 1801. Ωστόσο αναφέρονται ενδιαφέρουσες εφαρμογές της αριθμητικής αυτής από τον 3 ο μ.Χ. αιώνα από Κινέζους Μαθηματικού ς. 7. Η modular αριθμητική βρίσκει πολλές εφαρμογές στη ζωή μας. Πέραν του ότι το ρολόι είναι κατά βάση μία τέτοια αριθμητική, το ίδιο συμβαίνει για παράδειγμα και στον χιλιομετρητή των αυτοκινήτων όπου κάθε 100.000 χιλιόμετρα «μηδενίζεται». Επίσης σε κάθε τσεκ που εκδίδεται από μία τράπεζα στην πάνω δεξιά γωνία υπάρχει ένας 9ψήφιος αριθμός, η ταυτότητα της τράπεζας που έκδωσε το τσεκ. Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός αυτός είναι ο A B C - D E F - G H I τότε από τα συστήματα ασφαλείας της τράπεζας δημιουργε ίται ένας νέος αριθμός π.χ. ο 7A 3B 9C 7D 3E 9F 7G 3H 9I και αν ο αριθμός αυτός είναι 0(mod10) τότε ο αριθμός του τσεκ είναι σωστός ειδάλλως πρόκειται για πλαστογράφηση. Σε αντίστοιχες αρχές βασίζεται και ο κώδικας ISBN των εκδόσεων και ο παγκόσμιος κώδικας παραγωγής UPCs.
  • 49.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 49 Κρυπτογραφία και Μαθηματικά Α. Λίγη ιστορία 1. Από τα παλιά χρόνια η ανάγκη για ασφαλή επικοινωνία οδήγησε τον άνθρωπο να χρησιμοποιεί μεθόδους κρυπτογραφίας (Cryptography ). Παράλληλα εκείνοι που ήθελαν να έχουν πρόσβαση στην ξένη αλληλογραφία ανέπτυξαν τεχνικές αποκρυπτογράφησης (Decryption). 2. Είναι γνωστό ότι οι αρχαίοι Σπαρτιάτες χρησιμοποιούσαν τη λεγόμενη σκυτάλη. Ουσιαστικά επρόκειτο για έναν κύλινδρο συγκεκριμένου διαμετρήματος στον οποίο περιτύλιγαν λωρίδα δέρματος. Στη συνέχεια έγραφαν πάνω σε αυτήν ένα σύντομο μήνυμα και ακολούθως το ξ ετύλιγαν. Μία σειρά από γράμματα παρουσιάζονταν χωρίς καμία προφανή συνοχή. Για να διαβαστεί θα έπρεπε ο παραλήπτης να είχε μία όμοια σκυτάλη και αφού τύλιγε με τη σειρά του τη λωρίδα σε αυτήν να διάβαζε το μήνυμα. 3. Ο Ιούλιος Καίσαρας κρυπτογραφούσε τις δι αταγές του αντικαθιστώντας τα γράμματα του κειμένου, με γράμματα, που βρίσκονται 3 θέσεις μετά, στο Λατινικό αλφάβητο. Ένα τέτοιο σύστημα κρυπτογράφησης λέγεται κρυπτοσύστημα αντικατάστασης του Καίσαρα (Caesar cipfer) . 4. Στη διάρκεια του Μεσαίωνα η κρυπτολογία ήταν κάτι το απαγορευμένο. Η εξέλιξη, τόσο της κρυπτολογίας, όπως και των μαθηματικών, συνεχίζεται στον Αραβικό κόσμο όπου εμφανίστηκαν και τα πρώτα βιβλία που περιείχαν κρυπταλφάβητα . Aλφάβητα δηλαδή όπου κάθε γράμμα της γλώσσας υποκαθ ίσταται από ένα άλλο γράμμα ή σύμβολο. 5. Ένα κείμενο που προκύπτει από υποκατάσταση κάθε γράμματος από ένα άλλο γράμμα ή σύμβολο λέγεται « μονοαλφαβητικό κρυπτόγραμμα υποκατάστασης » (Monoalphabetic substritution ciphers).
  • 50.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 50 6. Οι Άραβες ήταν και οι πρώτοι που επινόησαν μεθόδους κρυπτανάλυσης (μεθόδους ανάγνωσης ενός κρυπτογραφημένου κειμένου). 7. Η μέθοδος που βρήκαν λέγεται « ανάλυση συχνότητας» (Frequency analysis ) και βασίζεται στο γεγονός ότι στις περισσότερες γλώσσες κάποια γράμματα ή συνδυασμοί γραμμά των εμφανίζονται συχνότερα από κάποια άλλα. Με τον υπολογισμό της κατανομής των γραμμάτων μέσα στα λογοτεχνικά κείμενα βρίσκουμε ένα εργαλείο αποκρυπτογράφησης, αφού στα κρυπτογραφημένα κείμενα τέτοιες ιδιότητες αναπαράγονται. 8. Έτσι στην αρχή ψάχνουμε να βρούμε για τον κρυπτοχαρακτήρα που επαναλαμβάνεται περισσότερο και τον αντικαθιστούμε από τον χαρακτήρα που επαναλαμβάνεται περισσότερο στη φυσική γλώσσα. Τη διαδικασία αυτή τη συνεχίζουμε έως να φθάσουμε σε μία μοναδική λύση, όπου το εξαγόμενο μήνυμα να έ χει νόημα. 9. Το 1523 ο Γάλλος διπλωμάτης Βίζενερ επινόησε ένα σύστημα κρυπτογράφησης που βασιζόταν στην υποκατάσταση των γραμμάτων του κειμένου χρησιμοποιώντας όχι ένα αλλά εικοσιτέσσερα κρυπτογραφικά αλφάβητα !!! Έτσι το κάθε γράμμα μπορούσε να εμφανιστε ί στο κρυπτογραφημένο κείμενο με 24 διαφορετικές εκδοχές. Ο παραλήπτης για να αποκωδικοποιήσει το κείμενο θα έπρεπε να είχε στην κατοχή του ή να ήξερε τον τρόπο κατασκευής του βιβλίου των 24 αλφαβήτων αλλά και τη σειρά των αλφαβήτων που χρησιμοποιήθηκαν. Τ ο τελευταίο επιτυγχάνεται με τη βοήθεια ενός μυστικού κλειδιού. Ουσιαστικά το κλειδί ήταν μία φράση, όσο το δυνατό πιο μεγάλη και εύκολα απομνημονεύσιμη, η οποία έδινε ουσιαστικά τον τρόπο χειρισμού του βιβλίου κρυπτογράφησης.
  • 51.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 51 10. Στον εμφύλιο πόλεμο της Αμερικής χρησιμοποιήθηκε μία απλή μηχανή μονοαλφαβητικής κρυπτογράφησης . Ουσιαστικά ήταν δύο δίσκοι με τον εσωτερικό περιστρεφόμενο. Ανάλογα τη θέση των δύο δίσκων είχαμε τη δυνατότητα της μονοαλφαβητικής υποκατάστασης των γραμμάτων τους εξωτερικού δίσκου με τα αντίστοιχα γράμματα του εσωτερικού. Η πρώτη σύγχρονη «μηχανή» κρυπτογράφησης είχε γεννηθεί. Μία μηχανή που είχε το πλεονέκτημα να αλλάξει την κωδικοποίηση κάθε μέρα με μία απλή περιστροφή του εσωτερικού δίσκου. Πόσες φορές και σε ποια θέση; Αυτό είχε να κάνει με το κλειδί που συνήθως πάλι ήταν μία φράση, η οποία έδινε ουσιαστικά τον τρόπο συγχρονισμού των δύο δίσκων, ανά βδομάδα -μήνα, κ.τ.λ. 11. Η ιδέα της μηχανικής κρυπτογράφησης βρήκε τον καλύτερο εκφραστή της στη μηχανή «Αίνιγμα» ( Enigma), του γερμανικού στρατού κατά τον β’ παγκόσμιο πόλεμο. Επρόκειτο για μία αρκετά πολύπλοκη μηχανή όπου με μία σειρά αναδιατακτών και βυσμάτων κάθε γράμμα υποκαθίστατο συνεχώς με κάποιο άλλο αρκετές φορές. Σε μερικά μοντέλα οι δυνατότητες υποκατάστασης έφθαναν στις 22 10 φορές. Στον αγώνα της αποκρυπτογράφησης από την πλευρά των συμμάχων συμμετείχαν Γλωσσολόγοι, Μηχανικοί και Μαθηματικοί. Ο Άγγλος μαθηματικός Alan Turing (1912-1954) επικεφαλής της ομάδας των επιστημόνων και με τη βοήθεια της Βρετανικής αντικατασκοπίας κατόρθωσε να σπάσει τον κώδικα του αινίγματος και να συνεισφέρει με τον τρόπο τους στο τέλος του πολέμου. 12. Οι τεχνικές κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης πέρασαν στο χώρο των μηχανών. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές έκαναν την εμφάνισή τους. Η ασφάλεια των πληροφοριών και της επικοινωνίας ήταν το βασικό θέμα που απασχολούσε τους πάντες. Η κρυπτογράφηση των μηνυμάτων μέσω συστημάτων – κλειδιών ήταν μία μέθοδος αλλά ο όλο και αυξανόμενος όγκος πληροφορίας καθιστούσε τη διανομή των κλειδιών μία ιδιαίτερα δαπανηρή διαδικασία.
  • 52.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 52 Β. Η Αλίκη και ο Μπομπ μία κλασική ιστορία … 1. Το κόστος ανταλλαγής των κλειδιών ασφαλείας των μηνυμάτων οδήγησαν τα ινστιτούτα ερευνών πληροφοριακών συστημάτων να σχεδιάσουν προγράμματα ώστε να λυθεί το πρόβλημα αυτό. 2. Υπάρχει μία συνηθισμένη ιστορία που λέγεται ότι οδήγησε στην τελική λύση του προβλήματος. Η ιστορία που μπλέκει την Αλίκη και τον Μπομπ. Ας υποθέσουμε ότι η Αλίκη θέλει να στείλει το κλειδί ασφαλείας στον Μπομπ. Πως μπορεί να το κάνει; Με το ταχυδρομείο. Είναι όμως ασφαλές; Να του το δώσει η ίδια. Είναι όμως αυτό πάντα εφικτό; *Η λύση είναι να το βάλει σε ένα μπαούλο, να το κλειδώσει με ένα λουκέτο και μέσω ταχυδρομείου να το δώσει στον Μπομπ. *Αυτός με τη σειρά του θα κλειδώσει το μπαούλο με ένα δικό του λουκέτο και μέσω ταχυδρομείου θα το παραδώσει και πάλι στην Αλίκη. *Η Αλίκη τώρα θα ξεκλειδώσει το λουκέτο της και θα το ταχυδρομήσει για τελευταία φορά στον Μπομπ. *Ο Μπομπ τώρα δεν έχει παρά να ξεκλειδώσει το λουκέτο του και να πάρει το κλειδί ασφαλείας. * 4 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) 3. Με την ίδια λογική η Αλίκη κρυπτογραφεί με το κλειδί της το κείμενο , ο Μπόμπ όταν το λαμβάνει το κρυπτογραφεί και εκείνος και το στέλνει πίσω. Η Αλίκη αφαιρεί τη δική της κρυπτογράφηση και το ξαναστέλνει στον Μπομπ, όπου τελικά αφαιρεί τη δική του κρυπτογ ράφηση και διαβάζει το μήνυμα. 4. Δυστυχώς η διαδικασία αυτή στην κρυπτογράφηση δεν μπορεί να λειτουργήσει. Σε ένα κρυπτογραφημένο κείμενο το τελευταίο στάδιο κρυπτογράφησης πρέπει να είναι και το πρώτο που πρέπει να αποκρυπτογραφηθεί !!! Η σειρά των βημάτων δεν εφαρμόζεται.
  • 53.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 53 5. Η ιστορία όμως αυτή οδήγησε τους W.Diffie – M.Hellman – R.Mercle να σχεδιάσουν έναν τρόπο διανομής του κλειδιού με ασφάλεια, που συγχρόνως παρακάμπτει το πρόβλημα ότι στην κρυπτογράφηση « το τελευταίο προστιθέμενο πρώτο αφαιρείται». Η modular αριθμητική ήταν η λύση… 6. Ας σκεφθούμε τη συνάρτηση x y 3 (mod7). Η συνάρτηση αυτή για κάθε τιμή της μεταβλητής x αποδίδει το υπόλοιπο της διαίρεσης x 3 : 7 . Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης αυτής είναι ο παρακάτω : 7. Το σημαντικό σε αυτές τις συναρτήσεις είναι ότι όταν γνωρίζεις μία τιμή τους δεν βρίσκεις την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής χ. Δηλαδή τέτοιες συναρτήσεις δεν αντιστρέφονται. 8. Ας υποθέσουμε ότι το κ λειδί που θέλουν η Αλίκη και ο Μπομπ να μοιραστούν ότι είναι ένας αριθμός. Μη ξεχνάμε ότι τα πάντα στους υπολογιστές είναι ουσιαστικά ακολουθίες των ψηφίων 0 και 1, αφού ουσιαστικά η μετάδοση της όποιας πληροφορίας μετατρέπεται στο δυαδικό σύστημα σε οκτάδ ες τέτοιων ψηφίων τα γνωστά σε όλους μας « bits». Ας υποθέσουμε επίσης ότι η συνάρτηση που θα ακολουθήσουν στην κρυπτογραφημένη διανομή του κλειδιού έχει συμφωνηθεί να είναι η x y 3 (mod7) . Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή σε όλους !!! Στη συνέχεια ο καθένας επιλέγει έναν αριθμό. Π.χ. η Αλίκη διαλέγει τον Α=3 και ο Μπομπ τον Β=1, τους οποίους τους κρατάνε κρυφούς . Ας παρακολουθήσουμε τη μαγεία των μαθηματικών …
  • 54.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 54 Αλίκη Η Αλίκη βρίσκει την τιμή 3 α 3 (mod7) η οποία είναι 6 τον αριθμό αυτόν το δημοσιοποιεί η Αλίκη ελεύθερα η Αλίκη βρίσκει τον αριθμό A 3 b (mod7) 3 (mod7) 6 Μπομπ Ο Μπομπ βρίσκει την τιμή 1 b 3 (mod7) η οποία είναι 3 Τον αριθμό αυτόν το δημοσιοποιεί ο Μπομπ ελεύθερα Ο Μπομπ βρίσκει τον αριθμό B 1 α (mod7) 6 (mod7) 6 * 5 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) 9. Ο κοινός αυτός αριθμός είναι το κλειδί !!! 10. Οποιοσδήποτε τρίτος έχοντας τις πληροφορίες ότι η συνάρτηση είναι η x y 3 (mod7) και ότι οι δημόσιοι αριθμοί των δύο φίλων είναι 6 και 3, δεν μπορεί με τα στοιχεία αυτά να οδηγηθεί στην εύρεση του κλειδιού κρυπτογράφησης. Η αιτία είναι ότι τέτοιες συναρτήσεις δεν αντιστρέφονται. 11. Το μόνο «ελάττωμα» ενός τέτοιου συστήματος είναι ότι χρειάζεται οι δύο φίλοι να επικοινωνούν σε πραγματικό χρόνο ώστε να συμφωνήσουν για τα τρία απαραίτητα στοιχεία της διανομής του κλειδιού κρυπτογράφησης. Το σύστημα αυτό ανταλλαγής κλειδιών καταργεί τον αυθόρμητο χαρακτήρα του ηλεκτρονικού ταχυδρομείου.
  • 55.
