Hàm số - 6. GTNN GTLN của hàm số

1. 6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ
6.1 LÝ THUYẾT
6.1.1 Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) nếu
f(x) ≤ M, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D, f(x0) = M
Kí hiệu: M = max
D
f(x)
• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) nếu
f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D, f(x0) = m
Kí hiệu: m = min
D
f(x)
6.1.2 Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số
a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
• Bước 1: Tính f (x) và tìm các điểm x1, x2, ..., xn ∈ D mà tại đó f (x) = 0 hoặc hàm
số không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
• Bước 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Tìm các điểm x1, x2, ..., xn trong khoảng (a; b), tại đó f (x) = 0 hoặc f (x) không
xác định.
• Bước 2: Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b)
• Bước 3: Khi đó



min
[a;b]
f(x) = min f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b)
max
[a;b]
f(x) = max f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b)
Chú ý:
• Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì



min
[a;b]
f(x) = f(a)
max
[a;b]
f(x) = f(b)
• Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì



min
[a;b]
f(x) = f(b)
max
[a;b]
f(x) = f(a)
c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
• Bước 1: Tính f (x).
• Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f (x) = 0 và tìm tất cả
các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f (x) không xác định.
• Bước 3: Tính A = lim
x→a+
f(x), B = lim
x→b−
f(x), f(xi), f(αi).
55
lovestem
.edu.vn

2. • Bước 4: So sánh các giá trị vừa tính và kết luận M = max
(a;b)
f(x), m = min
(a;b)
f(x)
Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận hàm số không có giá
trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên khoảng (a; b)
6.1.3 Ví dụ minh họa
Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3
− 3x + 2016 trên đoạn [0; 2] là:
A. max
[0;2]
y = 2018. B. max
[0;2]
y = 2017. C. max
[0;2]
y = 2019. D. max
[0;2]
y = 2020.
Lời giải. Chọn đáp án A
Ta có y = 3x2
− 3
⇒ y = 0 ⇔ 3x2
− 3 = 0 ⇔
x = 1
x = −1(Loại)
Ta có f(0) = 2016, f(1) = 2014, f(2) = 2018 Vậy max
[0;2]
y = 2018
Câu 2. Hàm số y = tan x + x đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 0;
π
4
tại điểm có hoành độ
bằng:
A. 0. B.
π
4
. C.
π
12
. D.
π
6
.
Lời giải. Chọn đáp án B
TXĐ: D = R
π
2
+ kπ .
Ta có y =
1
cos2 x
+ 1 > 0; ∀x ∈ D.
⇒ Hàm số đồng biến trên D
⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn 0;
π
4
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm có hoành độ là x =
π
4
Câu 3. Tìm m để phương trình 9x4
− 2x2
+ 5 = m vô nghiệm trên đoạn [0; 2].
A. m > 141. B. m <
44
9
.
C. m > 141 và m <
44
9
. D.
44
9
≤ m ≤ 141.
Lời giải. Chọn đáp án C
• Xét f(x) = 9x4
− 2x2
+ 5 ⇒ f (x) = 36x3
− 4x
f (x) = 0 ⇔





x = −
1
3
/∈ [0; 2]
x = 0 ∈ [0; 2]
x =
1
3
∈ [0; 2]
• Xét
x
f (x)
f(x)
0
1
3
2
− 0 +
55
44
9
44
9
141141
56
lovestem
.edu.vn

3. • Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f(x) = m vô nghiệm trên đoạn [0; 2] khi m > 141
hoặc m <
44
9
.
Câu 4. Một chiếc ô-tô chạy với vận tốc biến thiên theo thời gian được cho bởi hàm số: v(t) =
t3
−
9
2
t2
+ 6t ( m/s), với t(giây) là thời gian tính từ khi xe xuất phát. Tính từ giây đầu tiên,
xe chạy với vận tốc nhỏ nhất là:
A. 1 m/s. B. 2 m/s. C. 3 m/s. D. 4 m/s.
Lời giải. Chọn đáp án B
• Ta có: v(t) = t3
−
9
2
t2
+ 6t ⇒ v (t) = 3t2
− 9t + 6.
• Xét
t
v (t)
v(t)
1 2 ∞
− 0 +
22
Vậy tính từ giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất xe đạt được là vmin = 2 m/s.
6.2 BÀI TẬP
6.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y = −x2
+ 2x − 5 là:
A. -3. B. -4. C. -5. D. -6.
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3
+ 4x2
− 3x − 3 trên đoạn [−4; 0] là:
A. min
[−4;0]
y = −
95
27
. B. min
[−4;0]
y = −3. C. min
[−4;0]
y = 15. D. min
[−4;0]
y = −4.
Câu 3. Hàm số y = x3
− 3x + 5 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] lần lượt
là y1; y2. Khi đó y2
1 + y2
2 bằng:
A. 74. B. 58. C. 34. D. 40.
Câu 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3
− 3x2
− 12x + 10 trên đoạn
[−3; 3] là:
A. max
[−3;3]
y = 1 và min
[−3;3]
y = −35. B. max
[−3;3]
y = 1 và min
[−3;3]
y = −10.
C. max
[−3;3]
y = 17 và min
[−3;3]
y = −10. D. max
[−3;3]
y = 17 và min
[−3;3]
y = −35.
Câu 5. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4
+2x−3 trên đoạn [1; 2] là:
A. max
[1;2]
y = 11 và min
[1;2]
y = 0. B. max
[1;2]
y = 17 và min
[1;2]
y = 0.
C. max
[1;2]
y = 17 và min
[1;2]
y = 2. D. max
[1;2]
y = 11 và min
[1;2]
y = 2.
Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x + 5
x − 3
trên đoạn [−2; 2].
A. min
[−2;2]
y = −
5
3
. B. min
[−2;2]
y = −3. C. min
[−2;2]
y = −7. D. min
[−2;2]
y = −10.
57
lovestem
.edu.vn

4. Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x +
9
x
trên đoạn [2; 4] là:
A. max
[2;4]
y = 6. B. max
[2;4]
y =
13
2
. C. max
[2;4]
y = −6. D. max
[2;4]
y =
25
4
.
Câu 8. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −x+1−
4
x + 2
trên đoạn [−1; 2]. Khi đó M + m bằng:
A. 2. B. −3. C. −2. D. 3.
Câu 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x2
+ 3
x + 1
trên đoạn [−4; −2]
A. min
[−4;−2]
y = −7. B. min
[−4;−2]
y = −6. C. min
[−4;−2]
y = −8. D. min
[−4;−2]
y = −
13
2
.
Câu 10. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
√
5 − 4x trên đoạn [−1; 1] là:
A. max
[−1;1]
y =
√
5 và min
[−1;1]
y = 0. B. max
[−1;1]
y = 3 và min
[−1;1]
y = 1.
C. max
[−1;1]
y = 1 và min
[−1;1]
y = −3. D. max
[−1;1]
y = 0 và min
[−1;1]
y = −
√
5.
Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
√
x − 2 + 5 là:
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 12. Hàm số y =
√
x2 − 3x + 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại:
A. x = 1 hoặc x = 2. B. x = 2 hoặc x = 3. C. x = 1 hoặc x = 3. D. x = 3.
Câu 13. Cho hàm số y =
√
x2 − x + 1. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng
√
3
2
; không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số có gái trị lớn nhất bằng
√
3
2
; giá trị nhỏ nhất bằng
1
2
.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
√
3
2
; không có giá trị nhỏ nhất.
Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ex
+ 2x trên đoạn [1; 2].
A. min
[1;2]
y =
1
e
+ 1. B. min
[1;2]
y = e + 2. C. min
[1;2]
y = e2
+ 2. D. min
[1;2]
y = 1.
Câu 15. Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x − 2x trên đoạn [0; 1] là:
A. max
[0;1]
y = 1. B. max
[0;1]
y = 2π. C. max
[0;1]
y = 0. D. max
[0;1]
y = 2.
Câu 16. Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x −
√
3 cos x trên đoạn [0; π] là:
A. max
[0;π]
y = 2. B. max
[0;π]
y =
√
3. C. max
[0;π]
y = 1. D. max
[0;π]
y = −
√
3.
6.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 17. Cho bài toán: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x +
1
x
trên −
1
2
; 2 .
Một học sinh giải như sau:
Bước 1: y = 1 −
1
x2
∀x = 0
Bước 2: y = 0 ⇔
x = −1 (loại).
x = 1
Bước 3: y −
1
2
= −
5
2
; y(1) = 2; y(2) =
5
2
. Vậy max
[−1
2
;2]
y =
5
2
và min
[−1
2
;2]
y = −
5
2
.
Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
58
lovestem
.edu.vn

