Dokumen tersebut membahas tentang linear programming (LP) dengan contoh perusahaan XYZ yang memproduksi dua produk menggunakan tiga departemen mesin dengan kapasitas terbatas. LP dirumuskan untuk memaksimalkan pendapatan total dengan kendala kapasitas mesin, kemudian dijelaskan penyelesaiannya menggunakan metode grafik.
3. LINEAR PROGRAMMINGLINEAR PROGRAMMING
1.1. TUJUAN LPTUJUAN LP
2. PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN
DALAM LP
3. ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP
4. SEJARAH LP
5. MODEL FORMULASI
6. Untuk itu, pasti usaha itu memiliki berbagai kendalakendala
sumberdaya
Baik tujuan maupun kendala pada umumnya dalam
kondisi deterministik.
Sehubungan dengan itu, Linier Programming (LP)
memberikan solusi dalam pengambilan keputusan
usaha bisnis tersebut .
Linier programming adalah suatu teknik atau cara
yang membantu dalam keputusan mengalokasi
sumberdaya yang dimiliki perusahaan.
8. Sumberdaya tersebut akan digunakan utk memproduksi:
barang:
sandang
pangan
papan
dll
jasa :
rencana pengiriman dan produksi
keputusan investasi
kebijakan advertensi
dll
9. PERSYARATAN YG DIPERLUKAN DLM L P
1. Perusahaan mempunyai tujuan,yaitu
memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya
2. Perusahaan mempunyai keterbatasan atau kendala
sumberdaya dalam mencapai tujuan.
3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan
alternatif, salah satu di antaranya dipakai atau
dipilih untuk mencapai tujuan.
4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan
persamaan ( = ) dan pertidaksamaan ( < / > )
matematik yang linier.
10. Asumsi Yang Berlaku Dalam LP
1. Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan
dalam kepastian di mana nilai-nilai, jumlah-
jumlah dalam fungsi tujuan dan kendala
diketahui dengan pasti (deterministik), tidak
berubah selama periode analisis.
2. Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala
adalah proporsional dalam bentuk
matematik yang linier, contoh :
11. Asumsi Yang Berlaku Dalam LP
1 L = 10 X ⇒ jika X = 2, maka L = 20
jika X = 4, maka L = 40
M < 60X ⇒ jika X = 2, maka M < 120
jika X = 5, maka M < 300
12. Asumsi Yang Berlaku Dalam LP...lanjt
3. Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity,
artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan
dari nilai-nilai kegiatan individu :
L = $3 X1 + $5 X2 ⇒ Jika X1 = 10 dan X2 = 20,
maka
L = $3(10) + $5(20) = $ 130.
4. Barang dan jasa yang dihasilkan (variabel keputusan)
harus positif bukan negatif (non negatively) paling
tidak nol (tidak menghasilkan)
13. Sejarah Linier Program
1. LP dikembangkan sebelum PD II oleh
matematikawan Rusia, A.N. Kolmogorov dan
Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi
Perencanaan”.
2. Dalam aplikasi LP dikembangkan oleh Stigler
(1945) dalam persoalan Diit (kesehatan).
3. Tahun (1947), George D. Dantzig
mengembangkan Solusi LP Dengan Metode
Simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga
kita kenal sampai sekarang dengan istilah
“Linier Programming”. Dantzig matematikawan
di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai
kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan
Udara.
14. Sejarah Linier Program…. lanjt
Saat itu militer memerlukan sekali program
perencanaan latihan militer, pemasokan
peralatan dan amunisi, penempatan unit-
unit tempur. Dantzig memformulasikan
sistem pertidaksamaan linier.
4. Setelah PD II aplikasi dalam dunia bisnis
luar biasa, misalnya dalam usaha
pengolahan, jasa, pertanian, dll.
5. Tahun 1984 N.Karmarkar mengembangkan
model yang lebih superior dari metode
simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.
15. Model Formulasi
Model LP berisikan beberapa
komponen dan karakteristik
tertentu.
Komponen adalah Fungsi Tujuan dan
Fungsi Kendala, yg didalamnya
terdapat Variabel Keputusan dan
Parametrer.
