Trong luận văn này tôi đã nghiên cứu về năng lượng Casimir trong trường vô hướng phức với điều kiện biên tuần hoàn khi một chiều không gian được rút gọn, tính được thế hiệu dụng Ω trong gần đúng trường trung bình, khảo sát được sự phụ thuộc của năng lượng Casimir và lực Casimir vào chiều dài rút gọn L và nhiệt độ T

1. -3-
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến GS.TSKH Trần Hữu
Phát, thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn
đồng thời giúp tôi tiếp cận với hướng nghiên cứu thời sự của vật lý hiện đại.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý
trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Khoa Vật Lý trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
2 đã đóng góp ý kiến, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn này.
Do thời gian có hạn cũng như sự hạn chế về kinh nghiệm trong bước đầu
nghiên cứu, chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong
nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo, các bạn bè quan tâm để luận văn được
hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2012
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Thắm

2. -4-
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bắt đầu từ Kaluza và Klein [1], người cố gắng thống nhất tương tác hấp
dẫn với các tương tác khác trong tự nhiên khi nghiên cứu các hiện tượng vật lý
phát sinh trong không - thời gian với cấu trúc không tầm thường đã thu hút được
sự quan tâm nhiều nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Ở đó, có thêm một
chiều không gian phụ trội đã được đưa vào và được rút gọn trong kích thước
nhỏ. Các lý thuyết vật lý với chiều không gian đã rút gọn được phát triển rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý hiện đại, cụ thể:
Ý tưởng này được phát triển rộng trong các lĩnh vực như siêu hấp dẫn,
siêu dây và lý thuyết brane [2]. Đặc biệt, chiều không gian phụ trội đã được mở
rộng với thang năng lượng thấp hơn cho việc tìm hiểu thế hệ giữa các mức khối
lượng tồn tại trong vật lý năng lượng cao [3].
QCD toàn đồ (holographic QCD), lý thuyết hạt nhân toàn đồ và lý thuyết
siêu dẫn ở nhiệt độ cao cũng chú ý rất lớn đến vấn đề này. Ở đây, dựa trên tính
đối ngẫu của gauge/gravity lý thuyết gauge đã chuyển sang lý thuyết hấp dẫn
trong không thời gian có số chiều phụ trội được rút gọn. Nhờ đó ta có hi vọng
giải quyết các bài toán không nhiễu loạn bằng phương thức của lý thuyết hấp
dẫn.
Mặt khác, ta biết không thời gian với cấu trúc không tầm thường có thể
phát sinh hiệu ứng vật lý mới, chẳng hạn hiệu ứng Casimir [4, 5] do cấu trúc
chân không của các trường lượng tử trong miền đã được rút gọn. Năng lượng
Casimir và vai trò của nó trong vũ trụ học đã được khai thác trong Refs [6 - 12],
đặc biệt, nó được sử dụng trong mẫu của năng lượng tối để giải thích cho sự giãn

3. -5-
nở có gia tốc của vũ trụ. Trong vật lý các môi trường đậm đặc, hiệu ứng Casimir
áp dụng không chỉ để chế tạo và hoạt động của các hệ ở kích thước nano, mà còn
cả vật lý nano, vì ống nano các bon có thành đơn được mở rộng bởi lá grapheme
và nền tảng không - thời gian cho lý thuyết loại Dirac về trạng thái điện tử trong
grapheme có cấu trúc S1
×R2
.
Vì những lý do đó, tôi chọn đề tài “Năng lượng Casimir trong trường vô
hướng phức” nhằm nghiên cứu hiệu ứng Casimir trong không - thời gian với
một chiều được rút gọn theo trục oz có chiều dài L.
2. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu hiệu ứng Casimir trong trường vô hướng phức ở nhiệt độ hữu
hạn với Lagrangian:
 
2* 2 * *
2
L m


         
Trong đó: φ là trường vô hướng, m là khối lượng của hạt và λ là hằng số tương
tác.
3. Phương pháp nghiên cứu
Xét Lagrangian đã chọn ở trên, lập hàm tương quan:
* ES
Z D D e  
 
