toán học lớp 9 phần căn thức

1. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
TUYšN TŠP BÀI TOÁN CAN THÙC
Qua các kì thi tuyºn sinh vào 10 nam 2014
Lê Minh An
Câu l¤c bë Toán Håc – COOLMATH
Ngày 30 tháng 9 nam 2014
1 Các bài toán can thùc không chùa bi¸n
1. Rút gån biºu thùc A =
5+
p
5
p
5+2
+
p
5
p
51
p
3
5
3+
p
5
: (TP. Hç Chí Minh)
2. Thüc hi»n phép tính A =
4
p
31
2
p
2+
p
3
p
8. (T¿nh Kon Tum)
3. Rút gån biºu thùc A =
2
p
7
p
14
2
p
2
p
28+
p
7
p
5.
a (THPT Chuyên Lê Quý ôn - Bà Ràa Vung Tàu)
4. Rút gån biºu thùc A =
2+
p
p 3
74
p
3
2
p
p 3
7+4
p
3
. (T¿nh ak Lak)
5. (Bài 1a) Rút gån biºu thùc A =
s
3
p
34
p
2
3+1
s p
3+4
52
p
3
. (THPT Chuyên B¸n Tre)
6. Cho biºu thùc A = (4x5+4x45x3+5x2)2014+2015. Tính giá trà A khi x =
1
2
sp
21
p
2+1
.
a (T¿nh Qu£ng Ngãi)
7. Cho a =
p
6
1(
p
2+
p
2)
p
p 3
p
p
p
64
2+
32
2
. Tính giá trà biºu thùc M = (a2+a1)2014.
a (THPT Chuyên t¿nh Qu£ng Nam)
8. CMR ph÷ìng trình x4+16x2+32 = 0 có nghi»m xo =
q
2+
p
2+
p
3
q
63
p
2+
p
3.
a (Vòng 2 - THPT Chuyên Bình D÷ìng)
1

2. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
9. CMR A B bi¸t
A =
1
1+
p
2
+
1
p
2+
p
3
+:::+
1
p
120+
p
121
; B = 1+
1
p
2
+
1
p
3
:::+
1
p
35
:
(T¿nh Bình ành)
2 Các bài toán can thùc chùa bi¸n
1. Rút gån biºu thùc B =
x
x+3
p
x
+
1
p
x+3
:
1
2
p
x
+
6
p
x
x+3
, vîi x 0.
a (TP. Hç Chí Minh)
2. Cho x 0;x6= 1. Rút gån biºu thùc A =
4
p
x+1
+
2
1
p
x
p
x5
x1
. (T¿nh B­c Ninh)
3. (Bài 1c) Rút gån biºu thùc A =
p
x
p
x+2
+
2
p
x2
:
x+4
p
x+2
, vîi x 0;x6= 4.
a (T¿nh Qu£ng Ngãi)
4. Cho x 0;x6= 2. Rút gån biºu thùc A =
x
p
2
2
p
x+x
p
2
+
p
2x2
x2
. (TP. à N®ng)
5. Cho a 0;a6= 4. Rút gån biºu thùc A =
a
a2
p
a
+
a
p
a2
:
p
a+1
a4
p
a+4
.
a (T¿nh Khánh Hòa)
6. Cho x 0;x6= 1. Rút gån biºu thùc A =
p
2
x
1
p
x
4x
1x
:
1
p
x
+
1
x+
p
x
a (T¿nh Nam ành)
7. Cho x 0;x6= 1, rút gån biºu thùc A =
4
p
x+1
+
2
1
p
x
p
x5
x1
. (T¿nh B­c Giang)
8. Cho x 0;x6= 1, rút gån biºu thùc P =
1
p
x1
:
1
p
x
1
x
p
x
. (T¿nh Hà Nam)
9. Rút gån biºu thùc A =
1
x+
p
x
+
p
2
x
x1
1
x
p
x
vîi x 0, x6= 1. (T¿nh Tuyên Quang)
10. Rút gån biºu thùc P =
x
p
x+3x9
x9
p
x3
p
x
x+3
p
x
. (T¿nh Yên Bái)
11. Cho a;b là các sè d÷ìng, rút gån A =
a
p
b
p
a+b
p
ab
+
ab
p
a+
p
b
. (T¿nh Phú Thå)
12. Cho biºu thùc A =
1
p
x1
p
x
x1
:
1
p
x+1
.
(a) Tìm i·u ki»n xác ành và rút gån biºu thùc A.
(b) Tìm t§t c£ các giá trà cõa x º A 0.
Email: alm.maths@gmail.com 2 Lê Minh An

3. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
(T¿nh Ngh» An)
13. Cho biºu thùc A =
2
p
x2
+
3
p
x+1
2
p
x7
5
2x3
p
x2
:
p
2
x+3
5x10
p
x
. (x 0, x6= 4)
(a) Rút gån biºu thùc A.
(b) Tìm x sao cho A nhªn giá trà là mët sè nguyên.
(THPT Chuyên Thái Bình)
14. Cho biºu thùc A =
p
x1
x2x
:
1
p
x
1
p
x+1
vîi x 0, x6= 1.
(a) Rút gån A.
(b) Tính giá trà cõa biºu thùc A khi x = 4+2
p
3.
(T¿nh Thanh Hóa)
15. Cho a 0;a6= 1 và Q =
p
a+1
a1
a+2
1
p
a1
p
a
2
a
p
aa+
p
a1
.
(a) Rút gån Q.
(b) CMR khi a 1 thì Q 1.
(THPT Chuyên Lê Hçng Phong - Nam ành)
16. Cho x 0;x6= 1 và P =
x2
x+2
p
x
+
1
p
x+2
:
p
x+1
p
x1
.
(a) CMR P =
p
x+1
p
x
.
(b) Tìm các giá trà cõa x º 2P = 2
p
x+5.
(TP. Hà Nëi)
17. (Bài 1b) Cho biºu thùc B =
p
x+2
x+2
p
x+1
p
x2
x1
(x+
p
x), vîi x 0;x6= 1.
(a) Rút gån biºu thùc B.
(b) Tìm các giá trà nguyên cõa x º B nhªn giá trà nguyên.
(THPT Chuyên B¸n Tre)
18. Cho biºu thùc P =
x2+
p
x
x
p
x+1
2x+
p
x
p
x
+2, vîi x 0.
(a) Rút gån P.
(b) Tìm x º 1P
có giá trà nguyên.
(THPT Chuyên Nguy¹n T§t Thành - Kon Tum)
Email: alm.maths@gmail.com 3 Lê Minh An

4. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
19. Cho biºu thùc A =
a2+
p
a
a
p
a+1
2a+
p
a
p
a
+1, vîi a 0.
(a) Rút gån A.
(b) Tìm các giá trà cõa a º A = 2.
(c) Tìm GTNN cõa A.
(THPT Chuyên Lê Quý ôn - Bình ành)
20. Cho biºu thùc A =
2
p
a
p
a+3
+
p
a
p
a3
p
3a+3a9
:
2
p
a2
p
a3
.
1
(a) Tìm i·u ki»n º A có nghia. Rút gån A.
(b) Tính giá trà cõa A vîi a = 4.
(THPT Chuyên C¦n Thì)
21. Cho biºu thùc A =
x+2
p
x+4
x
p
x8
+
p
x+1
x1
x+2
:
3+
1
p
x2
+
2
p
x+1
.
(a) Rút gån A.
(b) Tìm giá trà cõa x º A 1.
(THPT Chuyên Ngo¤i Ngú HQG HN)
22. Cho x 0;x6= 1. Rút gån biºu thùc A =
p
x
10
x+3
p
x4
p
x3
p
x+4
2
+
p
x+1
p
1
x
.
a (THPT Chuyên Nguy¹n Trãi - H£i D÷ìng)
23. Cho x 0;y 0 và x6= y. Rút gån biºu thùc
A =
x
p
xyp+y
p
xp+
y
: (xy)+
p
xy
2py
p
x+
py
:
(Vòng 2 - THPT Chuyên Lê Quý ôn - Bà Ràa Vung Tàu)
24. Cho x 0;x6= 9. Rút gån biºu thùc A =
p
x6
x9
x+
+
p
x+19
x17
x+
p
x12
x5
p
x
x+4
p
x
:
a (Vòng 2 - THPT Chuyên Hùng V÷ìng - Phú Thå)
25. CMR biºu thùc P không phö thuëc vào giá trà cõa x
P =
2x
x+3
p
x+2
+
5
p
x+1
x+4
p
x+3
+
p
x+10
x+5
p
x+6
:
(THPT Chuyên HKH Hu¸)
Email: alm.maths@gmail.com 4 Lê Minh An

5. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
26. Cho a;b là các sè thüc d÷ìng phân bi»t. Rút gån biºu thùc
A =
a
p
b
p
ab
a
p
bb
p
a
a
p
a+b
p
b
a
p
b+b
p
a
r
a
b
r
b
a
! p
a+
p
b
p
a
p
b
p
a
p
b
p
a+
p
b
!
:
(Vòng 2 - THPT Chuyên Lê Quý ôn - Khánh Hòa)
27. Tính
x
y
bi¸t x 1;y 0 và
q
(1
(x+y)(x3y3)
p
4x1)2
(1
p
4x1)(x2y2+xy3+y4)
= 6.
a (THPT Nang Khi¸u HQG TP. HCM)
28. Cho các sè thüc d÷ìng a;b vîi a6= b. Chùng minh ¯ng thùc
(ab)3
(
p
a
p
b)3
b
p
b+2a
p
a
a
p
b
p
ab
+
3a+3
p
ab
ba
= 0:
(THPT Chuyên HSP Hà Nëi)
3 Mët sè bi¸n êi th÷íng g°p
p
a)2
a = (
Ví dö:
– Biºu thùc a+
p
a6 c¦n xem ó nh÷ mët tam thùc bªc 2 và có thº tách thành tích.
a+
p
a6 = (
p
a)2+
p
a6 = (
p
a)2+3
p
a2
p
a6
=
p
a(
p
a+3)2(
p
a+3) = (
p
a+3)(
p
a2)
– H¬ng ¯ng thùc:
p
a)2(
ab = (
p
b)2 = (
p
a
p
b)(
p
a+
p
b);
a2
p
a+1 = (
p
a)22
p
a+1 = (
p
a1)2:
– Biºu thùc a
p
a+1, a
p
ab+b, a2
p
a+4, ... là các bình ph÷ìng thi¸u cõa têng
(hi»u). Xu§t hi»n biºu thùc lo¤i này thì kh£ nang cao là s³ c¦n sû döng các h¬ng ¯ng thùc
têng (hi»u) hai lªp ph÷ìng.
x3y3 = (xy)(x2xy+y2):
p
a = (
a
p
a)3
Ví dö:
a
p
a+b
p
b = (
p
b)3 = (
p
a)3+(
p
a+
p
b)(a
p
ab+b)
a
p
a1 = (
p
a)313 = (
p
a1)(a+
p
a+1)
Email: alm.maths@gmail.com 5 Lê Minh An

6. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
4 Mët sè bài toán phö th÷íng g°p sau khi rút gån biºu thùc
BT1: Tính giá trà biºu thùc rút gån vîi giá trà x t÷ìng ùng.
Cho M =
p
x
p
x2
, tính giá trà cõa M khi
1. x =
p
9+4
p
5
p
94
p
5; 2. x =
8
p
21
8
p
2+1
; 3. jx1j = 5.
BT2: Tìm x (nguyên) º biºu thùc rút gån có giá trà nguyên.
1. Tìm x 2 Z º tøng biºu thùc sau là sè nguyên: A =
3
p
x2
; B =
p
x+1
p
x3
; C =
p
2
x
3
p
x
2. Tìm x 2 Z º M =
3
p
x2
là sè nguyên d÷ìng.
3. Tìm måi giá trà cõa x º biºu thùc M =
p
x+2
p
x+3
5
là sè nguyên.
BT3: Tìm x º biºu thùc rút gån thäa mãn ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc.
1. Cho N =
p
x+1
p
x+2
. Tìm x º
a) N =
2
5
; b) N =
3
4
; c) N =
4
5
; d) N =
p
x3
6
2
2. Tìm x 2 Z º biºu thùc
a) A =
3
p
x2
có giá trà âm. b) B =
p
2
x
3
p
x
có giá trà d÷ìng.
3. Cho A =
1x
p
x
, tìm x º A = 1
p
x.
4. Cho P =
p
x1
p
x+1
, tìm x º P
1
2
5. Cho M =
p
x+1
p
x+2
, tìm x º M
2
5
6. Cho A =
p
x
x+
p
x+1
. CMR A
1
3
7. Cho M =
p
x+1
p
x+2
. So sánh M, M2.
BT4: Tìm GTLN, GTNN cõa biºu thùc rút gån.
1. Tìm GTNN cõa biºu thùc
M =
p
x1
p
x+1
; N =
x+
p
x+1
p
x
; P =
x+16
p
x+3
;
A = x
p
x+1; B = x+
p
x+1; C = x3
p
x1+2012;
2. Tìm GTLN cõa biºu thùc
M =
3
p
x+3
; N =
p
x+2
p
x+1
; A =
p
xx; B =
3
x3
p
x+2
Email: alm.maths@gmail.com 6 Lê Minh An