chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz tự luật và trắc nghiệm

1. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 1
BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ
Trong không gian, xét ba trục xOx ; ; vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi lần
lượt là các vectơ đơn vị các trục ; ; . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-
các vuông góc trong không gian hay hệ tọa độ .
Điểm được gọi là gốc tọa độ.
Chú ý: và .
2. Tọa độ của một điểm
a) Định nghĩa: (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: 
 .
b) Tính chất: Cho


 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
3. Tọa độ vectơ
Định nghĩa:
Nhận xét:
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ
Định lý:Trong không gian cho
y Oy z Oz , ,i j k
  
x Ox y Oy z Oz
Oxyz Oxyz
O
2 2 2
1i j k  
r r r
. . . 0i j i k k j  
r r r r r r
 ; ; . . .M x y z OM xi y j z k   
uuuur r r r
     0; 0; 0M Oxy z M Oyz x M Oxz y        
0; 0; 0M Ox y z M Oy x z M Oz x y           
   ; ; ; ;A A A B B BA x y z x y z
 ; ;B A B A B AAB x x y y z z   
uuur
     
2 2 2
B A B A B AAB AB x x y y z z      
uuur
; ;
2 2 2
A B A B A Bx x y y z x
M
   
 
 
; ;
3 3 3
A B C A B C A B Cx x x y y y z z z
G
      
 
 
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C Dx x x x y y y y z z z z
G
         
 
 
 ; ; . . .u x y z u xi y j z k    
r r r r r
   ; ; ; ;M x y z OM x y z  
uuuur
Oxyz    1 2 3 1 2 3; ; ; ; ; ;a a a a b b b b k R  
r r

2. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 2


Hệ quả: Trong không gian cho


 cùng phương
Cho hai điểm thì:
*
*Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
III. TÍCH VÔ HƯỚNG
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Định lý:Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ và được
xác định bởi:
2. Ứng dụng



 (với )
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Định lý: Trong không gian , mặt cầu tâm bán kính r có phương trình là:
.
 1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b a b    
r r
   1 2 3 1 2 3; ; ; ;ka k a a a ka ka ka 
r
Oxyz    1 2 3 1 2 3; ; ; ; ; ;a a a a b b b b k R  
r r
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b


  
 
r r
       0 0;0;0 ; 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ;i j k   
r r r r
a
r
   0b b a kb k R   
r r r r r
 
1 1
1 2 3
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, , , 0
a kb
a a a
a kb b b b
b b b
a kb


     
 
   ; ; ; ;A A A B B BA x y z x y z
 ; ;B A B A B AAB OB OA x x y y z z     
uuur uuur uuur
; ;
2 2 2
A B A B A Bx x y y z z
M
   
 
 
Oxyz  1 2 3; ;a a a a
r
 1 2 3; ;b b b b
r
1 1 2 2 3 3. . . .ab a b a b a b  
r r
1 1 2 2 3 3. . . 0a b a b a b a b    
r r
2 2 2
1 2 3a a a a  
r
2 2 2 2
1 2 3a a a a  
r
  1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . . .
cos ,
. .
a b a b a b a b
a b
a b a a a b b b
 
 
   
r r
r r
r r , 0a b 
r r r
Oxyz  S  ; ;I a b c
     
2 2 2 2
x a y b z c r     

3. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 3
Nhận xét: Phương trình mặt cầucòn có thểviết dưới dạng: với
.
V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa
Trong không gian cho hai vectơ và . Tích có hướng
của hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
2. Tính chất



 (Chương trình nâng cao)
3. Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng
Diện tích hình bình hành :
Diện tích tam giác :
Thể tích khối hộp :
Thể tích tứ diện :
Chú ý:
– Tích vô hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d      
2 2 2 2
d a b c r    2 2 2
r a b c d    
 ; ;M a b c    1 2 3; ;a a a a
r
 1 2 3; ;b b b b
r
a
r
b
r
,a b 
 
ur r
 2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
 
        
 
ur r
, ; ,a b a a b b       
r r r r r r
, ,a b b a       
r r r r
, ; , ; , ;i j k j k i i k j            
r r r r r r r r r
 [ , ] . .sin ,a b a b a b
r r r r r r
,a b
ur r
c
r
, . 0a b c   
urr r
ABCD ,ABCDS AB AD   
uuur uuur
ABC
1
,
2
ABCS AB AC   
uuuruuur
' ' ' 'ABCDA B C D ' ' ' ' , . 'ABCDA B C DV AB AD AA   
uuur uuur uuur
ABCD
1
, .
6
ABCDV AB AC AD   
uuuruuur uuur

4. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 4
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Các bài toán liên quan tọa độ điểm, tọa độ của vectơ
{Tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa tính chất nào đó, tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm, trực
tâm, đỉnh của hình bình hành, đỉnh của một hình đa diện,…}
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ1. Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ: , , .
Tìm tọa độ vectơ .
Lời giải
Ta có:
Suy ra:
. Vậy .
Ví dụ2. Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm .
1/ Tìm tọa độ điểm để tứ giác là hình bình hành.
2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành .
Lời giải
1/ Tứ giác là hình bình hành
2/ Điểm I là tâm hình bình hành
I là trung điểm của AC .
Ví dụ3. Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm . Tìm tọa độ
điểm Mthuộc mặt phẳng và cách đều các điểm A, B, C ?
Oxyz (2; 5;3)a  
r
 0;2; 1b  
r
 1;7;2c 
r
4 2d a b c  
ur r r r
 2; 5;3a  
r
 4 0;8; 4b  
r
 2 2;14;4c 
r
4 2d a b c  
ur r r r
     2; 5;3 0;8; 4 2;14;4    
 2 0 2; 5 8 14;3 4 4       
 0; 27;3   0; 27;3d  
ur
Oxyz      1;2;4 , 2; 1;0 , 2;3; 1A B C  
D ABCD
ABCD
ABCD  
3
6 3;6;3
3
D C B A
D C B A
D C B A
x x x x
AD BC y y y y D
z z z z
    

        
    
uuur uuur
ABCD

2
1 5 3
; ;
2 2 2 2
2
A C
I
A C
I
A C
I
x x
x
y y
y I
z z
z



  
     
 



Oxyz      1; 1;5 , 3;4;4 , 4;6;1A B C
 Oxy

5. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 5
Lời giải
Gọi là điểm cần tìm.
Vì cách đều nên ta có:
.
Vậy .
Ví dụ4. Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm , gọi là hình chiếu vuông góc
của trên trục . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ?
Lời giải
Vì là hình chiếu vuông góc của lên trục nên
Gọi là trung điểm Suy ra
Ví dụ5. Trong không gian với hệ tọa độ cho , . Tìm các giá trị
của để tam giác đều?
Lời giải
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Ta có: , ,
Tam giác ABC đều khi và chỉ khi
Vậy: là các giá trị cần tìm.
VẬN DỤNG THẤP VÀ VẬN DỤNG CAO
Ví dụ6. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có
. Gọi là chân đường phân giác trong góc của tam
giác Tìm tọa độ điểm
Lời giải
     2 2
; ;0 , , ; 0M x y Oxy x y x y   ¡
M , ,A B C
2 2
2 2
AM BM
MA MB MC
AM CM
 
   

           
           
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 0 5 3 4 0 4
1 1 0 5 4 6 0 1
x y x y
x y x y
           
 
          
4 10 14 0 2 5 7 16
2 4 12 0 2 6 5
x y x y x
x y x y y
       
    
        
 16; 5;0M 
Oxyz  2;4;6K 'K
K Oz 'OK
'K  2;4;6K Oz  ' 0;0;6 .K
 1 1 1; ;I x y z '.OK  0;0;3 .I
Oxyz ( 2;2; 1)A    2;3;0 ,B   ;3; 1C x 
x ABC
5 1
2; ;
2 2
M
 
  
 
2AB  2 1
( 2)
2
CM x  
2 2 13 1 6
( 2) ( 2) 1
32 2 2
x
CM AB x x
x
 
           
1
3
x
x
 
  
Oxyz ABC
     2;0; 3 , 4;1; 1 , 4; 4;1A B C      D A
.ABC .D

6. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 6
Theo tính chất phân giác trong, ta có:
Mà:
Từ .
Ví dụ7. Cho hình hộp
1/ Chứng minh:
2/ Cho . Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Lời giải
1/ Ta có: ; và
Suy ra: (đpcm)
2/ Sử dụng công thức hai vecto bằng nhau ta được:
Ví dụ8. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác đều có và
điểm nằm trong mặt phẳng có tung độ nhỏ hơn .
1/ Tìm tọa độ điểm .
2/ Tìm tọa độ điểm biết là tứ diện đều.
Lời giải
1/ Vì nên .
Ta có:
Tam giác đều nên
.
 1
DB AB AB
DB DC
DC AC AC
   
uuur uuur
3; 6AB AC 
 
 
 
