GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο

MATH & ART IN ATHENS
1
Ο ά α ασίας
αθ ές : αθ ές :
α ο ά ος ιώ ος ο ά σ α ί α
αύ ο Χ ήσ ος σα ο ού ο α ία
ό ας Α έ ς Α ασ ασίο α ία
ίο Χ σά θ α ο ώ ο ασι ι ή
Οι ο ό ο ασί ς Π ή α βά α
αββί ς Α ι έας
ια ο ή ά α
ασ ο ιά ς ή ς
ίο ή ς
Χιώ ο α ώ
Α ο σ ί ς Α έ α ος
Πα α ί ς ού ιος
ί σας Α ο σ ί ος
Χ ισ οφο ί ς ά α ος
Α ο σ ί ς ι φό ος
Οι ο ό ο Πά ος

3
Π ί ς άσ ς Math & Αrt in Athens…
Ας φα ασ ού ία ο ά α αθ ώ αι αθ ώ α ισ έ ο αι ο σ ία ς ό ς
ο ς, α ά αι ή ια, σί ς , ία. α σ ιά ο οσο ή ο ς σ
ο έ ι ς ο ού, ο ί α α, ο σαϊ ού αι ια οσ ι ώ σ οι ί .
α α α ού ις α οσ ώσ ις σ ο ή ιο αι σ ο αό, α βι ό α αθύ αι
α σ έ ια ι ι ά . α α α ο ί ο αι ια ο ό ο ο ο οίο
α α ύσσο αι - σ ά ο αι α ό ο α ι έ αι ο α ι έ ο α α ιάφο α
ο ίβα, α σ ή α α, οι ιφά ι ς αι α σ ά.
Έ σι … ι ώ ας ι ασί ς θα φθάσο α :
• α α ω ί ο αθ α ι ά α ι ί α,
• ι ού ις ι ιό ές ο ς,
• α α ού ο ό ο ο ο οίο σ ο α θό ιάσ οι αθ α ι οί
ασ ο ήθ α α α ι ί α α ά,
• α α α ά ο α ά βοήθ ια ο α ά ο ο ισ ι ού,
• σ ά ο αι σ ο ό α σ ο ίσο α σ άσ α ά ο ς,
• α ο σιά ο α α ο έσ α ά ς έ ας ο ς σ ο ς σ αθ ές ο ς.
άσ ις ό ς α ές ο οα αφέ θ α οι αθ ές αθαί ο α ά αι
α α ύσσο ια σ ι ά ιο ή ο ί αι ήσι ς σ ο αθ ή – φοι ή ο ο
αιώ α.
ο project α ο ί ία ια ή ασ ό σ ς αθ ι ής οι ό ας σ ή
ο ισ ό ο α α ό ο ι ού. α ο σίασ α ο σ ά ί αι σ ία
α φό α ύ ο «google map», σ ο οία θα α ο σιά ο αι α ο σ ία αι α
α ι ο ή α α ς ό ς ας έ α ιαφο ι ό ό ο α α ι ύο ας α « έ α»
αθ α ι ά σ α ά.

5
Ας ι ήσο έ α α ά ι α …
ο οθ σία : φισιά, θέσ « οχο ό ος»
ια β ύσ ο σ έ αι ασ έ ,
ά σ σ σύ ο αι ά έ ο ο ς
θ ούς ό . Οι ό οι ο ασ ο ήθ α
α ί ς, ί αι ά οιοι α οί ο α
graffiti β βή σα σ έ ια αι ά α α. Α
α α ήσο ιο οσ ι ά, θα
ια ισ ώσο σ ο ά έ ος ς ία
α ο ο θία α ό σ ό ο ς α ο ι ίς
σ α ισ ούς. ο ά α ο
α α α βά αι ί αι έ α α ό α ιο
σ θισ έ α ο ίβα ο ά ο σ α
ισσό α ο ασι ά ια οσ ι ά
σ οι ία. Ποια α ύ οσο οιά ι σ ο
σ έ ιο α ό;
σ ο ία
ισ ό ασ σ Α ά ια , ό ο ια ί αι ο ά ος
α ούσιος αθ α ι ός Α ι ή ς .Χ- .Χ . ί αι
έ ας α ό ο ς ο φαίο ς ισ ή ο ς σ ασι ή α αιό α.
οσ άθ ιά ο α ύσ ι έ α α ό α ία ίφ α ά α
οβ ή α α ς α αιό ας, α ό ς ι ο ό σ ς ο οιασ ή ο
ίας, α α ά ία ί α ύ , σ ί α.
ί α ο Α χι ή ί αι σ ι ο ι ής α ύ ο οία έ ι ς
α α ισ ι ό ό ι α όσ ασ α ύ ύο ια ο ι ώ ι ί
α α έ ι σ αθ ή. Ο ο ά αι αι ί έ ι α.