16. Model Formulasi
Variabel Keputusan adalah simbul
matematik dari kegiatan yang
dilakukan oleh perusahaan,
misalnya :
X1 = jumlah Radio
X2 = jumlah Televisi
X3 = jumlah Kulkas
yang akan diproduksi
17. Model Formulasi… lanjt
Parameter adalah nilai-nilai di depan
variabel keputusan yang pada
dasarnya sudah diketahui.
Fungsi Tujuan merupakan hubungan
matematika linier yg
menggambarkan tujuan perusahaan
baik memaksimumkan laba atau
meminimumkan biaya untuk
membuat variabel keputusan.
18. Model Formulasi… lanjt
Fungsi Kendala juga merupakan hubungan
linier antar variabel keputusan yg
menggambarkan keterbatasan
sumberdaya.
Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah
Tenaga Kerja utk memproduksi radio
sebesar 40 jam/hari selama periode
produksi.
Nilai-nilai Konstanta dalam fungsi tujuan atau
kendala juga merupakan parameter.
20. Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua
macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat
dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,00 per unit. Dalam
proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu
Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q
memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin
tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk
setiap produk.
Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada
mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada
mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam
pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada
mesin tipe R.
PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ
21. Lamanya waktu mesin-mesin tersebut berope-rasipun sangat
terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari
per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per
hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per
hari per mesin.
Pertanyaan:
1. Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula
matematika)
2. Gambarlah persoalan LP tersebut dan Hitunglah berapa produk
A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal
METODE GRAFIK
PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ ....lanjt
22. SdSd AA BB Kap.Kap.
PP 22 11 << 3030
QQ 22 33 << 6060
RR 44 33 << 7272
HargaHarga 30003000 30003000
Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut :
Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya :
Max. TR = 3000A + 3000B
Stc. P : 2A + B < 30
Q : 2A + 3B < 60
R : 4A + 3B < 72
A , B > 0
Metode Grafik / Maksimasi
23. Max. TR = 3000A + 3000B
Stc. P : 2A + B < 30
Q : 2A + 3B < 60
R : 4A + 3B < 72
A , B > 0
R
:
4A
+
3B
<
72
Q
:
2A + 3B
<
60
GAMBAR FUNGSI KENDALA
2A
+
B
<
30
•
• P : 2A + B < 30
Jika A = 0 , maka B = 30
Jika B = 0 , maka A = 15
Metode Grafik / Maksimasi
24. •
•
•
••
TR = 3000A + 3000B → B = TR
/3000 - A
0 = 3000(0) + 3000(0)
45000 = 3000(15) + 3000(0)
60000 = 3000(0) + 3000(20)
63000 = 3000(9) + 3000(12)
> 66000 = IMPOSIBLE
66000 = 3000(6) + 3000(16)
FISIBLE AREA dan ISO REVENUE
Solusi : Produk A = 6 unit
Produk B = 16 unit
TR = $ 66000
Evaluasi Sumberdaya :
P : 2(6) + 1(16) = 28 jam → sisa 2 jam
Q : 2(6) + 3(16) = 60 jam → persis
R : 4(6) + 3(16) = 72 jam → persis
B
A
Metode Grafik / Maksimasi
P
Q
R
26. Variabel SlackVariabel Slack
Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis
persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau
berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini,
kendala-kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai
persamaan daripada pertidaksamaan.
Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala
menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah
variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut
sebagai variabel slack.
-
Metode Grafik / Maksimasi
27. Variabel SlackVariabel Slack
Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah :
P : 2A + B < 30
Q : 2A + 3B < 60
R : 4A + 3B < 72
Penambahan sebuah variabel slack, S1 pada kendala P, S2 pada
kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. :
P : 2A + B + S1 = 30
Q : 2A + 3B + S2 = 60
R : 4A + 3B + S3 = 72
Metode Grafik / Maksimasi
lanjt
28. Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan
untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama
dengan sisi sebelah kanan.
Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10.
Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan :
P : 2(9) + 10 + S1 = 30 S1 = 2
Q : 2(9) + 3(10) + S2 = 60 S2 = 12
R : 4(9) + 3(10) + S3 = 72 S3 = 6
Metode Grafik / Maksimasi …lanjt
29. Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak
menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya
menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan.
Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada
sumberdaya P atau disebut slack P.
Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing
mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6
jam yang tidak digunakan.
Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka
seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, sehingga slacknya
masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam
Metode Grafik / Maksimasi… lanjt
30. Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B.
Koefisien 3000 dan 3000, masing-masing merupakan
kontribusi TR setiap A dan B. Lalu, apa wujud kontribusi
variabel slack S1 dan S2 ?. Variabel slack tidak mempunyai
kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack
merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai
hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses
produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi
tujuan dapat ditululis :
TR = 3000A + 3000 B + 0S1 + 0S2 + 0S3
Metode Grafik / Maksimasi
31. Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan
Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), variabel
slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumber-
daya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya :
A, B , S1, S2 dan S3 > 0
Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap
dapat ditulis sbb.:
Maksimumkan: TR = 3000 A + 3000 B + 0S1 + 0S2 +0S3
Kendala : 2A + B + S1 < 30
2A + 3B + S2 < 60
4A + 3B + S3 < 72
A, B , S1, S2 dan S3 > 0
Metode Grafik / Maksimasi
32. •w
•X
•Y
Z
•
Max. TR = 3000 A + 3000B
Kendala : 2A + B + S1 < 30
2A + 3B + S2 < 60
4A + 3B + S3 < 72
A, B , S1, S2 dan S3 > 0
A = 0
B = 20
TR = 60000
S1 = 10
S2 = 0
S3 = 12
A = 6
B = 16
TR = 66000
S1 = 2
S2 = 0
S3 = 0
A = 9
B = 12
TR = 63000
S1 = 0
S2 = 6
S3 = 0
A = 15
B = 0
TR = 45000
S1 = 0
S2 = 30
S3 = 12
Metode Grafik / Maksimasi
33. Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio
Perusahaan RPerusahaan Raadio memproduksi 2 macam bahan pelarutdio memproduksi 2 macam bahan pelarut
(A dan B). Untuk me(A dan B). Untuk memmproduksi kedua bahan tersebutproduksi kedua bahan tersebut
memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidakmemerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak
memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan danmemerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan
Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. KebutuhanSpiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan
minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukanminyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan
8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan
Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 literDamar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter
dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhandan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan
Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6
liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter.liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter.
Metode Grafik / Minimasi
KASUS MINIMASI
34. Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio (lanjt)(lanjt)
Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan BKalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B
masing sebesar Rp 80 dan Rp 100masing sebesar Rp 80 dan Rp 100>>
Pertanyaan:Pertanyaan:
BBerapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agarerapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar
biaya produksi minimalbiaya produksi minimal??
Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pulaSelesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula
penggunaan bahan bakunya.penggunaan bahan bakunya.
Metode Grafik / Minimasi
KASUS MINIMASI
35. GAMBAR FUNGSI KENDALA
Min. TC = 80A + 100B
Stc. MT : 8A + 6B > 24
D : 10A + 4B > 20
S : 6A + 12B > 24
A , B > 0
MT : 8A + 6B > 24
B > 4 – 4
/3 A
D : 10A + 4B > 20
B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24
B > 2 - 0,5 A
A
B
B
A
B
A
Metode Grafik / Minimasi
36. GAMBAR FUNGSI KENDALA
Min. TC = 80A + 100B
Stc. MT : 8A + 6B > 24
D : 10A + 4B > 20
S : 6A + 12B > 24
A , B > 0
MT : 8A + 6B > 24
B > 4 – 4
/3 A
D : 10A + 4B > 20
B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24
B > 2 - 0,5 A
A
B
B
A
B
A
Metode Grafik / Minimasi
37. FISIBLE AREA dan ISOFISIBLE AREA dan ISO
COSTCOST
( 2, 4 ; 0,8 )
•
Solusi Optimal :
B.Pelarut A = 2,4 unit
B.Pelarut B = 0,8 unit
TC min = 80 (2,4) + 100(0,8) = Rp 272
Penggunaan Sumberdaya :
MT = 8(2,4) + 6(0,8) = 24 Lt. → persis
D = 10(2,4) + 4(0,8) = 27,2 Lt. → > 20
S = 6(2,4) + 12(0,8) = 24 Lt. → persis
Metode Grafik / Minimasi
38. PENDAHULUAN
Kenyataan yang sering dihadapi oleh para manajer dalam
pengambilan keputusan adalah kompleks.