5. A. Bài giải trên hoàn toàn đúng. B. Bài giải trên sai từ bước 2.
C. Bài giải trên sai từ bước 1. D. Bài giải trên sai từ bước 3.
Câu 18. Trên đoạn [−1; 1], hàm số y = −
4
3
x3
− 2x2
− x − 3,
A. Có giá trị nhỏ nhất tại x = −1 và giá trị lớn nhất tại x = 1.
B. Có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = −1.
C. Có giá trị nhỏ nhất tại x = −1 và không có giá trị lớn nhất.
D. Không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất tại x = 1.
Câu 19. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
3x − 1
x − 3
trên đoạn [−1; 1] ∪ [4; 5] là:
A. max y = 1. B. max y = 15. C. max y = 7. D. max y = 11.
Câu 20. Hàm số y =
√
4 − x2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x bằng:
A. x = 2. B. x = −2 hoặc x = 2.
C. x = 0 hoặc x = 2. D. x = 0.
Câu 21. Hàm số y = sin x + cos x đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất lần lượt là:
A. min y = −2 và max y = 2. B. min y = −
√
2 và max y =
√
2.
C. min y = −1 và max y = 1. D. min y = 0 và max y = 1.
Câu 22. Cho hàm số y = 4x2
−
1
x
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất bằng 1.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -3.
Câu 23. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
2 sin x − 1
sin x + 2
là:
A. max y =
1
3
. B. max y = −3. C. max y =
−1
2
. D. max y = 2.
Câu 24. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos3
x −
9
2
cos2
x + 3 cos x +
1
2
là:
A. min y = 1. B. min y = −24. C. min y = −2. D. max y = −9.
Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
√
x + 1 +
√
x − 2 +
√
x − 3 là:
A. min y = 0. B. min y = 3. C. min y = 9. D. min y = 6.
Câu 26. Đồ thị hàm số y = x2
− ln(1 − 2x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−1; 0] tại điểm có
hoành độ là:
A. 1. B. −
1
2
. C. 0. D. −1.
Câu 27. Giá trị lớn nhất của hàm số y = (x − 6)
√
x2 + 4 trên đoạn [−1; 4] là:
A. max
[−1;4]
y = −4
√
5. B. max
[−1;4]
y = −8
√
2. C. max
[−1;4]
y = −5
√
5. D. max
[−1;4]
y = −7
√
5.
Câu 28. Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin4
x + cos2
x là:
A. max y = 0. B. max y =
√
2. C. max y = 2. D. max y = 1.
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
x2
− x + 2
x + 1
trên khoảng (−∞; −1) là:
A. max
(−∞;−1)
y = 1. B. max
(−∞;−1)
y = −7. C. max
(−∞;−1)
y = 0. D. max
(−∞;−1)
y = −8.
Câu 30. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x3
− 3x2
+ 2| trên đoạn [−2; 1] là:
A. min
[−2;1]
y = −18. B. min
[−2;1]
y = 0. C. min
[−2;1]
y = −2. D. min
[−2;1]
y = 2.
59
lovestem
.edu.vn

