3. Adaptif
Hal.: 3 Aproksimasi
APROKSIMASI
Standart Kompetensi :
Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep Aproksimasi kesalahan
Kompetensi Dasar :
Menerapkan konsep kesalahan pengukuran
Indikator :
1. Membedakan pengertian membilang dan mengukur
2. Menghitung kesalahan (salah mutlak dan salah relatif),
prosentase kesalahan, toleransi hasil suatu pengukuran
4. Adaptif
Hal.: 4 Aproksimasi
APPROXIMATION
Competence Standard
Solving problem related to the concept of wrong approximation
Basic Competence:
Applying the wrong measurement concept.
Indicators :
1. Differentiate the definition between numbering and measuring
2. Calculate the mistake (absolute and relative mistake),
wrong percentage, result tolerance of a measurement
5. Adaptif
Hal.: 5 Aproksimasi
RUANG LINGKUP
Pengertian Aproksimasi
Pembulatan
Macam-macam Kesalahan
Toleransi
Operasi Hasil Pengukuran
Pecahan Berantai
6. Adaptif
Hal.: 6 Aproksimasi
SCOPE AND LIMITATION
The definition of Approximation
Rounding up
Kinds of mistake
Tolerance
Measurement Result Operation
Chain Fraction
7. Adaptif
Hal.: 7 Aproksimasi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
PENGERTIAN APROKSIMASI
Bagaimana perbedaan bilangan dari kalimat.
misalnya: Panjangnya uang kertas seratus ribuan adalah 15 cm.
Rombongan yang datang kemarin sebanyak 15 orang.
8. Adaptif
Hal.: 8 Aproksimasi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
THE DEFINITION OF APPROXIMATION
What is the difference of numbers from sentences?
Example: the length of a hundred thousand money is 15 cm.
The group member who came yesterday was 15 people.
9. Adaptif
Hal.: 9 Aproksimasi
Aproksimasi
Menyatakan suatu bilangan atau ukuran yang diperoleh dari
kegiatan yang berdasar hasil pendekatan atau pembulatan
Mengukur :
Memperkirakan
Hasilnya tidak pasti ( pendekatan)
Membilang :
Hasilnya eksak ( pasti )
10. Adaptif
Hal.: 10 Aproksimasi
APPROXIMATION
State a number or size which is gained from an activity based on
the approach or round up.
Measuring :
Approximate
The result is not certain (Approximation)
Numbering :
The result is exact ( certain )
11. Adaptif
Hal.: 11 Aproksimasi
PEMBULATAN
Semua hasil pengukuran menyatakan nilai “pendekatan “
Hasil-hasil pengukuran panjang, massa, waktu, luas dan
sebagainya harus diberikan menurut ketelitian yang diperlukan.
Pembulatan dilakukan dengan aturan:
Jika angka berikutnya 5 atau lebih dari 5 maka nilai angka di
depannya ditambah satu
Jika angka berikutnya kurang dari 5 maka angka tersebut dihilangkan
dan angka di depannya tetap.
Ada tiga macam cara pembulatan, yaitu :
a. pembulatan ke satuan ukuran terdekat
b. pembulatan ke banyaknya angka desimal
c. pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan
12. Adaptif
Hal.: 12 Aproksimasi
ROUNDING UP
All measurement result state “approximation” value.
The result of measuring length, mass, time, width, etc. must be
gained according to carefulness.
The rounding up is done by the rules:
If the next number is 5 or more than 5, then the previous number is
added by one.
If the next number is less than 5, then that number is deleted and the
previous number is still there.
There are three steps to round up:
a. Rounding up to the single nearest number.
b. Rounding up to the amount of decimal number.
c. Rounding up to the amount of significant number.
13. Adaptif
Hal.: 13 Aproksimasi
Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat
Dalam hal pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat, ditetapkan
lebih dahulu satuan terkecil yang dikehendaki oleh yang mengukur
Contoh :
165,5 cm = 166 cm , dibulatkan ke cm terdekat
2, 43 kg = 2 kg , dibulatkan ke kg terdekat
14,149 detik = 14,15 detik, dibulatkan ke ratusan detik terdekat
14,16 detik = 14,2 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat
14,149 detik = 14,1 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat
14. Adaptif
Hal.: 14 Aproksimasi
Rounding up to the single nearest number
In case of rounding up to a single nearest number, firstly determine
the smallest single number you want.
