Dokumen tersebut membahas konsep kesalahan pengukuran dan aproksimasi. Terdapat penjelasan mengenai pengertian aproksimasi, jenis-jenis kesalahan dan cara menghitung salah mutlak, salah relatif, toleransi, serta operasi hasil pengukuran seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Juga dijelaskan teknik pecahan berantai untuk mendekati nilai pecahan menggunakan tabel.

1. Menerapkan Konsep Kesalahan
Pengukuran

2. Adaptif
APROKSIMASI
Standart Kompetensi :
Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep Aproksimasi kesalahan
Kompetensi Dasar :
Menerapkan konsep kesalahan pengukuran
Indikator :
1. Membedakan pengertian membilang dan mengukur
2. Menghitung kesalahan (salah mutlak dan salah relatif),
prosentase kesalahan, toleransi hasil suatu pengukuran
AproksimasiHal.: 2

3. Adaptif
Ruang Lingkup
Pengertian Aproksimasi
Pembulatan
Macam-macam Kesalahan
Toleransi
Operasi Hasil Pengukuran
Pecahan Berantai
AproksimasiHal.: 3

4. Adaptif
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17
012345678910111213141516
17
Pengertian Aproksimasi
Bagaimana perbedaan bilangan dari kalimat.
misalnya: Panjangnya uang kertas seratus ribuan adalah 15 cm.
Rombongan yang datang kemarin sebanyak 15 orang.
AproksimasiHal.: 4

5. Adaptif
Aproksimasi
Menyatakan suatu bilangan atau ukuran yang diperoleh dari
kegiatan yang berdasar hasil pendekatan atau pembulatan
Mengukur :
Memperkirakan
Hasilnya tidak pasti ( pendekatan)
Membilang :
Hasilnya eksak ( pasti )
AproksimasiHal.: 5

6. Adaptif
Pembulatan
Semua hasil pengukuran menyatakan nilai “pendekatan “
Hasil-hasil pengukuran panjang, massa, waktu, luas dan
sebagainya harus diberikan menurut ketelitian yang diperlukan.
Pembulatan dilakukan dengan aturan:
Jika angka berikutnya 5 atau lebih dari 5 maka nilai angka di
depannya ditambah satu
Jika angka berikutnya kurang dari 5 maka angka tersebut dihilangkan
dan angka di depannya tetap.
Ada tiga macam cara pembulatan, yaitu :
a. pembulatan ke satuan ukuran terdekat
b. pembulatan ke banyaknya angka desimal
c. pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan
AproksimasiHal.: 6

7. Adaptif
Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat
Dalam hal pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat, ditetapkan
lebih dahulu satuan terkecil yang dikehendaki oleh yang mengukur
Contoh :
165,5 cm = 166 cm , dibulatkan ke cm terdekat
2, 43 kg = 2 kg , dibulatkan ke kg terdekat
14,149 detik = 14,15 detik, dibulatkan ke ratusan detik terdekat
14,16 detik = 14,2 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat
14,149 detik = 14,1 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat
AproksimasiHal.: 7

8. Adaptif
Pembulatan ke Banyaknya Angka
Desimal
Untuk mempermudah pekerjaan, kadang-kadang perlu
diadakan pembulatan suatu bilangan desimal sampai ke sekian
banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang
dikehendaki
5,47035 = 5,4704 dibulatkan sampai empat tempat desimal
= 5,470 dibulatkan sampai tiga tempat desimal
= 5,47 dibulatkan sampai dua tempat desimal
= 5,5 dibulatkan sampai satu tempat desimal
Bagaimana hasilnya apabila 5,44735 dibulatkan sampai
satu tempat desimal
5,44735 = 5,4 dibulatkan sampai satu tempat desimal
AproksimasiHal.: 8

9. Adaptif
Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka
yang Signifikan
Pembulatan dengan cara menetapkan banyaknya angka yang signifikan.
Significant berarti “ bermakna “ → penting
64,5 cm mempunyai 3 angka signifikan
Jika diketahui suatu bilangan, berikut adalah aturan-aturan untuk
menentukan angka-angka mana yang signifikan :
1). Angka yang tidak nol selalu signifikan, mis: 472,513 → 6 angka signifikan
2). Angka “0” signifikan jika letaknya di antara angka-angka yang signifikan,
mis: 807003 → 6 angka signifikan
3) Angka “ 0 “ signifikan jika muncul setelah tanda tempat desimal dan angka-
angka lain yang signifikan, mis: 20,080 → 5 angka signifikan
5) Angka “ 0 “ signifikan jika ditandai “strip “ atau “ bar
4). Angka “ 0 “ itu tidak pernah signifikan jika mendahului angka-angka yang
bukan nol meskipun muncul setelah tanda tempat desimal,
mis: 043,00 m → 4 angka signifikan; 0,0720 km→ 3 angka signifikan
AproksimasiHal.: 9