 
2
2 1
1 2 2 4; ;
3 3
2
C D B D
C D B D
C D B D
x x x x
DC DB y y y y D
z z z z
   
  
             
 
   
uuur uuur
. ' ' ' 'ABCD A B C D
' ' 2 ' 0AC CA C C  
uuuur uuur uuuur r
       1;0;1 , 2;1;2 , ' 4;5; 5 , 1; 1;1A B C D 
' 'AC AC CC 
uuuur uuur uuuur
' ' 'CA CC C A 
uuur uuuur uuuur
' 'C A CA
uuuuur uuur
' ' 2 ' 2 ' 2 ' 0AC CA C C CC AC CA C C      
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur r
       2;0;2 , ' 4;6; 5 , ' 3;5; 6 , ' 3;4; 6C B A D  
Oxyz ABC    5;3; 1 , 2;3; 4A B 
C  Oxy 3
C
D ABCD
 C Oxy  ; ;0C x y
     3;0; 3 , 5; 3;1 , 2 ; 3;4AB AC x y BC x y y        
uuur uuur uuur
ABC
2 2
2 2
AB AC AB AC
AC BC AC BC
  
 
  
   
       
2 2
2 2 2 2
5 3 1 18 1 1
4 25 3 1 2 3 16
x y x x
y yx y x y
        
    
          
A
B
CD

7. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 7
Vì có tung độ nhỏ hơn 3 nên .
2/ Gọi .
Khi đó: .
Vì tam giác ABC đều nên tứ diện ABCD đều khi và chỉ khi
.
Vậy: .
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. [2H3-1.1-1] Trong không gian , gọi là các vectơ đơn vị, khi đó với thì
bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
.
Câu 2. [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ: , ,
. Tọa độ vectơ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Có
C  1;2;0C
 ; ;D x y z
     5; 3; 1 ; 2; 3; 4 ; 1; 2;AD x y z BD x y z CD x y z          
uuur uuur uuur
3 2AD BD CD AB   
           
         
     
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
5 3 1 2 3 4
5 3 1 1 2
5 3 1 18
x y z x y z
x y z x y z
x y z
           


          

     
     
2 2 2
1
16 5
5 3 1 18
z x
y x
x y z
  

  

     
2
10
31 2
2
16 5 6
3
13 16 20 0 7
3
x
z x x
y x y y
zx x
z


    
  
         
       
 

 
10 2 7
2;6; 1 ; ;
3 3 3
D D
 
    
 
Oxyz , ,i j k
r r r
 ; ;M x y z
OM
uuuur
xi y j k z 
r r r
xi y j k z 
r r r
x j yi k z 
r r r
xi y j k z  
r r r
OM xi y j k z  
uuuur r r r
Oxyz (2; 5;3)a  
r
 0;2; 1b  
r
 1;7;2c 
r
4 2d a b c  
ur r r r
(0;27;3)  1;2; 7  0; 27;3  0;27; 3
4 2d a b c  
ur r r r
     2; 5;3 4 0;2; 1 2 1;7;2    
     2; 5;3 0;8; 4 2;14;4    

8. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 8
.
Vậy .
Câu 3. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác với
và . Trọng tâm của tam giác có tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Tọa độ trọng tâm .
Vậy .
Câu 4. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho hình bình hành có
( là gốc toạ độ) . Toạ độ tâm hình bình hành là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
.
Gọi I là tâm hình bình hành Suy ra I là trung điểm .
Câu 5. [2H3-1.1-2]Cho điểm , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục là điểm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Với hình chiếu vuông góc của lên trục là .
Câu 6. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm , gọi là hình chiếu
vuông góc của trên trục , khi đó trung điểm có toạ độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
 2 0 2; 5 8 14;3 4 4       
 0; 27;3 
 0; 27;3d  
ur
Oxyz ABC
   3; 2;5 , 2;1; 3A B    5;1;1C G ABC
 2;0; 1G   2;1; 1G   2;0;1G   2;0;1G
; ;
3 3 3
A B C A B C A B Cx x x y y y z z z
G
      
 
 
 2;0;1G
 2;0;1G
Oxyz OABD
 1;1;0 ,OA  
uuur
 1;1;0OB 
uuur
O OABD
 1;0;0
1 1
; ;0
2 2
 
 
 
 1;0;1  1;1;0
   1;1;0 1;1;0OA A   
uuur
   1;1;0 1;1;0OB B 
uuur
.OABD
1 1
; ;0
2 2
OB I
 
  
 
