2. APROKSIMASI
Standart Kompetensi :
Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep Aproksimasi kesalahan
Kompetensi Dasar :
Menerapkan konsep kesalahan pengukuran
Indikator :
1. Membedakan pengertian membilang dan mengukur
2. Menghitung kesalahan (salah mutlak dan salah relatif),
prosentase kesalahan, toleransi hasil suatu pengukuran
Hal.: 2 Aproksimasi Adaptif
4. Pengertian Aproksimasi
Bagaimana perbedaan bilangan dari kalimat.
misalnya: Panjangnya uang kertas seratus ribuan adalah 15 cm.
Rombongan yang datang kemarin sebanyak 15 orang. 17
11 12 13 14 15 16 10 9 8 7 6 5 4 3 2 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17
Hal.: 4 Aproksimasi Adaptif
5. Aproksimasi
Menyatakan suatu bilangan atau ukuran yang diperoleh dari
kegiatan yang berdasar hasil pendekatan atau pembulatan
Mengukur :
Memperkirakan
Hasilnya tidak pasti ( pendekatan)
Membilang :
Hasilnya eksak ( pasti )
Hal.: 5 Aproksimasi Adaptif
6. Pembulatan
Semua hasil pengukuran menyatakan nilai “pendekatan “
Hasil-hasil pengukuran panjang, massa, waktu, luas dan
sebagainya harus diberikan menurut ketelitian yang diperlukan.
Pembulatan dilakukan dengan aturan :
Jika angka berikutnya 5 atau lebih dari 5 maka nilai angka di
depannya ditambah satu
Jika angka berikutnya kurang dari 5 maka angka tersebut dihilangkan
dan angka di depannya tetap.
Ada tiga macam cara pembulatan, yaitu :
a. pembulatan ke satuan ukuran terdekat
b. pembulatan ke banyaknya angka desimal
c. pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan
Hal.: 6 Aproksimasi Adaptif
7. Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat
Dalam hal pembulatan ke ukuran satuan yang terdekat, ditetapkan
lebih dahulu satuan terkecil yang dikehendaki oleh yang mengukur
Contoh :
165,5 cm = 166 cm , dibulatkan ke cm terdekat
2, 43 kg = 2 kg , dibulatkan ke kg terdekat
14,16 detik = 14,2 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat
14,149 detik = 14,15 detik, dibulatkan ke ratusan detik terdekat
14,149 detik = 14,1 detik, dibulatkan ke persepuluh detik terdekat
Hal.: 7 Aproksimasi Adaptif
8. Pembulatan ke Banyaknya Angka
Desimal
Untuk mempermudah pekerjaan, kadang-kadang perlu
diadakan pembulatan suatu bilangan desimal sampai ke sekian
banyak tempat desimal sesuai dengan maksud yang
dikehendaki
5,47035 = 5,4704 dibulatkan sampai empat tempat desimal
= 5,470 dibulatkan sampai tiga tempat desimal
= 5,47 dibulatkan sampai dua tempat desimal
= 5,5 dibulatkan sampai satu tempat desimal
Bagaimana hasilnya apabila 5,44735 dibulatkan sampai
satu tempat desimal
5,44735 = 5,4 dibulatkan sampai satu tempat desimal
Hal.: 8 Aproksimasi Adaptif
9. Pembulatan ke Banyaknya Angka-angka
yang Signifikan
Pembulatan dengan cara menetapkan banyaknya angka yang signifikan.
Significant berarti “ bermakna “ → penting
64,5 cm mempunyai 3 angka signifikan
Jika diketahui suatu bilangan, berikut adalah aturan-aturan untuk
menentukan angka-angka mana yang signifikan :
1). Angka yang tidak nol selalu signifikan, mis: 472,513 → 6 angka signifikan
2). Angka “0” signifikan jika letaknya di antara angka-angka yang signifikan,
mis: 807003 → 6 angka signifikan
3) Angka “ 0 “ signifikan jika muncul setelah tanda tempat desimal dan angka-
angka lain yang signifikan, mis: 20,080 → 5 angka signifikan
4). Angka “ 0 “ itu tidak pernah signifikan jika mendahului angka-angka yang
bukan nol meskipun muncul setelah tanda tempat desimal,
mis: 043,00 m → 4 angka signifikan; 0,0720 km→ 3 angka signifikan
5) Angka “ 0 “ signifikan jika ditandai “strip “ atau “ bar
Hal.: 9 Aproksimasi Adaptif
10. Macam-macam Kesalahan
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Panjangnya lebih dekat ke 15 cm dari pada 14 cm atau 16 cm
Panjang sebenarnya terletak antara 14,5 cm dan 15,5 cm.