    Ι Σ ΤΟ Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών » Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 55 Γ. Το δημόσιο κλειδί 1. Όλες οι τεχνικές κρυπτογράφησης που έχουν αναφερθεί μέχρι τώρα είναι συμμετρικές, δηλαδή το κλειδί για την κωδικοποίηση και την αποκωδικοποίηση ενός κρυπτογραφημένου μηνύματος είναι το ίδιο. 2. Ο Whitfield Diffie επινόησε ένα νέο είδος κρυπτογραφήματος που περιελάμβανε το λεγόμενο ασύμμετρο κλειδί . Στην περίπτωση αυτή το κλειδί της κρυπτογράφησης δεν είναι το ίδιο με αυτό της αποκρυπτογράφησης. Σε μία τέτοια διαδικασία ο χρήστης κρατά το κλειδί αποκρυπτογράφησης μ υστικό, από εδώ και στο εξής θα το λέμε ιδιωτικό (private) και δημοσιοποιεί το κλειδί κρυπτογράφησης το οποίο θα το λέμε δημόσιο (public). Το πλεονέκτημα, όπως θα φανεί παρακάτω, είναι ότι δεν χρειάζεται πλέον η συνεργασία σε πραγματικό χρόνο των δύο χρηστ ών. 3. Αν θέλουμε να δούμε ένα ισοδύναμο παράδειγμα, όπως προηγουμένως με τα λουκέτα μεταξύ Αλίκης και Μπομπ, τότε ας φανταστούμε την Αλίκη να δημιουργεί πολλά λουκέτα αλλά ένα κλειδί που το κρατά η ίδια. * 6 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) 4. Για να λειτουργήσει ένα τέτοιο σύστημα πάλι χρειαζόμαστε την κατάλληλη συνάρτηση. Τα μαθηματικά για άλλη μία φορά δίνουν τη λύση. Ένα θεώρημα ενός παλιού γν ώριμου βοήθησε …
  • 56.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 6 Το σύστημα R.S.A. A. Δύο θεωρήματα της modulo αριθμητικής … 1. Τον Οκτώβρη του 1640 ο P.Fermat δημοσίευσε, χωρίς να το αποδείξει, ένα θεώρημα που είναι γνωστό ως « το μικρό θεώρημα του Fermat». Το θεώρημα αυτό το απόδειξε το 1736 ο Euler. 2. Η πρόταση αυτή λέει ότι : « Έστω p ένας πρώτος αριθμός και α ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός ώστε οι αριθμοί p,α να είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης p 1 α :p είναι 1.» Δηλαδή p 1 α 1(modp) Για παράδειγμα αν 7919 ο πρώτος αριθμός και οι αριθμοί 7919 , 5862 είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε : 7918 5862 1(mod7919). 3. Ο Euler εκτός της απόδειξης του μικρού θεωρήματος γενίκευσε το συμπέρασμά του καταλήγοντας στο εξής θεώρημα : «Έστω n ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός (πρώτος ή σύνθετος) . Γνωρίζουμε ότι τα πιθανά μη μηδενικά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός αριθμού με τον n είναι 1,2,3,...,n 1. Αν r το πλήθος των υπολοίπων αυτών που είναι πρώτοι με τον n, τότε για οποιοδήποτε αριθμό α που είναι πρώτος με τον n ισχύει ότι r α 1(modn)». Το μικρό θεώρημα του Fermat είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Euler αφού όταν ο n είναι πρώτος όλα τα πιθανά υπόλοιπα του (και τα n 1 ) είναι αριθμοί πρώτοι με τον n. 4. Για παράδειγμα . Ας θεωρήσουμε τον αριθμό 21, τα πιθανά μη μηδενικά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός αριθμού με το 21 είναι : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20. Από αυτά οι αριθμοί : 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20 , 12 το πλήθος είναι πρώτοι με τον 21. Οπότε για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό α θα ισχύει 12 α 1(mod21), δηλαδή 12 12 12 3 1mod(21) , (10 ) 1(mod21) κ.τ.λ.
  • 57.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 7 Β. Οι κύριοι R.Rivest , A.Shamir , L.Adleman 1. To 1977 τρεις μαθηματικοί του M.I.T. οι Ron Rivest, Adi Shamir και Leonard Adleman έκαναν πράξη το ασύμμετρο κρυπτογράφημα . Όπως ήδη έχουμε αναφέρει στην κωδικοποίηση αυτή το κλειδί της κρυπτογράφησης δεν είναι το ίδιο με αυτό της αποκρυπτογράφησης. Σε αυτήν τη διαδικασία ο χρήστης κρατά το κλειδί αποκρυπτογράφησης μυστικό ιδιωτικό κλειδί (private) και δημοσιοποιεί το κλειδί κρυπτογράφησης δημόσιο κλειδί (public). Για να το πετύχουν αυτό οι R,S,A χρησιμοποίησαν μία μονοσήμαντη συνάρτηση που μπορεί να αντιστραφεί μόνο αν ο αποδέκτης του μηνύματος κατέχει κάποια ειδική πληροφορία. 2. Ο καθορισμός των δύο κλειδιών γίνεται ως εξής : *Διαλέγουμε δύο διαφορετικούς πρώτους αριθμούς, όσο μεγαλύτερους μπορούμε. Για το παράδειγμά μας ας επιλέξουμε τους πρώτους 3 και 7. *Το γινόμενό τους είναι 21. *Πολλαπλασιάζουμε τους πρώτους που επιλέξαμε ελαττωμένους κατά ένα, δηλαδή (3 1) (7 1) 2 6 12. *Επιλέγουμε έναν οποιονδήποτε φυσικό που να είναι πρώτος με τον 12, π.χ. τον 29. *Γνωρίζουμε ότι : (12,29) 1 άρα υπάρχουν x,y ώστε 29 x 12 y 1. (δες σελίδα 46). Πράγματι ισχύει ότι 29 12 25 1 1. *Δημοσιεύουμε τους αριθμούς 29 και 21 (δημόσιο κλειδί) και *κρατάμε κρυφό τον αριθμό 5 (ιδιωτικό κλειδί). *Όλοι οι υπόλοιποι αριθμοί και πράξεις καταστρέφονται. 3. Ας παρακολουθήσουμε τώρα τη διαδικασία κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης με τη βοήθεια ενός απλού παραδείγματος : Κάποιος φίλος μας θέλει να μας ειδοποιήσει ότι θα φθάσει με το τρένο «Κ». Θέλει λοιπόν να μας στείλει την πληροφορία «Κ» κωδικοποιημένα και με ασφάλ εια.
  • 58.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 8 Στην αρχή αντιστοιχεί το γράμμα Κ με τον αριθμό 10, τη θέση δηλαδή του γράμματος στο Ελληνικό αλφάβητο. Πράγμα που είναι εκ των προτέρων συμφωνημένο και γνωστό σε όλους. Μην ξεχνάμε ότι μέσω του ηλεκτρονικού ταχυδρομείου τα πάντα στέλνονται ως αριθμοί, γραμμένοι μάλιστα σε μορφή ASCII γνωστοί εξ αρχής σε όλους. Θέλουμε λοιπόν να στείλουμε κρυπτογραφημένο τον αριθμό 10. Βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 29 10 : 21 το οποίο είναι 19. Ισχύει δηλαδή 29 19 10 (mod21). Τον αριθμό αυτόν μας τον στέλνουν και τον λαμβάνουμε ως εισερχόμενο μήνυμα. Εμείς μόλις λάβουμε τον αριθμό 19, βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 5 19 : 21 το οποίο είναι 10. Δηλαδή 5 10 19 (mod21). Άρα το μήνυμα μας αποκωδικοποιημένο είναι ο αριθμός 10, που είναι εύκολο να αντιστοιχηθεί με το 10 ο γράμμα της αλφαβήτου δηλαδή το γράμμα Κ. Γ. Γιατί όμως το σύστημα αυτό είναι τόσο ασφαλές; 1. Ο Ron Rivest σχεδίασε τη διαδικασία αυτή με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι αντιστρέψιμη από κάποιον που να γνωρίζει τις τιμές των δύο αρχικών πρώτων αριθμών, δηλαδή των πρώτων που το γινόμενο τους δίνει ένα μέρος του δημόσιου κλειδιού. 2. Αποδεικνύεται ότι αν το γινόμενο Ν p q είναι αρκετά μεγάλο είναι ουσιαστικά αδύνατο να εξαχθούν από αυτό οι τιμές των πρώτων p,q. Αν ο αριθμός Ν είναι ο 408.508.091 που παράγεται από τους 18.313 και 22.307, ένας εξασκημένος μαθηματικ ός στους πρώτους αριθμούς θα χρειαζόταν πάνω από 8 ώρες για να προσδιορίσει την παραγοντοποίηση. Αν οι αρχικοί αριθμοί ήταν της τάξεως του 65 10 ψηφίων τότε το γινόμενο τους, δηλαδή ο αριθμός Ν θα ήταν της τάξης των 130 10 ψηφίων. Ένας σύγχρονος υπολογιστής θα χρειαζόταν περί τα 50 χρόνια για να παραγοντοποιήσει έναν τέτοιο αριθμό. Όμως εκατό εκατομμύρια συνεργαζόμενοι υπολογιστές (όσοι πουλήθηκαν το 1995) θα χρειαζόντουσαν περίπου τα 15 δευτερόλεπτα. * 7 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
  • 59.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 9 3. Άρα ανάλογα με το βαθμό ασφαλείας που χρειαζόμαστε δεν έχουμε παρά να επιλέξουμε μεγάλους , πραγματικά μεγάλους πρώτους της τάξεως των 308 10 ψηφίων. Ένα τέτοιο κρυπτογράφημα θα χρειαζόταν συνδυασμέν ες προσπάθειες εκατομμυρίων υπολογιστών επί χίλια και πλέον χρόνια για να σπάσει. 4. Λέγεται ότι το 1977 όταν ανακοινώθηκε επίσημα το RSA, ο Martin Gardner έδωσε στο περιοδικό Scientific American τον πρώτο : Ν=114.381.625.757.888.867.669.235.779.976.146.612.010.218.296. 721.242.362.562.561.842.935.706.935.245.733.897.830.597.123.563. 958.705.058.989.075.147.599.290.026.879.543.541 προκαλώντας με το «βραβείο» των 100 δολαρίων οποιονδήποτε να τον παραγοντοποι ήσει. Η λύση δόθηκε 17 χρόνια μετά από συνδυασμένες προσπάθειες πολλών υπολογιστών. * 8 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) Το σύστημα RSA προς στιγμή τουλάχιστον είναι ασφαλές !!
  • 60.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 0 Οι Διοφαντικές εξισώσεις Α. Ο πρώτος Αλγεβριστής… 1. Στην Παλατινή Βιβλιοθήκη της Χαϊδελβέργης ανακαλύφτηκε το 1606 ένα χειρόγραφο που περιλαμβάνει την Ανθολογία του Κωνσταντίνου Κεφαλά ( Ι ε ρ ω μ έ ν ο ς λ ό γ ι ο ς α π ό τ η ν Κ ω ν σ τ α ν τ ι ν ο ύ π ο λ η 9 ο ς Μ . Χ . α ι ώ ν α ς ). Για το λόγο αυτό ο κώδικας πήρε το όνομα «Παλατινή ή Ελληνική Ανθολογία». Πρόκειται για μια συλλογή 3.700 ελληνικών ποιημάτων -επιγραμμάτων, ποικίλου περιεχομένου. Είναι ταξινομημένα κατά θέματα σε 16 βιβλία. Στο 14ο βιβλίο υπάρχουν 46 μαθηματικά επιγράμματα. 2. Ένα από αυτά ασχολείται με την ηλικία του Διόφαντου, Έλληνα μαθηματικού που έζησε στην Αλεξάνδρεια τον 3 ο Μ.Χ. αιώνα. Αναφέρει λοιπόν το επίγραμμα : «ο Διόφαντος το ένα έκτο της ζωής του ήταν παιδί, το ένα δωδέκατο μετά από αυτό βγάζει τρίχες στα μάγουλα, μετά το επόμενο ένα έβδομο παντρεύτηκε, πέντε έτη μετά το γάμο του γέννησε έναν υιό, που αλίμονο, το ατυχές παιδί, όταν έφθασε στο ένα δεύτερο της ηλικίας του πατέρα του, πέθανε και από τότε επί τέσσερα έτη παρηγορούσε το πένθος του με τη σοφία των αριθμών και έτσι τερμάτισε τη ζωή του .» 3. Ο Διόφαντος θεωρείται ο πατέρας της Άλγεβρας αφού ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε μαθηματικά σύμβολα για τη λύση εξισώσεων, εισήγαγε τους ρητούς αριθμούς, ωστόσο τις αρνητικές λύσεις των εξισώσεων τις απέρριπτε ως παράλογες, αφού δεν είχαν νόημα σε προβλήματα μέτρησης αντικειμένων. Χρησιμοποιώντας λοιπόν σύγχρονους συμβολισμούς τιμώντας τον μεγάλο μαθηματικό υπολογίστε την ηλικία του… 4. Το σημαντικότερο έργο της ζωής του ήταν μία συλλογή από 13 βιβλία, με τον τίτλο « τα Αριθμητικά». Δυστυχώς μόνο τα 6 από αυτά σώζονται. Ουσιαστικά πρόκειται για το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας όπου ασχολείται με προβλήματα που τα λύνει περιγράφοντας την όλη διαδικασία επίλυσης τους αλλά και εισάγοντας τους πρώτους συμβολισμούς. Το 1570 ο Ιταλός μαθηματικός Rafael Bombelli μετέφρασε τα Αριθμητικά του Διόφαντου στα Λατινικά.
  • 61.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 1 Β. Οι Διοφαντικές εξισώσεις 1. Σήμερα μία εξίσωση με έναν ή περισσότερους αγνώστους με ακέραιους συντελεστές την λέμε Διοφαντική εξίσωση. Ο σκοπός μας σε μία Διοφαντική εξίσωση εί ναι να εξετάσουμε αν έχει ακέραιες λύσεις και αν έχει, πόσες. Για παράδειγμα : * η εξίσωση 2x 1 7 έχει μία ακέραια λύση την x 3, * η εξίσωση 2x 1 6 δεν έχει ακέραια λύση, * η εξίσωση 2 x 4 έχει δύο ακέραιες λύσεις τις x 2, * η εξίσωση px qy 1 με p,q δύο πρώτους μεταξύ το υς φυσικούς αριθμούς έχει άπειρες ακέραιες λύσεις. Π.χ. η εξίσωση 3x 2y 1 έχει λύσεις όλους τους ακεραίους που δίνονται από τις ισότητες x 2n 1 και y 3n 1 για κάθε n * Γενικότερα η εξίσωση αx βy γ έχει λύση, αν και μόνο αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δ των α,β διαιρεί τον γ . Αν η εξίσωση αυτή έχει μία λύση o o(x ,y ) τότε θα έχει άπειρες που δίνονται από τους τύπους o o β α x x t, y y t δ δ όπου t . 2. Στην προσπάθεια να λύσουμε μία Διοφαντική εξίσωση η modular αριθμητική έχει λόγο. Για παράδειγμα η εξίσωση 3 4x 2y 1 έχει ακέραιες λύσεις ;. Αν παρατηρήσουμε ότι το αριστερό μέλος εκφράζει έναν άρτιο αριθμό ενώ το δεξί έναν περιττό εύκ ολα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις. Έτσι μπορούμε να καταλήξουμε στην πρόταση: «αν μπορούμε να βρούμε ακέραιο m ώστε τα δύο μέλη μιας Διοφαντικής εξίσω σης να αποδίδουν διαφορετικό υπόλοιπο διαιρούμενα με το m τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις ». 3. Η εξίσωση 2 2 2 x y z έχει ακέραιες λύσεις και αν ναι πόσες; Η παραπάνω εξίσωση προκύπτει από το γνωστό σε όλους μας Πυθαγόρειο θεώρημα, μία πολύ γνωστή λύση είναι η x 3, y 4, z 5 . Εκτός από αυτή υπάρχουν και πολλές ακόμα. Όλες οι λύσεις της εξίσωσης λέγονται Πυθαγόρειες τριάδες. Πόσες ακέραιες τέτοιες τριάδες μπορούμε να βρούμε;
  • 62.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 2 Γ. Η 10η ερώτηση του Hilbert 1. Βρισκόμαστε στο 1900, στο διεθνές συνέδριο των Μαθηματικών που γίνεται στο Παρίσι. Ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert (1862-1943) θέτει στη Μαθηματική κοινότητα 23 προβλήματα – ερωτήσεις που, κατά τη γνώμη του, οι λύσεις τους θα αναπτύξουν τη Μαθηματική επιστήμη. Η ομιλία αυτή θεωρείται από τις σπουδαιότερες μαθηματικές διαλέξεις που έχουν γίνει ποτέ. 2. Η 10η ερώτηση επικεντρώνεται στις Διοφαντικές εξισώσεις. « Δεδομένης μιας Διοφαντικής εξίσωσης με οποιονδήποτε αριθμό αγνώστων και ακέραιους συντελεστές, να επινοηθεί μία διαδικασία που να καταλήγει στο συμπέρασμα αν η εξίσωση έχει λύσεις και πόσες στο σύνολο των ακεραίων». 3. Με άλλα λόγια υπάρχει ένας αλγόριθμος επίλυσης μιας Διοφαντικής εξίσωσης με οποιοδήποτε αριθμό αγνώστων; Το 1970, ο Ρώσος μαθηματικός Yuri Matyasevich, σε ηλ ικία 22 χρόνων, απέδειξε ότι ένας τέτοιος αλγόριθμος δεν υπάρχει. 4. Η μελέτη των Διοφαντικών εξισώσεων αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους κλάδους των σύγχρονών μαθηματικών αφού σε πολλά από τα λεγόμενα «άλυτα προβλήματα» εμπλέκονται τέτοιες εξισώσεις.
  • 63.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 3 Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Α. Ο χαρακτήρας … 1. Ο Pier de Fermat γεννήθηκε στις 20 Αυγούστου του 1601 στην πόλη Beaumont-de Lomagne της νοτιοδυτικής Γαλλία. Σπούδασε νομικά και το 1631 διορίσθηκε σύμβουλος στο Ανώτατο Δικαστήριο της Τουλούζης. Ήταν ένας ευσυνείδητος και συνεπής δημόσιος υπάλληλος και τον ελεύθερο χρόνο του, τον αφιέρωνε στα μαθηματικά. Κατά το συγγραφέα E.T.Bell του έργου « οι Μαθηματικοί», ο Fermat ήταν ο πρίγκιπας των ερασιτεχνών Μαθηματικών. Δεν δημοσίευε ποτέ τις αποδείξεις των θεωρημάτων του. Όποτε επικοινωνούσε με τους υπόλοιπους μαθηματικούς το έκανε για να τους προκαλέσει σε σχέση με την επίλυση ενός προβλήματο ς. 2. Υπάρχει μία ιστορία κατά την οποία λέγεται ότι ο Fermat ανακάλυψε ότι ο αριθμός 26 είναι ο μοναδικός φυσικός που έχει μία παράξενη ιδιότητα. Βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς 25 και 27 που ο ένας είναι τετράγωνο και ο άλλος κύβος φυσικού. Η απόδειξη ότι ο αριθμός αυτός είναι ο μοναδικός με αυτή την ιδιότητα δεν τη γνωστοποίησε. Ο Fermat ανακοινώνοντας το θεώρημα αυτό προκάλεσε τους άλλους μαθηματικούς να βρουν την απόδειξη, αλλά εις μάτην !!! 3. Ένα άλλο γνωστό θεώρημά του ήταν αυτό με βάση το οποίο ταξινομούσε όλους τους πρώτους σε δύο κατηγορίες: αυτούς που γράφονται στη μορφή 4ν 1 και σε αυτούς που γράφονται στη μορφή 4ν 1. Στο θεώρημα αυτό ισχυριζόταν ότι όλοι οι πρώτοι της πρώτης ομάδας γράφονται και ως άθροισμα δύο τετραγώνων σε αντίθεση με τους πρώτους της δεύτερης ομάδας οι οποίοι δεν μπορούν ποτέ να γραφούν με τον τρόπο αυτό. Ως συνήθως η απόδειξη της πρότασης έλλειπε . Τελικά την απόδειξη την έδωσε το 1749 ο Euler .
