Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                   năm 2012-2013I. TỌA ĐỘ ĐIỂM,...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                               năm 2012-2013c/ Đường thẳng AB c...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                         năm 2012-2013+ Chọn gốc của hệ trục tọ...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                             năm 2012-2013Bài 2. Cho hình lập p...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                    năm 2012-2013   + Hai bộ số...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                    năm 2012-2013VD 6. Cho G(1;...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                          năm 2012-2013                        ...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                              năm 2012-20132. Vuông góc với một...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                       năm 2012-2013 Phƣơng ph...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                     năm 2012-2013 d ( I ;( P)...
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                             năm 2012-2013b/ Viết pt mp ( ) qu...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Một số bt về đường thẳng, mp

17,372 views

Published on

  • http://sachsangtao.com
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Một số bt về đường thẳng, mp

  1. 1. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013I. TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉCTƠCần nhớ:         *Cho 3 véctơ a ,b ,c trong đó a ,b không cùng phương. a ,b ,c đồng phẳng  !k , l  : c  k.a  l.b       * a ,b ,c không đồng phẳng thì x,!m, n, p   : x  m.a  n.b  p.c1. Hệ tọa độ trong không gian2. Kết quả cần nhớ  Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  ( x1; y1; z1 ),v  ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi đó:          * u  v  ..., u  v  ..., ku  ..., u.v  ... u  v  , * u , v cùng phương    * Độ dài véctơ u  , * cos(u , v )   * Tọa độ AB , Khoảng cách giữa hai điểm A, B…    x  kxB y A  kyB z A  kzB * Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1 (tức là MA  kMB ) và ta có M  A ; ;   1 k 1 k 1 k * Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác…   VD1. Trong không gian Oxyz cho ba vector a  (3;0;1), b  (1; 1; 2), c  (2;1; 1)     a/ Tính a (b c ), | a  b |      b/ Tính cos(a, b ), cos(a,c ), cos(a  b , c )VD 2. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;4;2), B(4;1;0), C(5; 1;1)a/ Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của ta giác.b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.     c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MB  MC  6MA  0d/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, chứng minh A, G, M thẳng hàng.3. Tích có hƣớng của hai véctơ và ứng dụng   * Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  ( x1; y1; z1 ),v  ( x2 ; y2 ; z2 ) . Tích có hướng của hai véctơ u ,v là   yz zx x y một véctơ và được xác định bởi [ u ,v ]   1 1 ; 1 1 ; 1 1   y2 z2 z2 x2 x2 y2 * Tính chất         + [ u,v ]  u; [ u, v ]  v hay [ u ,v ] .u  0; [ u ,v ] .v  0      + [ u , v ]  u v sin(u ,v )    + [ u ,v ]  0  u,v cùng phương      * Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ a , b , c đồng phẳng là [ a, b] . c  0* Ứng dụng:   + Diện tích hình hành ABCD là S ABCD  [ AB, AD ] 1   + Diện tích tam giác ABC là SABC  [ AB, AC ] 2    + Thể tích hình hộp ABCD.ABCD là Vhh  [ AB, AD ] . AA 1    + Thể tích tứ diện ABCD là V  [ AB, AC ] . AD 64. Phƣơng trình mặt cầuĐN. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) , bán kính R là: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2Dạng khác: Phương trình dạng x2  y 2  z 2  2 Ax  2By  2Cz  D  0 (Thỏa đk A2  B2  C 2  D  0 )là phương trình của một mặt cầu tâm I ( A; B; C ) , bán kính R  A2  B2  C 2  D .    VD 3. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết OA  (3; 2; 2), OB  (5; 4; 1) , C (1;3;0) .a/ Chứng minh tam giác ABC vuông cân.b/ Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -1- THPT Chuyên Lê Khiết