6. 6.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 31. Tìm giá của tham số m để hàm số y =
mx − 1
x + m
đạt giá trị lớn nhất bằng
1
3
trên đoan
[0; 2].
A. m = 1. B. m = 3. C. m = −3. D. m = −1.
Câu 32. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x − cos 2x là:
A. min y = 0. B. min y = −
17
8
. C. min y = 1. D. min y = −2.
Câu 33. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 2 sin2
x − cos x + 1. Khi đó giá trị của M − m là
A. 0. B.
25
8
. C. 2. D.
25
4
.
Câu 34. Cho hàm số y =
2 cos2
x+ | cos x | +1
| cos x | +1
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số đã cho. Khi đó M + m bằng:
A. −6. B. 3. C. −7. D. 2.
Câu 35. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
x
y
y
−∞ 0 1 +∞
+ || − 0 +
−∞−∞
00
−2−2
+∞+∞
Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 . B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.
C. Hàm số có hai cực trị . D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
Câu 36. Cho hàm số y = x3
+ 3x + 2 trên (2, 3). Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Hàm số có GTLN và GTNN. B. Hàm số không có GTLN và có GTNN.
C. Hàm số có GTLN và không có GTNN. D. Hàm số không có GTLN và GTNN.
Câu 37. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x
√
1 − x2.
Khi đó M + m bằng:
A. 2. B. 0. C. 1. D. −1.
Câu 38. Gọi M, m lần lượt là giá tri lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+
√
16 − x2.
Khi đó M − 2m bằng:
A. 4
√
2 − 8. B. 8
√
2. C. 4
√
2 + 8. D. −8.
Câu 39. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x2
− 2x +
√
8x − 4x2 − 2 là:
A. 2. B. 1. C. −1. D. 0.
Câu 40. Hàm số y =
√
x + 2+
√
2 − x+2
√
4 − x2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là:
A. 2
√
2 − 2; 2. B. 2
√
2 + 4; 2. C. 2
√
2; 2. D. 4; 2.
Câu 41. Hàm số y =
√
3 + 2x − x2 + (x − 1)2
− 5 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần
lượt bằng y1; y2. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. y1 + y2 = −4. B. 4y1 − y2 = 0. C. y1.y2 = −
9
4
. D. y1 − y2 = 2.
Câu 42. Tìm giá trị tham số m để hàm số y = −x2
+ mx − 4 đạt giá trị lớn nhất là 5:
A. 4. B. -6. C. -4. D. 5.
60
lovestem
.edu.vn

7. Câu 43. Hàm số y =
x − m2
x + 1
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 1] bằng −1 khi:
A.
m = −1
m = 1
. B. −2. C.
m = −
√
3
m =
√
3
. D. 3.
Câu 44. Tìm m để bất phương trình 3x3
+
4
x
< m có nghiệm trên khoảng (0; +∞).
A. m >
8
√
6
3
. B. m ≥
8
√
6
3
. C. m ≤
8
√
6
3
. D. m <
8
√
6
3
.
Câu 45. Cho hàm số y = |x2
+ 2x + a − 4|. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
[−2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất.
A. a = 3. B. a = 2. C. a = 1. D. Một giá trị khác.
6.2.4 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NÂNG CAO
Câu 46. Hai số có hiệu là 13, tích của chúng bé nhất khi hai số đó bằng:
A. 5; −8. B. −
13
2
;
13
2
. C. 1; −12. D. 6; −7.
Câu 47. Cho hàm số y =
x2
+ x + 1
x2 − x + 1
. Chọn kết luận đúng:
A. Hàm số có GTNN là 0. B. Hàm số có GTNN là
1
2
.
C. Hàm số có GTLN là 2. D. Hàm số có GTLN là 3.
Câu 48. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi là 20 (m), ta chọn ra hình có diện tích lớn
nhất. Diện tích của hình đó là:
A. 36. B. 25. C. 50. D. 75.
Câu 49. Cho hàm số y = |x2
− 3x + 2| + |x − 7|. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại
bao nhiêu giá trị của x:
A. 0. B. 1. C. 3. D. vô số.
Lời giải. Chọn đáp án B
Ta có:
y = |x2
− 3x + 2| + |7 − x| ≥ |x2
− 3x + 2 + 7 − x|
⇒ y ≥ |x2
− 4x + 9| ≥ 5
Dấu bằng xảy ra
⇔
x2
− 4x + 9 = 5
(x2
− 3x + 2)(7 − x) ≥ 0
⇔ x = 2
Hàm số đạt GTNN tại một giá trị của x.
Câu 50. Gọi M, m thứ tự là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2x +
8
x2
trên [1, 3].
Giá trị M + m là:
A. 12. B. 14. C. 16. D. 18.
Câu 51. Cho hàm số y =
√
x + 1 +
√
7 − x. Gọi M, m thứ tự là GTLN và GTNN của hàm
số. Số nguyên nào gần với M − 2m nhất:
A. 0. B. -1. C. -2. D. 1.
Câu 52. Cho các số thực x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Giá trị lớn nhất M và giá
trị nhỏ nhất m của biểu thức S = (4x2
+ 3y)(4y2
+ 3x) + 25xy là:
A. M =
25
2
, m =
191
16
. B. M = 12. m =
191
16
.
61
lovestem
.edu.vn