  • 64.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 4 4. Διαβάζοντας τη Λατινική μετάφραση των Αριθμητικών του Διόφαντου στο 2ο βιβλίο στην 8 η ερώτηση, εκεί όπου ο Διόφαντος κάνει αναφορά στις Πυθαγόρειες τριάδες στο περιθώριο του βιβλίου σημειώνει : « είναι αδύνατον μία κυβική δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο κυβικών δυνάμεων ή μία τέταρτη δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων και γενικά οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του τετραγώνου είναι αδύνατο να γραφεί ως άθροισμα ίδιων δυνάμεων». Συνέχισε γράφοντας κάτι ακόμα που έμελε να στοιχειώσει γενιές και γενιές μαθηματικών : « έχω μία πραγματικά υπέροχη απόδειξη αυτής της πρότασης, που όμως δεν χωρά σ’ ένα τόσο στενό περιθώριο». 5. Η πρόταση αυτή του περιθωρίου, θα ονομαζόταν αργότερα « το τελευταίο θεώρημα του Fermat» και θα γινόταν διάσημο κατά τους επόμενους αιώνες. Β. Εστιάζοντας την προσοχή μας στο 4 και στους περιττούς πρώτους 1. Δεδομένου φυσικού αριθμού n με n 3 δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί x,y,z που να είναι λύσεις της εξίσωσης n n n x y z . Μία αρκετά απλή πρόταση ως προς τη διατύπωση της, που όμως η απόδειξή της άργησε πάνω από 350 χρόνια !!! 2. Το πρώτο μεγάλο βήμα στην απόδειξη είναι ο ισχυρισμός ότι την πρόταση αυτή χρειάζεται να την αποδείξουμε μόνο για n 4 και για n {3,5,7,11,13,...} , δηλαδή για όλους τους περιττούς πρώτους αριθμούς. Γιατί αυτό;
  • 65.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 5 3. Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση έχει αποδειχθεί για τις τιμές αυτές του n. Θα αποδείξουμε ότι είμαστε σε θέση να ισχυριστούμε την αλήθεια της πρότασης και για οποιονδήποτε άλλη τιμή του n. 4. Για παράδειγμα η εξ ίσωση 6 6 6 x y z δεν μπορεί να έχει λύση ως προς x,y,z στο διότι : αν υπήρχε λύση η o o o(x ,y ,z ), θα ίσχυε 6 6 6 2 3 2 3 2 3 o o o o o o(x ) (y ) (z ) (x ) (y ) (z ) πράγμα άτοπο αφού η τελευταία ισότητα αποδίδει λύση της εξίσωση 3 3 3 x y z την 2 2 2 o o o(x ,y ,z ). Όμοια προσπαθήστε να δείξετε ότι η εξίσωση 8 8 8 x y z δεν έχει λύση στο . 5. Οι περιπτώσεις στις οποίες πρέπει να αποδείξουμε την ισχύ του θεωρήματος ελαττώθηκαν αρκετά. Αλλοίμονο !!! και πάλι για άπειρες τιμές του n πρέπει να ασχοληθούμε !! Γ. Η εξίσωση 4 4 4 x y z 1. Μέσα στα μουτζουρωμένα περιθώρια, κάπου μέσα στο αντίγραφο των Αριθμητικών, ο Fermat απέδειξε ότι η εξίσωση 4 4 4 x y z δεν έχει λύση. 2. Στις πρόχειρες σημειώσεις σκιαγραφείται ένας ιδιαίτερος συνδυασμός της εις άτοπο απαγωγής και της μαθηματικής επαγωγής που είναι γνωστή ως μέθοδος της απείρου καθόδου . 3. Στην αρχή υποθέτ ει την ύπαρξη μία λύσης 1 1 1(x ,y ,z ) . Μετά αποδεικνύει την αναγκαιότητα ύπαρξης μιας μικρότερης λύσης 2 2 2(x ,y ,z ), η οποία οδηγεί σε μία ακόμα μικρότερη λύση 3 3 3(x ,y ,z ) και ούτω καθεξής. Ουσιαστικά ανακαλύπτεται μία καθοδική κλίμακα λύσεων δίνοντας ολοένα και μικρότερους αριθμούς. Επειδή όμως οι (x,y,z)είναι φυσικοί, η ατελείωτη αυτή σειρά λύσεων είναι εσφαλμένη. Η αντίφαση αυτή αποδεικνύει ότι η αρχική υπόθεση της ύπαρξης δηλαδή της λύσης 1 1 1(x ,y ,z ) πρέπει να είναι λάθος.
  • 66.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 6 Δ. Το κυνήγι των πρώτων ξεκινά … 1. Το 1753 ο Leonhard Euler εφαρμόζοντας την μέθοδο της απείρου καθόδου του Fermat απέδειξε την ισχύ του θεωρήματος για n 3 2. Σειρά έχει μία κυρία. Η Sophie Germain’s γεννήθηκε την 1 η Απριλίου του 1776. Από την ηλικία των 13 ξεδίπλωσε το ταλέντο της διαβάζοντας μόνη της θεωρία αριθμών και διαφορικό λογισμό, μελ ετώντας Euler και Newton. Σπουδάζει στην Ecole Polytechnique υιοθετώντας την ψεύτική ταυτότητα του κυρίου Antoine -August Le Blanc. Εντυπωσιασμένος από τις επιδόσεις του φοιτητή του ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Joseph-Louis Lagrange επιδιώκει να γνωρίσει τον χαρισματικό σπουδαστή. Η ταυτότητα της Sophie αποκαλύπτεται και η Germain αποκτά ένα δάσκαλο που την εμπνέει. 3. Αλληλογραφεί με τον Gauss κρύβοντας και πάλι την πραγματική της ταυτότητα. Στην αλληλογραφία αυτή εστιάζει στη μελέτη των πρώτων αριθμών p που και ο αριθμός 2p 1 είναι πρώτος. Π.χ οι αριθμοί 3 και 7, ή 5 και 11, κ.ο.κ. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται πλέον στην μαθηματική βιβλιογραφία ως αριθμοί Ζερμέν (Germain numbers). 4. Μία από τις πιο σπο υδαίες ανακαλύψεις της συνδέεται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Αποδεικνύει ότι : αν υπήρχαν λύσεις της εξίσωσης n n n x y z (όπου n πρώτος της λίστας Germain) τότε τα x,y,z θα έπρεπε να ήταν πολλαπλάσια του n. 5. Το 1825 οι μαθηματικοί Gustav Lejeune-Dirichlet και Adrien- Marie Legendre χρησιμοποιώντας τις ιδέες της Germain απέδειξαν την αλήθεια του θεωρήματος για n 5. 6. Το 1839 ο Γάλλος μαθηματικός Gabriel Lame’s αποδεικνύει την αλήθεια του θεωρήματος στην περίπτωση n 7.
  • 67.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 7 7. Στις 1 Μαρτίου του 1847, στη συνεδρίαση της Γαλλικής Ακαδημίας, οι μαθηματικοί Gabriel Lame’s και Augustine Louis Cauchy ανακοινώνουν, χωριστά ο ένας από τον άλλον, ότι θα υποβάλλουν σε σφραγισμένους φακέλους , όπως συνηθιζόταν, τις λύσεις τους. Δυστυχώς για αυτούς ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer υποδεικνύει το λάθος στις σκέψεις και των δύο. 8. Το 1847 ο Kummer προωθώντας τις ιδέες των Euler, Germain, Dirichlet , Legendre κ.α. απέδειξε την ορθότητα του θεωρήματος του Fermat για μία συγκεκριμένη κατηγορία πρώτων, τους οποίους ονόμασε ομαλούς πρώτους (regular prime). Αν φανταστούμε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 100, όλοι είναι ομαλοί εκτός των 37,59 και 67. 9. Ο Kummer επισήμανε ότι τα γνωστά μαθηματικά δεν ήταν σε θέση να αντιμετωπίσουν όλους τους άλλους «ανώμαλους πρώτους» γενικά. Πίστευε ωστόσο ότι επινοώντας προσεκτικά τεχνικές για την κάθε πε ρίπτωση θα ήταν δυνατόν να αντιμετωπιστούν όλοι ένας προς έναν. Η απόδειξη του θεωρήματος του Fermat βρισκόταν πέρα από τις τρέχουσες μαθηματικές προσεγγίσεις.
  • 68.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 8 Παραγοντοποίηση και Η Αλγεβρική θεωρία των αριθμών Α. Παραγοντοποίηση στο σύνολο των ακεραίων 1. Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής « κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1, μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών κατά μοναδικό τρόπο » Π.χ. ισχύουν οι ισότητες 12 2 2 3 , 15 3 5. 2. Στο σύνολο των ακεραίων υπάρχει και πάλι η δυνατότητα της παραγοντοποίησης οποιουδήποτε αριθμού, αλλά όχι κατά μοναδικό τρόπο. Π.χ. 6 2 3 ( 2) ( 3). 3. Την παραγοντοποίηση την εκμεταλλευόμαστε για την επίλυση συγκεκριμένου είδους Διοφαντικών εξισώσεων. Για παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση 2 2 x y 5 στο . Γράφουμε : 2 2 x y 5 (x y)(x y) 5. Επειδή ο αριθμός 5 είναι πρώτος τα μόνα ζευγάρια ακεραίων που αποδίδουν γινόμενο 5 είναι +5,+1 +1,+5 ή -5,-1 ή -1,-5. Άρα x y 5 (x,y) (3, 2) x y 1 ή x y 1 (x,y) (3,2) x y 5 ή x y 5 (x,y) ( 3,2) x y 1 ή x y 1 (x,y) ( 3, 2) x y 5 . Προσπαθήστε να λύσετε στο την εξίσωση : (x 1) (y 2) 2 x y
  • 69.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 9 Β. Η αλγεβρική δομή των ακεραίων 1. Στις αρχές του 20 ο υ αιώνα μία ομάδα επιστημόνω ν της μαθηματικής λογικής πήρε μέρος στην αργή και επίπονη διαδικασία της επανοικοδόμησης ολόκληρου του σώματος της μαθηματικής γνώσης, χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο αριθμό αξιωμάτων. 2. Στην προσπάθεια αυτή πρωτοστατούσε η πλέον εξέχουσα προσωπικότητα της ε ποχής ο David Hilbert. Πίστευε ότι τα πάντα στα Μαθηματικά μπορούσαν και όφειλαν να αποδειχθούν από τα βασικά αξιώματα. 3. Έτσι η αλγεβρική δομή των ακεραίων ορίσθηκε : * ως το σύνολο των ακεραίων εφοδιασμένο με δύο πράξεις , την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, ως προς τις οποίες το σύνολο είναι κλειστό. Δηλαδή τόσο το άθροισμα όσο το γινόμενο δύο ακεραίων είναι ακέραιος. Για τις δύο πράξεις απαιτούμε : *Για την πρόσθεση να ισχύει : α) η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή a b b a. β) η προσεταιριστική ιδιότητα - associativity (a b) c a (b c ) γ) υπάρχει ο αριθμός 0 για τον οποίο ισχύει a 0 a. (ουδέτερο στοιχείο ως προς τη πρόσθεση - additive identity element) δ) για κάθε αριθμό a υπάρχει αριθμός b για τον οποίο ισχύε ι a b 0, ο αριθμός b λέγεται αντίθετος (additive inverse) του a και συμβολίζουμε b a. * Για τον πολλαπλασιασμό να ισχύει : α) η προσεταιριστική ιδιότητα δηλαδή (a b) c a (b c) β) η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση – distributive laws, δηλαδή a (b c) a b a c . 4. Κάθε συλλογή αριθμών που ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες λέγεται ακέραιος δακτύλιος – ring.
  • 70.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 0 Γ. Ο δακτύλιος των άρτιων ακεραίων 1. Ας δούμε έναν καινούργιο κόσμο αριθμών, τους γνωστούς μας άρτιους, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς και το μηδέν. Το σύνολο αυτό αποτελεί δακτύλιο; Αν προσθέσουμε ή πολλαπλασιάσουμε δύο άρτιους παίρνουμε άρτιο; Ισχύει η αντιμεταθετική ιδι ότητα στην πρόσθεση; Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό; Ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα; Υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο 0; Κάθε αριθμός έχει τον αντίθετό του; 2. Ας αναρωτηθούμε στο δακτύλιο αυτό υπάρχουν πρώτοι αριθμοί; Δηλαδή αριθμοί πο υ δεν μπορούν να παραγοντοποιηθούν περαιτέρω σε γινόμενο αριθμών από το σύνολο αυτό; 3. Ασφαλώς ο 2 είναι πρώτος. Ο 6 είναι πρώτος; Μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο άλλων άρτιων;. Όχι, άρα είναι πρώτος στο σύνολο των άρτιων. Ο 12 δεν είναι πρώτος αφού γράφεται ως γινόμενο 2 6 . Κατασκευάζουμε λοιπόν ένα νέο σύμπαν από πρώτους αριθμούς στο σ ύνολο των άρτιων, τους αριθμούς 2,6,10,14,18,22,… 4. Στο σύνολο αυτό των άρτιων αριθμών η παραγοντοποίηση είναι μοναδική; Για παράδειγμα το 24 γράφεται 2 2 6, αλλά το 36 ως 2 18 αλλά και ως 6 6 και στις δύο περιπτώσεις γράψαμε τον αριθμό 36 ως γινόμενο πρώτων άρα η παραγοντοποίηση δεν είναι μοναδική.
  • 71.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 1 Δ. Ένας περίεργος ακέραιος δακτύλιος … 1. Ας θεωρήσουμε την εξίσωση 2 x 5 και ως λύσεις της δύο φανταστικούς αριθμούς τους x 5 . Τώρα είμαστε σε θέση να ορίσουμε ένα νέο σύνολο αριθμών τους αριθμούς της μορφής a b 5 , όπου a,b δύο τυχαίοι ακέραιοι. Μερικά από τα στοιχεία του συνόλου είναι οι αριθμοί : 2 3 5, 1 8 5, 0 19 5, 7 0 5 . 2. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό όπως τα παραδείγματα που ακολουθούν : (2 3 5) ( 1 4 5) 1 5 2 (2 5) ( 1 2 5) 2 4 5 5 2( 5) 2 5 5 2( 5) 8 5 5 Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι το σύνολο αυτό των αριθμών, εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, είναι ένας ακέραιος δακτύλιος. 3. Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί του δακτυλίου αυτού; Σίγουρα οι 2,3,5,7, 11,… αλλά και άλλοι που δύσκολα μπορούν να εντοπιστούν. Όπως για παράδειγμα οι 1 2 5 και 1 2 5 . 4. Με αρκετά δύσκολες τεχνικές μπορούμε να αποδείξουμε ότι και στο δακτύλιο αυτό, κάθε αριθμός του γράφεται ως γινόμενο πρώτων. Όμως δεν είμαστε σε θέση να υποσχεθούμε τη μοναδικότητα της παραγοντοποίησης. Για παράδειγμα ισχύει ό τι : 21 3 7 αλλά και 21 (1 2 5) (1 2 5).
  • 72.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 2 Ε. Το λάθος του Gabriel Lame 1. Ας θυμηθούμε ότι ο Gabriel Lame το 1839 απέδειξε το θεώρημα του Fermat για την περίπτωση του n 7. Τον ίδιο χρόνο ανακοίνωσε ότι ήταν σε θέση να αποδείξει το θεώρημα γενικά δηλαδή για κάθε n 3. 2. Η ιδέα του βασιζόταν στην υπόθεση της ύπαρξης λύσης και στην παραγοντοποίηση της εξίσ ωσης. Για παράδειγμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 2 2 x y 6 δεν έχει ακέραιες λύσεις διότι : * γράφεται (x y)(x y) 6 *οπότε αν έχει λύση θα πρέπει * x y 2 x y 3 x y 2 x y 3 ή ή ή x y 3 x y 2 x y 3 x y 2 *σε καμιά όμως περίπτωση οι x,y δεν είναι ακέραιοι. * άρα η εξίσωση δεν έχει λύση στο 3. Ο Lame δούλεψε σε έναν ακέραιο δακτύλιο στον οποίο υπέθεσε ότι η παραγοντοποίηση των σύνθετων αριθμών του είναι μοναδική. Με την παραδοχή της μοναδικότητας το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδεικνυόταν. Όμως ήταν σωστή μία τέτοια υπόθεση; ΣΤ. Ο Kummer ανακαλύπτει τους ιδανικούς αριθμούς 1. Το πρόβλημα της παραγοντοποίησης το εντόπισε ο Ernst Kummer και προσπάθησε να το επιλύσει. 2. Απέδειξε ότι ακόμα και αν η παραγοντοποίηση των στοιχείων ενός δακτυλίου σε γινόμενο πρώτων δεν είναι μοναδική, μπορούμε να σπάσουμε το δακτύλιο σε ομάδες αριθμών. Τις ομάδες αυτές να τις εφοδι άσουμε με πράξεις σαν την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, φτιάχνοντας στην ουσία νέους δακτυλίους που αποτελούνται όμως από ζεύγη αριθμών.