  2. 2. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013c/ Đường thẳng AB cắt (Oxy) tại M. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M.d/ Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp ABCO.VD 4. Trong không gian Oxyz cho hình bình hành ABCD với A(1;0;1), B(2;1;2) và giao điểm hai đường 3 3chéo I ( ;0; ) . 2 2a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành.b/ Tính diện tích hình bình hành ABCD.c/ Tìm diện tích tam giác ABM với M (2;3;4) , suy ra khoảng cách từ A đến đường thẳng BM.d/ Chứng minh rằng ABCE với E (1;2; 3) là 4 đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó rồi suy rakhoảng cách từ E đến mặt phẳng (ABC).e/ Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE.f/ Tìm tọa độ trực tâm H của MNP với M (1;2;3), N (3;5;4), P(3;0;5) .VD 5. Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp saua/ Qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trong mp (Oxy).b/ Bán kính bằng 2, tiếp xúc với mp (Oyx) và có tâm nằm trên tia Ox.c/ Có tâm I (1; 2;3) và tiếp xúc với mp (Oyx).VD 6. Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.ABCD với A(0;1;1) , B(0; 2;3) , C (2;4;2), A(1;2;5) .a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.b/ Tính diện tích mặt chéo BDDB.c/ Tính thể tích của khối hộp ABCD.ABCD.VD 7. Trong không gian Oxyz cho (Sm ): x2  y 2  z 2  4mx  4 y  2mz  m2  4m  0a/ Tìm điều kiện của m để ( Sm ) là mặt cầu.b/ Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong họ ( Sm ) nêu trên.5. Giải bài toán không gian bằng phƣơng pháp tọa độ (trích một phần ôn thi ĐH) Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độthích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.Phương pháp.B1. Chọn hệ trục Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O)B2. Xác định tọa độ các điểm có liên quan (có thể xác định tất cả các điểm hoặc một vài điểm cần thiết).Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:+ Điểm nằm trên các trục, mp tọa độ hay trên đường thẳng nào đó,..+ Dựa vào quan hệ song song, vuông góc của các yếu tố của hình đã cho,…+ Điểm cần tìm là giao điểm của các đường, của đường và mặt,…B3. Dùng các kiến thức về tọa độ cùng với kiến thức hh lớp 11 để giải bài toán.Dạng toán thường gặp: -Chứng minh sự song song, vuông góc,… -Thể tích khối đa diện, tỉ số thể tích, diện tích thiết diện, bài toán cực trị và quỹtích.Chú ý: + S   S.cos  trong đó S là diện tích của đa giác (H), S là diện tích hình chiếu của (H) trên ( ) , là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp ( ) . + Cho tứ diện S.ABC, trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A, B, C khác với S. VS . ABC  SA SB SC Ta luôn có  · · VS . ABC SA SB SCTa thường gặp một số hình có thể dùng hệ trục tọa độ như sau:Dạng 1. Đối với hình hộp chữ nhật, hình lập phương+ Chọn gốc là một đỉnh trong 8 đỉnh.+ Ba cạnh xuất phất từ một đỉnh nằm trên 3 trục.Dạng 2. Hình chóp tam giác có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh vuông góc với nhau từng đôi một.Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -2- THPT Chuyên Lê Khiết
  3. 3. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013+ Chọn gốc của hệ trục tọa độ trùng với đỉnh của góc vuông đó, ba trục chứa 3 cạnh xuất phát từ đỉnh củagóc vuông đó.Dạng 3. Tứ diện đềuCách 1. + Dựng hình lập phương ngoại tiếp tứ diện đều. + Chọn hệ trục có gốc trùng với một đỉnh của hình lập phương. + Ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó nằm trên ba trục.Cách 2. Hai trục lần lượt chứa đường cao và một cạnh tương ứng của mặt (BCD), trục còn lại vuông gócvới (BCD) (cùng phương với đường cao AH). Chú ý: Chóp tam giác đều cũng có cách chọn tương tự.Dạng 4. Hình chóp tứ giác có đáy là hình thoi, các cạnh bên bằng nhau+ Chọn trục Oz chứa đường cao SO của hình chóp.+ Hai trục Ox, Oy lần lượt chứa hai đường chéo của đáy.Chú ý: Hình chóp tứ giác đều cũng chọn như vậy SDạng 5. Chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau.+ Chọn gốc O là một đỉnh của HCN, hai trục chứa 2 cạnh của HCN.+ Trục thứ 3 vuông góc với đáy (cùng phương với đường cao SO của hình chóp, trục Az nằm trên mặtchéo (SAC))Dạng 6. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân+ Chọn hai trục lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác cân là đáy của lăng trụ. Trụccòn lại chứa đường trung bình của mặt bên.Chú ý: Lăng trụ tam giác đều cũng chọn tương tự.Dạng 7. Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi+ Chọn trục Oz nằm trên đường thẳng nối tâm hai đáy+ Hai trục còn lại chứa hai đường chéo đáyChú ý: Lăng trụ đứng có đáy là hình vuông có cách chọn như vậy hoặc đơn giản hơn là chọn trục Oz làmột cạnh của lăng trụ.Dạng 8. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuôngChọn đỉnh tam giác vuông làm gốc, ba trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh này.*Một số bài tập áp dụng.Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạn bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm củaAB, BC, DD . Chứng minh rằng AC  (MNP)       HD. Chọn hệ trục Oxyz, sau đó chứng minh AC.MN  0, AC.MP  0Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -3- THPT Chuyên Lê Khiết
  4. 4. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ tự trung điểm các cạnh AD,CD. Lấy P  BB : BP  3PB . Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương.  HD. Chọn hệ trục Oxyz, gọi n, n theo thứ tự là vtpt của (ABCD) và (MNP), S , S  lần lượt là diện tíchthiết diện và diện tích hình chiếu của nó trên (ABCD). Lúc đó diện tích hình chiếu là S   S ABCNM .  2 1 1 7a 2 6Gọi   (( ABCD),(MNP)) thì cos  | cos(n,n ) |  . S .S  (S ABCD  S DMN )  6 cos cos 16Bài 3. Cho tứ diện OABC với OA  a, OB  b, OC  c và OA  OB  OC .a/ Tính cosin các góc của tam giác ABC. Chứng tỏ ABC là tam giác nhọn.b/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính OG. a2 1 2HD . Chọn hệ trục Oxyz, Tính cos A   0, OG  a  b2  c 2 a b . a c 2 2 2 2 3Bài 4. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ( ABC), SA  a . Tính tan của góc giữa haiđường thẳng AB, SC. ĐS. tan   7Bài 5. Cho tứ diện SABC có đường cao SA  h, ABC vuông tại C, AC  b, BC  a . Gọi M là trung điểm  1  của AC và N là điểm sao cho SN  SB 3a/ Tính độ dài đoạn MN.b/ Tìm mối liên hệ giữa a, b, h để MN  SB . 1 2    ĐS. MN  b  4a 2  16h 2 , MN .SB  0  4h 2  2a 2  b 2 6§2. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG1. Phƣơng trình mặt phẳng   * n  0 được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ) .  * n là véctơ pháp tuyến của mp ( ) thì k.n (k  0) cũng là vector pháp tuyến của ( ) .  * a ,b không cùng phương và lần lượt nằm trên hai đường thẳng song song hoặc chứa trong ( ) thì một   vtpt của ( ) là n = [ a,b ] . * Phương trình của mặt phẳng ( ) qua M o ( xo ; yo ; zo ) và nhận n  ( A; B; C ) làm một vtpt: A( x  xo )  B( y  yo )  C ( z  zo )  0 (1)Hay Ax  By  Cz  D  0 Trong đó A2  B2  C 2  0 .VD. Lập ptmp ( ) trong các trường hợp sau:a/ ( ) qua 3 điểm A(0;1;2), B(2; 2;1),C (2;0;1) ĐHKB 2008b/ ( ) qua hai điểm A(1;1; 1), B(5;2;1) và song song với trục Oz.c/ ( ) qua điểm A(3; 2; 1) và song song với mặt phẳng 4 x  3 y  z  5  0 .d/ ( ) qua 2 điểm A(0;1;1), B(1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng x  y  z  1  0 .2. Các trƣờng hợp riêng. Giả sử ( ) : Ax  By  Cz  D  0 , A2  B2  C 2  0 khi đóa) ( ) qua gốc O  D  0b) ( ) song song hoặc chứa Ox  A  0c) ( ) song song hoặc trùng với (Oxy)  A  B  0 D D D x y zd) Nếu A, B,C, D  0 , Đặt a   , b   , c   ta đưa pt về dạng    1 , và được gọi là pt A B C a b cmặt phẳng theo đoạn chắn. Lúc đó ( ) qua M (a; o; o), B(0; b;0), C (0;0; c)VD. Trong kg Oxyz cho M (30;15;6)a/ Viết ptmp ( ) qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ.b/ Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp ( ) .ĐS: x  2 y  5z  30  0, H (1;2;5)3. Vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng* Xét các bộ ( x1;...; xn ), n  2, trong đó các số x1 ,..., xn không đồng thời bằng 0.Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -4- THPT Chuyên Lê Khiết