Keputusan yang harus diambil tidak hanya untuk 2 variabel
saja, bisa saja lebih, sementara metode grafik terbatas hanya
2 demensi atau paling banyak mencakup 3 variabel.
Untuk mengatasi persoalan linier programming yang kompleks
jelas menjadi tidak sederhana.
Satu cara sederhana (simple) dan efisien yang dapat
menyelesaikan persoalan adalah dengan Metode Smplex, di
mana metode ini menggunakan tabel yang unik yang sering
disebut “Tabel Simplek”
METODE SIMPLEKMETODE SIMPLEK
39. Metode simplek untuk linier programming dikembangkan
pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian
digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika
Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan
fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi
diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier
programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan
secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan
menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal
tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solosi yang
baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih
besar daripada solosi sebelumnya.
METODE SIMPLEKMETODE SIMPLEK
40. MENYUSUN SOLUSI AWALMENYUSUN SOLUSI AWAL
Untuk memperoleh pengertian yang lebih mudah danUntuk memperoleh pengertian yang lebih mudah dan
cepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalancepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalan
yang meliputi 2 variabel riil sajayang meliputi 2 variabel riil saja (sekedar untuk cross(sekedar untuk cross
cek)cek)
Dengan menggunakan contoh kasus perusahaan XYZDengan menggunakan contoh kasus perusahaan XYZ
di muka, penyelesaian dapat dilakukan dengandi muka, penyelesaian dapat dilakukan dengan
beberapa langkah :beberapa langkah :
Langkah 1. Menyususun Persoalan Dalam Matematik
Maksimumkan : TR = 3000 A + 3000 B
Kendala : P : 2A + B < 30
Q : 2A + 3B < 60
R : 4A + 3B < 72
A , B > 0
Metode Simplek / Maksimasi
41. Langkah 2. Mengubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan
Mengandung pengertian : tidak selalu kapasitas SD digunakan
seluruhnya, diantaranya masih ada yang tersisa → ada kelong-
garan (slack) untuk menambah sebuah variabel sehingga
menjadi persamaan. Variable baru ini disebut Variabel Slack
Variabel Slack = sejumlah unit kapasitas yang tidak dipakai
dalam suatu Departemen/ SD.
Misal : SP = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. P → SP = 30 - 2A - B
SQ = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep.Q → SQ = 60 - 2A - 3B
SR = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. R → SR = 72 - 4A - 3B
Atau dari persamaan diatas dapat disusun :
2A + B + SP = 30
2A + 3B + SQ = 60
4A + 3B + SR = 72
Metode Simplek / Maksimasi
42. Variabel Slack ini harus dimasukkan dalam fungsi tujuan dan
kendala. Koefisien setiap variabel pada kedua fungsi tsb.
harus terlihat dengan jelas. Oleh karena itu, untuk variabel
yang tidak mempunyai pengaruh terhadap persamaan,
koefisiennya harus ditulis dengan “nol”, sehingga tidak
merubah hakekatnya.
Misalkan, karena : SP, , SQ, dan SR tidak menghasilkan TR, SQ,
dan SR tidak berpengaruh terhadap Dep. P, SP dan SR tidak
berpengaruh terhadap Dep. Q, dan SP, dan SQ tidak
berpengaruh terhadap Dep. R, maka fungsi tujuan dan
kendala dapat ditulis sbb. :
TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ + 0 SR .