Trong đó tác dụng SE được cho bởi:
1/
3
0 0
L
E ES i d d x dx L

   
ở đây
1
T
  , T là nhiệt độ.
Từ đó ta tính thế hiệu dụng Ω theo công thức:

4. -6-
ln
.
Z
Vol L
  
Thế hiệu dụng Ω được xác định ở trên đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu
của chúng tôi.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai phần
chính:
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG CASIMIR
CHƯƠNG II: NĂNG LƯỢNG CASIMIR TRONG TRƯỜNG VÔ HƯỚNG PHỨC
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG CASIMIR

5. -7-
Bắt đầu từ năm 1948 khi Hendrik Brugt Gerhard Casimir (H.B.G Casimir)
xuất bản bài báo nổi tiếng của mình [13], nơi ông tìm thấy lời giải thích đơn giản
nhưng sâu sắc cho sự tương tác chậm Van der Waals như một biểu hiện của
điểm không năng lượng (Zero - point energy) của trường lượng tử. Trong một
thời gian dài, hiệu ứng này ít được biết đến. Tuy nhiên, từ giữa những năm 70
của thế kỉ trước, hiệu ứng Casimir nhanh chóng cuốn hút sự chú ý của thế giới
vật lý và trong vài năm trở lại đây nó trở nên khá phổ biến. Nhờ những kĩ thuật
mới, các thí nghiệm mới với độ chính xác cao sự kiểm chứng tính đúng đắn của
hiệu ứng Casimir đã được thực hiện thành công.
Trong phần dưới đây tôi thảo luận các vấn đề cơ bản về hiệu ứng Casimir
và vai trò của nó trong những lĩnh vực khác nhau của vật lý.
1.1. Hiệu ứng Casimir.
Do tác động của chân không điện từ trường, hai tấm phẳng mỏng dẫn điện
đặt cách nhau một khoảng L sẽ hút nhau bằng một lực có cường độ
2
4
240
cS
F
L

  (1.1)
Ở đây là hằng số Plank, c là vận tốc ánh sáng trong chân không, S là diện tích
tấm phẳng, thỏa mãn điều kiện: 2
L S . Hiệu ứng trên gọi là hiệu ứng Casimir,
hiệu ứng này mang bản chất hoàn toàn lượng tử, nó không tồn tại trong điện
động lực cổ điển.
Bây giờ, ta tìm hiểu chi tiết hơn bản chất lượng tử của hiệu ứng này.
Trong cơ học lượng tử, dao động tử điều hòa có các mức năng lượng

6. -8-
1
( )
2
nE n  (1.2)
ở đây n = 0,1,…và là hằng số Plank.
Năng lượng ở trạng thái cơ bản ứng với n = 0
0
2
E

 (1.3)
nhưng ta không để đo được năng lượng của chân không.
Trong lý thuyết trường lượng tử, năng lượng chân không của trường điện
từ được đo bằng tổng vô hạn các dao động tử điều hòa
0
2
J
J
E   (1.4)
trong đó J đặc trưng các số lượng tử của modes dao động. Ta nhận thấy rằng
tổng E0 ở (1.4) là vô hạn.
Để khử các vô cực sinh ra từ năng lượng chân không, người ta đã đưa vào
khái niệm tích chính tắc của các toán tử (hay N - tích) sao cho trung bình chân
không triệt tiêu:
0 ( ...) 0 0N ABC  (1.5)
ở đây 0 là trạng thái chân không và A,B,C…là các toán tử trường.
Về mặt lịch sử, sự ra đời của hiệu ứng Casimir liên quan đến việc giải
thích lực tương tác giữa hai phân tử trung hòa do Van Der Waals đề xuất vào
năm 1873. Nhưng mãi đến năm 1932 người ta mới bắt đầu hiểu được nguồn gốc

7. -9-
của lực này khi Fritz London chỉ ra bản chất lượng tử của nó. Thế năng tương tác
giữa hai lưỡng cực là:
6
1
V
R
(1.6)
Mãi đến năm 1948, khảo sát của Casimir và Dirk Polder [14] cho thấy ở khoảng
cách lớn thế tương tác giảm nhanh hơn
7
1
V
R
(1.7)
Từ đó ra có quan niệm về sự tương tác trên khoảng cách. Với quan điểm này,
hiệu ứng Casimir đơn giản là sự thể hiện vĩ mô một tổng vô số các tương tác Van
Der Waals.
Tuy nhiên, sau công trình của Casimir được công bố, Borh đã gợi ý năng
lượng chân không chính là nguồn gốc lực tương tác giữa các phân tử. Theo
hướng đó người ta khảo sát mô hình đơn giản: trong trường chân không điện từ
ta đặt vuông góc với trục oz hai tấm kim loại dẫn điện lý tưởng với diện tích S và
cách nhau một khoảng L.