 2;5;0M  M Oy
 0;5;0M  0; 5;0M   2;5;0M  2;0;0M 
 ; ;M a b c  M Oy  1 0; ;0M b
Oxyz  2;4;6K 'K
K Oz 'OK
 1;0;0  0;0;3  0;2;0  1;2;3

9. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 9
Chọn B
Vì là hình chiếu vuông góc của lên trục nên .
Gọi là trung điểm Suy ra .
Câu 7. [2H3-1.1-2] Cho điểm , hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Với hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là .
Câu 8. [2H3-1.1-2] Trong không gian , cho 2 điểm , . Nếu là điểm thỏa
mãn đẳng thức thì tọa độ điểm là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
, từ .
Câu 9. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho 3 điểm
. Nếu là hình bình hành thì toạ độ của điểm là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Để tứ giác là hình bình hành thì .
Câu 10. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho
. Gọi lần lượt là trung điểm của . Toạ độ
điểm là trung điểm là:
'K  2;4;6K Oz  ' 0;0;6K
 1 1 1; ;I x y z '.OK  0;0;3I
 1;2; 3M  M  Oxy
 0;2; 3M   1;0; 3M   1;2;0M  1;2;3M
 ; ;M a b c  M  Oxy  1 ; ;0M a b
Oxyz (1;2; 3)B  (7;4; 2)C  E
2CE EB
uuur uuur
E
8
3;3;
3
 
 
 
8 8
3; ;
3 3
 
 
 
1
1;2;
3
 
 
 
8 8
;3;
3 3
 
 
 
( ; ; )E x y z
8
3
2 3
8
3
x
CE EB y
z



  

  

uuur uuur
Oxyz
     2;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;4M N P MNPQ Q
 2; 3;4   3;4;2  2;3;4  2; 3; 4  
   2; 3;0 , ; ; 4Q Q QMN QP x y z      
uuuur uuur
MNPQ
2 2
3 3
0 4 4
Q Q
Q Q
Q Q
x x
MN QP y y
z z
    
 
       
 
   
uuuur uuur
Oxyz
       1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 1;1;1A B C D ,M N ,AB CD
G MN

10. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 10
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Vì M là trung điểm của AB nên .
N là trung điểm của CD nên .
Do đó .
Câu 11. [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ toạ độ , vectơ đơn vị cùng hướng với vec tơ
có tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta thấy với ; là vectơ đơn vị cùng hướng với .
Câu 12. [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , ,
. Điểm là đỉnh thứ tư của hình bình hành , khi đó
có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
, là hình bình hành thì
.
Câu 13. [2H3-1.1-2]Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm
. Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Có .
1 1 1
; ;
3 3 3
 
 
 
1 1 1
; ;
2 2 2
 
 
 
2 2 2
; ;
3 3 3
 
 
 
1 1 1
; ;
4 4 4
 
 
 
1 1
; ;0
2 2
M
 
 
 
1 1
; ;1
2 2
N
 
 
 
1 1 1
; ;
2 2 2
G
 
 
 
Oxyz
(1;2;2)a 
r
1 2 2
; ;
3 3 3
 
 
 
1 2 2
; ;
3 3 3
 
   
 
1 2 2
; ;
3 3 3
 
 
 
1 1 1
; ;
3 3 3
 
 
 
1 2 2
; ; 1
3 3 3
u u
 
   
 
r r 1 1 2 2
; ;
3 3 3 3
u a
 
   
 
r r
a
r
Oxyz (1;2; 1)A  (2; 1;3)B 
( 2;3;3)C   ; ;M a b c ABCM
2 2 2
P a b c  
42 43 44 45
( ; ; )M x y z ABCM
1 2 2
2 3 1 ( 3;6; 1) P 44
1 3 3
x
AM BC y M
z
   

         
   
uuuur uuur
Oxyz
     2; 3;4 , 1; ; 1 ;4;3A B y C x  5x + y
42 41 40 36
   1; 3; 5 ; 2;7; 1AB y AC x      
uuur uuur

11. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 11
Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì cùng phương .
Vậy .
Câu 14. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm . Điểm
M chia đoạn AB theo tỉ số có tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Giả sử là điểm cần tìm.
Vì M chia đoạn AB theo tỉ số nên ta có: .
.
Vậy .
Câu 15. [2H3-1.1-2]Cho điểm , điểm đối xứng của qua mặt phẳng là điểm
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Với điểm đối xứng của qua mặt phẳng là
Câu 16. [2H3-1.1-3]Cho điểm , điểm đối xứng của M qua trục , khi đó
bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
AB
uuur
AC
uuur 1 3 5
2 7 1
y
x
  