Example:
165,5 cm = 166 cm , Rounded up to the nearest cm
2, 43 kg = 2 kg , Rounded up to the nearest kg
14,149 seconds = 14,15 seconds, Rounded up to the nearest hundreds
seconds
14,16 seconds = 14,2 seconds, Rounded up to the nearest tenth second
14,149 seconds = 14,1 seconds, Rounded up to the nearest tenth
seconds
15. Adaptif
Hal.: 15 Aproksimasi
PEMBULATAN KE BANYAKNYA ANGKA DESIMAL
Untuk mempermudah pekerjaan, kadang-kadang perlu
diadakan pembulatan suatu bilangan desimal sampai ke sekian
banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang
dikehendaki
5,47035 = 5,4704 dibulatkan sampai empat tempat desimal
= 5,470 dibulatkan sampai tiga tempat desimal
= 5,47 dibulatkan sampai dua tempat desimal
= 5,5 dibulatkan sampai satu tempat desimal
Bagaimana hasilnya apabila 5,44735 dibulatkan sampai
satu tempat desimal
5,44735 = 5,4 dibulatkan sampai satu tempat desimal
16. Adaptif
Hal.: 16 Aproksimasi
ROUNDING UP TO THE AMOUNT OF DECIMAL NUMBERS
To make it easier, sometimes we need to round up a decimal
numbers to the decimal place we want.
5,47035 = 5,4704 rounded up to four decimal places
= 5,470 rounded up to three decimal places
= 5,47 rounded up to two decimal places
= 5,5 rounded up to one decimal place
What is the result if 5,44735 is rounded up to one decimal
place.
5,44735 = 5,4 rounded up to one decimal place
17. Adaptif
Hal.: 17 Aproksimasi
Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka
yang Signifikan
Pembulatan dengan cara menetapkan banyaknya angka yang signifikan.
Significant berarti “ bermakna “ penting
64,5 cm mempunyai 3 angka signifikan
Jika diketahui suatu bilangan, berikut adalah aturan-aturan untuk
menentukan angka-angka mana yang signifikan :
1). Angka yang tidak nol selalu signifikan, mis: 472,513 6 angka signifikan
2). Angka “0” signifikan jika letaknya di antara angka-angka yang signifikan,
mis: 807003 6 angka signifikan
3) Angka “ 0 “ signifikan jika muncul setelah tanda tempat desimal dan angka-
angka lain yang signifikan, mis: 20,080 5 angka signifikan
5) Angka “ 0 “ signifikan jika ditandai “strip “ atau “ bar
4). Angka “ 0 “ itu tidak pernah signifikan jika mendahului angka-angka yang
bukan nol meskipun muncul setelah tanda tempat desimal,
mis: 043,00 m 4 angka signifikan; 0,0720 km 3 angka signifikan
18. Adaptif
Hal.: 18 Aproksimasi
ROUNDING UP TO THE AMOUNT OF SIGNIFICANT
NUMBERS
Rounding up by determining the amount of significant numbers.
Significant means “ meaningful “ important
64,5 cm has 3 significant numbers
If there is a number, here are the rules to determine significant numbers:
1). Except zero, all numbers are significant,ex: 472,513 6 is significant number.
2). “0” number is significant if the place is among significant numbers, ex:
807003 6 is significant number
3) “ 0 “ number is significant if it appears after decimal place symbol and the
other significant numbers, ex: 20,080 5 is significant numbers
5) “ 0 “ number is significant if it is denoted by ”dash” or “ bar “
4). “ 0 “ number is never significant if it precedes the numbers which is not
zero, although it appears after decimal place symbol,
ex: 043,00 m 4 is significant number; 0,0720 km 3 is significant number.
19. Adaptif
Hal.: 19 Aproksimasi
26 Oktober 2023
MACAM-MACAM KESALAHAN
Panjangnya lebih dekat ke 15 cm dari pada 14 cm atau 16 cm
Panjang sebenarnya terletak antara 14,5 cm dan 15,5 cm.
Hal ini kesalahan yang masih diterima dari pengukuran ini adalah 0,5 cm
atau salah mutlaknya ialah 0,5 cm.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
20. Adaptif
Hal.: 20 Aproksimasi
26 Oktober 2023
KINDS OF MISTAKE
The length is closer to 15 cm than 14 cm or 16 cm
The real length is between 14,5 cm and 15,5 cm.