8. -10-
Lực tác dụng f lên mỗi tấm là:
0 0zz
S
f dxdy T  (1.8)
Trong đó
2 2 2 21
( )
2
z zT H H E E     (1.9)
Và điều kiện biên cổ điển
0zH E  (1.10)
Các tính toán cho ta kết quả f   vì trong đó có chứa phần đóng góp của chân
không. Nếu trừ đi giá trị đóng góp của chân không khi không có hai tấm kim
loại, ta được một đại lượng hữu hạn.
2
4
240
c
f S
L

 (1.11)
ở đây c là vận tốc ánh sáng trong chân không, L là khoảng cách giữa 2 tấm, S là
diện tích tấm phẳng và thỏa mãn điều kiện 2
L S .
(1.11) là biểu thức của lực hút Casimir. Giá trị bằng số của lực này rất nhỏ,
nhưng nếu xét ở cự li cỡ nano mét thì nó trở nên khá lớn.
1.2. Ứng dụng của hiệu ứng Casimir trong vật lý.
Hiệu ứng Casimir là một vấn đề liên ngành, phạm vi áp dụng của nó rất
rộng, từ vũ trụ học cho đến vật lý các môi trường đông đặc, đặt biệt là vật lý
nano và công nghệ chế tạo vật liệu nano.

9. -11-
Trong lý thuyết trường lượng tử, hiệu ứng Casimir có ba ứng dụng chính:
- Mô hình Hadron trong Sắc động học lượng tử, năng lượng Casimir của
quark và gluon đóng góp đáng kể vào năng lượng nucleon trong mô
hình túi cho nucleon.
- Trong lý thuyết của Kaluza - Klein, hiệu ứng Casimir cung cấp cơ chế
hữu ích cho sự co tự phát (spontaneous compactification) của các chiều
không gian phụ (extra dimensions).
- Việc đo lực Casimir cho cơ hội để đạt được ràng buộc mạnh mẽ của
các tham số tương tác tầm xa và hạt cơ bản nhẹ mà lý thuyết Gauge
thống nhất, siêu đối xứng, siêu hấp dẫn và lý thuyết dây đã tiên đoán.
Trong vật lý các môi trường đông đặc, hiệu ứng Casimir dẫn đến lực hút
giữa các biên vật chất đặt gần nhau, lực này phụ thuộc vào dạng hình học, nhiệt
độ và thuộc tính điện, cơ của bề mặt vật liệu. Điều này cũng đúng cho các màng
mỏng. Ở kích thước vài nano lực Casimir trội hơn các lực khác rất nhiều. Như
vậy các thành phần di động được của thiết bị nano được chế tạo ở kích thước nhỏ
hơn 100nm thường dính vào nhau do lực hút Casimir khá mạnh. Quá trình này
được nhắc đến sự “kết dính” và đã đưa đến sự phá hủy các phần tử di động được
trong khi các thiết bị nano hoạt động. Rõ ràng, lực Casimir đã tác động một cách
chủ yếu đến sự gia công và sản xuất các thiết bị nano.
Trong lý thuyết hấp dẫn, thiên văn và vũ trụ học, hiệu ứng Casimir phát
sinh trong không - thời gian với topo phi Euclide. Sự phân cực chân không từ
hiệu ứng có thể dẫn đến quá trình lạm phát (Inflation) của vũ trụ. Trong lý thuyết
về sự hình thành cấu trúc của vũ trụ, do các topo khuyết tật, hiệu ứng phân cực
chân không Casimir gần các dây vũ trụ đóng một vai trò quan trọng.

