Luyen thi oxyz hinh 12

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
NỘI DUNG KIẾN THỨC Điểm
Phương pháp tọa độ trong trong không gian:
 Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách
giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
1
§1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
II. TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ
Cho hệ tọa độ Oxyz và u . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x; y; z) sao cho
u  x.i  y. j  z.k . Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của u và kí hiệu là : u  (x; y; z) hoặc u(x; y; z)
Vậy : u  (x; y; z) u  x.i  y. j  z.k
Từ định nghĩa trên ta suy ra : i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
III. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của
OM là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x; y; z) là
tọa độ của điểm và kí hiệu là M  (x; y; z) hoặc
M(x; y; z) nếu : OM  x.i  y. j  z.k .
Vậy theo định nghĩa trên, ta có :
 M OxM(x;0;0)
 M OyM(0; y;0)
 M OzM(0;0; z)
 M (Oxy)M(x; y;0)
 M (Oxz)M(x;0; z)
 M (Oyz)M(0; y; z)
 Gọi 1 2 3 M ;M ;M lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó
1 2 3 M (x;0;0), M (0; y;0), M (0;0; z)
 Gọi 1 2 3 M ;M ;M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ
(Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó 1 2 3 M (x; y;0), M (0; y; z), M (x;0; z) .
2 2 2
1
. . . 0
i j k
i j j k k i
  
  



Trục tung
Trục
hoành
Trục
cao
Mặt phẳng tọa độ
z
x
y
O
j
i
k
Oxy
Oxz
Oyz
y
M(x; y, z)
z
k
j
O
x
i
M
1 (x; y,0)

 Cho ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z . Khi đó AB  (xB  xA; yB  yA; zB  zA)
IV. CÁC CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG
Cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3 a  (a ;a ;a ),b  (b ;b ;b ) . Khi đó :
1. Tổng hiệu hai véctơ : 1 1 2 2 3 3 a b  (a b ;a b ;a b )
2. Tích một số với một véctơ : 1 2 3 m.a  (ma ;ma ;ma ) mR
3. Độ dài của véctơ : 2 2 2
1 2 3 a  a  a  a ; 2 2 2
1 2 3 b  b b b
4.       2 2 2
1 1 2 2 3 3 a b  a b  a b  a b
5.       2 2 2
1 1 2 2 3 3 a b  a b  a b  a b
6. Tích vô hướng của hai véctơ : a) a.b  a . b .cos(a;b) ; b) 1 1 2 2 3 3 a.b  a b  a b  a b
7. 1 1 2 2 3 3 a ba.b  0a b  a b  a b  0
8. Góc giữa hai véctơ : 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( ; ) = ; ( ; 0)
. .
a b a b a b a b
a b a b
a b a a a b b b
 
 
   
9.  
      2 2 2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
sin ,
a b a b a b a b a b a b
a b
a a a b b b
    

   
10. Hai véctơ bằng nhau : 1 1 2 2 3 3 a  ba  b ;a  b ;a  b
11. Véctơ a cùng phương với b  1 2 3
2 2 3
a a a
b b b
 
12. Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ; ) A A A A x y z ; ( ; ; ) B B B B x y z :
2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB  AB  x  x  y  y  z  z
13. Tọa độ trung điểm I của đoạn AB : ; ;
2 2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z
  
  
14. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
     
  
15. Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
; ;
4 4 4
A B C D A B C d A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x y z
        
  
16. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( k 1), nghĩa là MA  k.MB thì tọa độ của M là
. . .
; ;
1 1 1
A B A B A B
M M M
x k x y k y z k z
x y z
k k k
  
  
  
V. MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu :
Dạng Phương trình Tâm Bán kính
Chính tắc       2 2 2 2 x  a  y b  z c  R I(a; b; c) R
Tổng quát
x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
điều kiện: 2 2 2 a b c d  0
I(–a; –b; –c) 2 2 2 R  a b  c  d
Đặc biệt x2 + y2 + z2 = R2 O(0, 0, 0) R
2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mp () : Ax  By Cz D  0 và mặt cầu 2 2 2 2 (S) : (x a) (y b) (z c)  R
Gọi d (I;( ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng ( ) :
 
 
 
1. ( ) ( ) ( ; ( )
2. ( ) ( ) ( ; ( ) . ( )
3. ( ) ( ) ( ; ( )
S d I R
S d I R
S d I R
 
  
 
 
 
 
caét maët caàu
tieáp xuùc maët caàu Khi ñoù goïi laø tieáp dieän
khoâng caét maët caàu
Khi ( ) cắt mặt cầu (S) thì giao tuyến là đường tròn (C):
 Phương trình là:
      2 2 2 2
0
( ) :
Ax By Cz D
C
x a y b z c R
    

      
 Tâm H là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu I lên mặt phẳng ( )
 Bán kính   2 2 r  R  d (I , )
3. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện :
Tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD :
2 2
2 2
2 2
;
IA IB
IA IC R IA
IA ID
 

  
  
VD: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và
D(1; -1; 2). ĐS:       2 2 2
x 1  y 1  z  2  4
Cách 1: Gọi I(x; y; z)  
2 2
2 2
2 2
1;1;1 , 2
IA IB
IB IC I R IA
IC ID
 

    

 
Cách 2:
Gọi phương trình mặt cầu là:   2 2 2 2 2 2 x  y  z  2ax2by 2cz d 0 a b c d  0
Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:
2 2 2 0
6 2 4 14 0
1; 2; 2
2 2 4 6 0
2 2 4 6 0
a b d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
    

     
       
     
     
Kết luận: Phương trình mặt cầu là:       2 2 2
x 1  y 1  z  2  4
VI. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
1. Định nghĩa : Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3 a  (a ;a ;a ),b  (b ;b ;b ) .
  