  5. 5. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 + Hai bộ số ( A1;...; An ) và ( B1;...; Bn ) được gọi là tỉ lệ nhau nếu tồn tại số t sao cho A A( A1;...; An )  t ( B1;...; Bn ) . Ta viết A1 :  : An  B1 :  : Bn hay 1    n B1 Bn + Hai bộ số ( A1;...; An ) và ( B1;...; Bn ) không tỉ lệ , ta viết A1 :  : An  B1 :  : Bn* Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mp ( ) : Ax  By  Cz  D  0, ( ) : Ax  By  Cz  D  0 . + ( ) cắt ( )  A : B : C  A : B : C A B C D + ( ) // ( )     , A.B.C.D  0 A B C  D A B C D + ( )  ( )     , A.B.C.D  0 A B C  DVD. Cho hai mp ( ) : 2 x  my  3z  6  m  0, ( ) : (m  3) x  2 y  (5m  1) z 10  0Tìm m để: ( ) cắt ( ) , ( ) // ( ) , ( )  ( ) , ( )  ( )4. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng * Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) tới ( ) : Ax  By  Cz  D  0 là | Ax0  By0  Cz0  D | d ( M 0 ;( ))  A2  B 2  C 2* Góc giữa hai mặt phẳng.Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 , ( ) :A x  B y  C z  D  0 . Thì  bằnghoặc bù với góc giữa hai VTPT của hai mặt phẳng đó. Vì vậy    | n. n | | A. A  BB  CC | cos  | cos(n, n ) |     | n | .| n | A  B 2  C 2 . A 2  B 2  C 2 2Để lập pt mặt phẳng ( ) ta cần:C1. Biết một điểm thuộc ( ) và một vtpt của ( ) .C2. Biết một điểm thuộc ( ) và hai vector nằm trên hai đường thẳng a, b (a b) mà chúng chứa trong( ) hoặc song song với ( ).VD 1. Trong mp Oxyz, viết pt mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau đây a/ ( ) qua A(2; 1;3) và có một vtpt n  (2;7; 1)  b/ ( ) qua A(4;1; 3) song song với giá của hai vector u  (2;1; 1), v  (3;5; 2)c/ ( ) qua 3 điểm A(2; 1;3), B(4;0;1), C(10;5; 3)d/ ( ) qua A(2;1;4) và song song với mặt phẳng ( ) : 4 x  3 y  2 z  5  0e/ ( ) qua OA và vuông góc với mặt phẳng ( ) :  3x  2 y  4 z 13  0f/ ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN với M (2;3;4), N (4;3; 5)g/ ( ) qua M (3; 1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) :  3x  2 y  4 z 13  0 , ( ) : 2x  y  5z  3  0VD 2. Trong mp Oxyz, cho 4 điểm A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)a/ Lập phương trình ( ABC ) .b/ Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện.c/ Lập pt mặt phẳng (  ) qua D và song song với mp ( ABC ) .d/ Tìm khoảng cách từ D đến ( ABC ) .VD 3. Cho hình lặp phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Dùng phương pháp tọa độ để:a/ Chứng minh ( ABD) // ( BCD) .b/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên.VD 4. Cho ( ) : 2 x  3 y  z 17  0, M (2;3;4)a/ Tìm khoảng cách từ M đến ( )b/ Tìm điểm A trên Ox cách đều điểm M và mặt phẳng ( )c/ Tìm điểm N trên Oz cách đều hai mặt phẳng ( ) : x  y  z  1  0, ( ) : x  y  z  5  0VD 5. Cho tứ diện ABCD với A(1;0;4), B(1;1;0), C(0;0;1), D(2;3; 1) . Viết ptmp ( ) qua trọng tâm Gcủa tứ diện đồng thời song song với AB và CD.Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -5- THPT Chuyên Lê Khiết
  6. 6. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013VD 6. Cho G(1; 2;3) , gọi ( ) là mp qua G và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho ABC nhận G làmtrọng tâm. Viết phương trình mặt phẳng ( ) .VD 7. Cho hai mặt phẳng ( ) : x  2 y  z  2  0,(  ) : x  my  (m  1) z  m  2  0 . Tìm giá trị của m để 1hai mặt phẳng ( ),(  ) hợp với nhau một góc 600 . ĐS m  1; m   2VD 8. Viết phương trình mặt phẳng () trong mỗi trường hợp sau:a/ Đi qua ba điểm A(1; 1;2), B(1;3;2), C (4;3;2) . Từ đó chứng minh rằng: bốn điểm A, B, C và D(4; 1; 2) đồng phẳng.b/ Đi qua các hình chiếu của điểm P(2; 1;  trên các trục tọa độ. 2)c/ Đi qua điểm M (5; 4; 3) và cắt ba trục tọa độ ở ba điểm cách đều gốc tọa độ.VD 9. Cho hai mặt phẳng: ( ) : 2 x  y  2 z 1  0 , ( ) : x  6 y  2 z  5  0 và điểm I (1; 3;4)a/ Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên vuông góc.b/ Viết pt mp () đi qua gốc tọa độ và giao tuyến của hai mặt phẳng trên.c/ Viết phương trình mp tiếp diện tại A(1; 2; 3) của mặt cầu tâm I (1;3; 2) bán kính IA.d/ Lập pt mặt cầu tâm I và tiếp xúc Ox .e/ Viết pt mặt cầu qua A(1;2; 4), B(1; 3;1), C (2;2;3) biết tâm của nó nằm trong mặt phẳng Oxy .VD 10. Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1; 4;9) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại cácđiểm A, B, C (khác gốc O) sao cho:a/ Thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.b/ OA  OB  OC đạt giá trị nhỏ nhất. PHƢƠNG PHÁP VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz . -------------------------------------I. Một số kiến thức cơ bản về phƣơng trình của đƣờng thẳng trong không gian Oxyz  * u  0 được gọi là VTCP của đthẳng d nếu u nằm trên d hoặc trên những đường thẳng song song với d. 1. Phương trình tham số: Đường thẳng (d ) qua M o ( xo ; yo ; zo ) và có một véctơ chỉ phương u  (a; b; c)  x  x0  at sẽ có phương trình tham số:  y  y0  bt , a 2  b2  c 2  0 , (1)  z  z  ct  0 x  x0 y  y0 z  z02. Phương trình chính tắc: Trong (1) nếu a.b.c  0 thì ta có   (2) a b cVà (2) được gọi là pt chính tắt của (d ) . II. Phƣơng pháp viết phƣơng trình của đƣờng thẳng trong kgPhƣơng pháp 1: Tìm một điểm nằm trên đthẳng  và một VTCP của nó. 1. Đi qua hai điểm A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) .  Đường thẳng  đi qua A( xA ; y A ; z A ) và nhận AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  z A ) làm VTCP, viết được ptts. Ví dụ: Trong kg Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(4; 0;  3) , C (2; 3; 2) a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Tìm tọa độ điểm H. 2. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng a có pt cho trước. Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTCP của a làm VTCP của nó. Từ đó suy ra phương trình của . 3. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng () có pt cho trước.  Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTPT n của () làm VTCP của nó. Từ đó suy ra phương trình của . Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;3) , B(1; 2;1) , C (1; 1; 3) . Hãy viếtphương trình tham số của đường thẳng  đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳngchứa tam giác ABC.Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -6- THPT Chuyên Lê Khiết
  7. 7. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 (ĐH Huế, Khối A-1999) 4. Nằm trong một mặt phẳng () và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước.Đường thẳng  cần tìm chính là đường thẳng đi qua các giao điểm của () với đường thẳng a và b .Giải tọa độ giao điểm, từ đó suy ra phương trình của .Ví dụ: Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng x  1 t x  2  t  y  2 z  0 và cắt cả hai đường thẳng:  :  y  t ,  :  y  4  2t (ĐH Huế, Khối A-2000)  z  4t z  1   5. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng a, b không cùng phương có pt cho trước.       Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận u  u, u  làm VTCP của nó, với u, u lần lượt là  VTCP của a và b. 6. Đi qua điểm M o  ( ) và vuông góc với đường thẳng a, đồng thời nằm trong mp () có pt chotrước (đường thẳng a không vuông góc với ()).     Đường thẳng  cần tìm đi qua điểm M0 và có VTCP là: u  u; n  , với u là VTCP của đường thẳng a   và n là VTPT của mp(). x 1 y z  2Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho (): 2 x  y  z  2  0 và đường thẳng (d ) :   . 2 1 3a/ Tìm tọa độ giao điểm A của (d) và mặt phẳng ().b/ Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc với đường thẳng (d) và nằm trong mặt phẳng(). ( ĐH An Ninh, ĐH Cảnh Sát, 1999) Phƣơng pháp 2: Đƣa đƣờng thẳng cần tìm về giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó rồi ta viết đƣợcphƣơng trình của nó.1. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước.Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó:+ () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa a.+ () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa b.Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2) và hai đường thẳng có phương x  1 t x 1 y 1 z trình: (d1 ) : =  , (d 2 ) :  y  3  t . Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt cả hai 2 1 1  z  3  2t đường thẳng trên. (ĐH GTVT TP.HCM, Khối A-2001)2. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt một đường thẳng a và vuông góc với một đường thẳng b có phươngtrình cho trước.Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó: + () là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc với b. + () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa a.Chú ý: Đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , cắt và vuông góc với một đường thẳng a có phươngtrình cho trước, làm tương tự. Hoặc đường thẳng này chính là đường thẳng đi qua M 0 và hình chiếu củaM0 lên đường thẳng a.  x  3  2tVí dụ : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; 2; 4) và đường thẳng (d ) :  y  1  t . Viết phương   z  1  4t trình đường thẳng  đi qua A, cắt và vuông góc với d. (Đề thi ĐH, CĐ Khối B - 2004) 1. Song song với một đường thẳng a và cắt cả hai đường thẳng b, c có pt cho trước Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó:+ () là mặt phẳng chứa b và song song với a.+ () là mặt phẳng chứa c và song song với a.Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -7- THPT Chuyên Lê Khiết