10. -12-
Trong vật lý nguyên tử, tương tác Casimir tầm xa dẫn đến thay đổi các
mức năng lượng của trạng thái Rydberg. Một số loại hiệu ứng Casimir phát sinh
trong khoang điện động học lượng tử khi các quá trình bức xạ và sự thay đổi
năng lượng liên kết bị thay đổi bởi sự hiện diện của các bức tường khoang (lỗ
hổng).
Trong Vật lý toán, việc nghiên cứu hiệu ứng Casimir kích thích sự phát
triển của chính tắc hóa (regularization) và tái chuẩn hóa dựa trên việc sử dụng
hàm Zeta và mở rộng ra nhiệt hạt nhân.
1.3. Phương pháp khử phân kì khi nghiên cứu hiệu ứng Casimir.
Khi nghiên cứu hiệu ứng Casimir ta luôn phải xử lí các tổng vô hạn phân
kì nên trong nhiều năm qua đã phát triển rất nhiều phương pháp tính rất hiệu quả,
như: Phương pháp hàm Green, phương pháp hàm zeta - Riemann… Trong phạm
vi luận văn, tôi sử dụng phương pháp thừa số giảm nhanh (The damping
factor method) được nêu tóm tắt như sau:
Xuất phát từ tổng vô hạn của năng lượng chân không
 
 
2
2
n
n
dk
E a a E




   (1.12)
ta đưa vào hệ số (factor) δ trong biểu thức của E(a)
 
 
2
2
nE
R n
n
dk
E a a E e 




   (1.13)
và áp dụng các công thức sau cho từng trường hợp tương ứng:

11. -13-
Công thức Abel-Plana I [15]
   
   
2
0 0 0
1
(0)
2 1t
n
F it F it
F n F t dt F i dt
e 
 

 
  

   (1.14)
Công thức Abel-Plana II [15]
 
   
20 10 0 2
1
2
2
1
t in
F it F it
F n F t dt i dt
e


 
 
    
  
   
 

   (1.15)
Sau khi cho δ  0 ta tính được năng lượng Casimir mong muốn.
CHƯƠNG 2: NĂNG LƯỢNG CASIMIR TRONG
TRƯỜNG VÔ HƯỚNG PHỨC
Như đã nói ở phần mở đầu Chương 1, trong phần này tôi tập trung nghiên cứu
một mô hình tương đối đơn giản của trường vô hướng phức, Lagrangian được
chọn như sau:
*
L V
    

12. -14-
 
22 * *
2
V m

    
Trong đó: φ là hàm trường vô hướng
m là khối lượng của trường.
λ là hằng số tương tác
Phần dưới đây tôi sẽ tính toán cụ thể năng lượng Casimir và lực Casimir trong
trường hợp này.
2.1 Thế hiệu dụng Ω trong trường vô hướng phức
Xuất phát từ Lagrangian của trường vô hướng phức đã được chọn ở trên:
*
L V
    
 
22 * *
2
V m

     (2.1)
Không gian được rút gọn theo trục oz với chiều dài L.
Tác dụng SE được xác định bởi:
0
L
E ES i dz d dx L



   (2.2)
dx dxdy  .
Giả sử 0  và trong trạng thái cơ bản hàm trường nhận giá trị trung bình chân
không u,

13. -15-
u 
 
giá trị của u được xác định bởi điều kiện cực tiểu của thế năng V.
*
*
0
u
V
 
  
 
  
Đạo hàm biểu thức của thế năng V ở (2.1) theo hàm trường ta được
*
2 3
*
2 2 0
u
V
m u u
 

  
 
    
Phương trình này cho ta nghiệm
2
m
u

  (2.3)
Từ biểu thức trên ta thấy u nhận giá trị thực khi m2
< 0
Như ta đã biết, cấu trúc topo không tầm thường của không thời gian dẫn đến hai
loại điều kiện biên cho các trường vô hướng đó là điều kiện biên tuần hoàn
(Periodic) và phản tuần hoàn (Anti periodic)
   , , ,0 , , ,x y x y L    
Xét điều kiện biên phản tuần hoàn
   , , 0 , ,x z x z L        (2.4)
Trong (2.4) có sự tương tự giữa L và
1
T
  trong các công thức Matsubara.