P : 2A + B + 1 SP + 0SQ + 0SR = 30
Q : 2A + 3B + 0SP + 1SQ + 0SR = 60
R : 4A + 3B + 0SP + 0SQ + 1SR = 72
Metode Simplek / Maksimasi
43. Langkah 3. Memasukkan Fungsi Tujuan dan Kendala ke Tabel Simplek
3000 3000 0 0 0Cj Variabel
Basis
Kuanti
tas A B SP SQ SR
Ri
0 SP 30 2 1 1 0 0
0 SQ 60 2 3 0 1 0
0 SR 72 4 3 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0
Cj - Zj 3000 3000 0 0 0
Zj = Σ aij . Bi
Sollusi Awal, belum berproduksi, Zj = 0
Metode Simplek / Maksimasi
TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ + 0 SR .
P : 2A + B + 1 SP + 0SQ + 0SR = 30
Q : 2A + 3B + 0SP + 1SQ + 0SR = 60
R : 4A + 3B + 0SP + 0SQ + 1SR = 72
44. MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUAMENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA
Solusi awal menunjukkan perusahaan masih belum berproduksi.
Selanjutnya kita akan melakukan perubahan sehingga TR
sebagai tujuan tercapai lebih baik.
Jika tabel yang telah diperbaiki masih ada kemungkinan dirubah
untuk mencapai tujuan yang lebih baik lagi, maka perubahanpun
terus berlanjut sampai tercapai solusi yang optimal.
Tahap-tahap perubahan dari tabel satu ke tabel yang lain disebut
“pivoting”.
Perhitungan solusi kedua dapat diikuti dengan langkah-langkah
berikut ini.
Metode Simplek / Maksimasi
45. Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasuk-
kan dalam solusi (going in)
Secara rasional, memilih varibel riil yang tepat adalah variabel
yang mempunyai kontribusi menambah laba/TR atau
mengurangi biaya yang paling besar.
Dengan memilih nilai-nilai baris Cj - Zj pada kolom variabel riil
yang terbesar, mengindikasikan adanya peningkatan laba/TR
yang lebih baik.
Oleh karena Nilai Cj - Zj untuk kedua kolom variabel riil A dan
B sama, maka bisa kita pilih salah satu.
Misalnya saja, kita tentukan kolom B, maka kolom B tersebut
dinamakan “kolom optimum”, yang bakal pertamkalinya
masuk dalam kolom variabel basis.
Metode Simplek / Maksimasi
46. Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti (going out)
Pertama kali, kita membagi nilai-nilai dalam kolom variabel
basis dengan nilai-nilai pada kolom optimum, dan kemudian
hasil bagi-hasil bagi tersebut kita pilih yang paling kecil.
Baris yang mempunyai nilai “Ri” terkecil bakal diganti atau
dikeluakan dari variabel basis.
Baris SP : 30 / 1 = 30
Baris SQ : 60 / 3 = 20 → dikeluarkan
Baris SR : 72 / 3 = 24
Elemen-elemen (nilai) pada basis SP, SQ dan SR di
bawah kolom optimum, disebut elemen interseksi-onal,
yang akan beerperan dalam perhitungan nilai nilai
pada tabel berikutnya.