  • 73.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 3 3. Ανέπτυξε την ιδέα ότι στους δακτυλίους αυτούς υπάρχουν ζεύγη πρώτων αριθμών και ότι κάθε ζεύγος αριθμών εκφράζετ αι ως γινόμενο των πρώτων ζευγών και μάλιστα κατά μοναδικό τρόπο. 4. Ο Kummer βρήκε έναν μοναδικό τρόπο παραγοντοποίησης σε κάθε αλγεβρικό δακτύλιο όχι στα ίδια τα στοιχεία του αλλά σε ζεύγη στοιχείων του. Αυτά τα ζεύγη των αριθμών τα ονόμασε ιδεώδεις αριθμ ούς (ideals numbers ) αφού παραγοντοποιούνται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο ιδεωδών πρώτων. 5. Δυστυχώς αυτή η επαναστατική θεωρία δεν οδήγησε στην επίλυση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, αλλά γέννησε τη μοντέρνα αλγεβρική θεωρία των αριθμών.
  • 74.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 4 Πυθαγόρειες τριάδες Α. Το θεώρημα 1. Το τετράγωνο της υποτείνουσας (hypotenuse) ενός ορθογωνίου τριγώνου (right triangle) είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του. 2. Αντίστροφα (converse) : αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την μεγαλύτερη πλευρά. 3. Το θεώρημα ουσιαστικά παρουσιάζει τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα εμβαδά των τετραγώνων που σχηματίζονται από τις τρεις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Έτσι ισχύει η σχέση (ΒΓΘΙ) (ΑΓΗΖ) (ΑΒΔΕ) 4. Το συμπέρασμα του θεωρήματος χρησιμοποιείτο στην Αίγυπτο από το 2500 π.χ. και στη Μεσοποταμία από το 1750 π.χ. Πολλά χρόνια αργότερα η Πυθαγόρεια αδελφότητα το απέδειξε και αποδόθηκε από τότε το όνομα Πυθαγόρειο θεώρημα προς τιμή του ιδρυτή της αδελφότητας, του μεγάλου Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα. 5. Υπάρχουν πολλές αποδείξεις του θεωρήματος (πάνω από 350 !) Στα στοιχεία του Ευκλείδη αναφέρονται δύο κομψότατες γεωμετρικές αποδείξεις.
  • 75.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 5 B. Γεννήτρια Πυθαγόρειων τριάδων 1. Η αναζήτηση τριάδων φυσικών αριθμών που αποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και άρα ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα ( Πυθαγόρειες τριάδες - Pythagorean triples) ξεκίνησε από πολύ νωρίς. Σε μία στήλη από τη Μεσοποταμία που χρονολογείται από το 1750 π.χ., γνωστή ως Plimpton 322 περιέχει έναν αρκετά μεγάλο κατάλογο Πυθαγόρειων τριάδων . Οι πιο γνωστές τριάδες είναι η (3,4,5) η (5,12,13) κ.α. 2. Αν θέλουμε να αναζητήσουμε έναν γενικό τρόπο παραγωγής τέτοιων τριάδων δεν έχουμε παρά σκεφτούμε ότι : *Μία τριάδα φυσικών αριθμών (x,y,z) αποτελεί Πυθαγόρεια τριάδα αν 2 2 2 x y z . *Καταρχήν οι αριθμοί (x,y,z) δεν μπορεί να είναι όλοι περιττοί (γιατί;). Αν ο z είναι άρτιος τότε οι x,y είναι περιττοί ή άρτιοι, εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι η περίπτωση να είναι και οι δύο περιττοί είναι αδύνατη (γιατί;). Αν ο z είναι περιττός τότε ένας από τους x,y είναι περιττός και ο άλλος άρτιος (γιατί;). Άρα σε κάθε περίπτωση ένας από τους x,y πρέπει να είναι άρτιος. *Αν υποθέσουμε ότι ο y είναι άρτιος τότε : *Η ισότητα γράφεται ισοδύναμα 2 2 2 2 y z x y (z x)(z x). *Έχοντας υποθέσει ότι ο y είναι άρτιος θα υπάρχουν φυσικοί αριθμοί ώστε y 2 a b . *Άρα έχουμε ότι 2 2 2 (2ab) (z x)(z x) (2a )(2b ) (z x)(z x). *Εξισώνοντας τους παράγοντες έχουμε 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2a 2b z z x 2a z a b2 z x 2b x b a2b 2a x 2
  • 76.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 6 *Άρα μία πυθαγόρεια τριάδα είναι η 2 2 2 2 (x,y,z) (b a , 2ab, b a ). *Για παράδειγμα αν a 2 , b 3 έχουμε (x,y,z) (5,12,13). 3. Από τη στιγμή όπου στη θέση των a, b μπορούμε να θέσουμε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό γίνεται φανερό ότι τε λικά υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες. 4. Μπορείτε να δικαιολογήσετε ότι η τριάδα 2 2 (2x , x 1, x 1) για κάθε x 1 είναι Πυθαγόρεια; 5. Ένας άλλος τρόπος για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες είναι και ο παρακάτω. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι : « η διαφορά των τετραγώνων δύο οποιονδήποτε διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι αριθμός περιττός », δηλαδή ότι ισχύει : 2 2 (ν 1) ν 2ν 1 (1). Υπάρχουν όμως άπειροι περιττοί αριθμοί που είναι συγχρόνως τετράγωνα φυσικών. Π.χ. ο 2 9 3 , ο 2 25 5 κ.α. Σε κάθε έναν από τους άπειρους αυτούς αριθμο ύς αντιστοιχεί και ένα ζεύγος τετραγώνων για τους οποίους θα ισχύει μία σχέση σαν την (1). Άρα υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες. Για παράδειγμα 2 9 3 και για ν 4 έχουμε 2 4 1 9, άρα η (1) γίνεται 2 2 2 2 2 2 5 4 3 5 4 3 . Δοκιμάστε να βρείτε με τον τρόπο αυτό τις δικές σας Πυθαγόρειες τριάδες!
  • 77.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 7 Γ. Άλλη μία εμφάνιση των αριθμών «Fibonacci» 1. Γνωρίζουμε ότι η ακολουθία 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… λέγεται ακολουθία Fibonacci. Υπάρχει μία αξιοθαύμαστη σχέση ανάμεσα στους αριθμούς αυτούς και τις Πυθαγόρειες τριάδες. 2. Διαλέξτε τέσσερεις διαδοχικούς όρους της ακολου θίας Fibonacci. Π.χ. τους αριθμούς 2,3,5,8 . *Θεωρείστε το γινόμενο των άκρων x 2 8 16. *Θεωρείστε το διπλάσιο γινόμενο των δύο μέσων y 2 (3 5) 30 . *Θεωρείστε το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μέσων 2 2 z 3 5 34. *Η τριάδα (16, 30, 34) είναι μία Πυθαγόρεια τριάδα !!! 3. Παρόμοια σχέση μπορούμε να ανακαλύψουμε ανάμεσα στους αριθμούς Lucas και τις Πυθαγόρειες τριάδες.
  • 78.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 8 Η Αναλυτική (Αλγεβρική) Γεωμετρία Α. Οι Πυθαγόρειες τριάδες ως «ρητά» σημεία στο μοναδιαίο κύκλο 1. Ας θυμηθούμε ότι Πυθαγόρειες τριάδες, είναι τριάδες φυσικών αριθμών που αντιστοιχούν σε μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου π.χ. (3,4,5), (5,12,13). 2. Αν θεωρήσουμε την Πυθαγόρεια τριάδα (x,y,z) τότε γνωρίζουμε ότι αποτελεί συγχρόν ως και λύση της Διοφαντικής εξίσωσης 2 2 2 x y z . Διαιρώντας όλους τους όρους της ισότητας 2 2 2 x y z με 2 z καταλήγουμε στην ισότητα 2 2 (x / z) (y / z) 1. 3. Άρα το ζευγάρι ( x / z , y / z)ικανοποιεί την εξίσωση 2 2 X Y 1 . Οπότε κάθε τριάδα φυσικών – λύσεις της Διοφαντικής Πυθαγόρειας εξίσωσης, αντιστοιχεί και σε ένα ζεύγος ρητών αριθμών που είναι λύσεις της εξίσωσης 2 2 X Y 1. 4. Αν σχεδιάσουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων όλα τα ζεύγη (x,y) που αποτελούν λύσεις της εξίσωσης 2 2 X Y 1, θα παρατηρήσουμε ότι σχηματίζουν έναν κύκλο με κέντρο O(0,0) και ακτίνα R 1. Ο κύκλος αυτός λέγεται μοναδιαίος κύκλος (unit circle). 5. Ο κύκλος αυτός τέμνει τους άξονες στα σημεία ( 1,0), (0, 1) Προφανώς σημεία του κύκλου είναι και τα σημεία A(3 / 5 , 4 / 5) , B(5 / 13 , 12 / 13). 6. Ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες είναι ρητοί αριθμοί λέγεται ρητό σημείο (rational point) . Άρα τα σημεία Α και Β είναι ρητά σημεία του μοναδιαίου κύκλου.
  • 79.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 9 7. Από τα παραπάνω καταλήγουμε στο ότι : « κάθε Πυθαγόρεια τριάδα μπορεί να αντιστοιχηθεί μονοσήμαντα σε ένα ρητό σημείο του μοναδιαίου κύκλου και αντίστροφα κάθε ρητό σημείο του μοναδιαίου κύκλου μπορεί να μας δώσει μία Πυθαγόρεια τριάδα » . Με την πρόταση αυτή μπορούμε να επιβεβαιώσουμε τον ισχυρισμό ότι υπάρχουν άπειρα ρητά σημεία του μοναδιαίου κύκλου ! Β. Σχεδιάζοντας ευθείες … 1. Η πιο απλή γραμμή από όλες που μπορούμε να σχεδιάσουμε είναι η ευθεία. Η εξίσωσή της δεν θα περιέχει τετράγωνα και θα μοιάζει σαν τις εξισώσεις : 2 y 3(x 1) , y 2(x 1) , y (x 1) 5 . Σημειώνουμε ότι όλες οι εξισώσει ς που γράψαμε επαληθεύονται από τις τιμές x 1 και y 0 , ή λέμε ότι οι ευθείες διέρχονται από το σημείο A( 1,0). 2. Βεβαίως μία ευθεία καθορίζεται πλήρως από δύο σημεία. Για παράδειγμα η ευθεία με εξίσωση y 3(x 1) περνά από το σημείο Α και αν δώσουμε την τιμή x 1 βρίσκουμε y 6 , άρα διέρχεται και από το σημείο B(1,6). 3. Όμοια εύκολα μπορούμε να βρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση y 2(x 1) διέρχεται και από το σημείο Γ(1, 4) και η ευθεία 2 y (x 1) 5 και από το σημείο 4 Δ(1, ) 5 .
  • 80.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 0 4. Όπως βλέπουμε τις εξισώσεις των ευθειών , παρατηρούμε τον αριθμό μέσα στην παρένθεση όπου ουσιαστικά μας δίνει το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα χ’χ και το συντελεστή της παρένθεσης όπου δηλώνει την κλίση (slop) της ευθείας σε σχέση με τον άξονα χ’χ. Ο αριθμός αυτός λέγεται συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας και δηλώνει το πόσο μεταβάλλεται η τιμή του y όταν η τιμή του x αυξηθεί κατά μία μονάδα. Παρατηρήστε ότι όταν ο αριθμός αυτός είναι θετικός η ευθεία «ανεβαίνει» ενώ αν είναι αρνητικός «κατεβαίνει». Επίσης όσο πιο μεγάλος είναι τόσο πιο απότομα ανεβαίνει ή κατεβαίνει η ευθεία. 5. Άρα μία ευθεία που τέμνει τον άξονα χ’χ στο σημείο A( 1,0) και έχει κλίση m έχει εξίσωση y m(x 1) . Γ. Όταν μία ευθεία και ένας κύκλος συναντιούνται … 1. Σχεδιάστε το μοναδιαίο κύκλο και μία οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το σημείο A( 1,0). Παρατηρήστε ότι εκτός από το σημείο Α τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο. Ποιο είναι; Πώς μπορούμε να το βρούμε; Αφού οι συντεταγμένες του σημείου θα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις (κύκλου και ευθείας), θα βρεθούν λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων. Έτσι θα έχουμε 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y m(x 1) y m(x 1) y m(x 1) x y 1 x m (x 1) 1 (1 m )x 2m x (m 1) 0
  • 81.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 1 2. Η τελευταία εξίσωση έχει λύσεις τις x 1 και 2 2 1 m x 1 m . Οπότε τα αντίστοιχα y είναι y 0 και 2 2 2 2 1 m 2 2m y m( 1) m( ) 1 m 1 m 1 m Άρα τα σημεία τομής είναι τα A( 1,0) και 2 2 2 1 m 2m B( , ) 1 m 1 m . 3. Εδώ βρίσκεται η ομορφιά και συγχρόνως η δύναμη της συνεργασίας της άλγβερας και της γεωμετρίας. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει ένα ρητό σημείο του μοναδιαίου κύκλου αντιστοιχεί και σε μία Πυθαγόρεια τριάδα. Άρα το σημείο 2 2 2 1 m 2m B( , ) 1 m 1 m αντιστοιχεί στην Πυθαγόρεια τριάδα 2 2 (1 m , 2m , 1 m ). Την αναγνωρίζετε; 4. Επίσης αν γράψουμε το συντελεστή διευθύνσε ως m της ευθείας ως λόγο a m b δύο φυσικών οι συνεταγμένες του σημείου Β γράφονται : 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 a a 1 2 1 m 2m b a 2abb bB( , ) B( , ) B( , ) a a1 m 1 m b a b a 1 1 b b όμοια με πριν το ρητό σημείο Β αντιστοιχεί στην Πυθαγόρεια τριάδα 2 2 2 2 (b a , 2ab , b a ). Την αναγνωρίζετε; 5. Το πάντρεμα της Γεωμετρίας και της Άλγεβρας δίνει νέες δινατότητες προόδου και ανάπτυξης της θεωρίας των αριθμών. Οι Πυθαγόρειες τριάδες είναι μία ωραία αρχή, παρακάτ ω θα ασχοληθούμε με περίεργες καμπύλες και η συνεργασία αυτή θα μας είναι πολύτιμη.
  • 82.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 2 Οι ελλειπτικές καμπύλες Α. Η ιστορία ξεκινά … 1. Στην ιστορία αυτή θα μιλήσουμε για Διοφαντικές εξισώσεις που περιέχουν δυνάμεις του 2 και του 3. Οι εξισώσεις που θα ασχοληθούμε έχουν τη γενική μορφή 2 3 y x ax b όπου a,b δεδομένοι ακέραιοι. Οι εξισώσεις αυτής της μορφής παριστάνουν καμπύλες που μπορούμε να σχεδιάσουμε και θα τις ονομάζουμε ελλειπτικές καμπύλες (elliptic curves) . Για παράδειγμα οι εξισώσεις 2 3 y x x και 2 3 y x x 1 παριστάνουν ελλειπτικές καμπύλες. 2. Όλοι γνωρίζουμε τον τύπο που δίνει την περίμετρο ενός κύκλου L 2πR όπου R η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός μας αριθμός ο 3,14159…. Γενικά το μήκος μιας ο ποιασδήποτε καμπύλης ονομάζεται arc length . Η εύρεση του μήκους μιας έλλειψης είναι μία αρκετά δύσκολη διαδικασία που απαιτεί πιο σύνθετα εργαλεία γνωστά ως ελλειπτικά ολοκληρώματα (elliptic integrals) που συνδέονται με τη σειρά τους με τις λεγόμενες ελλειπτικές συναρτήσεις (elliptic functions). Οι συναρτήσεις αυτές συνδέονται με τις εξισώσεις της μορφής 2 3 y x ax b προς τούτο και η ονομασία ελλειπτικές εξισώσεις. 3. Η μελέτη των ελλειπτικών εξισώσεων ξεκίνησε το 19 ο αιώνα από τον Νορβηγό μαθηματικό Niels Abel και τους Γερμανούς μαθηματικούς Carl Jacobi και Karl Weierstrass μαζί με τους Gauss και Legendre.