In this case the acceptable mistake from this measurement is 0,5 cm
Or the absolute mistake is 0,5 cm.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
21. Adaptif
Hal.: 21 Aproksimasi
MACAM-MACAM KESALAHAN
Salah Mutlak =
pengukuran
hasil
mutlak
salah
½ x satuan ukuran terkecil.
Salah relatif x 100 %
Salah Relatif =
Persentase Kesalahan =
Batas Atas = Hasil Pengukuran + Salah Mutlak
Batas Bawah = Hasil Pengukuran – Salah Mutlak
22. Adaptif
Hal.: 22 Aproksimasi
KINDS OF MISTAKE
Absolute Mistake =
result
t
Measuremen
mistake
Absolute
½ x the smallest single
measurement.
Relative mistake x 100 %
Relative Mistake=
Mistake percentage=
Upper Limit = Measurement Result + Absolute
Mistake
Lower Limit = Measurement Result – Absolute
Mistake
25. Adaptif
Hal.: 25 Aproksimasi
Contoh 1 :
Diketahui hasil pengukuran tinggi tiang bendera 3,5 meter, carilah satuan
pengukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase kesalahan dan
toleransi
Jawab :
Hasil pengukuran 3,5m
Satuan pengukuran terkecil : 0,1m
Salah mutlak : 0,5 x 0,1m = 0,05m
Salah relatif : 0,05 / 3,5 = 0,014
Prosentase kesalahan : 0,014 x 100% = 1,4%
Batas atas pengukurn : (3,5 + 0,05)m = 3,55m
Batas bawah pengukuran : (3,5 – 0,05)m = 3,45m
Toleransi pengukuran : (3,55 – 3,45)m = 0,10m
26. Adaptif
Hal.: 26 Aproksimasi
Example 1 :
Let the measurement result of the flag pole height is 3,5 meter, then find
the smallest single measurement, absolute mistake, relative mistake,
mistake percentage, and tolerance.
Answer :
Measurement result 3,5m
The smallest single measurement : 0,1m
Absolute Mistake : 0,5 x 0,1m = 0,05m
Relative Mistake : 0,05 / 3,5 = 0,014
Mistake percentage : 0,014 x 100% = 1,4%
Upper limit measurement: (3,5 + 0,05)m = 3,55m
Lower limit measurement: (3,5 – 0,05)m = 3,45m
Measurement tolerance : (3,55 – 3,45)m = 0,10m
27. Adaptif
Hal.: 27 Aproksimasi
APROKSIMASI
Kompetensi Dasar
Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran
Indikator
1. Menghitung jumlah dan selisih hasil
pengukuran
2. Menghitung hasil kali maksimum dan minimum
hasil pengukuran
28. Adaptif
Hal.: 28 Aproksimasi
APPROXIMATION
Base Competence
Applying operation concept of
measurement result
Indicators
1. Calculating the sum and the measurement
difference result
2. Calculating the maximum multiplication result
and the minimum of measurement result
29. Adaptif
Hal.: 29 Aproksimasi
Operasi Hasil Pengukuran :
Jumlah hasil Pengukuran
Jika dua pengukuran atau lebih dijumlahkan , maka salah mutlaknya
adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran-pengukuran asal
Jumlah maksimum = b. a pengukuran I + b. a pengukuran II
Jumlah minimum = b. b pengukuran I + b. b pengukuran II
Selisih hasil Pengukuran
Jika dua pengukuran atau lebih dikurangkan , maka salah mutlak selisihnya
adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran asal
Selisih maksimum = b. a pengukuran I - b. b pengukuran II
Selisih minimum = b. b pengukuran I - b. a pengukuran II
Hasil kali dua Pengukuran
Hasil kali maksimum = b. a pengukuran I x b. a pengukuran II
Hasil kali minimum = b. b pengukuran I x b. b pengukuran II
30. Adaptif
Hal.: 30 Aproksimasi
Measurement Result Operation :
The sum of measurement result
If two measurements or more are added, so the absolute mistake is the total
of the absolute mistakes from the former measurement.
Maximum = b. a measurement I + b. a measurement II
Minimum = b. b measurement I + b. b measurement II
The difference of measurement result
If two or more measurements are subtracted, then the difference of absolute
mistake is the amount of absolute mistake from the former measurement.