14. -16-
Do đó để thuận lợi ta đặt 1a L trong các tính toán dưới đây.
Hàm phân phối được định nghĩa là
 *
exp EZ D D S   (2.5)
Ta biểu diễn  dưới dạng
 1 2
1
2
u i    
 *
1 2
1
2
u i     (2.6)
Thay (2.6) vào (2.1) ta được
 
22 * *
2
L m


     
 
       
*
1 1 2 2
1
2
  
                
 
2 2
22 * 2 2 2 2
1 2 1 2 12
2 2
m m
m u u u                    
   
2 2* 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2
1 1 2 1 2 1 1 1 24 2 2 4 2 2
2 4
u u u u u u u
 
                     
  
     2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 1 1
3 ( )
2 2 2
L m u m u V u 
                   (2.7)
Thế (2.7) vào (2.1) và kết hợp (2.5) ta được biểu thức của thế hiệu dụng ( , )T a

15. -17-
ln
.
S
Z
V
Vol L
      (2.8)
Vol là thể thích không - thời gian, V là thế trường trung bình
2 2 4
2
V m u u

  (2.9)
L là chiều dài rút gọn của trục oz.
Trong gần đúng 1 loop, Z có dạng.
* 1
. ( ) *
exp
D iDVol LV u
Z e D D
 
 

   (2.10)
trong đó hàm truyền:
2 2
1 1
2 2
2
0
0
E
iD
E


  
  
 
2 22 2 2
1 3 2E k m u k u     
2 22 2
2E k m u k   
22 2
1
22
2 0
0
k u
iD
k
 


  
 
  
(2.11)
Do đó ta tính được
 
 
3
1
3
ln ,
2
S m
m
d k
T iD k




   

16. -18-
 
 2 2 2 2
1 22
ln ln
2 2
S m n m n
m n
dkTa
E E 

 

 
             (2.12)
2 2 2
1 3n nE k k M   (2.13)
2 2
2 3n nE k k  (2.14)
ở đây 3nk và M nhận các giá trị
 3 2 1nk n a  ; 0, 1, 2, 3....n     (2.15)
2
2M u (2.16)
Sử dụng công thức
   2 2 /
ln ln 1 E T
m
m
T E E T e



   
ta viết được
 
       
 1 2
1 2
2
ln 1 ln 1
2
n nE E
S n n
n
dk
a E E T e T e 


 

          
     (2.17)
trong đó
1
T
 
Dễ dàng nhận thấy thế năng hiệu dụng (2.17) sẽ phân kỳ với 0T  , nghĩa là tổng

17. -19-
 
 
 1 22
0
2
S n n
n
dk
T a E E




      (2.18)
là vô hạn.
2.2 Năng lượng Casimir
Tổng năng lượng chân không bị giới hạn trong 2 mặt phẳng song song là
 
 
2
2
n
n
dk
E a a E S




   (2.19)
1 2n n nE E E  (2.20)
trong đó S là diện tích bản phẳng,S  
( )E a được chính tắc hóa bằng phương pháp thừa số giảm nhanh. Đưa vào hệ số δ
trong biểu thức của E(a)
 
 
2
2
nE
R n
n
dk
E a a E e S




   (2.21)
1 2n n nE E E 
sau cùng cho 0 
Sử dụng công thức Abel-Plana II ở (1.15)
 
   
20 10 0 2
1
2
2
1
t in
F it F it
F n F t dt i dt
e


 
 
    
  
   
 

   (2.22)

18. -20-
( )F t là một hàm giải tích trong nửa mặt phẳng dương. Ta tính được năng lượng
Casimir.
2.2.1 Thành phần E1n
1(1)
12
( )
(2 )
nE
n
n
dk
E a a E e S




  
1
3
2(1) 2 2
2
( )
(2 )
n
n
E
n
dk
E a a k k M e S





    (2.23)
Năng lượng chân không của trường điện từ trong không gian Minkowski được
cho bởi
3
0 3
(2 )
kE
k
d k
E E e lS


  (2.24)
ở đây l  là chiều dài của trục oz vuông góc với các tấm bản.
Áp dụng (2.24) với trường hợp tấm bản bị giới hạn bởi z = 0 và z = L
3 3
0 3 3
1
(2 ) (2 )
k kE E
k k
d k d k
E E e LS E e S
a
 