  8. 8. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-20132. Vuông góc với một mặt phẳng () và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp(P) với mp(Q), trong đó: + (P) là mặt phẳng chứa a và vuông góc với () + (Q) là mặt phẳng chứa b và vuông góc với ()3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng a lên một mặt phẳng () có pt cho trước + Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó () là mặt phẳng chứa a vàvuông góc với (). + Lấy hai điểm trên a rồi tìm hình chiếu trên ( )Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(1;1;1) và C  ; 1 1 1  ; . 3 3 3 a/ Viết phương trình mặt phẳng () vuông góc với đường thẳng OC tại C. b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d ) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (). (Đề thi TN THPT, 2000-2001)Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( D)  ( )  ( ) với ( ) : x  z  3  0, ( ) :2 y  3z  0 và mặt phẳng ( P) : x  y  z  3  0 . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc củađường thẳng (D) trên mặt phẳng (P). (ĐH Quốc Gia HCM, Khối A-1998) 2. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 ,  2Cách 1.+ Đưa 2 pt về dạng tham số+ Lấy hai điểm H, K lần lượt nằm trên 1 ,  2+ Đ kiện HK vuông góc với 1 ,  2Đường thẳng đi qua hai điểm H, K là đường thẳng cần tìm.Cách 2.      + Lập ptmp ( ) chứa 1 và có một véc tơ pháp tuyến n  [u 1 , u  ] với u  u 1 , u 2   + Tìm giao điểm M của ( ) và  2 .    + Đường thẳng cần tìm qua M và có 1 VTCP u  u 1 , u 2   Cách 3. Đ thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó:   + () là mặt phẳng chứa 1 và có một VTPT u  u 1 , u 2  .       + () là mặt phẳng chứa  2 và có một VTPT u  u 1 , u 2  (Với u 1 , u 2 lần lượt là VTCP của 1 và  2 )  Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểmA,B,C,D có toạ độ xác định bởi các hệ        thức: A(2; 4; 1) , OB  i  4 j  k , C  (2; 4; 3), OD  2i  2 j  k . Viết phương trình tham số của đườngvuông góc chung  của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa  và mặt phẳng (ABD). (TN THPT 2003-2004)Ví dụ 2. Trong kg Oxyz cho 1  ( )  ( ) với ( ) :2 x  y  4 z  5  0, ( ) : x  y  2 z  1  0 và x  1 t  2 :  y  2  3t  z  2t a/ Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 vàsong song với  2 .b/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (2; 1; 1) và song song với cả hai đường thẳng trên.c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 và vuông góc với mặt phẳng (P): x  2 y  z  3  0 . Suy raphương trình hình chiếu vuông góc của 1 lên mặt phẳng (P).  x  5  2t  x  3  2t Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 1 :  y  1  t ,  2 :  y  3  t . Chứng minh rằng hai đường thẳng trên  z  5  t z  1 t  song song. Viết pt mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -8- THPT Chuyên Lê Khiết
  9. 9. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 Phƣơng pháp ĐỂ LẬP PHƢƠNG TRÌNH CỦA MỘT MẶT PHẲNG TA CẦN*Tìm một điểm nằm trên mp và một VTPT của nó.Mặt phẳng () có phương trình: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0*Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mp (): Ax  By  Cz  D  0 . Mặt phẳng () đi qua M0 và nhận VTPT của () là n  ( A; B; C ) làm VTPT, nên có phương trình: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0Hay Ax  By  Cz  D  0 , với D  ( Ax0  By0  Cz0 )Cách khác: () có dạng Ax  By  Cz  m  0 rồi cho đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) để tìm m.*Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với đ thẳng (d) có pt cho trước.  