Maximum Difference = b. a Measurement I - b. b measurement II
minimum Difference = b. b measurement I - b. a measurement II
Multiplication result of two measurements
Maximum multiplication result = b. a measurement I x b. a measurement II
Minimum multiplication result = b. b measurement I x b. b measurement II
31. Adaptif
Hal.: 31 Aproksimasi
Contoh 2 :
Suatu hasil pengukuran dinyatakan dengan ( 15 ± 0,5 ) gram. Berikan
pengukuran maksimum dan minimum yang dapat diterima, kemudian
carilah toleransinya ?
Jawab :
Toleransi yang diperkenankan adalah ( 15 ± 0,5 ) gram, berarti:
Pengukuran maksimum yang dapat diterima:15 + 0,5 = 15,5 gram
Pengukuran minimum yang dapat diterima: 15 – 0,5 = 14,5 gram
Sehingga toleransinya adalah 1 gram
32. Adaptif
Hal.: 32 Aproksimasi
Example 2 :
A result of measurement is stated by ( 15 ± 0,5 ) gram. Give the
acceptable maximum and minimum measurement, then find the
tolerance?
Answer :
The allowed tolerance is ( 15 ± 0,5 ) gram, means:
The acceptable maximum measurement:15 + 0,5 = 15,5 gram
The acceptable minimum measurement: 15 – 0,5 = 14,5 gram
So the tolerance is 1 gram
33. Adaptif
Hal.: 33 Aproksimasi
Contoh soal
Diketahui dua hasil pengukuran yaitu : 12cm dan 19cm
Tentukan :
a. Jumlah maksimum dan minimum
Selisih maksimum dan minimum
Hasil kali maksimum dan minimum
Jumlah salah mutlak dan selisih salah mutlak dari pengukuran-
pengukuran diatas
34. Adaptif
Hal.: 34 Aproksimasi
Example
Let two measurements result : 12cm and 19cm
Determine :
a. The total of maximum and minimum
The difference between maximum and minimum
The multiplication result of maximum and minimum
The total of absolute mistake and the difference of the previous
measurements
35. Adaptif
Hal.: 35 Aproksimasi
Jawab :
Hasil pengukuran I = 12cm
Hasil pengukuran II = 19cm
Salah mutlak pengukuran I = 0,5cm
Salah mutlak pengukuran II = 0,5cm
Batas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm
Batas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm
Batas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm
Batas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm
Jumlah Maksimum : (12,5 + 19,5)cm = 32cm
Jumlah Minimum : (11,5 + 18,5)cm = 30cm
a.
Selisih Maksimum : (19,5 - 11,5)cm = 8cm
Selisih Minimum : (18,5 + 12,5)cm = 6cm
b.
36. Adaptif
Hal.: 36 Aproksimasi
Answer :
The measurement result I = 12cm
The measurement result II = 19cm
Absolute mistake of measurement I = 0,5cm
Absolute mistake of measurement II = 0,5cm
Upper limit measurement I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm
Lower limit measurement I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm
Upper limit measurement II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm
Lower limit measurement II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm
Maximum : (12,5 + 19,5)cm = 32cm
Minimum : (11,5 + 18,5)cm = 30cm
a.
The Maximum difference : (19,5 - 11,5)cm = 8cm
The minimum difference : (18,5 + 12,5)cm = 6cm
b.
37. Adaptif
Hal.: 37 Aproksimasi
Hasil pengukuran I = 12cm
Hasil pengukuran II = 19cm
Salah mutlak pengukuran I = 0,5cm
Salah mutlak pengukuran II = 0,5cm
Batas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm
Batas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm
Batas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm
Batas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm
Hasil kali Maksimum : (12,5 x 19,5)cm = 243,75cm2
Hasil kali Minimum : (11,5 x 18,5)cm = 212,75cm2
c.
Jumlah salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm
Selisih salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm
d.
Jawab :
38. Adaptif
Hal.: 38 Aproksimasi
The measurement result I = 12cm
The measurement result II = 19cm
The measurement absolute mistake I = 0,5cm
The measurement absolute mistake II = 0,5cm
Upper limit measurement I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm
lower limit measurement I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm
Upper limit measurement II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm
lower limit measurement II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm
Maximum multiplication result : (12,5 x 19,5)cm = 243,75cm2
Minimum multiplication result : (11,5 x 18,5)cm = 212,75cm2
c.
Number of absolute mistake : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm
Difference of absolute mistake : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm
d.
Answer :
39. Adaptif
Hal.: 39 Aproksimasi
APROKSIMASI PECAHAN
Pecahan dapat didekati nilainya dengan pecahan lain
dengan teknik pecahan berantai
...