Hal ini kesalahan yang masih diterima dari pengukuran ini adalah 0,5 cm
atau salah mutlaknya ialah 0,5 cm.
Hal.:10 Aproksimasi Adaptif
11. Macam-macam Kesalahan
Salah Mutlak = ½ x satuan ukuran
terkecil.
Batas Atas = Hasil Pengukuran + Salah Mutlak
Batas Bawah = Hasil Pengukuran – Salah
Mutlak
Salah Relatif = salah mutlak
hasil pengukuran
Persentase Kesalahan =
Salah relatif x 100
%
Hal.:11 Aproksimasi Adaptif
12. Toleransi
Toleransi dalam pengukuran ialah selisih antara pengukuran
terbesar yang dapat diterima dan pengukuran yang terkecil
yang dapat diterima.
Hal.:12 Aproksimasi Adaptif
13. Contoh 1 :
Diketahui hasil pengukuran tinggi tiang bendera 3,5 meter, carilah satuan
pengukuran terkecil, salah mutlak, salah relatif, prosentase kesalahan
dan toleransi
Jawab :
Hasil pengukuran 3,5m
Satuan pengukuran terkecil : 0,1m
Salah mutlak : 0,5 x 0,1m = 0,05m
Salah relatif : 0,05 / 3,5 = 0,014
Prosentase kesalahan : 0,014 x 100% = 1,4%
Batas atas pengukurn : (3,5 + 0,05)m = 3,55m
Batas bawah pengukuran : (3,5 – 0,05)m = 3,45m
Toleransi pengukuran : (3,55 – 3,45)m = 0,10m
Hal.:13 Aproksimasi Adaptif
14. Operasi Hasil Pengukuran :
Jumlah hasil Pengukuran
Jika dua pengukuran atau lebih dijumlahkan , maka salah mutlaknya
adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran-pengukuran asal
Jumlah maksimum = b. a pengukuran I + b. a pengukuran II
Jumlah minimum = b. b pengukuran I + b. b pengukuran II
Selisih hasil Pengukuran
Jika dua pengukuran atau lebih dikurangkan , maka salah mutlak selisihnya
adalah jumlah salah mutlak dari pengukuran asal
Selisih maksimum = b. a pengukuran I - b. b pengukuran II
Selisih minimum = b. b pengukuran I - b. a pengukuran II
Hasil kali dua Pengukuran
Hasil kali maksimum = b. a pengukuran I x b. a pengukuran II
Hasil kali minimum = b. b pengukuran I x b. b pengukuran II
Hal.:14 Aproksimasi Adaptif
15. Contoh 2 :
Suatu hasil pengukuran dinyatakan dengan ( 15 ± 0,5 ) gram. Berikan
pengukuran maksimum dan minimum yang dapat diterima, kemudian
carilah toleransinya ?