I
H
R
M
M H
R
I
I
R
r
H
M
(S)
(S)
(S)
(C)

Tích có hướng của hai véctơ a và b là một véctơ, kí hiệu là a,b
 
, và được xác định như sau :
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
b b b
a a a a a a
a b
b b b
 
      
 
2. Tính chất :
1. a cùng phương với b a,b  0
 
2. a,b
 
vuông góc với cả hai véctơ a và b
3. b,a  a,b
   
4. a,b  a . b .sin(a;b)
 
3. Các ứng dụng :
1. Xét sự đồng phẳng của ba véctơ : Ba véctơ a; b; c đồng phẳng a,b.c  0
 
Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện AB, AC.AD  0
 
2. Tính diện tích tam giác :    1 1 2 2
, . .
2 2 ABC S AB AC AB AC AB AC 
    
 
3. Tính thể tích hình hộp : . ' ' ' ' , . ABCD A B C D V  AB AC AD
 
4. Tính thể tích tứ diện :
1
, .
6 ABCD V  AB AC AD
 
5. Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện : AH là đường cao của tứ diện ABCD. Tọa độ
điểm H cho bởi :
. 0
. 0
, , [ , ] 0
AH BC AH BC
AH BD AH BD
BC BD BH BC BD BH
   
 
   
 
    
ñoàng phaúng
BÀI TẬP
1. Cho A(3; 4; −1); B(2; 0; 3); C(−3; 5; 4). Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC. Tính cosin
các góc A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC. ĐS: AB  33;BC  51;CA  62;
cos 45 ;cos 11 ;cos 40 ; 21
2046 1683 3162 2
A  B  C  S 
2. Cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B (2; −1; 3), C(−4; 7; 5). Tính độ dài đường phân giác
trong góc B. ĐS: 1514
3
BD 
3. Cho a = (2; 3; 1), b = (5; 7; 0), c = (3; −2; 4 ). CMR: a , b , c không đồng phẳng.
Cho d = (4; 12; 3). Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ a , b , c .
ĐS: a,b.c  35  0;d  a b c
 
4. Cho A(1; 2; 4), B(2; −1; 0), C(−2; 3; −1). Gọi M(x, y, z) ∈ (ABC). Tìm hệ thức liên hệ giữa x,
y, z. Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính diện tích hình bình hành ABCD.
HD + ĐS: 19 17 8 29 0; ( 1;0; 5); 714 ABC x y z D S       
5. Cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 1), B(1; 1; −2), C(2; 1; 0), D(0; −1; 2). Đường cao AH. Tìm
tọa độ H và độ dài AH. ĐS: 3; 3 ; 1 ; 14
2 2 2
H AH 
6. Cho A(1; 2; −1). Tìm B đối xứng với A qua Oxy và C đối xứng với A qua Oz. Tính S△ABC.
a
b
a,b
 

§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
ĐS: B(1;2;1);C(1;2;1);S  2 5
7. Cho A(1; 2; −1), B(4; 3; 5). Xác định M thuộc Ox, sao cho M cách đều A, B. ĐS: M(0;0;4)
8. Cho A(−4; −1; 2), B(3; 5; −1). Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy và trung điểm của BC
thuộc Oxz. ĐS: C(4;5;2)
9. Cho A(−1; 2; 7), B(5; 4; −2). AB cắt Oxy tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa
độ M. ĐS: 7 ; (11 ;32 ;0)
2 3 9
k   M
10. Cho v  0. Gọi α , β , γ là 3 góc tạo bởi v với Ox, Oy, Oz. CMR: cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
HD: v  (a;b;c)  (0;0;0);cos  cos(v; i);...
I. VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
 Véctơ n  0 được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( ) nếu giá của n vuông góc với mp ( ) ,
kí hiệu là n  ( ) .
 Nếu hai véctơ a và b không cùng phương và giá của
chúng song song hoặc nằm trên mp ( ) (ta còn gọi hai
véctơ a và b là cặp véctơ chỉ phương của mp ( ) ) thì
mp ( ) nhận n  a;b
 
làm véctơ pháp tuyến.
II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Phương trình tham số : Mặt phẳng ( ) đi qua 0 0 0 M(x ; y ; z ) và có cặp VTCP 1 2 3 a  (a ;a ;a ),
1 2 3 b  (b ;b ;b ) có phương trình tham số là :
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
( , )
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
   
    
    
2. Phương trình tổng quát :
Mặt phẳng ( ) đi qua 0 0 0 M(x ; y ; z ) và có VTPT n  (A;B;C) có
phương trình tổng quát là :
0 0 0 A(x  x )  B(y  y ) C(z  z )  0
 Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng :
Ax  By Cz D  0 với 2 2 2 A  B C  0 (1)
 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của
một mặt phẳng và mặt phẳng đó có một VTPT là n  (A;B;C) .
3. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :
Mặt phẳng ( ) không đi qua gốc tọa độ O
và cắt Ox tại A(a;0;0) , cắt Oy tại B(0;b;0)
cắt Oz tại C(0;0;c) có phương trình là :
( ) : 1
x y z
a b c
    .
A
B
C
a
b
c
O
x
y
z
0 M

