2018 year of mathematics

1. 2018 - Έτος Μαθηματικών
Γυμνάσιο Μαλεσίνας
Σχ. Έτος: 2017 - 2018
Υπεύθυνος Εκπαιδευτικός: Κοντελές Ηλίας, ΠΕ:03 - Μαθηματικός
1konteles

2. 2018 - Έτος Μαθηματικών
Με απόφαση του Υπουργού Παιδείας Έρευνας και Θρησκευμάτων
ανακηρύχτηκε το έτος 2018 ως:
«Έτος Μαθηματικών»
Στόχος της ανακήρυξης είναι αφενός να προβληθεί και να αναδειχθεί η
σημασία των Μαθηματικών και ο ρόλος τους στη δημιουργία και
την ανάπτυξη του ανθρώπινου πολιτισμού και αφετέρου να
ενισχυθεί το ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και τη διδασκαλία τους.
2konteles

3. Οι ρίζες των Μαθηματικών και η αφετηρία τους συνδέονται με τις ρίζες και την
έναρξη της δημιουργίας του ανθρώπινου πολιτισμού στην αρχαιότητα, καθώς
επίσης και ότι η θεμελίωση και ανάπτυξη των μαθηματικών έγινε κυρίως στην
Αρχαία Ελλάδα.
Προφανώς, εστιάζοντας στις αρχικές στιγμές των Μαθηματικών και ξεκινώντας από
την αρχαιότητα, δεν περιοριζόμαστε αποκλειστικά στην αρχαιότητα, αλλά δίνεται
η δυνατότητα να αναδείξουμε την οικουμενικότητα και τη διαχρονικότητά τους και
να προβάλουμε την εξέλιξη των μαθηματικών μέχρι τη σύγχρονη εποχή.
Η διαχρονικότητα των Μαθηματικών (1)
3konteles

4. Η διαχρονικότητα των Μαθηματικών (2)
Τα Μαθηματικά ως καθαρά θεωρητική επιστήμη δημιουργήθηκαν και αναπτύχθηκαν
στην αρχαία Ελλάδα. Οι αρχαίοι Έλληνες μαζί με τη θεωρία τους επινόησαν και
την ορολογία της επιστήμης, προσδιόρισαν τις βασικές έννοιες, άσκησαν τον
κριτικό λόγο, εισήγαγαν την αποδεικτική διαδικασία και οικοδόμησαν τον
παραγωγικό συλλογισμό.
Μαθηματικά, και μάλιστα αξιόλογα για την εποχή τους, είχαν και οι παλαιότεροι
πολιτισμοί. Τα Μαθηματικά που αναπτύχθηκαν στη Μεσοποταμία και την αρχαία
Αίγυπτο, μπορούμε να πούμε ότι ήταν υψηλού επιπέδου, παρόλο που δεν είχαν
ξεπεράσει το προεπιστημονικό στάδιο, καθώς ήταν προϊόντα της παρατήρησης και
της εμπειρίας. Ήταν ένα άθροισμα εμπειρικών συμπερασμάτων, στοιχειώδεις
κανόνες και τεχνικές, που έδιναν απαντήσεις στα προβλήματα τα οποία έθεταν οι
συγκεκριμένες καταστάσεις και ανάγκες.
4konteles

5. Η διαχρονικότητα των Μαθηματικών (3)
Για πρώτη φορά στην αρχαία Ελλάδα ο μελετητής δεν ενδιαφέρεται να λύσει
το συγκεκριμένο πρακτικό πρόβλημα, να υπολογίσει την έκταση του
χωραφιού του, ή να κατασκευάσει ογκώδη οικοδομήματα. Ενδιαφέρεται
να βρει το γενικό και αφηρημένο κανόνα που θα ισχύει για όλα τα
χωράφια και όλα τα οικοδομήματα.
Αρχίζει έτσι μια διαδικασία απόδειξης με συγκεκριμένους κανόνες και
συλλογισμούς και για πρώτη φορά τα Μαθηματικά συγκροτούνται σε
καθαρή επιστήμη.
Στα έργα των αρχαίων Ελλήνων θα βρούμε και όλες σχεδόν τις μεθόδους
απόδειξης που χρησιμοποιούνται σήμερα, όπως: τη μέθοδο της
συνεπαγωγής, τη συνθετική μέθοδο, την αναλυτική μέθοδο, τη μέθοδο
της εις άτοπον απαγωγής και τη μέθοδο της τέλειας επαγωγής.
5konteles