Jawab :
Toleransi yang diperkenankan adalah ( 15 ± 0,5 ) gram, berarti:
Pengukuran maksimum yang dapat diterima:15 + 0,5 = 15,5 gram
Pengukuran minimum yang dapat diterima: 15 – 0,5 = 14,5 gram
Sehingga toleransinya adalah 1 gram
Hal.:15 Aproksimasi Adaptif
16. Contoh soal
Diketahui dua hasil pengukuran yaitu : 12cm dan 19cm
Tentukan :
a. Jumlah maksimum dan minimum
Selisih maksimum dan minimum
Hasil kali maksimum dan minimum
Jumlah salah mutlak dan selisih salah mutlak dari pengukuran-
pengukuran diatas
Hal.:16 Aproksimasi Adaptif
17. Jawab :
Hasil pengukuran I = 12cm
Hasil pengukuran II = 19cm
Salah mutlak pengukuran I = 0,5cm
Salah mutlak pengukuran II = 0,5cm
Batas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm
Batas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm
Batas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm
Batas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm
a. Jumlah Maksimum : (12,5 + 19,5)cm = 32cm
Jumlah Minimum : (11,5 + 18,5)cm = 30cm
b. Selisih Maksimum : (19,5 - 11,5)cm = 8cm
Selisih Minimum : (18,5 + 12,5)cm = 6cm
Hal.:17 Aproksimasi Adaptif
18. Jawab :
Hasil pengukuran I = 12cm
Hasil pengukuran II = 19cm
Salah mutlak pengukuran I = 0,5cm
Salah mutlak pengukuran II = 0,5cm
Batas atas pengukuran I : (12 + 0,5)cm = 12,5cm
Batas bawah pengukuran I : (12 – 0,5)cm = 11,5cm
Batas atas pengukuran II : (19 + 0,5)cm = 19,5cm
Batas bawah pengukuran II : (19 – 0,5)cm = 18,5cm
c. Hasil kali Maksimum : (12,5 x 19,5)cm = 243,75cm2
Hasil kali Minimum : (11,5 x 18,5)cm = 212,75cm2
d. Jumlah salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm
Selisih salah mutlak : 0,5cm + 0,5cm = 1 cm
Hal.:18 Aproksimasi Adaptif
19. APROKSIMASI
Kompetensi Dasar
Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran
Indikator
1. Menghitung jumlah dan selisih hasil
pengukuran
2. Menghitung hasil kali maksimum dan minimum
hasil pengukuran
Hal.:19 Aproksimasi Adaptif
20. Aproksimasi Pecahan
Pecahan dapat didekati nilainya dengan pecahan lain
dengan teknik pecahan berantai
p
Misal : x =
q dapat ditulis dengan pecahan
1
berantai sbb: x = a1 +
1
a2 +
a3 + ...
pn
Untuk pendekatan ke-n xn =
qn
dengan pn=anpn-1+pn-2 dan qn=anqn-1+qn-2
Hal.:20 Aproksimasi Adaptif
21. Untuk Menentukan Pendekatan
Dapat Dengan Tabel
Hasil bagi pecahan berantai
a1 a2 a3 …... an-1 an
a2.a1
0 1 a1 +1
pn
1 0 qn
Hal.:21 Aproksimasi Adaptif
26. Dengan Tabel
Hasil bagi pecahan berantai
2 1 2 3 2 3
1 0 x
1 0
+ 1 1 3 10 23 79
x
2 2
0 + 1 2 3 8 27 62 213
Jadi Pecahan yang mendekati adalah : 1 1 3 10 23 79
2 3 8 27 62 213
Hal.:26 Aproksimasi Adaptif
27. Contoh:
Pada mesin bubut yang mempunyai kisar transportir 5 mm
akan dibuat ulir dengan kisar 2,06 mm. Persediaan roda gigi
pengganti mempunyai gigi 20-120 dan merupakan kelipatan
dari 5. Tentukan perbandingan roda gigi penggantinya
sehingga menghasilkan ulir yang paling mendekati ukuran
sebenarnya dan berapa persentase kesalahannya!
Hal.:27 Aproksimasi Adaptif
28. Penyelesaian :
Jika roda gigi yang menggerakkan adalah DR dan roda gigi
yang digerakkan DN, maka: DR 2,06mm 103
= =
DN 5mm 250
Untuk mencari harga yang mendekati harga asal kita gunakan
pecahan berantai sebagai berikut:
103 / 250 2
206
44 / 103 2
88
15 / 44 2
30
14 / 15 1
14
1 / 14 14
14
0
Hal.:28 Aproksimasi Adaptif
29. Untuk Menentukan Pendekatan
Dapat Dengan Tabel
Hasil bagi pecahan berantai
2 2 2 1 14
x
1 0
1 + 0 1 2 5 7 103
x
0 1
0 1 2 5 12 17 250
+
1 2 5 7 103
Jadi Pecahan yang mendekati adalah: 2 5 12 17 250
Hal.:29 Aproksimasi Adaptif
