matemática aplicada

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN SISTEMA DE CALIDAD Y
AMBIENTE.
Matemática Aplicada.
Unidad I.
Integrante:
Johelbys Campos C.I.: 24.156.988
Trayecto 3 Fase 2
Grupo-A
Febrero de 2021

2. Ejercicios propuestos 1.1:
En los siguientes problemas, clasifique cada ecuación diferencial, según su
orden, grado (si es posible) y si es lineal o no. Determine la función desconocida
y la variable independiente.
𝟒) (𝟏 − 𝒙)𝒚𝒏
− 𝟒𝒙´ + 𝟓𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
Solución:
Orden: E.D.O orden “n”
Grado: 1
Linealidad: no lineal
Variable independiente: 𝑥
Función desconocida: (1 − 𝑥)𝑦𝑛
− 4𝑥´ + 5𝑦
𝟖)
𝒅𝟐
𝒚
𝒅𝒙𝟐
= √𝟏 + (
𝒅𝒚
𝒅𝒙
)
𝟐
Solución:
Orden: E.D.O orden 2
Grado: 2
Linealidad: no lineal
Variable independiente: 𝑥
Función desconocida:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
𝟏𝟐)
𝒅𝒏
𝒙
𝒅𝒚𝒏
= 𝒚𝟐
+ 𝟏
Solución:
Orden: E.D.O orden “n”
Grado: 1
Linealidad: no lineal
Variable independiente: 𝑦
Función desconocida:
𝑑𝑛𝑥
𝑑𝑦𝑛

3. Ejercicios propuestos 1.2:
Encontrar la ecuación diferencial de la cual es solución.
𝟒) 𝒚 = 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒍𝒏(𝒙) + 𝟒𝒙𝟐
Solución:
Derivamos dos veces la función 𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 4𝑥2
.
1𝑒𝑟𝑎
Derivada: 𝑦´ = 𝐶1 + 𝐶2 (ln(𝑥) +
1
𝑥
𝑥) + 8𝑥
𝑦´ = 𝐶1 + 𝐶2(ln(𝑥) + 1) + 8𝑥 Ecuación 1
2𝑑𝑎
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎: 𝑦´´ = 𝐶2.
1
2
+ 8
𝑦´´ =
𝐶2
𝑥
+ 8 Ecuación 2
De la ecuaciones 1 y 2 formamos un sistema de ecuaciones y calculamos 𝐶1 𝑦 𝐶2
Despejamos 𝐶2 de la ecuación 2:
𝐶2 = (𝑦´´ − 8)𝑥
𝐶2 = 𝑥𝑦´´ − 8𝑥
Sustituyendo 𝐶2 en la ecuación 1:
𝑦´ = 𝐶1 + (𝑥𝑦´´ − 8𝑥). (ln(𝑥) + 1) + 8𝑥
𝑦´ = 𝐶1 + 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑦´´ + 𝑥𝑦´´ − 8𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 8𝑥 + 8𝑥
𝑦´ = 𝐶1 + 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑦´´ + 𝑥𝑦´´ − 8𝑥𝑙𝑛(𝑥)
Despejando 𝐶1:
𝐶1 = 𝑦´ − 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑦´´ − 𝑥𝑦´´ + 8𝑥𝑙𝑛(𝑥)
Sustituyendo 𝐶1 𝑦 𝐶2 𝑒𝑛 𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 4𝑥2
𝑦 = [𝑦´ − 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑦´´ − 𝑥𝑦´´ + 8𝑥𝑙𝑛(𝑥)]𝑥 + [𝑥𝑦´´ − 8𝑥]𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 4𝑥2
𝑦 = 𝑥𝑦´´ − 𝑥2
ln(𝑥) 𝑦´´ − 𝑥2
𝑦´´ + 8𝑥2
ln(𝑥) + 𝑥2
ln(𝑥) 𝑦´´ − 8𝑥2
ln(𝑥) + 4𝑥2
𝑦 = 𝑥𝑦´´ − 𝑥2
𝑦´´ + 4𝑥2
La ecuación diferencial es 𝑦 = 𝑥𝑦´´ − 𝑥2
𝑦´´ + 4𝑥2

4. Verifique que la función indicada es una solución de la E.D dada. Donde sea
apropiado 𝐶1 y 𝐶2 son constantes.
𝟐) 𝒚´ + 𝟒𝒚 = 𝟑𝟐 ; 𝒚 = 𝟖
Solución:
𝑦´ = 8 = 0
Sustituimos Y y Y‘en la ecuación diferencial.
0 + 4(8) = 32
0 + 32 = 32
32 = 32
Así 𝑦´ + 4𝑦 = 32 es la ecuación diferencial
𝟔)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= √
𝒚
𝒙
; 𝒚 = (√𝒙 + 𝑪𝟏)
𝟐
; 𝒙 > 𝟎; 𝑪𝟏 > 𝟎
Solución:
Derivamos:
𝑦´ = 2.
1
2√𝑥
𝑦´ =
1
√𝑥
; 𝑥 > 0
Sustituimos 𝑦, 𝑦´ en la ecuación diferencial.
1
√𝑥
= √(√𝑥 + 𝐶1)
2
𝑥
𝑥 > 0 ; 𝐶1 > 0
1
√𝑥
= √
(√𝑥 + 𝐶1)
2
√𝑥
1
√𝑥
=
√𝑥 + 𝐶1
√𝑋
𝑥 > 0 ; 𝐶1 > 0
La ecuación no satisface la ecuación diferencial.