n  (A;B;C)
n  [a,b]
a
b


4. Các dạng chính tắc :
Mặt phẳng ( ) Phương trình VTPT
1 Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0) n  (A;B;C)
2 Song song Ox hay vuông góc (Oyz) By + Cz + D = 0 n  (0;B;C)
3 Qua (chứa) Ox By + Cz = 0 n  (0;B;C)
4 Song song Oy hay vuông góc (Oxz) Ax + Cz + D = 0 n  (A;0;C)
5 Qua (chứa) Oy Ax + Cz = 0 n  (A;0;C)
6 Song song Oz hay vuông góc (Oxy) Ax + By + D = 0 n  (A;B;0)
7 Qua (chứa) Oz Ax + By = 0 n  (A;B;0)
8 Vuông góc Oz hay song song (Oxy) Cz + D = 0 n  (0;0;C)
9 Trùng (Oxy) z = 0 n  (0;0;1)
10 Vuông góc Ox hay song song (Oyz) Ax + D = 0 n  (A;0;0)
11 Trùng (Oyz) x = 0 n  (1;0;0)
12 Vuông góc Oy hay song song (Oxz) By + D = 0 n  (0;B;0)
13 Trùng (Oxz) y = 0 n  (0;1;0)
5. Chùm mặt phẳng :
 Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là một chùm mặt phẳng.
 Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
1 1 1 1 () : A x  B y C z D  0 và 2 2 2 2 ( ) : A x  B y C z D  0.
Khi đó mỗi mặt phẳng (P) chứa (d) có phương trình dạng :
2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 m(A x  B y C z D )  n(A x  B y C z D )  0, m  n  0
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 () : A x  B y C z D  0 và 2 2 2 2 ( ) : A x  B y C z D  0 .
1. ( ) cắt ( ) 1 1 1 2 2 2  A : B :C  A : B :C ; 2. ( ) // ( ) 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
   
3. ( )  ( ) 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
    ; 4. ( )  ( ) A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Góc giữa hai mặt phẳng 1 1 1 1 1 ( ) : A x  B y C z D  0
và 2 2 2 2 2 ( ) : A x  B y C z D  0 là góc  (với 0 0 0   90 )
thỏa mãn :
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
.
cos
.
n n A A B B C C
n n A B C A B C

 
 
   
trong đó 1 2 n ;n là hai véctơ pháp tuyến của 1 2 ( );( ) .
V. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm 0 0 0 0 M (x ; y ; z ) đến mặt phẳng () : Ax  By Cz D  0 là
0 0 0
2 2 2
( , )
Ax By Cz D
d M
A B C

  

 
VD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(3; 2; 1), tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + 2y + 2z – 3 = 0
 
P
d


2 2 2 2 n  (A ;B ;C )
1 1 1 1 n  (A ;B ;C )
0 0 0   90

ĐS:       2 2 2 64
3 2 1
9
x   y   z  
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : d(, )  d(M, ),M () .
3. Khoảng cách từ 0 0 0 0 M (x ; y ; z ) đến các mặt phẳng tọa độ :
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tọa độ là
0 0 0 0 M (x ; y ; z )
Oxy   0 d M;mpOxy  z
Oxz   0 d M;mpOxz  y
Oyz   0 d M;mpOyz  x
BÀI TẬP MẪU
ĐS: x 2y 3z 3  0
ĐS: 11x 7y 2z 21 0
ĐS: 0 x  y  2z 1 0;  60
ĐS: 11x 2y 15z 3  0
ĐS: (P) :3x  y  0 hoặc (P) : x 3y  0
ĐS: ( ) : x  26y 3z 3  0 hoặc ( ) : x  26y 3z 3  0
ĐS: max 1
3
a  b  c d 

ĐS:  , ( ) 1 ; 3
2 2
d O d  m  
ĐS: V 15; 10x  y  22z 45  0
1 2 ( ) :3x 2y 6z  21 0;( ) :189x  28y  48z 591 0
ĐS: 1 2 ( ) : x  y 5z 1 0;( ) :5x 17y 19z 27  0
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với :
(P) : x  y  z 7  0, (Q) :3x  2y 12z 5  0. ĐS: () : 2x 3y  z  0
2. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M(1;2;1) và chứa giao tuyến của :
(P) : x  y  z 1 0, (Q) : 2x  y 3z  0. ĐS: () : x 2y  2z 1 0
3. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa
3 0
:
3 2 1 0
x y z
x y z
    
 
    
vuông góc với mặt phẳng
(P) : x  y  2z 3  0. ĐS: () :3x  y 4z  47  0
4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách
từ O đến mặt phẳng (ABC). Viết phương trình mặt phẳng qua O, A song song với BC.
ĐS: (ABC) : x  y  z 9  0;d O, (ABC)  3 3;( ) :10x  y 17z  0
5. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng qua C, A và vuông góc với
() : x 2y 3z 1 0. ĐS: ( ) : x  y  z 1 0
6. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với
() : x 2y 3z 1 0 và (ABC) . ĐS: () :5x 2y 3z  0
7. Cho hai mặt phẳng () : 2x  y 3z 1 0, ( ) : x  y  z 5  0 và điểm M(1; 0; 5). Tính
khoảng cách từ M đến ( ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của ( ) , ( )
đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3x – y + 1 = 0.
ĐS:  
18
, ( ) ; ( ) :3 9 13 33 0
14
d M   P x  y  z  
8. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; 3). Tính
khoảng cách từ O đến (P). Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.
ĐS: ( ) : 2 2 9 0;  , ( ) 3; 3 ; 3
ABC 2 OABC 2 P x y z d O P S V        

9. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC. P
và Q là hai điểm nằm trên OC và AB sao cho
2
3
OB
OC
 và hai đường thẳng MN và PQ cắt
nhau. Viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỉ số .
AQ
AB
ĐS: ( ) : 6 3 6 0; 2
3
MNPQ x  y  z   k 
10. Tìm trên Oy các điểm cách đều hai mặt phẳng (P) : x  y  z 1 0;(Q) : x  y  z 5  0.
ĐS: M(0;3;0)

§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Véctơ u  0 được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của
u song song hoặc trùng với d.
2. Nhận xét :
 Mỗi đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương với nhau.
 Nếu u là một VTCP của đường thẳng d thì k.u (kR) cũng là một VTCP của đường thẳng d.
Hai véctơ a và b không cùng phương và cùng vuông góc với đường thẳng d thì a;b
 
là một
VTCP của d.
II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Đi qua VTCP Phương trình Ghi chú
Đường
thẳng
d
0 0 0 M(x ; y ; z )
1 2 3 u  (a ,a ,a )
1) Phương trình tham số :
0 1
0 2
0 3
; ( )
x x a t
y y a t t
z z a t
  