  • 83.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 3 Β. Η αριθμητική των ελλειπτικών καμπυλών … 1. Αν x,y δύο ρητοί αριθμοί που ικανοποιούν μία ελλειπτική εξίσωση τότε το σημείο (x,y) ανήκει στην ελλειπτική καμπύλη. Επειδή η μεγαλύτερη δύναμη στην ελλειπτική εξίσωση είναι 3, η εξίσωση λέγεται κυβική και τα σημεία τομής μιας ελλειπτικής καμπύλης με μία ευθεία θα πρέπει να είναι το πολύ τρία. 2. Για παράδειγμα τα σημεία τομής της ελλειπτικής 2 3 2 y x x και της ευθείας y x θα βρεθούν λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων. Η εξίσωση που προκύπτει είναι η 3 2 2 x x x 0 x(x x 1) 0 που δίνει λύσεις τις x 0 και 1 5 x 2 . Οπότε τα αντίστοιχα σημεία είναι τα : O(0,0) και 1 5 1 5 A( , ) 2 2 , 1 5 1 5 B( , ) 2 2 . 3. Υπάρχει ένα θεώρημα στη σχολική Άλγεβρα που λέει ότι « αν μία κυβική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές ( coefficients) έχει δύο ρητές ρίζες τότε και η τρίτη ρίζα πρέπει να είναι ρητός αριθμός ». Οπότε αν έχουμε βρει δύο ρητά σημεία σε μία ελλειπτική καμπύλη τότε υπάρχει και ένα τρίτο ρητό σημείο. Το σημείο αυτό βρίσκεται ως σημείο τομής της ευθείας που ορίζουν τα δύο αρχικά σημεία με την ελλειπτική καμπύλη. 4. Παρατηρώντας μία οποιαδήποτε ελλειπτική καμπύλη θα δούμε ότι είναι συμμετρική ως προς τον οριζόντιο άξονα χ’χ.
  • 84.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 4 5. Σε μία τέτοια καμπύλη μπορούμε να ορίσουμε μία πράξη ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε ρητά σημεία της. Την πράξη θα την ονομάσουμε πρόσθεση, χωρίς όμως να είναι η γνωστή μας πράξη ανάμεσα στους πραγματικούς αριθμούς. Η πρόσθεση λοιπόν με ταξύ των σημείων μιας ελλειπτικής ορίζεται με τον εξής τρόπο. Έστω δύο ρητά σημεία Α και Β . *αν η ΑΒ τέμνει την καμπύλη και σε ένα τρίτο σημε ίο Γ, τότε *βρίσκουμε το συμμετρικό του Γ ως προς τον άξονα χ’χ , *ονομάζουμε το σημείο αυτό Γ’ και *ορίζουμε ως πρόσθεση των Α και Β το σημείο Γ’. Γράφουμε ότι Α+Β=Γ’ ή Α+Β+Γ=0. Αν η ευθεία που ορίζουν δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική τότε ως άθροισμα θεωρούμε το σημείο 0 που βρίσκεται στο «άπειρο». Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τέσσερα παραδείγματα πρόσθεσης. 6. Το σύνολο όλων των ρητών σημείων μιας ελλειπτικής εφοδιασμένα με την πράξη της πρόσθεσης όπως ορίσθηκε συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο ως 0 (ουδέτερο σημείο ως προς την πράξη) αποτελούν μία κατασκευή που στα μαθηματικά λέγεται ομάδα (group). 7. Το 1921 ο Βρετανός μαθηματικός Louis Mordell ανέπτυξε το εργαλείο αυτό και απέδειξε όλα τα σημεία μιας ελλειπτικής μπορούν να καθοριστούν με τη πρόσθεση μερικών ρητών σημείων της (finitely generated groups). 8. Το 1977 ο Barry Mazur από το Harvard University απέδειξε ότι μία ελλειπτική αν έχει πεπερασμένο πλήθος ρητών σημείων τότε αυτά δεν μπορεί να είναι πάνω από 16.
  • 85.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 5 Γ. Από τις καμπύλες στις επιφάνειες … 1. Μπορούμε να φανταστούμε μία επιφάνεια τριών διαστάσεων (3 -Δ) που ένας κύκλος μπορεί να προκύψει ως τομή της; Βεβαίως και μπορούμε! Μία σφαίρα είναι μία τέτοια επιφάνεια. 2. Μπορούμε να δώσουμε ανάλογη απάντηση σε μία ελλειπτική καμπύλη σαν την 2 3 y x x ; Εδώ τα πράγματα δυσκολεύουν. Στην περίπτωση αυτή ένα στερεό από όπου μπορεί να προκύψει η ελλειπτική, είναι σαν αυτό που βλέπετε στη διπλανή εικόνα και μοιάζει με λουκουμά, στη γλώσσα των μαθηματικών λέγεται torus. 3. Σημειώστε ότι μία 2ο υ βαθμού εξίσωση, όπως αυτή του κύκλου, προκύπτει ως τομή μίας σφαίρας , ένα αντικείμενο χωρίς καθόλου τρύπες. Μία ελλειπτική 3 ο υ βαθμού προκύπτει ως τομή 3 -Δ επιφάνειας με μία τρύπα. Αντίστοιχα μία εξίσωση 4 ο υ βαθμού μπορεί να προκύψει ως τομή μιας 3 -Δ επιφάνειας με τρεις τρύπες κ.ο.κ 4. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ο μοναδιαίος κύκλος έχει άπειρο πλήθος ρητών σημείων, για τις ελλειπτικές καμπύλες δεν συμβαίνει κάτι παρόμοιο. Υπάρχουν ελλειπτικές με άπειρο πλήθος ρητών σημείων, υπάρχουν όμως και ελλειπτικές με πεπερασμένο πλήθος ρητών σημείων. Οι ελλειπτικές είναι πολύ περίεργες καμπύλες ! 5. Το 1923 o Mordel διατύπωσε την υπόθεση ότι όλες οι καμπύλες που προκύπτουν ως τομές 3 -Δ επιφανειών που έχουν πάνω από μία οπή, έχουν πεπερασμένο πλήθος ρητών σημείων. 6. Το 1983 ο Γερμανός μαθηματικός Gerd Faltings απέδειξε την εικασία αυτή και βραβεύθηκε για την εργασία του με το βραβείο Fields ( το αντίστοιχο βραβείο Nobel για τα Μαθηματικά).
  • 86.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 6 Δ. Το δραματικό φινάλε του θεωρήματος του Fermat 1. Το 1960 ο Γάλλος μαθηματικός Yves Hellegouarch υποθέτοντας ότι υπάρχουν περιττοί πρώτοι p που ικανοποιούν την εξίσωση p p p a b c κατέληξε να δημιουργήσει την ελλειπτική με εξίσωση 2 p p y x(x a )(x b ). Η ελλειπτική όμως αυτή παρουσίαζε μερικές παράξενες ιδιότητες επειδή το άθροισμα p p a b ήταν δύναμη του p. 2. Το 1984 ο Γερμανός μαθ ηματικός Gerhard Frey διατύπωσε την άποψη ότι μία ελλειπτική αυτής της μορφής έρχεται σε αντίθεση με μία αρκετά γνωστή εικασία σε σχέση με τις ελλειπτικές καμπύλες, την εικασία των Taniyama – Shimura – Weil. 3. To 1986 o καθηγητής του Berkeley Kenneth Ribet απέδειξε ότι η εικασία των Taniyama – Shimura – Weil και το τελευταίο θεώρημα του Fermat είναι άρρηκτα συνδεδεμένα. Αν κάποιος μπορούσε να αποδείξει την εικασία Taniyama – Shimura – Weil θα αποδείκνυε αυτόματα και το θεώρημα του Fermat. 4. Τελικά τον Ιούνιο του 1993 ο Andrew Wiles Βρετανός μαθηματικός έδωσε τρεις διαλέξεις στις οποίες απέδειξε την εικασία Taniyama – Shimura – Weil και ως εκ τούτου και το θεώρημα του Fermat. Κατά τη διάρκεια του απαραίτητου ελέγχου της απόδειξης από κριτική επιτροπή διαπιστώθηκε ένα ουσιαστικό λάθος. Ωστόσο το Μάιο του 1995 μία πλήρης απόδειξη, τελικά, δημοσιεύτηκε στο έγκριτο μαθηματικό περιοδικό Annals of Mathematics.
  • 87.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 7 Οι άρρητοι αριθμοί Α. Οι Πυθαγόρειοι και η τετραγωνική ρίζα του 2 1. Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τους Φυσικούς αριθμούς, ως αριθμούς που δόθηκαν στους ανθρώπους από τους θεούς. Πίστευαν ακόμα ότι ο δρόμος προς το θείο περνά μέσα από την κατανόηση των ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών. Εκτός από τη μελέτη των φυσικών διερευνούσαν και τους λό γους μεταξύ δύο φυσικών, περισσότερο σαν σχέση ανάμεσα στους δύο αριθμούς παρά σαν αριθμητικές οντότητες. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν επίσης, ότι όλα τα μήκη ευθυγράμμων τμημάτων μπορούσαν να μετρηθο ύν χρησιμοποιώντας τους φυσικούς αριθμούς ή λόγους φυσικών αριθμών. Η πίστη αυτή συνδέεται με την ιδέα ότι πάντα υπάρχει ένα μέτρο μέτρησης με το οποίο ο λόγος των μηκών δύο τμημάτων είναι ίσος με ρητό αριθμό. 2. Έχοντας την αντίληψη αυτή μπορούμε να φανταστούμε τη σύγχυση που προέκυψε από τη μέτρηση του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου μήκους ίσου με μία μονάδα. Αν σχεδιάσουμε ένα τέτοιο τετράγωνο τότε θα παρατηρήσουμε ότι η διαγώνιος έχει μήκος σίγουρα μεγαλύτερο από 1 αλλά και μικρότε ρο του 2. Δεν μπορεί να είναι φυσικός αριθμός. Άρα είναι λόγος δύο φυσικών αριθμών δηλαδή το μήκος δ της διαγωνίου είναι ίσο με το λόγο a b όπου a,b φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.
  • 88.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 8 3. Αν εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε 2 2 2 2 2a ( ) 1 1 a 2b b . Από τη σχέση αυτή καταλαβαίνουμε ότι ο 2 a είναι άρτιος, άρα και ο a (γιατί;) Οπότε και ο 2 b είναι άρτιος άρα και ο b. Άρα οι αριθμοί a,b είναι άρτιοι , πράγμα άτοπο, γιατί εξ αρχής είχαμε υποθέσει ότι οι a,b είναι πρώτοι μετ αξύ τους. Στο άτοπο καταλήξαμε γιατί υποθέσαμε ότι το μήκος της διαγωνίου είναι ρητός αριθμός. Άρα το μήκος αυτό είναι άρρητο. 4. Το μήκος αυτό θα το συμβολίζουμε με 2 , και είναι ένας άρρητος αριθμός (Irrational number) , δηλαδή δεν είναι αριθμός που μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο φυσικών αριθμών. 5. Πήρε εκατοντάδες χρόνια μέχρι οι άνθρωποι συνηθίσουν στην ιδέα της ύπαρξης τέτοιων αριθμών. Παρόμοια, όπως πριν, είμαστε σε θέση να δείξουμε ότι και οι αριθμοί 1 5 φ 2 , ο γνωστός μας χρυσός λόγος και ο συζυγής του (conjugate) 1 5 τ 2 είναι άρρητοι. 6. Όμως αν θυμηθούμε τον τύπο του Binet ο νο ς αριθμός της ακολουθίας Fibonacci που ισούται ν ν ν φ τ F 5 είναι φυσικός αριθμός. Αυτό και αν είναι περίεργο ένας συνδυασμός άρρητων αριθμών να αποδίδει ρητό αριθμό !
  • 89.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 9 B. Ο λογάριθμος του 2 είναι άρρητος αριθμός 1. Ονομάζουμε (δεκαδικό) λογάριθμο (logarithm) του θετικού αριθμού Α και συμβολίζουμε logA , έναν αριθμό Β για τον οποίο ισχύει η ισοδυναμία : B logA B 10 A . Για παράδειγμα log100 2 διότι 2 10 100. 2. Θα αποδείξουμε ότι ο log2 είναι άρρητος αριθμός. Έστω ότι είναι ρητός αριθμός, άρα θα υπάρχουν φυσικοί a,b ώστε να ισχύει : a b a b a ab a log2 2 10 2 10 2 2 5 b άτοπο . Διότι σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δεν υπάρχει αριθμός που παραγοντοποιείται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δύο διαφορετικούς τρόπους. Στο άτοπο καταλήξαμε διότι θεωρήσαμε τον log2 ρητό. Άρα είναι άρρητος. Γ. Η δεκαδική γραφή των πραγματικών αριθμών 1. Οι αριθμοί 2 και log2 μπορούν να γραφούν ως δεκα δικοί. Κάνοντας χρήση ενός υπολογιστή μπορούμε να βρούμε τα πρώτα δεκαδικά ψηφία (digits) τους. Έτσι έχουμε : 2 1,41421356... και log2 0,301029996.... 2. Οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως δεκαδικοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί (real number). Τους αριθμούς αυτούς με τους αντίθετούς τους και το μηδέν, μπορούμε να τους αντιστοιχίσουμε μονοσήμαντα σε σημεία στον άξονα των πραγματικών αριθμών (real number line).
  • 90.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 0 3. Αν θέλουμε να γράψουμε έναν πραγματικό αριθμό σε δεκαδική μορφή πρέπει επανειλημμένα να κάνουμε τον αλγόριθμο της διαίρεσης. Για παράδειγμα πως γράφεται σε δεκαδική μορφή ο ρητός 1 7 ; Κάνοντας τη διαίρεση 1: 7 θα καταλήξουμε στην έκφραση 1 0,142857142857142857... 7 Παρατηρούμε ότι το δεκαδικό μέρος επαναλαμβάνεται περιοδικά (periodic) . Σε αυτό το συμπέρασμα θα καταλήξουμε όταν αποπειραθούμε να κάνουμε τη διαίρεση σε οπο ιοδήποτε ρητό αριθμό. 4. Έτσι κάθε ρητός αριθμός έχει δεκαδική έκφραση που κάποια στιγμή γίνεται περιοδική και αντίστροφα αν μία δεκαδική έκφραση ενός πραγματικού αριθμού κάποια στιγμή γίνεται περιοδική τότε ο αριθμός αυτός μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο ακεραίων. Για παράδειγμα ο δεκαδικός 0,666... είναι ίσος με 2 3 . 5. Επεκτείνοντας τη σκέψη μας μπορούμε να πούμε ότι : άρρητος είναι ένας αριθμός που η δεκαδική του γραφή δεν είναι περιοδική. Με τον ορισμό αυτό μπορούμε να γράψουμε τώρα όσους άρρητους θέλουμε π.χ. ο αριθμός 0,101001000100001000001... είναι άρρητος. Προσοχή ενώ η κατασκευή του έχει κάποια κανονικότητα η δεκαδική του έκφραση δεν είναι περιοδική. 6. Οι ρητοί αριθμοί είναι περισσότερο γνωστοί σε μας και είμαστε εξοικειωμένοι με την ύπαρξη τους σε αντίθεση με τους άρρητους. Η επόμενη ερώτηση που μοιραία προκύπτει είναι : Πόσοι είναι οι άρρητοι αριθμοί; Ποιοι είναι περισσότεροι οι άρρητοι ή οι ρητοί; Η απάντηση θα μας ξαφνιάσει. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν αριθμό από αυτούς που βρίσκονται στον άξονα των πραγμ ατικών αριθμών η πιθανότητα να είναι ρητός είναι 0%. Οι ρητοί αριθμοί είναι διασκορπισμένοι στον άξονα των πραγματικών τόσο που πρέπει σιγά σιγά να συνηθίσουμε να τους θεωρούμε εξαίρεση και εξωτικούς και τους άρρητους ως τους συνήθεις αριθμούς.
  • 91.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 1 Δ. Οι διασημότητες… 1. Αν διαιρέσουμε το μήκος οποιουδήποτε κύκλου με τη διάμετρό του τότε θα βρίσκουμε πάντα τον ίδιο σταθερό αριθμό, τη διάσημη από την αρχαιότητα σταθερά π. Είναι περίπου 3,14159265... Είναι ένας πολύ περίεργος αριθμός γι’ αυτό και δεν είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι τελικά είναι ένας άρρητος αριθμός. Ωστόσο έχουν ανακαλυφθεί πανέμορφοι τρόποι έκφρασης του αριθμούς αυτού. Ένας διάσημος τύπος είναι και ο 4 4 4 4 4 π 4 ... 3 5 7 9 11 . 2. Η σταθερά του Euler γνωστή και ως e. Εμφανίζεται σχεδόν πάντα όποτε μελετούμε ρυθμό μεταβολής ενός μεγέθους. Είναι ίσος περίπου με e 2,7182818284... Για τον αριθμό αυτόν έχουν επίσης ανακαλυφθεί τύποι έκφρασης όπως ο 1 1 1 1 e 1 ... 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 . Χρησιμοποιώντας άπειρες σειρές μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι άρρητος. 3. Θυμόσαστε τη συνάρτηση ζ στην υπόθεση Riemann ή στον τύπο του Euler; Τη συνάρτηση με τύπο s s s s 1 1 1 1 ζ(s) 1 ... 2 3 4 5 Υπάρχουν αρκετοί άρρητοι αριθμοί που συνδέονται με την συνάρτηση αυτή. Όπως η τιμή ζ(2) που ισούται με 2 π 6 ! Η τιμή ζ(3) που ενώ δεν γνωρίζουμε την τιμή της όπως την ζ(2), το 1977 ο Γάλλος μαθηματικός Roger Apery απέδειξε ότι είναι άρρητος αριθμός. Η σειρά αυτή λέγεται Apery ’s number. Το όριο της διαφοράς ζ(n) ln(n) καθώς το n αυξάνει απεριόριστα που συμβολίζεται με γ και έχει υπολογιστεί ότι είναι περίπου γ 0,577215664.... Ωστόσο δεν έχει αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι άρρητος.