Mp() đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTCP ud của (d) làm VTPT của nó. Từ đó suy ra ptrình của mp()*Mặt phẳng trung trực của đoạn AB. x x y  yB z A  z B  Mp() đi qua trung điểm I ( A B ; A ; ) của AB và nhận AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A ) 2 2 2và làm VTPT. Từ đó suy ra phương trình của mp() .Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng () trong mỗi trường hợp sau: 1 1 1a/ Vuông góc với đường thẳng OC tại C với C ( ; ; ) . 3 3 3b/ Đi qua A(2; 1;1) và vuông góc với đường thẳng  là giao tuyến của hai mp ( ) : 2 x  y  z  2  0 và( ) : y  z  4  0c/ Đi qua A(1; 0; 5) và song song với mặt phẳng ( ) : 2 x  y  z  6  0  * Tìm một điểm nằm trên mp và cặp VTCP u1  (a; b; c), u2  (d ; e; f ) không cùng phương nằm trong( ) hoặc trên những đường thẳng song song với ( ) . MP() cần tìm đi qua điểm M0 và có VTPT là:      b c c a a bn với n  u1 , u2      ; ;   ( A; B; C ) .  e f f d d eSuy ra phương trình mặt phẳng (): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0* Đi qua ba điểm A, B, C có tọa độ cho trước.    () đi qua A và nhận n   AB, AC  làm VTPT. Từ đó suy ra phương trình.  Còn một số bài toán lập ptmp nữa: Chẳng hạn mp *Chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b có pt cho trước. *Chứa đường thẳng a và vuông góc với mặt phẳng (  ) có pt cho trước. *Chứa hai đường thẳng cắt nhau. * Chứa hai đường thẳng song song. * Đi qua một điểm và song song với hai đthẳng chéo nhau cho trước. * Song song và cách đều hai đường thẳng chéo nhau cho trước. MẶT CẦU ***************Nhắc lại:1/ Định nghĩa: Mặt cầu S ( I , R)  M  3 IM  R .2/ Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c) , bán kính R là: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R23/ Mọi phương trình dạng: x2  y 2  z 2  2 Ax  2By  2Cz  D  0 , (Đk A2  B2  C 2  D  0 )là phương trình của một mặt cầu tâm I ( A; B; C ) , bán kính R  A2  B2  C 2  D .4/ Đk cần và đủ để mp (P) tiếp xúc với mặt cầu S ( I ; R) (hay (P) là tiếp diện của (S)) là: d ( I ;( P))  R .5/ Đk cần và đủ để đthẳng  tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) (hay  là tiếp tuyến của (S)) là: d ( I ; )  R .6/ Vị trí tương đối của mặt cầu S ( I ; R) với một mặt phẳng (P):  d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )   .  d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )  H , với H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -9- THPT Chuyên Lê Khiết
  10. 10. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )  C ( H , r ) , trong đó: C ( H ; r )  ( P) là đường tròn tâm H (với H là hình chiếuvuông góc của I lên (P)), bán kính r  R 2  d 2 ( I ,( P)) .Chú ý: Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu (S) (tức d(I; R) = 0) thì ( P)  (S )  C( I , R)MỘT SỐ BÀI TẬPBài 1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:1/ Đi qua điểm A(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1).2/ Có tâm C(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2 x  y  3z  11  0 .3/ Có tâm nằm trên mặt phẳng x  y  z  2  0 và đi qua 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1).4/ Đi qua điểm S(2; 3; 4) và các hình chiếu của S lên các trục tọa độ.5/ Có tâm I(1; 1; 1) và tiếp xúc với đường thẳng  là giao tuyến của hai mp :( ) : x  2 y  z  9  0, ( ) : 2 y  z  5  0 .6/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1), D(-1; 6; 2).7/ Có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng  là giao tuyến của hai mp: ( ) : 5x  4 y  3z  20  0;( ) : 3x  4 y  z  8  0 tại hai điểm AB sao cho AB = 40.8/ Có đường kính AB với A, B là các điểm lần lượt nằm trên hai đường thẳng  x  20  2t x y2 z4 1 :   ,  2 :  y  t và AB vuông góc với cả hai đường thẳng trên. 1 1 2  z  16  t Bài 2. Trong kg Oxyz cho mặt cầu (S ) : x2  y 2  z 2  12 x  4 y  6 z  24  0 .1/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (S).2/ Chứng minh rằng mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 cắt mặt cầu (S). Viết phương trình đường tròn làgiao của (S) và (P). xác định tọa độ tâm H và bán kính r của đường tròn này. x  2  t 3/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đ thẳng  :  y  1  t . Viết pt tiếp diện của (S) tại các giao điểm đó. z  3  t Bài 3.1/ Cho mặt phẳng ( P ) : 3x  4 y  5z  a  0 . Tìm a để mặt phẳng trên tiếp xúc với mặt cầu (S): 1x2  y 2  z 2  1.2/ Lập ptmc có tâm tại gốc tọa độ và tiếp xúc với mp ( P2 ) : x  y  z  5  0 .Bài 4. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2  y 2  z 2  2 x  4 z  4  0 và ba điểm A(3; 1; 0), B(2;2; 4), C(-1; 2; 1).1/ Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C.2/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (S).3/ Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.4/ Xác định vị trí tương đối của ( P) và ( S ) .Bài 5. Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng song song (P1), (P2) có phương trình: ( P ) : 2 x  y  2 z 1  0, 1( P2 ) : 2 x  y  2 z  5  0 và điểm A(-1; 1;1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng trên. Gọi (S) là mặt cầubất kì đi qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng trên.a/ Chứng tỏ rằng bán kính của (S) là một hằng số và tính bán kính đó.b/ Gọi I là tâm của các hình cầu (S) ở trên. Chứng tỏ rằng I thuộc một đường tròn cố đinh. Xác định tọađộ tâm và bán kính của đường tròn đó.Bài 6. Trong không gian Oxyz cho mp ( ) :2 x  3 y  z 17  0 và A(2;3; 4)a/ Tìm điểm A đối xứng với A qua ( ) .b/ Tìm điểm M  Oz cách đều điểm A và ( ) . x 1 y  2 z  1c/ Tìm hình chiếu của () :   trên ( ) . 2 1 3Bài 7. Trong kg Oxyz cho 2mp ( ) : x  2 y  z  2  0, ( ) : x  y  2 z  5  0a/ Lập pt đường thẳng giao tuyến của ( ), (  ) .Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 - 10 - THPT Chuyên Lê Khiết
  11. 11. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013b/ Viết pt mp ( ) qua M (1;2; 3) vuông góc với cả ( ), (  ) .c/ Viết pt mp ( P) đối xứng với ( ) qua M (1;2; 3) .d/ Tính góc tạo bởi hai mp ( ), (  ) .e/ Tìm tập hợp tất cả các điểm cách đều ( ) và (  ) .Bài 8. Trong kg Oxyz cho ABC với A(6; 2;3), B(0;1;6), C(2;0; 1) 16 2a/ Tìm tọa độ trực tâm H của ABC . H ( ;  ;2) 5 5b/ Tìm độ dài đường cao BE kẻ từ B của ABC .c/ Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc A của ABC .Bài 9. Trong kg Oxyz cho (S ) : x2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  3  0 và mp ( P) :2 x  2 y  z  m  0a/ Xác định giá trị m để ( P),( S ) có điểm chung. 12  m  6b/ Lập pt tiếp diện của ( S ) biết tiếp diện song song với (Q) :2 x  2 y  z  0c/ Lập phương trình đường thẳng  qua tâm mặt cầu và vuông góc với (Q)d/ Lập pt đường tròn giao tuyến của (Q) và ( S ) .Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1).a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt phẳng(P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD songsong với mặt phẳng (P).Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng   ( )  ( ) với () : 2 x  y  z  1  0(  ) : x  y  z  2  0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0.Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P). x2 y2 zBài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:   và mặt phẳng 1 1 1(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc vớiđường thẳng Δ.Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho  AC  (0;6;0) . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với A(0; 0; a 3 ), B(a; 0; 0),C(0; a 3 , 0) (a > 0). Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.Bài 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết phương trình mặtphẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300.  x  3  2t Bài 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng (d)  y  1  t .  z  1  4t Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.Bài 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; –1; 3) và đường thẳng (d) làgiao tuyến của hai mặt phẳng () : 3x  2 y 11  0, () : y  3z  8  0 .a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểmcủa đường thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK.b. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mphẳng (α) có pt: x + y – z + 1 = 0. x 1 y  3 z  3Bài 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:   và mặt phẳng 1 2 1(P): 2x + y – 2z + 9 = 0.a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), biết Δ đi qua A và vuông góc với d. Còn nữaThs. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 - 11 - THPT Chuyên Lê Khiết

×