   
   
2) Phương trình chính tắc :
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
 
Nếu mẫu bằng 0 thì tử
bằng 0.
( ; ; ) A A A A x y z
( ; ; ) B B B B x y z
AB
3) A A A
B A B A B A
x x y y z z
x z y y z z
  
 
  
Giao tuyến
của hai mặt
phẳng
4) Phương trình tổng quát :
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
    
    
với
1 1 1 2 2 2 A : B :C  A : B :C
5) Phương trình của các trục tọa độ :
Trục Ox có VTCP 1;0;0 : 0
0
x t
i Ox y
z
     
  
Trục Oy có VTCP  
0
0;1;0 :
0
x
j Oy y t
z
 
   
  
Trục Oz có VTCP  
0
0;0;1 : 0
x
k Oz y
z t
 
   
  
6) Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc :
u
d

VTPT của hai mặt phẳng là :
 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
; ;
; ;
n A B C
n A B C
 
 
 
VTCP của d : 1 2 u  n ,n 
 
Tìm điểm 0 0 0 0 M (x ; y ; z )()( ) Phương trình chính tắc : 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
  
 
Đặt tỉ số này bằng t  Phương trình tham số
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Giả sử : 1
2
qua v có l
qua v có l
d A à VTCP à u
d B à VTCP à v



1. 1 d và 2 d chéo nhau 3 véctơ u; v; AB không đồng phẳng u;u.AB  0
 
.
2. 1 d và 2 d cắt nhau 
3 ; ;
2 ;
u v AB
u v



veùctô khoâng ñoàng phaúng
veùctô khoâng cuøng phöông
; 0
; . 0
u v
u v AB
  
 
 
    
3. 1 d song song 2 d
; 0
; 0
u v
u AB
  
 
 
    
4. 1 d trùng 2 d
; 0
; 0
u v
u AB
  
 
 
    
5. d1  d2  u.v  0 6. d1 và d2 đồng phẳng  u,v AB  0
 
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
+ Đường thẳng
0 0 0 qua ( ; ; )
:
có là ( ; ; )
M x y z
d
VTCP u a b c


 
. + Mặt phẳng ( ) có VTPT là n  (A;B;C)
1. d cắt ( )u.n  0 ; 2. d song song với
. 0
( )
( )
u n
M P

 
 
 
3. d nằm trong
. 0
( )
( )
u n
M P

 
 
 
; 4. d  ()n cuøng phöông vôùi ua :b : c  A: B:C
V. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Góc giữa hai đường thẳng :
+ d1 đi qua M1(x1; y1; z1) và có VTCP 1 2 3 u  (a ;a ;a )
+ d2 đi qua M2(x2; y2; z2) và có VTCP 1 2 3 v  (b ;b ;b )

n
M d
 u
n
M
d
u

u n

n
M u d
A
B u
1 d
2 d
v
A
u
v
1 d
2 d
B
A B u v
1 d
2 d
u
v
A
B
1 d
2 d
1 2 3 u  (a ;a ;a )
1 d
2 d
1 2 3 v  (b ;b ;b )
0 0 0   90

Góc 0 0  0 ;90  giữa d1 , d2 xác định bởi :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos cos( , )
.
u v a b a b a b
u v
u v a a a b b b

 
  
   
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
+ d đi qua M0(x0; y0; z0) và có VTCP u  (a;b;c)
+ mp(α) có VTPT n  (A;B;C)
Góc 0 0  0 ;90  giữa d và mp(α) xác định bởi :
2 2 2 2 2 2
.
sin cos( , )
.
u n aA bB cC
u n
u n a b c A B C

 
  
   
VI. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm ( ; ; ) M M M M x y z đến mặt phẳng () : Ax  By Cz D  0 là :
 
2 2 2
, ( ) M M M Ax By Cz D
d M
A B C

  

 
 Nếu ( ) song song với ( ) thì d ( ), ( )  d M (), ( )
 Nếu đường thẳng  song song với mp ( ) thì d , ( )  d M , ()
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Cho đường thẳng  đi qua A và có VTCP u .
Khoảng cách từ điểm ( ; ; ) M M M M x y z đến đường thẳng  là :
 
[ , ]
, ( )
AM u
d M
u
 
VD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;  1), tiếp xúc với đường thẳng
1 1 2
( ) :
2 1 2
x  y  z 
  

ĐS:       2 2 2
x 1  y  2  z 1  9
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Giả sử 1
2
qua và có là
qua và có là
A VTCP u
B VTCP v



Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng 1  và 2  là :
  1 2
[ , ].
,
[ , ]
u v AB
d
u v
  
VII. HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG
1. Điểm
Điểm M(x; y; z) Điểm M(x; y; z)
Chiếu lên Tọa độ là Đối xứng qua Tọa độ là
Ox (x; 0; 0) Ox (x;  y;  z)
Oy (0; y; 0) Oy (  x; y;  z)
Oz (0; 0; z) Oz (  y;  x; z)

n  (A;B;C)
d
u  (a;b;c)
0 0 0   90
A
B
u
v
1 
2 
H
u
0 0 0 A(x ; y ; z )
M


mp(Oxy) (x; y; 0) mp(Oxy) (x; y;  z)
mp(Oxz) (x; 0; z) mp(Oxz) (x;  y; z)
mp(Oyz) (0; y; z) mp(Oyz) (  x; y; z)
Gốc tọa độ (  x;  y;  z)
2. Đường thẳng
Hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ Phương trình
của đường
thẳng d
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
  
  
   
Oxy
0 1
0 2
0
x x a t
y y a t
z
  
  
  