  • 92.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 2 Παραμένει ένα από τα άλυτα προβλήματα της θεωρίας των αριθμών. Ο David Hilbert έλεγε ότι η απόδειξη της αρρητότητας του γ είναι ανέφικτη, ενώ ο G.H.Hardy καθηγητής αριθμοθεωρίας στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης πρόσφερε την έδρα του σε όποιον αποδείκνυε ότι ο γ είναι άρρητος. Λέγεται ότι αν ο γ είναι τελικά ρητός ας πούμε a b τότε ο b πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 240.000 10 !!!
  • 93.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 3 Υπερβατικοί και Αλγεβρικοί αριθμοί Α. Προσεγγίσεις … 1. Όπως ήδη έχουμε πει, ρητοί (rational) είναι εκείνοι οι πραγματικοί (real) αριθμοί που η δεκαδική τους έκφραση (decimal expansions) κάποια στιγμή γίνεται περιοδική (periodic). Για παράδειγμα 2 4 3 0,666... , 4 4,000... , 0,75000... 3 1 4 . Σε αντίθεση με αυτούς οι άρρητοι (irrational ) πραγματικοί αριθμοί είναι οι δεκαδικοί μη περιοδικοί με άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Π.χ. π 3,14159.... 2. Αν αναρωτηθούμε ποιοι είναι οι περισσότεροι τότε σαφώς η πλάστιγγα γέρνει υπέρ των αρρήτων. Αν διαλέξουμε στην τύχη έναν αριθμό η πιθανότητα να είναι ρητός είναι σχεδόν μηδέν. Οι άρρητοι είναι απείρως περισσότεροι από τους ρητούς. 3. Αλλά ενώ οι ρητοί είναι τόσο σπάνιοι μπορούμε να προσεγγίσουμε (approximate) όσο θέλουμε έναν άρρητο αριθμό χρησιμοποιώντας τους ρητούς αριθμούς. Ένα «κουτσούρεμα» της δεκαδικής έκφρασης του άρρητου αριθμού θα μας διευκολύνει στην προσέγγιση του. Έτσι είμαστε σε θέση να πλησιάσουμε όσο περισσότερο θέλουμε έναν άρρητο αριθμό χρησιμοποιώντας ρητούς αριθμούς. Ενώ έναν οποιονδήποτε ρητό μπορούμε να προσεγγίσουμε με ένα άλλο διαφορετικό ρητό αριθμό. Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ό τι «αν μας δώσουν δύο οποιουσδήποτε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς χ και ψ. Πάντα μπορούμε να βρούμε έναν ρητό αριθμό ανάμεσά τους ». Αυτό επιβεβαιώνει τον ισχυρισμό ότι το σύνολο των ρητών είναι ένα ιδιαίτερα «πυκνό» σύνολο μέσα στο σύνολο των πραγμα τικών αριθμών.
  • 94.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 4 Β. Οι Αλγεβρικοί αριθμοί 1. Ας ξεκινήσουμε διαπιστώνοντας ότι οποιοσδήποτε ρητός αριθμός αποτελεί λύση μιας γραμμικής εξίσωσης. Για παράδειγμα ο ρητός 3 5 είναι λύση της εξίσωσης : 5x 3 0 . Έτσι το σύνολο των ρητών μπορεί να ορισθεί ως «το σύνολο των λύσεων εξισώσεων της μορφής sx r 0 όπου s,r δεδομένοι ακέραιοι και s 0». Στην περίπτωση μας η λύση της εξίσωσης προφανώς είναι r x s . Σε πιο σύνθετες εξισώσεις θα συναντήσουμε άλλους γνώριμους αριθμούς ως λύσεις. Όπως η 2 x 2 0 που έχει λύση τις x 2 ή η εξίσωση 2 x 1 0 με λύσεις τους φανταστικούς x i ή η εξίσωση 2 x x 1 0 με λύσεις τις γνωστές μας 1 5 x 2 . Ή πιο γενικά οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής n n 1 n n 1 1 oa x a x ... a x a 0 με n n 1 1 oa ,a ,...,a ,a , na 0 και n , που λέγεται πολυωνυμική εξίσωση ( polynomial equation) η οποία αποδεικνύεται ότι έχει πάντα λύσεις ως προς x και μάλιστα το πλήθος των λύσεων είναι όσο η δύναμη στην οποία εμφανίζεται ο άγνωστος x. 2. Ορίζουμε ως «Αλγεβρικούς αριθμούς (algebraic numbers ) το σύνολο όλων των αριθμών που αποτελούν λύσεις μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές ». Για παράδειγμα οι αριθμοί 2 , i, είναι αλγεβρικοί αριθμοί αφού αποτελούν λύσεις πολυωνυμικής εξίσωσης με συντελεστές ακέραιους. Επειδή στις εξισώσεις, λύσεις των οποίων είναι οι αριθμοί αυτοί, ο άγνωστος x εμφανίζεται υψωμένος στο τετράγωνο, οι αλγεβρικοί αυτοί αριθμοί λέμε ότι έχουν βαθμό (degree) 2. Ο αριθμός 3 2 που είναι λύση της εξίσωσης 3 x 2 είναι 3ο υ βαθμού. Πιο περίεργους αλγεβρικούς αριθμούς μπορούμε να φτιάξουμε συνδυάζοντας ότι πιο θε αματικό έχουμε συναντήσει μέχρι τώρα για παράδειγμα ένας τέτοιος αλγεβρικός αριθμός μπορεί να είναι ο 3 85 1 71 ( 29 31) .
  • 95.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 5 Γ. Οι υπερβατικοί αριθμοί 1. Από τη στιγμή που μπορούμε να φτιάξουμε τόσο σύνθετους αλγεβρικούς αριθμούς μοιραία έρχεται η απορία. Όλοι οι γνωστοί μας αριθμοί είναι αλγεβρικοί; Υπάρχουν αριθμοί που δεν αποτελούν λύσεις πολυωνιμικών εξισώσεων με συντελεστές ακεραίους; Οι ερωτήσεις αυτές μοιάζουν όπως τότε που οι μαθηματικοί αναρωτιόντουσαν αν υπάρχουν άλλοι αριθμοί εκτός από τους ρητούς, μέχρι που ανακάλυψαν τους άρρητους… Όπως και στους άρρη τους, που ο ορισμός τους ήταν άρνηση του ορισμού των ρητών, ας τον θυμηθούμε : «άρρητος είναι ένας αριθμός που δεν είναι ρητός», έτσι και τώρα τί θα συμβεί αν ανακαλύψουμε έναν αριθμό που δεν είναι λύση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές; Θα έχουμε ανακαλύψει ένα νέο είδος αριθμού; Υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί; 2. Το ερώτημα αυτό ήταν το κυρίαρχο μαθηματικό πρόβλημα του 19 ο υ αιώνα. Μέχρι που το 1844 ο Γάλλος μαθηματικός Joseph Liouville ανακάλυψε αυτούς του ς περίεργους αριθμούς. Τους ονόμασε υπερβατικούς αριθμούς (transcendental numbers ). Ο Liouville διατύπωσε το θεώρημα: “ αν a είναι ένας δοσμένος αλγεβρικός αριθμός βαθμού d τότε υπάρχει μία θετική σταθερά c ώστε για όλους τους ρητούς p a q ισχύει d c p a q q ” . Από το θεώρημα αυτό συνεπάγεται ότι αν ο αριθμός a είναι αλγεβρικός τότε κάθε ρητός p q που βρίσκεται πολύ κοντά στον a θα πρέπει να έχει μεγάλο παρονομαστή. Ισοδύναμα αν βρούμε έναν αριθμό a ο οποίος έχει μία άπειρη λίστα ρητών αριθμών που τον προσεγγίζουν ολοένα και «περισσότερο» με «μικρούς» παρονομαστές τότε ο a δεν μπορεί να είναι αλγεβρικός. Θα πρέπει να είναι υπερβατικός αριθμός. Ένας τέτοιος αριθμός είναι και ο L 1,1100010000000000000000010000... στον οποίο τα μηδενικά που βρίσκονται μεταξύ των μονάδων αυξάνονται με βάση κάποιο πρότυπο – μοτίβο.
  • 96.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 6 Ο αριθμός αυτός έχει μία άπειρη λίσ τα ρητών αριθμών που τον προσεγγίζουν χρησιμοποιώντας μικρούς παρονομαστές. Για παράδειγμα ο αριθμός 1.110.001 1.110001 1.000.000 προσεγγίζει τον L με μία απόκλιση της τάξης του 24 10 . Ο αριθμός 111.000.100.000.000.000.000.000 1.110001000000000000000000001 100.000.000.000.000.000.000.000 προσεγγίζει τον L με μία απόκλιση της τάξης του 41 10 κ.ο.κ. Σύμφωνα με το θεώρημα του Liouville η πολύ καλή αυτή προσέγγιση του αριθμού L χρησιμοποιώντας ακολουθία ρητών αριθμών με «μικρούς» παρονομ αστές, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι αλγεβρικός. Είναι υπερβατικός αριθμός. Ο αριθμός αυτός ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι ήταν υπερβατικός και είναι γνωστός ως Liouville’s number. 3. Όταν ο Liouville αναφέρθηκε στους υπερβατικούς αριθμούς ήταν το 1844. Τριάντα χρόνια αργότερα το 1873 ο Γάλλος μαθηματικός Charles Hermite απέδειξε ότι ο αριθμός e είναι υπερβατικός. Το 1882 ο Γερμανός μαθηματικός Ferndinand von Lindermann απόδειξε ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός. Οι αποδείξεις είναι αρκετά περίπλοκες και απαιτούν γνώσεις και τεχνικές υψηλού επιπέδου. Το 1900 ο David Hilbert στο συνέδριο των μαθηματικών στο Παρίσι έθεσε ορισμένα ανοικτά - άλυτα προβλήματα η λύση των οποίων θα έδινε νέα ώθηση και ανάπτυξη στη μαθηματική επιστήμη. Το 1ο από αυτά ήταν να αποδειχθεί ότι αριθμός 2 2 είναι υπερβατικός. Γενικότερα ζήτησε να αποδειχθεί ότι «δεδομένων αλγεβρικών αριθμών a, b με τον a να μην είναι ίσο με το 0 ή το 1 και τον b άρρητο τότε ο αριθμός b a είναι υπερβατικός». Τριάντα τέσσερα χρόνια αργότερα ο Ρώσος μαθηματικός Aleksadr Gelfond και ο Γερμανός μαθηματικός Theodor Shneider ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο απόδειξαν την αλήθεια της πρότασης αυτής.
  • 97.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 7 4. Πόσοι είναι όμως οι υπερβατικοί αριθμοί; Πάλι όπως και στους ρητούς – άρρητους, αν διαλέξουμε στην τύχη έναν αριθμό τότε η πιθανότητα ο αριθμός που διαλέξαμε να είναι υπερβατικός είναι 100% !!! Οι υπερβατικοί αριθμοί είναι οι συνήθεις αριθμοί , οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι μία μικρή πολύ μικρή μειοψηφία. 5. Υπάρχουν αρκετά ανοικτά – άλυτα προβλήματα σχετικά με τους υπερβατικούς αριθμούς. Όπως : ο αριθμός e π είναι υπερβατικός; Ο αριθμός e π; Πολλοί πιστεύουν πως οι αριθμοί αυ τοί είναι υπερβατικοί. Όμως μέχρι τώρα κανείς δεν το έχει αποδείξει.
  • 98.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 8 Διοφαντική προσέγγιση Α. Προσεγγίζοντας όσο το δυνατόν πιο “φθηνά” … 1. Όπως ήδη έχουμε πει το σύνολο των ρητών αριθμών είναι αρκετά πυκνό ώστε να είμαστε σε θέση να προσεγγίζουμε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό με τη βοήθεια του. Έτσι για παράδειγμα ο αριθμός π μπορεί να προσεγγιστεί με τους αριθμούς 22 3,142857143 7 αλλά και 31 3,1 10 κ.τ.λ. Το ερώτημα που θέτουμε στην ιστορία αυτή είναι να βρούμε την καλύτερη ρητή προσέγγιση χρησιμοποιώντας ρητό αριθμό με παρονομαστή (denominator) μικρότερο ή ίσο δοθέντος φυσικού αριθμού. Η προσέγγιση αυτή είναι γνωστή ως Διοφαντική (Diophantine approximation ). 2. Johann Dirichlet το 1842 απέδειξε το παρακ άτω θεώρημα : « Αν a πραγματικός αριθμός και Q 1 ένας δοσμένος πραγματικός αριθμός, τότε υπάρχει ρητός p q ώστε να ισχύει p 1 a q (Q 1) q με 1 q Q » 3. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσεγγίσουμε τον άρρητο π με έναν ρητό με παρονομαστή όχι μεγαλύτερο από το Q 7. Η διαδικασία που περιγράφεται από το θεώρημα του Dirichlet είναι η εξής : *Χωρίζουμε το διάστημα [0,1] σε Q 1 7 1 8ίσα διαστήματα. *Ο χωρισμός αυτός θα γίνει με τη βοήθεια των αριθμών 0 και 1 και των δεκαδικών μερών (fractional parts) των γινομένων 1 π , 2 π , 3 π , 4 π , 5 π , 6 π , 7 π δηλαδή τους αριθμούς :
  • 99.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 9 0 0,000000... , {1 π} 0,141592... , {2 π} 0,283185... , {3 π} 0,424777... , {4 π} 0,566370... , {5 π} 0,707963... , {6 π} 0,849555... , {7 π} 0,991148..., 1 1,000000.... *Τουλάχιστον δύο από τους αριθμούς αυτούς «απέχουν» απόσταση μικρότερη ή ίση του 1 0,125 8 . Στην πραγματικότητα οι αριθμοί {7 π} και 1 απέχουν απόσταση μικρότερη του 1 8 . Άρα : 1 1 22 1 (7π 21) 1 7π 22 π 8 8 7 8 7 . Οπότε ο ρητός 22 7 προσεγγίζει τον αριθμό π με μία απόκλιση της τάξεως του 1 1 0,01785 8 7 56 .
  • 100.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 00 Β. Ένας άλλος ορισμός των άρρητων αριθμών 1. Στην περίπτωση όπου έχουμε άρρητο πραγματικό αριθμό a τότε με βάση το θεώρημα του Dirichlet μπορούμε αυξάνοντας συνεχώς τον ρητό Q να βρούμε μία άπειρη λίστα ρητών p q που να ικανοποιούν την ανισότητα p 1 a q (Q 1) q . Επειδή ισχύει ότι : 1 1 q Q 1 Q 1 q καταλήγουμε στην ανισότητα 2 p 1 a q q . 2. Με τη βοήθεια του συμπεράσματος αυτού είμαστε σε θέση να καταλήξουμε σε μία νέα π ροσέγγιση για τον ορισμό του άρρητου αριθμού, δηλαδή : « ένας αριθμός a είναι άρρητος αν και μόνο αν υπάρχει μία άπειρη ακολουθία διαφορετικών μεταξύ τους ρητών p q που ικανοποιούν την ανίσωση 2 p 1 a q q .
  • 101.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 01 Γ. Το μπιλιάρδο, οι τροχιές των πλανητών και ο κ. Kronecker … 1. Προηγουμένως συμβολίσαμε το δεκαδικό μέρος ενός πραγματικού αριθμού x με {x}, π.χ. {6,132) 0,132 , {57, 6} 0, 6. Αντίστοιχα συμβολίσαμε και τα δεκαδικά μέρη γινομένων ακεραίων με κάποιον άρρητο αριθμό . Για παράδειγμα γράψαμε : {1 π} 0,141592... , {2 π} 0,283185... , {3 π} 0,424777... {4 π} 0,566370... , {5 π} 0,707963... , {6 π} 0,849555... , {7 π} 0,991148..., κ.τ.λ. 2. Αν σημειώσουμε τ ους αριθμούς αυτούς στον άξονα των πραγματικών αριθμών θα παρατηρήσουμε ότι ισοκατανέμονται στο ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ των αριθμών 0 και 1. Συνεχίζοντας, να πολλαπλασιάζουμε τον άρρητο π με ολοένα και μεγαλύτερους ακέραιους και να σημειώνουμε τα δεκαδικά μέρη των γινομένων θα παρατηρήσουμε ότι αυτά αρχίζουν να καλύπτουν τα ενδιάμεσα αρχικά κενά. Έτσι αν διαλέξουμε οποιονδήποτε αριθμό ανάμεσα στους 0 και 1, πάντα θα υπάρχει ακέραιο πολλαπλάσιο του π που το δεκαδικό του μέρος να βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς αυτούς. 3. Την παρατήρηση αυτή την απέδειξε ο Γερμανός μαθηματικός Leopold Kronecer το 1884 διατυπώνοντας το θεώρημα « αν a ένας άρρητος πραγματικός αριθμός τότε η άπειρη ακολουθία {a} , {2a} , {3a} , ... διασπείρεται στο διάστημα [0,1]». 4. Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται εκεί που δεν το περιμένει κανείς. Για παράδειγμα :
  • 102.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 02 Στο μπιλιάρδο !!! Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μπιλιάρδο, χωρίς τρύπες όπου όταν η μπάλα χτυπήσει στα τοιχώματα θα ανακλαστεί ώστε η γωνία πρόπτωσης και η γωνία ανάκλασης να είναι ίδια. Στο ιδανικό αυτό μπιλιάρδο υποθέτουμε ακόμα ότι δεν υπάρχουν τριβές. Έτσι η μπίλια θα ακ ολουθεί συνεχώς μία τροχιά που θα καθορίζεται από την αρχική θέση της και την γωνία πρόπτωσης. Με τη βοήθεια του θεωρήματος του Kronecer αποδεικνύεται ότι : * η τροχιά της μπίλιας θα είναι τυχαία όταν η κλίση της αρχικής γωνίας πρόσπτωσης είναι άρρητος αριθμός, ενώ * η τροχιά θα είναι περιοδική όταν η κλίση είναι ρητός αριθμός!!! Στην αστρονομία !!! Έστω ότι έχουμε μία ομάδα πλανητών που κινούνται περιοδικά με διαφορετικές ακτίνες γύρω από τον ήλιο. Υποθέτουμε επίσης ότι αρχικά όλοι οι πλανήτες βρίσκονται στην ίδια ευθεία με τον ήλιο. Σύμφωνα με το θεώρημα του Kronecer αποδεικνύεται ότι ακόμα και αν οι τροχιές των πλανητών φαίνονται ότι δεν έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους, οι πλανήτες κάποια στιγμή θα βρεθούν και πάλι όλοι με τον ήλιο στην ίδια ευθεία!!!