 
 
   (2.25)
với
2 2 2 2 2
1 2 3 3kE k k k k k    
Năng lượng Casimir thu được bằng cách lấy E(1)
(a) trừ đi sự đóng góp
(contribution) của năng lượng chân không của không gian Minkowski giữa các
bản, tức là

19. -21-
1
3
2(1) 2 2 2 2 23
1 2 320
1
( ) lim
(2 ) 2
n k
n
E E
c
n
dkdk
E a a k k M e k k k e S
a
 
  

 



 
       
 
 
1
2 2 2 2 2 2 23
320
0 0
2
lim 2 (2 1)
(2 ) 2
n kE E
n
dkdk
a k M n a e k k e S
a
 


 

 
 


 
       
 
 
1
2 2 2 22 2
2 3 3
2 2 2 20
0 0
1
lim 4 ( ) 2
(2 ) (2 ) 2 2 (2 ) (2 )
n kE E
n
dk k Mdk k M k M
a a n e e S
a a a a
 


    

   


 
       
 
 
 
Đặt:
*
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2 2*
*2
2 2
2 3
2
(2 )
(2 )
(2 )
(2 )
k
y
a
M
M
a
k M
b y M
a
k M
t
a










 


 
  

 


(2.26)
(1) 2 2 2 2 2
2
0 0
1
( ) 4 ( ) 2
(2 ) 2
c
n
dk
E a a b n dt b t




 
       
 
  (2.27)
Áp dụng (2.22) cho biểu thức trong ngoặc của (2.27):
2 2
( )F t b t 
2 2
( ) ( ) 2F it F it i t b    với t b

20. -22-
2 2
2 2 2 2
2
0 0
1
( ) 2 4
2 1t
n b
t b
b n dt b t dt
e 
 


    

   (2.28)
(Tích phân (2.28) lấy cận dưới “b” là do điều kiện t b )
Thay (2.28) kết hợp với (2.26) vào (2.27) ta được:
2 2
(1) 2 3
2
0
( ) 16
1
c t
b
t b
E a a ydy dt
e 

 

 
  (2.29)
Thay L = 1/a vào (2.30) ta được:
2 2 2
(1)
3 2
0
16
( )
1
c t
b
t b
E L ydy dt
L e 
  

 
  (2.30)
ở đây:
2
k
y L


 ;
2
2
* 2
(2 )
M
M L

 ;
2 2 2
*b y M 
2.2.2 Thành phần E2n
Vì E2n chính là trường hợp riêng của E1n khi cho λ = 0 (hay M = 0). Vì vậy cho
M* = 0 hay b y trong biểu thức (2.30) ta thu được
(2)
( )cE L
2 22
(2)
3 2
0
16
( )
1
c t
y
t y
E L ydy dt
L e 
  

 
  (2.31)
Như vậy năng lượng Casimir cần tính gồm hai thành phần (2.30) và (2.31)
(1) (2)
( ) ( ) ( )c c cE L E L E L  (2.32)

21. -23-
Cuối cùng ta khảo sát sự phụ thuộc của các năng lượng Casimir vào nhiệt độ và
chiều dài rút gọn.
2.3 Sự phụ thuộc của năng lượng Casimir vào nhiệt độ T và chiều dài rút
gọn L.
2.3.1 Phương trình khe (The gap equation)
Từ (2.11) ta thấy năng lượng Casimir phụ thuộc vào giá trị trung bình
chân không u của trường φ. Vì vậy ta cần thiết lập phương trình khe cho phép
xác định sự phụ thuộc của u, T và L.
Xuất phát từ (2.17) và (2.18) ta có:
( ) (0)SR S ST   
 1 2
2
ln(1 ) ln(1 )
(2 )
n nE E
SR
n
dk
aT e e 


 

       (2.33)
Thế hiệu dụng Ω được cho bởi:
( ) SRV u    (2.34)
trong đó 2 2 4
( )
2
V u m u u

 
Giá trị của u được xác định từ điều kiện cực tiểu của thế năng Ω
0
u



2 3
2( ) 0SR
m u u
u


  

(2.35)