Oxz
0 1
0 3
0
x x a t
y
z z a t
  
 
   
Oyz 0 2
0 3
x 0
y y a t
z z a t
 
  
   
VIII. GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
B1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp
B2. Xác định tọa độ các điểm cần dùng.
B3. Sử dụng kiến thức tọa độ giải toán.
VD: Bài 10/81 SGK – ban cơ bản. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’) // (BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ ABDA’
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0); D(0; 1; 0), C(1; 1; 0), A’(0; 0; 1),
B’(1; 0; 1), D’(0; 1; 1), C’(1; 1; 1).
a)
AB  (1;0;1);AD  (0;1;1);BC  (0;1;1);BD (1;1;0)
Mặt phẳng (AB’D’) có VTPT AB AD  (1;1;1)
Mặt phẳng (BC’D) có VTPT BCBD (1;1;1)
Suy ra 2 mp(AB’D’) và (BC’D) song song
b) Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên chính là
khoảng cách từ A đến mp(BC’D’).
Phương trình mp(BC’D): x + y – z – 1 = 0
 
1 1
,( )
1 1 1 3
d A BC D

  
 
Vậy khoảng cách giữa hai mp trên là
1
3
.
IX. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :
A
A '
_D '
C '
B '
_D
B C

Cách 1. Giải hệ phương trình : 1
2
( ) ( )
;
( ) ( )
   
 
  
Cách 2. Sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức của các véctơ.
Dạng 2. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt
phẳng ( )
Phương pháp :
Viết phương trình tham số của đường thẳng  qua M và vuông góc
với ( ) . Giao điểm H của  và ( ) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( ) .
VD: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0.
ĐS: H(2; -3; -1)
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:





  
  
 
z t
y t
x t
5 2
1
6 2
Gọi H = d  (P). Ta có Hd  H(6 + 2t; -1+ t; -5 -2t)
Vì H(P)  2(6 + 2t) + ( 1+ t)  2( 5 2t)  3 = 0  t = 2
Vậy H(2;  3;  1)
Dạng 3. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trước
qua mặt phẳng ( )
Phương pháp :
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( ) . Giả sử
1 1 1 0 0 0 M(x ; y ; z ),H(x ; y ; z ) . Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua
( ) là 0 1 0 1 0 1 M(2x  x ;2y  y ,2z  z )
Dạng 4. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường
thẳng 
Phương pháp :
Cách 1. Viết phương trình mp ( ) qua M và vuông góc với  . Giao
điểm H của  và ( ) là hình chiếu vuông góc của M lên  .
Cách 2. Viết phương trình tham số của   tọa độ H theo tham số
t. Véctơ MH  u là véctơ chỉ phương của  . Giải phương trình :
MH.u  0 tham số t  Tọa độ H.
VD: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng d:





 
 
  
z t
y t
x t
1
2 2
2 3
Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của M trên đường thẳng d khi
và chỉ khi u . MH = 0 ( u là VTCP của d)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1).
Gọi Hd suy ra: H( 2 + 3t; 2 2t; 1+ t) nên:
MH =( 1+3t; 4 2t; 3 + t)
H là hình chiếu của M trên d  u .MH = 0
 3( 1+3t)  2(4 2t) + ( 3+t) = 0  t = 1
Vậy H(1; 0; 2)
Dạng 5. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trước
qua đường thẳng 
)
M
H
n
H
)

a
M
)
M’
M
H

M
H

M’
d
H
M

Phương pháp :
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên  .
Giả sử M(x1; y1; z1),H(x0; y0; z0 ) . Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua  là
0 1 0 1 0 1 M(2x  x ;2y  y ,2z  z )
VD: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d có phương trình :






  
 
z t
y t
x t
2
1
1 2
Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi và chỉ
khi u . AH = 0 ( u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA/ từ đó suy ra tọa độ của A/
Đường thẳng d có VTCP u = (2;  1; 2).
Gọi Hd suy ra: H(1+2t ; 1  t ; 2t)
nên: AH =(2t ; 1  t ; 2t  5)
H là hình chiếu của A trên d  u . AH = 0
 2(2t)  (1  t) + 2(2t + 5) = 0  t = 1
suy ra: H(  1; 0;  2)
Ta có H là trung điểm của AA/ nên:







 
1
2
3
/
/
/
A
A
A
z
y
x
Vậy: A/(  3 ; 2 ; 1).
Dạng 6. Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng  lên mp ( )
Phương pháp :
TH1:   ( )Hình chiếu vuông góc của  lên mp ( ) là điểm H  ( )
TH2:  không vuông góc với ( ) ,   ( ) :
Cách 1. Viết phương trình mp ( ) chứa  và ( ) vuông góc với ( )
Hình chiếu vuông góc của  lên ( ) là đường thẳng   ( )() .
Cách 2. Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc 
Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên ( ) là H1, H2
Hình chiếu vuông góc của  lên ( ) là đường thẳng H1H2.
Cách 3. Nếu  cắt ( ) : Xác định A  ( ) . Lấy M bất kỳ không thuộc và khác A.
Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên ( )
Hình chiếu vuông góc của  lên ( ) là đường thẳng AH.
VD: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:





  
  
 
z t
y t
x t
5 5
1 2
6 5
(t R) trên mp(P): 2x + y  2z  3 = 0.
Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và
(P) sau đó lấy Md, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình
chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và có
VTCP AH .
Gọi A là giao điểm của d và (P).
Ta có: Ad suy ra: A(6 5t; 1+2t; 5+5t)
Vì A(P)  2(6 5t) + ( 1+2t)  2( 5+5t)  3 = 0
 t = 1
A
d
H
M
(P)
d
H
A '
A

Do đó A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6;  1;  5) d
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2;  3;  1).
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH = (1;  4;  1)
nên có phương trình :