6
α σ ία ς α ύ ς α ά ο αι α ό έ α σ ίο, ο
ι ί αι σ αθ ή α ύ α ά σ ια θ ία ο οία
ισ έφ αι σ αθ ή ια ή α ύ α.
Ο αθ α ι ός ύ ος, σ ο ι ές σ α έ ς, ο ί ι
α ύ α ή ί αι: p      ό ο α αι β ί αι
α α ι οί α ιθ οί. Α α ή σ ο α ισ έφ ι σ ί α,
ώ ο β αθο ί ι α όσ ασ α ύ ύο ια ο ι ώ
ι ί .
ο applet https://www.geogebra.org/m/jPnGppdJ
φό ος ο φα ί αι σ β ύσ ο ί α έ ι α ασ ασθ ί βάσ ία σ ί α,
ο οία αφού ισ αφ ί α ά ο
, σ α ί ι ο ά α ο ια οσ ι ού
σ οι ίο . σ έ ια, α αφέ ο ο ά α α ή ιά αι α ισ ά, θα έ ο
ο α ο έ σ α ς φό ο ο ού. ι ή ο ά α α ασ ά αι
ισ οφή α ά ο
αι αφο ά ίας α ι ής α ασ ής ο οία α ο σιά ι
α α ό φ σ ία, φό ος ί αι ία ασι ή ί σ ύ ο 1-2.
ο poster
ωφό ος
φό ο ο ο ά ο ία σ ή
α άσ ασ σ ώ
α θ ώ ο ς αι ώα, ο
σι ο οιήθ ια αθα ά
ια οσ ι ούς σ ο ούς σ α
ασι ά ό ια ς α αιό ας.
άθ έ οιο σ έ ιο
α α α βά αι α ά ό ο
α ο ι ό α ά ή ος ιας
σ ούς αι ά ι ς ά ι
ί ας. Οι ια οσ ι ές α ές
ί ς φα ί ο αι αι σ
α αία ι ή α ι ο ι ή
αι ι ή οι ο αφί ς αι
α ία ιάφο α σ έ ια ό ς
αιά ο ς, ύ α α, α θέ ια
. . .

7
ο project GGG 2017
ί ασ ία ο ά α αθ ώ αι αθ ώ α ό α αι ή ια ού α, έ α ι ι ι ό
σ ο ίο σ Αθή α, ο ιο ά ι φέ ος α ό ια ι ο ίας ο .
Ο σ ό ος ο ι ή α ος ο θα σας α ο σιάσο ί αι ο ής.
α ί ο ς αθ ές ας ισ φθή α ο σ ία ς ό ς ας.
ι έ α :
• ο ο σ ίο α ι ώ ό ο ασ ο θή α έ α ο Escher ,
• ο Α χαιο ο ι ό ο σ ίο Αθ ώ ό ο ασ ο θή α φό ο ς,
• ο ο σ ίο σ α ι ής έχ ς ια α ασ ο θού ο ι ά
ισ α ι ή έ .
ι ώσα οσο ή ας σ θέ α α, ο ώ α ιά α ο σιά ο
ι ό ή α β ι ό ιαφέ ο .
ι ή σ ο project σ έ ο αθ ές αι αθή ι ς α ό ιαφο ι ές ά ις, ι έ α
α ασ ο θού έ α ο ο α α ισ ι ό ώ ισ ά ο ς ί αι σ ία.
Έ σι σ α ίσ α έσσ ις ο ά ς αθ ώ ο ασ ο ήθ α :
• σ ί ς ώ ς – ωφό ο ς
• α οσ ώσ ις α ο ι ά ο ύ ω α
• ις χ ι ές α όσ ωσ ς έσα α ό ο έ ο ο Escher
• α ω ι ά σ ά .
θο ο ο ία ο α ο ο θού ί αι :
ι έ ο έ α έ ο έ ς, α α α ύ ο « α ί αι ο ύβι» α έ α
αθ α ι ά αι ά οσ αθού α ο α α α ά ο βοήθ ια ο GeoGebra.
ο σ α ι ό ο σ ι έ ο ο ισ ι ό ί αι ό ι ο ά α ο θα ο ισθ ί ς βάσ
ο έ ο έ ς, έ ι α α ασ ασ ί α α α ύ ο ας ις α ά ς ι ές ή
α β ι ές – α α ι ές θό ο ς ο θα σι ο οι θού .
ο σύ ο ο έ α ο σιά αι σ έ α GeoGebra Book ο ί ο Math Art in
Athens ο θα ο α α ήσ σ ι ύθ σ :
https://www.geogebra.org/book/title/id/NvUk8RTC