22. -24-
Phương trình (2.35) gọi là phương trình khe.
2.3.2 Đồ thị năng lượng Casimir
Từ biểu thức của năng lượng Casimir ở (2.30) và (2.31) ta thấy thành phần
(2)
( )cE L không phụ thuộc vào trung bình chân không u, nên năng lượng Casimir
thực chất chỉ phụ thuộc thành phần năng lượng 1
( )cE L . Do đó trong các khảo sát
dưới đây tôi chủ yếu xét thành phần (1)
( )cE L , kí hiệu E1n là En.
Từ (2.33) ta có
0
ln 1
2
nE
SR
n
eaT
kdk
u u




     
 
 
0 0
ln 1 nE
n
eaT
kdk
u




    


2 2 2
0 0 3
2
(1 )2
n
n
E
E
n
n
a u k e
dk
ek k u



 
 




 

Do đó:
2 2 2
0 0 3
2 1
( 1)2
n
SR
E
n
n
a u k
dk
u ek k u


 


 

  
 (2.36)
Thay (2.36) vào (2.35) ta được:
2 3
2 2 2
0 0 3
2 1
2( ) 0
( 1)2
nE
n
n
a u k
m u u dk
ek k u



 


  
 
 (2.37)

23. -25-
2 22 2 2 2
3 3 2n n nE k k M k k u       (2.38)
 3 2 1nk n a  ; 0, 1, 2, 3....n    
Giải hệ (2.30) và (2.37) với các thông số đã chọn dưới đây ta được năng lượng
Casimir.
2 2
2 3
2
m m
m  
 ;
2 2
2
m m
f
 




ở đây 500m MeV  là khối lượng của sigma
138m MeV  là khối lượng của pion
93f MeV  là hằng số phân rã Pion.
tham số khối lượng m2
được chọn là âm để giá trị trung bình chân không của
trường thỏa mãn 0u 
2.3.2.1 Đồ thị của Ec theo 1/L

24. -26-
T = 200MeV
2.3.2.2 Đồ thị của Ec theo nhiệt độ T
L = 6,5fm

25. -27-
2.3.2.2 Đồ thị (2)
cE L
2 22
(2)
3 2
0
16
( )
1
c t
y
t y
E L ydy dt
L e 
  

 
  (2.39)
Thay đổi cận của tích phân, ta được:
2
(2) 2 2
3 2
0
16
( )
1
t
c t
y
dt
E L y t y dy
L e 
 
  
 
2 3 2 3
3 2 3 4
0 0
16 16 1
3( 1) 3 (2 ) 1t x
t dt x dx
L e L e
 

 
   
  

2
(2)
3
0,0194
( )cE L
L

  (2.40)
Đồ thị của (2)
( )cE L theo tham số 1/L

26. -28-
2.4 Lực Casimir
Lực Casimir tác dụng giữa 2 tấm phẳng là đạo hàm của năng lượng ( )cE L theo
khoảng cách giữa chúng
 
 c
C
E L
F L
L

 

(2.41)
Với:  
2 2 2
3 2
0
16
1
c t
b
t b
E L ydy dt
L e 
  

 
  (2.42)
Thay (2.42) vào (2.41) ta được:
 
 
   
2
22 2 2 2
3 4 22 2 2
0 0
2
.
216 48
. .
11 .
c tt
b b
u
L
t b
F L ydy dt ydy dt
L L ee t b


    

  
 
   
 
 
2
2 2 2 2
0
8 4
( )
31
c ct
b
u dt
F L ydy E L
L Le t b
  
  
 
  (2.43)
(2.43) là biểu thức của lực Casimir giữa hai tấm phẳng. Tiếp theo ta khảo sát lực
Casimir theo nhiệt độ T và chiều dài rút gọn L, với các thông số đã chọn giống
như phần năng lượng Casimir ta được các đồ thị dưới đây.
2.4.1 Đồ thị của Fc(L) theo 1/L:

27. -29-
T=200MeV
2.4.2 Đồ thị của Fc(L) theo nhiệt độ T
L=6,5fm

28. -30-
Căn cứ vào đồ thị tính năng lượng Casimir và lực Casimir xét trong trường
vô hướng phức, với điều kiện biên không tuần hoàn, ta có nhận xét sau:
- Lực Casimir trong trường hợp này là lực hút và giảm nhanh theo
khoảng cách. Ở xa vô cùng lực Casimir bằng không. Lực có giá trị
đáng kể khi khoảng cách L giữa hai tấm phẳng cỡ 10 fermi trở xuống.
- Lực Casimir phụ thuộc nhiệt độ. Nhiệt độ càng cao lực Casimir càng
giảm. Ở kích thước một vài Fermi thì khi T > 500MeV ta có thể bỏ qua
hiệu ứng Casimir.