  
  
 
z t
y t
x t
1
3 4
2
(t R)
Cách 4. Nếu   ( )
VD: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:





  
  
 
z t
y t
x t
5 3
1 2
6 4
(t R) trên
mp(P): 2x + y  2z  3 = 0.
Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó hình chiếu
của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với d.
Ta có: d qua điểm M(6;  1;  5), có VTCP u = (4;  2; 3)
mp(P) có VTPT n = (2; 1;  2)
u . n = 0 và M(P) nên: d // (P)
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2;  3;  1)
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương trình :





  
  
 
z t
y t
x t
1 3
3 2
2 4
Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đường thẳng 1  lên mp ( ) theo phương 2  cắt
( )
Phương pháp :
TH1: 1 2  / / Hình chiếu song song của 1  lên ( ) theo phương 2  là điểm 1 H   ( ) .
TH2: 1  và 2  không song song:
Viết phương trình mp ( ) chứa 1  và song song 2 
Hình chiếu song song của 1  lên ( ) theo phương 2  là đường thẳng   ( )() .
Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng  qua M và cắt 1  , 2  với 1  , 2  chéo nhau và
không đi qua M
Phương pháp :
Cách 1. Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1 
Nếu 1  có phương trình tổng quát thì nên viết phương trình ( ) dưới dạng chùm
Nếu 1  có phương trình tham số thì lấy hai điểm A, B thuộc 1  Phương trình ( ) qua 3 điểm A, B,
M.
* Nếu 2 ( ) / / thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt 2  thì tìm 2 N   ( )
Nếu 1 MN / / thì bài toán vô nghiệm. Nếu MN cắt 1  thì đường thẳng cần tìm là MN.
Cách 2. Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1  , mặt phẳng ( ) qua M và chứa 2 
* Xét   ( )( ) . Nếu  cắt 1  và 2  thì đường thẳng  là đường thẳng cần tìm. Nếu 1  / /
hoặc 2  thì bài toán vô nghiệm.
d
H
M
(P)

Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng  cắt 1  , 2  và song song với 3 
Phương pháp 1: Viết phương trình mp ( ) chứa 1  và song song 3  , mp ( ) chứa 2  và song
song 3 
Nếu ( ) / /( ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt ( ) thì xét   ( )( ) .
Nếu  cắt 1  và 2  thì  là đường thẳng cần tìm.
Nếu 1  / / hoặc 2  thì bài toán vô nghiệm.
Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của 1  theo t1, của 2  theo t2. Lấy điểm
1 2 M  ,N   Tọa độ M, N theo t1, t2 MN theo t1, t2.
Xác định t1, t2 sao cho 3 MN / / Đường thẳng  cắt 1  , 2  và song song với 3  là MN.
Phương pháp 3: Gọi 0 0 0 M(x ; y ; z ) là giao điểm của  và 1  .
 nhận VTCP của 3  làm VTCP  Phương trình tham số của  theo 0 0 0 x ; y ; z .
 cắt 2  suy ra hệ
2
 

có nghiệm 0 0 0 x ; y ; z Phương trình  .
VD: Viết phương trình đường thẳng  cắt 2 đường thẳng d1:





 
  

z t
y t
x t
1
2 3 ; d2:





 
  
 
/
/
/
4
1 3
1 2
z t
y t
x t
và
song song với đường thẳng d:
1
4
3 2
1 
 
x  y z
Nhận xét: Bài toán này ta lấy Ad1, Bd2 khi đó A, B  khi và chỉ khi hai vectơ u ,
AB cùng phương ( u là VTCP của d), đường thẳng  qua A và có VTCP u
Đường thẳng d có VTCP u = (3; 2; 1).
Gọi Ad1 suy ra: A(t; 2 3t; 1+t)
Bd2 suy ra: B(1+2t/ ; 1+3t/ ; 4  t/ )
nên: AB = (2t/  t + 1; 3t/ + 3t + 1;  t/  t + 3)
A, B   u và AB cùng phương

1
3
2
3 3 1
3
2 1 / / /   

 

t  t  t t t t

  
 
 
1
5 2 8
/
/
t t
t t

  

 
2
1
/ t
t
suy ra A(-1;1;0) .
Đường thẳng  qua A và có VTCP u = (3; 2; 1) nên có phương trình :






 
  
z t
y t
x t
1 2
1 3
Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với 1  , cắt 2  trong đó
1 2 M  ,
Phương pháp : Viết phương trình mp ( ) qua M và vuông góc với 1  , mp ( ) qua M chứa 2 
Nếu ( ) / /( ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt ( ) thì xét   ( )( ) .
d
B
d2
d1
A


Nếu  cắt 2  thì  là đường thẳng cần tìm.
Nếu  / /2 thì bài toán vô nghiệm.
VD: Viết phương trình đường thẳng  qua A(2; 1; -3) cắt đường thẳng d1:





 
  
 
z t
y t
x t
4
1 2
3
(t R) và
vuông góc với đường thẳng d2:





  
 
 
z t
y t
x t
5
3
1 4
(t R)
Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd1, khi đó H  khi và chỉ khi u . AH = 0 ( u là VTCP
của d2); đường thẳng  qua I và có VTCP AH
Đường thẳng d2 có VTCP u = (4; 1; 1).
Gọi Hd1 suy ra: H(3+t; 1 2t; 4+t) nên:
AH =(1+t; 2 2t; 7+t)
H   u . AH = 0  4(1+t) + ( 2 2t) + (7+t) = 0  t = -3
Suy ra H(0; 5; 1)
Đường thẳng  qua A và có VTCP AH =(2;  4;  4) = 2(1;  2;  2)
nên có phương trình :