  • 103.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 03 Γράφοντας τους πραγματικούς με τη μορφή συνεχών κλασμάτων Α. Και πάλι ο Ευκλείδης … 1. Τον αλγόριθμο της ευκλείδειας διαίρεσης τον θυμόμαστε; « Δεδομένων δύο φυσικών αριθμών a και b υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί q και υ ώστε να ισχύει η ισότητα a b q υ με 0 υ b» . Ο ίδιος μεγάλος μαθηματικός μας πρόσφερε και τον τρόπο εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο φυσικών, τον θυμόμαστε; Εφαρμόζουμε την παρατήρηση ότι για τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών a,b που συμβολίζεται με (a,b) ισχύει ότι (a,b) (b,υ), όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης a : b. Έτσι με συνεχείς διαιρέσεις βρίσκουμε τον Μ.Κ.Δ. ως τον πρώτο μη μηδενικό υπόλοιπο των διαιρέσεων αυτών. Ας τον θυμηθούμε με ένα παράδειγμα. Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός δια ιρέτης των αριθμών 130 και 41; Έχουμε ότι : 3 7 41 7 1 130 41 5 6 7 6 1 6 1 6 0 Το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι το 1 άρα (130,41) 1 ( άρα οι αριθμοί αυτοί είναι πρώτοι μεταξύ τους).
  • 104.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 04 2. Τον αλγόριθμο αυτόν μπορούμε να τον εκμεταλλευτούμε για να γράψουμε τον ρητό 130 41 διαφορετικά. Ας παρακολουθήσουμε τη διαδικασία. 130 41 3 7 7 1 3 3 4141 41 41 7 1 1 3 3 7 5 6 6 5 7 7 1 1 3 3 1 1 5 5 7 6 1 1 6 6 1 3 1 5 1 1 6 Έτσι παρατηρούμε ότι ισχύει : 130 1 3 141 5 1 1 6 * 9 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) 3. Η παρουσίαση αυτή λέγεται έκφραση υπό τη μορφή συνεχών κλασμάτων (continues fraction expansion). Αφού τον Ευκλεί δειο αλγόριθμο υπολογισμού του μέγιστου κοινού διαιρέτη μπορούμε τον εφαρμόσουμε σε κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών, είμαστε σε θέση κάθε λόγο δύο φυσικών να τον γράψουμε με τη μορφή συνεχών κλασμάτων.
  • 105.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 05 Η γενική μορφή είναι o 1 2 3 4 1 a 1 a 1 a 1 a a ... με τους ia όλους φυσικούς αριθμούς. Το πλήθος των φυσικών προφανώς είναι πεπερασμένο, αφού ο Ευκλείδειος αλγόριθμος υπολογίζει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη μετά από πεπερασμένο π λήθος διαιρέσεων. Η πρόταση αυτή ισχύει και αντίστροφα δηλαδή ένα συνεχές κλάσμα όπως π.χ. το 1 2 1 4 3 τελικά εκφράζει έναν ρητό αριθμό τον 29 13 . 4. Οπότε «ένας αριθμός A θα είναι ρητός αν και μόνο αν μπορεί να γραφεί ως ένα άθροισμα πεπερασμένου πλήθους, συνεχών κλασμάτων». Με τη βοήθεια της γραφής αυτής έναν οποιονδήποτε ρητό αριθμό συμφωνούμε να τον συμβολίζουμε και ως o 1 2 n[a ,a ,a ,...,a ]. Για παράδειγμα : ο ρητός 140 13 γράφεται : [3,5,1,6] ο ρητός 29 13 γράφεται : [2,4,3] * 1 0 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
  • 106.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 06 Β. Ένας άρρητος με τη μορφή συνεχών κλασμάτων … 1. Η διαδικασία γραφής ενός ρητού με τη μορφή συνεχών κλασμάτων, προϋποθέτει την εφαρμογή του Ευκλείδειου αλγορίθμου για τον υπολογισμό του Μ.Κ.Δ. δύο ακεραίων. Στους άρρητους όμως αριθμούς ο αλγόριθμος αυτός δεν εφαρμόζεται. Γεννιέται το ερώτημα, υπάρχει τρόπος έναν άρρητ ο να τον γράψουμε ως άθροισμα κλασμάτων; Το σίγουρο είναι ότι αν υπάρχει τότε τα συνεχή κλάσματα θα πρέπει να είναι άπειρα. 2. Ας προσπαθήσουμε να γράψουμε τον ρητό 130 41 που ισούται με 3,170731707317073.... ως άθροισμα συνεχών κλασμάτων εκμεταλλευόμενοι όμως τη δεκαδική του έκφραση. 3,1707317073... 1 3 0,1707317073... 3 1 0,1707317073... 1 1 3 3 5,857142857142... 5 0,857142857142... 1 1 3 3 1 1 5 5 1 1,1666... 0,857142857142... 1 1 3 3 1 1 5 5 11 0,1666... 1 1 0,1666... 1 3 [3,5,1, 1 5 1 1 6 6] Καταλήγουμε λοιπόν στην ίδια γραφή όπως και προηγουμένως.
  • 107.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 07 3. Τη μέθοδο αυτή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και σε έναν οποιονδήποτε άρρητο αριθμό. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. 1 2 1,414213... 1 0,414213... 1 1 0,414213... 1 1 1 1 1 1 ... 12,414213... 2 0,414213... 2 1 0,414213... Παρατηρείτε πως επαναλαμβάνονται τα κλάσματα. Άρα για την τετραγωνική ρίζα το υ 2 έχουμε τελικά μία μορφή «περιοδικότητας» !!! Τελικά γράφεται με τη μορφή άπειρων συνεχών κλασμάτων ως εξής : 1 2 1 [1,2,2,2,...] 1 2 1 2 2 ... Το 1770 ο Γάλλος μαθηματικός Lagrange απέδειξε ότι ένας πραγματικός αριθμός χαρακτηρίζεται από «περιοδική έκφραση» όταν αυτός γραφεί με τη μορφή συνεχών κλασμάτων αν και μόνο αν ο αριθμός αυτός είναι ένας τετραγωνικός άρρητος αριθμός. Αποτελεί δηλαδή λύση τετραγωνικής πολυωνυμικής εξίσωσης. Για το λόγο αυτό έχουμε και τη γνωστή «περιοδικότητα» του αριθμού φ, θυμόμαστε; 1 φ 1 1 1 1 1 1 ... . Άρα ο αριθμός φ γράφεται με τη μορφή φ [1,1,1,1,...] . Μία άκρως ενδιαφέρουσα γραφή που μας επιτρέπει κατά μία έννοια να ισχυριστούμε ότι ο φ είναι « ο μικρότερος άρρητος από όλους τους άρρητους»!!!
  • 108.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 08 Ας δούμε μερικούς συνήθεις άρρητους, όπως π.χ. 3 [1,1,2,1,2,1,2,...] , 5 [2, 4, 4, 4, 4,...], 6 [2,2,4,2,4,2,4,...] , 7 [2,1,1,1, 4,1,1,1, 4,...]. Παρατηρήστε ότι το τελευταίο ψηφίο του περιοδικού μέρους είναι πάντα διπλάσιο από το πρώτο ψηφίο της έκφρ ασης του άρρητου με τη μορφή συνεχών κλασμάτων. Για τον log2 τα πράγματα είναι πιο πολύπλοκα τελικά η γραφή του μετά από πολλούς υπολογισμούς είναι log2 [0,3,3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18,1,6,1,2,1,...] . Ο αριθμός π γράφεται π [3,7,15,1,192,1,1,1,2,1,3,1,14,3,...] την γραφή αυτή χρησιμοποίησε το 1882 ο Lindemann για να αποδείξει ότι το π είναι υπερβατικός. Το 1770 ο Joseph Lagrange απέδειξε ότι η καλύτερη ρητή προσέγγιση ενός άρρητου μπορεί να προκύψει «κόβοντας» κατάλληλα τη μορφή των συνεχών κλασμάτων. Για παράδειγμα 1 17 2 [1,2,2,2] 1 1,466 1 122 1 2 2 . Μία γραφή που προσεγγίζει την πραγματική τιμή με απόκλιση 0,0024. Άλλο παράδειγμα 1 22 π [3,7] 3 3,142857 7 7 , μία τιμή που αποκλίνει από την πραγματική κατά 0,0012 . Τέλος, ενδιαφέρον παράδειγμα είναι ο αριθμός e για τον οποίο ισχύει ότι e [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,...] , αναγνωρίζετε μία κανονικότητα στη γραφή του;
  • 109.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 09 Γεγονότα και βιογραφίες 2000 – 1650 π.Χ . 540 π.Χ. 540 - 500 π.Χ. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρουν προσεγγιστικά την τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 2 . Ο Πυθαγόρας ιδρύει τη σχολή του στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας και αποδεικνύει το Πυθαγόρειο θεώρημα . Πυθαγόρας (569-507 π.Χ.) Γεννήθηκε στη Σάμο και ίδρυσε σχολή στην Κάτω Ιταλία. Δεν άφησε γραπτά κείμενα και ότι γνωρίζουμε για τη ζωή και το έργο του το γνωρίζουμε από τον Αριστοτέλη και τον Πλάτωνα. Πίστευε ότι οι αριθμοί είναι η βάση των πάντων. Θεωρείται ο πατέρας της θεωρίας των αριθμών. Οι Πυθαγόρειοι αποδεικνύουν την ύπαρξη των άρρητων αριθμών
  • 110.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 10 300 π.Χ. 200 π.Χ φυσικό Ο Ευκλείδης θεμελιώνει αξιωματικά τη Γεωμετρία στα «Στοιχεία» του. Αποδεικνύει ότι οι πρώτοι είναι άπειροι και το ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός. Διατυπώνει το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής και παρουσιάζει τον αλγόριθμο εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών. Ευκλείδης (325 -265 π.Χ.) Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια. Έγραψε τα «Στοιχεία» μία συλλογή 13 βιβλίων που περιλαμβάνουν Γεωμετρία και θεωρία αριθμών. Ο τρόπος συγγραφής του έργου θεωρείται ακόμα και σήμερα ως ο ιδανικός τρόπος παρουσίασης επιστημονικών εργασιών. Ο Ερατοσθένης αναπτύσσει το «κόσκινο» του. Μία μέθοδο εύρεσης όλων των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο φυσικό. Ερατοσθένης (276 -194 π.Χ.) Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Ασχολήθηκε επίσης με τη Γεωγραφία, την Αστρονομία και την ποίηση.
  • 111.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 11 210-290 μ.Χ. 1202 1570 1575 Ο Διόφαντος συγγράφει το πρώτο βιβλίο Άλγεβρας τα «Αριθμητικά». Διόφαντος (210-290 μ.Χ.) Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια. Στα 13 βιβλία που συνέγραψε με τον τίτλο «Αριθμητικά» περιλαμβάνονται οι αλγεβρικές γνώσεις της εποχής. Ασχολήθηκε με τις λύσεις εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές που προς τιμήν του λέγονται Διοφαντικές εξισώσεις. Ο Fibonacci ορίζει την περίφημη ακολουθία του. Fibonacci Leonardo de Pisa (1175- 1250) Ιταλός μαθηματικός. Ο σπουδαιότερος μαθηματικός του 13ο υ αιώνα. Εισήγαγε στην Ευρώπη το Ινδο -αραβικό σύστημα γραφής των αριθμών. Ο Bombelli μεταφράζει στα Λατινικά τα «αριθμητικά» του Διόφαντου. Γίνεται η πρώτη έκδοση των «Αριθμητικών».
  • 112.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 12 1637 1640 1736 1737 Ο Fermat σημειώνει στα περιθώρια του αντιτύπου των «Αριθμητικών» του το περίφημο τελευταίο θεώρημα του. Ο Fermat διατυπώνει το «μικρό» θεώρημα του. Pierre de Fermat (1601-1665 Δικηγόρος, ερασιτέχνης μαθηματικός. Πολλοί τον ονομάζουν ως τον θεμελιωτή της μοντέρνας θεωρίας των αριθμών. Διάσημος για τις εικασίες του και τα θεωρήματά του που κατά τη συνήθεια του απλώς ανακοίνωνε τις ανακαλύψεις του προκαλώντας τους άλλους μαθηματικο ύς να τις αποδείξουν. O Euler αποδεικνύει το μικρό θεώρημα του Fermat. O Euler δημοσιεύει τον διάσημο παραγωγικό τύπο του, θεμελιώνοντας τη σύγχρονη αναλυτική θεωρία των αριθμών. Leonhard Euler (1707-1783) Ελβετός πολυγραφότατος μαθηματικός και επιστήμονας. Διατύπωσε πρωτότυπες ιδέες σε όλες τις περιοχές της ανάλυσης. Η εξίσωση του eπ i +1=0 θεωρείται ο ομορφότερος τύπος των μαθηματικών.
  • 113.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 13 1742 1750 1770 1785 O Goldbach σε ένα γράμμα του προς τον Euler διατυπώνει την εικασία του «κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 γράφεται ως άθροισμα δύο πρώτων» Η εικασία αυτή δεν έχει αποδειχθεί μέχρι της μέρες μας. Ο Euler χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απείρου καθόδου του Fermat απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=3. Ο Lagrange απέδειξε ότι η καλύτερη ρητή προσέγγιση ενός άρρητου αριθμού επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τη γραφή των συνεχών κλασμάτων. Επίσης απέδειξε ότι οι τετραγωνικοί άρρητοι παρουσιάζουν μία μορφή περιοδικότητας όταν γράφονται με τη μορφή συνεχών κλασμάτων. Joseph-Louis Lagrange (1736- 1813) Γαλλο – ιταλός μαθηματικός, μαθητής του Euler. Διατύπωσε εικασίες και θεωρήματα στη θεωρία των αριθμών και στη θεωρία των συνεχών κλασμάτων. 8 χρονών ο Gauss αποδεικνύει τον τύπο του αθροίσματος των ν πρώτων φυσικών αριθμών
  • 114.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 14 1792 1801 1820 1825 Ο Gauss και ο Legendre διατυπώνουν το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Ο πρίγκιπας των μαθηματικών. Απέδειξε πρώτος ότι το σύνολο των μιγαδικών είναι κλειστό. Ένα μεγάλο πλήθος προβλημάτων εικασιών και θεωρημάτων οφείλονται στις εργασίες του μεγάλου αυτού Γερμανού μαθηματικού. Ο Gauss παρουσιάζει τη θεωρία της modular αριθμητικής. Andrien-Marie Legendre (1752- 1833) Γάλλος μαθηματικός, με μεγάλη συνεισφορά στη θεωρία των αριθμών, στατιστική, άλγεβρα και ανάλυση. Απόδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=5. Το 1796 διατύπωσε το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Η Germain κάνει σπουδαίες προόδους στο τελευταίο θεώρημα του Fermat . Ο Dirichlet και ο Legendre χρησιμοποιώντας τις ιδέες της Germain αποδεικνύουν το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=5.
  • 115.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 15 1839 1842 1843 1844 Ο Gabriel Lame (1795-1870) απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat για n=7. Ισχυρίστηκε ότι απόδειξε γενικά το θεώρημα, αλλά έκανε λάθος. Johann Dirichlet (1805-1859) Γερμανός μαθηματικός. Δίδαξε στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Μεγάλη η συνεισφορά του στη μελέτη των πρώτων αριθμών και στη ρητή προσέγγιση των πραγματικών αριθμών. Ο Dirichlet αποδεικνύει το θεώρημα του σχετικά με τη ρητή προσέγγιση των πραγματικών αριθμών. Η εργασία αυτή (μαζί με την αντίστοιχη του Liouville’s) θεμελιώνει μία νέα περιοχή έρευνας στη θεωρία των αριθμών αυτή της Διοφαντικής προσέγγισης. Ο Binet παρουσιάζει τον τύπο που αποδίδει το γενικό όρο της ακολουθίας Fibonacci. Ο Liouville δημιουργεί τον πρώτο υπερβατικό αριθμό. Επίσης παρουσιάζει το θεώρημα σχετικά με το μέγεθος του παρονομαστή του ρητού που προσεγγίζει έναν αλγεβρικό αριθμό.