  
 
9
; 32
5
x y  
5x + y = 41
5x + y = 41
Oxyz    1;1;0 , 2;0; 3A B 
1
2
k  
4 2
; ; 1
3 3
M
 
 
 
2 2
; ; 2
3 3
M
 
 
 
1 2
; ;1
3 3
M
 
 
 
2 2
; ; 2
3 3
M
 
  
 
 ; ;M x y z
1
2
k  
1
2
MA MB 
uuur uuur
 
 
 
41
1 2
32
1 2
1 0
2 3
1 1
3
2
xx x
y y y
z
z z

    

 
       
 
  
     
 
4 2
; ; 1
3 3
M
 
 
 
 3;2; 1M  M  Oxy
 3;2;0M  3; 2; 1M    3; 2;1M   3;2;1M
 ; ;M a b c  M  Oxy  ; ;M a b c
 3;2; 1M   ; ;M a b c Oy
a b c 
0 4 6 2

12. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 12
Với điểm đối xứng của qua trục là
.
Câu 17. [2H3-1.1-3] Trong không gian , cho tứ diện có
. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Câu 18. [2H3-1.1-3] Trong không gian , cho hai điểm . Điểm trên trục
và cách đều hai điểm có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
.
cách đều hai điểm nên .
.
Câu 19. [2H3-1.1-4]Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm
. Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C có tọa độ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là điểm cần tìm.
Vì cách đều , , nên ta có:
Vậy .
Câu 20. [2H3-1.1-4] Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm
thuộc và thể tích của tứ diện bằng 5. Toạ độ của là:
 ; ;M a b c  M Oy  ; ;M a b c  
 3;2;1 0M a b c     
Oxyz ABCD
(1;0;2), ( 2;1;3), (3;2;4), (6;9; 5)A B C D  ABCD
 8;12;4G  2;3;1G
14
3;3;
4
G
 
 
 
18
9; ; 30
4
G
 
  
 
Oxyz (1;2;1), (2; 1;2)A B  M
Ox ,A B
1 1 3
; ;
2 2 2
M
 
 
 
1
;0;0
2
M
 
 
 
3
;0;0
2
M
 
 
 
1 3
0; ;
2 2
M
 
 
 
 ;0;0M Ox M a 
M ,A B    
2 22 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 1MA MB a a        
3
2 3
2
a a   
Oxyz      1; 1;5 , 3;4;4 , 4;6;1A B C
 16; 5;0M   6; 5;0M   6;5;0M   12;5;0M
   2 2
; ;0 , ; 0M x y x y x y  ¡
M A B C MA MB MC 
                 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 0 5 3 4 0 4 4 6 0 1x y x y x y                 
 2 2 27 6 8 41 8 12 53x y x y x y           
4 10 14 0 2 5 7 16
2 4 12 0 2 6 5
x y x y x
x y x y y
       
    
        
 16; 5;0M 
Oxyz      2;1; 1 , 3;0;1 , 2; 1;3A B C 
D Oy ABCD D

13. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 13
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Điểm thuộc trục có tọa độ . Ta có , và
. Dễ thấy
,
,
nên hoặc .
Dạng 2: Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng
{ Tích vô hướng hai vt, góc giữa hai vt, độ dài vt, độ dài đường trung tuyến, phân giác,đường
cao, diện tích tam giác, chu vi tam giác…}
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trong không gian cho tam giác ABC có .Tính
Lời giải
Ta có:
Suy ra: .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác ABC biết , B đối xứng với A qua
mặt phẳng ( ), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O. Tính diện tích tam giác ABC ?
Lời giải
Theo đề bài: B đối xứng với A qua mặt phẳng ( )
C đối xứng với B qua gốc tọa độ O
.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có , ,
. Gọi là điểm trên cạnh sao cho . Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
 0; 7;0  0;8;0
 
 
0; 7;0
0;8;0



 
 