8
Πα ο σίασ έ ω – φα ο ώ …
Α. Ο ά α ωφό ω – ά ’ ασίο
ο ω ά ω σ α ί α, σα ο ού ο α ία, Α ασ ασίο α ία, α ο ώ ο
ασι ι ή, Π ή α βά α, αββί ς Αχι έας.
Ό ς θα φα ί αι α ό ις φα ο ές, ώ οσέ ισ ο έ ο έ ς ί αι
σ ο ό α α α α ύ ο αθα ά ι ή ο ή ο . ά α ασ ή ς
ο ά ας σ α ί, ό ό σ ί αι ά σ α ο ή ο
GeoGebra ια α α α α ή ο .
ια ι ασία α ή α α οήσα έ οι ς ό ς σ οφή, αφο ά, α ο ισ ό,
ο οιοθ σία α ά αι α ο ο θία, α ά ο αι ίσ σ θ ίας ή ύ ο .
1 φα ο ή
σ ιά ο οσο ή ας σ ο αι ό ς ι ύ βιας ύθο ο. 777 ο β ίσ αι
σ ο Α αιο ο ι ό ο σ ίο Αθ ώ . ο ο ίβο ίσσ αι α σ ή ι ή
σ έ ια.
ια α β ού ο ά α ο ια οσ ι ού σ οι ίο , σι ο οιού α ι ά
α ία ο ο ισ ι ού. ά ιο ού φα ο ή ο α α ύσσ ι ο ο ίβο ς
φό ο α ά αι ς α όσ σ ήσ α ο ο θιώ .

9
2 φα ο ή
α ό ασ ά σ ο α φο έα ο ω άφο ο ι ύ ο . Π ό ι αι ια ο ιο
σ α ι ό α ίο ς ι ής ο ής αι έ α α ό α ιο φ ισ έ α έ α ς α αίας
ι ής έ ς. έθ ο σ ις α αιο ο ι ές α ασ αφές σ ο ί ο ο
α ι ού. ο α ίο ί αι ο ο ή ο ια οσ έ ο α ά ς α ά ς
ο ι ό ι ς φό ο ς ι ού ια όσ ο αιά ο ς αι ό βο ς.
Α α ύ α ο ς ύο αιά ο ς ο φα ί ο αι σ ο αι ό ο α φο έα ς φό ο
ύ ο - . Α ι ά ο ς σ ιάσα σ α ισ έ ο α ί αι ά, α ιο οιώ ας ις
α ό ς ο ο ισ ι ού, ιο ήσα φα ο ή.
3 φα ο ή
ο ύο ά σ ο σ θαίο α ό ο Ασ ι ίο ς ι αύ ο . Ή α ώ ος ια
ίασ α θ ώ α ό ιάφο ς ασθέ ι ς. έ ασή ο ή α ο ύ ά αι ιέθ
ώ ς, ασ ή ιο, σ ά ιο αι ο ίφ ο ια α ο σ ι ή ο έα ο.
ο ύ ο ώ ο ή αι ο αός ο Ασ ιού, ι ού θ ού. Πίσ α ιβώς
α ό ο αό β ίσ αι ό ος, ο άβα ο, ο οί ος ι έ αι αοί αφι έ οι σ
Ά αι ο Α ό α.
ο σ θαίο α α ύσσ αι έ ας σύ θ ος αία ος σ ο ο οίο α άσσο αι ά α
αι α οί σ α οί.