  • 116.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 16 1847 1850 O Kummer κατορθώνει να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat για όλους τους «ομαλούς» πρώτους αριθμούς. Joseph Liouville (1809-1882) Γάλλος μαθηματικός. Είναι γνωστός για την απόδειξη που παρουσίασε το 1844 για την ύπαρξη των υπερβατικών αριθμών. Κατασκεύασε παραδείγματα υπερβατικών αριθμών και περιέγραψε μία ειδική κλάση υπερβατικών που ονομάζονται «αριθμοί του Liouville». Ernst Kummer (1810-1893) Γερμανός μαθηματικός. Διαπίστωσε το λάθος της « απόδειξης» του Lame. Ανέπτυξε την έννοια των ιδανικών αριθμών εξερευνώντας τη μονοσήμαντη παραγοντοποίηση σε διάφορους αλγεβρικούς δακτυλίους που κατασκεύασε. O Ρώσος μαθηματικός Chebyshev Pafnuty (1821-1894) σημείωσε μεγάλη πρόοδο για την απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων. αριθμών.
  • 117.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 17 1859 1873 1882 1883 Ο Riemann δημοσιεύει τη διπλωματική εργασία του για το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Στην εργασία αυτή αναφέρεται η υπόθεση του, μία εικασία που μέχρι σήμερα δεν έχει αποδειχθεί. Βernhard Riemann (1826-1866) Σημαντική μορφή με προσφορά στους τομείς της ανάλυσης, γεωμετρίας και τοπολογίας. Καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Gottingen συνεχιστής του έργου του Gauss. Η υπόθεση του για την κατανομή των πρώτων όπως την παρουσίασε στη διδακτορική του διατριβή, είναι ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα των μαθηματικών, γνωστή ως η «υπόθεση του Riemann». Ο Hermite αποδεικνύει ότι ο αριθμός e είναι υπερβατικός. Ο Lindemann αποδεικνύει ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός. Ο Γάλλος μαθηματικός Edouard Lucas (1842-1891) παρουσιάζει την κατασκευή του «πύργοι του Ανόι» . Στον τρόπο επίλυσης του πάζλ εμπλέκει αναδρομικές ακολουθίες.
  • 118.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 18 1884 Georg Cantor 1896 1900 Ο Kronecker αποδεικνύει ότι το δεκαδικό μέρος του γινομέν ου ενός ακεραίου επί έναν άρρητο διαχέεται στο διάστημα [0,1]. Leopold Kronecker (1823-1891) Γερμανός μαθηματικός με μεγάλη συνεισφορά στους τομείς της θεωρίας των αριθμών, της άλγεβρας και της ανάλυσης. Πίστευε ότι η αριθμητική και η ανάλυση θα μπορούσε να θεμελιωθεί στους ακέραιους αριθμούς. Επηρεάστηκε και προώθησε τις ιδέες του άλλου σπουδαίου σύγχρονού του Γερμανού μαθηματικού Georg Cantor (1845-1918) σχετικά με το άπειρο και τον πληθικό αριθμό συνόλων. Oι Hadamard και Poussin ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο αποδεικνύουν το θεώρημα των πρώτων αριθμών. J a c q u e s H a d a m a r d V a l l e e P o u s s i n Ο Hilbert παρουσιάζει στο 2 ο Παγκόσμιο συνέδριο στο Παρίσι 23 προβλήματα, προκλήσεις, για την ανάπτυξη των μαθηματικών του 20 ο υ αιώνα.
  • 119.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 19 1921 1933 1934 Ο Βρετανός μαθηματικός Louis Mordel (1888-1972) ανακαλύπτει αλγεβρικές δομές στα ρητά σημεία των ελλειπτικών καμπυλών. David Hilbert (1862-1943) Γεννημένος στη Ρωσία ο Γερμανός αυτός σπουδαίος μαθηματικός δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Gottingen συνεχίζοντας την παράδοση των Gauss και Riemann. Η ομιλία του στο 2 ο Παγκόσμιο συνέδριο μαθηματικών του Παρισιού θεωρείται από τις σπουδαιότερες ομιλίες που έ χουν γίνει ποτέ. Υποστηρικτής των απόψεων του Cantor, παρουσίασε την υπόθεση του συνεχούς ως το πρώτο από τα 23 περίφημα προβλήματα που πρέπει η μαθηματική επιστήμη να λύσει κατά τον 20 ο αιώνα. O Νοτιο-αφρικανός μαθηματικός Stanley Skewes (1899-1988) εργαζόμενος πάνω στην κατανομή των πρώτων περιγράφει τον μεγαλύτερο αριθμό που έχει εμπλακεί σε απόδειξη μέχρι τώρα. Ο Ρώσος μαθηματικός Aleksandr Gelfond και ο Γερμανός συνάδελφός του Theodor Schneider ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο αποδεικνύ ουν ένα από τα 23 προβλήματα του Hilbert « ο αριθμός αβ με τον α αλγεβρικό και τον β άρρητο είναι υπερβατικός».
  • 120.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 20 1949 1962 1970 1977 Ο Ούγγρος μαθηματικός Paul Erdos (1913-1996) και ο Νορβηγός Atle Selberg (1917-2007) αποδεικνύουν χωριστά ο ένας από τον άλλο το θεώρημα των πρώτων αριθμών χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις τεχνικές. A t l e S e l b e r g Ο Paul Erdos αποδεικνύει ότι κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο αριθμών Liouville. P a u l E r d o sΟ Ρώσος μαθηματικός Matiyasevich αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει ένας γενικός αλγόριθμος όπου με πεπερασμένο αριθμό βημάτων μπορεί να καταδείξει αν μία Διοφαντική εξίσωση έχει λύση ή όχι. Ένα από τα περίφημα προβλήματα του Hilbert βρίσκει τη λύση του. Οι Rivest, Shamir και Adleman δημιουργούν το δημόσιο κλειδί κρυπτογράφησης, γνωστό ως σύστημα RSA. O Barry Mazur (1937- ) καθηγητής του Πρίστον δημοσιεύει τα αποτελέσματα των ερευνών του σχετικά με την αλγεβρική δομή των ρητών σημείων των ελλειπτικών καμπυλών.
  • 121.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 21 1983 1993 Ο Γερμανός μαθηματικός Gert Faltings αποδεικνύει την εικασία του Mordell σχετικά με το πλήθος των ρητών σημείων καμπυλών που αποτελούν τομές στερεών με περισσότερες από μία οπές. Το 1986 κατακτά το βραβείο Fields. Ο Andrew Wiles (1953- ) Βρετανός μαθηματικός του πανεπιστημίου του Πρίνστον μετά από 10 χρόνων εργασία, ανακοινώνει ότι έχει αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Δυστυχώς διαπιστώνεται λάθος στην απόδειξη. Το 1994 συμπληρώνει την απόδειξη και την παρουσιάζει ολοκληρωμένη.
  • 122.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 22 Το τέλος ενός βιβλίου … αφορμή για μια καινούργια αρχή !! Όταν τελειώνει ένα βιβλίο πάντα μένει μια αίσθηση ανικανοποίητου να πλανιέται. Ίσως διότι κάποια σημεία δεν έγιναν κατανοητά ή κάποια άλλα τα περάσαμε γρήγορα. Ότι και αν έχει συμβεί, ένα βιβλίο έχει πολλές αναγνώσεις. Πρέπει να διαβαστεί ξανά και ξανά. Να σημειωθεί, να τσακισθεί, να γ ίνει δικό μας. Ποιος ξέρει μπορεί σε κάποιο περιθώριο να γράψουμε μια υποψία ή μια απορία!!! Ξεκινώντας τις ιστορίες της θεωρίας των αριθμών υποσχεθήκαμε να πείσουμε μέχρι το τέλος του βιβλίου η πρόταση : «Κάθε αριθμός παρουσιάζει ε νδιαφέρον» να μην μας ξενίζει και τόσο… Θα κάνω μία τελευταία προσπάθεια για να σας πείσω. Παρακολουθήστε τις παρακάτω ιστορίες. Χρόνος, περίπου 1780. Ο μεγάλος μαθηματικός Euler, εμπνεόμενος (;) από το τελευταίο θεώρημα του Fermat ισχυρίζεται ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 4 4 4 4 x y z w . Κανείς δεν μπόρεσε να επιβεβαιώσει ή να διαψεύσει την εικασία αυτή. Έπρεπε να φθάσουμε το 1988 όπου ο Noam Elkies του Πανεπιστημίου του Χάρβαντ έδωσε στη δημοσιότητα μία ισότητα την : 4 4 4 4 2.682.440 15.365.639 18.760.760 20.615.673 . Ακόμα και ο Euler μπορεί να κάνει λάθος. * 1 1 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
  • 123.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 23 Χρόνος 1920. Τόπος, αναρρωτήριο Πάτνεϊ του Λονδίνου. Πρωταγωνιστές ο Άγγλος μαθηματικός G.H.Hardy καθηγητής του Κέμπριτζ και ο Ινδός μαθηματικός Ramanujan Srininasa . Ο Χάρντι επισκέπτεται τον Ραμανουτζάν που ήταν άρρωστος. Για να πει κάτι παρουσίασε τον αριθμό του ταξί που τον είχε φέρει στο αναρρωτήριο. Είπε ότι ο αριθμός ήταν ένας μάλλον βαρετός αριθμός, το 1729. Τότε ο Ραμανουτζάν ασυγκράτητος ακόμα και στο κρεβάτι της αρρώστιας, του αντέτεινε ότι είναι ένα ς πολύ ενδιαφέρον αριθμός. Ανέφερε ότι είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφεί με δύο διαφορετικούς τρόπους ως άθροισμα δύο κύβων. Πράγματι 3 3 3 3 1729 1 12 10 9 !!! * 1 2 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) Υπάρχουν δύο είδη τζιτζικιών τα Magicicada septendecim και Maggicicada tredecim που περνούν μια πολύ περίεργη ζωή. Ο κύκλος της ζωής τους είναι 17 και 13 χρόνια αντίστοιχα. Όλη τους τη ζωή τη περνούν μέσα στο έδαφος και τρέφονται από τους χυμούς των ριζών των δένδρων. Μέσα σε μία νύχτα συμβαίνει κάτι το καταπληκτικό, εκατομμύρια τζιτζίκια σηκώνονται από το έδαφος και καταλαμβάνουν μαζικά το δάσος. Τραγουδούν, τρώνε, ζευγαρώνουν, γεννούν τα αυγά τους και μετά από έξι εβδομάδες πεθαίνουν. Το δάσος ησυχάζει για τα επόμενα 17 χρόνια. Γιατί όμως τα είδη αυτά έχουν εξελίξει το μήκος της ζωής έτσι ώστε να είναι πρώτοι αριθμοί; Μία εξήγηση είναι ότι αφού έχουν κύκλο ζωής πρώτο αριθμό, είναι πολύ σπάνιο να αναδυθούν και να διεκδικήσουν ταυτόχρονα το δάσος. Κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί κάθε 17 13 221 χρόνια. Μία άλλη εξήγηση είναι ότι στο περιβάλλον που αναπτύσσονται τα έντομα αυτά, αναπτύσσεται και ένα θανατηφόρο για αυτά μανιτάρι. Οι κύκλοι των 17 και 13 χρόνων είναι τέτοιοι ώστε τα τζιτζίκια σπάνια θα αναδυθούν την ίδια εποχή με το μανιτάρι. * 1 3 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) Οι πρώτοι αριθμοί δεν είναι μία αφηρημένη έννοια αλλά το κλειδί για την επιβίωση των εντόμων αυτών !
  • 124.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 24 Υπάρχουν πολλές παρόμοιες τέτοιες ενδιαφέρουσες (;) ιστορίες για τους αριθμούς. Σειρά σας είναι να ψάξετε, να τις βρείτε, αλλά και να ανακαλύψετε σχέσεις που κανείς άλλος μέχρι τώρα δεν έχει βρει. Ίσως τα πιο ενδιαφέροντα βιβλία είναι αυτά που τελικά αφήνουν μέσα μας έναν σπόρο που ενδέχεται από κάποιον ευτυχή συνδυασμό τυχαιότητας και ωρίμανσης να ενεργοποιηθεί στο μέλλον. Αν έριξα ένα σπόρο σε κάποιους από σας, αυτό θα φανεί … Δε λέω ότι όλοι θα γίνουμε σαν τον ιδιοφυή Ινδό μαθηματικό αλλά μπορούμε πάντα : να αναρωτιόμαστε, να συζητάμε, να μας απασχολεί το γιατί συμβαίνει κάτι και όχι απλώς να το δεχόμαστε, να εργαζόμαστε με διερευνητική διάθεση, με όρεξη και κέφι !!!
  • 125.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 25 Βιβλιογραφία – Παραπομπές Το βιβλίο «Ιστορίες από τη θεωρία των αριθμών » είναι μία ελεύθερη απόδοση του βιβλίου “ An Introduction to Number Theory “ εκδόσεις “The Teaching Company” . Ο συγγραφέας του βιβλίου είναι ο Edward B. Burger, καθηγητής στο Williams College . Σε διάφορα σημεία του βιβλίου υπάρχουν παραπομπές με την ένδειξη * 1 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α ) . Οι ενδείξεις αυτές αναφέρονται σε αποσπάσματα από διάφορα βιβλία ή μαθηματικές εφαρμογές. Συγκεκριμένα : Αριθμός παραπομπής Σελίδα κειμένου Βιβλίο-Applet αναφοράς - σελίδα 1. 33 Υπόθεση Riemann του John Derbyshire , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδες (146-149) 2. 36 Applet “the prime number theorem” από το Wolfram demonstrations project. 3. 38 Applet “Goldbach conjecture” από το Wolfram demonstrations project 4. 48 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 393 5. 50 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 403 6. 51 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 410 -411 7. 54 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 421 8. 55 Κώδικες και μυστικά του Simon Singh , εκδόσεις Τραυλός. Σελίδα 422-423 9. 100 Applet “continues fraction expression” από το center for technology and teacher education του university of Virginia 10. 101 Applet “continues fraction expression” από το center for technology and teacher education
  • 126.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 26 του university of Virginia 11. 118 Το τελευταίο θεώρημα του Fermat του Simon Singh, εκδόσεις Τραυλός . Σελίδα 211 12. 119 Η μουσική των πρώτων αριθμών του Marcus Du Saudoy, Εκδόσεις τραυλός . Σελίδα 50 13. 119 Η μουσική των πρώτων αριθμών του Marcus Du Saudoy, Εκδόσεις τραυλός . Σελίδα 227 Επίσης για τα σχήματα χρησιμοποιήθηκε το μαθηματικό λογισμικό Geogebra 3.2.40 Οι φωτογραφίες των Μαθηματικών στο τελευταίο μέρος του βιβλίου « Γεγονότα και Βιογραφίες» αναζητήθηκαν από διάφορες πηγές στο διαδίκτυο.
  • 127.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 27 Περιεχόμενα Εισαγωγή στη θεωρία των αριθμών Σελίδα : 5 Οι φυσικοί αριθμοί Σελίδα : 9 Η αριθμητική πρόοδος Σελίδα : 11 Η γεωμετρική πρόοδος Σελίδα : 15 Αναδρομικές ακολουθίες Σελίδα : 20 Γενικός τύπος ακολουθίας Σελίδα : 25 Η κλασική θεωρία των πρώτων αριθμών Σελίδα : 30 Ο τύπος του Euler Σελίδα : 35 Το θεώρημα των πρώτων αριθμών Σελίδα : 38 Ο αλγόριθμος της διαίρεσης και η modular αριθμητική Σελίδα : 44 Κρυπτογραφία και μαθηματικά Σελίδα : 49 Τι σύστημα R.S.A. Σελίδα : 56 Οι Διοφαντικές εξισώσεις Σελίδα : 60 Το τελευταίο θεώρημα του Fermat Σελίδα : 63 Η παραγοντοποίηση και η αλγεβρική θεωρία αριθμών Σελίδα : 68 Πυθαγόρειες τριάδες Σελίδα : 74 Η αναλυτική γεωμετρία Σελίδα : 78 Οι ελλειπτικές καμπύλες Σελίδα : 82
  • 128.
    Ι Σ ΤΟ ΡΙΕ Σ ΑΠ Ο Τ Η « Θεω ρ ί α τω ν α ρ ιθ μώ ν » Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 28 Οι άρρητοι αριθμοί Σελίδα : 87 Οι ακέραιοι και οι υπερβατικοί αριθμοί Σελίδα : 93 Η Διοφαντική προσέγγιση Σελίδα : 98 Γράφοντας τους πραγματικούς ως συνεχή κλάσματα Σελίδα : 103 Στο πέρασμα του χρόνου : γεγονότα και βιογραφίες Σελίδα : 109 Επίλογος Σελίδα : 122 Παραπομπές-Βιβλιογραφία Σελίδα : 125 Περιεχόμενα Σελίδα : 127