1
1
3
2
1
a
a
a
x
Misal : dapat ditulis dengan pecahan
berantai sbb:
q
p
x
Untuk pendekatan ke-n
n
n
n
q
p
x
dengan pn=anpn-1+pn-2 dan qn=anqn-1+qn-2
40. Adaptif
Hal.: 40 Aproksimasi
The Fraction Approximation
The fraction can be approached with the other fraction by
the chain fraction way
...
1
1
3
2
1
a
a
a
x
Ex : can be written by the chain fraction:
q
p
x
To close to-n
n
n
n
q
p
x
by pn=anpn-1+pn-2 and qn=anqn-1+qn-2
41. Adaptif
Hal.: 41 Aproksimasi
Untuk Menentukan Pendekatan
Dapat Dengan Tabel
Hasil bagi pecahan berantai
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1
1 0
a1
a2.a1
+1 pn
qn
42. Adaptif
Hal.: 42 Aproksimasi
TO DETERMINE THE APPROACH BY
THE TABLE
The division result of chain
fraction
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1
1 0
a1
a2.a1
+1 pn
qn
51. Adaptif
Hal.: 51 Aproksimasi
DENGAN TABEL
Hasil bagi pecahan berantai
2 1 2 3 2 3
1 0
0 1
1 1 3 10 23
2 3 8 27 62
x
0
+
1
x
2
+
2
79
213
Jadi Pecahan yang mendekati adalah :
3
1
8
3
27
10
62
23
2
1
213
79
52. Adaptif
Hal.: 52 Aproksimasi
By table
Division result of chain fraction
2 1 2 3 2 3
1 0
0 1
1 1 3 10 23
2 3 8 27 62
x
0
+
1
x
2
+
2
79
213
So the approachable fraction is :
3
1
8
3
27
10
62
23
2
1
213
79
53. Adaptif
Hal.: 53 Aproksimasi
Contoh:
Pada mesin bubut yang mempunyai kisar transportir 5 mm
akan dibuat ulir dengan kisar 2,06 mm. Persediaan roda gigi
pengganti mempunyai gigi 20-120 dan merupakan kelipatan
dari 5. Tentukan perbandingan roda gigi penggantinya
sehingga menghasilkan ulir yang paling mendekati ukuran
sebenarnya dan berapa persentase kesalahannya!
54. Adaptif
Hal.: 54 Aproksimasi
Example:
In the lath that has rotation transporter 5 mm will made screw-
thread with the rotation 2,06 mm. The substitution of gearwheel
supplies has gear 20-120 and is multiplied from 5. Determine
the comparison of substitution gearwheel so it produces the
screw-thread that very close to the true measurement and how
much is the mistake percentage!
55. Adaptif
Hal.: 55 Aproksimasi
Penyelesaian :
Jika roda gigi yang menggerakkan adalah DR dan roda gigi
yang digerakkan DN, maka:
250
103
5
06
,
2
mm
mm
DN
DR
Untuk mencari harga yang mendekati harga asal kita gunakan
pecahan berantai sebagai berikut:
103 / 250 2
206
44 / 103 2
88
15 / 44 2
30
14 / 15 1
14
1 / 14 14
14
0
56. Adaptif
Hal.: 56 Aproksimasi
Solution:
If the gearwheel that moves is DR and the gearwheel that is
moved is DN, then:
250
103
5
06
,
2
mm
mm
DN
DR
To find the approachable price from the previous price, we can
use the chain fraction, as follow:
103 / 250 2
206
44 / 103 2
88
15 / 44 2
30
14 / 15 1
14
1 / 14 14
14
0
57. Adaptif
Hal.: 57 Aproksimasi
UNTUK MENENTUKAN PENDEKATAN
DAPAT DENGAN TABEL
Hasil bagi pecahan berantai
2 2 2 1 14
1 0
0 1
1 2 5 7 103
2 5 12 17 250
x
0
+
1
x
1
+
0
Jadi Pecahan yang mendekati adalah: 5
2
12
5
17
7
250
103
2
1
58. Adaptif
Hal.: 58 Aproksimasi
DETERMINING THE APPROACH BY
TABLE
Division result of chain fraction
2 2 2 1 14
1 0
0 1
1 2 5 7 103
2 5 12 17 250
x
0
+
1
x
1
+
0
So the approachable fraction is: 5
2
12
5
17
7
250
103
2
1