10. Adaptif
Macam-macam Kesalahan
Panjangnya lebih dekat ke 15 cm dari pada 14 cm atau 16 cm
Panjang sebenarnya terletak antara 14,5 cm dan 15,5 cm.
Hal ini kesalahan yang masih diterima dari pengukuran ini adalah 0,5 cm
atau salah mutlaknya ialah 0,5 cm.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
AproksimasiHal.:10

11. Adaptif
Macam-macam Kesalahan
 Salah Mutlak =
pengukuranhasil
mutlaksalah
½ x satuan ukuran
terkecil.
Salah relatif x 100
%
 Salah Relatif =
 Persentase Kesalahan =
 Batas Atas = Hasil Pengukuran + Salah Mutlak
 Batas Bawah = Hasil Pengukuran – Salah
Mutlak
AproksimasiHal.:11

12. Adaptif
Toleransi
Toleransi dalam pengukuran ialah selisih antara pengukuran
terbesar yang dapat diterima dan pengukuran yang terkecil
yang dapat diterima.
AproksimasiHal.:12

13. Adaptif
Contoh 1 :
Diketahui hasil pengukuran tinggi tiang bendera 3,5 meter, carilah satuan
pengukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase kesalahan
dan toleransi
Jawab :
Hasil pengukuran 3,5m
Satuan pengukuran terkecil : 0,1m
Salah mutlak : 0,5 x 0,1m = 0,05m
Salah relatif : 0,05 / 3,5 = 0,014
Prosentase kesalahan : 0,014 x 100% = 1,4%
Batas atas pengukurn : (3,5 + 0,05)m = 3,55m
Batas bawah pengukuran : (3,5 – 0,05)m = 3,45m
Toleransi pengukuran : (3,55 – 3,45)m = 0,10m
AproksimasiHal.:13

14. Adaptif
Operasi Hasil Pengukuran :
Jumlah hasil Pengukuran
Jika dua pengukuran atau lebih dijumlahkan , maka salah mutlaknya
adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran-pengukuran asal
Jumlah maksimum = b. a pengukuran I + b. a pengukuran II
Jumlah minimum = b. b pengukuran I + b. b pengukuran II
Selisih hasil Pengukuran
Jika dua pengukuran atau lebih dikurangkan , maka salah mutlak selisihnya
adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran asal
Selisih maksimum = b. a pengukuran I - b. b pengukuran II
Selisih minimum = b. b pengukuran I - b. a pengukuran II
Hasil kali dua Pengukuran
Hasil kali maksimum = b. a pengukuran I x b. a pengukuran II
Hasil kali minimum = b. b pengukuran I x b. b pengukuran II
AproksimasiHal.:14

15. Adaptif
Contoh 2 :
Suatu hasil pengukuran dinyatakan dengan ( 15 ± 0,5 ) gram. Berikan
pengukuran maksimum dan minimum yang dapat diterima, kemudian
carilah toleransinya ?
Jawab :
Toleransi yang diperkenankan adalah ( 15 ± 0,5 ) gram, berarti:
Pengukuran maksimum yang dapat diterima:15 + 0,5 = 15,5 gram
Pengukuran minimum yang dapat diterima: 15 – 0,5 = 14,5 gram
Sehingga toleransinya adalah 1 gram
AproksimasiHal.:15

16. Adaptif
Contoh soal
Diketahui dua hasil pengukuran yaitu : 12cm dan 19cm
Tentukan :
a. Jumlah maksimum dan minimum
Selisih maksimum dan minimum
Hasil kali maksimum dan minimum
Jumlah salah mutlak dan selisih salah mutlak dari pengukuran-
pengukuran diatas
AproksimasiHal.:16

17. Adaptif
Jawab :
Hasil pengukuran I = 12cm
Hasil pengukuran II = 19cm
Salah mutlak pengukuran I = 0,5cm
Salah mutlak pengukuran II = 0,5cm
Batas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm
Batas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm
Batas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm
Batas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm
Jumlah Maksimum : (12,5 + 19,5)cm = 32cm
Jumlah Minimum : (11,5 + 18,5)cm = 30cm
a.
Selisih Maksimum : (19,5 - 11,5)cm = 8cm
Selisih Minimum : (18,5 + 12,5)cm = 6cm
b.
AproksimasiHal.:17