0; 8;0
0;7;0



D Oy 0(0; ;0)D y  1; 1;2AB  
uuur
 0; 2;4AC  
uuur
 02; 1;1AD y  
uuur
 
1 2 2 1 1 1
, ; ; 0; 4; 2
2 4 4 0 0 2
AB AC
   
          
uuur uuur
0
1 1
5 , . 2 4
6 6
ABCDV AB AC AD y      
uuur uuur uuur
0 7y   0 8y 
m      2; 1;3 , 3;0; 2 , 5; 1; 6A B C    ·cos BAC
   1;1; 5 ; 3;0; 9AB AC   
uuur uuur
·
  . 16 8 30
cos cos ;
. 453 30
AB AC
BAC AB AC
AB AC
   
uuur uuur
uuur uuur
Oxyz  1;2;3A
Oxy
Oxy (1;2; 3)B 
C( 1; 2;3)  
1
(0;0; 6); ( 2; 4;0) S ; 6 5
2
ABCAB AC AB AC
          
uuur uuur uuur uuur
Oxyz ABC  2;0;0A  0;3;1B  3;6;4C 
M BC 2MC MB AM

14. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 14
Vì điểm thuộc cạnh nên , suy ra tọa độ điểm là
.
Vậy độ dài bằng:
.
Ví dụ 4.Trong không gian với hệ toạ độ cho hai vecto thỏa mãn
1) Tính .
2) Tính góc giữa hai vecto và .
Lời giải
1) Ta có:
.
2) Ta có: và .
.
Ví dụ 5.Trong không gian với hệ tọa độ cho , . Tìm các giá trị
của để tam giác đều?
Lời giải
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng .
Ta có: , , .
Tam giác ABC đều khi và chỉ khi
.
Vậy: là các giá trị cần tìm.
M BC 2MC MB 
uuuur uuur
M
( 2)
1
1 ( 2)
( 2)
4
1 ( 2)
( 2)
2
1 ( 2)
C B
M
C B
M
C B
M
x x
y y
z z
x
y
z
 
  
 
 
 
 
 
 











AM
       2 22 2 2 2
1( ) 2 4 0 2(2 0) 9M A M A M Ax zy zx y         
Oxyz ,a b
r r
  0
; 120 ; 2; 3a b a b  
r r r r
2a b
r r
a
r
3 2x a b 
r r r
 . . .cos ; 3a b a b a b  
r r r r r r
 
2 2 2
2 4 . 4 52 2 2 13a b a a b b a b        
r r r r r r r r
 
2
. 2 2 . 6a x a a b a a b    
r r r r r r r r
 
2
3 2 6x a b  
r r r
    0. 1
cos ; ; 60
2.
a x
a x a x
a x
    
r r
r r r r
r r
Oxyz ( 2;2; 1)A    2;3;0 ,B   ;3; 1C x 
x ABC
AB
5 1
2; ;
2 2
M
 
  
 
2AB  2 1
( 2)
2
CM x  
2 2 13 1 6
( 2) ( 2) 1
32 2 2
x
CM AB x x
x
 
           
1
3
x
x
 
  

15. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 15
Ví dụ 6.Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A trùng với gốc ,
, . Gọi M là trung điểm của cạnh .Tính thể tích
của khối tứ diện .
Lời giải
Ta có : .
Vậy thể tích của khối tứ diện là: .
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. [2H3-1.2-1]Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Câu 2. [2H3-1.2-1]Trong không gian cho hai điểm , độ dài đoạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
.
Câu 3. [2H3-1.2-1]Cho điểm , khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Với .
Câu 4. [2H3-1.2-1]Cho điểm , khoảng cách từ điểm đến trục bằng
A.25. B.5. C. 4. D. 0.
Lời giải
m . ' ' ' 'ABCD A B C D O
 ;0;0B a    0; ;0 , ' 0;0;D a A b  , 0a b  'CC
'BDA M
   ; ;0 , ' ; ; ; ;
2
b
C a a C a a b M a a
 
  
 
 
 2
2
; ;0
, ; ; ; ' ;0;b
2 20; ;
2
3
, . '
2
BD a a
ab ab
BD BM a BA ab
BM a
a b
BD BM BA
  
                
 
    
uuur
uuur uuuur uuur
uuuur
uuur uuuur uuur
'BDA M
2
'
1
, . '
6 4
BDA M
a b
V BD BM BA   
uuur uuuur uuur
   2;2;5 , 0;1;2a b  
r r
10 12 13 14
   1;2;3 , 0;1;1A B AB
6 8 10 12
            
22 2 2 2 2
0 1 1 2 1 3 6B A B A B AAB x x y y z z             
uuur
 1;2; 3M  M  Oxy
14 3 1 2
    ; ; , 3M a b c d M Oxy c  
 2;5;0M  M Ox

16. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 16
Chọn B
Với
Câu 5. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
.
.
.
.
Câu 6. [2H3-1.2-2] Cho 3 điểm Tam giác là
A.Tam giác có ba góc nhọn. B. Tam giác cân đỉnh .
C. Tam giác vuông đỉnh . D. Tam giác đều.
Lời giải
Chọn A
. Ta thấy không vuông.
không cân.
Câu 7. [2H3-1.2-1] Gọi là góc giữa hai vectơ và , với và khác , khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Câu 8. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. . B. cùng phương . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
    2 2 2 2
; ; , 5 0 5M a b c d M Ox b c     
Oxyz
     1;1;0 , 1;10 , 1;1;1a b c   
r r r
2a 
r
3c 
r
a b
r r
c b
r r
2 2
( 1) 1 0 2a     
r
2 2 2
1 1 1 3c    
r
 . 1 .1 1.1 0.0 0ab a b      
r r r r
. 1.1 1.1 0.1 2b c    
r r
     1;2;0 , 1;0; 1 , 0; 1;2 .A B C  ABC
A
A
(0; 2; 1); ( 1; 3;2)AB AC     
uuur uuur
. 0AB AC  
uuur uuur
ABC
AB AC
uuur uuur
ABC 
 a
r
b
r
a
r
b
r
0
r
cos
.
a b
a b

r r
r r
.
.
a b
a b
r r
r r
.
.
a b
a b

r r
r r
.
.
a b
a b
r r
r r
Oxyz      1;1;0 , 1;10 , 1;1;1a b c
r r r
. 1a c 
r r
a
r
c
r
  2
cos ,
6
b c 
r r
0a b c  
r r r r

17. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 17
Nên đáp án A và B sai.
.
Câu 9. [2H3-1.2-2] Trong không gian cho ba điểm . Để 4 điểm
đồng phẳng thì tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Xét .
Ta có: ; .
Do đó: ;
Suyra : .
Câu 10. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tứ diện biết
. Độ dài đường cao AH của tứ diện
là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Có
;
Mà
Vậy .
Câu 11. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có ,
, . Gọi là điểm trên cạnh sao cho . Độ dài đoạn
bằng
. 1.1 1.1 0.1 0 .a c a c      
r r r r
 1;3;1 0.a b c   
r r r r
  1.1 1.1 0.1 2
cos ,
1 1. 1 1 1 6
b c
 
 
  
r r
Oxyz      1;2;0 , 1;1;3 , 0; 2;5A B C 
, , ,A B C D D
 1; 1;6D   1;2;3D  0;3;0D  0;0;2D
 2;5;0D   1; 1;6D 
 2; 1;3AB   
uuur
 1; 4;5AC   
uuur
 1;1;0AD  
uuur
 , 7;7;7AB AC   
uuur uuur
, . 0AB AC AD   
uuur uuur uuur
Oxyz ABCD
   2; 1;6 , 3; 1; 4 ,A B     5; 1;0 ,C   1;2;1D ABCD
9 7 6 5
     8;0;4 ; 4;3;5 ; 5;0;10BC BD BA  
uuur uuur uuur
 , 12; 24;24BC BD     
uuur uuur
, . 180BC BD BA   
uuur uuur uuur
1
. , . 30
6
ABCDV BC BD BA   
uuur uuur uuur
   
2 2 21 1
. , . 12 24 24 18
2 2
ABCS BC BD
        
uuur uuur
1
. .
3
ABCD BCDV AH S
3.
5ABCD
BCD
V
AH
S
  
5AH 
Oxyz ABC  2;0;0A
 0;3;1B  3;6;4C  M BC 2MC MB AM

18. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 18
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Vì điểm thuộc cạnh nên , suy ra tọa độ điểm là
.
Vậy .
Câu 12. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba điểm và
. Diện tích tam giác là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Có
.
Vậy .
Câu 13. [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có
. Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
3 3 2 7 29 30
M BC 2MC MB 
uuuur uuur
M
( 2)
1
1 ( 2)
( 2)
4
1 ( 2)
( 2)
2
1 ( 2)
C B
M
C B
M
C B
M
x x
y y
z z
x
y
z
 
  
 
 
 
 
 
 











AM         2 22 2 2 2
1( ) 2 4 0 2(2 0) 9M A M A M Ax zy zx y         
Oxyz    2;2;1 , 1;0;2A B
 1;2;3C  ABC
3 5
2
3 5 4 5
5
2
   3; 2;1 ; 1;0;2AB AC  
uuur uuur
 , 4; 5;2AB AC     
uuur uuur
   
2 2 21 1 3 5
. , 4 5 2
2 2 2
ABCS AB AC
        
uuur uuur
3 5
2
ABCS 
Oxyz ABC  1;0;1 ,A
 0;2;3 ,B  2;1;0C C
26
26
2
26
3
26
   1;2;2 , 1;1; 1AB AC   
uuur uuur

19. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 19
Độ dài đường cao kẻ từ của tam giác là : .
Câu 14. [2H3-1.2-2] Cho . Thể tích của tứ diện bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Tính .
.
Câu 15. [2H3-1.2-2] Trong không gian cho tứ diện . Độ dài đường cao vẽ từ của tứ
diện cho bởi công thức nào sau đây:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Vì nên .
Câu 16. [2H3-1.2-2] Trong không gian tọa độ , cho bốn điểm
. Độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh
xuống mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Tính
, với ,
C ABC  
, 26
,
3
AB AC
d C AB
AB
 
 
 
uuur uuur
uuur
       1; 2;0 , 3;3;2 , 1;2;2 , 3;3;1A B C D  ABCD
3 4 5 6
     2;5;2 , 2;4;2 , 2;5;1AB AC AD   
uuur uuur uuur
1
, . 3
6
V AB AC AD   
uuur uuur uuur
Oxyz ABCD D
ABCD
, .
.
AB AC AD
h
AB AC
 
 

 
 
uuur uuur uuur
uuur uuur
, .1
3 .
AB AC AD
h
AB AC
 
 

uuur uuur uuur
uuur uuur
, .
.
AB AC AD
h
AB AC
 
 

uuur uuur uuur
uuur uuur
, .1
3 .
AB AC AD
h
AB AC
 
 

 
 
uuur uuur uuur
uuur uuur
1 1 1
. . , .
3 2 6
ABCDV h AB AC AB AC AD       
uuur uuur uuur uuur uuur , .
.
AB AC AD
h
AB AC
 
 

 
 
uuur uuur uuur
uuur uuur
Oxyz
       1; 2;0 , 3;3;2 , 1;2;2 , 3;3;1A B C D  ABCD D
 ABC
9
2
9
7
9
7 2
9
14
     2;5;2 , 2;4;2 , 2;5;1AB AC AD
uuur uuur uuur
1
, . 3
6
V AB AC AD   
uuur uuur uuur
1
.
3
V B h
1
, 7 2
2
ABCB S AB AC
    
uuur uuur
  ,h d D ABC

20. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 20
.
áp dụng công thức ở câu trên ta được:
.
Câu 17. [2H3-1.2-3] Cho hai vectơ và tạo với nhau góc và . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 18. [2H3-1.2-3] Cho và . Để góc giữa hai vectơ có số đo bằng thì
bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
.
Câu 19. [2H3-1.2-3] Cho góc giữa hai vectơ và bằng ,
Để vuông góc với thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
.
.
Câu 20. [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ toạ độ ,cho tam giác có
. Độ dài đường phân giác trong của góc B là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
3 3.3 9
7 2 7 2
V
h
B
   
, . 18 9
14 2 7 2.
AB AC AD
h
AB AC
 
 
  
 
 
uuur uuur uuur
uuur uuur
a
r
b
r 0
60 2; 4a b 
r r
a b
r r
2 7 2 3 2 5 2
 
2 2 2
2 .cos , 4 16 8 28 2 7a b a b a b a b a b          
r r r r r r r r r r
 1;1;1u 
r
 0;1;mv 
r
,u v
r r 0
45
m
1 3 3 2 3 3
 
   
2
222
11.0 1.1 1. 1
cos 2 1 3 1 2 3
3 1 2 123. 1
mm
m m m
m mm

   
         
   
2; 5,a b 
r r
a
r
b
r 2
3

; 2 .u ka b v a b   
r r r r r r
u
r
v
r
k
6
45

45
6
6
45
45
6

    
2
. 2 4 50 2 1 cos 0
3
u v ka b a b k k a b

       
r r r r r r r r
45
6 45 0
6
k k      
Oxyz ABC  1;2; 1A 
 , 2; 1;3B   ,C 4;7;5
2 74
2 74
3
3 76
2
3 76

21. www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 21
Chọn B
Gọi D là chân đường phân trong của góc B thuộc tam giác ABC, khi đó ta có tỷ lệ:
.
ọa độ điểm .
----------------------------------------------------Hết----------------------------------------------------
Mã tài liệu : 600409
Tải đầy đủ luận văn theo 2 cách :
- Link tải dưới bình luận .
- Nhắn tin zalo 0932091562
1 2 11 8 14 2 74
; ;1 ; ; 2
2 3 3 3 3 3
DA BA
D BD BD
BCDC
    
            
   
uuur
uuur
uuur
I