10
4 φα ο ή
Ασ ο θή α έ α ο ύ σ θισ έ ο ια οσ ι ό σ οι ίο ο ά ι σ ήθος
φό . Π ό ι αι ια ία ού α ιώ σ οι ιώ , ιά σα σ α ο οία ά ο
ύ οι. ι ή α ασ ή αι ύ σ ο ια ύσ α ος αφο άς α ο σιά ο
ι ιαί ς σ ο ί ς. ι ή θέ α α α ο σιάσο ι ία ο σ ίο ,
α ι ίσα σ ο ί ς αι σ ιο ία α ά α ο ο θιώ σ αθα ά
ο α α ι ό ί ο ο ώ ο GeoGebra.
. Ο ά α α οσ ώσ ω – ά ’ ίο
ί σας Α ο σ ί ος, ισ οφο ί ς ά α ος, Α ο σ ί ς ι φό ος
Παί ο ας αφο ή α ό ύο ασι ές ι ές ασ ήσ ις α ό ύ ς ’ ίο
α ο ι ύο :
1ο
όβ α : οια α ο ι ά ο ύ α ο ού α σι ο οιήσο ια α όσ σ
2ο
όβ α : οιοι ί αι οι α οί σ ασ οί α ο ι ώ ο ώ ο ο ού α
σι ο οι θού ια ά ο ι έ ο .
α α α α ή ό α ώ ι ώσ βοήθ ια ο ο GeoGebra βο θά
σ α α ό σ οιώ : αφο ά α ά ιά σ α – α ο ο θία – α ά ος.
Έ α ά ο σ ίο σ ο ο οίο ο ό α α βοήθ σ , ί αι α ό ι ι ώσ
ά ς ι έ ο ια ις ι ώσ ις , , , , , , , , , , , , , , , αι
, , σ ασ ώ α ο ι ώ ο ώ έσα α ό ία ια ι ασία ο
ι ά βα α σ ά ια ς ια ύ σ ς ς ι ασίας, ς α ασ ής ς α ά ς
φα ο ής αι έ ος ς α ο ο ής ή α ό ι ς ς ι ασίας.
ιο ήσα ο ές φα ο ές. ώ θα α ο σιάσο ις ιο α α ισ ι ές :

11
1 φα ο ή
ια α α οσ ώσο ο ί ο σι ο οιώ ας ο ί ιο α ο ι ό ο ύ ο, έ ι
α σι ο οιήσο ά α , ή ά α, ή ί α.
ο ια ί σ βαί ι α ό, ί αι α ό έ α σ ασ ό ίας αι σ οι ιώ ο ς
θ ίας α ιθ ώ .
Π ς α ο σιά αι ία έ οια ά ;
2 φα ο ή
ι ά ά ο α ού ύ ας α οσ ώσ ις α ο ι ά ο ύ α, α ό α αι ί
ο α ίς ο ι έ ι …

12
3 φα ο ή
ασι ή α όσ σ ύ ο -4-3-4)
4 – 5 φα ο ή
Π α όσ σ ύ ο , , , , ύο ι ώσ ις

13
6 – 7 φα ο ή
Οι ι ώσ ις -4-3-3 ….
… αι -4-4- ις ι ού !
8 φα ο ή
ύσ , , ο ό α
σι ο οι θ ί ς ο ά α
ια α όσ σ , α αι ί α
α βά ο αι έ α
α ό α α ί ιο σ ή α ος
ά ο , ό ι ό ς α ο ι ό,
ια ή ά ο
ι έ ο .

14
. Ο ά α Escher – ά Α’ ίο
ια ο ή ά α, ασ ο ιά ς ή ς, ω ίο ή ς, ιώ ο α ώ
Α ο σ ί ς Α έ α ος, Πα α ί ς ού ιος
Ασ ο θή α ο ιο αισθ ι ά α αι ι ό ο ά ι ο project
ο ό ς έ ι βαθύ α ς αθ α ι ές ο άσ ις. Α αι ί έ α
σ βιβ ιο αφία α ά αι α ά φα ο ώ βο θά σ
α α ό σ ι ώ οιώ ό ς ί σ ιώ , α ο ο θία.
Ο Escher ί αι έ ας αθ α ι ός α ι έ ς ια ί σ α έ α ο
σ ώς « αί ι» α οσ ώσ ις – σ ί ς α ο σιά ο ας ο
α ίθα ο, α ύ α ο ς φ σιο ο ι ό αι α α ο οιήσι ο.
1 φα ο ή
α ό α ο α έ ι ο GeoGebra α ι ο ήσ ι ά οιος ία φ ο αφία σ ο
φύ ο ασίας, βο θά σ σ ίασ ο α ι ι έ ο . ά ι έ ο αι οι α ά ς
α ο ο θί ς ια ά ο ι έ ο ύο ιαφο ι ού ώ α ος έ ο α .