18. Adaptif
Hasil pengukuran I = 12cm
Hasil pengukuran II = 19cm
Salah mutlak pengukuran I = 0,5cm
Salah mutlak pengukuran II = 0,5cm
Batas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm
Batas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm
Batas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm
Batas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm
Hasil kali Maksimum : (12,5 x 19,5)cm = 243,75cm2
Hasil kali Minimum : (11,5 x 18,5)cm = 212,75cm2
c.
Jumlah salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm
Selisih salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm
d.
Jawab :
AproksimasiHal.:18

19. Adaptif
APROKSIMASI
Kompetensi Dasar
Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran
Indikator
1. Menghitung jumlah dan selisih hasil
pengukuran
2. Menghitung hasil kali maksimum dan minimum
hasil pengukuran
AproksimasiHal.:19

20. Adaptif
Aproksimasi Pecahan
Pecahan dapat didekati nilainya dengan pecahan lain
dengan teknik pecahan berantai
...
1
1
3
2
1
+
+
+=
a
a
ax
Misal : dapat ditulis dengan pecahan
berantai sbb:
q
p
x =
Untuk pendekatan ke-n
n
n
n
q
p
x =
dengan pn=anpn-1+pn-2 dan qn=anqn-1+qn-2
AproksimasiHal.:20

21. Adaptif
Untuk Menentukan Pendekatan
Dapat Dengan Tabel
Hasil bagi pecahan berantai
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1
1 0
a1
a2.a1
+1
pn
qn
AproksimasiHal.:21

22. Adaptif
Contoh: 1
Tentukan pecahan yang mendekati:
99
224
AproksimasiHal.:22

23. Adaptif
Kita Buat Pembagian Bersusun
99 / 224 2 = a1
198
26 / 99 3 = a2
78
21 / 26 1 = a3
21
5 / 21 4 = a4
20
1 / 5 5 = a5
5
0
=
99
224
5
1
4
1
1
1
3
1
2
+
+
+
+
Dapat ditulis:
Jadi Pecahan yang mendekati adalah: 3
7
2
4
9
19
43
99
224
AproksimasiHal.:23

24. Adaptif
Untuk Menentukan Pendekatan
Dapat Dengan Tabel
Hasil bagi pecahan berantai
2 3 1 4 5
0 1
1 0
2 7 9 43 224
1 3 4 19 99
x
2
+
2
x
0
+
1
Jadi Pecahan yang mendekati adalah: 3
7
2
4
9
19
43
99
224
AproksimasiHal.:24

25. Adaptif
Contoh: 2
Tentukan pecahan yang mendekati:
213
79
79 / 213 2
158
55 / 79 1
55
24 / 55 2
48
7 / 24 3
21
3 / 7 2
6
1 / 3 3
3
0
AproksimasiHal.:25

26. Adaptif
Dengan Tabel
Hasil bagi pecahan berantai
2 1 2 3 2 3
1 0
0 1
1 1 3 10 23
2 3 8 27 62
x
0
+
1
x
2
+
2
79
213
Jadi Pecahan yang mendekati adalah :
3
1
8
3
27
10
62
23
2
1
213
79
AproksimasiHal.:26

27. Adaptif
Contoh:
Pada mesin bubut yang mempunyai kisar transportir 5 mm
akan dibuat ulir dengan kisar 2,06 mm. Persediaan roda gigi
pengganti mempunyai gigi 20-120 dan merupakan kelipatan
dari 5. Tentukan perbandingan roda gigi penggantinya
sehingga menghasilkan ulir yang paling mendekati ukuran
sebenarnya dan berapa persentase kesalahannya!
AproksimasiHal.:27

28. Adaptif
Penyelesaian :
Jika roda gigi yang menggerakkan adalah DR dan roda gigi
yang digerakkan DN, maka:
250
103
5
06,2
==
mm
mm
DN
DR
Untuk mencari harga yang mendekati harga asal kita gunakan
pecahan berantai sebagai berikut:
103 / 250 2
206
44 / 103 2
88
15 / 44 2
30
14 / 15 1
14
1 / 14 14
14
0
AproksimasiHal.:28

29. Adaptif
Untuk Menentukan Pendekatan
Dapat Dengan Tabel
Hasil bagi pecahan berantai
2 2 2 1 14
1 0
0 1
1 2 5 7 103
2 5 12 17 250
x
0
+
1
x
1
+
0
Jadi Pecahan yang mendekati adalah: 5
2
12
5
17
7
250
103
2
1
AproksimasiHal.:29

30. AdaptifAproksimasiHal.:30