8. C. M =
25
2
, m = 12. D. M =
25
2
, m = 0.
Lời giải. Chọn đáp án A
Ta có:
S = 16x2
y2
+ 12(x + y)(x2
− xy + y2
) + 34xy
= 16x2
y2
+ 12[(x + y)2
− 3xy] + 34xy
= 16x2
y2
− 2xy + 12
Đặt t = xy ⇒ t ∈ 0;
1
4
Xét f(t) = 16t2
− 2t + 12 ⇒ f (t) = 32t − 2 ⇒ f (t) = 0 ⇔ t =
1
16
Ta có f(0) = 12; f
1
16
=
191
16
; f
1
4
=
25
2
Vậy Smax =
25
2
; Smin =
191
16
Câu 53. Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện y ≥ 0 và x2
+ 3x + y − 4 = 0. Giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = xy − x + y là:
A. max M = 4 và min M = −1. B. max M = 4 và min M = −
148
27
.
C. max M = 0 và min M = −
148
27
. D. max M = 0 và min M = −1.
Câu 54. Một hợp tác xã nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người ta thấy rằng nếu trên mỗi
đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
P(n) = 480 − 20n( gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của hồ để
sau một vụ thu hoạch được nhiều gam nhất?
A. 12. B. 24. C. 6. D. 32.
Câu 55. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0, 025x2
(30−x),
trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Liều
lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất bằng:
A. 10 mg. B. 20 mg. C. 30 mg. D. 0 mg.
Câu 56. Một cửa hàng trà sữa sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán
cho mỗi cốc trà sữa. Sau khi nghiên cứu, người quản lí thấy rằng nếu bán với giá 25.000 đồng
một cốc thì mỗi tháng trung bình bán được 3000 cốc, còn từ mức giá 25.000 đồng mà cứ tăng
giá 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc trà sữa
không thay đổi là 15.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc với giá bao nhiêu để đạt lợi
nhuận lớn nhất?
A. 27.500 đồng. B. 30.000 đồng. C. 40.000 đồng. D. 35.000 đồng.
Câu 57. Một vật chuyển động theo quy luật S(t) = −
1
3
t3
+6t2
, với t(giây) là khoảng thời gian
tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời
gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất
mà vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 20( m/s). B. 27( m/s). C. 50( m/s). D. 36( m/s).
Câu 58. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh
MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam
giác. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
A.
a2
8
. B.
a2
4
. C.
a2
√
3
8
. D.
a2
√
3
9
.
Lời giải. Chọn đáp án C
62
lovestem
.edu.vn