  
 
 
z t
y t
x t
3 2
1 2
2
(t R)
Dạng 11. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 2  ,
Phương pháp :
a. TH dặc biệt : 1 2   
Viết phương trình mp ( ) chứa 1  và 2   
Tìm 2 M   ( ) , H là hình chiếu vuông góc của M lên 1  MH là đường vuông góc chung của
1  , 2  .
b. Phương pháp 1 : Viết phương trình 1  , 2  dưới dạng tham số
Lấy 1 2 M  ,N   Tọa độ M, N theo t1, t2 MN theo t1, t2.
MN là đường vuông góc chung của 1  , 2  1 2 1 2 MN   ,MN   t , t MN.
c. Phương pháp 2 : Gọi 1 2 a ,a là VTCP của 1  , 2   Đường vuông góc chung  có VTCP
1 2 a  a ,a 
 
. Viết phương trình mp ( ) chứa 1  và song song  , mp ( ) chứa 2  và song song
   ()( ) .
VD: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau
d:






 
 
z t
y t
x t
2
5 3
(t R) và d/ :





 
  
  
/
/
/
4
7 3
2
z t
y t
x t
( ) / t R
d2
d1
H
A


Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đường vuông góc chung của d và d/
khi và chỉ khi
. 0
. 0
u AB
v AB
 

 
; đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB
Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; 1).
Đường thẳng d/ có VTCP v = (1; 3; -1).
Gọi Ad suy ra: A(5+3t; 2+t; t)
Bd/ suy ra: B( 2+t/ ; 7+3t/ ; 4  t/ )
nên: AB =(t/  3t  7; 3t/  t  9;  t/  t + 4)
AB là đường vuông góc chung của d và d/ 
. 0
. 0
u AB
v AB
 

 

  
         
         
( 3 7) 3(3 9) ( 4) 0
3( 3 7) (3 9) ( 4) 0
/ / /
/ / /
t t t t t t
t t t t t t

  
 
 
11 5 38
5 11 26
/
/
t t
t t

  

 
3
1
/ t
t
suy ra: A(2; 1;  1); AB =(  1; 1; 2)
Đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB =(  1; 1; 2) nên có phương trình :





  
 
 
z t
y t
x t
1 2
1
2
(t R)
Dạng 12. Các bài toán về khoảng cách
12.1 Tính khoảng cách : (dễ)
VD: Bài 6/ 90(sgk – ban cơ bản).
Tính khoảng cách từ đường thẳng
3 2
: 1 3
1 2
x t
y t
z t
   
    
    
và mặt phẳng   : 2x 2y + z + 3 = 0
Giải: Đường thẳng  đi qua M(-3; -1; -1), có vectơ chỉ phương a  2;3;2 và mp   có
VTPT n  (2;2;1) .
Suy ra: a.n  0 và M không nằm trên   nên  và   song song.
Do đó:      
2( 3) 2( 1) 1 3 2
, ,
4 4 1 3
d  d M P
    
   
 
12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước : (dễ)
VD1: Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 3. Lập phương trình mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với (P):
2x + 2y + z + 3 = 0 tại M(-3; 1; 1).
ĐS:               2 2 2 2 2 2 S : x 1  y 3  z  2  9 hoÆc S : x 5  y 1  z  9
d '
d
A
B

VD2: Cho mặt cầu (S) bán kính R = 1. Lập phương trình mặt cầu biết tâm
1 2
( ) :
3 1 1
x y z
I
 
   
và tiếp xúc với (P) : 2x  y 2z  2  0.
ĐS:          
2 2 2
2 2 2 8 9 1
: 2 3 1 1 : 1
5 5 5
S x y z S x y z
     
                 
     
hoÆc
12.3 Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất :
a. Dạng 1: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2 A(x ; y ; z );B(x ; y ; z ). TìmM (P) : ax by cz  d  0để (MA+MB)min.
Phương pháp : Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại
lượng : 1 1 1 2 2 2 ; A B t  ax by cz  d t  ax by cz  d
* Nếu 0 , A B t t   A B khác phía đối với (P). Gọi 0 M  (AB)(P) , khi đó
0 0 MAMB  AB  M AM B.
* Nếu 0 , A B t t   A B cùng phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng với A qua (P). Gọi 0 1 M  (AB)(P) .
Khi đó, 1 1 0 1 0 MAMB MA MB  AB M A M B.
VD: Trong không gian Oxyz cho M(1; 2; 3), và N(4; 4; 5). Tìm điểm I mp(Oxy) sao cho IM + IN
nhỏ nhất.
Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng. Nếu M, N
nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía
của mặt phẳng thì I là giao điểm của M 'N và mặt phẳng trong đó M ' là điểm đối xứng của M qua mặt
phẳng đó.
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Trước hết ta xét xem M và N có ở một trong hai phía
với mp (Oxy) hay không? Dể thấy zM . zN = 3.5 = 15 > 0  M, N ở về một phía với mp (Oxy).
Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:
1
2
3
x
y
z t
 
 
   
Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy).
Ta có H d  H(1; 2; 3 + t)
Vì H(Oxy)  3 + t = 0  t =  3
 H(1; 2; 0)
Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).
H là trung điểm của MM' nên M'(1; 2; 3) và M 'N = (3; 2; 8)
Ta có IM + IN = IM' + IN  M'N  Min (IM + IN) = M'N  I là giao điểm của M'N và mp(Oxy)
M'N qua M ' có VTCP M 'N = (3; 2; 8) nên có phương trình:
,
,
,
1 3
2 2
3 8
x t
y t
z t
  

  
    
Điểm I( 1 + 3t', 2 + 2t',  3 + 8t')d vì I(Oxy)   3 + 8t' = 0  t' =
3
8
Vậy I
17 11
; ;0
8 4
 
 
 
b. Dạng 2: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2 A(x ; y ; z );B(x ; y ; z ). TìmM (P) : ax by cz  d  0để MAMB max.
Phương pháp : Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại
lượng : 1 1 1 2 2 2 ; A B t  ax by cz  d t  ax by cz  d
M
N
M'
Oxy
d
H I