29. -31-
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
Kết luận
Trong luận văn này tôi đã nghiên cứu hiệu ứng Casimir trong trường vô
hướng phức với điều kiện biên phản tuần hoàn và một Lagrangian cụ thể được
chọn. Các kết quả chính đạt được là:
1. Tính được thế hiệu dụng Ω trong gần đúng trường trung bình.
2. Tính được năng lượng Casimir của trường vô hướng phức ở nhiệt độ hữu
hạn, từ đó tính số sự phụ thuộc của năng lượng này vào nhiệt độ và
khoảng cách.
3. Tính được lực Casimir, khảo sát sự phụ thuộc của lực trên vào nhiệt độ và
khoảng cách. Kết quả cho thấy lực Casimir trong trường hợp này là lực
hút và có giá trị đáng kể khi chiều dài rút gọn L giữa hai tấm bản từ
khoảng cách 10 fermi trở xuống.
Hướng nghiên cứu tiếp theo
Tiếp thep tôi sẽ nghiên cứu năng lượng Casimir trong các điều kiện biên
khách nhau và đi đến tìm hiểu bản chất của hiệu ứng Casimir trong các mặt biên
chuyển động.

30. -32-
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] See, for example , Modern Kaluza-Klein theories , edited by T.Appelquits,
A.Chodos, and P.T.O Freund ( Addison-Wesley, Reading, MA, 1987).
[2 ] J.H.Schwarz, Update of String Theory, astro-ph/0304507
[3] N.Akarni-Hamed, S.Dimopoulos, and G.Dvali, Phys.Lett.B429, 263
(1998); ibid.Phys.Rev.D59, 086004 (1999).
[4] H.B.G.Casimir , Proc.K.Ned.Akad.Wet. 51 , 793 ( 1948).
[5] M.Bordag, V.Mohideen, and V.M.Mostepanenko, Phys.Rep.353, 1
(2001).
[6] E.Elizalde, S.Nojiri, and S.D.Odintsov, Phys.Rev.D70,043539 (2004).
[7] E.Elizalde, J.Phys.A39, 6299 ( 2006).
[8] V.M.Mostepanenko and N.N.Trunov, The Casimir Effect and Its
Applications (Clarendon, Oxford, 1997 ).
[9] E.Elizalde, S.D.Odintsov, A.Romeo, A.A.Bytsenko, and S.Zerbini, Zeta
Regularization Techniques with Applications (World Scientific, Singapore,
1994).
[10] K.A.Milton, The Casimir Effect: Physical Manifestation of Zero-Point
Energy ( World Scientific, Singapore, 2002 ).
[11] M.Bordag, G.L.Klimchitskaya, U.Mohideen , and V.M.Mostepanenko,
Advances in the Casimir Effect ( Oxford University Press, Oxford, 2009).
[12] A.A.Bytsenko, G.Cognola,L.Vanzo, and S.Zerbini, Phys.Rep.266, 1
(1996).
[13] H.B.G Casimir, Proc. Kon. Nederl. Akad. Wet. 51 (1948)
[14] H.B.G Casimir, D.Polder, Phys.Rev. 73 (1948) 360

31. -33-
[15] V.M. Mostepanenko, N.N. Trunov, The Casimir Effect and its
Application, Clarendon Press, Oxford, 1977
[16] M.Bordag, U.Mohideen, V.M Mostepanenko, New Developments in the
Casimir Effect, 2( 2004).
[17] H.B.G Casimir, in: M.Bordag (Ed), The Casimir Effect 50 years Later,
Word Scientific, Singapore, 1999, p.3
[18] M. Krech, The Casimir Effect in critical systems, World Scientific, 1994