15
2 φα ο ή
ο έ ο α ό ο α ι έ ς α ο α ύ ι ο ό ο α ασ ής
ο . ο ά ιά έ ος ά ι ο ά α – ά ι ο
α ο ί βάσ ο έ ο . Ας ο α α ήσο …
ά ο έσσ α σ ία α ο οία ί αι ο φές α ώ ο .
Ο Escher ώ ι ό ι ία ή ς α όσ σ ο ί α ί ι
ήσ α ο ι ώ ι ώ – α ώ αι ά .
Έ σι αφ ία έ α ά ω ο σχ ιά ι έ α σχή α ο
ά ς φο ές ί αι σω ι ό ο α ώ ο αι ά ς
ω ι ό. ο σ α ι ό ό ως ί αι ό ι ο βα ό ο
σχή α ος ο ο ύ ι, ί αι ί ιο α ό ο
α ώ ο !
Α ού ιο οσ ι ά ο έ ο …
α ο έσο α α α ήσο ό ι βασι ή ο ά α –
ά ι ο ί α σ α ισ ί α ό ις α ές, οι ο οί ς, α
ισ αφού α ά ο
– 180ο
– 90ο
ύ α ό ις ις
ο φές ο α ώ ο , ιο ού ο ί α α ο α ιού.
Α θέ ο α σ ιάσο βοήθ ια ο GeoGebra ο
έ ο, σ α ί ο έ α ο ύ ο ο ο σιασ ι ά α ι ο ί ι
ο σ α ι ό ο ά ι. Α ό θα ί αι αι ο ά α
βοήθ ια ς ο οίας θα σ ιάσο ο έ ο.

16
ο σ ή α α ό ο ισ έφο α ά ο
– 180ο
– 270ο
ύ α ό
ο φή ο α ώ ο ώσ α σ α ισ ού έσσ α
α ο οιό α ά ια . ι έ ο ώ α α α ίσ οι α α ά ο
ά ο σ ο έ ο. ο σ α ι ό ί αι α α ι φθού ο φή
ύ α ό ο οία οι ις ο ές α ιώ ισ έφο αι.
ο φή α ή ί αι ο έ ο σ οφώ ο ι ά
ιο ού ο σύ ο ο ς ι ό ας ο β έ ο ί α.
ο αθο ισ ι ό βή α ί αι α α α άβο α ια ύσ α α ς ος
α ο οία αφο ά σσά α ιώ ο ού α
« ίσο » ο α βά ας.
3 φα ο ή
ο έ ο α ό ο Escher α ασ ά ι ύο
ο ι ές α ές σ ύο ι ο ι ές ές
ός α ώ ο αι ις αφέ ι α ά α
ια ύσ α α- ές ο α ώ ο . ό
σύ θ σ σ α ί ι έ α Πή ασο. ά ο
ι έ ο ί αι ύο ύ ο ς α ό ,
α ισ έ ο ς ιαφο ι ό ώ α.
ις α ά ς ο ές – α ο ο θί ς α ό
ίσ ς α ο θώ ο α α οσ ώσο
ή ς ο φύ ο ασίας ας.
4 φα ο ή
Π ό ι αι ά ι ια
α όσ σ βασι ό
σ ή α ά ο αι
αφο ά . ο θ α α ι ό
σ φα ο ή ί αι
ί σ ο ί ι
ύ σ ο α ώ
α α ό έ .