9. • Gọi H là trung điểm BC ⇒ BH = CH =
a
2
.
• Đặt BM = x (0 < x < a)
⇒ MQ = BM. tan 60◦
= x
√
3; MN = a − 2x.
⇒ S = SMNPQ = MQ.MN = x
√
3.(a − 2x) = ax
√
3 − 2
√
3x2
⇒ S (x) = a
√
3 − 4
√
3x; S (x) = 0 ⇔ x =
a
4
.
• Xét bảng biến thiên sau:
x
v (x)
v(x)
0
a
4
a
2
+ 0 −
00
√
3
8
a2
√
3
8
a2
00
Vậy SMax =
√
3
8
a2
.
Câu 59. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng 2 m. Khi đó diện
tích lớn nhất của hình thang là:
A. 3
√
3( m2
). B. 4( m2
). C. 6
√
3( m2
). D. 6( m2
).
Câu 60.
Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1 m và 4 m, đỉnh
của hai cây cột cách nhau 5 m. Người ta cần chọn một vị trí trên
mặt đất (nằm giữa hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh
cột để trang trí mô hình bên dưới. Độ dài dây ngắn nhất là:
A.
√
41 m. B.
√
37 m. C.
√
29 m. D. 3
√
5 m.
Câu 61. Một hộp không
nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu như hình vẽ. Hộp có đáy
là một hình vuông cạnh x( cm), chiều cao h( cm) và có thể tích 500( cm3
).
Giá trị của x để diện tích của mảnh các tông nhỏ nhất bằng:
A. 100 cm. B. 10 cm.
C. 30 cm. D. 20 cm.
Câu 62. Bạn Đạt
muốn làm 1 cái hộp giấy không có nắp đậy từ 1 mảnh bìa hình vuông cạnh
36 cm. Bạn cắt đi 4 hình vuông có cạnh cùng là x cm ở 4 góc rồi gấp theo
đường nét đứt để tạo thành cái hộp như hình vẽ. Hỏi bạn ấy có thể làm
được chiếc hộp cao bao nhiêu cm để đảm bảo nó có thể tích lớn nhất:
A. 12 cm. B. 14 cm. C. 16 cm. D. 18 cm.
Câu 63. Người ta muốn làm một cái bình
thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là tam giác đều
để đựng 16 lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy
tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là.
A. 4 m. B. 4 dm. C. 2 3
√
2 dm. D. 2 3
√
4 m.
Lời giải. Chọn đáp án B
Gọi đáy là tam giác đều có cạnh x (x > 0)
• Ta có: V = h.x2
.
√
3
4
= 16 ⇒ h =
64
√
3x2
.
63
lovestem
.edu.vn

10. • Để chi phí nhỏ nhất thì diện tích toàn phần của bình phải nhỏ nhất.
STP = 2Sđáy + Sxq =
√
3
2
x2
+ 3.x.h =
√
3
2
x2
+
192
√
3x
• Xét hàm f(x) =
√
3
2
x2
+
192
√
3x
trên (0; ∞).
Có f (x) =
√
3x −
192
√
3x2
⇒ f (x) = 0 ⇔
x3
− 64
√
3x2
= 0 ⇔ x = 4
• Xét
x
f (x)
f(x)
0 4 +∞
|| − 0 +
⇒ f(x) min ⇔ x = 4( dm)
Câu 64. Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích là
16π( m3
). Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu
nhất.
A. 0, 8 m. B. 1, 2 m. C. 2 m. D. 2, 4 m.
Câu 65. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27 cm3
với chiều cao là
h và bán kính đáy là r. Để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là:
A. r =
4 36
2π2
cm. B. r =
4 38
2π2
cm. C. r =
6 36
2π2
cm. D. r =
6 38
2π2
cm.
Câu 66. Cho một tấm nhôm hình
vuông cạnh 1 m như hình vẽ dưới đây. Người
ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành
một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
x( m), sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại
thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của x để khối
chóp nhận được có thể tích lớn nhất là:
A. x =
2
√
2
5
m. B. x =
1
2
m.
C. x =
√
2
4
m. D. x =
√
2
3
m.
64
lovestem
.edu.vn