* Nếu tAtB  0 A,B cùng phía đối với (P). Gọi 0 1 M  (AB)(P) . Khi đó
0 0 MAMB  AB  M AM B
* Nếu 0 , A B t t   A B khác phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng với A qua (P). Gọi 0 1 M  (AB)(P) .
Khi đó 1 1 0 1 0 MAMB  MA MB  AB  M A M B
c. Dạng 3: Cho 2 điểm 1 1 1 2 2 2 A(x ; y ; z );B(x ; y ; z ) . Tìm M  cho trước sao cho (MA + MB) min.
Phương pháp : Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của các điểm A, B lên  .
Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số 0
0
M A AA
k
M B BB
 
  
 
.
Ta chứng minh 0 0 MAMB  M AM B .
Chứng minh : Gọi   1 A (P)  (),B sao cho A1 khác phía đối với B so với  và thỏa mãn
1 1 0
1 0
1 0
, ,
A A AA A A M A
A M B
A A BB M B
     
   
     
thẳng hàng
1 1 0 1 0 0 0 MAMB  MA MB  AB  M A M B M AM B.
VD: Trong k/gian Oxyz cho: M(3; 1; 1), N( 4; 3; 4) và đường thẳng d có phương trình:
7
3 2
9
x t
y t
z t
  
  
   
.
Tìm điểm Id sao cho: IM + IN nhỏ nhất.
Nhận xét: Ta có MN d nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d  (P) trong đó (P) là mặt
phẳng qua MN và vuông góc với d
Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1), vì MN .u =0  MN d
Mặt phẳng(P) qua MN và vuông góc với d có phương trình là: x 2y + z  2 = 0
Gọi H = d  (P), Hd  H(7 + t; 3 2t; 9 + t)
Vì H(P) nên: (7 + t)  2(3 2t) +(9 + t)  2 = 0
 t =
4
3
  H
17 17 23
; ;
3 3 3
 
 
 
Với Id, ta có: IM + IN  HM + HN
IM + IN nhỏ nhất  IM + IN = HM + HN  I H
Vậy: I
17 17 23
; ;
3 3 3
 
 
 
Dạng 13. Các bài toán về góc (dễ)
BÀI TẬP MẪU
M
N
d
H
I
(P)

 Công thức tính đạo hàm:
 
1 1 2 1 1 1 1
2
1 1 1 / 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
a b a c b c
x x
a x b x c a b a c b c
y y
a x b x c a x b x c
 
 
  
   
ĐS: 1. a)M(1;0;4) ; b)M(1;0;4) ; c)
2(1 2 7) 1 10 14 7
; ;
3(1 7) 3 3(1 7)
M
    
        
; d)
12 5 38
; ;
7 7 7
M
 
 
 
2. (P) :5x 13y 4z  21 0 ; 3. (Q) : x  y  z 3  0; 4. x 5y 2z 9  0 ;
5.
1 4 2 1 4 2
;
1 4 3 15 18 19
x  y  z  x  y  z 
   
  
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Xác định giao điểm của đường thẳng
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
    
 
    
với mp () : x  y  2z 1 0 .
ĐS: M(6;3;1)
2. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên () : x  y 3z 5  0.
ĐS:
12 23 30
; ;
11 11 11
M
 
 
 
3. Xác định hình chiếu vuông góc của M(  1;  1; 1) lên đường thẳng
1
2
3 3
x t
y t
z t
  
  
    
.
ĐS:
6 5 18
; ;
11 11 11
M
 
 
 
4. Xác định điểm M’ đối xứng với M(13; 2; 3) qua mp () : x  y 3z 5  0. ĐS: M(11;0;9)
5. Xác định điểm đối xứng với M(0; 2; -1) qua đường thẳng
1
: 2
3 3
x t
y t
z t
  
   
   
. ĐS: M’(4; 4; 1)
6. Xác định hình chiếu của
5 4 2 5 0
:
2 2 0
x y z
x z
    
 
   
lên mp () : 2x  y  z 1 0.
ĐS:
2 4 8 1 0
:
2 1 0
x y z
x y z
    
 
    

7. Viết phương trình đường thẳng qua M(1; 3; 0) và cắt cả 1 2
1 2
2 0
: ; : 3
2 5 0
4
x t
y
y t
x z
z t
  
   
     
       
ĐS:
2 3 11 0
:
2 7 0
x y z
x y
    
 
   
8. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mp () : 2x  y 2z 15  0 và điểm J(-1; -2; 1). Gọi I là
điểm đối xứng của J qua ( ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) theo một
đường tròn có chu vi là 8 . ĐS: 2 2 2 (S) : (x 5) (y  4) (z 5)  25
9. Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình
lần lượt là (P) : x  2y 4  0 và (Q) : x  2y 6  0 .
ĐS:
2 2 2
2 1 0
( ) ( ) :
5
x y
I S
x y z

   
  
   
10. Trong không gian cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm : A(0; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), D(0; 1;
0) và mặt cầu (S’ ) đi qua bốn điểm :
1 1 1
( ;0;0), (0; ; ), (1;1;0), (0;1;1)
2 2 2
A B C D . Tìm phương
trình đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu đó.
ĐS:
2 2 2
9 9 4 0
( ) : 1 1 1 3
( ) ( ) ( )
2 2 2 4
x y z
C
x y z
    

      


SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG
Trường THPT An Phú
Họ & tên :
Lớp :
¤n thi §¹i häc – Cao ®¼ng C©u 6
Oxy
Oxz
Oyz
O
j
i
k
z
x
y

Luyen thi oxyz hinh 12

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Luyen thi oxyz hinh 12

Similar to Luyen thi oxyz hinh 12 (20)

More from phongmathbmt

More from phongmathbmt (20)

Luyen thi oxyz hinh 12