17
5 φα ο ή
Π ό ι αι ια α ι ι ή σ ία ο φή ιο ο ιφά ας! Α ιο οιώ ας ις
α ό ς ο ο ισ ι ού, αφ ι ά « ιο ί ι» … Α α έ βο ο « ο ί ι» σ ο
βασι ό αύ ο ώ α, α ι ό σ ή α, ό ό α ασ ή ι ο ί ς
α ι οσ ό ιο. Οι ό οι ς α α ές σ ο βασι ό σ ή α φα ί ο αι αι σ ο ς ώ ο ς …
6 φα ο ή
άφο σ ύ ο έ α ισό ο ί ο. α ασ ά ο ία ο ι ή α ή
α ό ο φή Α ο ι ώ ο ς ο έ ο βά ο ς ο . α ά ς σ οφές αι
σ ί ς σ α ί ο έ α βασι ό σ ή α . ο σ ή α α ό ο α α α ά ο σ ο ό
ή ά ο ι έ ο .
ο ό α α ας ί ι ία α ό α ο ο Escher ί , ί σ !
ι έ ο ας α ι ί αι ία ο φή ο α ι ού ισό ο ι ώ ο σ ο
ι α έ ο ύ ο ο ό α ο σιά αι ία σ ι ά α ίθα σ ασ ώ
α οσ ώσ . Έ οι, ι ά ο ό ι α ή α ασ ή ο ί α σι ο οι θ ί ια
α ασ ή α οσ ώσ ο οσο οιά ο α ά α αβο ά .

18
7 φα ο ή
φα ο ή ιο ι ά ας α ο α ύ ι α ό α ο ι ό α αι α ο σιά ι ς έ α
ο οιο ή ο ά ο ό ή ό, α ο ι ό ή α α ό ισ ο – α ιαφο ού –
ο ί α σι ο οι θ ί ια ή ι ά ο ι έ ο .
. Ο ά α α ω ι ώ σ ώ - ά
ασία ο αθ ή Πά ο Οι ο ό ο
ο ο αιώ α .Χ. ο φι όσοφος Π ά ό ι ία αι ο ό ο
ια ο ή ο θ ία ια ο σία ο ύ α ος.
Χ σι ο οί σ ία αθ α ι ή ιο ία, ο οία σή α
φέ ι ο ό ο ά ο . α Π α ι ά ά.
ι ί αι ό ς α α ι ά σ ά αι ια ί ασ ο θή α α ά σ
σ ι έ ασία;
α α ι ά σ ά ί αι α ό α α ο ι ά, ά ο ύ α ο
α ασ ά ο αι αι ί αι α ής :
1. ά ο
2. ύβος
3. Ο ά ο
4. ά ο
5. ι οσά ο
α α ι ά σ ά ί αι σ ο ώ ο ό ι α α ο ι ά ο ύ α σ ο
ί ο. ί αι σ ία σ ις ις ιασ άσ ις!

19
ο ιαφέ ο ό ς β ίσ αι σ α ασ ή ο ς.
Α ό ο ς ο ούς ό ο ς α ασ ής ίς σι ο οιήσα ια σ α ι ή έθο ο.
α ή ο οια ή ο ο φή, ο α ι ού σ ού, ο ί α ο ισ ί βοήθ ια
ια ύσ α ος θέσ ς ο ο οίο ο ί αι ς α ι ός σ ασ ός ιώ ο α ιαί
άθ ια σ ά ο ισ ιάσ α ο ώ ο .
α ό οι ις α ό ς ο GeoGebra, σ ιάσα άθ α ι ό σ ό
σι ο οιώ ας ό ο ία ια ύσ α α θέσ ς.
φα ο ή α ασ άσα α έ Π α ι ά σ ά ο έ α α ά α α ό ο
ά ο, α ά αι α ό α αφής ο ός έσα σ ο ά ο.

20
Π οο ι ή ο ό ο χ ι ή α ος
ιάσα ία φα ο ή
ύ ο google map σ
ο οία α ο σιά ο ις
ο οθ σί ς θ ά
ο ασ ή α .
Έ σι θα φα ί αι ο έ ο,
ο αθ α ι ό όβαθ ο
ς α ά σής ας,
α α α α ή– φα ο ή,
α ό οια έ α – θέ α α
α ά αι ισ ο ι ά σ οι ία ια ο έ ο αι ο α ι έ . Ο σ ό ος ί αι φα ο ή α
ί αι α οι ή σ ο οι ό ώσ α ο ισ ί έ α αθ ώ α ά αι αθ ώ ο
θέ ο ο ό ο α ό α σ έσο α αθ α ι ά έ . φα ο ή θα
β ί σ ι ύθ σ :
http://economu.wixsite.com/maths/geogebra-microworlds
σ έχ ια …
σ έ ια ο project α α ίθ αι σ ο ς αθ ές ς ’ ασίο αι ς Α΄ ίο .
α ι ο ήσο ς ο α ασιασ ές ο ι ή α ος, α ά σα σ ο ς σ αθ ές
ο ς α ά αι σ αθ ές ά σ ο ί .
α ο α ώσο ί α ο θα ι α βά ι work shops ώσ ι έα ο Math Art in
Athens α α θ ί ς project σ ο ό α α αί σ ς αθ α ι ώ σ α σ ο ία.
ό ο ιά θα ο έ ο θέ α α ό ς σ ί ς – ο έ ς – α αβο ή α α
– ιφά ι ς – α ύ ς.
Πισ ύο ό ι θα ασ ο θού ο ά αι ιαφέ ο α α ι ί α αθ α ι ώ
αι ο ά έ α α οσ ό α έο ό ο.
αθαί ο α αθ α ι ά ς έχ ς έσα α ό ο α ι ό
όσ ο ς έχ ς ω αθ α ι ώ !