6. Η διαχρονικότητα των Μαθηματικών (4)
Τα σύγχρονα Μαθηματικά γεννήθηκαν μέσα στην ατμόσφαιρα του ιωνικού
ορθολογισμού, τα Μαθηματικά που δεν θέτανε μόνο το ερώτημα «πώς;» της
Ανατολής, αλλά και το σύγχρονο επιστημονικό ερώτημα «γιατί;».
Σύμφωνα με την παράδοση, πατέρας των ελληνικών Μαθηματικών είναι ο Θαλής ο
Μιλήσιος (θεωρείται ότι είχε επισκεφθεί τη Βαβυλώνα και την Αίγυπτο κατά το
πρώτο μισό του 6ου
π.Χ. αιώνα και έθεσε τα θεμέλια της σύγχρονης επιστήμης και
φιλοσοφίας).
Από τους πρώτους επιστήμονες που συνδέθηκαν με την Αλεξάνδρεια ήταν ο
Ευκλείδης που συγκαταλέγεται στους Μαθηματικούς με την μεγαλύτερη επίδραση
στη μαθηματική επιστήμη. Πιθανώς άκμασε κατά την εποχή του πρώτου
Πτολεμαίου (306 – 283 π.Χ.).
6konteles

7. Η διαχρονικότητα των Μαθηματικών (5)
Ο πιο μεγάλος Έλληνας Μαθηματικός της ελληνιστικής περιόδου – και όλης της
αρχαιότητας – ήταν ο Αρχιμήδης (287 – 212 π.Χ.).
……………………………………….
Τον 18ο
αιώνα, οι κυριότεροι εκφραστές της μαθηματικής επιστήμης επικεντρώθηκαν
στον απειροστικό λογισμό και στις εφαρμογές του στη μηχανική.
Οι Μαθηματικοί άρχισαν να αποχτούν ειδικότητες: Ο Λάιμπνιτς (Leibniz, 1646-1716)
ο Όυλερ (Euler, 1707-1983) και ο Ντ’ Άλαμπερ (D’ Alembert, 1717-1783)
λέγονταν «μαθηματικοί» ενώ ο Κωσύ (Cauchy) θεωρείται «αναλύστας» ο Καίλεϋ
(Cayley, 1821-1895) «αλγεβριστής» ο Στάινερ (Steiner, 1796-1863) «γεωμέτρης»
και ο Κάντορ (Cantor, 1845-1918) πρωτοπόρος στη θεωρία των σημειοσυνόλων.
7konteles

8. Η διαχρονικότητα των Μαθηματικών (6)
Τον 19ο
αιώνα η Γαλλική Επανάσταση και η ναπολεόντεια περίοδος εκθρέψανε
εξαιρετικά ευνοϊκές συνθήκες για την παραπέρα ανάπτυξη των Μαθηματικών.
Δεσπόζει η μεγαλειώδης μορφή του Γκάους (Gauss, 1777-1855) που συνέβαλε στη
Μαθηματική Ανάλυση, Στατιστική, Διαφορική Γεωμετρία, του Γκαλουά (Galois,
1811-1832) στον οποίο ανήκε η σύλληψη της θεωρίας ομάδων
Ο Ρήμαν (Riemann, 1826-1866), επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία
των σύγχρονων Μαθηματικών (Μαθηματική Ανάλυση, Τοπολογία, Θεωρία
Αριθμών, Διαφορική Γεωμετρία).
8konteles

9. Τα τρία περίφημα μαθηματικά προβλήματα της αρχαιότητας
Τα προβλήματα που άρχισαν να γίνονται αντικείμενο μελέτης ήταν τα ακόλουθα:
 Η τριχοτόμηση της γωνίας: δηλαδή το πρόβλημα του χωρισμού μιας δοσμένης
γωνίας σε τρία ίσα μέρη.
 Ο διπλασιασμός του κύβου: δηλαδή η εύρεση της πλευράς ενός κύβου με όγκο
διπλάσιο από τον όγκο ενός δοσμένου κύβου (το αποκαλούμενο Δήλιο
Πρόβλημα).
 Ο τετραγωνισμός του κύκλου: δηλαδή η εύρεση τετραγώνου, που το εμβαδό του
να είναι ίσο με το εμβαδό δοσμένου κύκλου.
Η σημασία αυτών των προβλημάτων έγκειται στο γεγονός ότι δεν υπάρχει γεωμετρική
λύση τους, που να πραγματώνεται με την κατασκευή πεπερασμένου αριθμού από
ευθείες γραμμές και κύκλους. Οι κατασκευές αυτές έπρεπε να γίνουν με τη χρήση
μονάχα του κανόνα και του διαβήτη.
9konteles

10. Ο διπλασιασμός του κύβου (Θρύλος 1)
Υπάρχει ένας θρύλος, που σύμφωνα με αυτόν ο βασιλιάς Μίνως είχε χτίσει έναν τάφο
σε σχήμα κύβου για τον γιό του Γλαύκο, όταν του είπανε ότι η κάθε διάσταση είχε
μήκος 100 ποδών μονάχα, θεώρησε πως ο τάφος ήταν πολύ μικρός. «Θα πρέπει να
γίνει διπλάσιος σε μέγεθος (σε όγκο)» είπε και έδωσε εντολή στους χτίστες να
εκτελέσουν γρήγορα τη διαταγή του διπλασιάζοντας όλες τις ακμές. Οι
μαθηματικοί κατάλαβαν το λάθος, γιατί έτσι ο νέος τάφος θα γινόταν οχταπλάσιος
από τον παλαιό, Άρχισαν να ερευνούν πως θα πετύχαιναν τον διπλασιασμό, οπότε
διαπίστωσαν ότι το πρόβλημα, που ζητούσαν να λύσουν, ήταν κάθε άλλο παρά
απλό.
10konteles

11. Ο διπλασιασμός του κύβου (Θρύλος 2)
Υπάρχει και άλλος θρύλος. Αυτός σχετίζει το πρόβλημα με τη νήο Δήλο. Από κει πήρε
και την ονομασία «Δήλιο Πρόβλημα». Ο Απόλλωνας έδωσε στους Δήλιους έναν
χρησμό, σύμφωνα με τον οποίο όφειλαν να διπλασιάσουν το μέγεθος του βωμού
του, που ήταν κυβικός, δίχως να του αλλάξουν το σχήμα του. Οι Δήλιοι αποτύχανε
στις προσπάθειές τους να πραγματοποιήσουν τον χρησμό και απευθύνθηκαν στον
Πλάτωνα, Αυτός τους είπε ότι ο Απόλλωνας τους έδωσε τον χρησμό όχι γιατί
ήθελε στα αλήθεια, έναν βωμό διπλάσιο σε μέγεθος, αλλά γιατί επιθυμούσε να
υπογραμμίσει, με την αν’αθεση αυτού του έργου, τη σπουδαιότητα των
μαθηματικών.
Αξίζει να σημειώσουμε πως το αντίστοιχο πρόβλημα του διπλασιασμού ενός
τετραγώνου δεν παρουσιάζει καμία δυσκολία.
11konteles

12. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (2)
Θεωρούμε ότι τα Στοιχεία, όπως παρουσιάζονται από τον Ευκλείδη, αποτελούν
πνευματική και πολιτιστική κληρονομιά όχι μόνο των Ελλήνων, αλλά ολόκληρου
του ευρωπαϊκού και του διεθνούς χώρου. Είναι επομένως υποχρέωση αλλά και
ανάγκη να την αναδείξουμε, να τη διαφυλάξουμε και να την αξιοποιήσουμε.
Το περιεχόμενο των Στοιχείων δεν είναι έργο μόνο του Ευκλείδη και ασφαλώς δεν
είναι έμπνευση κάποιας συγκεκριμένης χρονικής στιγμής. Στηρίζεται στο έργο
όλων των μαθηματικών και φιλοσόφων που προηγήθηκαν και είναι αποτέλεσμα
των μεγάλων προσπαθειών, των επινοήσεων και του έργου που παρήχθη για 300
συνεχή χρόνια – από το 600 μέχρι το 300 π.Χ. – από όλους τους κορυφαίους
φιλοσόφους της εποχής αυτής.
konteles 12

13. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (3)
Εκείνο που έκαμε ο Ευκλείδης ήταν και πρωτότυπο και πάρα πολύ σημαντικό.
Συγκέντρωσε τα έργα των μεγάλων μαθηματικών και φιλοσόφων που είχαν
προηγηθεί, ταξινόμησε την ύλη τους που αναφέρεται σε θέματα Γεωμετρίας και
θεωρίας αριθμών, την ανάλυσε, τη συμπλήρωσε, την ιεράρχησε και την ενέταξε
μέσα σ’ ένα νέο και καταπληκτικό μαθηματικό σύστημα που ο ίδιος δημιούργησε.
Καθόρησε τους ορισμούς, τα αιτήματα και τις κοινές έννοιες του νέου συστήματος και
καθιέρωσε μια διαδικασία απόδειξης με τη βοήθεια των ορισμών, των αιτημάτων,
των κοινών εννοιών και των προτάσεων που έχουν προηγουμένως αποδειχθεί.
Δημιούργησε έτσι, για πρώτη φορά στην ιστορία της ανθρωπότητας, ένα αξιωματικό
μαθηματικό σύστημα, το οποίο ισχύει μέχρι σήμερα με ελάχιστες μόνο
διαφοροποιήσεις.
konteles 13

14. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (4)
Τα Στοιχεία, που είναι το σημαντικότερο από τα Έργα του Ευκλείδη, έχουν γραφεί σε
13 βιβλία. Έργα με τίτλο «Στοιχεία» έχουν γραφε’ι και από αρκετούς
μαθηματικούς πριν από τον Ευκλείδη.
Στα 13 βιβλία των Στοιχείων περιέχονται 121 ορισμοί, 5 αιτήματα, 9 κοινές έννοιες
(αξιώματα) και 465 προτάσεις (θεωρήματα).
Οι ορισμοί, τα αιτήματα και οι κοινές έννοιες αποτελούν τη γλώσσα της θεωρίας και
είναι τα θεμέλια ολόκληρου του έργου.
Στις επόμενες διαφάνειες παρουσιάζονται τα 13 βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη.
Τα βιβλία: I – VI αναφέρονται στη Γεωμετρία του επιπέδου (Επιπεδομετρία).
Τα βιβλία: VII – X αναφέρονται στη Θεωρία αριθμών.
Τα βιβλία: XI – XIII αναφέρονται στη Γεωμετρία του χώρου (Στερεομετρία).
konteles 14

15. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (5)
Βιβλίο I
Το βιβλίο I περιέχει 23 ορισμούς, 5 αιτήματα, 9 κοινές έννοιες και 48 προτάσεις
(θεωρήματα). Αιτήματα και κοινές έννοιες υπάρχουν μόνο στο Πρώτο βιβλίο και
αποτελούν τις βάσεις της αξιωματικής θεμελίωσης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Οι προτάσεις 1 – 26 αποτελούν τη Γεωμετρία των σημείων, των γραμμών, των
γωνιών και των τριγώνων.
Οι προτάσεις 27 – 34 αποτελούν τη Γεωμετρία των παραλλήλων.
Οι προτάσεις 35 – 48 αναφέρονται στη θεωρία των εμβαδών.
Βιβλίο II
Το βιβλίο II περιέχει 2 ορισμούς και 14 προτάσεις. Είναι πολύ σημαντικό γιατί
εισάγει τη γεωμετρική άλγεβρα των Ελλήνων και ορίζει ένα νέο γεωμετρικό
σχήμα, το γνώμονα, που είχε μεγάλη εφαρμογή για τη λύση γεωμετρικών
προτάσεων στην αρχαιότητα.
konteles 15

16. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (6)
Βιβλίο III
Το βιβλίο III αναφέρεται στον κύκλο και στα στοιχεία του, στις σχέσεις ευθείας και
κύκλου και στις σχέσεις που μπορούν να έχουν οι κύκλοι μεταξύ τους.
Περιέχει 11 ορισμούς και 37 προτάσεις.
Βιβλίο IV
Το βιβλίο IV αποτελείται από 7 ορισμούς και 16 προτάσεις, οι οποίες
αναφέρονται στην εγγραφή και περιγραφή σε κύκλο ευθυγράμμων σχημάτων,
καθώς και στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων εγγεγραμμένων σε κύκλο με
πλευρές 3, 4, 5, 6 και 15 αντίστοιχα.
konteles 16

17. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (7)
Βιβλίο V
Το βιβλίο V είναι το σημαντικότερο και το περισσότερο χρησιμοποιημένο βιβλίο
από όλα τα βιβλία των Στοιχείων. Περιέχει 18 ορισμούς και 25 προτάσεις.
Η ομορφιά και η αξία του βιβλίου αυτού βρίσκεται στους ορισμούς. Ο ορισμός 3
του λόγου δυο μεγεθών είναι πολύ ευφυής και δείχνει πόση δυσκολία υπάρχει να
ορίσεις ένα λόγο, ενώ είναι εύκολο να τον κατανοήσεις.
Ο Barrow αναφερόμενος στο βιβλίο V των Στοιχείων λέει ότι δεν υπάρχει πιο ευφυής
ανακάλυψη.
Ο Cayley λέει ότι «πολύ δύσκολα θα βρεθεί κάτι στα Μαθηματικά πιο όμορφο από
αυτό το γοητευτικό 5ο
βιβλίο των Στοιχείων».
konteles 17

18. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (8)
Βιβλίο VI
Το βιβλίο VI είναι επίσης πολύ σημαντικό. Περιέχει 5 ορισμούς και 33 προτάσεις.
Βιβλίο VII
Το βιβλίο VII αρχίζει με 23 ορισμούς και συνεχίζει με 39 προτάσεις.
Βιβλίο VIII
Το βιβλίο VIII περιέχει 27 προτάσεις και αναφέρεται σε σειρές αριθμών, συνεχείς
αναλογίες και στη Γεωμετρία των αριθμών.
Βιβλίο IX
Το βιβλίο IX περιέχει 36 προτάσεις που αναφέρονται στις συνεχείς αναλογίες.
konteles 18

19. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (9)
Βιβλίο X
Το βιβλίο X είναι το εκτενέστερο βιβλίο των Στοιχείων και περιέχει 115 προτάσεις
που αναφέρονται στα ασύμμετρα μεγέθη.
Βιβλίο XI
Το βιβλίο XI περιέχει 28 ορισμούς και 39 προτάσεις.
Οι ορισμοί αναφέρονται στις γωνίες του χώρου, στην παραλληλία στο χώρο, καθώς
και στα βασικά στερεά σώματα, τα πολύεδρα, τον κύλινδρο, των κώνο και τη
σφαίρα.
Οι προτάσεις εξετάζουν τις σχέσεις ευθείας και επιπέδου, καθώς και τις σχέσεις
επιπέδων μεταξύ τους. Επίσης, τις ιδιότητες των στερεών γεωμετρικών σχημάτων.
konteles 19

20. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (10)
Βιβλίο XII
Το βιβλίο XII περιλαμβάνει 18 προτάσεις, οι οποίες αναφέρονται κυρίως στις
σχέσεις των στερεών γεωμετρικών σχημάτων.
Βιβλίο XIII
Το βιβλίο XIII περιέχει 18 προτάσεις. Στις πρώτες προτάσεις γίνεται εγγραφή σε
κύκλο των κανονικών πολυγώνων και στις υπόλοιπες γίνεται εγγραφή σε σφαίρα
κανονικών πολυέδρων.
konteles 20