Metode Simplek / Maksimasi
47. Cj 3000 3000 0 0 0
VB Q A B Sp Sq Sr Ri
Iterasi 1
0 Sp 30 2 1 1 0 0 30
0 Sq 60 2 3 0 1 0 20
0 Sr 72 4 3 0 0 1 24
Zj 0 0 0 0 0 0
Cj - Zj 3000 3000 0 0 0
Iterasi 2
Langkah 1 : menentukan kolom optimum (going in)
Langkah 2 : menentukan baris optimum (going out)
Aplikasi Langkah 1 dan Langkah 2
48. Cj 3000 3000 0 0 0
VB Q A B Sp Sq Sr Ri
Iterasi 1
0 Sp 30 2 1 1 0 0 30
0 Sq 60 2 3 0 1 0 20
0 Sr 72 4 3 0 0 1 24
Zj 0 0 0 0 0 0
Cj - Zj 3000 3000 0 0 0
Iterasi 2
Zj
Cj - Zj
Iterasi 3
Zj
Cj - Zj
Menentukan / Menghitung :
- Nilai baris baru yang lain :
NBBL= NBL− (N Intsek x
NBBM)
Baris Sp :
30 − ( 1 x 20) = 10
2 − ( 1 x 2
/3) = 1 1
/3
1 − ( 1 x 1) = 0
1 − ( 1 x 0) = 1
0 − ( 1 x 1/3) = -1
/3
0 − ( 1 x 0) = 0
- Nilai baris baru yang masuk :
NBBM = NBL : N Insek :
60/3 = 20 ; 2/3 = 2/3 ; 3/3 = 1;
0/3 = 0 ; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0
3000 B 20 2/3 1 0 1/3 0
Baris Sr :
72 − ( 3 x 20) = 12
4 − ( 3 x 2
/3) = 2
3 − ( 3 x 1) = 0
0 − ( 3 x 0) = 0
0 − ( 3 x 1
/3) = -1
1 − ( 3 x 0) = 1
0 Sp 10 11/3 0 1 -1/3 0
0 Sr 12 2 0 0 -1 1
60000 2000 3000 0 1000 0
1000 0 0 -1000 0
49. Cj 3000 3000 0 0 0
VB Q A B Sp Sq Sr Ri
Iterasi 2
0 Sp 10 1.3333 0 1 - 0.333 0 7.5
3000 B 20 0.6667 1 0 0.333 0 30
0 Sr 12 2 0 0 - 1 1 6
Zj 60000 2000 3000 0 1000 0
Cj - Zj 1000 0 0 -1000 0
Iterasi 3
Zj
Cj - Zj
MENGEMBANGKAN SOLUSIMENGEMBANGKAN SOLUSI
KETIGAKETIGA
Menentukan / Menghitung :
- Kolom optimum :
pilih nilai Cj - Zj yang terbesar
- Baris yang diganti :
Pilih nilai Ri yang terkecil
Ri = nilai Q / kolom optimum
- Nilai baris baru yang masuk :
NBBM = NBL : N Insek :
12/2 = 6 ; 2/2 =1 ; 0/2 = 0;
0/2 = 0; -1/2 = - 0,5; 1/2 = 0,5
3000 A 6 1 0 0 - 0,5 0,5
- Nilai baris baru yang lain :
NBBL= NBL−(N Intsek x NBBM)
Baris Sp :
10 − (1,33 x 6) = 2
1,33 − (1,33 x1) = 0
0 − (1,33 x 0) = 0
1 − (1,33 x 0) = 1
- 0,33 − (1,33 x -0,5) = 0,33
0 − (1,33 x 0,5) = - 0.67
0 Sp 2 0 0 1 0,333 - 0,667
Baris B :
20 − (0,67 x6) = 16
0,67 − (0,67 x 1) = 0
1 − (0,67 x 0) = 1
0 − (0,67 x 0) = 0
0,33 − (0,67 x - 0,5) = 0,67
0 − (0,67 x 0,5) = - 033
3000 B 16 0 1 0 0,67 - 0,33
66.000 3000 3000 0 500 500
0 0 0 - 500 - 500
NILAI-NILAI Cj - Zj < 0 → SOLUSI OPTIMAL
50. Cj 3000 3000 0 0 0
VB Q A B Sp Sq Sr Ri
Iterasi 3
0 Sp 2 0 0 1 0.3333 -0.6667
3000 B 16 0 1 0 0.6667 -0.3333
3000 A 6 1 0 0 -0.5 0.5
Zj 66000 3000 3000 0 500 500
Cj - Zj 0 0 0 -500 -500
INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK
Nilai2
pada Kolom Q Tabel 3 :
Baris Sp = 2 (Sisa Sbrdaya P)
Baris B = 16 (Jml Prduksi B)
Baris A = 6 (Jml Prduksi A)
Baris Zj = 66000 (TR max.)
Nilai2
pada Baris Cj-Zj di bawah ko-lom vaibel riil
menunjukkan nilai produk marginal :
Jika positif menunjukkan kemung-kinan tambahan
TR jika variabel riil ditambah 1 unit
Jika negatif menunjukkan pengura-ngan TR jika
variabel riil ditambah 1 unit
Nilai2
Negatif pada Baris Cj-Zj di
bawah kolom variabel Slack :
menunjukkan tambahan TR yg
dapat dicapai jika ditambahkan 1
jam lagi pada departemen
diwakili variabel slack
Nilai2
di baris Zj
menggambarkan
berkurangnya TR (oportunity
cost) akibat tambahan 1 unit
kegiatan riil atau disposal
Anga-angka dalam kwadran
matrik (input-outpu) atau
diberi simbul aij menunjukkan
MRTS atau Koefisien
Teknologi antara kegiatan
pada kolom dengan sbrdaya
pada baris.
51. CONTOH : PERUSAHAAN PNT
Perusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan
makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat
pesanan makanan campuran "141-B" dengan ukuran/paket
200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan
ramuan , yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat).
Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan
karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu
kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan
kandungan bahan Carbohidrat (C) paling tidak tersedia 30 %.
Persoalan PNT adalah menetapkan berapa banyak masing-
masing bahan digunakan agar biaya minimal.
FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( IDENTIFIKASI)
Minimumkan : Cost = $ 3P+ $ 8C
Kendala : P + C = 200 pon
P < 80 pon
C > 60 pon
P dan C > 0
Metode Simplek / Minimasi
52. SOLUSI AWAL
Merubah persamaan dan pertidaksamaan pada kendala
- Untuk tanda Persamaan ( = ) harus ditambah dengan
variabel Artifisial (A)
- Untuk Pertidaksamaan”lebih besar sama dengan” ( > )
harus dikurangi variabel surplus (S) dan ditambah
variabel Artifisial (A)
- Untuk Pertidaksamaan kurang sama dengan ( < ) harus
ditambah variabel slack (S)
Untuk Kendala : P + C = 200 → P + C + A1 = 200
P < 80 → P + S1 = 80
C > 60 → C − S2 + A2 = 60
Metode Simplek / Minimasi
53. SOLUSI AWAL
Koefisien teknologi (para meter) masing-masing variabel ,
secara ekplisit harus ditulis, dengan ketentuan yang tidak
ada pengaruhnya ditulis nol
Nilai biaya untuk variabel Artifisial diberi nilai yang sangat
besar (M), dan untuk variabel Slack/Surplus = 0
Secara lengkap :
Minimize: Cost = 3P + 8C + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
P + C + A1 = 200
P + S1 = 80
C − S2 + A2 = 60
P, C, S1, S2, A1, A2 > 0
Metode Simplek / Minimasi
56. DUALITAS ANTARA MAKSIMASI dan MINIMASI
Untuk setiap permasalahan optimasi yang mempunyai
kendala/pembatas, akan terdapat “permasalahan dual”,
yaitu dengan memaksimasi atau meminimasi fungsi ken-
dala dan fungsi tujuan sebelumnya menjadi kendalanya.
Hubungan ini disebut sebagai dualitas (duality)
Permasalahan yang pertama disebut dengan “primal”
dan permasalahan kedua disebut dengan “dual”.
Jadi misalnya, jika permasalahan primalnya adalah
maksimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka
sekarang menjadi dual, yaitu minimasi kendala dengan
kendalanya adalah fungsi tujuannya.
Demikian sebaliknya, jika permasalahan primalnya adalah
menimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang
menjadi maksimasi kendala dengan fungsi tujuan
sebagai kendalanya.
57. Dengan demikian dalam sebuah pemodelan Pemrograman
Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawanan. Konsep
yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.Bentuk
Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan
Dual sebagai berikut:
Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal)
Koefisien fungsi tujuan …………… Nilai kanan fungsi batasan
Maksimumkan Z (atau Y) ………… Minimumkan Y (atau Z)
Batasan i …………………………… Variabel yi (atau xi)
Bentuk < …………………………. yi > 0
Bentuk = …………………………… yi > dihilangkan
Variabel Xj ………………………. . Batasan j
Xj > 0 ………………………………. Bentuk <
Xj > 0 dihilangkan ………………… Bentuk =
59. CONTOH : ( Ek. Mikro)
Maksimumkan : Q = L . C
Kendala : 1200 = 30L + 40C
L dan C optimum = ?
Jawab
Slope Isoquant = Slope Budget Line
− MPL
/ MPC = − PL
/ PC
− C
/ L = − 30
/ 40
C = 3
/ 4 L
1200 = 30L + 40 (3
/ 4 L )
1200 = 60L
Jadi : L = 20 dan C = 15
Q max. = 20 x 15 = 300
Minimumkan : B = 30L + 40C
Kendala : 300 = L . C
L dan C optimum = ?
Jawab
Slope Isoquant = Slope Budget Line
d C
/ d L = − PL
/ PC
− 300
/ L
2
= − 30
/ 40
L2
= 400
Jadi : L = (400)1/2
= 20 dan
C = 15
Bmin. = 30(20) + 40 (15 )
= 1200
PRIMAL DUAL
60. CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM)
Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat
susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya
murah adalah sbb. :
Minimumkan : Z = 150X1 + 100X2 +350X3 + 250X4 + 320X5
Kendala :
Protein : 8,3 X1 + 246 X2 + 17,2 X3 + 5,2 X4 + 2,01 X5 > 70
Karbohidrat : 5 X1 + 26 X2 + 595 X3 + 3,1 X4 + 4 X5 > 3000
Lemak : 0,4 X1 + 793 X2 + 14,8 X3 + 0,6 X4 + 0,16 X5 > 800
Vitamin : 6 X1 + 93 X2 + 61,6 X3 + 6,8 X4 + 2,05 X5 > 40
Zat Besi : 24,9 X1 + 243 X2 + 810 X3 + 16,4 X4 + 0,57 X5 > 12
Dimana : X1 = Nasi X4 = Buah
X2 = Sayur X5 = Susu
X3 = Lauk pauk
Buatlah model Dual persoalan di atas, dan selesaikan !
64. Soal N0. 8
Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari
sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki
kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg
kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi
per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam
tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja
memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang
diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk
setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan
jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba
maksimum.
a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.
b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.
66. Soal N0.12
Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan
dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda
dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan
bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit.
Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing-
masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan;
satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2
menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-
masing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan
model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang
harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik
itu serendah mungkin.
a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.
b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.
72. KASUS Usaha Ternak
Min. TC = 60A + 100K
Stc. Pr : 20 A + 40 K > 30
Lm : 2 A + 0,5 K > 1
Prod. : 1 A + 1 K < 1
A, K ,> 0
SdSd AA KK kapkap SlacSlac
kk
PrPr 2020 4040 >> 3030 00
LmLm 22 0,50,5 >> 11 00
ProdProd 11 11 << 11 0,070,07
SoluSolu
sisi
0,360,36 0,570,57
78,57178,571
4343
78,57178,571
4343
78,57178,571
4343
73. KASUS Della & Pandu
Mak. L = 2C + 2T
Stc. K : 8 C + 6 T < 120
Tom : 3 C + 6 T < 90
B : 3 C + 2 T < 45
Prod : 1 C + 1 T < 24
C, T > 0
SdSd CC TT kapkap SlacSlac
kk
KK 88 66 << 120120 00
TomTom 33 66 << 9090 00
BB 33 22 << 4545 33
ProdProd 11 11 << 2424 66
SoluSolu 66 1212
78,57178,571
4343
78,57178,571
4343
78,57178,571
4343
74. KASUS Untitled
Mak. L = 3 X + 2 Y
Stc. A : 3 X + 2 Y < 120
F : 1 X + 2 Y < 80
Pro X : 1 X + 0 Y > 10
Pro Y : 0 X + 1 Y > 10
X, Y > 0
SdSd XX YY kapkap SS
AA 33 22 << 120120 00
FF 11 22 << 8080 26,626,6
77
ProPro
XX
11 -- >> 1010 13,313,3
33
ProPro
YY
-- 11 >> 1010 00