21
Έ α α ά ι α …
φι ω ό α ό οι ία σ έα (Π ι αιά)
ία ίσ σ ο θ ι ό Α αιο ο ι ό
ο σ ίο, ά α ό ο θα ασ ό
θ ά , σ ήθ ς ο ί σ ο αφέ ….
Α ά α ό α αι ί ά ι ά ι ο ύ
ιαφέ ο …
Α ι ά φαί αι σα έ α α ό φι ό α ά
ία ιο οσ ι ή α α ή σ ας ά ι α
α α ού ό ι ύβο αι αθ α ι ά σ
σ ίασ ο .
Α ο α ύ αι έ α ο α ι ό ο ίβο ο ο οίο
ά οιοι οθέ ο ς α ασ ά αι α ό
ύ ο ς αι ά οιοι ά οι α ό ί ις.
Α ά ς ο ού α ο α α α α ά ο -
α ασ άσο ;
ί ο α ά ο ο ές α ασ ές, α ά α ή ο ι ώ αι α α ά ί αι
ι ή ας…
Πα α ώ ας ο φι ό, β έ ο ς
ο ιαφέ ο α ό ο ίβο, α ο ί αι α ό
ί α α ο οία ί αι ο οθ έ α σ
ιφέ ια ο ι ού ύ ο , ώ ό α
α ό οι α ί α ια άσσο αι σ έ α
ο οιόθ ο ς ο ό ο ς ύ ο ς ς ος
ο α ι ό.
ο ού α ό α α α α ήσο ς ο
άθ ώ α σ α ί ι έ α ι ύ ιο, αι
ί ο ο ή θα β ού ς α ό ο
ι ύ ιο έ ι ς έ ο, σ ίο ός α ό
ο ς ο οιόθ ο ς ύ ο ς.
Χ ί ο α ό ο ύ ο σ ία σ
ίσα έ αι άφο ύ ο ς έ ο
αθέ α α ό α ά α σ ία, αι α ί α:
2𝛼×sin⁡
8𝜋
38
, ό ο α = α ί α ο α ι ού
ύ ο .
ό ….. θα ού ο ο ίβο α σ α ί αι οσ ά σ α ά ια ας …

23
χα ισ ού …
α ο σ ία :
Α χαιο ο ι ό ο σ ίο Αθ ώ
ο ο σ ίο α ι ώ αι ι ιαί α ο
αθ α ι ό Α όσ ο ο Πα α ι ο άο .
ο ο σ ίο σ α ι ής έχ ς σ ο
ο σ ίο ά .
ο χο ίο ας ο ας έ σ
α ό α α « έ ο » έ α έ οιο
ό α α αι α ο ά ο …
ο ς σ α έ φο ς αι σ ά ς, Α ώ ω ιά ια φι ο ο ι ή ι έ ια,
α ί α Πα α ο ού ο ια ο video ο ά ι σ ο GeoGebra book ς άσ ς ας,
Έ α αύ ο ια ις έ ο ς αφίσ ς, ω σ α ί α α ο ά ο ια ι έ ια
ο α ίο ο α ά , ο ο ω ή ωσ φί ια βοήθ ια ο σ άφ ασ
ι έ ς άσ ς σ α Α ι ά.
ο ι θ ές σ ι ού ο GEOGEBRA ια
φι ο ία ο σ ο GeoGebra Global
Gathering ο έ ι σ ο Linz ς
Α σ ίας - ο ίο

24
Οι αφίσ ς ας …

GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο

Similar to GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο (20)

More from Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)

More from Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos) (10)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο