R上の位相

1. R の部分集合族 O を
O’:= { O ⊂ R | 任意の x ∈ O に対して,ある a > x が存在して, [ x, a ) ⊂ O をみたす } により定
めるとき,以下の問いに答えよ。
(1)O‘は開集合系の公理をみたすことを示せ。
証明
公理１空集合は仮定の部分が偽になるので、O’の元。Rも[x,a=x+1)⊆RなのでR∈O’
公理2 任意のO’の元X,Yに対して任意の x ∈X∪Yに対して,ある a > x が存在して, [ x, a ) ⊂ X
か[ x, a ) ⊂ Yを満たす。よって和集合もO’の元である。
公理３ 任意のO’の元X,Yに対して任意の x ∈X∩Yに対して,ある a > x とb>xが存在して, [ x,
a ) ⊂ Xかつ[ x, b ) ⊂ Yを満たす。よって[x,min(a,b))⊆ X∩Y。よって共通部分もO’の元である。
(2) a < b をみたす実数 a,b に対して,区間 [a,b) は位相空間 (R,O) において開集合, 閉集合にな
るかどうかをそれぞれ判定せよ。
答え 開集合になる。また[a,b)=R＼[b,無限)U[-無限,a)より閉集合である。
(3) 位相空間 (R, O) からそれ自身への写像 f を f (x) := −x により定めるとき,f は R のすべて
の点で不連続であることを示せ。
答え R上の任意の点yの開集合[y,y+1)はfにより(-y-1,-y]に移される。これはまず開集合の定義
上x＝-yとおくと、 a > x なる元aが取れない。よって連続でない。